Геометрическая прогрессия в1 2. Формула суммы n первых членов ГП

Геометрическая прогрессия - это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, …

Свойства геометрической прогрессии

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q. Например, b1=4, q=-2. Эти два условия задают геометрическую прогрессию 4, -8, 16, -32, … .

Если q>0 (q не равно 1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Например, последовательность, 2, 4,8,16,32, … является монотонно возрастающей последовательностью (b1=2, q=2).

Если в геометрической погрешности знаменатель q=1, то все члены геометрической прогрессии будут равны между собой. В таких случаях говорят, что прогрессия является постоянной последовательностью.

Формула n-го члена прогрессии

Для того, чтобы числовая последовательность (bn) являлась геометрической прогрессией необходимо, чтобы каждый её член, начиная со второго, являлся средним геометрическим соседних членов. То есть необходимо выполнение следующего уравнения - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии имеет вид:

bn=b1*q^(n-1), где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Рассмотрим простой пример:

В геометрической прогрессии b1=6, q=3, n=8 найти bn.

Воспользуемся формулой n-ого члена геометрической прогрессии.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Теоретические сведения

	Арифметическая прогрессия	Геометрическая прогрессия
Определение	Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d (d - разность прогрессий)	Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q (q - знаменатель прогрессии)
Рекуррентная формула	Для любого натурального n a n + 1 = a n + d	Для любого натурального n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Формула n-ого члена	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии (a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии (a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

.

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

.

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии (a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии(a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

.

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Например , последовательность \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)… является геометрической прогрессией, потому что каждый следующий элемент отличается от предыдущего в два раза (иначе говоря, может быть получен из предыдущего умножением его на два):

Как и любую последовательность, геометрическую прогрессию обозначают маленькой латинской буквой. Числа, образующие прогрессию, называют ее членами (или элементами). Их обозначают той же буквой, что и геометрическую прогрессию, но с числовым индексом, равным номеру элемента по порядку.

Например , геометрическая прогрессия \(b_n = \{3; 6; 12; 24; 48…\}\) состоит из элементов \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) и так далее. Иными словами:

Если вы поняли вышеизложенную информацию, то уже сможете решить большинство задач на эту тему.

Пример (ОГЭ):
Решение:

Ответ : \(-686\).

Пример (ОГЭ): Даны первые три члена прогрессии \(324\); \(-108\); \(36\)…. Найдите \(b_5\).
Решение:

	Чтобы продолжить последовательность, нам нужно знать знаменатель. Найдем его из двух соседних элементов: на что нужно умножить \(324\), чтоб получилось \(-108\)?
\(324·q=-108\)	Отсюда без проблем вычисляем знаменатель.
\(q=-\) \(\frac{108}{324}\) \(=-\) \(\frac{1}{3}\)	Теперь мы легко находим нужный нам элемент.
	Готов ответ.

Ответ : \(4\).

Пример: Прогрессия задана условием \(b_n=0,8·5^n\). Какое из чисел является членом этой прогрессии:

а) \(-5\) б) \(100\) в) \(25\) г) \(0,8\) ?

Решение: Из формулировки задания очевидно, что одно из этих чисел точно есть в нашей прогрессии. Поэтому мы можем просто вычислять ее члены по очереди, пока не найдем нужное нам значение. Так как у нас прогрессия задана формулой , то вычисляем значения элементов, подставляя разные \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – такого числа в списке нет. Продолжаем.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) – и этого тоже нет.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) – а вот и наш чемпион!

Ответ: \(100\).

Пример (ОГЭ): Даны несколько идущих последовательно друг за другом членов геометрической прогрессии …\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Найдите значение элемента, обозначенного буквой \(x\).

Решение:

Ответ: \(-20\).

Пример (ОГЭ): Прогрессия задана условиями \(b_1=7\), \(b_{n+1}=2b_n\). Найдите сумму первых \(4\) членов этой прогрессии.

Решение:

Ответ: \(105\).

Пример (ОГЭ): Известно, что в геометрической прогрессии \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Найдите знаменатель \(q\).

Решение:

	Из схемы слева видно, что чтобы «попасть» из \(b_6\) в \(b_9\) – мы делаем три «шага», то есть три раза умножаем \(b_6\) на знаменатель прогрессии. Иными словами \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
\(b_9=b_6·q^3\)	Подставим известные нам значения.
\(704=(-11)·q^3\)	«Перевернем» уравнение и разделим его на \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac{704}{-11}\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64\)	Какое число в кубе даст \(-64\)? Конечно, \(-4\)!
	Ответ найден. Его можно проверить, восстановив цепочку чисел от \(-11\) до \(704\).
	Все сошлось - ответ верен.

Ответ: \(-4\).

Важнейшие формулы

Как видите, большинство задач на геометрическую прогрессию можно решать чистой логикой, просто понимая суть (это вообще характерно для математики). Но иногда знание некоторых формул и закономерностей ускоряет и существенно облегчает решение. Мы изучим две такие формулы.

Формула \(n\)-го члена: \(b_n=b_1·q^{n-1}\), где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – номер искомого элемента; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(b_n\) – член прогрессии с номером \(n\).

С помощью этой формулы можно, например, решить задачу из самого первого примера буквально в одно действие.

Пример (ОГЭ): Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=-2\); \(q=7\). Найдите \(b_4\).
Решение:

Ответ: \(-686\).

Этот пример был простым, поэтому формула нам облегчила вычисления не слишком сильно. Давайте разберем задачку чуть посложнее.

Пример: Геометрическая прогрессия задана условиями \(b_1=20480\); \(q=\frac{1}{2}\). Найдите \(b_{12}\).
Решение:

Ответ: \(10\).

Конечно, возводить \(\frac{1}{2}\) в \(11\)-ую степень не слишком радостно, но всё же проще чем \(11\) раз делить \(20480\) на два.

Сумма \(n\) первых членов: \(S_n=\)\(\frac{b_1·(q^n-1)}{q-1}\) , где \(b_1\) – первый член прогрессии; \(n\) – количество суммируемых элементов; \(q\) – знаменатель прогрессии; \(S_n\) – сумма \(n\) первых членов прогрессии.

Пример (ОГЭ): Дана геометрическая прогрессия \(b_n\), знаменатель которой равен \(5\), а первый член \(b_1=\frac{2}{5}\). Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.
Решение:

Ответ: \(1562,4\).

И вновь мы могли решить задачу «в лоб» – найти по очереди все шесть элементов, а затем сложить результаты. Однако количество вычислений, а значит и шанс случайной ошибки, резко возросли бы.

Для геометрической прогрессии есть еще несколько формул, которые мы не стали рассматривать тут из-за их низкой практической пользы. Вы можете найти эти формулы .

Возрастающие и убывающие геометрические прогрессии

У рассмотренной в самом начале статьи прогрессии \(b_n = \{3; 6; 12; 24; 48…\}\) знаменатель \(q\) больше единицы и поэтому каждый следующий член больше предыдущего. Такие прогрессии называются возрастающими .

Если же \(q\) меньше единицы, но при этом положителен (то есть, лежит в пределах от нуля до единицы), то каждый следующий элемент будет меньше чем предыдущий. Например, в прогрессии \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)… знаменатель \(q\) равен \(\frac{1}{2}\).

Эти прогрессии называются убывающими . Обратите внимание, что ни один из элементов такой прогрессии не будет отрицателен, они просто становятся всё меньше и меньше с каждым шагом. То есть, мы будем постепенно приближаться к нулю, но никогда его не достигнем и за него не перейдем. Математики в таких случаях говорят «стремиться к нулю».

Отметим, что при отрицательном знаменателе элементы геометрической прогрессии будут обязательно менять знак. Например , у прогрессии \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)… знаменатель \(q\) равен \(-3\), и из-за этого знаки элементов «мигают».

Пример геометрической прогрессии : 2, 6, 18, 54, 162.

Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:

2 · 3 = 6

6 · 3 = 18

18 · 3 = 54

54 · 3 = 162 .

В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.

Пример :

Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем чевертый член и возведем его в квадрат:
54 2 = 2916.

Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:

18 · 162 = 2916.

Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.

Пример 1 : Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.

Дано:
b 1 = 2

q = 1,5
n = 4

————
b 4 - ?

Решение .

Применяем формулу b n = b 1 · q n - 1 , вставляя в нее соответствующие значения:
b 4 = 2 · 1,5 4 - 1 = 2 · 1,5 3 = 2 · 3,375 = 6,75.

Ответ : Четвертый член заданной геометрической прогрессии - число 6,75.

Пример 2 : Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.

Дано:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?

Решение .

1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b 3:

b 3 = b 1 · q 3 - 1 = b 1 · q 2

Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:

b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12

q = √16 = 4 или -4.

2) Осталось найти значение b 5 .
Если q = 4, то

b 5 = b 1 q 5-1 = 12 · 4 4 = 12 · 256 = 3072.

При q = -4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.

Ответ : Пятый член заданной геометрической прогрессии - это число 3072.

Пример : Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (b n ), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.

Дано:

b 1 = 2

q = 3

n = 5
————
S 5 - ?

Решение .

Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:

b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 · (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2

Ответ : Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии.

Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое - только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.

Формула n-го члена геометрической прогрессии – штука очень простая. Как по смыслу, так и по общему виду. Но задачки на формулу n-го члена встречаются всякие – от совсем примитивных до вполне себе серьёзных. И в процессе нашего знакомства мы обязательно рассмотрим и те и другие. Ну что, знакомимся?)

Итак, для начала собственно сама формула n

Вот она:

b n = b 1 · q n -1

Формула как формула, ничего сверхъестественного. Выглядит даже проще и компактнее, чем аналогичная формула для . Смысл формулы тоже прост, как валенок.

Эта формула позволяет находить ЛЮБОЙ член геометрической прогрессии ПО ЕГО НОМЕРУ " n ".

Как вы видите, по смыслу полная аналогия с арифметической прогрессией. Знаем номер n – можем посчитать и член, стоящий под этим номером. Какой хотим. Не умножая последовательно на "q" много-много раз. Вот и весь смысл.)

Я понимаю, что на данном уровне работы с прогрессиями все входящие в формулу величины вам уже должны быть понятны, но считаю своим долгом всё-таки расшифровать каждую. На всякий случай.

Итак, поехали:

b 1 – первый член геометрической прогрессии;

q – ;

n – номер члена;

b n – энный (n -й) член геометрической прогрессии.

Эта формулка связывает четыре главных параметра любой геометрической прогрессии – b n , b 1 , q и n . И вокруг этих четырёх ключевых фигур и вертятся все-все задачки по прогрессии.

"А как она выводится?" – слышу любопытный вопрос… Элементарно! Смотрите!

Чему равен второй член прогрессии? Не вопрос! Прямо по пишем:

b 2 = b 1 ·q

А третий член? Тоже не проблема! Второй член помножаем ещё раз на q .

Вот так:

B 3 = b 2 ·q

Вспомним теперь, что второй член, в свою очередь, у нас равен b 1 ·q и подставим это выражение в наше равенство:

B 3 = b 2 ·q = (b 1 ·q)·q = b 1 ·q·q = b 1 ·q 2

Получаем:

B 3 = b 1 ·q 2

А теперь прочитаем нашу запись по-русски: третий член равен первому члену, умноженному на q во второй степени. Улавливаете? Пока нет? Хорошо, ещё один шаг.

Чему равен четвёртый член? Всё то же самое! Умножаем предыдущий (т.е. третий член) на q:

B 4 = b 3 ·q = (b 1 ·q 2)·q = b 1 ·q 2 ·q = b 1 ·q 3

Итого:

B 4 = b 1 ·q 3

И снова переводим на русский язык: четвёртый член равен первому члену, умноженному на q в третьей степени.

И так далее. Ну и как? Уловили закономерность? Да! Для любого члена с любым номером количество одинаковых множителей q (т.е. степень знаменателя) всегда будет на единичку меньше, чем номер искомого члена n .

Стало быть, наша формула будет, без вариантов:

b n = b 1 · q n -1

Вот и все дела.)

Ну что, порешаем задачки, наверное?)

Решение задач на формулу n -го члена геометрической прогрессии.

Начнём, как обычно, с прямого применения формулы. Вот типичная задачка:

В геометрической прогрессии известно, что b 1 = 512 и q = -1/2. Найдите десятый член прогрессии.

Конечно, эту задачку можно вообще безо всяких формул решить. Прямо по смыслу геометрической прогрессии. Но нам ведь с формулой n-го члена размяться нужно, правда? Вот и разминаемся.

Наши данные для применения формулы следующие.

Известен первый член. Это 512.

b 1 = 512.

Известен также знаменатель прогрессии: q = -1/2.

Остаётся только сообразить, чему равен номер члена n. Не вопрос! Нас интересует десятый член? Вот и подставляем в общую формулу десятку вместо n.

И аккуратно считаем арифметику:

Ответ: -1

Как видим, десятый член прогрессии оказался с минусом. Ничего удивительного: знаменатель прогрессии у нас -1/2, т.е. отрицательное число. А это говорит нам о том, что знаки у нашей прогрессии чередуются, да.)

Здесь всё просто. А вот похожая задачка, но немного посложнее в плане вычислений.

В геометрической прогрессии известно, что:

b 1 = 3

Найдите тринадцатый член прогрессии.

Всё то же самое, только в этот раз знаменатель прогрессии – иррациональный . Корень из двух. Ну и ничего страшного. Формула – штука универсальная, с любыми числами справляется.

Работаем прямо по формуле:

Формула, конечно, сработала как надо, но… вот тут некоторые и зависнут. Что дальше делать с корнем? Как возвести корень в двенадцатую степень?

Как-как… Надо понимать, что любая формула, конечно, дело хорошее, но знание всей предыдущей математики при этом не отменяется! Как возвести? Да свойства степеней вспомнить! Превратим корень в степень с дробным показателем и – по формуле возведения степени в степень.

Вот так:

Ответ: 192

И все дела.)

В чём состоит основная трудность при прямом применении формулы n-го члена? Да! Основная трудность – это работа со степенями! А именно – возведение в степень отрицательных чисел, дробей, корней и тому подобных конструкций. Так что те, у кого с этим проблемы, настоятельная просьба повторить степени и их свойства! Иначе и в этой теме будете тормозить, да…)

А теперь порешаем типовые задачки на поиск одного из элементов формулы , если даны все остальные. Для успешного решения таких задач рецепт един и прост до ужаса – пишем формулу n -го члена в общем виде! Прямо в тетрадке рядышком с условием. А затем из условия соображаем, что нам дано, а чего не хватает. И выражаем из формулы искомую величину. Всё!

Например, такая безобидная задачка.

Пятый член геометрической прогрессии со знаменателем 3 равен 567. Найдите первый член этой прогрессии.

Ничего сложного. Работаем прямо по заклинанию.

Пишем формулу n-го члена!

b n = b 1 · q n -1

Что нам дано? Во-первых, дан знаменатель прогрессии: q = 3.

Кроме того, нам дан пятый член : b 5 = 567 .

Всё? Нет! Ещё нам дан номер n! Это – пятёрка: n = 5.

Надеюсь, вы уже понимаете, что в записи b 5 = 567 скрыты сразу два параметра – это сам пятый член (567) и его номер (5). В аналогичном уроке по я об этом уже говорил, но и здесь считаю не лишним напомнить.)

Вот теперь подставляем наши данные в формулу:

567 = b 1 ·3 5-1

Считаем арифметику, упрощаем и получаем простенькое линейное уравнение:

81 b 1 = 567

Решаем и получаем:

b 1 = 7

Как вы видите, с поиском первого члена проблем никаких. А вот при поиске знаменателя q и номера n могут встречаться и сюрпризы. И к ним (к сюрпризам) тоже надо быть готовым, да.)

Например, такая задачка:

Пятый член геометрической прогрессии с положительным знаменателем равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В этот раз нам даны первый и пятый члены, а найти просят знаменатель прогрессии. Вот и приступаем.

Пишем формулу n -го члена!

b n = b 1 · q n -1

Наши исходные данные будут следующими:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Не хватает значения q . Не вопрос! Сейчас найдём.) Подставляем в формулу всё что нам известно.

Получаем:

162 = 2· q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Простенькое уравнение четвёртой степени. А вот сейчас – аккуратно! На данном этапе решения многие ученики сразу же радостно извлекают корень (четвёртой степени) и получают ответ q =3 .

Вот так:

q 4 = 81

q = 3

Но вообще-то, это недоделанный ответ. Точнее, неполный. Почему? Дело в том, что ответ q = -3 тоже подходит: (-3) 4 тоже будет 81!

Всё из-за того, что степенное уравнение x n = a всегда имеет два противоположных корня при чётном n . С плюсом и с минусом:

Оба подходят.

Например, решая (т.е. второй степени)

x 2 = 9

Вы же почему-то не удивляетесь появлению двух корней x=±3? Вот и тут то же самое. И с любой другой чётной степенью (четвёртой, шестой, десятой и т.д.) будет так же. Подробности – в теме про

Поэтому правильное решение будет таким:

q 4 = 81

q = ±3

Хорошо, со знаками разобрались. Какой же из них правильный – плюс или минус? Что ж, читаем ещё раз условие задачи в поисках дополнительной информации. Её, конечно, может и не быть, но в данной задаче такая информация имеется. У нас в условии прямым текстом сказано, что дана прогрессия с положительным знаменателем.

Поэтому ответ очевиден:

q = 3

Здесь-то всё просто. А как вы думаете, что было бы, если бы формулировка задачи была бы вот такой:

Пятый член геометрической прогрессии равен 162, а первый член этой прогрессии равен 2. Найдите знаменатель прогрессии.

В чём отличие? Да! В условии ничего не сказано про знак знаменателя. Ни прямо, ни косвенно. И вот тут задачка уже имела бы два решения!

q = 3 и q = -3

Да-да! И с плюсом и с минусом.) Математически сей факт означал бы, что существуют две прогрессии , которые подходят под условие задачи. И для каждой – свой знаменатель. Ради интереса, потренируйтесь и выпишите первые пять членов каждой из них.)

А теперь потренируемся номер члена находить. Эта задачка самая сложная, да. Но зато и более творческая.)

Дана геометрическая прогрессия:

3; 6; 12; 24; …

Под каким номером в этой прогрессии стоит число 768?

Первый шаг всё тот же: пишем формулу n -го члена!

b n = b 1 · q n -1

А теперь, как обычно, подставляем в неё известные нам данные. Гм… не подставляется! Где первый член, где знаменатель, где всё остальное?!

Где-где… А глазки нам зачем? Ресницами хлопать? В этот раз прогрессия задана нам напрямую в виде последовательности. Первый член видим? Видим! Это – тройка (b 1 = 3). А знаменатель? Пока не видим, но он очень легко считается. Если, конечно, понимать, .

Вот и считаем. Прямо по смыслу геометрической прогрессии: берём любой её член (кроме первого) и делим на предыдущий.

Хотя бы вот так:

q = 24/12 = 2

Что ещё нам известно? Нам ещё известен некоторый член этой прогрессии, равный 768. Под каким-то номером n:

b n = 768

Номер его нам неизвестен, но наша задача как раз и состоит в том, чтобы его отыскать.) Вот и ищем. Все необходимые данные для подстановки в формулу мы уже скачали. Незаметно для себя.)

Вот и подставляем:

768 = 3·2 n -1

Делаем элементарные – делим обе части на тройку и переписываем уравнение в привычном виде: неизвестное слева, известное - справа.

Получаем:

2 n -1 = 256

Вот такое интересное уравнение. Надо найти "n". Что, непривычно? Да, я не спорю. Вообще-то, это простейшее . Оно так называется из-за того, что неизвестное (в данном случае это – номер n ) стоит в показателе степени.

На этапе знакомства с геометрической прогрессией (это девятый класс) показательные уравнения решать не учат, да… Это тема старших классов. Но страшного ничего нет. Даже если вы не в курсе, как решаются такие уравнения, попробуем найти наше n , руководствуясь простой логикой и здравым смыслом.

Начинаем рассуждать. Слева у нас стоит двойка в какой-то степени . Мы пока не знаем, что это конкретно за степень, но это и не страшно. Но зато мы твёрдо знаем, что эта степень равна 256! Вот и вспоминаем, в какой же степени двойка даёт нам 256. Вспомнили? Да! В восьмой степени!

256 = 2 8

Если не вспомнили или с распознаванием степеней проблемы, то тоже ничего страшного: просто последовательно возводим двойку в квадрат, в куб, в четвёртую степень, пятую и так далее. Подбор, фактически, но на данном уровне – вполне прокатит.

Так или иначе, мы получим:

2 n -1 = 2 8

n -1 = 8

n = 9

Итак, 768 – это девятый член нашей прогрессии. Всё, задача решена.)

Ответ: 9

Что? Скучно? Надоела элементарщина? Согласен. И мне тоже. Шагаем на следующий уровень.)

Более сложные задачи.

А теперь решаем задачки покруче. Не то чтобы совсем уж сверхкрутые, но над которыми предстоит немного поработать, чтобы добраться до ответа.

Например, такая.

Найдите второй член геометрической прогрессии, если четвёртый её член равен -24, а седьмой член равен 192.

Это классика жанра. Известны какие-то два разных члена прогрессии, а найти надо ещё какой-то член. Причём все члены НЕ соседние. Что и смущает поначалу, да…

Как и в , для решения таких задач рассмотрим два способа. Первый способ – универсальный. Алгебраический. Работает безотказно и с любыми исходными данными. Поэтому именно с него и начнём.)

Расписываем каждый член по формуле n -го члена!

Всё точь-в-точь как с арифметической прогрессией. Только в этот раз работаем с другой общей формулой. Вот и всё.) Но суть та же самая: берём и поочерёдно подставляем в формулу n-го члена наши исходные данные. Для каждого члена – свои.

Для четвёртого члена записываем:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Есть. Одно уравнение готово.

Для седьмого члена пишем:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Итого получили два уравнения для одной и той же прогрессии .

Собираем из них систему:

Несмотря на её грозный вид, системка совсем простая. Самый очевидный способ решения – обычная подстановка. Выражаем b 1 из верхнего уравнения и подставляем в нижнее:

Немного повозившись с нижним уравнением (сократив степени и поделив на -24), получим:

q 3 = -8

К этому же уравнению, между прочим, можно прийти и более простым путём! Каким? Сейчас я вам продемонстрирую ещё один секретный, но оч-чень красивый, мощный и полезный способ решения подобных систем. Таких систем, в уравнениях которых сидят только произведения. Хотя бы в одном. Называется метод почленного деления одного уравнения на другое.

Итак, перед нами система:

В обоих уравнениях слева – произведение , а справа – просто число. Это очень хороший знак.) Давайте возьмём и… поделим, скажем, нижнее уравнение на верхнее! Что значит, поделим одно уравнение на другое? Очень просто. Берём левую часть одного уравнения (нижнего) и делим её на левую часть другого уравнения (верхнего). С правой частью аналогично: правую часть одного уравнения делим на правую часть другого.

Весь процесс деления выглядит так:

Теперь, сократив всё, что сокращается, получим:

q 3 = -8

Чем хорош этот способ? Да тем, что в процессе такого деления всё нехорошее и неудобное может благополучно сократиться и остаться вполне безобидное уравнение! Именно поэтому так важно наличие только умножения хотя бы в одном из уравнений системы. Нету умножения – нечего и сокращать, да…

А вообще, этот способ (как и многие другие нетривиальные способы решения систем) даже заслуживает отдельного урока. Обязательно его разберу поподробнее. Когда-нибудь…

Впрочем, неважно, как именно вы решаете систему, в любом случае теперь нам надо решить получившееся уравнение:

q 3 = -8

Никаких проблем: извлекаем корень (кубический) и – готово!

Прошу заметить, что здесь при извлечении ставить плюс/минус не нужно. Нечётной (третьей) степени у нас корень. И ответ – тоже один, да.)

Итак, знаменатель прогрессии найден. Минус два. Отлично! Процесс идёт.)

Для первого члена (скажем, из верхнего уравнения) мы получим:

Отлично! Знаем первый член, знаем знаменатель. И теперь у нас появилась возможность найти любой член прогрессии. В том числе и второй.)

Для второго члена всё совсем просто:

b 2 = b 1 · q = 3·(-2) = -6

Ответ: -6

Итак, алгебраический способ решения задачи мы с вами разложили по полочкам. Сложно? Не очень, согласен. Долго и нудно? Да, безусловно. Но иногда можно существенно сократить объём работы. Для этого есть графический способ. Старый добрый и знакомый нам по .)

Рисуем задачу!

Да! Именно так. Снова изображаем нашу прогрессию на числовой оси. Не обязательно по линеечке, не обязательно выдерживать равные интервалы между членами (которые, кстати, и не будут одинаковыми, т.к. прогрессия - геометрическая!), а просто схематично рисуем нашу последовательность.

У меня получилось вот так:

А теперь смотрим на картинку и соображаем. Сколько одинаковых множителей "q" разделяют четвёртый и седьмой члены? Верно, три!

Стало быть, имеем полное право записать:

-24· q 3 = 192

Отсюда теперь легко ищется q:

q 3 = -8

q = -2

Вот и отлично, знаменатель у нас уже в кармане. А теперь снова смотрим на картинку: сколько таких знаменателей сидит между вторым и четвёртым членами? Два! Стало быть, для записи связи между этими членами знаменатель будем возводить в квадрат .

Вот и пишем:

b 2 · q 2 = -24 , откуда b 2 = -24/ q 2

Подставляем наш найденный знаменатель в выражение для b 2 , считаем и получаем:

Ответ: -6

Как видим, всё гораздо проще и быстрее, чем через систему. Более того, здесь нам вообще даже не понадобилось считать первый член! Совсем.)

Вот такой простой и наглядный способ-лайт. Но есть у него и серьёзный недостаток. Догадались? Да! Он годится только для очень коротких кусочков прогрессии. Таких, где расстояния между интересующими нас членами не очень большие. А вот во всех остальных случаях картинку рисовать уже затруднительно, да… Тогда решаем задачу аналитически, через систему.) А системы – штука универсальная. С любыми числами справляются.

Ещё одна эпичная задачка:

Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого, а третий член на 30 больше второго. Найдите знаменатель прогрессии.

Что, круто? Вовсе нет! Всё то же самое. Снова переводим условие задачи в чистую алгебру.

1) Расписываем каждый член по формуле n -го члена!

Второй член: b 2 = b 1 ·q

Третий член: b 3 = b 1 ·q 2

2) Записываем связь между членами из условия задачи.

Читаем условие: "Второй член геометрической прогрессии на 10 больше первого". Стоп, это ценно!

Так и пишем:

b 2 = b 1 +10

И эту фразу переводим в чистую математику:

b 3 = b 2 +30

Получили два уравнения. Объединяем их в систему:

Система на вид простенькая. Но что-то уж много различных индексов у буковок. Подставим-ка вместо второго и третьего членов их выражения через первый член и знаменатель! Зря, что ли, мы их расписывали?

Получим:

А вот такая система – уже не подарок, да… Как такое решать? К сожалению, универсального секретного заклинания на решение сложных нелинейных систем в математике нет и быть не может. Это фантастика! Но первое что должно приходить вам в голову при попытке разгрызть подобный крепкий орешек – это прикинуть, а не сводится ли одно из уравнений системы к красивому виду, позволяющему, например, легко выразить одну из переменных через другую?

Вот и прикинем. Первое уравнение системы явно проще второго. Его и подвергнем пыткам.) А не попробовать ли из первого уравнения что-то выразить через что-то? Раз уж мы хотим найти знаменатель q , то выгоднее всего нам было бы выразить b 1 через q .

Вот и попробуем проделать эту процедуру с первым уравнением, применяя старые добрые :

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Всё! Вот мы и выразили ненужную нам переменную (b 1) через нужную (q). Да, не самое простое выражение получили. Дробь какую-то… Но и система у нас приличного уровня, да.)

Типичное . Что делать – знаем.

Пишем ОДЗ (обязательно!) :

q ≠ 1

Умножаем всё на знаменатель (q-1) и сокращаем все дроби:

10 q 2 = 10 q + 30(q -1)

Делим всё на десятку, раскрываем скобки, собираем всё слева:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Решаем получившееся и получаем два корня:

q 1 = 1

q 2 = 3

Окончательный ответ один: q = 3 .

Ответ: 3

Как вы видите, путь решения большинства задач на формулу n-го члена геометрической прогрессии всегда един: читаем внимательно условие задачи и с помощью формулы n-го члена переводим всю полезную информацию в чистую алгебру.

А именно:

1) Расписываем отдельно каждый данный в задаче член по формуле n -го члена.

2) Из условия задачи переводим связь между членами в математическую форму. Составляем уравнение или систему уравнений.

3) Решаем полученное уравнение или систему уравнений, находим неизвестные параметры прогрессии.

4) В случае неоднозначного ответа читаем внимательно условие задачи в поисках дополнительной информации (если таковая присутствует). Также сверяем полученный ответ с условиями ОДЗ (если таковые имеются).

А теперь перечислим основные проблемы, наиболее часто приводящие к ошибкам в процессе решения задач на геометрическую прогрессию.

1. Элементарная арифметика. Действия с дробями и отрицательными числами.

2. Если хотя бы с одним из этих трёх пунктов проблемы, то неизбежно будете ошибаться и в этой теме. К сожалению… Так что не ленитесь и повторите то о чём упомянуто выше. И по ссылочкам – сходите. Иногда помогает.)

Видоизменённые и рекуррентные формулы.

А теперь рассмотрим парочку типичных экзаменационных задачек с менее привычной подачей условия. Да-да, вы угадали! Это видоизменённые и рекуррентные формулы n-го члена. С такими формулами мы уже с вами сталкивались и работали в по арифметической прогрессии. Здесь всё аналогично. Суть та же.

Например, такая задачка из ОГЭ:

Геометрическая прогрессия задана формулой b n = 3·2 n . Найдите сумму первого и четвёртого её членов.

В этот раз прогрессия нам задана не совсем привычно. В виде какой-то формулы. Ну и что? Эта формула – тоже формула n -го члена! Мы же с вами знаем, что формулу n-го члена можно записать как в общем виде, через буквы, так и для конкретной прогрессии . С конкретными первым членом и знаменателем.

В нашем случае нам, на самом деле, задана формула общего члена для геометрической прогрессии вот с такими параметрами:

b 1 = 6

q = 2

Проверим?) Запишем формулу n-го члена в общем виде и подставим в неё b 1 и q . Получим:

b n = b 1 · q n -1

b n = 6·2 n -1

Упрощаем, используя разложение на множители и свойства степеней, и получаем:

b n = 6·2 n -1 = 3·2·2 n -1 = 3·2 n -1+1 = 3·2 n

Как видите, всё честно. Но наша с вами цель – не продемонстрировать вывод конкретной формулы. Это так, лирическое отступление. Чисто для понимания.) Наша цель - решить задачу по той формуле, что дана нам в условии. Улавливаете?) Вот и работаем с видоизменённой формулой напрямую.

Считаем первый член. Подставляем n =1 в общую формулу:

b 1 = 3·2 1 = 3·2 = 6

Вот так. Кстати, не поленюсь и ещё раз обращу ваше внимание на типовой ляп с подсчётом первого члена. НЕ НАДО, глядя на формулу b n = 3·2 n , сразу бросаться писать, что первый член – тройка! Это – грубейшая ошибка, да…)

Продолжаем. Подставляем n =4 и считаем четвёртый член:

b 4 = 3·2 4 = 3·16 = 48

Ну и наконец, считаем требуемую сумму:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Ответ: 54

Ещё задачка.

Геометрическая прогрессия задана условиями:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Найдите четвёртый член прогрессии.

Здесь прогрессия задана рекуррентной формулой. Ну и ладно.) Как работать с такой формулой – тоже знаем.

Вот и действуем. По шагам.

1) Считаем два последовательных члена прогрессии.

Первый член нам уже задан. Минус семь. А вот следующий, второй член, легко можно посчитать по рекуррентной формуле. Если понимать принцип её работы, конечно.)

Вот и считаем второй член по известному первому:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Считаем знаменатель прогрессии

Тоже никаких проблем. Прямо , делим второй член на первый.

Получаем:

q = -21/(-7) = 3

3) Пишем формулу n -го члена в привычном виде и считаем нужный член.

Итак, первый член знаем, знаменатель – тоже. Вот и пишем:

b n = -7·3 n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Ответ: -189

Как вы видите, работа с такими формулами для геометрической прогрессии ничем по своей сути не отличается от таковой для прогрессии арифметической. Важно лишь понимать общую суть и смысл этих формул. Ну и смысл геометрической прогрессии тоже надо понимать, да.) И тогда глупых ошибок не будет.

Ну что, порешаем самостоятельно?)

Совсем элементарные задачки, для разминки:

1. Дана геометрическая прогрессия, в которой b 1 = 243, а q = -2/3. Найдите шестой член прогрессии.

2. Общий член геометрической прогрессии задан формулой b n = 5∙2 n +1 . Найдите номер последнего трёхзначного члена этой прогрессии.

3. Геометрическая прогрессия задана условиями:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Найдите пятый член прогрессии.

Чуть посложнее:

4. Дана геометрическая прогрессия:

b 1 =2048; q =-0,5

Чему равен шестой отрицательный её член?

Что, кажется суперсложно? Вовсе нет. Спасёт логика и понимание смысла геометрической прогрессии. Ну и формула n-го члена, само собой.

5. Третий член геометрической прогрессии равен -14, а восьмой член равен 112. Найдите знаменатель прогрессии.

6. Сумма первого и второго членов геометрической прогрессии равна 75, а сумма второго и третьего членов равна 150. Найдите шестой член прогрессии.

Ответы (в беспорядке): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

Вот почти и всё. Осталось лишь научиться нам считать сумму n первых членов геометрической прогрессии да открыть для себя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию и её сумму. Очень интересную и необычную штуку, между прочим! Об этом - в следующих уроках.)