Превращение из дроби в целое решение. Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь и обратно, правила, примеры. Преобразования «на слух».
\begin{align} \end{align}
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Опять же, мы отбрасываем всю часть числа, но поскольку дробная часть, которую мы оставили, так же, как мы ничего не сделали, мы закончили. Теперь, когда мы извлекли как целую часть нашего исходного числа, так и дробную часть, мы можем, наконец, объединить их по обе стороны от точки счисления.
В то время как бинарные и десятичные дроби работают на одних и тех же принципах, каждый из них имеет свои проблемы, когда речь идет о точном представлении чисел с заданным количеством цифр. В обоих случаях есть определенные числа, которые всегда будут приводить к тому, что называется ошибкой округления, где число не может быть представлено точно, и вместо этого нужно использовать ближайшее число.
Введите обыкновенную дробь, калькулятор переведет ее в десятичную дробь и покажет решение.
Если нельзя перевести в десятичную дробь, калькулятор переведет дробь в бесконечную периодическую десятичную дробь , вычислит период дроби и округлит число до 8 знаков после запятой.
Перевод обыкновенной дроби в десятичную дробь
Несократимую дробь можно преобразовать в десятичную только тогда, когда разложение знаменателя b на простые множители не содержит чисел, отличных от 2 и 5 .
Когда мы представляем ⅓ в десятичной форме с использованием фиксированного числа десятичных знаков, мы получаем погрешность округления, представление ⅓ никогда не является полностью точным. Аналогичные ситуации происходят с бинарными. Если вы попытаетесь представить дробь, где знаменатель не имеет значения 2, вы также получите ошибки округления с заданным количеством цифр.
Следите за этим, когда вы используете двоичные дроби в своих программах. На следующем номере мы называем это знаменателем, это число частей, в которых мы разделили общее число. Затем смешанная фракция представляет собой просто целое число и фракцию, объединенную в «смешанное» число.
В результате преобразования получается бесконечная периодическая десятичная дробь
.
Простой способ преобразования
Воспользуйтесь калькулятором, разделите числитель дроби на знаменатель в результате получите десятичную дробь.
Пример Преобразовать дробь в десятичную дробь
Разделим с помощью калькулятора числить на знаменатель, получим .
Смешанные фракции = Неправильные фракции
Вы можете использовать неправильную фракцию или смешанную фракцию для записи той же суммы.
Когда используются смешанные фракции
В повседневном использовании люди лучше понимают смешанные фракции. Но в математике неправильные фракции лучше, чем смешанные фракции. Смешанные фракции путают, когда вы пишете их в формуле.Преобразуйте неправильные фракции в смешанные фракции
Чтобы преобразовать неправильную фракцию в смешанную, выполните следующие действия.
Чтобы вручную преобразовать десятичную дроби, выполните следующие действия
Шаг 1: Мы можем умножить 4 на 25, чтобы сделать его 100. Шаг 2: Умножьте указанное число на 25.Альтернативный метод преобразования
Привести знаменатель дроби к 10 , 100 , 1000 , 10000 и т.д. Найдите число которое преобразует знаменатель к числу из списка (10 , 100 , 1000 , и т.д.). Умножьте числитель и знаменатель на данное число, затем запишите числитель в виде десятичной дроби, расположив запятую(точку) в зависимости от количества нулей в знаменателе.
Шаг 3: Напишите 75 с запятой на 2 пробела справа. Шаг 2: Умножьте число сверху и на 625. Десятичные числа можно разделить на. Всякий раз, когда числитель делится знаменателем, и заканчивается деление и нуль, деление является точным, и его результат будет конечным десятичным.
Конечная десятичная дробь представляет собой десятичную дробь. Эти цифры являются неточными подразделениями. Они не представляют десятичную дробь. Бесконечные десятичные числа могут быть: бесконечными чистыми, бесконечными периодическими и полупериодическими бесконечностями.
В примере показано как переводить дробь в десятичную дробь ручным способом.
Дроби
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
К множеству рациональных чисел учитываются только периодические и полупериодические десятичные числа. Чистые бесконечные десятичные числа принадлежат множеству иррациональных чисел, потому что они не могут быть преобразованы во фракцию. Он написан в сокращенной форме, короновал период небольшим ударом.
Число, образованное этими числами, называется периодом. Преобразование конечной десятичной дроби в дроби. Число преобразуется в десятичную дробь и, если возможно, упрощается. Силы десяти используются для преобразования десятичного числа в десятичную дроби. Вы помещаете столько нулей, сколько десятичных чисел имеют число.
Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.
Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?
Виды дробей. Преобразования
Число записывается, в этом случае делится на 000, потому что есть три десятичных разряда, занятых, а затем упрощенных на 5. Преобразование периодического бесконечного десятичного разряда в дроби. Ниже перечислены следующие шаги. Если это можно упростить, оно упрощается.
Полупериодическое бесконечное десятичное преобразование в фракцию. Как всегда, результат выражается как неприводимая дробь или как смешанное число. Метод преобразования смешанных чисел в фракции и преобразования фракций в смешанные числа, если эти фракции являются неправильными. В противном случае это невозможно. Чтобы преобразовать дробь в смешанное число, целое число, которое формирует это число, является частным от фракции, фракция, которая сопровождает указанное целое число, будет иметь в качестве числителя остаток от деления числителя между знаменателем исходной дроби, а знаменатель будет равен фракции, подлежащей преобразованию.
Виды дробей. Преобразования.
Дроби бывают трёх видов.
1. Обыкновенные дроби , например:
Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)
Более быстрый способ
Чтобы перейти от смешанной к фракции, умножьте целое число на знаменатель входящей в него дроби, к этому результату добавляется числитель и, следовательно, получается числитель новой дроби. Знаменатель совпадает с дробью, которая сопровождает целое. В этом видео мы объясняем, как преобразовать неправильную фракцию в смешанное число и наоборот. Помните, что операция перехода от смешанного числа к неправильной фракции уже была замечена в более раннем видео, которое мы рассмотрим здесь. Предположим, что у нас есть смешанное число, и нам предлагается преобразовать его в дроби.
Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.
Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.
32/8 = 32: 8 = 4
Быстрый метод говорит нам, что для преобразования просто поставить один и тот же знаменатель. Тогда числитель будет умножением целого числа на знаменатель плюс сумма начального числителя. Теперь давайте научимся передавать дробное число в смешанное число. Этот метод работает для неправильных дробей, которые являются числами, которые числитель больше знаменателя. Каждое число, когда мы его делим, может найти фактор без проблем, потому что знаменатель нерегулярности всегда больше. Первое, что мы собираемся найти, - это частное, которое мы ставим как целое число смешанного выражения.
Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.
2. Десятичные дроби , например:
Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".
3. Смешанные числа , например:
В качестве знаменателя фракции выражения поместим знаменатель начальной дроби, которую мы даем преобразовать. Тогда тогда знаменатель, который нам нужен, будет остатком и, следовательно, мы получим смешанную долю. Если мы хотим убедиться, что преобразование является хорошим, мы выполняем процедуру преобразования из дробного числа в смешанное число, которое мы изначально объяснили. Мы должны принять во внимание, что процесс преобразования из дробного в смешанное, который мы только что объяснили, требует, чтобы фракция была полностью упрощена.
Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.
Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !
Чтобы сделать эти преобразования, мы будем использовать примеры. Если мы возьмем число 5, чтобы представить его как дробь, достаточно найти число, деленное на другое число, и результат будет равен. Если мы возьмем число 0, 2, мы должны помнить, что десятая часть - из десяти, а сотые - из стотысячной, из тысячи, поэтому, чтобы превратить 0, 2 в дроби, просто исключите запятую и получите номер 2, поэтому знаменатель будет Число, которое представляет десятичное место, затем.
Путь наименьшего сопротивления: удобные онлайн сервисы
1. 25, удаление запятой в числителе составляет 125, знаменатель равен 100, поскольку десятичные разряды находятся в сотых долях. Если мы разделим числитель каждой фракции выше на соответствующий знаменатель, мы придем к соответствующему ему десятичному значению.
Основное свойство дроби.
Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:
Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.
Сначала давайте поговорим о том, что такое периодическая десятина. Периодическая десятичная запятая - это бесконечная десятичная часть, так как она повторяется одинаково. Эти числа могут быть записаны в виде дробей, но хотя они являются десятичными числами в их преобразовании, мы будем использовать другой процесс.
Мы должны удалить десятичные знаки. Для этого мы будем ходить с запятой справа десятичной, потому что повторяется только 2. Вычитая два уравнения и получим. Правильная дробь все фракции числитель которой имеет меньшее абсолютное значение, чем ее знаменатель. соответствующие фракции представляют собой лишь часть целого.
А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.
Преобразование Фракции в неправильной дроби Смешанные
Неправомерные фракции, однако обладают числитель с абсолютным значением, большим, чем его знаменатель. Можно сказать, что эквивалентно. Способ выполнения этого преобразования является очень простым. Разделим числитель на знаменатель. Остаток от деления используется как числитель дробной части. Фактор представляет собой целую часть, а знаменатель такой же, как в исходной фракции.
Мы знаем, что числитель дроби является число 7, а знаменатель число 3. Для того, чтобы разделить на 3 7 мы получаем коэффициент 2, чтобы быть целой частью смешанной фракции. Остальная часть этого деления равен 1, значение, которое числитель дробной части.
Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .
Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.
При выполнении деления на 6 3 заметили, что остальное 0, так как 6 кратно 3. В этом случае преобразовании вместо генерации смешанной фракции, будет производить только целое число, фактор в этом случае является 2. Фракция, числитель делится на знаменатель, называются очевидные фракции, так как они могут быть выражены как простое число.
Преобразование дробей в смешанных дробей несобственных
Реализация этого преобразования еще проще. Мы будем конвертировать смешанную фракцию обратно в неправильную дробь. Во-первых, мы взяли вторую часть целого и умножить на 3 знаменатель дроби, то мы добавим этот продукт к текущему числителе 1, чтобы получить новый числитель 7.
Например, надо упростить выражение:
Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:
Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении
и получить снова
Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!
Примеры неправильной дроби и их фракции Смешанные эквиваленты
Для лучшей фиксации описанных в данном разделе, посмотрите ниже фракций и сделать переходы в обоих направлениях. Смотрите также страницу о том, как выполнять арифметические операции с дробями, чтобы знать, как действовать в случае неправильной дроби. Смешанное число - это не что иное, как представление числа путем смешивания целых чисел и дробей. Если значение фракции больше целого, мы используем смешанное число для его представления. Мы также можем использовать неправильную фракцию, которая является значением доли, которое число отсчитывает, всегда имея числитель больше знаменателя.
Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?
Чтобы преобразовать смешанное число в некорректную дробь, мы должны умножить число целых чисел, которое оно имеет на рассматриваемый знаменатель. Например, используя приведенную выше цифру, нам пришлось бы умножить 1 на 4, получив. Это означает, что 4 будет числителем, если целое число было в виде дробной части. Следовательно, мы добавляем это как целые числа с числителем дробей, в этом случае 1, т.е. сумма. Этот результат является числителем несобственной дроби.
Иногда неправильная фракция может иметь числитель и знаменатель, которые имеют общие делители, т.е. мы можем их упростить. И числитель, и знаменатель можно разделить на 2, поэтому мы можем упростить эту долю. Если упражнение запрашивает смешанное число в его простейшей форме, но не в неправильной доле и даже в смешанном количестве, вы можете прямо упростить только дробную часть данного смешанного числа без необходимости трансформировать все в неправильную фракцию и Тогда упростите. Поверните смешанные числа в дроби.
Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?
Как переводить дроби из одного вида в другой.
С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.
А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .
А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.
Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...
Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.
Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.
А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !
Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.
Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.
Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:
Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:
Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.
Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.
Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?
Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !
Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?
0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!
Подведём итоги этого урока.
1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.
2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.
3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.
Раздел 555 . Там приводится решение всех этих примеров. Плюс маленькие хитрости, которые жизнь облегчают.)
На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.