Szögek mérése. Trigonometrikus kör

Az alfa a valós számot jelenti. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha a természetes számok végtelen halmazát vesszük példának, akkor a vizsgált példák a következő formában ábrázolhatók:

Annak érdekében, hogy egyértelműen bebizonyítsák, igazuk volt, a matematikusok sok különböző módszert dolgoztak ki. Személy szerint én úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a tamburákkal táncoló sámánokra. Lényegében mindegyik abból adódik, hogy vagy a szobák egy része üresen áll, és új vendégek költöznek be, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott nézetemet a Szőkéről szóló fantáziatörténet formájában mutattam be. Mire épül az érvelésem? A végtelen számú látogató áthelyezése végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután az első szobát felszabadítottuk egy vendég számára, az idők végezetéig az egyik látogató mindig végigmegy a folyosón a szobájából a másikba. Persze az időtényezőt hülyén figyelmen kívül lehet hagyni, de ez a „nem bolondoknak írt törvény” kategóriába tartozik. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a „végtelen szálloda”? A végtelen szálloda olyan szálloda, amelyben mindig van bármennyi üres ágy, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen "látogató" folyosón minden szoba foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó "vendég" szobákkal. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Sőt, a „végtelen szállodának” végtelen sok emelete van végtelen számú épületben, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok nem képesek elhatárolódni a banális hétköznapi problémáktól: mindig csak egy Isten-Allah-Buddha van, csak egy szálloda, csak egy folyosó. A matematikusok tehát próbálnak zsonglőrködni a szállodai szobák sorszámával, meggyőzve minket arról, hogy lehetséges „beleütni a lehetetlent”.

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet van - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen a számokat mi magunk találtuk ki, a számok nem léteznek a természetben. Igen, a természet remekül tud számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Máskor elmondom, mit gondol a természet. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz van. Vegyük fontolóra mindkét lehetőséget, ahogy az igazi tudósokhoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever a polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs hova vinni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. Mi van, ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egyet és visszatehetjük a polcra. Utána levehetünk egyet a polcról, és hozzátehetjük a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

A műveleteket algebrai jelöléssel és halmazelméleti jelöléssel írtam le, a halmaz elemeinek részletes felsorolásával. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle egyet, és hozzáadjuk ugyanazt az egységet.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz található a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Vegyünk egy ilyen készletet. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Ezt kapjuk:

Az "egy" és a "kettő" alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha egy végtelen halmazhoz adunk egyet, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazhoz hozzáadunk egy másik végtelen halmazt, az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A természetes számok halmazát ugyanúgy használjuk a számoláshoz, mint a vonalzót a méréshez. Most képzelje el, hogy hozzáadott egy centimétert a vonalzóhoz. Ez egy másik sor lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákkal találkozik, gondolja át, vajon a matematikusok generációi által kitaposott hamis érvelés útján jár-e. Hiszen a matematika tanulása mindenekelőtt stabil gondolkodási sztereotípiát alakít ki bennünk, és csak azután erősíti szellemi képességeinket (vagy éppen ellenkezőleg, megfoszt bennünket a szabadgondolkodástól).

2019. augusztus 4., vasárnap

Éppen befejeztem egy cikk utószavát, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: "... Babilon matematikájának gazdag elméleti alapja nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték a közös rendszert és bizonyítékbázist."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Nehéz nekünk ugyanabban a kontextusban szemlélni a modern matematikát? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus jellegű, és különböző szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékokat.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – nyelve és konvenciói különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész sorát szeretném szentelni a modern matematika legnyilvánvalóbb hibáinak. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3., szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeiben jelen van. Nézzünk egy példát.

Legyen nekünk bőven A négy emberből áll. Ez a halmaz az „emberek” alapján van kialakítva. Jelöljük ennek a halmaznak az elemeit betűvel A, a számmal ellátott alsó index minden egyes személy sorozatszámát jelzi ebben a készletben. Vezessünk be egy új mértékegységet a „nem”, és jelöljük betűvel b. Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk A nem alapján b. Figyeljük meg, hogy a mi „embereink” csoportja mára „nembeli jellemzőkkel rendelkező emberek” halmazává vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiakra bmés női bw szexuális jellemzők. Most alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: kiválasztunk egyet ezek közül a szexuális jellemzők közül, függetlenül attól, hogy melyik - férfi vagy nő. Ha valakinek megvan, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen előjel, akkor nullával. És akkor a szokásos iskolai matematikát használjuk. Nézd, mi történt.

Szorzás, kicsinyítés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfiak részhalmazát Bmés a nők egy részhalmaza Bw. A matematikusok megközelítőleg ugyanígy érvelnek, amikor a halmazelméletet alkalmazzák a gyakorlatban. De nem a részleteket árulják el, hanem a végeredményt – „sok ember a férfiak egy részéből és a nők egy részéből áll.” Természetesen felmerülhet a kérdés: mennyire helyesen alkalmazták a matematikát a fent vázolt transzformációkban? Biztosíthatom Önöket, hogy az átalakítások lényegében helyesen történtek, elég, ha ismerjük az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb ágainak matematikai alapjait. Ami? Máskor mesélek erről.

Ami a szuperhalmazokat illeti, két halmazt összevonhat egy szuperszettbe, ha kiválasztja a két halmaz elemeiben található mértékegységet.

Mint látható, a mértékegységek és a közönséges matematika a halmazelméletet a múlt emlékévé teszi. Annak a jele, hogy nincs minden rendben a halmazelmélettel, az, hogy a matematikusok saját nyelvezetet és jelölést találtak ki a halmazelmélethez. A matematikusok úgy viselkedtek, mint egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Megtanítják nekünk ezt a „tudást”.

Befejezésül szeretném megmutatni, hogyan manipulálják a matematikusok .

2019. január 7., hétfő

A Kr.e. ötödik században az ókori görög filozófus, Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az „Achilles és a teknős” apóriája. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint a teknősbéka, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést fut, a teknősbéka újabb tíz lépést kúszik, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem éri utol a teknősbékát.

Ez az érvelés logikus megrázkódtatássá vált minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien így vagy úgy tekintették Zénón apóriáját. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták a mai napig folynak, a tudományos közösség még nem tudott közös véleményre jutni a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a problémára..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, miből áll a megtévesztés.

Matematikai szempontból Zénó aporiájában egyértelműen bemutatta a mennyiségből a -ba való átmenetet. Ez az átmenet állandó helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátust vagy még nem fejlesztették ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. Mi a gondolkodás tehetetlensége miatt állandó időegységeket alkalmazunk a reciprok értékre. Fizikai szempontból ez úgy tűnik, mintha az idő lelassulna, amíg teljesen meg nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz utoléri a teknőst. Ha megáll az idő, Akhilleusz többé nem tudja lehagyni a teknősbékát.

Ha megfordítjuk a megszokott logikánkat, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a „végtelen” fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy „Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst”.

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységben, és ne váltson át reciprok mértékegységekre. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Amíg Akhilleusz ezer lépést fut, addig a teknősbéka száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Az elsővel megegyező következő időintervallumban Akhilleusz újabb ezer lépést fut, a teknősbéka pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel megelőzi a teknősbékát.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség ellenállhatatlanságáról nagyon hasonlít Zénón „Achilles és a teknős” című apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem végtelenül nagy számokban, hanem mértékegységekben kell keresni.

Zénó másik érdekes apóriája egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban egy repülő nyíl nyugalomban van a tér különböző pontjain, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autóról készült fényképből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Annak megállapításához, hogy egy autó mozog-e, két fényképre van szüksége, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de nem tudja meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két fényképre van szükség, amelyek a tér különböző pontjairól készültek egy időben, de ezekből nem lehet meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít ). Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más kutatási lehetőséget biztosítanak.

2018. július 4., szerda

Már elmondtam, hogy a sámánok segítségével próbálják rendezni a "" valóságot. Hogyan csinálják ezt? Hogyan történik valójában a halmaz kialakulása?

Nézzük meg közelebbről a halmaz definícióját: „különböző elemek gyűjteménye, egyetlen egészként felfogva”. Most érezze a különbséget két kifejezés között: „elképzelhető egészként” és „elképzelhető egészként”. Az első mondat a végeredmény, a halmaz. A második mondat a sokaság kialakulásának előzetes előkészítése. Ebben a szakaszban a valóság egyedi elemekre oszlik (az „egész”), amelyekből aztán sokaság alakul ki (az „egyetlen egész”). Ugyanakkor gondosan figyelemmel kísérik azt a tényezőt, amely lehetővé teszi az „egész” „egyetlen egésszé” kombinálását, különben a sámánok nem járnak sikerrel. Hiszen a sámánok előre pontosan tudják, milyen készletet akarnak megmutatni nekünk.

Egy példával mutatom be a folyamatot. Kiválasztjuk a „vörös szilárd pattanást” - ez a mi „egészünk”. Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, és vannak íj nélküli dolgok. Ezután kiválasztjuk az „egész” egy részét, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így jutnak táplálékhoz azáltal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis trükköt. Vegyük a „masnis pattanásos szilárd”-ot, és kombináljuk ezeket az „egészeket” szín szerint, kiválasztva a piros elemeket. Sok "pirost" kaptunk. Most az utolsó kérdés: a kapott „íjjal” és „piros” halmazok ugyanazok, vagy két különböző halmaz? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy lesz.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros szilárd pattanással és masnival". A formálás négy különböző mértékegységben zajlott: szín (piros), szilárdság (szilárd), érdesség (pattanás), díszítés (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós tárgyak megfelelő leírását a matematika nyelvén. Így néz ki.

A különböző indexekkel ellátott "a" betű különböző mértékegységeket jelöl. Zárójelben vannak kiemelve azok a mértékegységek, amelyek alapján az „egész” megkülönböztethető az előzetes szakaszban. A zárójelekből kivesszük azt a mértékegységet, amellyel a halmaz létrejön. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet egy elemét. Mint látható, ha mértékegységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, és nem a sámánok tamburákkal való tánca. A sámánok „intuitív módon” ugyanerre az eredményre juthatnak, azzal érvelve, hogy ez „nyilvánvaló”, mert a mértékegységek nem részei „tudományos” arzenáljuknak.

A mértékegységek használatával nagyon egyszerű egy készletet felosztani vagy több készletet egyetlen szuperszettbe kombinálni. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.

2018. június 30. szombat

Ha a matematikusok nem tudnak egy fogalmat más fogalmakra redukálni, akkor semmit sem értenek a matematikából. Azt válaszolom: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? A válasz nagyon egyszerű: számok és mértékegységek.

Ma minden, amit nem veszünk fel, valamilyen halmazhoz tartozik (ahogyan a matematikusok biztosítják). Mellesleg, láttad a homlokodon lévő tükörben azoknak a készleteknek a listáját, amelyekhez tartozol? És még nem láttam ilyen listát. Még többet mondok - a valóságban egyetlen dolognak sincs címkéje azon készletek listájával, amelyekhez ez a dolog tartozik. A készletek mind a sámánok találmányai. Hogyan csinálják? Nézzünk egy kicsit mélyebben a történelembe, és nézzük meg, hogyan néztek ki a halmaz elemei, mielőtt a matematikus sámánok bevették őket halmazaikba.

Réges-régen, amikor még senki nem hallott a matematikáról, és csak a fáknak és a Szaturnusznak voltak gyűrűi, halmazok vad elemeinek hatalmas csordái kóboroltak a fizikai mezőkön (elvégre a sámánok még nem találták fel a matematikai mezőket). Valahogy így néztek ki.

Igen, ne lepődj meg, a matematika szempontjából a halmazok minden eleme leginkább a tengeri sünökhöz hasonlít - egy pontból, mint a tűk, a mértékegységek minden irányban kilógnak. Azoknak, akik emlékeztetnek arra, hogy bármely mértékegység geometriailag ábrázolható tetszőleges hosszúságú szakaszként, és egy szám mint pont. Geometriailag bármely mennyiség ábrázolható egy csomó szegmensként, amelyek egy pontból különböző irányokba állnak ki. Ez a pont a nulladik pont. Ezt a geometrikus alkotást nem fogom megrajzolni (nincs inspiráció), de könnyen elképzelhető.

Milyen mértékegységek alkotják egy halmaz elemét? Mindenféle dolog, ami egy adott elemet különböző nézőpontokból ír le. Ősi mértékegységek ezek, amelyeket őseink használtak, és amelyekről mindenki régen elfeledkezett. Ezek azok a modern mértékegységek, amelyeket most használunk. Ezek is számunkra ismeretlen mértékegységek, amivel utódaink fognak kitalálni, és amivel a valóságot leírják.

Kiválasztottuk a geometriát – a halmaz elemeinek javasolt modellje világos geometriai ábrázolással rendelkezik. Mi a helyzet a fizikával? A mértékegységek jelentik a közvetlen kapcsolatot a matematika és a fizika között. Ha a sámánok nem ismerik el a mértékegységeket a matematikai elméletek teljes értékű elemeként, ez az ő problémájuk. Én személy szerint nem tudom elképzelni a matematika igazi tudományát mértékegységek nélkül. Éppen ezért a halmazelméletről szóló történet legelején úgy beszéltem róla, mint a kőkorszakról.

De térjünk át a legérdekesebb dologra - a halmazok elemeinek algebrájára. Algebrailag a halmaz bármely eleme különböző mennyiségek szorzata (szorzás eredménye), így néz ki.

Szándékosan nem alkalmaztam a halmazelmélet konvencióit, mivel a halmaz egy elemét a halmazelmélet megjelenése előtti természetes környezetében vizsgáljuk. Minden egyes zárójelben lévő betűpár külön mennyiséget jelöl, amely a " betűvel jelölt számból áll n" és a " betűvel jelzett mértékegység a". A betűk melletti indexek azt jelzik, hogy a számok és a mértékegységek eltérőek. A halmaz egyik eleme végtelen számú mennyiségből állhat (mennyire van nekünk és utódainknak elég fantáziája). Minden zárójelet geometriailag úgy ábrázoltunk, hogy A tengeri sün példájában az egyik tartó egy tű.

Hogyan alkotnak a sámánok halmazokat különböző elemekből? Valójában mértékegységekkel vagy számokkal. Mivel semmit sem értenek a matematikából, különböző tengeri sünököt vesznek, és alaposan megvizsgálják őket, keresve azt az egyetlen tűt, amely mentén halmazt alkotnak. Ha van ilyen tű, akkor ez az elem a halmazhoz tartozik, ha nincs ilyen, akkor ez az elem nem ebből a halmazból való. A sámánok meséket mesélnek nekünk a gondolkodási folyamatokról és az egészről.

Amint azt már sejtette, ugyanaz az elem nagyon különböző halmazokhoz tartozhat. A következőkben megmutatom, hogyan keletkeznek halmazok, részhalmazok és egyéb sámáni hülyeségek. Amint láthatja, „nem lehet két azonos elem egy halmazban”, de ha egy halmazban azonos elemek vannak, akkor az ilyen halmazt „multisetnek” nevezzük. Az értelmes lények soha nem fogják megérteni az ilyen abszurd logikát. Ez a beszélő papagájok és képzett majmok szintje, akiknek nincs intelligenciája a „teljesen” szóból. A matematikusok közönséges oktatóként viselkednek, és abszurd elképzeléseiket hirdetik nekünk.

Egyszer régen a hidat építő mérnökök egy csónakban voltak a híd alatt, miközben tesztelték a hidat. Ha a híd összeomlott, a középszerű mérnök meghalt teremtménye romjai alatt. Ha a híd bírta a terhelést, a tehetséges mérnök más hidakat épített.

Bármennyire is bújnak a matematikusok a „figyelj, a házban vagyok” kifejezés mögé, vagy inkább: „a matematika elvont fogalmakat tanulmányoz”, van egy köldökzsinór, amely elválaszthatatlanul összeköti őket a valósággal. Ez a köldökzsinór pénz. Alkalmazzuk a matematikai halmazelméletet magukra a matematikusokra.

Nagyon jól tanultunk matematikát, és most a pénztárnál ülünk, és kiosztjuk a fizetéseket. Tehát egy matematikus jön hozzánk a pénzéért. Kiszámoljuk neki a teljes összeget, és az asztalunkra fektetjük különböző kupacokba, amelyekbe azonos címletű bankjegyeket teszünk. Ezután minden kupacból kiveszünk egy számlát, és megadjuk a matematikusnak a „matematikai fizetéskészletét”. Magyarázzuk el a matematikusnak, hogy a fennmaradó számlákat csak akkor kapja meg, ha bebizonyítja, hogy az azonos elemek nélküli halmaz nem egyenlő az azonos elemeket tartalmazó halmazzal. Itt kezdődik a móka.

Először is működni fog a képviselők logikája: „Ezt másokra lehet alkalmazni, de rám nem!” Aztán elkezdenek megnyugtatni bennünket, hogy az azonos címletű váltószámok eltérőek, ami azt jelenti, hogy nem tekinthetők azonos elemeknek. Oké, számoljuk a fizetéseket érmében – nincsenek számok az érméken. Itt a matematikus eszeveszetten emlékezni kezd a fizikára: a különböző érmékben különböző mennyiségű szennyeződés van, a kristályszerkezet és az atomok elrendezése minden érménél egyedi...

És most van a legérdekesebb kérdésem: hol van az a határ, amelyen túl a multihalmaz elemei halmaz elemeivé válnak, és fordítva? Ilyen vonal nem létezik – mindent a sámánok döntenek el, a tudomány itt meg sem hazudik.

Nézz ide. Azonos pályaterületű futballstadionokat választunk. A mezők területei megegyeznek - ami azt jelenti, hogy van egy multihalmazunk. De ha megnézzük ezeknek a stadionoknak a nevét, sokat kapunk, mert a nevek különbözőek. Amint látja, ugyanaz az elemkészlet halmaz és multihalmaz is. Melyik a helyes? És itt a matematikus-sámán-éles előhúz egy adu ászt az ingujjából, és mesélni kezd nekünk vagy egy halmazról, vagy egy multihalmazról. Mindenesetre meg fog győzni minket az igazáról.

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan operálnak a modern sámánok a halmazelmélettel, a valósághoz kötve, elég egy kérdésre válaszolni: miben különböznek egy halmaz elemei egy másik halmaz elemeitől? Megmutatom, minden "nem egyetlen egészként elképzelhető" vagy "egyetlen egészként nem elképzelhető" nélkül.

Az utolsó órán sikeresen elsajátítottuk (vagy megismételtük, kitől függően) az összes trigonometria kulcsfogalmait. Ez trigonometrikus kör , szög egy körön , ennek a szögnek a szinusza és koszinusza , és elsajátította is a trigonometrikus függvények jelei negyedenként . Részletesen elsajátítottuk. Az ujjakon, mondhatnánk.

De ez még nem elég. Ahhoz, hogy ezeket az egyszerű fogalmakat sikeresen alkalmazzuk a gyakorlatban, még egy hasznos készségre van szükségünk. Mégpedig - helyesen sarkokkal dolgozik a trigonometriában. E trigonometriai készség nélkül nincs mód. Még a legprimitívebb példákban is. Miért? Igen, mert a szög az összes trigonometria működési kulcsa! Nem, nem trigonometrikus függvények, nem szinusz és koszinusz, nem tangens és kotangens, nevezetesen maga a sarok. A szög hiánya azt jelenti, hogy nincsenek trigonometrikus függvények, igen...

Hogyan dolgozzunk szögekkel egy körön? Ehhez két pontot kell határozottan megragadnunk.

1) Hogyan A szögeket egy körön mérik?

2) Mit megszámolják (mérik)?

Az első kérdésre adott válasz a mai óra témája. Az első kérdéssel itt és most részletesen foglalkozunk. A második kérdésre itt nem adom meg a választ. Mert eléggé fejlett. Ahogy maga a második kérdés is nagyon csúszós, igen.) Még nem részletezem. Ez a következő külön lecke témája.

Kezdjük?

Hogyan mérik a szögeket egy körön? Pozitív és negatív szögek.

Aki elolvassa a bekezdés címét, annak már éghet a haja. Hogy hogy?! Negatív szögek? Ez egyáltalán lehetséges?

Negatívra számok Már megszoktuk. Ábrázolhatjuk őket a számtengelyen: a nullától jobbra a pozitív, a nullától balra a negatív. Igen, és rendszeresen megnézzük a hőmérőt az ablakon kívül. Főleg télen, hidegben.) A telefonban lévő pénz pedig mínuszban van (pl. kötelesség) néha elmennek. Ez mind ismerős.

Mi a helyzet a sarkokkal? Kiderült, hogy a negatív szögek a matematikában vannak is! Minden attól függ, hogy pontosan ezt a szöget hogyan mérjük... nem, nem a számegyenesen, hanem a számkörön! Vagyis egy körön. A kör - itt van, a számegyenes analógja a trigonometriában!

Így, Hogyan mérik a szögeket egy körön? Nem tehetünk semmit, először ezt a kört kell megrajzolnunk.

Lerajzolom ezt a gyönyörű képet:

Nagyon hasonlít az utolsó lecke képeihez. Vannak tengelyek, van kör, van szög. De vannak új információk is.

A tengelyekre 0°, 90°, 180°, 270° és 360° számokat is adtam. Ez most érdekesebb.) Milyen számok ezek? Jobb! Ezek a fix oldalunkról mért szögértékek, amelyek esnek a koordináta tengelyekhez. Emlékezzünk arra, hogy a szög rögzített oldala mindig szorosan hozzá van kötve a pozitív féltengelyhez. És a trigonometriában minden szöget pontosan ettől a féltengelytől mérünk. A szögeknél ezt az alapvető kiindulási pontot határozottan szem előtt kell tartani. És a tengelyek – derékszögben metszik egymást, igaz? Tehát minden negyedben 90°-ot adunk hozzá.

És még több hozzáadva piros nyíl. Pluszponttal. A piros szándékosan úgy van, hogy felkelti a szemet. És jól bevésődött az emlékezetembe. Mert ezt megbízhatóan meg kell jegyezni.) Mit jelent ez a nyíl?

Így kiderül, hogy ha kicsavarjuk a sarkunkat a nyíl mentén pluszjellel(az óramutató járásával ellentétes irányba, a negyedek számozása szerint), majd a szög pozitívnak minősül! Az ábrán példaként +45°-os szög látható. Amúgy vegye figyelembe, hogy a 0°, 90°, 180°, 270° és 360° axiális szögek is pozitív irányba vannak visszatekerve! Kövesse a piros nyilat.

Most nézzünk egy másik képet:

Itt szinte minden ugyanaz. Csak a tengelyek szögei vannak számozva megfordítva.Óramutató járásával megegyező. És mínusz jelük van.) Még mindig rajzolva kék nyíl. Szintén mínuszban. Ez a nyíl a kör negatív szögeinek iránya. Ezt megmutatja nekünk, ha letesszük a sarkunkat óramutató járásával megegyező, Azt a szög negatívnak minősül. Például -45°-os szöget mutattam.

Egyébként kérjük, vegye figyelembe, hogy a negyedek számozása soha nem változik! Nem mindegy, hogy a szögeket pluszba vagy mínuszba mozgatjuk. Mindig szigorúan az óramutató járásával ellentétes irányba.)

Emlékezik:

1. A szögek kiindulópontja az OX pozitív féltengelytől van. Az óra szerint – „mínusz”, az órával szemben – „plusz”.

2. A negyedek számozása mindig az óramutató járásával ellentétes irányban történik, függetlenül attól, hogy a szögeket milyen irányban számítjuk.

Egyébként a szögek felcímkézése a 0°, 90°, 180°, 270°, 360° tengelyeken, minden alkalommal, amikor kört rajzol, egyáltalán nem kötelező. Ez pusztán a lényeg megértése érdekében történik. De ezeknek a számoknak jelen kell lenniük a fejedben bármilyen trigonometriai feladat megoldása során. Miért? Igen, mert ez az alaptudás annyi más kérdésre is választ ad az egész trigonometriában! A legfontosabb kérdés az Melyik negyedbe esik a minket érdeklő szög? Akár hiszi, akár nem, a kérdés helyes megválaszolása megoldja az összes többi trigonometriai probléma oroszlánrészét. Ezzel a fontos feladattal (a szögek negyedekre osztása) foglalkozunk ugyanabban a leckében, de kicsit később.

A koordinátatengelyeken elhelyezkedő szögek értékeit (0°, 90°, 180°, 270° és 360°) meg kell jegyezni! Emlékezzen rá határozottan, amíg automatikussá nem válik. És egy plusz és egy mínusz egyaránt.

De ettől a pillanattól kezdődnek az első meglepetések. És velük együtt hozzám intézett trükkös kérdések is, igen...) Mi történik, ha negatív szög van egy körön egybeesik a pozitívummal? Kiderült, hogy ugyanaz a pont körön pozitív és negatív szöggel is jelölhető???

Teljesen igaza van! Ez igaz.) Például a +270°-os pozitív szög egy kört foglal el ugyanaz a helyzet , megegyezik a -90°-os negatív szöggel. Vagy például egy körön +45°-os pozitív szöget vesz igénybe ugyanaz a helyzet , megegyezik a negatív szöggel -315°.

Megnézzük a következő rajzot, és mindent látunk:

Ugyanígy +150°-os pozitív szög ugyanoda esik, mint -210°-os negatív szög, +230°-os pozitív szög pedig -130°-os negatív szögként. Stb…

És most mit tehetek? Hogyan kell pontosan számolni a szögeket, ha meg tudod csinálni így és úgy? Melyik a helyes?

Válasz: minden szempontból korrekt! A matematika nem tiltja a szögszámlálás két irányának egyikét sem. Egy adott irány megválasztása pedig kizárólag a feladattól függ. Ha a feladat nem mond semmit egyszerű szövegben a szög előjeléről (pl "határozza meg a legnagyobbat negatív sarok" stb.), akkor a számunkra legkényelmesebb szögekkel dolgozunk.

Természetesen például az olyan menő témákban, mint a trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek, a szögszámítás iránya óriási hatással lehet a válaszra. És a vonatkozó témákban figyelembe vesszük ezeket a buktatókat.

Emlékezik:

A kör bármely pontja pozitív vagy negatív szöggel jelölhető. Bárki! Amit csak akarunk.

Most ezen gondolkozzunk el. Megtudtuk, hogy a 45°-os szög pontosan megegyezik a -315°-os szöggel? Honnan tudtam meg ugyanezt a 315-öt?° ? Nem tudod kitalálni? Igen! Teljes elforgatással.) 360°-ban. 45°-os szögünk van. Mennyi ideig tart egy teljes forradalom befejezése? Vonja ki a 45-öt° 360-tól° - így 315-öt kapunk° . Mozogjunk negatív irányba, és -315°-os szöget kapunk. Még mindig nem világos? Ezután nézze meg újra a fenti képet.

És ezt mindig meg kell tenni a pozitív szögek negatívvá alakításakor (és fordítva) - rajzoljon egy kört, jelölje meg hozzávetőlegesen, körülbelül egy adott szögnél kiszámítjuk, hogy hány fok hiányzik a teljes fordulat teljesítéséhez, és az így kapott különbséget az ellenkező irányba mozgatjuk. Ez minden.)

Mit gondolsz, mi más érdekes még azokban a szögekben, amelyek egy körön ugyanazt a pozíciót foglalják el? És az, hogy az ilyen sarkoknál pontosan ugyanaz szinusz, koszinusz, érintő és kotangens! Mindig!

Például:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

De ez rendkívül fontos! Miért? Igen, mind ugyanazért!) A kifejezések egyszerűsítése érdekében. Mert a kifejezések egyszerűsítése kulcsfontosságú eljárás a sikeres megoldáshoz Bármi matematikai feladatokat. És a trigonometriában is.

Tehát kitaláltuk az általános szabályt a kör szögeinek számlálására. Nos, ha elkezdtünk beszélni a teljes fordulatokról, a negyedfordulatokról, akkor itt az ideje csavarni és megrajzolni ezeket a sarkokat. Rajzoljunk?)

Kezdjük azzal pozitív sarkok Könnyebb lesz rajzolni.

Szögeket rajzolunk egy fordulaton belül (0° és 360° között).

Rajzoljunk például egy 60°-os szöget. Itt minden egyszerű, nincs gond. Koordinátatengelyeket és kört rajzolunk. Közvetlenül kézzel is megteheti, iránytű vagy vonalzó nélkül. Rajzoljunk sematikusan: Nem rajzolunk veled. Nem kell megfelelned semmilyen GOST-nak, nem kapsz büntetést.)

Megjelölheti (maga számára) a szögértékeket a tengelyeken, és a nyilat az irányába irányíthatja az órával szemben. Végül is pluszként fogunk spórolni?) Ezt nem kell megtenned, de mindent a fejedben kell tartani.

És most megrajzoljuk a sarok második (mozgó) oldalát. Melyik negyedévben? Az elsőben természetesen! Mert a 60 fok szigorúan 0° és 90° között van. Így döntetlent értünk el az első negyedben. Szögben hozzávetőlegesen, körülbelül 60 fokkal a rögzített oldalra. Hogyan kell számolni hozzávetőlegesen, körülbelül 60 fok szögmérő nélkül? Könnyen! 60° az derékszög kétharmada! A kör első ördögét gondolatban három részre osztjuk, kétharmadot magunknak veszünk. És rajzolunk... Hogy valójában mennyit érünk el (ha ráhelyezünk egy szögmérőt és mérünk) - 55 fokot vagy 64-et - nem számít! Fontos, hogy még mindig legyen valahol körülbelül 60°.

Megkapjuk a képet:

Ez minden. És nem volt szükség semmilyen szerszámra. Fejlesszük a szemünket! Hasznos lesz geometriai problémáknál.) Ez a csúnya rajz nélkülözhetetlen, ha gyorsan kell egy kört és egy szöget firkálni, anélkül, hogy a szépségre gondolna. De ugyanakkor firkál Jobb, hiba nélkül, minden szükséges információval. Például segédeszközként trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásában.

Rajzoljunk most egy szöget, például 265°-ot. Találjuk ki, hol lehet? Nos, egyértelmű, hogy nem az első negyedévben és még csak nem is a másodikban: 90 és 180 fokban érnek véget. Kitalálhatja, hogy a 265° az 180° plusz még egy 85°. Vagyis a negatív féltengelyű OX-hoz (ahol 180°) hozzá kell adni hozzávetőlegesen, körülbelül 85°. Vagy még egyszerűbben képzeljük el, hogy a 265° nem éri el az OY negatív féltengelyt (ahol a 270°) valami szerencsétlen 5°. Röviden, a harmadik negyedben lesz ez a szög. Nagyon közel az OY negatív féltengelyhez, 270 fokig, de még mindig a harmadikban!

Rajzoljunk:

Itt ismét nincs szükség abszolút pontosságra. A valóságban ez a szög mondjuk 263 fok. De a legfontosabb kérdésre (milyen negyed?) helyesen válaszoltunk. Miért ez a legfontosabb kérdés? Igen, mert a trigonometriában minden szöggel rendelkező munka (mindegy, hogy ezt a szöget berajzoljuk-e vagy sem) pontosan erre a kérdésre adandó válasszal kezdődik! Mindig. Ha figyelmen kívül hagyja ezt a kérdést, vagy megpróbálja gondolatban válaszolni rá, akkor a hibák szinte elkerülhetetlenek, igen... Szüksége van rá?

Emlékezik:

Minden szöggel végzett munka (beleértve ennek a szögnek a körre való rajzolását is) mindig azzal kezdődik, hogy meghatározzuk azt a negyedet, amelybe ez a szög esik.

Most remélem, hogy pontosan tudja ábrázolni a szögeket, például 182°, 88°, 280°. BAN BEN helyes szállás. A harmadikban, az elsőben és a negyedikben, ha az...)

A negyedik negyed 360°-os szöggel zárul. Ez egy teljes forradalom. Nyilvánvaló, hogy ez a szög ugyanazt a pozíciót foglalja el a körön, mint a 0° (azaz az origó). De a szögeknek itt még nincs vége...

Mi a teendő 360°-nál nagyobb szögekkel?

– Tényleg vannak ilyen dolgok?- kérdezed. Megtörténnek! Van például egy 444°-os szög. És néha mondjuk 1000°-os szögben. Mindenféle szög létezik.) Csak vizuálisan az ilyen egzotikus szögeket kicsit nehezebben érzékeljük, mint azokat a szögeket, amelyeket egy fordulaton belül megszoktunk. De az ilyen szögeket is meg kell tudni rajzolni és kiszámítani, igen.

Ahhoz, hogy helyesen rajzoljon ilyen szögeket egy körre, ugyanazt kell tennie - megtudja Melyik negyedbe esik a minket érdeklő szög? Itt a negyed pontos meghatározásának képessége sokkal fontosabb, mint a 0° és 360° közötti szögeknél! Magának a negyed meghatározásának eljárását csak egy lépés bonyolítja. Hamarosan meglátod, mi az.

Így például ki kell találnunk, hogy a 444°-os szög melyik kvadránsba esik. Kezdjük pörögni. Ahol? Plusz persze! Pozitív szöget adtak nekünk! +444°. Csavarjuk, csavarjuk... Egy fordulatot csavartunk - elértük a 360°-ot.

Mennyi idő van még hátra a 444°-ig?Megszámoljuk a maradék farkot:

444°-360° = 84°.

Tehát a 444° egy teljes elfordulás (360°) plusz egy további 84°. Nyilvánvalóan ez az első negyedév. Tehát a szög 444°-os esik az első negyedévben. A csata fele megtörtént.

Most már csak ezt a szöget kell ábrázolni. Hogyan? Nagyon egyszerű! Csinálunk egy teljes fordulatot a piros (plusz) nyíl mentén, és adunk hozzá további 84°-ot.

Mint ez:

Itt nem foglalkoztam a rajz összezavarásával - a negyedek felcímkézésével, a tengelyekre szögek rajzolásával. Ezeknek a jó dolgoknak már régóta a fejemben kellett volna lenniük.)

De egy „csigát” vagy egy spirált használtam, hogy pontosan bemutassam, hogyan alakul ki 444°-os szög a 360°-os és 84°-os szögekből. A szaggatott piros vonal egy teljes fordulat. Amelyhez 84° (folytonos vonal) járulékosan csavarozva. Egyébként vedd figyelembe, hogy ha ezt a teljes fordulatot elvetjük, az semmilyen módon nem befolyásolja a szögünk helyzetét!

De ez fontos! Szöghelyzet 444° teljesen egybeesik 84°-os szöghelyzettel. Csodák nincsenek, csak így alakul.)

Lehetséges-e nem egy teljes forradalmat eldobni, hanem kettőt vagy többet?

Miért ne? Ha nagy a szög, akkor ez nem csak lehetséges, de még szükséges is! A szög nem változik! Pontosabban maga a szög természetesen nagyságrendileg változik. De helyzete a körön egyáltalán nem!) Ezért ők teljes forradalmak, hogy akárhány példányt adsz hozzá, akárhányat vonsz ki, akkor is ugyanoda kerülsz. Szép, nem?

Emlékezik:

Ha egy szöghez bármilyen szöget hozzáad (kivon). egész a teljes fordulatok száma, az eredeti szög helyzete a körön NEM fog változni!

Például:

Melyik negyedbe esik az 1000°-os szög?

Nincs mit! Megszámoljuk, hogy ezer fokban hány teljes fordulat található. Az egyik fordulat 360°, a másik már 720°, a harmadik 1080°... Állj! Túl sok! Ez azt jelenti, hogy 1000°-os szögben ül kettő teljes fordulatokat. Kidobjuk őket 1000°-ból, és kiszámítjuk a maradékot:

1000° - 2 360° = 280°

Tehát a szög helyzete 1000° a körön ugyanaz, mint 280°-os szögben. Melyikkel sokkal kellemesebb dolgozni.) És hova esik ez a sarok? A negyedik negyedbe esik: 270° (negatív féltengelyű OY) plusz további tíz.

Rajzoljunk:

Itt már nem pontozott spirállal húztam két teljes kört: túl hosszúnak bizonyul. Csak lerajzoltam a maradék farkot nulláról, eldobás Minden extra fordulatok. Mintha nem is léteztek volna.)

Még egyszer. Jó értelemben a 444°-os és 84°-os, valamint az 1000°-os és a 280°-os szögek eltérőek. De szinuszra, koszinuszra, érintőre és kotangensre ezek a szögek: ugyanaz!

Amint látja, ahhoz, hogy 360°-nál nagyobb szögekkel dolgozzon, meg kell határoznia hány teljes fordulat ül egy adott nagy szögben. Ez az a nagyon kiegészítő lépés, amelyet először meg kell tenni, ha ilyen szögekkel dolgozik. Semmi bonyolult, igaz?

A teljes fordulatok elutasítása természetesen kellemes élmény.) De a gyakorlatban, amikor teljesen szörnyű szögekkel dolgozunk, nehézségek adódnak.

Például:

Melyik negyedbe esik a 31240°-os szög?

Akkor mi van, sokszor-sokszor összeadjuk a 360 fokot? Lehetséges, ha nem ég túlságosan. De nem csak összeadhatunk.) Oszthatunk is!

Tehát osszuk fel hatalmas szögünket 360 fokra!

Ezzel a művelettel megtudjuk, hogy 31240 fokunkban pontosan hány teljes fordulat van elrejtve. Sarokba oszthatod, számológépen tudod (súgni a füledbe:))

31240:360 = 86,777777…

Az a tény, hogy a szám töredékesnek bizonyult, nem ijesztő. Csak mi egész Engem a fordulatszám érdekel! Ezért nem szükséges teljesen felosztani.)

Tehát a mi bozontos szénünkben 86 teljes fordulat található. Borzalom…

Fokokban lesz86·360° = 30960°

Mint ez. Pontosan ennyi fokot lehet fájdalommentesen kidobni adott 31240°-os szögből. Maradványok:

31240° - 30960° = 280°

Minden! A 31240°-os szög helyzete teljesen azonosítva van! Ugyanott, mint a 280°. Azok. negyedik negyedévben.) Gondolom, már korábban is ábrázoltuk ezt a szöget? Mikor húzták meg az 1000°-os szöget?) Ott is mentünk 280 fokot. Véletlen egybeesés.)

Tehát ennek a történetnek a morálja:

Ha kapunk egy ijesztő izmos szöget, akkor:

1. Határozza meg, hány teljes fordulat található ebben a sarokban. Ehhez ossza el az eredeti szöget 360-kal, és dobja el a tört részt.

2. Megszámoljuk, hogy a kapott fordulatszámban hány fok van. Ehhez szorozza meg a fordulatok számát 360-al.

3. Ezeket a fordulatszámokat kivonjuk az eredeti szögből, és a szokásos 0° és 360° közötti szöggel dolgozunk.

Hogyan lehet negatív szögekkel dolgozni?

Nincs mit! Pontosan ugyanaz, mint a pozitívakkal, csak egyetlen különbséggel. Melyik? Igen! Meg kell fordítani a sarkokat hátoldal, mínusz! Az óramutató járásával megegyező irányba haladva.)

Rajzoljunk például egy -200°-os szöget. Először is, minden a szokásos pozitív szögeknél - tengelyek, kör. Rajzoljunk egy mínuszos kék nyilat is, és jelöljük másképp a szögeket a tengelyeken. Természetesen ezeket negatív irányban is kell majd számolni. Ezek ugyanazok a szögek, 90°-on átlépve, de az ellenkező irányba számolva, mínuszig: 0°, -90°, -180°, -270°, -360°.

A kép így fog kinézni:

Amikor negatív szögekkel dolgozik, gyakran enyhe zavarodottság érzése van. Hogy hogy?! Kiderül, hogy ugyanaz a tengely mondjuk +90° és -270° egyszerre? Nem, itt valami rossz...

Igen, minden tiszta és átlátszó! Azt már tudjuk, hogy a kör bármely pontja pozitív vagy negatív szögnek nevezhető! Abszolút bármilyen. Beleértve néhány koordináta tengelyt. A mi esetünkben szükségünk van negatív szögszámítás. Tehát az összes sarkot mínuszba pattintjuk.)

A -200°-os szög helyes megrajzolása egyáltalán nem nehéz. Ez -180° és mínusz további 20°. Kezdünk nulláról mínuszba lendülni: átrepüljük a negyedik negyedet, a harmadikat is kihagyjuk, elérjük a -180°-ot. Hol költsem el a maradék húszat? Igen, minden ott van! Óránként.) Teljes szög -200° belül esik második negyed.

Most már érted, mennyire fontos, hogy határozottan emlékezzünk a koordinátatengelyek szögeire?

A koordinátatengelyeken lévő szögeket (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) pontosan meg kell jegyezni, hogy pontosan meg lehessen határozni azt a negyedet, ahová a szög esik!

Mi van, ha a szög nagy, több teljes fordulattal? Ez rendben van! Mi a különbség, hogy ezeket a teljes forradalmakat pozitívra vagy negatívra fordítják? A körön lévő pont nem változtatja meg a helyzetét!

Például:

Melyik negyedbe esik a -2000°-os szög?

Minden a régi! Először is megszámoljuk, hány teljes forradalom van ebben a gonosz sarokban. Hogy ne keverjük össze a jeleket, hagyjuk most a mínuszt, és egyszerűen osszuk el 2000-et 360-zal. 5-öt kapunk farokkal. Egyelőre nem törődünk a farokkal, kicsit később számoljuk, amikor megrajzoljuk a sarkot. számolunk öt teljes fordulatszám fokban:

5 360° = 1800°

Azta. Pontosan ennyi plusz fokot nyugodtan kidobhatunk a sarkunkból anélkül, hogy egészségünket károsítanánk.

Megszámoljuk a maradék farkot:

2000° – 1800° = 200°

De most emlékezhetünk a mínuszra.) Hová tekerjük a 200°-os farkot? Mínusz, természetesen! Kaptunk egy negatív szöget.)

2000° = -1800° - 200°

Tehát -200°-os szöget rajzolunk, csak minden extra fordulat nélkül. Most rajzoltam, de legyen, lerajzolom még egyszer. Kézzel.

Nyilvánvaló, hogy az adott -2000°-os szög, valamint -200°-os szög is beleesik második negyed.

Szóval, őrüljünk meg... bocs... a fejünkön:

Ha nagyon nagy negatív szöget adunk meg, akkor a vele való munkavégzés első része (a teljes fordulatok számának megállapítása és elvetése) ugyanaz, mint a pozitív szöggel végzett munka során. A mínusz jel a megoldás ezen szakaszában nem játszik szerepet. A jelet csak a legvégén veszik figyelembe, amikor a teljes fordulatszám eltávolítása után fennmaradó szöggel dolgozunk.

Amint látja, negatív szögeket rajzolni egy körre nem nehezebb, mint a pozitívakat.

Minden a régi, csak a másik irányba! Óránként!

Most jön a legérdekesebb rész! Megnéztük a pozitív szögeket, a negatív szögeket, a nagy szögeket, a kis szögeket - a teljes tartományt. Arra is rájöttünk, hogy a kör bármely pontja pozitív és negatív szögnek nevezhető, a teljes fordulatokat elvetettük... Valami gondolat? El kell halasztani...

Igen! Bármilyen pontot vesz is a körön, az megfelelni fog végtelen számú szög! Nagyokat és nem olyan nagyokat, pozitívakat és negatívakat – mindenfélét! És a különbség ezek között a szögek között lesz egész teljes fordulatok száma. Mindig! Így működik a trigonometrikus kör, igen...) Ezért fordított a feladat az ismert szinusz/koszinusz/tangens/kotangens segítségével megtalálni a szöget - megoldható kétértelmű. És sokkal nehezebb. A közvetlen problémával ellentétben - adott szögben, keresse meg a trigonometrikus függvényeinek teljes halmazát. És a trigonometria komolyabb témáiban ( ívek, trigonometrikus egyenletekÉs egyenlőtlenségek ) mindig találkozni fogunk ezzel a trükkel. Kezdjük megszokni.)

1. Melyik negyedbe esik a -345°-os szög?

2. Melyik negyedbe esik a 666°-os szög?

3. Melyik negyedbe esik az 5555°-os szög?

4. Melyik negyedbe esik a -3700°-os szög?

5. Mit tesz a jelkötözősaláta999°?

6. Mit tesz a jelctg999°?

És sikerült? Csodálatos! Van egy probléma? Aztán te.

Válaszok:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

A válaszokat ezúttal sorra adjuk, szakítva a hagyományokkal. Mert csak négy negyed van, és csak két jel van. Nem fogsz igazán elszökni...)

A következő leckében a radiánokról, a "pi" titokzatos számról fogunk beszélni, megtanuljuk, hogyan lehet egyszerűen és egyszerűen átváltani a radiánokat fokokra és fordítva. És meglepődve tapasztaljuk, hogy még ez az egyszerű tudás és készség is elég lesz ahhoz, hogy sikeresen megoldjunk sok nem triviális trigonometriai feladatot!

Azt a maximális szöget írja le, amellyel az autó kereke elfordul, amikor a kormánykerék teljesen el van fordítva. És minél kisebb ez a szög, annál pontosabb és egyenletesebb a vezérlés. Végül is egy kis szögben történő elforduláshoz csak a kormánykerék kis mozgása szükséges.

De ne felejtsük el, hogy minél kisebb a maximális elfordulási szög, annál kisebb az autó fordulási sugara. Azok. Nagyon nehéz lesz megfordulni egy szűk helyen. A gyártóknak tehát valamiféle „arany középutat” kell keresniük, a nagy fordulási sugár és a vezérlési pontosság között manőverezve.

Kerékbeállítási szögek megváltoztatása és beállítása

A Piri Reis térképet összehasonlították egy modern térképvetítéssel. Így arra a következtetésre jutott, hogy a Kairó felett magasan lebegő műholdról egy titokzatos térkép uralja a világot. Más szóval, a Nagy Piramis fölött. Meglepő, hogy az egyiptológusok folyamatosan védik ezeket a tereket, bár egy nemrégiben felfedezett folyosót felülvizsgáltak, és még nem hozott áttörést.

Azt is érdemes megjegyezni, hogy a piramisban szokatlan pszichotronikus hatásokat találtak, amelyek többek között az emberi egészségre is hatással lehetnek. Térbeli pszichotronikáról beszélünk, amely energetikai és geomágneses „anomális zónákat” egyaránt létrehoz, amelyeket tovább vizsgálunk.

A gördülési váll a gumiabroncs közepe és a kerék kormánytengelye közötti legrövidebb távolság. Ha a kerék forgástengelye és a kerék közepe egybeesik, akkor az értéket nullának tekintjük. Negatív érték esetén a forgástengely kifelé, pozitív érték esetén pedig befelé mozog.

Amikor a kerék elfordul, a gumiabroncs deformálódik az oldalirányú erők hatására. Az úttal való maximális érintkezési felület megtartása érdekében pedig az autó kereke is a kanyar irányába billen. De mindenhol tudnia kell, mikor kell megállni, mert egy nagyon nagy görgő esetén az autó kereke erősen megbillen, majd elveszíti a tapadást.

Felelős a kormányzott kerekek súlyának stabilizálásáért. A lényeg az, hogy abban a pillanatban, amikor a kerék eltér a semlegestől, az eleje elkezd emelkedni. És mivel nagy a súlya, amikor a kormánykereket a gravitáció hatására elengedik, a rendszer hajlamos felvenni a kezdeti helyzetét, ami az egyenes vonalú mozgásnak felel meg. Igaz, hogy ez a stabilizáció működjön, fenn kell tartani a (bár kicsi, de nem kívánatos) pozitív begurulási vállát.

Kezdetben a kormánytengely keresztirányú szögét használták a mérnökök az autó felfüggesztésének hiányosságainak kiküszöbölésére. Megszabadult az autó olyan „betegségeitől”, mint a pozitív dőlésszög és a pozitív gördülő váll.

A régészeti feltárások során különös temetési felajánlásokat is találtak kinyújtott szárnyú madarak formájában. Ezeknek az alanyoknak a későbbi aerodinamikai vizsgálatai felfedték, hogy nagy valószínűséggel ősi siklómodellekről van szó. Az egyiket "Amon ajándéka" felirattal fedezték fel. Amun istent Egyiptomban a szél isteneként imádták, így nyilvánvaló, hogy a repüléshez kapcsolták.

De hogyan jutottak ennek az ősi civilizációnak a tagjai ehhez a tudáshoz előzetes fejlődési szakasz nélkül? A válasz ebben az esetben csak az. Ez a tudás az akkori kormányoktól származott, amelyeket az egyiptomiak isteneiknek neveztek. Előfordulhat, hogy egy több mint 000 éves múltra visszatekintő technológiailag fejlett civilizáció tagjai nyomtalanul eltűntek.

Sok autó MacPherson típusú felfüggesztést használ. Lehetővé teszi a negatív vagy nulla gördülő tőkeáttétel elérését. Végül is a kerék kormánytengelye egyetlen kar támasztékából áll, amely könnyen elhelyezhető a kerék belsejében. De ez a felfüggesztés sem tökéletes, mert kialakítása miatt szinte lehetetlen kicsire tenni a kanyarodási tengely dőlésszögét. Forduláskor a külső kereket kedvezőtlen szögben dönti meg (mint a pozitív dőlésszög), miközben a belső kerék ezzel párhuzamosan az ellenkező irányba dől.

De az ilyen létesítmények még mindig hiányosak. Széthullanak, megsemmisülhetnek, de jól el lehet rejteni templomokban, piramisokban és egyéb ikonikus épületekben is, amelyek mozdulatlanul, megfelelően rögzítve a "kincsvadászok" ellen tud feküdni.

A Nagy Piramis mérete és tervezési pontossága soha nem volt egyenlő. A piramis súlya megközelítőleg hatmillió tonna. A Nagy Piramis Eiffel-toronyként a világ legmagasabb épülete volt. Építéséhez több mint kétmillió követ használtak fel. Egyetlen kő sem nyom egy tonnánál kevesebbet.

Ennek eredményeként a külső kerék érintkezési felülete jelentősen csökken. És mivel kanyarodáskor a külső kerék viseli a fő terhelést, az egész tengely nagy tapadást veszít. Ez természetesen részben kompenzálható görgővel és dőléssel. Ekkor a külső kerék tapadása jó lesz, de a belsőé gyakorlatilag megszűnik.

Autó kerékbeállítás

Kétféle autóbeállítás létezik: pozitív és negatív. Az igazítás típusának meghatározása nagyon egyszerű: két egyenes vonalat kell húznia az autó kerekei mentén. Ha ezek a vonalak az autó elején metszik egymást, akkor a lábujj pozitív, ha hátul, akkor negatív. Ha pozitív az első kerekek behajlása, az autó megkönnyíti a kanyarodást, és további kormányzási képességet is kap.

A hátsó tengelyen pozitív behajlás esetén az autó stabilabb lesz, ha egyenesben halad, de negatív behajlás esetén az autó nem megfelelően viselkedik, és egyik oldalról a másikra billeg.

És néhány több mint hetven tonna. Belül a cellákat folyosók kötik össze. Ma egy durva kőpiramis, de valamikor a falazat tükörfényére dolgozták fel. A Nagy Piramis csúcsát úgy tartják, hogy tiszta arannyal díszítették. A nap sugarai több száz kilométert elvakítottak. A szakértők évszázadok óta spekulálnak a piramisok céljáról. A hagyományos elmélet szerint a piramisok szimbolikus átjárók voltak a túlvilágra. Mások úgy vélik, hogy a piramis csillagászati ​​obszervatórium volt. Egyesek szerint a segítség a földrajzi dimenzióban rejlik.

De nem szabad elfelejteni, hogy az autó orrának nullától való túlzott eltérése növeli a gördülési ellenállást egyenes vonalú mozgás során; kanyarokban ez kevésbé lesz észrevehető.

Kerékdőlés

A kerék dőlésszöge, akárcsak a lábujj, lehet negatív vagy pozitív.

Ha az autó elejéről nézzük, és a kerekek befelé billennek, akkor ez negatív dőlésszög, ha pedig kifelé dőlnek az autóból, akkor ez pozitív dőlésszög. A kerékdőlés szükséges a kerék és az útfelület közötti tapadás fenntartásához.

Egy képzeletbeli elmélet azt állítja, hogy a Nagy Piramis magtáron volt. A mai szakértők azonban általában egyetértenek abban, hogy a piramisok sokkal többet jelentenek, mint egy óriási sír. A tudósok azzal érvelnek, hogy a hatalmas piramistechnológia nem lehetett elérhető az emberek számára az emberiség történelmének ezen a pontján, amikor ezeket az épületeket építették. Például a piramis magassága megfelel a Föld és a Nap közötti távolságnak. A piramist pontosan a négy világra irányították, olyan pontossággal, amilyet soha nem sikerült elérni.

És meglepő módon a Nagy Piramis pontosan a Föld középpontjában található. Bárki építette a Nagy Piramist, pontosan meg tudta határozni a szélességi és hosszúsági fokokat. Ez azért meglepő, mert a hosszúság meghatározásának technológiáját a modern időkben fedezték fel a XVI. A piramisokat pontosan a Föld középpontjában építették. Ezenkívül a piramis magassága nagy magasságból látható, a Holdról is látható. Ráadásul a piramisforma az egyik legjobb a visszaverő radarok számára. Ezek az okok arra késztetik a kutatókat, hogy azt higgyék, hogy az egyiptomi piramisokat más céljukon kívül építették, és potenciális külföldi felfedezők által történő navigálásra.

A dőlésszög megváltoztatása befolyásolja az autó viselkedését egyenes vonalon, mivel a kerekek nem merőlegesek az útra, ami azt jelenti, hogy nincs maximális tapadásuk. De ez csak a hátsókerék-hajtású autókat érinti, ha megcsúszva indulnak megállásból.

› Mindent a kerékbeállítási szögekről, 1. rész.

Azok számára, akik szeretnék megérteni, mit jelentenek a kerékbeállítási szögek (Camber/Toe), és alaposan meg akarják érteni a problémát, ez a cikk minden kérdésre választ ad.

A Kheopsz piramis Kairótól alig több mint nyolc kilométerre nyugatra található. 1,6 négyzetkilométer alapterületű, mesterségesen kialakított lakásra épült. Alapja 900 négyzetméterig terjed, és vízszintesen közel milliméter széles. Az építkezéshez két- és háromnegyed millió kőtömböt használtak fel, a legnehezebb súlya elérte a 70 tonnát. Úgy illeszkednek, hogy ez a tény rejtély. A piramis létrehozásának technikai oldala azonban továbbra is rejtély marad, mivel ez komoly kihívást jelentene a mai fejlett technológia számára.

A történelembe való kirándulás megmutatja, hogy kifinomult kerékszerelvényeket használtak különféle járműveken jóval az autó megjelenése előtt. Íme néhány többé-kevésbé ismert példa.
Nem titok, hogy egyes kocsik és más, „dinamikus” vezetésre szánt lovaskocsik kerekeit nagy, jól látható pozitív dőléssel szerelték fel. Ez azért történt, hogy a kerekekről kirepülő kosz ne a hintóba és a fontos lovasokba hulljon, hanem oldalra szóródjon.A laza mozgást szolgáló utilitarista kocsiknál ​​minden pont fordítva történt. Így a forradalom előtti kézikönyvek egy jó kocsi felépítéséről javasolták a negatív dőlésszögű kerekek felszerelését. Ebben az esetben, ha a kereket megállító dübel elveszett, az nem ugrott le azonnal a tengelyről. A sofőrnek volt ideje észrevenni az alváz sérülését, ami különösen nagy gondokkal járt, ha több tucat kiló liszt volt a kocsiban, és nem volt emelő. A fegyveres kocsik tervezésénél (ismét fordítva) néha pozitív dőlést alkalmaztak. Nyilvánvaló, hogy nem az volt a célja, hogy megvédje a fegyvert a szennyeződéstől. Ez kényelmessé tette a szolgát, hogy oldalról kezével a fegyvert a kerekeinél fogva gurítsa, anélkül, hogy félne attól, hogy összetöri a lábát. De a kocsi hatalmas kerekei, amelyek megkönnyítették az árkok átjutását, a másik irányba - a kocsi felé - dőltek. Az ebből eredő nyomtávnövekedés hozzájárult a közép-ázsiai „mobil” stabilitásának növeléséhez, amelyet a magas tömegközéppont jellemez. Mi köze ezeknek a történelmi tényeknek a modern autók kerekeinek felszereléséhez? Igen, általában egyik sem. Azonban hasznos betekintést nyújtanak. Látható, hogy a kerekek felszerelése (különösen a dőlésszögük) nem vonatkozik egyetlen mintára sem.

Ezért nincs olyan hipotézis, hogy a piramis építésénél mágikus erőket használtak volna – a papiruszra írt mágikus képletek lehetővé tették a nehéz kődarabok elképesztő pontossággal történő mozgatását és egymásra helyezését. Edgar Cayce elmondta, hogy ezeket a piramisokat tízezer évvel ezelőtt építették, míg mások úgy vélik, hogy a piramisokat atlantisziak építették, akik a kontinensüket elpusztító kataklizma előtt főként Egyiptomban kerestek menedéket. Tudományos központokat hoz létre, létrehoztak egy piramis menedéket is, ahol nagy titkokat lehetett elrejteni.

A paraméter kiválasztásakor a „gyártót” minden konkrét esetben más-más szempontok vezérelték, amelyeket elsődlegesnek tartott. Tehát mire törekednek az autók futóműve-tervezői a felfüggesztési rendszer kiválasztásakor? Természetesen az ideális felé. Az egyenes vonalban mozgó autó ideálisnak azt a helyzetet tekintjük a kerekeknek, amikor forgási síkjai (gördülési síkjai) merőlegesek az útfelületre, egymással párhuzamosak, a karosszéria szimmetriatengelye ill. egybeesik a mozgás pályájával. Ebben az esetben a gumiabroncs futófelületének súrlódásából és kopásából eredő teljesítményveszteség minimális, és a kerekek tapadása az úttal éppen ellenkezőleg, maximális. Természetesen felmerül a kérdés: mi késztet arra, hogy szándékosan eltérj az ideálistól? A jövőre nézve több szempontot is figyelembe lehet venni. Először egy statikus kép alapján ítéljük meg a kerékbeállítást, amikor az autó áll. Ki mondta, hogy az autó vezetése, gyorsítása, fékezése és manőverezése során nem változik? Másodszor, a veszteségek csökkentése és a gumiabroncsok élettartamának meghosszabbítása nem mindig prioritás. Mielőtt arról beszélnénk, hogy a felfüggesztés-fejlesztők milyen tényezőket vesznek figyelembe, egyezzünk meg abban, hogy az autó felfüggesztésének geometriáját leíró nagyszámú paraméter közül csak azokra korlátozzuk magunkat, amelyek az elsődleges vagy alapvetőek csoportjába tartoznak. Azért hívják őket, mert meghatározzák a felfüggesztés beállításait és tulajdonságait, mindig figyelik a diagnosztika során, és ha van ilyen lehetőség, módosítják őket. Ezek a kormánykerekek jól ismert orr-, dőlés- és kormányszögei. A legfontosabb paraméterek mérlegelésekor emlékeznünk kell a felfüggesztés egyéb jellemzőire is.

A piramis 203 réteg kőtömbből áll, amelyek súlya 2,5-15 tonna. Néhány blokk a piramis alján az alapnál eléri az 50 tonnát. Eredetileg az egész piramist finom fehér és csiszolt mészkőhéj borította, de a követ használták az építkezéshez, különösen a környéken gyakori földrengések után.

A piramis tömege arányos a Föld tömegével 1:10. A piramis maximum 280 egyiptomi könyök, az alapterülete pedig 440 egyiptomi könyök. Ha az alapmintát elosztjuk a piramis magasságának duplájával, akkor a Ludolf-számot kapjuk - 3. A Ludolf-figurától való eltérés csak 0,05%. Az alap alapja megegyezik egy kör kerületével, amelynek sugara megegyezik a gúla magasságával.

A toe-in (TOE) a kerekek helyzetét jellemzi a jármű hossztengelyéhez képest. Az egyes kerekek helyzete a többitől külön meghatározható, majd egyedi lábujjról beszélnek. A kerék forgássíkja és az autó tengelye közötti szöget mutatja felülről nézve. Az egyik tengelyen lévő kerekek teljes ütközése (vagy egyszerűen beilleszkedése). ahogy a neve is sugallja, az egyes szögek összege. Ha a kerekek forgási síkjai az autó előtt metszik egymást, akkor a be-becsúszás pozitív (toe-in), ha hátul negatív (toe-out). Utóbbi esetben a kerekek eltolódásáról beszélhetünk.
A korrekciós adatokban a konvergenciát néha nemcsak szögként, hanem lineáris értékként is megadják. Ez ehhez kapcsolódik. hogy a kerekek behajlását a keréktárcsák peremei közötti távolságok különbsége alapján is megítéljük, a tengely mögötti és előtti középpontjaik szintjén mérve.

Bármi is legyen az igazság, talán a régészek természetesen felismerik például az ókori építők készségeit. Flinders Petrie arra a következtetésre jutott, hogy a mérési hibák olyan kicsik, hogy becsípte az ujját. A folyosókat összekötő falak, amelyek 107 m-re esnek a piramis közepébe, mindössze 0,5 cm-es eltérést mutattak az ideális pontosságtól. Megmagyarázhatjuk-e a fáraó piramis titkát az építészek és építők pedantériájával, vagy Egyiptom ismeretlen varázslatával, vagy azzal az egyszerű szükségességgel, hogy a méreteket a lehető legközelebb kell tartani a piramis maximális hasznának eléréséhez?

Különféle források, köztük komoly szakirodalom gyakran azt a verziót adják, hogy a kerékbeállítás szükséges a dőlés mellékhatásainak kompenzálásához. Azt mondják, hogy az abroncs kontaktfoltban történő deformációja miatt az „összeesett” kerék egy kúp alapjaként képzelhető el. Ha a kerekeket pozitív dőlésszöggel szerelik fel (miért ez még nem fontos), akkor hajlamosak más-más irányba „gurulni”. Ennek ellensúlyozására a kerekek forgási síkjait összehozzák (20. ábra)

Vajon csak véletlen, hogy ez a szám a Naptól való távolságot fejezi ki, amelyet több millió mérföldben adnak meg? Egy egyiptomi könyök pontosan a Föld tíz milliméteres sugara. A Nagy Piramis a 2p összefüggést fejezi ki a Föld kerülete és sugara között. Kör A kör négyzetterülete 023 láb.

A Nazca, a Nagy Piramis és az egyiptomi hieroglif szövegek alakjai közötti hasonlóságokat is tárgyalja. Bowles megjegyzi, hogy a Nagy Piramis és a Nazca-fennsík az Egyenlítőn lesz, amikor az Északi-sark Alaszka délkeleti részén található. Koordináták és gömbi trigonometria segítségével a könyv bemutatja a figyelemre méltó kapcsolatokat három ősi helyszín között.

A verzió, meg kell mondani, nem kegyetlen, de nem állja ki a kritikát. Már csak azért is, mert egyértelmű kapcsolatot feltételez a dőlésszög és a lábujj között. A javasolt logikát követve a negatív dőlésszögű kerekeket feltétlenül divergenciával kell felszerelni, és ha a dőlésszög nulla, akkor nem lehet behajlás. A valóságban ez egyáltalán nem így van.

Természetesen ez a kapcsolat a Nagy Piramis, a Nazca-lemez és az „ősi származású” tengely között is fennáll, függetlenül attól, hogy az Északi-sark hol található. Ez az összefüggés használható három pont és egy sík távolságának meghatározására. A királyi kamrában az átló 309 a keleti faltól, a távolság a kamrától 412, a középső átló 515.

Az Ollantaytambo, a Nagy Piramis és az Ősi vonal tengelypontja közötti távolságok ugyanazt a geometriai összefüggést fejezik ki. 3-4 A Nagy Piramis távolsága Ollantaytambótól pontosan a Föld perifériájának 30%-a. A Nagy Piramistól Machu Picchuig és az alaszkai Tengelypont távolsága a Föld kerületének 25%-a. Ennek az egyenlő szárú háromszögnek a magasságban történő megnyújtásával két derékszögű háromszöget kapunk, amelyek oldalai 15% és 20% - 25% közöttiek.

A valóság, mint általában, bonyolultabb és kétértelműbb törvények hatálya alá tartozik: Amikor egy ferde kerék elgurul, az érintkezési foltban oldalirányú erő hat, amit gyakran dőlésszögű tolóerőnek neveznek. Ez a gumiabroncs keresztirányú rugalmas deformációja eredményeként jelentkezik, és a dőlés irányában hat. Minél nagyobb a kerék dőlésszöge, annál nagyobb a dőlésszög. Ezt használják a kétkerekű járművek - motorkerékpárok és kerékpárok - vezetői kanyarodáskor. Csak meg kell billenteni a lovát, hogy rákényszerítsék egy íves pálya „előírására”, amit csak kormányzással lehet korrigálni. A dőlésszög az autók manőverezése során is fontos szerepet játszik, amiről az alábbiakban lesz szó. Így nem valószínű, hogy ezt szándékosan kompenzálni kell a lábujjhegyekkel. Maga az üzenet pedig az, hogy a pozitív dőlésszög miatt a kerekek hajlamosak kifelé fordulni, pl. eltérés felé, helytelen. Éppen ellenkezőleg, a kormánykerék felfüggesztésének kialakítása az esetek többségében olyan, hogy pozitív dőlés esetén a tolóereje hajlamos megnövelni a toe-in-t. Tehát a „dőlés mellékhatásainak kompenzálása” ehhez semmi köze. Több olyan tényező is ismert, amely meghatározza a kerékbeállítás szükségességét. Az első az, hogy a korábban beállított lábujj-behatás kompenzálja a hosszirányú erők hatását kerék, amikor az autó mozog. A hatás jellege és mélysége (és így az eredménye) számos körülménytől függ: a hajtókerék vagy szabadon gördül, szabályozott vagy nem, és végül a felfüggesztés kinematikájától és rugalmasságától. Így a szabadon gördülő autókerékre hosszirányban gördülési ellenállási erő hat. Olyan hajlítónyomatékot hoz létre, amely hajlamos a kereket a felfüggesztés rögzítési pontjaihoz képest az eltérés irányába forgatni. Ha az autó felfüggesztése merev (például nem osztott vagy torziós gerenda), akkor a hatás nem lesz túl jelentős. Ennek ellenére mindenképpen megtörténik, hiszen az „abszolút merevség” pusztán elméleti fogalom és jelenség. Ezenkívül a kerék mozgását nemcsak a felfüggesztési elemek rugalmas alakváltozása határozza meg, hanem a csatlakozásaikban, a kerékcsapágyakban stb.
Nagy megfelelőségű felfüggesztés esetén (ami jellemző például a rugalmas perselyes karszerkezetekre) az eredmény sokszorosára nő. Ha a kerék nem csak szabadon gördül, hanem kormányozható is, akkor a helyzet bonyolultabbá válik. A keréknél egy további szabadságfok megjelenése miatt ugyanaz az ellenállási erő kettős hatást fejt ki. Az első felfüggesztést hajlító nyomaték kiegészül egy olyan nyomatékkal, amely hajlamos a kereket a forgási tengely körül elforgatni. A fordulási nyomaték, amelynek nagysága a kormánytengely elhelyezkedésétől függ, a kormányszerkezet egyes részeit érinti, és ezek megfelelésénél fogva jelentősen hozzájárul a kerék lábujjának mozgás közbeni változásához is. Futókartól függően a fordulási nyomaték hozzájárulása lehet „plusz” vagy „mínusz” jellel. Vagyis vagy növelheti a kerekek eltérését, vagy ellensúlyozhatja azt. Ha mindezt nem veszi figyelembe, és kezdetben nulla lábujjjal szereli fel a kerekeket, akkor mozgás közben eltérő helyzetet vesz fel. Ebből következnek a lábujjak beállításának megsértésének eseteire jellemző következmények: megnövekedett üzemanyag-fogyasztás, fűrészfogak futófelületi kopása és kezelési problémák, amelyekről az alábbiakban lesz szó.
A mozgással szembeni ellenállás ereje az autó sebességétől függ. Ezért az ideális megoldás a változtatható lábujj, amely ugyanolyan ideális kerékpozíciót biztosít bármilyen sebességnél. Mivel ezt nehéz megtenni, a kerék előre be van állítva, hogy az utazósebességnél minimális abroncskopás érhető el. A hajtótengelyen található kerék az idő nagy részében vonóerőnek van kitéve. Ez meghaladja a mozgással szembeni ellenállás erőit, így az eredő erők a mozgás irányába fognak irányulni. Ugyanezt a logikát alkalmazva azt tapasztaljuk, hogy ebben az esetben a statikus kerekeket eltéréssel kell beszerelni. Hasonló következtetés vonható le a kormányzott hajtott kerekekkel kapcsolatban is.
Az igazság legjobb kritériuma a gyakorlat. Ha ezt szem előtt tartva megnézi a modern autók beállítási adatait, csalódott lehet, hogy nem talál nagy különbséget a hátsó és elsőkerék-hajtású modellek kormánykerekeinek behajlásában. A legtöbb esetben mindkettő esetében ez a paraméter pozitív lesz. Kivéve, hogy az elsőkerék-hajtású autók között gyakoribbak a „semleges” orr-beállítás esetei. Ennek nem az az oka, hogy a fenti logika nem helyes. Csupán arról van szó, hogy a behajlás mértékének megválasztásakor a hosszirányú erők kompenzálásával együtt más szempontokat is figyelembe vesznek, amelyek módosítják a végeredményt. Az egyik legfontosabb az optimális járműkezelés biztosítása. A növekvő sebességgel és a járművek dinamizmusával ez a tényező egyre fontosabbá válik.
A kezelhetőség sokrétű fogalom, ezért érdemes tisztázni, hogy a kerék orr-része a legjelentősebben az autó egyenes pályájának stabilizálását és viselkedését kanyarodáskor befolyásolja. Ez a hatás jól szemléltethető a kormányzott kerekek példáján.

Tegyük fel, hogy miközben egyenes vonalban haladunk, az egyiket véletlenszerűen zavarja az út egyenetlenségei. A megnövekedett ellenállási erő a kereket a csökkenő lábujj irányába fordítja. A kormánymechanizmuson keresztül az ütközés a második kerékre kerül, amelynek lábujja éppen ellenkezőleg, növekszik. Ha a kerekek kezdetben pozitív behajlásúak, akkor az elsőn csökken a húzóerő, a másodikon pedig nő, ami ellensúlyozza a zavarást. Ha a konvergencia nulla, akkor nincs ellentétes hatás, ha pedig negatív, akkor destabilizáló momentum jelenik meg, amely hozzájárul a zavar kialakulásához. Az ilyen orr-beállítású autó az úton vándorol, és folyamatosan kormányozni kell, ami elfogadhatatlan egy közönséges közúti autó számára.
Ennek az „érmének” van egy fordított, pozitív oldala is – a negatív bemenet lehetővé teszi a kormányzás leggyorsabb reakciójának elérését. A sofőr legkisebb lépése azonnal a pálya éles változását váltja ki - az autó készségesen manőverez, könnyen „beleegyezik” a kanyarodással. Ezt a fajta lábujj beállítást gyakran használják a motorsportokban.

Akik tévéműsorokat néznek a WRC-bajnokságról, azok valószínűleg észrevették, milyen aktívan kell dolgoznia Loebnek vagy Grönholmnak a volánnál, még a pálya viszonylag egyenes szakaszain is. A hátsó tengely kerekeinek behajlása hasonló hatással van az autó viselkedésére – ha a behajlást enyhe eltérésre csökkentjük, az növeli a tengely „mobilitását”. Ezt a hatást gyakran használják az autók alulkormányzottságának kompenzálására, például a túlterhelt első tengellyel rendelkező elsőkerék-hajtású modelleknél.
Így a statikus toe-in paraméterek, amelyeket a beállítási adatokban adnak meg, egyfajta szuperpozíciót, néha kompromisszumot jelentenek az üzemanyag- és a gumik megtakarításának és az autó optimális kezelhetőségének elérése között. Sőt, az is észrevehető, hogy az utóbbi években az utóbbi érvényesült.

A dőlésszög egy olyan paraméter, amely a keréknek az útfelülethez viszonyított tájolásáért felelős. Emlékezzünk arra, hogy ideális esetben merőlegesek legyenek egymásra, pl. nem szabadna összeomlásnak lennie. A legtöbb közúti autónak azonban van ilyenje. Mi a trükk?

Referencia.
A dőlésszög a kerék függőlegeshez viszonyított tájolását tükrözi, és a függőleges és a kerék forgási síkja közötti szögként definiálható. Ha a kerék valóban „eltört”, pl. teteje kifelé dől, a dőlésszög pozitívnak tekinthető. Ha a kerék a karosszéria felé dől, a dőlésszög negatív.

Egészen a közelmúltig tendencia volt a kerekek szétesésére, i.e. adjon pozitív értékeket a dőlésszögeknek. Valószínűleg sokan emlékeznek az autóelméleti tankönyvekre, amelyekben a bütykös kerekek felszerelését a külső és a belső kerékcsapágyak közötti terhelés újraelosztásának szándékával magyarázták. Azt mondják, pozitív dőlésszög esetén a legtöbb a belső csapágyra esik, amit könnyebb masszívabbá és tartósabbá tenni. Ennek eredményeként javul a csapágyszerelvény tartóssága. A tézis nem túl meggyőző, már csak azért is, mert ha igaz, akkor ez csak ideális helyzetre vonatkozik - egy autó egyenes vonalú mozgására abszolút sík úton. Ismeretes, hogy manőverezéskor és – még a legkisebb szabálytalanságokon is – áthajtáskor a csapágyszerelvény dinamikus terhelést tapasztal, amely egy nagyságrenddel nagyobb, mint a statikus erők. És nem pontosan úgy vannak elosztva, ahogy a pozitív dőlésszög „megszabja”.

Néha megpróbálják a pozitív dőlésszöget a befutási váll csökkentését célzó kiegészítő intézkedésként értelmezni. Amikor eljutunk odáig, hogy megismerjük a kormány felfüggesztésének ezt a fontos paraméterét, akkor világossá válik, hogy ez a befolyásolási mód messze nem a legsikeresebb. Ez a nyomtáv és a kerékkormányzás tengelyének dőlésszögének egyidejű változásával jár, ami nemkívánatos következményekkel jár. Vannak közvetlenebb és kevésbé fájdalmas lehetőségek a betörési váll megváltoztatására. Ráadásul ennek minimalizálása nem mindig a felfüggesztésfejlesztők célja.

Meggyőzőbb változat, hogy a pozitív dőlésszög kompenzálja a tengelyterhelés növekedésekor fellépő kerékelmozdulást (a jármű terhelésének növekedése vagy tömegének dinamikus újraelosztása gyorsítás és fékezés során). A legtöbb modern felfüggesztés elaszto-kinematikai tulajdonságai olyanok, hogy a kerék súlyának növekedésével a kerékdőlésszög csökken. Annak érdekében, hogy a kerekek maximális tapadást biztosítsanak az úttal, logikus, hogy először egy kicsit „szétszedjük” őket. Sőt, mérsékelt adagokban a dőlésszög nem befolyásolja jelentősen a gördülési ellenállást és a gumikopást.

Megbízhatóan ismert, hogy a dőlésszög megválasztását az útpálya általánosan elfogadott profilozása is befolyásolja. A civilizált országokban, ahol utak vannak, és nem irányok, keresztmetszete domború. Ahhoz, hogy a kerék ebben az esetben merőleges maradjon a tartófelületre, kis pozitív dőlésszöget kell adni neki.
Az UUK specifikációit áttekintve látható, hogy az elmúlt években az ellenkező „összeomlási trend” érvényesült. A legtöbb sorozatgyártású autó kerekei statikusan negatív dőléssel vannak felszerelve. A helyzet az, hogy, mint már említettük, a legjobb stabilitásuk és irányíthatóságuk biztosítása kerül előtérbe. A dőlésszög olyan paraméter, amely döntően befolyásolja a kerekek úgynevezett laterális reakcióját. Ez az, ami ellensúlyozza a kanyarodáskor az autóra ható centrifugális erőket, és segít íves úton tartani. Az általános megfontolásokból az következik, hogy a kerék tapadása az úttal (oldalreakció) a legnagyobb érintkezési felülettel lesz maximális, pl. függőleges helyzetben lévő kerékkel. Valójában egy szabványos kerékkialakításnál kis negatív dőlésszögeknél éri el a csúcsot, ami az említett dőlésszög hozzájárulásának köszönhető. Ez azt jelenti, hogy ahhoz, hogy az autó kerekei kanyarodáskor rendkívül tapadósak legyenek, nem kell szétszedni őket, hanem éppen ellenkezőleg, „le kell dobni”. Ez a hatás régóta ismert, és a motorsportban is ugyanolyan régóta alkalmazzák. Ha közelebbről megnézi a „formula” autót, jól látható, hogy első kerekei nagy negatív dőlésszöggel vannak felszerelve.

Ami jó a versenyautóknak, az nem teljesen alkalmas a sorozatgyártású autókra. A túlzott negatív dőlésszög fokozott kopást okoz a futófelület belső területén. A kerék dőlésszögének növekedésével az érintkezési felület csökken. A kerekek tapadása az egyenes mozgás során csökken, ami viszont csökkenti a gyorsítás és a fékezés hatékonyságát. A túlzott mértékű negatív dőlés ugyanúgy befolyásolja az autó azon képességét, hogy egyenes pályát tartson fenn, mint az elégtelen behajlás; az autó túlzottan idegessé válik. Ugyanaz a dőlésszög okolható ezért. Ideális helyzetben a dőlésszög okozta oldalirányú erők a tengely mindkét kerekére hatnak és kiegyensúlyozzák egymást. De amint az egyik kerék elveszti a tapadást, a másik dőlésszögű tolóereje kiegyenlítetlennek bizonyul, és az autó letér az egyenes pályáról. Egyébként, ha emlékszel arra, hogy a tapadás mértéke a kerék dőlésszögétől függ, nem nehéz megmagyarázni az autó oldalirányú húzását a jobb és a bal kerék egyenlőtlen dőlésszöge esetén. Egyszóval a dőlésszög kiválasztásakor az „arany középutat” is keresni kell.

Az autó jó stabilitásának biztosításához nem elegendő statikus körülmények között negatív dőlésszögeket beállítani. A felfüggesztés tervezőinek biztosítaniuk kell, hogy a kerekek optimális (vagy ahhoz közeli) orientációt tartsanak fenn minden vezetési módban. Ezt nem könnyű megtenni, mivel a manőverek során a karosszéria helyzetében bekövetkezett bármilyen változás, amelyet a felfüggesztési elemek elmozdulása kísér (merülés, oldalgurulás stb.), a kerekek dőlésszögének jelentős változásához vezet. Furcsa módon ez a probléma könnyebben megoldható a sportkocsikon a „brutális” felfüggesztésekkel, amelyeket nagy szögmerevség és rövid löketek jellemeznek. Itt a dőlésszög (és a lábujj) statikus értékei különböznek a legkevésbé attól, hogy dinamikában hogyan néznek ki.

Minél nagyobb a felfüggesztés útja, annál nagyobb a dőlésszög változása vezetés közben. Ezért a legnehezebb a hagyományos, maximálisan rugalmas (a legjobb kényelem érdekében) felfüggesztésű közúti autók fejlesztőinek dolga. Azon kell törniük az agyukat, hogyan lehet „összekapcsolni az összeférhetetlent” – a kényelmet és a stabilitást. Általában a felfüggesztés kinematikájának „megidézésével” lehet kompromisszumot találni.

Vannak olyan megoldások, amelyek minimalizálják a dőlésszög változásait, és ezek a változások a kívánt „trendet” biztosítják. Például kívánatos, hogy forduláskor a leginkább terhelt külső kerék abban a nagyon optimális helyzetben maradjon - enyhe negatív dőlésszöggel. Ehhez a karosszéria gurulásakor a keréknek még jobban rá kell „esnie”, amit a felfüggesztésvezető elemek geometriájának optimalizálásával érnek el. Ezen túlmenően magát a karosszéria gurulását is igyekeznek csökkenteni a bukókeretek használatával.
Az igazság kedvéért el kell mondani, hogy a felfüggesztés rugalmassága nem mindig ellensége a stabilitásnak és a kezelhetőségnek. A „jó kezekben” a rugalmasság éppen ellenkezőleg, hozzájárul hozzájuk. Például a hátsó tengely kerekei „önkormányzó” hatásának ügyes felhasználásával. Visszatérve a beszéd témájához, összefoglalhatjuk, hogy a személyautók specifikációiban feltüntetett dőlésszögek jelentősen eltérnek majd a kanyarban lévőktől.

A „szétszerelést” az igazítással és a dőléssel zárva még egy érdekességet említhetünk meg, aminek gyakorlati jelentősége van. A vezérlőegység szabályozási adatai nem a dőlésszögek és a lábujjszögek abszolút értékét, hanem a megengedett értékek tartományát adják meg. A behajlás tűrései szigorúbbak, és általában nem haladják meg a ±10", míg a dőlésszögnél többszörösek (átlagosan ±30"). Ez azt jelenti, hogy a vezérlőegység beállítását végző mester úgy tudja beállítani a felfüggesztést, hogy közben nem lép túl a gyári előírásokon. Úgy tűnik, hogy több tíz ívperc értelmetlenség. Beírtam a paramétereket a „zöld folyosóba” - és a rend megtörtént. De lássuk, mi lehet az eredmény. Például az E39 karosszériájú BMW 5-ös sorozat specifikációi a következőket jelzik: orr 0°5"±10", dőlésszög -0°13"±30". Ez azt jelenti, hogy miközben a „zöld folyosón” marad, a lábujj –0°5" és 5", a dőlésszög –43" és 7" közötti értéket vehet fel. Vagyis mind a lábujj, mind a dőlésszög lehet negatív, semleges vagy pozitív. Ha van elképzelése a be- és dőlésszögnek az autó viselkedésére gyakorolt ​​hatásáról, szándékosan „megzavarhatja” ezeket a paramétereket a kívánt eredmény elérése érdekében. A hatás nem lesz drámai, de biztosan ott lesz.

Az általunk figyelembe vett dőlésszög és orr olyan paraméterek, amelyek az autó mind a négy kerekére vonatkoznak. Ezután beszélünk azokról a szögjellemzőkről, amelyek csak a kormányzott kerekekre vonatkoznak, és meghatározzák forgástengelyük térbeli orientációját.

Ismeretes, hogy az autó kormánykerekének kormánytengelyének helyzetét két szög határozza meg: hosszanti és keresztirányú. Miért ne lehetne a forgástengelyt szigorúan függőlegessé tenni? A dőlésszöggel és az igazítással kapcsolatos esetekkel ellentétben erre a kérdésre egyértelműbb a válasz. Itt szinte egyöntetű az egyetértés, legalábbis a hosszirányú dőlésszög - görgő tekintetében.

Joggal kell megjegyezni, hogy a görgő fő funkciója az autó kormányzott kerekeinek nagy sebességű (vagy dinamikus) stabilizálása. A stabilizáció ebben az esetben a kormányzott kerekek azon képessége, hogy ellenálljanak a semleges (a lineáris mozgásnak megfelelő) helyzetből való eltérésnek, és az eltérést okozó külső erők megszűnése után automatikusan visszatérjenek oda. A mozgó autó kerekét folyamatosan zavaró erők érik, amelyek hajlamosak kiszorítani semleges helyzetéből. Előfordulhatnak egyenetlen utakon való vezetés, kiegyensúlyozatlan kerekek stb. Mivel a zavarok nagysága és iránya folyamatosan változik, hatásuk véletlenszerűen oszcilláló. Stabilizációs mechanizmus nélkül a vezetőnek ellensúlyoznia kellene a rezgéseket, ami fájdalmassá tenné a vezetést és minden bizonnyal növelné a gumikopást. Megfelelő stabilizálás mellett az autó egyenletesen halad egyenes vonalban, minimális vezetői beavatkozás mellett és még elengedett kormány mellett is.

A kormányzott kerekek elhajlását okozhatják a vezető szándékos cselekvései a mozgási irány megváltoztatásával kapcsolatban. Ebben az esetben a stabilizáló hatás segíti a vezetőt a kanyarból való kihajtáskor azáltal, hogy automatikusan visszaállítja a kerekeket üresbe. De a kanyar bejáratánál és annak csúcsán a „vezetőnek” éppen ellenkezőleg, le kell győznie a kerekek „ellenállását”, bizonyos erőt kifejtve a kormánykerékre. A kormányon generált reakcióerő az úgynevezett kormányzási érzést vagy kormányérzetet hozza létre, amelyre az autótervezők és az autós újságírók is nagy figyelmet fordítottak.

Szögek számolása egy trigonometrikus körön.

Figyelem!
Vannak további
az 555. külön szakaszban szereplő anyagok.
Azoknak, akik nagyon "nem nagyon..."
És azoknak, akik „nagyon…”)

Majdnem ugyanaz, mint az előző leckében. Vannak tengelyek, kör, szög, minden rendben van. Hozzáadott negyedszámok (a nagy négyzet sarkaiban) - az elsőtől a negyedikig. Mi van, ha valaki nem tudja? Amint látja, a negyedek (más néven „kvadránsok”) az óramutató járásával ellentétes irányban vannak számozva. Hozzáadott szögértékek a tengelyeken. Minden világos, nincs probléma.

És hozzáadódik egy zöld nyíl. Pluszponttal. Mit jelent? Hadd emlékeztesselek arra, hogy a szög rögzített oldala Mindig a pozitív féltengelyre szegezve OX. Tehát, ha a szög mozgatható oldalát elforgatjuk a nyíl mentén pluszjellel, azaz negyed számok növekvő sorrendjében, a szöget pozitívnak tekintjük. Példaként a kép +60°-os pozitív szöget mutat.

Ha félretesszük a sarkokat ellenkező irányba, az óramutató járásával megegyező irányba, a szög negatívnak minősül. Vigye a kurzort a kép fölé (vagy érintse meg a képet táblagépén), egy kék nyíl jelenik meg egy mínuszjellel. Ez a negatív szög leolvasásának iránya. Például egy negatív szög (- 60°) látható. És azt is látni fogod, hogyan változtak a számok a tengelyeken... Átalakítottam negatív szögekre is. A kvadránsok számozása nem változik.

Általában itt kezdődnek az első félreértések. Hogy hogy!? Mi van, ha egy kör negatív szöge egybeesik pozitív szöggel!? És általában kiderül, hogy a mozgó oldal (vagy a számkör pontjának) ugyanaz a helyzete negatív és pozitív szögnek is nevezhető!?

Igen. Pontosan. Tegyük fel, hogy egy 90 fokos pozitív szög egy kört vesz fel pontosan ugyanaz pozíciót mínusz 270 fokos negatív szögként. Pozitív szög például +110° pontosan ugyanaz pozíció negatív szögként -250°.

Nincs mit. Bármi helyes.) A pozitív vagy negatív szögszámítás kiválasztása a feladat körülményeitől függ. Ha a feltétel nem mond semmit tiszta szövegben a szög előjeléről, (mint például "határozza meg a legkisebbet pozitív szög" stb.), akkor a számunkra kényelmes értékekkel dolgozunk.

A kivétel (hogyan élhetnénk nélkülük?!) a trigonometrikus egyenlőtlenségek, de ott ezt a trükköt elsajátítjuk.

És most egy kérdés hozzád. Honnan tudtam, hogy a 110°-os szög helyzete megegyezik a -250°-os szög helyzetével?
Hadd utaljak arra, hogy ez egy teljes forradalomhoz kapcsolódik. 360°-ban... Nem világos? Ezután rajzolunk egy kört. Mi magunk rajzoljuk, papírra. A sarok megjelölése hozzávetőlegesen, körülbelül 110°. ÉS azt gondoljuk, mennyi idő van még hátra a teljes forradalomig. Csak a 250° marad...

Megvan? És most - figyelem! Ha 110° és -250° szögek foglalnak el egy kört azonos helyzet, akkor mi van? Igen, a szögek 110° és -250° pontosan ugyanaz szinusz, koszinusz, érintő és kotangens!
Azok. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) és így tovább. Ez most nagyon fontos! És önmagában is sok olyan feladat van, ahol egyszerűsíteni kell a kifejezéseket, és ez alapul szolgál a redukciós képletek és a trigonometria egyéb bonyolultságainak későbbi elsajátításához.

Természetesen a 110°-ot és a -250°-ot véletlenszerűen vettem, pusztán példaként. Mindezek az egyenlőségek minden olyan szögre érvényesek, amelyek a körön ugyanazt a pozíciót foglalják el. 60° és -300°, -75° és 285°, és így tovább. Rögtön megjegyzem, hogy ezekben a párokban a szögek különböző. De vannak trigonometrikus funkcióik - ugyanaz.

Szerintem érted, mi a negatív szög. Egészen egyszerű. Az óramutató járásával ellentétes irányban - pozitív számlálás. Útközben - negatív. Tekintsük a szöget pozitív vagy negatív tőlünk függ. A vágyunktól. No és persze a feladatból is... Remélem érted, hogyan lehet a trigonometrikus függvényekben negatív szögekből pozitív szögek felé haladni és vissza. Rajzolj egy kört, egy hozzávetőleges szöget, és nézd meg, mennyi hiányzik egy teljes fordulat végrehajtásához, pl. 360°-ig.

360°-nál nagyobb szögek.

Foglalkozzunk a 360°-nál nagyobb szögekkel. Vannak ilyen dolgok? Vannak persze. Hogyan rajzoljuk őket egy körre? Nincs mit! Tegyük fel, hogy meg kell értenünk, hogy egy 1000°-os szög melyik negyedbe esik? Könnyen! Egy teljes fordulatot teszünk az óramutató járásával ellentétes irányba (a kapott szög pozitív!). 360°-ban visszatekertünk. Nos, menjünk tovább! Még egy fordulat - már 720°. Mennyi van hátra? 280°. Nem elég egy teljes fordulathoz... De a szög több mint 270° - és ez a határ a harmadik és a negyedik negyed között. Ezért az 1000°-os szögünk a negyedik negyedévre esik. Minden.

Amint látja, ez nagyon egyszerű. Hadd emlékeztesselek még egyszer arra, hogy az 1000°-os és a 280°-os szög, amelyet az „extra” teljes fordulatok elvetésével kaptunk, szigorúan véve különböző sarkok. De ezeknek a szögeknek a trigonometrikus függvényei pontosan ugyanaz! Azok. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° stb. Ha szinusz lennék, nem venném észre a különbséget a két szög között...

Miért van szükség erre? Miért kell a szögeket egyikből a másikba konvertálnunk? Igen, mind ugyanazért.) A kifejezések egyszerűsítése érdekében. A kifejezések egyszerűsítése tulajdonképpen az iskolai matematika fő feladata. Nos, és közben a fej is edzett.)

No, gyakoroljunk?)

Kérdésekre válaszolunk. Először az egyszerűek.

1. Melyik negyedbe esik a -325°-os szög?

2. Melyik negyedbe esik a 3000°-os szög?

3. Melyik negyedbe esik a -3000°-os szög?

Van egy probléma? Vagy bizonytalanság? Lépjen az 555. szakaszhoz, Trigonometrikus kör gyakorlat. Ott, ennek a nagyon „Gyakorlati munka...” első órájában minden részletesen le van írva... In ilyen bizonytalanság kérdései nem kellene!

4. Milyen előjele van a sin555°-nak?

5. Milyen előjele van a tg555°-nak?

Elhatároztad? Nagy! Vannak kétségei? Az 555-ös szakaszhoz kell menned... Egyébként ott megtanulod az érintőt és a kotangenst rajzolni egy trigonometrikus körre. Nagyon hasznos dolog.

És most a kérdések kifinomultabbak.

6. Csökkentse a sin777° kifejezést a legkisebb pozitív szög szinuszára.

7. Csökkentse a cos777° kifejezést a legnagyobb negatív szög koszinuszára.

8. Csökkentse a cos(-777°) kifejezést a legkisebb pozitív szög koszinuszára.

9. Csökkentse a sin777° kifejezést a legnagyobb negatív szög szinuszára.

Mi az, a 6-9. kérdés zavarba ejtett? Szokj rá, az Egységes Államvizsgán nem találsz ilyen megfogalmazásokat... Legyen hát, lefordítom. Csak neked!

A "hozzon kifejezést..." szavak azt jelentik, hogy a kifejezést úgy kell átalakítani, hogy a jelentését úgy alakítsa át nem változottés a külseje a feladatnak megfelelően változott. Tehát a 6. és 9. feladatban egy szinust kell kapnunk, amiben van legkisebb pozitív szög. Minden más nem számít.

A válaszokat sorrendben (szabályainkat megszegve) adom ki. De mit tegyünk, csak két jel van, és csak négy negyed... Nem leszel elkényeztetve.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Feltételezem, hogy a 6-9. kérdésre adott válaszok megzavartak néhány embert. Különösen -sin (-57°), tényleg?) Valóban, a szögszámítás elemi szabályaiban van hely a hibáknak... Ezért kellett leckét tartanom: „Hogyan határozzuk meg a függvények előjeleit és adjunk meg szögeket egy trigonometrikus körön?” Az 555. szakaszban a 4-9. feladatokat tartalmazza. Jól rendezve, minden buktatóval együtt. És itt vannak.)

A következő leckében a titokzatos radiánokkal és a "Pi" számmal fogunk foglalkozni. Tanuljuk meg, hogyan lehet egyszerűen és helyesen átváltani a fokokat radiánra és fordítva. És meglepődve tapasztaljuk, hogy ez az alapvető információ az oldalon most már elég néhány egyedi trigonometriai feladat megoldásához!

Ha tetszik ez az oldal...

Egyébként van még néhány érdekes oldalam az Ön számára.)

Gyakorolhatod a példák megoldását, és megtudhatod a szintedet. Tesztelés azonnali ellenőrzéssel. Tanuljunk – érdeklődéssel!)

Megismerkedhet a függvényekkel, deriváltokkal.