Дробно рациональные уравнения метод замены. Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями. Как решать уравнения с дробями — икс в числителе
§ 5. Уравнения с одной переменной
Дробные рациональные уравнения
В каждом из уравнений
левая и правая части представляют собой рациональные выражения, причем либо оба выражения являются дробными, либо одно из них является дробным, а другое - целым выражением. Такие уравнения, как вы знаете, называются дробными рациональными уравнениями . Напомним, что
Решение неравенств путем факторинга
Затем умножьте обе стороны на \\, не забывая изменить направление неравенства: \\. Мы рассмотрим общий метод решения неравенства, в котором одна сторона неравенства равна нулю. Требование того, чтобы одна сторона неравенства равнялась нулю, не является трудным требованием, поскольку мы всегда можем достичь этого состояния за один шаг, вычитая выражение с одной стороны неравенства с обеих сторон неравенства.
Перейдем к рассмотрению первого неравенства, которое мы рассмотрели выше: \\. Вычитайте 9 с каждой стороны, чтобы получить: \\. Крайняя правая часть графа выше оси \\, так как старший коэффициент \\ положителен. Таким образом, граф лежит над осью \\ справа от \\, а граф лежит ниже оси \\ слева от \\.
При решении дробных рациональных уравнений, как вам известно, обычно поступают следующим образом:
С простейшими примерами решения дробных рациональных уравнений вы уже встречались. Рассмотрим более сложные примеры.
Таким образом, мы видим, что \\ при \\. Таким образом, метод, который мы собираемся изучить для решения рациональных неравенств, будет включать в себя получение нуля с одной стороны неравенства и рационального выражения с другой стороны. Затем мы нарисуем рациональное выражение и посмотрим, какие части графа удовлетворяют требованиям неравенства. Область этих частей является решением неравенства.
На самом деле нет необходимости набросать весь граф. Все, что нам нужно знать, это следующее. То есть, какие значения переменной приводят к тому, что выражение равно \\ или не определено? Помните, что критическое число \\ транзитивно, если \\ - фактор нечетной кратности и непереходный, если \\ - фактор четной кратности. Это верно, является ли \\ множителем числителя или множителем знаменателя. Выражение изменяет знаки на транзитивных критических числах, но не на непереходные критические числа. Является ли выражение положительным или отрицательным справа от наибольшего критического числа? Чтобы выяснить, возьмите отношение ведущего коэффициента числителя к ведущему коэффициенту знаменателя. Если отношение положительное, то выражение положительно справа от наибольшего критического числа. Если отношение отрицательное, то выражение отрицательно справа от наибольшего критического числа.
- Каковы критические числа рационального выражения?
- То есть, каковы нули числителя и каковы нули знаменателя?
- Какое из критических чисел транзитивно и которые непереходны?
Пример 1. Решим уравнение
Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен x 4 - x 2 - 72. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим
6x 2 - 54 + 9х = х 3 .
х 3 - 6х 2 - 9х + 54 = 0. (2)
Решим полученное целое уравнение, используя разложение левой части на множители.
(х 3 - 6x 2) - (9х - 54) = 0,
х 2 (х - 6) - 9(х - 6) = 0,
(х - 6)(х 2 - 9) = 0,
(х - 6)(х - 3)(х + 3) = 0.
Критическое число \\ является непереходным и \\ и \\ транзитивным. Ведущим коэффициентом числителя является \\, а старший коэффициент знаменателя равен \\. Таким образом, отношение ведущих коэффициентов является отрицательным числом. Таким образом, выражение отрицательно справа от \\, нуль в \\, положительное между \\ и \\, ноль в \\, отрицательное между \\ и \\, неопределенное в \\ и отрицательное слева от \\. Таким образом, единственное место, где выражение больше или равно нулю, находится на интервале \\.
Не разделяйте выражения, содержащие переменную
Все это можно определить без фактического рисования графика. Это может привести к неравенству, которое не эквивалентно оригиналу, т.е. неравенству, которое не имеет того же решения, что и оригинал. Соблазняя, хотя это и есть, мы не делим обе стороны на \\. Для этого потребовалось бы рассмотрение случая, когда \\ отрицательно, кроме случая, когда \\ положительно. Это будет бесполезно усложнять решение. Вместо этого мы вычитаем одно из двух выражений с обеих сторон, найдем общий знаменатель и умножим выражение.
Значит, уравнение (2) имеет три корня:
x 1 = 6, х 2 = 3, х 3 = -3.
Теперь необходимо проверить, не обращают ли найденные корни в нуль общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (1).
Если х = 6, то х 4 - х 2 - 72 ≠ 0;
если х = 3, то х 4 - х 2 - 72 = 0;
если х = -3, то х 4 - х 2 - 72 = 0.
Значит, уравнение (1) имеет единственный корень - число 6.
Выражение положительно справа от \\, отрицательное между \\ и \\, положительное между \\ и \\ и отрицательное слева от \\. Иногда мы вынуждены отбирать некоторые вещи, прежде чем делать вскрытие. Мы всегда хотим сделать это сначала. И не забывайте «группировать», когда у нас есть четыре условия.
Объяснение нового материала
Вы можете определить разницу квадратов, но не сумму квадратов. Для кубических биномов мы можем учитывать. Вот несколько примеров факторинговых сумм и разностей кубов. Опять же, подумайте о рациональном выражении как соотношении двух многочленов. Вот несколько примеров выражений, которые являются и не являются рациональными выражениями.
Пример 2. Решим уравнение
Приведение дробей, входящих в уравнение, к общему знаменателю связано с громоздкими преобразованиями и не позволяет легко найти корни уравнения. Поступим иначе. Воспользуемся тем, что знаменатели дробей представляют собой двучлены вида х + b, где b - некоторое число. Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей, и каждую из разностей заменим дробью.
Часто рациональность может быть упрощена путем факторизации числителя, знаменателя или обоих и коэффициентов пересечения. Их можно размножать и разделять, как обычные фракции. Обратите внимание, что это выглядит очень сложно, но мы просто используем много шагов, которые мы уже знаем. Кроме того, обратите внимание, что в последнем примере мы делим рациональные рассуждения, поэтому мы переворачиваем второй и размножаем.
Помните, что когда вы вычеркиваете факторы, вы можете вычеркнуть из верхней и нижней части той же фракции, или сверху и снизу, из разных факторов, которые вы умножаете. Вы никогда не сможете перечеркнуть две вещи сверху или две вещи внизу. Также помните, что в любой момент проблемы, когда переменные находятся в знаменателе, у нас будут ограничения домена, так как знаменатели не могут быть \\.
Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня:
х 1 = 5,2 и х 2 = 10.
Каждое из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 5,2 и 10.
Поиск общего знаменателя
Когда мы добавляем или вычитаем два или более рациональных, нам нужно найти наименьший общий знаменатель, точно так же, как при добавлении или вычитании регулярных дробей. Если знаменатели одинаковы, мы можем просто добавить числители попеременно, оставив знаменатели такими, какие они есть.
Точно так же, как с регулярными фракциями, мы хотим использовать факторы в знаменателях в каждой фракции, но не будем считать их двойными, если они появляются во всех знаменателях. Когда ничего нет, просто умножьте факторы. Найдем наименьшие общие знаменатели для следующих знаменателей.
Целое выражение - это математическое выражение, составленное из чисел и буквенных переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения. Также к целым относятся выражения, которые имеют в своем составе деление на какое-либо число, отличное от нуля.
Понятие дробного рационального выражения
Дробное выражение - это математическое выражение, которое помимо действий сложения, вычитания и умножения, выполненных с числами и буквенными переменными, а также деления на число не равное нулю, содержит также деление на выражения с буквенными переменными.
Ограниченные домены рациональных функций
Теперь давайте добавим и вычтем следующие рациональные выражения. Как мы заметили, поскольку рациональные функции имеют переменные в знаменателях, мы должны убедиться, что знаменатели не будут в конечном итоге 0. Эти «ответы», которые мы не можем использовать, называются посторонними решениями. Мы увидим это в первом примере ниже.
Когда мы решаем рациональные уравнения, мы можем умножить обе стороны уравнений на наименьший общий знаменатель и даже не беспокоиться о работе с фракциями! Знаменатели будут отменены, и мы просто разрешим уравнение с помощью числителей. Помните, что с квадратикой мы должны получить все в одну сторону с 0 на другой стороне и либо с коэффициентом, либо с помощью.
Рациональные выражения - это все целые и дробные выражения. Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правые части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая и правая части будут являться целыми выражениями, то такое рациональное уравнение называется целым.
Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным.
Обратите внимание, что иногда вам придется решать литературные уравнения, что просто означает, что вам нужно решить уравнение для переменной, но в ответ вы получите другие переменные. Существуют определенные типы словосочетаний, которые обычно используют рациональные выражения. Они, как правило, имеют дело с тарифами, поскольку ставки обычно являются фракциями. Мы также видим проблемы с простыми фракциями или процентами в форме фракций.
Знаменатель фракции 2 меньше, чем дважды числитель. Если 7 добавляется как к числителю, так и знаменателю, результирующая доля равна. Что такое исходная фракция? Эта проблема немного сложна, так как мы не хотим задавать переменную то, что задает проблема - исходная дробь. Поскольку знаменатель находится в терминах числителя, проще сделать переменную числителем.
Примеры дробных рациональных выражений
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Схема решения дробного рационального уравнения
1. Найти общий знаменатель всех дробей, которые входят в уравнение.
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель.
3. Решить полученное целое уравнение.
4. Произвести проверку корней, и исключить те из них, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Итак, из первого предложения проблемы исходная дробь есть. Теперь, чтобы решить, нам просто нужно добавить 7 к числителю и знаменателю и установить. Бетани забил 10 штрафных бросков из 18 попыток. Ей очень хотелось бы довести ее средний бросок до 68%. Сколько последовательных штрафных бросков нужно забить, чтобы довести ее до 68%?
Опять же, мы можем использовать фракции, и на этот раз они будут представлять долю бесплатных бросков, которые она забивает. Мы начнем с ее текущей доли последовательных штрафных бросков, а затем добавим номер, который ей нужно забить, как для числителя, так и для знаменателя. Похоже, что большинство проблем связаны со временем сравнения или добавлением времени. Шалини может проехать 3 мили в час быстрее, чем может сходить ее сестра Мина. Если Шалини пробежал 12 миль за одно и то же время, ему потребовалась Мина, чтобы пройти 8 миль, какова скорость каждой сестры в этом случае?
Так как мы решаем дробные рациональные уравнения, то в знаменателях дробей будут переменные. Значит, будут они и в общем знаменателе. А во втором пункте алгоритма мы умножаем на общий знаменатель, то могут появится посторонние корни. При которых общий знаменатель будет равен нулю, а значит и умножение на него будет бессмысленным. Поэтому в конце обязательно делать проверку полученных корней.
Теперь давайте сделаем интересную часть - математику. Вот проблема, когда мы используем скорости лодки, идущей вверх и вниз по течению, чтобы добавить время. Время, затрачиваемое на каноэ, направляется на 3 мили вверх по течению и обратно на 3 мили вниз по течению, составляет 4 часа. Ток в озере составляет 1 миля в час. Найдите среднюю скорость каноэ в неподвижной воде.
Мы добавляем время вверх по течению до времени вниз по течению, и это должно равняться 4 часам. Примечание. Если нам дали скорость каноэ в неподвижной воде и нужно было найти скорость тока, мы поставили бы проблему аналогичным образом. Мы должны были бы добавить и вычесть переменные из чисел в знаменателях.
Рассмотрим пример:
Решить дробное рациональное уравнение: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Будем придерживаться общей схемы: найдем сначала общий знаменатель всех дробей. Получим x*(x-5).
Умножим каждую дробь на общий знаменатель и запишем полученное целое уравнение.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Проблемы с работой, как правило, связаны с разными людьми или делами, работающими вместе и в одиночку, с разной скоростью. Индивидуальные ставки каждого работника, и когда вы умножаете ставку к моменту их работы, вы получаете. Добавьте все это и установите его равным 1 заданию. Эрика может нарисовать свою комнату через 5 часов. Если у нее есть подруга Рейчел, помогите ей, они могут нарисовать комнату вместе через 3 часа. Сколько времени понадобится Рэйчел, чтобы нарисовать комнату в одиночестве, если Эрика хотела поиграть в теннис на второй половине дня?
Упростим полученное уравнение. Получим:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Получили простое приведенное квадратное уравнение. Решаем его любым из известных способов, получаем корни x=-2 и x=5.
Теперь производим проверку полученных решений:
Подставляем числа -2 и 5 в общий знаменатель. При х=-2 общий знаменатель x*(x-5) не обращается в нуль, -2*(-2-5)=14. Значит число -2 будет являться корнем исходного дробного рационального уравнения.
Дробные уравнения. ОДЗ
Мы знаем, что время, когда девушки рисуют комнату вместе, составляет 3 часа, а время, которое Эрика рисует в комнате, составляет 5 часов. Вышеприведенная формула также может быть получена с использованием концепции, в которой вы можете выяснить, сколько работы девушки делают в час, как вместе, так и в одиночку.
Затем вы можете добавить отдельные «ставки», чтобы получить «скорость» их картины вместе. Мы фактически добавляем Работу, которую они завершаем, используя формулу, где Время составляет 1 час. В этом примере скорость Эрики в час равна; Скорость Рейчел в час; мы можем добавить их ставки, чтобы получить скорость их живописи вместе. Если умножить все члены на 3, придем к уравнению выше!
При х=5 общий знаменатель x*(x-5) становится равным нулю. Следовательно, это число не является корнем исходного дробного рационального уравнения, так как там будет деление на нуль.
Ответ: х=-2.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема: Теорема Виета: формула, алгоритм использования, приведенный видСледующая тема: Решение задач с помощью рациональных уравнений: схема и примеры