Правило сравнения двух правильных дробей. Сравнение дробей: правила, примеры, решения
Две неравные дроби подлежат дальнейшему сравнению для выяснения, какая дробь больше, а какая дробь меньше. Для сравнения двух дробей существует правило сравнения дробей, которое мы сформулируем ниже, а также разберем примеры применения этого правила при сравнении дробей с одинаковыми и разными знаменателями. В заключение покажем, как сравнить дроби с одинаковыми числителями, не приводя их к общему знаменателю, а также рассмотрим, как сравнить обыкновенную дробь с натуральным числом.
Навигация по странице.
Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями по сути является сравнением количества одинаковых долей. К примеру, обыкновенная дробь 3/7 определяет 3 доли 1/7 , а дробь 8/7 соответствует 8 долям 1/7 , поэтому сравнение дробей с одинаковыми знаменателями 3/7 и 8/7 сводится к сравнению чисел 3 и 8 , то есть, к сравнению числителей.
Из этих соображений вытекает правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями : из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше, и меньше та дробь, числитель которой меньше.
Озвученное правило объясняет, как сравнить дроби с одинаковыми знаменателями. Рассмотрим пример применения правила сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Пример.
Какая дробь больше: 65/126 или 87/126 ?
Решение.
Знаменатели сравниваемых обыкновенных дробей равны, а числитель 87 дроби 87/126 больше числителя 65 дроби 65/126 (при необходимости смотрите сравнение натуральных чисел). Поэтому, согласно правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, дробь 87/126 больше дроби 65/126 .
Ответ:
.
Сравнение дробей с разными знаменателями можно свести к сравнению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого лишь нужно сравниваемые обыкновенные дроби привести к общему знаменателю .
Итак, чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, нужно
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.
Разберем решение примера.
Пример.
Сравните дробь 5/12 с дробью 9/16 .
Решение.
Сначала приведем данные дроби с разными знаменателями к общему знаменателю (смотрите правило и примеры приведения дробей к общему знаменателю). В качестве общего знаменателя возьмем наименьший общий знаменатель, равный НОК(12, 16)=48
. Тогда дополнительным множителем дроби 5/12
будет число 48:12=4
, а дополнительным множителем дроби 9/16
будет число 48:16=3
. Получаем 
и 
.
Сравнив полученные дроби, имеем . Следовательно, дробь 5/12 меньше, чем дробь 9/16 . На этом сравнение дробей с разными знаменателями завершено.
Ответ:
.
Получим еще один способ сравнения дробей с разными знаменателями, который позволит выполнять сравнение дробей без их приведения к общему знаменателю и всех сложностей, связанных с этим процессом.
Для сравнения дробей a/b и c/d , их можно привести к общему знаменателю b·d , равному произведению знаменателей сравниваемых дробей. В этом случае дополнительными множителями дробей a/b и c/d являются числа d и b соответственно, а исходные дроби приводятся к дробям и с общим знаменателем b·d . Вспомнив правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, заключаем, что сравнение исходных дробей a/b и c/d свелось к сравнению произведений a·d и c·b .
Отсюда вытекает следующее правило сравнения дробей с разными знаменателями
: если a·d>b·c
, то , а если a·d Правила сравнения обыкновенных дробей зависят от вида дроби (правильная, неправильная, смешанная дробь) и от знаменателен (одинаковые или разные) у сравниваемых дробей. В этом разделе рассматриваются варианты сравнения дробей, имеющих одинаковые числители или знаменатели. Правило. Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, надо сравнить их числители. Больше (меньше) та дробь, у которой числитель больше (меньше). Например, сравнить дроби: Правило. Чтобы сравнить правильные дроби с одинаковыми числителями, надо сравнить их знаменатели. Больше (меньше) та дробь, у которой знаменатель меньше (больше). Например, сравнить дроби: Правило. Неправильная и смешанная дроби всегда больше любой правильной дроби. Правильная дробь но определению меньше 1, поэтому неправильная и смешанная дроби (имеющие в своем составе число, равное или больше 1) больше правильной дроби. Правило. Из двух смешанных дробей больше (меньше) та, у которой целая часть дроби больше (меньше). При равенстве целых частей смешанных дробей больше (меньше) та дробь, у которой больше (меньше) дробная часть. Например, сравнить дроби: Аналогично сравнению натуральных чисел на числовой оси большая дробь стоит правее меньшей дроби. В повседневной жизни нам часто приходится сравнивать дробные величины. Чаще всего это не вызывает каких-либо трудностей. Действительно, всем понятно, что половина яблока больше, чем четверть. Но когда необходимо записать это в виде математического выражения, это может вызвать затруднения. Применяя следующие математические правила, вы легко можете справиться с этой задачей. Такие дроби сравнивать удобнее всего. В этом случае используйте правило: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителя, большей будет та, числитель которой больше, а меньшей — та, числитель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/8 и 5/8. Знаменатели в этом примере равны, следовательно, применяем это правило. 3<5 и 3/8 меньше, чем 5/8. И действительно, если разрезать две пиццы на 8 долей, то 3/8 доли всегда меньше, чем 5/8. В этом случае сравнивают размеры долей-знаменателей. Следует применять правило: Если у двух дробей числители равны, то больше та дробь, знаменатель которой меньше.
Например, сравнить дроби 3/4 и 3/8. В этом примере числители равны, значит, используем второе правило. У дроби 3/4 знаменатель меньше, чем у дроби 3/8. Следовательно 3/4>3/8 И действительно, если вы съедите 3 куска пиццы, разделенной на 4 части, то будете более сыты, чем если бы съели 3 куска пиццы, разделенной на 8 частей. Сравнение дробей
с одинаковыми числителями или знаменателями уже изучено. Рассмотрим сравнение дробей с разными числителями и знаменателями. Дроби с разными числителями и знаменателями сравнить без их преобразования нельзя! Правило. Чтобы сравнить дроби
с разными числителями и знаменателями, надо их привести к одному общему знаменателю, а затем сравнить их числители. Большей (меньшей) будет та дробь, у которой числитель больше (меньше). Сравнение дробей
записывается через знаки сравнения: знак «больше» (>), знак «меньше» ( Если сравниваются несколько дробей, то запись вычислений ведется столбцом сверху вниз, дробь под дробью. Получив знак неравенства, переносим его в заданные дроби, не изменяя. Число 27 кратно 81, так как 27 * 3 = 81. Следовательно, на дополнительной строке, выше заданных дробей пишем дополнительные множители и по основному свойству дроби умножаем на них числители и знаменатели заданных дробей. Во второй строке вычислений проставляем равновеликие заданным дроби с одинаковыми знаменателями. По правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями сравниваем их числители и записываем в третьей строке результат сравнения. Переносим вверх по столбцу знак сравнения ( 2. Записать дроби в порядке возрастания: Приведем дроби к наименьшему общему знаменателю 40. Построим возрастающий ряд натуральных чисел из числителей преобразованных дробей: 2
Сравнение правильных, неправильных и смешанных дробей между собой
Как сравнивать дроби с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с одинаковыми числителями и разными знаменателями
Число 5 кратно 50, так как 5 * 10 = 50.
