노드와 노드의 계산을 찾는 계산기 온라인입니다. 최소 공배수 찾기, 방법, LCM 찾기의 예

최대 공약수

정의 2

만약에 자연수 a는 자연수 $b$로 나누어지고, $b$는 $a$의 제수라고 하며, 숫자 $a$는 $b$의 배수라고 합니다.

$a$와 $b$를 자연수로 둡니다. $c$라는 숫자를 $a$와 $b$의 공약수라고 합니다.

$a$와 $b$의 공약수 집합은 유한합니다. 왜냐하면 이들 제수 중 어느 것도 $a$보다 클 수 없기 때문입니다. 이는 이러한 제수 중에 가장 큰 것이 있다는 것을 의미하며, 이를 숫자 $a$와 $b$의 최대 공약수라고 하며 다음 표기법으로 표시합니다.

$GCD\(a;b)\ 또는 \D\(a;b)$

두 숫자의 최대 공약수를 찾으려면 다음이 필요합니다.

1. 2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

실시예 1

$121$과 $132.$의 gcd를 구하세요.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

이 숫자의 확장에 포함된 숫자를 선택하세요.

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

$GCD=2\cdot 11=22$

실시예 2

단항식 $63$과 $81$의 gcd를 구합니다.

제시된 알고리즘에 따라 찾아보겠습니다. 이를 위해:

숫자를 소인수로 분해해보자

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

우리는 이 숫자의 확장에 포함된 숫자를 선택합니다.

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾아보겠습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

$GCD=3\cdot 3=9$

숫자의 제수 세트를 사용하여 다른 방법으로 두 숫자의 gcd를 찾을 수 있습니다.

실시예 3

$48$와 $60$의 gcd를 구합니다.

해결책:

$48$의 약수 집합을 찾아봅시다: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

이제 $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) 의 약수 집합을 찾아보겠습니다. $

$\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - 이 세트는 숫자 $48$와 $60의 공약수 세트를 결정합니다. $. 이 세트에서 가장 큰 요소는 $12$라는 숫자입니다. 즉, $48$과 $60$의 최대 공약수는 $12$입니다.

NPL의 정의

정의 3

자연수의 공배수$a$ 및 $b$는 $a$와 $b$의 배수인 자연수입니다.

숫자의 공배수는 원래 숫자로 나머지 없이 나누어지는 숫자입니다. 예를 들어 $25$와 $50$라는 숫자의 경우 공배수는 $50,100,150,200$ 등이 됩니다.

가장 작은 공배수는 최소 공배수라고 하며 LCM$(a;b)$ 또는 K$(a;b).$로 표시됩니다.

두 숫자의 LCM을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

1. 숫자를 소인수로 분해
2. 첫 번째 숫자의 일부인 요소를 적고 두 번째 숫자의 일부이고 첫 번째 숫자의 일부가 아닌 요소를 추가합니다.

실시예 4

$99$와 $77$의 최소공배수를 구하세요.

제시된 알고리즘에 따라 찾아보겠습니다. 이를 위해

숫자를 소인수로 분해

$99=3\cdot 3\cdot 11$

첫 번째에 포함된 요소를 적어보세요.

첫 번째의 일부가 아닌 두 번째의 일부인 승수를 추가하세요.

2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최소 공배수가 됩니다.

$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

숫자의 제수 목록을 작성하는 것은 매우 노동 집약적인 작업인 경우가 많습니다. 유클리드 알고리즘이라는 GCD를 찾는 방법이 있습니다.

유클리드 알고리즘의 기반이 되는 진술:

$a$와 $b$가 자연수이고 $a\vdots b$이면 $D(a;b)=b$

$a$ 및 $b$가 $b와 같은 자연수인 경우

$D(a;b)= D(a-b;b)$를 사용하면 그 중 하나가 다른 숫자로 나누어지는 한 쌍의 숫자에 도달할 때까지 고려 중인 숫자를 연속적으로 줄일 수 있습니다. 그러면 이들 숫자 중 더 작은 숫자가 $a$ 및 $b$ 숫자에 대해 원하는 최대 공약수가 됩니다.

GCD 및 LCM의 속성

1. $a$와 $b$의 공배수는 K$(a;b)$로 나눌 수 있습니다.
2. $a\vdots b$ 인 경우 К$(a;b)=a$

K$(a;b)=k$이고 $m$이 자연수이면 K$(am;bm)=km$

$d$가 $a$와 $b$의 공약수이면 K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

$a\vdots c$ 및 $b\vdots c$ 이면 $\frac(ab)(c)$는 $a$ 및 $b$의 공배수입니다.

모든 자연수 $a$ 및 $b$에 대해 동일성이 유지됩니다.

$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

$a$와 $b$의 공약수는 $D(a;b)$의 약수입니다.

배수는 주어진 숫자로 나머지 없이 나누어지는 숫자입니다. 숫자 그룹의 최소 공배수(LCM)는 나머지를 남기지 않고 그룹의 각 숫자로 나눌 수 있는 가장 작은 숫자입니다. 최소 공배수를 찾으려면 주어진 숫자의 소인수를 찾아야 합니다. LCM은 둘 이상의 숫자 그룹에 적용되는 다양한 다른 방법을 사용하여 계산할 수도 있습니다.

단계

일련의 배수

이 숫자를보세요.여기에 설명된 방법은 각각 10보다 작은 두 개의 숫자가 주어졌을 때 가장 잘 사용됩니다. 더 큰 숫자가 주어지면 다른 방법을 사용하십시오.

• 예를 들어 5와 8의 최소공배수를 구합니다. 이는 작은 숫자이므로 이 방법을 사용할 수 있습니다.

1. 배수는 주어진 숫자로 나머지 없이 나누어지는 숫자입니다. 곱셈표에서 배수를 찾을 수 있습니다.

   • 예를 들어 5의 배수인 숫자는 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40입니다.

2. 첫 번째 숫자의 배수인 일련의 숫자를 적어보세요.두 세트의 숫자를 비교하려면 첫 번째 숫자의 배수로 이 작업을 수행합니다.

   • 예를 들어 8의 배수인 숫자는 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64입니다.

3. 두 배수 집합 모두에 존재하는 가장 작은 수를 찾으십시오.찾기 위해 긴 일련의 배수를 작성해야 할 수도 있습니다. 총 수. 두 배수 집합에 모두 존재하는 가장 작은 수는 최소 공배수입니다.

   • 예를 들어, 5와 8의 배수 계열에 나타나는 가장 작은 수는 40입니다. 따라서 40은 5와 8의 최소 공배수입니다.

   소인수 분해

   1. 이 숫자를보세요.여기에 설명된 방법은 각각 10보다 큰 두 개의 숫자가 주어졌을 때 가장 잘 사용됩니다. 더 작은 숫자가 주어지면 다른 방법을 사용하십시오.

      • 예를 들어 숫자 20과 84의 최소공배수를 구합니다. 각 숫자는 10보다 크므로 이 방법을 사용할 수 있습니다.

   2. 첫 번째 숫자를 소인수로 인수분해합니다.즉, 그런 것을 찾아야합니다 소수, 곱하면 이 숫자가 얻어집니다. 소인수를 찾았으면 이를 등식으로 작성합니다.

      • 예를 들어, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20)그리고 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). 따라서 숫자 20의 소인수는 숫자 2, 2, 5입니다. 이를 다음과 같은 표현식으로 작성하십시오.

   3. 두 번째 숫자를 소인수로 인수분해합니다.첫 번째 숫자를 인수분해할 때와 같은 방식으로 이 작업을 수행합니다. 즉, 곱하면 주어진 숫자가 되는 소수를 찾습니다.

      • 예를 들어, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42)그리고 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). 따라서 숫자 84의 소인수는 숫자 2, 7, 3 및 2입니다. 이를 다음과 같은 표현식으로 작성하십시오.

   4. 두 숫자에 공통적인 요소를 적어보세요.곱셈 연산과 같은 요소를 작성하십시오. 각 인수를 작성할 때 두 표현식(숫자를 소인수로 분해하는 것을 설명하는 표현식)에 줄을 그어 표시하십시오.

      • 예를 들어 두 숫자의 공통인수는 2이므로 다음과 같이 씁니다. 2 × (\displaystyle 2\times )두 표현 모두에서 2를 지웁니다.
      • 두 숫자의 공통점은 2의 또 다른 인수이므로 다음과 같이 쓰세요. 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2)두 표현식 모두에서 두 번째 2를 지웁니다.

   5. 나머지 요소를 곱셈 연산에 추가합니다.이는 두 표현에서 모두 지워지지 않은 요소, 즉 두 숫자에 공통되지 않는 요소입니다.

      • 예를 들어, 표현식에서 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5)두 2(2)는 공통 인수이므로 삭제됩니다. 인수 5는 지워지지 않으므로 다음과 같이 곱셈 연산을 작성하십시오. 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • 표현에 있어서 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2)두 (2)도 모두 지워졌습니다. 인수 7과 3은 지워지지 않으므로 다음과 같이 곱셈 연산을 작성하십시오. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. 최소공배수를 계산합니다.이렇게 하려면 작성된 곱셈 연산에서 숫자를 곱합니다.

      • 예를 들어, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\표시 스타일 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). 따라서 20과 84의 최소공배수는 420입니다.

   공통인수 찾기

   1. tic-tac-toe 게임과 같은 격자를 그립니다.이러한 그리드는 다른 두 개의 평행선과 (직각으로) 교차하는 두 개의 평행선으로 구성됩니다. 이렇게 하면 3개의 행과 3개의 열이 제공됩니다(그리드는 # 아이콘과 매우 유사합니다). 첫 번째 줄과 두 번째 열에 첫 번째 숫자를 씁니다. 첫 번째 행과 세 번째 열에 두 번째 숫자를 씁니다.

      • 예를 들어, 숫자 18과 30의 최소공배수를 구합니다. 첫 번째 행과 두 번째 열에 숫자 18을 쓰고, 첫 번째 행과 세 번째 열에 숫자 30을 씁니다.

   2. 두 숫자에 공통인 제수를 찾으세요.첫 번째 행과 첫 번째 열에 적어보세요. 소인수를 찾는 것이 더 좋지만 이것이 필수 사항은 아닙니다.

      • 예를 들어 18과 30은 짝수이므로 공약수는 2입니다. 따라서 첫 번째 행과 첫 번째 열에 2를 씁니다.

   3. 각 숫자를 첫 번째 약수로 나눕니다.각 몫을 적절한 숫자 아래에 쓰십시오. 몫은 두 숫자를 나눈 결과입니다.

      • 예를 들어, 18 ¼ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), 따라서 18 아래에 9를 쓰세요.
      • 30 ¼ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), 따라서 30 미만의 15를 적어주세요.

   4. 두 몫에 공통인 제수를 구합니다.그러한 제수가 없으면 다음 두 단계를 건너뜁니다. 그렇지 않으면 두 번째 행과 첫 번째 열에 제수를 씁니다.

      • 예를 들어 9와 15는 3으로 나눌 수 있으므로 두 번째 행과 첫 번째 열에 3을 씁니다.

   5. 각 몫을 두 번째 약수로 나눕니다.각 나눗셈 결과를 해당 몫 아래에 쓰세요.

      • 예를 들어, 9 ¼ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3)이므로 9 아래에 3을 쓰세요.
      • 15 ¼ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), 따라서 15 아래에 5를 쓰세요.

   6. 필요한 경우 그리드에 추가 셀을 추가합니다.몫이 공약수를 가질 때까지 설명된 단계를 반복합니다.

   7. 그리드의 첫 번째 열과 마지막 행에 있는 숫자에 동그라미를 치세요.그런 다음 선택한 숫자를 곱셈 연산으로 씁니다.

      • 예를 들어 숫자 2와 3은 첫 번째 열에 있고 숫자 3과 5는 마지막 행에 있으므로 곱셈 연산을 다음과 같이 작성합니다. 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. 숫자를 곱한 결과를 찾으십시오.이것은 주어진 두 숫자의 최소 공배수를 계산합니다.

      • 예를 들어, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). 따라서 18과 30의 최소공배수는 90입니다.

   유클리드의 알고리즘

   1. 나눗셈 연산과 관련된 용어를 기억하세요.배당금은 나누어지는 숫자입니다. 제수는 나누는 숫자입니다. 몫은 두 숫자를 나눈 결과입니다. 나머지는 두 수를 나누었을 때 남는 수입니다.

      • 예를 들어, 표현식에서 15 ¼ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 삼:
        15는 배당금이다
        6은 제수이다
        2는 몫이다
        3이 나머지입니다.

최대 공약수와 최소 공배수는 쉽게 연산할 수 있는 핵심 산술 개념입니다. 일반 분수. LCM은 여러 분수의 공통 분모를 찾는 데 가장 자주 사용됩니다.

기본 개념

정수 X의 제수는 나머지를 남기지 않고 X를 나누는 또 다른 정수 Y입니다. 예를 들어, 4의 제수는 2이고, 36은 4, 6, 9입니다. 정수 X의 배수는 나머지 없이 X로 나누어지는 숫자 Y입니다. 예를 들어 3은 15의 배수이고, 6은 12의 배수입니다.

숫자 쌍에 대해 우리는 공약수와 배수를 찾을 수 있습니다. 예를 들어 6과 9의 경우 공배수는 18이고 공약수는 3입니다. 분명히 쌍에는 여러 제수와 배수가 있을 수 있으므로 계산에서는 가장 큰 제수 GCD와 가장 작은 배수 LCM을 사용합니다.

최소 제수는 의미가 없습니다. 어떤 숫자에 대해서도 항상 1이기 때문입니다. 배수의 수열이 무한대로 이어지기 때문에 가장 큰 배수도 의미가 없습니다.

gcd 찾기

최대 공약수를 찾는 방법에는 여러 가지가 있으며, 그 중 가장 유명한 방법은 다음과 같습니다.

• 제수의 순차 검색, 한 쌍의 공통 제수 선택 및 가장 큰 제수 검색;
• 숫자를 분할할 수 없는 요소로 분해;
• 유클리드 알고리즘;
• 바이너리 알고리즘.

오늘 교육 기관가장 널리 사용되는 방법은 소인수분해 방법과 유클리드 알고리즘입니다. 후자는 디오판토스 방정식을 풀 때 사용됩니다. 방정식에서 정수 분해 가능성을 확인하려면 GCD를 검색해야 합니다.

NOC 찾기

최소 공배수는 순차 검색이나 분할할 수 없는 요소로의 분해를 통해 결정됩니다. 또한, 최대약수가 이미 결정되어 있으면 LCM을 쉽게 찾을 수 있습니다. 숫자 X와 Y의 경우 LCM과 GCD는 다음 관계로 관련됩니다.

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

예를 들어 GCM(15,18) = 3이면 LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90입니다. LCM을 사용하는 가장 확실한 예는 최소 공배수인 공통 분모를 찾는 것입니다. 주어진 분수.

서로소수

한 쌍의 숫자에 공약수가 없으면 이러한 쌍을 서로소(coprime)라고 합니다. 이러한 쌍의 gcd는 항상 1과 같고, 제수와 배수 사이의 연결을 기반으로 서로소 쌍의 gcd는 해당 곱과 같습니다. 예를 들어 숫자 25와 28은 공약수가 없고 곱에 해당하는 LCM(25, 28) = 700이므로 상대적으로 소수입니다. 나눌 수 없는 두 숫자는 항상 상대적으로 소수입니다.

공약수 및 다중 계산기

계산기를 사용하면 선택할 수 있는 임의의 수에 대한 GCD 및 LCM을 계산할 수 있습니다. 공약수와 배수를 계산하는 작업은 5학년 및 6학년 산술에서 찾을 수 있지만, GCD와 LCM은 수학의 핵심 개념이며 정수론, 면적 측정 및 의사소통 대수학에 사용됩니다.

실제 사례

분수의 공통분모

최소공배수는 여러 분수의 공통분모를 찾을 때 사용됩니다. 산술 문제에서 5개의 분수를 더해야 한다고 가정해 보겠습니다.

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

분수를 더하려면 표현식을 공통 분모로 줄여야 하며, 이는 LCM을 찾는 문제로 줄어듭니다. 이렇게 하려면 계산기에서 5개의 숫자를 선택하고 해당 셀에 분모 값을 입력합니다. 프로그램은 LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360을 계산합니다. 이제 분모에 대한 LCM의 비율로 정의되는 각 분수에 대한 추가 요소를 계산해야 합니다. 따라서 추가 승수는 다음과 같습니다.

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

그런 다음 모든 분수에 해당 추가 요소를 곱하여 다음을 얻습니다.

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

이러한 분수를 쉽게 합산하여 159/360이라는 결과를 얻을 수 있습니다. 분수를 3으로 줄이면 최종 답인 53/120을 볼 수 있습니다.

선형 디오판토스 방정식 풀기

선형 디오판토스 방정식은 ax + by = d 형식의 표현식입니다. d / gcd(a, b) 비율이 정수이면 방정식은 정수로 풀 수 있습니다. 정수 해가 있는지 알아보기 위해 몇 가지 방정식을 확인해 보겠습니다. 먼저 방정식 150x + 8y = 37을 확인해 보겠습니다. 계산기를 사용하여 GCD(150.8) = 2를 찾습니다. 37/2 = 18.5로 나눕니다. 숫자는 정수가 아니므로 방정식에는 정수근이 없습니다.

방정식 1320x + 1760y = 10120을 확인해 보겠습니다. 계산기를 사용하여 GCD(1320, 1760) = 440을 찾습니다. 10120/440 = 23으로 나눕니다. 결과적으로 정수를 얻으므로 디오판토스 방정식은 정수 계수로 풀 수 있습니다. .

결론

GCD와 LCM은 정수론에서 큰 역할을 하며 개념 자체는 다양한 수학 분야에서 널리 사용됩니다. 계산기를 사용하여 계산하세요. 최대 약수그리고 임의의 숫자의 최소 배수.

수학적 표현과 문제에는 많은 추가 지식이 필요합니다. NOC는 특히 다음과 같은 주요 항목 중 하나입니다. 이 주제는 고등학교에서 공부하며 자료를 이해하는 것이 특별히 어렵지 않습니다. 거듭제곱과 구구단에 익숙한 사람은 필요한 숫자를 식별하고 찾는 데 어려움이 없을 것입니다. 결과.

정의

공배수는 동시에 두 수(a와 b)로 완전히 나누어질 수 있는 수입니다. 대부분의 경우 이 숫자는 원래 숫자 a와 b를 곱하여 얻습니다. 숫자는 편차 없이 동시에 두 숫자로 나누어져야 합니다.

NOC는 허용되는 명칭입니다. 짧은 이름, 첫 글자에서 수집되었습니다.

번호를 얻는 방법

숫자를 곱하는 방법은 LCM을 찾는 데 항상 적합한 것은 아니며 단순한 한 자리 또는 두 자리 숫자에 훨씬 더 적합합니다. 요인으로 나누는 것이 관례이며, 숫자가 클수록 더 많은 요인이 존재하게 됩니다.

예 1

가장 간단한 예를 들어, 학교에서는 일반적으로 소수, 한 자리 또는 두 자리 숫자를 사용합니다. 예를 들어, 다음 작업을 해결해야 하며 숫자 7과 3의 최소 공배수를 찾아야 합니다. 해결책은 매우 간단합니다. 그냥 곱하면 됩니다. 결과적으로 숫자 21이 있고 더 작은 숫자는 없습니다.

예 2

작업의 두 번째 버전은 훨씬 더 어렵습니다. 숫자 300과 1260이 제공되며 LOC를 찾는 것은 필수입니다. 문제를 해결하기 위해 다음 조치가 가정됩니다.

첫 번째와 두 번째 숫자를 단순 인수로 분해합니다. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7. 첫 번째 단계가 완료되었습니다.

두 번째 단계에서는 이미 얻은 데이터를 사용하여 작업합니다. 수신된 각 숫자는 최종 결과 계산에 참여해야 합니다. 각 승수에 대해 가장 큰 숫자발생. LCM은 일반 숫자이므로 숫자의 인수는 하나의 복사본에 존재하는 경우에도 모든 단일 요소에서 반복되어야 합니다. 두 초기 숫자 모두 서로 다른 거듭제곱의 숫자 2, 3, 5를 포함합니다. 7은 한 가지 경우에만 존재합니다.

최종 결과를 계산하려면 방정식에 표시된 거듭제곱 중 가장 큰 숫자를 가져와야 합니다. 남은 것은 곱셈을 해서 답을 얻는 것뿐이다. 올바른 충전이 작업은 설명 없이 두 단계로 구성됩니다.

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOC = 6300.

이것이 전체 문제입니다. 필요한 숫자를 곱셈으로 계산하려고 하면 300 * 1260 = 378,000이므로 답이 정확하지 않을 것입니다.

시험:

6300 / 300 = 21 - 정확함;

6300 / 1260 = 5 - 맞습니다.

얻은 결과의 정확성은 LCM을 두 초기 숫자로 나누어 확인하여 결정됩니다. 두 경우 모두 숫자가 정수이면 답이 정확합니다.

NOC는 수학에서 무엇을 의미하나요?

아시다시피 수학에는 쓸모없는 함수가 하나도 없습니다. 이것도 예외는 아닙니다. 이 숫자의 가장 일반적인 목적은 분수를 공통 분모로 줄이는 것입니다. 5~6학년 때 주로 공부하는 내용 고등학교. 또한 문제에 그러한 조건이 존재하는 경우 모든 배수에 대한 공약수이기도 합니다. 이러한 표현식은 두 숫자의 배수뿐만 아니라 여러 숫자의 배수도 찾을 수 있습니다. 더- 3, 5 등등. 숫자가 많을수록 작업에 더 많은 작업이 수행되지만 복잡성은 증가하지 않습니다.

예를 들어 숫자 250, 600 및 1500이 주어지면 공통 LCM을 찾아야 합니다.

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 *5 * 2 = 5 3 * 2 - 이 예에서는 축소 없이 인수분해를 자세히 설명합니다.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

표현식을 작성하려면 모든 요소를 ​​언급해야 합니다. 이 경우 2, 5, 3이 제공됩니다. 이 모든 숫자에 대해 최대 차수를 결정해야 합니다.

주의: 모든 요소는 가능하면 한 자릿수 수준으로 분해되어 완전히 단순화되어야 합니다.

시험:

1) 3000 / 250 = 12 - 정확함;

2) 3000 / 600 = 5 - 사실;

3) 3000 / 1500 = 2 - 맞습니다.

이 방법에는 어떤 트릭이나 천재 수준의 능력이 필요하지 않으며 모든 것이 간단하고 명확합니다.

또 다른 방법

수학에서는 많은 것들이 연결되어 있고, 많은 것들이 두 가지 이상의 방법으로 풀 수 있습니다. 최소 공배수인 LCM을 찾는 경우에도 마찬가지입니다. 단순 두 자리 숫자의 경우 다음 방법을 사용할 수 있습니다. 한 자리 숫자. 피승수는 세로로, 승수는 가로로 입력되고 곱은 열의 교차 셀에 표시되는 테이블이 작성됩니다. 선을 사용하여 테이블을 반영하고 숫자를 가져와 이 숫자에 1에서 무한대까지 정수를 곱한 결과를 기록할 수 있습니다. 때로는 3-5 포인트이면 충분하며 두 번째 및 후속 숫자는 동일한 계산 과정을 거칩니다. 공배수를 찾을 때까지 모든 일이 발생합니다.

숫자 30, 35, 42가 주어지면 모든 숫자를 연결하는 LCM을 찾아야 합니다.

1) 30의 배수: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 등

2) 35의 배수: 70, 105, 140, 175, 210, 245 등

3) 42의 배수: 84, 126, 168, 210, 252 등

눈에 띄는 것은 모든 숫자가 상당히 다르다는 것입니다. 그 중 유일한 공통 숫자는 210이므로 NOC가 됩니다. 이 계산에 포함된 프로세스 중에는 유사한 원리에 따라 계산되고 인접한 문제에서 자주 발생하는 최대 공약수도 있습니다. 차이는 작지만 매우 중요합니다. LCM은 주어진 모든 초기 값으로 나눈 숫자를 계산하는 작업이고, GCD는 원래 숫자를 나눈 가장 큰 값을 계산하는 작업입니다.

두 번째 숫자: 비=

천 단위 구분 기호공백 구분 기호 없음 "'

결과:

최대공약수 gcd( ㅏ,비)=6

LCM( ㅏ,비)=468

a와 b로 나머지 없이 나누어질 수 있는 가장 큰 자연수를 라 한다. 최대 공약수(GCD)를 의미합니다. gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) 또는 hcf(a,b)로 표시됩니다.

최소 공배수두 정수 a와 b의 최소공배수는 나머지 없이 a와 b로 나누어지는 가장 작은 자연수입니다. LCM(a,b) 또는 lcm(a,b)로 표시됩니다.

정수 a와 b가 호출됩니다. 상호소수, +1과 −1 외에 공약수가 없는 경우.

최대 공약수

양수 두 개를 주어보자 ㅏ 1과 ㅏ 2 1). 이 숫자의 공약수를 찾아야 합니다. 즉, 그런 번호를 찾아보세요 λ , 숫자를 나누는 ㅏ 1과 ㅏ 2 동시에. 알고리즘을 설명해보자.

1) 이 글에서는 숫자라는 단어를 정수로 이해하겠습니다.

허락하다 ㅏ 1 ≥ ㅏ 2 그리고 하자

어디 중 1 , ㅏ 3은 정수이고, ㅏ 3 <ㅏ 2 (나누기의 나머지 ㅏ 1개당 ㅏ 2개는 적어야지 ㅏ 2).

그런 척하자 λ 나누다 ㅏ 1과 ㅏ 2 그럼 λ 나누다 중 1 ㅏ 2 및 λ 나누다 ㅏ 1 −중 1 ㅏ 2 =ㅏ 3 (“숫자의 분할성. 분할성 테스트”기사의 진술 2). 모든 공약수는 다음과 같습니다. ㅏ 1과 ㅏ 2는 공약수입니다. ㅏ 2 및 ㅏ삼. 다음과 같은 경우에도 그 반대가 성립합니다. λ 공약수 ㅏ 2 및 ㅏ 3 그럼 중 1 ㅏ 2 및 ㅏ 1 =중 1 ㅏ 2 +ㅏ 3은 다음과 같이 나눌 수도 있습니다. λ . 그러므로 공약수 ㅏ 2 및 ㅏ 3은 또한 공약수이기도 하다. ㅏ 1과 ㅏ 2. 왜냐하면 ㅏ 3 <ㅏ 2 ≤ㅏ 1, 그렇다면 숫자의 공약수를 찾는 문제에 대한 해결책은 다음과 같습니다. ㅏ 1과 ㅏ 2는 숫자의 공약수를 찾는 더 간단한 문제로 축소되었습니다. ㅏ 2 및 ㅏ 3 .

만약에 ㅏ 3 ≠0이면 나눌 수 있습니다 ㅏ 2에 ㅏ삼. 그 다음에

,

어디 중 1과 ㅏ 4는 정수입니다. ( ㅏ 4 나눗셈의 나머지 ㅏ 2에 ㅏ 3 (ㅏ 4 <ㅏ삼)). 유사한 추론을 통해 우리는 숫자의 공약수라는 결론에 도달합니다. ㅏ 3 및 ㅏ 4는 숫자의 공약수와 일치합니다. ㅏ 2 및 ㅏ 3, 그리고 또한 공약수와 함께 ㅏ 1과 ㅏ 2. 왜냐하면 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ㅏ 4, ...은 지속적으로 감소하는 숫자이며, 사이에는 유한한 수의 정수가 있으므로 ㅏ 2와 0, 그리고 어떤 단계에서 N, 나눗셈의 나머지 부분 ㅏ안 돼 ㅏ n+1은 0과 같습니다( ㅏ n+2 =0).

.

모든 공약수 λ 숫자 ㅏ 1과 ㅏ 2는 또한 숫자의 제수이기도 합니다. ㅏ 2 및 ㅏ 3 , ㅏ 3 및 ㅏ 4 , .... ㅏ n과 ㅏ n+1 . 그 반대도 성립합니다. 숫자의 공약수 ㅏ n과 ㅏ n+1은 숫자의 약수이기도 합니다. ㅏ n-1 및 ㅏ N , .... , ㅏ 2 및 ㅏ 3 , ㅏ 1과 ㅏ 2. 하지만 숫자의 공약수는 ㅏ n과 ㅏ n+1은 숫자입니다 ㅏ n+1 왜냐하면 ㅏ n과 ㅏ n+1은 다음으로 나누어집니다. ㅏ n+1(기억하세요 ㅏ n+2 =0). 따라서 ㅏ n+1은 또한 숫자의 제수이기도 합니다. ㅏ 1과 ㅏ 2 .

번호는 참고하세요 ㅏ n+1은 숫자의 최대 약수입니다. ㅏ n과 ㅏ n+1 , 최대 약수 이후 ㅏ n+1은 그 자체이다 ㅏ n+1 . 만약에 ㅏ n+1은 정수의 곱으로 표현될 수 있으며, 이 숫자는 숫자의 공약수도 됩니다. ㅏ 1과 ㅏ 2. 숫자 ㅏ n+1이 호출됩니다. 최대 공약수숫자 ㅏ 1과 ㅏ 2 .

숫자 ㅏ 1과 ㅏ 2는 양수 또는 음수일 수 있습니다. 숫자 중 하나가 0이면 이 숫자의 최대 공약수는 다른 숫자의 절대값과 같습니다. 0의 최대공약수는 정의되지 않습니다.

위의 알고리즘은 다음과 같습니다. 유클리드 알고리즘두 정수의 최대 공약수를 구합니다.

두 숫자의 최대 공약수를 찾는 예

두 숫자 630과 434의 최대 공약수를 구합니다.

• 1단계. 숫자 630을 434로 나눕니다. 나머지는 196입니다.
• 2단계. 숫자 434를 196으로 나눕니다. 나머지는 42입니다.
• 3단계. 숫자 196을 42로 나눕니다. 나머지는 28입니다.
• 4단계. 숫자 42를 28로 나눕니다. 나머지는 14입니다.
• 5단계. 숫자 28을 14로 나눕니다. 나머지는 0입니다.

5단계에서 나눗셈의 나머지는 0입니다. 따라서 숫자 630과 434의 최대 공약수는 14입니다. 숫자 2와 7은 숫자 630과 434의 약수이기도 합니다.

서로소수

정의 1. 숫자의 최대 공약수를 보자 ㅏ 1과 ㅏ 2는 1과 같습니다. 그런 다음 이 숫자를 호출합니다. 서로소수, 공약수가 없습니다.

정리 1. 만약에 ㅏ 1과 ㅏ 2개의 서로소수, 그리고 λ 어떤 숫자, 숫자의 공약수 λa 1과 ㅏ 2는 또한 숫자의 공약수이기도 합니다. λ 그리고 ㅏ 2 .

증거. 숫자의 최대 공약수를 찾기 위한 유클리드 알고리즘을 고려해보세요. ㅏ 1과 ㅏ 2(위 참조).

.

정리의 조건에 따르면 숫자의 최대 공약수는 다음과 같습니다. ㅏ 1과 ㅏ 2 그러므로 ㅏ n과 ㅏ n+1은 1입니다. 즉 ㅏ n+1 =1.

이 모든 평등을 곱해 봅시다 λ , 그 다음에

.

공약수를 보자 ㅏ 1 λ 그리고 ㅏ 2 예 δ . 그 다음에 δ 에 승수로 포함됩니다. ㅏ 1 λ , 중 1 ㅏ 2 λ 그리고 ㅏ 1 λ -중 1 ㅏ 2 λ =ㅏ 3 λ ("숫자의 분할 가능성", 설명 2 참조). 더 나아가 δ 에 승수로 포함됩니다. ㅏ 2 λ 그리고 중 2 ㅏ 3 λ , 따라서 다음의 요인이 됩니다. ㅏ 2 λ -중 2 ㅏ 3 λ =ㅏ 4 λ .

이런 식으로 추론하면 우리는 다음과 같이 확신합니다. δ 에 승수로 포함됩니다. ㅏ n−1 λ 그리고 중 n−1 ㅏ N λ , 따라서 ㅏ n−1 λ −중 n−1 ㅏ N λ =ㅏ n+1 λ . 왜냐하면 ㅏ n+1 =1, 그러면 δ 에 승수로 포함됩니다. λ . 그러므로 숫자 δ 는 숫자의 공약수입니다 λ 그리고 ㅏ 2 .

정리 1의 특별한 경우를 고려해 보자.

결과 1. 허락하다 ㅏ그리고 씨소수는 상대적으로 비. 그렇다면 그들의 제품 교류는 소수이다 비.

정말. 정리 1에서 교류그리고 비와 같은 공약수를 가집니다. 씨그리고 비. 하지만 숫자는 씨그리고 비비교적 간단합니다. 하나의 공통 약수가 있습니다 1. 그런 다음 교류그리고 비또한 하나의 공통 약수 1을 가집니다. 따라서 교류그리고 비상호 간단합니다.

결과 2. 허락하다 ㅏ그리고 비코프라임 수와 하자 비나누다 아크. 그 다음에 비나누고 케이.

정말. 승인조건부터 아크그리고 비공약수가 있다 비. 정리 1에 의해, 비공약수여야 합니다 비그리고 케이. 따라서 비나누다 케이.

결론 1은 일반화될 수 있습니다.

결과 3. 1. 숫자를 보자 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ..., ㅏ m은 숫자에 비해 소수입니다. 비. 그 다음에 ㅏ 1 ㅏ 2 , ㅏ 1 ㅏ 2 · ㅏ 3 , ..., ㅏ 1 ㅏ 2 ㅏ삼 ··· ㅏ m, 이 숫자들의 곱은 숫자에 상대적인 소수입니다 비.

2. 두 줄의 숫자가 있다고 가정해 보겠습니다.

첫 번째 계열의 모든 숫자는 두 번째 계열의 모든 숫자의 비율에서 소수입니다. 그러면 그 제품

각 숫자로 나누어지는 숫자를 찾아야 합니다.

숫자가 다음으로 나누어지는 경우 ㅏ 1, 그러면 다음과 같은 형태가 됩니다. 사 1 곳 에스어떤 숫자. 만약에 큐숫자의 최대공약수이다 ㅏ 1과 ㅏ 2, 그럼

어디 에스 1은 정수입니다. 그 다음에

~이다 최소 공배수 ㅏ 1과 ㅏ 2 .

ㅏ 1과 ㅏ 2는 상대적으로 소수이고, 그 다음 숫자의 최소 공배수입니다. ㅏ 1과 ㅏ 2:

우리는 이 숫자들의 최소공배수를 찾아야 합니다.

위에서부터 숫자의 배수는 다음과 같습니다. ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3은 숫자의 배수여야 합니다. ε 그리고 ㅏ 3 그리고 뒤로. 숫자의 최소 공배수를 보자 ε 그리고 ㅏ 3 예 ε 1 . 다음은 숫자의 배수 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 , ㅏ 4는 숫자의 배수여야 합니다. ε 1과 ㅏ 4 . 숫자의 최소 공배수를 보자 ε 1과 ㅏ 4 예 ε 2. 따라서 우리는 모든 숫자의 배수가 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m은 특정 숫자의 배수와 일치합니다. ε n을 주어진 수의 최소공배수라고 합니다.

특별한 경우에는 숫자 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m은 상대적으로 소수이고, 숫자의 최소 공배수입니다. ㅏ 1 , ㅏ 2는 위와 같이 (3)의 형태를 갖는다. 다음부터는 ㅏ숫자와 관련하여 3개의 소수 ㅏ 1 , ㅏ 2 그럼 ㅏ 3 소수 ㅏ 1 · ㅏ 2(결과 1). 숫자의 최소공배수를 의미합니다. ㅏ 1 ,ㅏ 2 ,ㅏ 3은 숫자입니다 ㅏ 1 · ㅏ 2 · ㅏ삼. 비슷한 방식으로 추론하면 다음과 같은 진술에 도달합니다.

성명 1. 서로소의 최소공배수 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m은 그들의 곱과 같다 ㅏ 1 · ㅏ 2 · ㅏ삼 ··· ㅏ중.

성명 2. 각 서로소수로 나누어지는 임의의 수 ㅏ 1 , ㅏ 2 , ㅏ 3 ,...,ㅏ m은 또한 그들의 곱으로 나눌 수 있습니다 ㅏ 1 · ㅏ 2 · ㅏ삼 ··· ㅏ중.