Презентация производная показательной и логарифмической функции. Производная показательной и логарифмической функций

Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант) 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)"> 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)"> 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)" title="Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)"> title="Рассмотрим показательную функцию y = а x, где а > 1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1 вариант) 3. y = 10 x (2 вариант)">

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35 до 66,5. Следовательно существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35, при а = 3 он равен 48. В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е. Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь: е = 2, … ; На практике обычно полагают, что е 2,7.

График и свойства функции y = е x: 1) D (f) = (- ; +); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает; 4) не ограничена сверху, ограничена снизу 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения; 6) непрерывна; 7) E (f) = (0; +); 8) выпукла вниз; 9) дифференцируема. Функцию y = е x называют экспонентой.

В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х: (e x) = e x (е 5х)" = 5е 5х (е -4х+1)" = -4е -4х-1 (е х-3)" = е х-3

3) -2 x) х = -2 – точка максимума х = 0 – точка минимума Ответ:

Свойства функции y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) не является ни четной, ни нечетной; 3) возрастает на (0; +); 4) не ограничена; 5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений; 6) непрерывна; 7) Е (f) = (-; +); 8) выпукла верх; 9) дифференцируема. График и свойства функции y = ln x

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования 0 справедлива формула дифференцирования"> 0 справедлива формула дифференцирования"> 0 справедлива формула дифференцирования" title="В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования"> title="В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х>0 справедлива формула дифференцирования"> Интернет-ресурсы: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html

Алгебра и начала математического анализа

Дифференцирование показательной и логарифмической функции

Составитель:

учитель математики МОУ СОШ №203 ХЭЦ

г. Новосибирск

Видутова Т. В.

Число е. Функция y = e x , её свойства, график, дифференцирование

1. Построим для различных оснований а графики: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2 вариант) (1 вариант) " width="640"

Рассмотрим показательную функцию y = а x , где а 1.

Построим для различных оснований а графики:

1. y = 2 x

3. y = 10 x

2. y = 3 x

(2 вариант)

(1 вариант)

1)Все графики проходят через точку (0 ; 1);

2) Все графики имеют горизонтальную асимптоту у = 0

при х  ∞;

3) Все они обращены выпуклостью вниз;

4) Все они имеют касательные во всех своих точках.

Проведем касательную к графику функции y = 2 x в точке х = 0 и измерим угол, который образует касательная с осью х

С помощью точных построений касательных к графикам можно заметить, что если основание а показательной функции y = а x постепенно увеличивается основание от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35’ до 66,5’.

Следовательно существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45’. И это значение а заключено между 2 и 3, т.к. при а = 2 угол равен 35’, при а = 3 он равен 48’.

В курсе математического анализа доказано, что данное основание существует, его принято обозначать буквой е.

Установлено, что е – иррациональное число, т. е. представляет собой бесконечную непериодическую десятичную дробь:

е = 2, 7182818284590… ;

На практике обычно полагают, что е ≈ 2,7.

График и свойства функции y = е x :

1) D (f) = (- ∞; + ∞);

3) возрастает;

4) не ограничена сверху, ограничена снизу

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего

значения;

6) непрерывна;

7) E (f) = (0; + ∞);

8) выпукла вниз;

9) дифференцируема.

Функцию y = е x называют экспонентой .

В курсе математического анализа доказано, что функция y = е x имеет производную в любой точке х :

(e x ) = e x

(е 5х )" = 5е 5х

(е х-3 )" = е х-3

(е -4х+1 )" = -4е -4х-1

Пример 1 . Провести касательную к графику функции в точке x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = ex

Ответ:

Пример 2 .

x = 3.

Пример 3 .

Исследовать на экстремум функцию

х=0 и х=-2

х = -2 – точка максимума

х = 0 – точка минимума

Если основанием логарифма служит число е , то говорят, что задан натуральный логарифм . Для натуральных логарифмов введено специальное обозначение ln (l – логарифм, n – натуральный).

График и свойства функции y = ln x

Свойства функции y = ln x:

1) D (f) = (0; + ∞);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; + ∞);

4) не ограничена;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) Е (f) = (- ∞; + ∞);

8) выпукла верх;

9) дифференцируема.

0 справедлива формула дифференцирования " width="640"

В курсе математического анализа доказано, что для любого значения х0 справедлива формула дифференцирования

Пример 4:

Вычислить значение производной функции в точке x = -1.

Например:

Интернет-ресурсы:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Производная показательной и логарифмической функцийУрок в 11 «Б» классе
учитель Копова О.В.

Вычислить производную

устно
1.
2.
3.
3x 2 2 x 5
e
2x
3e x
4.
ln x 3
5.
34 x
6.
5 x 2 sin x ln 5 x
письменно
x
1
y log 5 x 4
7
y x 2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
x

x
Дана функция y 2 x e . Найти угловой
коэффициент касательной, проведенной в
точке с абсциссой x0 0 .
Составить уравнение касательной к
графику функции f x x 5 ln x в точке с
абсциссой x0 1 .

Задание B8 (№ 8319)

определенной на интервале 5; 10 . Найдите промежутки
возрастания функции. В ответе укажите длину наибольшего
из них.

Задание B8 (№ 9031)
На рисунке изображен график производной функции,
определенной на интервале 11; 2 . Найдите точку
экстремума функции на отрезке 10; 5 .

Задание B8 (№ 8795)
На рисунке изображен график производной функции,
определенной на интервале 9; 2 . Найдите количество
точек, в которых касательная к графику функции
параллельна прямой y x 12 или совпадает с ней.

Прототип задания B14

Найдите точку минимума функции y 4x 4 ln x 7 6 .
7 6 x x 2
Найдите наибольшее значение функции
y 3
Найдите наименьшее значение функции
y e 2 x 6e x 3
на отрезке 1; 2 .