Exponenciális és logaritmikus függvények deriváltjainak bemutatása. Exponenciális és logaritmikus függvények származéka

Tekintsük az y = a x exponenciális függvényt, ahol a > 1. Készítsünk gráfokat különböző a bázisokhoz: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. lehetőség) 3. y = 10 x (2. lehetőség) 1. Készítsünk gráfokat különböző a bázisokhoz: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. lehetőség) 3. y = 10 x (2. lehetőség)"> 1. Építsünk gráfokat különböző a bázisokhoz: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. lehetőség) 3. y = 10 x (2. lehetőség)"> 1. Készítsünk gráfokat különböző alapokhoz: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. lehetőség) ) 3 . y = 10 x (2. lehetőség)" title=" Tekintsük az y = a x exponenciális függvényt, ahol a > 1. Készítsünk gráfokat különböző a bázisokhoz: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. lehetőség) 3. y = 10 x (2. lehetőség)"> title="Tekintsük az y = a x exponenciális függvényt, ahol a > 1. Készítsünk gráfokat különböző a bázisokhoz: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. lehetőség) 3. y = 10 x (2. lehetőség)"> !}

A grafikonok érintőinek pontos szerkesztésével észrevehető, hogy ha az y = a x exponenciális függvény a bázisa fokozatosan növeli az alapot 2-ről 10-re, akkor a függvény grafikonjának érintője az x = pontban bezárja a szöget. 0 és az abszcissza fokozatosan növekszik 35-ről 66-ra, 5-re. Ezért van egy a bázis, amelyre a megfelelő szög 45. Ez a értéke pedig 2 és 3 között van, mert a = 2 esetén a szög 35, a = 3 esetén 48. A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy ez az alap létezik, általában e betűvel jelöljük. e irracionális szám, azaz végtelen nem periodikus tizedes törtet jelöl: e = 2, ... ; A gyakorlatban általában azt feltételezik, hogy e értéke 2,7.

Az y = e x függvény grafikonja és tulajdonságai: 1) D (f) = (- ; +); 2) se nem páros, se nem páratlan; 3) növekszik; 4) felülről nem korlátozott, alulról korlátozott 5) nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel; 6) folyamatos; 7) E(f) = (0; +); 8) domború lefelé; 9) differenciálható. Az y = e x függvényt kitevőnek nevezzük.

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy az y = e x függvénynek bármely x pontjában van deriváltja: (e x) = e x (e 5x)" = 5e 5x (e -4x+1)" = -4e -4x- 1 (e x -3)" = e x-3

3) -2 x) x = -2 – maximum pont x = 0 – minimum pont Válasz:

Az y = ln x függvény tulajdonságai: 1) D (f) = (0; +); 2) se nem páros, se nem páratlan; 3) növekszik (0; +); 4) nem korlátozott; 5) nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel; 6) folyamatos; 7) E(f) = (-; +); 8) domború felső; 9) differenciálható. Az y = ln x függvény grafikonja és tulajdonságai

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy bármely x>0 értékre érvényes a differenciálási képlet 0 érvényes a differenciálási képlet"> 0 érvényes a differenciálási képlet"> 0 érvényes a differenciálási képlet" title="A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy bármely x>0 értékre a differenciálási képlet érvényes"> title="A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy bármely x>0 értékre érvényes a differenciálási képlet"> !} Internetes források: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html

Algebra és a matematikai elemzés kezdete

Exponenciális és logaritmikus függvények megkülönböztetése

Összeállította:

matematika tanár, Városi Oktatási Intézmény 203. számú KhEC

Novoszibirszk város

Vidutova T.V.

Szám e. Funkció y = e x, tulajdonságai, grafikonja, differenciálása

1. Készítsünk grafikonokat különböző alapokhoz: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2. lehetőség) (1. lehetőség) " width="640"

Tekintsük az exponenciális függvényt y = a x, ahol a értéke 1.

Különféle alapokra építünk A grafika:

1. y=2 x

3. y=10 x

2. y=3 x

(2. lehetőség)

(1 lehetőség)

1) Minden gráf átmegy a (0; 1) ponton;

2) Minden grafikonnak van vízszintes aszimptotája y = 0

nál nél x  ∞;

3) Mindegyik domborúan lefelé néz;

4) Mindegyiknek van érintője minden pontján.

Rajzoljunk egy érintőt a függvény grafikonjára y=2 x azon a ponton x= 0 és mérjük meg az érintő által a tengellyel bezárt szöget x

A grafikonok érintőinek pontos konstrukcióit használva észrevehető, hogy ha az alap A exponenciális függvény y = a x az alap fokozatosan növekszik 2-ről 10-re, majd a pontban a függvény grafikonjának érintője közötti szög x= 0, és az x tengely fokozatosan növekszik 35'-ről 66,5'-re.

Ezért van oka A, amelyre a megfelelő szög 45’. És ez a jelentése A 2. és 3. között kötődik, mert nál nél A= 2 a szög 35’, azzal A= 3 egyenlő 48’-al.

A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy ez az alap létezik, általában betűvel jelöljük e.

Elhatározta, hogy e – irracionális szám, azaz végtelen, nem periodikus tizedes törtet jelöl:

e = 2,7182818284590… ;

A gyakorlatban általában azt feltételezik e ≈ 2,7.

Függvénygráf és tulajdonságok y = e x :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) növekszik;

4) felülről nem korlátozva, alulról korlátozott

5) nincs sem a legnagyobb, sem a legkisebb

értékek;

6) folyamatos;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) domború lefelé;

9) differenciálható.

Funkció y = e x hívott kitevő .

A matematikai elemzés során bebizonyosodott, hogy a függvény y = e x bármely ponton származéka van x :

(pl x ) = e x

(pl 5x )" = 5e 5x

(pl x-3 )" = e x-3

(pl -4x+1 )" = -4е -4x-1

1. példa . Rajzolja meg a függvény grafikonjának érintőjét az x=1 pontban.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = pl

Válasz:

2. példa .

x = 3.

3. példa .

Vizsgálja meg az extrémum függvényt

x=0 és x=-2

x= -2 – maximum pont

x= 0 – minimum pont

Ha egy logaritmus alapja egy szám e, akkor azt mondják, hogy adott természetes logaritmus . A természetes logaritmusokhoz speciális jelölést vezettek be ln (l – logaritmus, n – természetes).

Az y = ln x függvény grafikonja és tulajdonságai

Az y = függvény tulajdonságai lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) se nem páros, se nem páratlan;

3) növekszik (0; + ∞);

4) nem korlátozott;

5) nem rendelkezik sem a legnagyobb, sem a legkisebb értékkel;

6) folyamatos;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) domború felső;

9) differenciálható.

0 a "width="640" differenciálási képlet érvényes

A matematikai elemzés során bebizonyosodik, hogy bármely értékre x0 a differenciálási képlet érvényes

4. példa:

Számítsa ki egy függvény deriváltját egy pontban! x = -1.

Például:

Internetes források:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Exponenciális és logaritmikus függvények származéka lecke a 11. osztályban "B"
tanár Kopova O.V.

Számítsa ki a származékot

orálisan
1.
2.
3.
3x2 2x5
e
2x
3e x
4.
ln x 3
5.
34 x
6.
5 x 2 sin x ln 5 x
írásban
x
1
y log 5 x 4
7
y x 2 log 1 3 x 1
2
3 1
y ln 2 x
x

x
Adott az y 2 x e függvény. Keresse meg a sarkot
húzott érintő együtthatója
pont x0 0 abszcisszával.
Írj egy egyenletet az érintőre
az f x x 5 ln x függvény grafikonja a c pontban
abszcissza x0 1 .

B8. feladat (8319. sz.)

az 5. intervallumon definiálva; 10 . Keresse meg a hézagokat
funkció növelése. Válaszában adja meg a leghosszabb hosszát!
tőlük.

B8. feladat (9031. sz.)
Az ábra a függvény deriváltjának grafikonját mutatja,
a 11. intervallumon van meghatározva; 2. Találj egy pontot
a függvény szélső értéke a 10 szegmensen; 5.

B8. feladat (8795. sz.)
Az ábra a függvény deriváltjának grafikonját mutatja,
a 9. intervallumon definiálva; 2. Keresse meg a mennyiséget
pontok, ahol a függvény grafikonjának érintője
párhuzamos vagy egybeesik az y x 12 egyenessel.

Prototípus feladat B14

Határozzuk meg az y 4x 4 ln x 7 6 függvény minimális pontját!
7 6 x 2
Keresse meg a függvény legnagyobb értékét!
y 3
Keresse meg a függvény legkisebb értékét
y e 2 x 6e x 3
az 1. szegmensen; 2.