A legnagyobb közös osztó és a legkisebb. Miért kell bevezetni a „legnagyobb közös osztó (GCD)” és a „legkisebb közös többszörös (LCD)” fogalmát egy iskolai matematika kurzusba?

Ez a cikk arról szól a legnagyobb közös osztó megtalálása (GCD) kettő és több számok. Először nézzük meg az Euklidész algoritmust, amely lehetővé teszi két szám gcd-jének megtalálását. Ezek után egy olyan módszerre összpontosítunk, amely lehetővé teszi, hogy a számok gcd-jét a közös prímtényezőik szorzataként számítsuk ki. Ezután megvizsgáljuk három vagy több szám legnagyobb közös osztójának megtalálását, és példákat adunk a negatív számok gcd-jének kiszámítására.

Oldalnavigáció.

Euklideszi algoritmus a GCD megtalálására

Vegyük észre, hogy ha már a kezdetektől rátértünk volna a prímszámok táblázatára, akkor rájöttünk volna, hogy a 661 és 113 számok prímszámok, amelyekből azonnal azt mondhatnánk, hogy a legnagyobb közös osztójuk az 1.

Válasz:

GCD(661; 113)=1.

GCD megkeresése számok prímtényezőkbe való faktorálásával

Nézzünk egy másik módot a GCD megtalálására. A legnagyobb közös osztót úgy találhatjuk meg, hogy a számokat prímtényezőkké alakítjuk. Fogalmazzuk meg a szabályt: Két pozitív egész a és b gcd értéke egyenlő az a és b számok prímtényezőiben található összes közös prímtényező szorzatával.

Adjunk egy példát a GCD megtalálásának szabályának magyarázatára. Ismerjük meg a 220 és 600 számok prímtényezőkre való felosztását, ezek formájuk 220=2·2·5·11 és 600=2·2·2·3·5·5. A 220 és 600 számok faktorálásában részt vevő gyakori prímtényezők a 2, 2 és 5. Ezért GCD(220, 600)=2·2·5=20.

Így, ha az a és b számokat prímtényezőkké alakítjuk, és megtaláljuk az összes közös tényező szorzatát, akkor ez meg fogja találni az a és b számok legnagyobb közös osztóját.

Nézzünk egy példát a GCD megtalálására a megadott szabály szerint.

Példa.

Keresse meg a 72 és 96 számok legnagyobb közös osztóját!

Megoldás.

Tekintsük a 72-es és 96-os számokat prímtényezőkbe:

Azaz 72=2·2·2·3·3 és 96=2·2·2·2·2·3. A gyakori prímtényezők a 2, 2, 2 és 3. Így GCD(72, 96)=2·2·2·3=24.

Válasz:

GCD(72, 96)=24.

A bekezdés végén megjegyezzük, hogy a fenti GCD megállapítási szabály érvényessége a legnagyobb közös osztó tulajdonságából következik, amely kimondja, hogy GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), ahol m bármely pozitív egész szám.

Három vagy több szám gcd-jének megkeresése

Három vagy több szám legnagyobb közös osztójának megtalálása lecsökkenthető két szám gcd-jének szekvenciális megkeresésére. Ezt a GCD tulajdonságainak tanulmányozásakor említettük. Ott megfogalmaztuk és bebizonyítottuk a tételt: több szám legnagyobb közös osztója a 1, a 2, ..., a k egyenlő a d k számmal, amelyet a GCD(a 1, a 2)=d 2 szekvenciális kiszámításával kapunk. , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

Nézzük meg, hogyan néz ki a több számból álló gcd megtalálásának folyamata, ha megnézzük a példa megoldását.

Példa.

Keresse meg négy szám legnagyobb közös tényezőjét: 78, 294, 570 és 36.

Megoldás.

Ebben a példában a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.

Először az euklideszi algoritmus segítségével határozzuk meg az első két 78 és 294 szám legnagyobb d 2 közös osztóját. Osztáskor a 294 = 78 3 + 60 egyenlőségeket kapjuk; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 és 18=6·3. így d2=GCD(78,294)=6.

Most számoljunk d3 =GCD(d 2; a 3)=GCD(6; 570). Alkalmazzuk ismét az euklideszi algoritmust: 570=6·95, tehát d 3 = GCD(6, 570)=6.

A számolás hátra van d 4 =GCD(d 3, a 4) = GCD(6, 36). Mivel a 36 osztható 6-tal, akkor d 4 = GCD(6, 36) = 6.

Így a négy adott szám legnagyobb közös osztója d 4 =6, azaz gcd(78, 294, 570, 36)=6.

Válasz:

GCD(78; 294; 570; 36)=6.

A számok prímtényezőkké alakítása lehetővé teszi három vagy több szám gcd-jének kiszámítását is. Ebben az esetben a legnagyobb közös osztót az adott számok összes közös prímtényezőjének szorzataként találjuk meg.

Példa.

Számítsa ki az előző példában szereplő számok gcd értékét a prímtényezők felhasználásával.

Megoldás.

Tekintsük a 78, 294, 570 és 36 számokat prímtényezőkbe, így 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 ·3·3. Ennek a négy számnak a közös prímtényezői a 2 és a 3. Ennélfogva, GCD(78; 294; 570; 36) = 2 · 3 = 6.

Lancinova Aisa

Letöltés:

Előnézet:

A bemutató előnézeteinek használatához hozzon létre egy fiókot magának ( fiókot) Google és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

Problémák a GCD-vel és a számok LCM-jével Az MCOU "Kamyshovskaya Secondary School" 6. osztályos diákjának munkája Lantsinova Aisa Felügyelő Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, matematikatanár p. Kamyshevo, 2013

Példa az 50, 75 és 325 számok gcd-jének megtalálására. 1) Tekintsük az 50, 75 és 325 számokat prímtényezőkbe. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) Az egyik szám bővítésében szereplő tényezők közül kihúzzuk azokat, amelyek nem szerepelnek a többiben . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) Keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát 5 ∙ ​​5 = 25 Válasz: GCD (50, 75 és 2525 a legnagyobb) szám, amellyel Ha a és b számokat maradék nélkül osztjuk, ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztóját e számok legnagyobb közös osztójának nevezzük.

Példa a 72, 99 és 117 számok LCM-jének meghatározására. 1) Tekintsük a 72, 99 és 117 számokat prímtényezőkbe. 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) Írja le a 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 számok egyikének bővítésében szereplő tényezőket, és adja hozzá a fennmaradó számok hiányzó tényezőit! 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) Határozza meg a kapott tényezők szorzatát! 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 Válasz: LCM (72, 99 és 117) = 10296 Az a és b természetes számok legkisebb közös többszöröse a legkisebb természetes szám, amely a többszöröse és b.

A kartonlap téglalap alakú, melynek hossza 48 cm, szélessége 40 cm. Ezt a lapot hulladék nélkül egyenlő négyzetekre kell vágni. Melyek a legnagyobb négyzetek, amelyek ebből a munkalapból nyerhetők, és hány? Megoldás: 1) S = a ∙ b – a téglalap területe. S = 48 ∙ 40 = 1960 cm². - karton terület. 2) a – a négyzet oldala 48: a – a karton hosszában elhelyezhető négyzetek száma. 40: a – a karton szélességében elhelyezhető négyzetek száma. 3) GCD (40 és 48) = 8 (cm) – a négyzet oldala. 4) S = a² – egy négyzet területe. S = 8² = 64 (cm²) – egy négyzet területe. 5) 1960: 64 = 30 (négyzetek száma). Válasz: 30 négyzet egyenként 8 cm-es oldallal. GCD problémák

A szobában lévő kandallót négyzet alakúra kell csempézni. Hány csempe kell egy 195 × 156 cm méretű kandallóhoz, és mik azok? legnagyobb méretek csempe? Megoldás: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420 (cm²) – a kandalló felületének S. 2) GCD (195 és 156) = 39 (cm) – a csempe oldala. 3) S = a² = 39² = 1521 (cm²) – 1 csempe területe. 4) 30420: = 20 (darab). Válasz: 20 db 39 ͯ 39 (cm) méretű lapka. GCD problémák

A kerület mentén 54 × 48 m méretű kerti telket be kell keríteni, ehhez rendszeres időközönként betonoszlopokat kell elhelyezni. Hány oszlopot kell hozni a helyszínre, és egymástól milyen maximális távolságra helyezik el az oszlopokat? Megoldás: 1) P = 2(a + b) – a lelőhely kerülete. P = 2(54 + 48) = 204 m. 2) GCD (54 és 48) = 6 (m) – az oszlopok közötti távolság. 3) 204: 6 = 34 (pillérek). Válasz: 34 pillér, 6 m távolságra GCD problémák

210 bordó, 126 fehér és 294 vörös rózsából gyűjtöttek csokrot, mindegyik csokor azonos számú azonos színű rózsát tartalmazott. Hány csokrot készítenek ezekből a rózsákból a legtöbben, és egy csokorban hány rózsa van az egyes színekből? Megoldás: 1) GCD (210, 126 és 294) = 42 (csokrok). 2) 210:42 = 5 (bordó rózsák). 3) 126:42 = 3 (fehér rózsák). 4) 294:42 = 7 (vörös rózsák). Válasz: 42 csokor: 5 bordó, 3 fehér, 7 piros rózsa minden csokorban. GCD problémák

Tanya és Masha ugyanannyi postacsomagot vásárolt. Tanya 90 rubelt fizetett, Masha pedig 5 rubelt. több. Mennyibe kerül egy szett? Hány készletet vásárolt mindenki? Megoldás: 1) 90 + 5 = 95 (dörzsölje.) Mása fizetett. 2) GCD (90 és 95) = 5 (dörzsölje) – 1 készlet ára. 3) 980: 5 = 18 (szett) – Tanya vásárolta. 4) 95: 5 = 19 (készletek) – Masha vásárolta. Válasz: 5 rubel, 18 készlet, 19 készlet. GCD problémák

A kikötővárosban három turistahajó-kirándulás indul, amelyek közül az első 15, a második 20, a harmadik pedig 12 napig tart. A kikötőbe visszatérve a hajók ugyanazon a napon ismét elindultak. Ma mindhárom útvonalon hajók hagyták el a kikötőt. Hány nap múlva mennek újra együtt vitorlázni először? Hány utat tesz meg egy hajó? Megoldás: 1) NOC (15, 20 és 12) = 60 (nap) – találkozási idő. 2) 60: 15 = 4 (utak) – 1 hajó. 3) 60: 20 = 3 (utak) – 2 hajó. 4) 60: 12 = 5 (repülések) – 3 hajó. Válasz: 60 nap, 4 repülés, 3 repülés, 5 repülés. NOC feladatok

Masha tojást vásárolt a Medvének a boltban. Az erdő felé vezető úton rájött, hogy a tojások száma osztható 2, 3, 5, 10 és 15-tel. Hány tojást vett Masha? Megoldás: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (tojás) Válasz: Mása vett 30 tojást. NOC feladatok

A 16 × 20 cm átmérőjű dobozok elhelyezéséhez négyszögletes fenekű dobozt kell készíteni Mekkora a négyzet alakú fenék oldalának legrövidebb hossza, hogy a dobozok szorosan illeszkedjenek a dobozba? Megoldás: 1) LCM (16 és 20) = 80 (dobozok). 2) S = a ∙ b – 1 doboz területe. S = 16 ∙ 20 = 320 (cm²) – 1 doboz alsó területe. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – a négyzet aljának területe. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – a doboz méretei. Válasz: 160 cm a négyzet alakú alsó oldala. NOC feladatok

A K ponttól induló út mentén 45 méterenként villanyoszlopok állnak, és úgy döntöttek, hogy ezeket az oszlopokat 60 m távolságra helyezik el másokkal. Hány oszlop volt és hány lesz? Megoldás: 1) LCM (45 és 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – oszlopok voltak. 3) 180: 60 = 3 – oszlopokká váltak. Válasz: 4 oszlop, 3 oszlop. NOC feladatok

Hány katona vonul fel a felvonulási téren, ha 12 fős alakulatban vonulnak fel egy sorban, és 18 fős hadoszloppá változnak egy sorban? Megoldás: 1) NOC (12 és 18) = 36 (fő) - menetelés. Válasz: 36 fő. NOC feladatok

Az alábbiakban bemutatott anyag az LCM - legkisebb közös többszörös, definíció, példák, az LCM és a GCD kapcsolata című cikk elméletének logikus folytatása. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), és kiemelt figyelmet fordítunk a példák megoldására. Először is bemutatjuk, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-jével. Ezután megvizsgáljuk a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítjuk. Ezt követően három vagy több szám LCM-jének megkeresésére összpontosítunk, és figyelmet fordítunk a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.

Oldalnavigáció.

A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül

A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Az LCM és a GCD között fennálló kapcsolat lehetővé teszi két pozitív egész legkisebb közös többszörösének kiszámítását egy ismert legnagyobb közös osztón keresztül. A megfelelő képlet az LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Nézzünk példákat az LCM megtalálására a megadott képlet segítségével.

Példa.

Határozzuk meg két szám 126 és 70 legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM és a GCD közötti kapcsolatot a képlettel kifejezve LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Vagyis először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után az írott képlet segítségével kiszámolhatjuk ezeknek a számoknak az LCM-jét.

Keressük meg a GCD(126, 70)-t az euklideszi algoritmus segítségével: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tehát GCD(126, 70)=14.

Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: GCD(126;70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.

Válasz:

LCM(126,70)=630.

Példa.

Mi egyenlő LCM(68; 34)?

Megoldás.

Mert 68 osztható 34-gyel, akkor GCD(68, 34)=34. Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: GCD(68;34)=68·34:GCD(68;34)= 68·34:34=68.

Válasz:

LCM(68,34)=68.

Vegye figyelembe, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az a és b pozitív egész számok LCM-jének meghatározására: ha az a szám osztható b-vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a.

Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával

A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha adott számok összes prímtényezőjéből összeállítunk egy szorzatot, majd ebből a szorzatból kizárjuk az adott számok dekompozícióiban előforduló összes gyakori prímtényezőt, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok legkisebb közös többszörösével. .

Az LCM megtalálásának kimondott szabálya az egyenlőségből következik LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Valóban, az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok bővülésében részt vevő összes tényező szorzatával. A GCD(a, b) viszont egyenlő az a és b számok kiterjesztésében egyidejűleg jelen lévő összes prímtényező szorzatával (ahogyan a GCD megtalálása a számok prímtényezőkké történő kiterjesztésével foglalkozik).

Mondjunk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. Állítsuk össze a szorzatot ezen bővítések összes tényezőjéből: 2·3·3·5·5·5·7 . Most ebből a szorzatból kizárjuk mind a 75-ös szám kiterjesztésében, mind a 210-es szám kiterjesztésében szereplő összes tényezőt (ezek a tényezők 3 és 5), ekkor a szorzat 2·3·5·5·7 alakot vesz fel. . Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő 75 és 210 legkisebb közös többszörösével, azaz NOC(75,210)=2·3·5·5·7=1050.

Példa.

A 441-es és 700-as számokat prímtényezőkké alakítsa, és keresse meg ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Tekintsük a 441 és 700 számokat prímtényezőkbe:

441=3·3·7·7 és 700=2·2·5·5·7 kapjuk.

Most hozzunk létre egy szorzatot az összes tényezőből, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében részt vesznek: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazon tényezőket, amelyek egyidejűleg jelen vannak mindkét bővítésben (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2·2·3·3·5·5·7·7. És így, LCM(441,700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Válasz:

NOC(441,700)=44100.

Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkké alakításával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha a b szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az a szám bővítéséből származó tényezőkhöz, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b számok legkisebb közös többszörösével..

Vegyük például ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, amelyek prímtényezőkre való felosztása a következő: 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. A 75-ös szám bővítéséből származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám bővítéséből hiányzó 2-es és 7-es tényezőket, így a 2·3·5·5·7 szorzatot kapjuk, melynek értéke: egyenlő: LCM(75; 210).

Példa.

Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.

Megoldás.

Először megkapjuk a 84-es és 648-as számok prímtényezőkre történő felbontását. Így néznek ki: 84=2·2·3·7 és 648=2·2·2·3·3·3·3. A 84-es szám bővítéséből származó 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 648-as szám bővítéséből hiányzó 2, 3, 3 és 3-as tényezőket, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.

Válasz:

LCM(84,648)=4536.

Három vagy több szám LCM-jének megkeresése

Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse két szám LCM-jének szekvenciális meghatározásával kereshető meg. Emlékezzünk vissza a megfelelő tételre, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.

Tétel.

Legyenek adottak pozitív egész számok a 1 , a 2 , …, a k, ezeknek a számoknak az m k legkisebb közös többszörösét az m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a ) szekvenciális kiszámításával kapjuk meg. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Nézzük meg ennek a tételnek az alkalmazását a négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.

Példa.

Keresse meg négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.

Megoldás.

Ebben a példában a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Először megtaláljuk m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140; 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a GCD(140, 9) értéket, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ezért GCD(140, 9)=1 , honnan GCD(140; 9)=140 9:GCD(140; 9)= 140·9:1=1260. Azaz m 2 =1 260.

Most megtaláljuk m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Számítsuk ki a GCD(1 260, 54) függvényen keresztül, amit szintén az euklideszi algoritmussal határozunk meg: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Ekkor gcd(1,260,54)=18, ebből gcd(1,260,54)=1,260·54:gcd(1,260,54)=1,260·54:18=3,780. Vagyis m 3 = 3 780.

Már csak meg kell találni m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780; 250). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével megtaláljuk a GCD(3,780, 250) értéket: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Ezért GCM(3780;250)=10, innen GCM(3780;250)= 3 780 250: GCD(3 780; 250)= 3780·250:10=94500. Azaz m 4 =94 500.

Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.

Válasz:

LCM(140;9;54;250)=94500.

Sok esetben célszerű megtalálni három vagy több szám legkisebb közös többszörösét az adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben be kell tartania a következő szabályt. Több szám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzattal, amely a következőképpen épül fel: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből. a harmadik számot hozzáadjuk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.

Nézzünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a prímtényezős rendszer használatával.

Példa.

Keresse meg az öt szám legkisebb közös többszörösét: 84, 6, 48, 7, 143.

Megoldás.

Először is megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való felbontását: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 prímszám, egybeesik prímtényezőkre való bontásával) és 143=11·13.

Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es faktorokhoz (ezek 2, 2, 3 és 7) hozzá kell adni a hiányzó tényezőket a második 6-os szám bővítéséből. A 6-os szám dekompozíciója nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen az első 84-es szám felbontásában már a 2-es és a 3-as is jelen van. Ezután a 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. A következő lépésben nem kell ehhez a halmazhoz szorzót hozzáadni, mivel a 7 már benne van. Végül a 2-es, 2-es, 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 143-as szám bővítéséből hiányzó 11-es és 13-as tényezőket. A 2·2·2·2·3·7·11·13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.

Ahhoz, hogy megtanulja megtalálni két vagy több szám legnagyobb közös osztóját, meg kell értenie, hogy mi a természetes, prímszám és komplex szám.

A természetes szám bármely szám, amelyet egész objektumok megszámlálására használnak.

Ha egy természetes szám csak önmagára és egyre osztható, akkor prímnek nevezzük.

Minden természetes szám felosztható önmagára és egyre, de az egyetlen párosra prímszám 2, az összes többi osztható kettővel. Ezért csak páratlan számok lehetnek prímszámok.

Nagyon sok prímszám van teljes lista nem léteznek. A GCD megtalálásához kényelmes speciális táblázatokat használni ilyen számokkal.

A legtöbb természetes szám nem csak eggyel osztható, hanem más számokkal is. Így például a 15-ös szám osztható további 3-mal és 5-tel. Mindegyiket a 15-ös szám osztóinak nevezzük.

Így bármely A osztója az a szám, amellyel maradék nélkül osztható. Ha egy számnak kettőnél több természetes tényezője van, akkor összetettnek nevezzük.

A 30-as számnak lehetnek osztói, például 1, 3, 5, 6, 15, 30.

Észreveheti, hogy 15 és 30 ugyanazokkal az osztókkal rendelkezik: 1, 3, 5, 15. Ennek a két számnak a legnagyobb közös osztója a 15.

Így az A és B számok közös osztója az a szám, amellyel teljesen oszthatók. A legnagyobb a maximumnak tekinthető teljes szám, amelyre feloszthatók.

A problémák megoldására a következő rövidített feliratot használják:

GCD (A; B).

Például gcd (15; 30) = 30.

Az összes osztó felírása természetes szám, a bejegyzés kerül alkalmazásra:

D (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

Ebben a példában a természetes számoknak csak egy közös osztójuk van. Viszonylag elsődlegesnek nevezik őket, így az egység a legnagyobb közös osztójuk.

Hogyan találjuk meg a számok legnagyobb közös osztóját

Több szám gcd-jének megkereséséhez a következőkre lesz szüksége:

Keresse meg az egyes természetes számok összes osztóját külön-külön, azaz szorozza őket faktorokká (prímszámokká);

Válassza ki a megadott számok összes azonos tényezőjét;

Szorozza össze őket.

Például a 30 és 56 számok legnagyobb közös osztójának kiszámításához a következőket kell írnia:

A félreértések elkerülése érdekében célszerű a tényezőket függőleges oszlopokkal írni. A sor bal oldalán el kell helyezni az osztalékot, a jobb oldalon pedig az osztót. Az osztalék alatt a kapott hányadost kell feltüntetni.

Tehát a jobb oldali oszlopban ott lesz a megoldáshoz szükséges összes tényező.

Az azonos osztók (talált tényezők) a kényelem kedvéért aláhúzhatók. Át kell írni és szorozni, és a legnagyobb közös osztót le kell írni.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

Így igazán könnyű megtalálni a számok legnagyobb közös osztóját. Ha egy kicsit gyakorolsz, ezt szinte automatikusan megteheted.

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

A középiskolások a hatodik osztályban találkoznak a legnagyobb közös osztó (GCD) és a legkisebb közös többszörös (LCM) fogalmával. Ezt a témát mindig nehéz megérteni. A gyerekek gyakran összekeverik ezeket a fogalmakat, és nem értik, miért kell őket tanulmányozni. A közelmúltban a tudománynépszerűsítő irodalomban elszigetelt kijelentések hangzottak el, hogy ezt az anyagot ki kell zárni az iskolai tananyagból. Úgy gondolom, hogy ez nem teljesen igaz, és ha nem is tanórán, akkor tanórán kívüli órákon az iskolai tagozatos órákon kell tanulmányozni, hiszen hozzájárul az iskolások logikus gondolkodásának fejlesztéséhez, növeli a számítási műveletek sebességét, és a problémamegoldás képessége szép módszerekkel.

A "Törtek összeadása és kivonása" témakör tanulmányozásakor különböző nevezők"Megtanítjuk a gyerekeket, hogy találják meg két vagy több szám közös nevezőjét. Például össze kell adni az 1/3 és 1/5 törteket. A tanulók könnyen megtalálhatnak egy számot, amely maradék nélkül osztható 3-mal és 5-tel. Valóban, ha a számok kicsik, akkor a közös nevezőt könnyű megtalálni, ha jól ismeri a szorzótáblát.Az egyik gyerek észreveszi, hogy ez a szám a 3 és 5 szorzata. Az a vélemény, hogy így mindig meg lehet találni a számok közös nevezőjét, például kivonjuk a 7/ 18 és az 5/24 törteket Keressük meg a 18 és 24 számok szorzatát. Ez egyenlő 432-vel. már megkapták nagy szám, és ha további számításokat kell végeznie (különösen az összes műveletre vonatkozó példák esetében), akkor megnő a hiba valószínűsége. De a talált számok legkisebb közös többszöröse (LCM), amely ebben az esetben egyenértékű a legkisebb közös nevezővel (LCD) - a 72-es számmal - jelentősen megkönnyíti a számításokat, és a példa gyorsabb megoldásához vezet, és ezzel megmenti a ennek a feladatnak az elvégzésére szánt idő, amely fontos szerepet játszik a végső tesztek teljesítésében, tesztek, különösen a végső értékelés során.

A „Törtek redukálása” témakör tanulmányozásakor szekvenciálisan mozoghat úgy, hogy a tört számlálóját és nevezőjét elosztja ugyanazzal a természetes számmal, a számok oszthatóságának jeleit használva, és végül egy redukálhatatlan törtet kap. Például csökkentenie kell a 128/344 törtet. Először a tört számlálóját és nevezőjét osszuk el 2-vel, a 64/172-es törtet kapjuk. A kapott tört számlálóját és nevezőjét még egyszer elosztjuk 2-vel, így a 32/86-os törtet kapjuk. A tört számlálóját és nevezőjét ismét elosztjuk 2-vel, így az irreducibilis tört 16/43-at kapjuk. De a tört redukálása sokkal egyszerűbb, ha megtaláljuk a 128 és 344 számok legnagyobb közös osztóját. GCD(128, 344) = 8. A tört számlálóját és nevezőjét elosztva ezzel a számmal azonnal egy redukálhatatlan törtet kapunk. .

Meg kell mutatni a gyerekeknek különböző utak a számok legnagyobb közös osztójának (GCD) és legkisebb közös többszörösének (LCM) megtalálása. Egyszerű esetekben célszerű egyszerű felsorolással megtalálni a számok legnagyobb közös osztóját (GCD) és legkisebb közös többszörösét (LCD). Ahogy a számok nőnek, használhatja a prímtényezőket. A hatodik osztályos tankönyv (szerző: N.Ya. Vilenkin) a következő módszert mutatja be a számok legnagyobb közös osztójának (GCD) megtalálására. Tekintsük a számokat prímtényezőkbe:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Ezután az egyik szám bővítésében szereplő tényezők közül kihúzzuk azokat, amelyek nem szerepelnek a másik szám bővítésében. A fennmaradó tényezők szorzata lesz ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója. Ebben az esetben ez a 8-as szám. Saját tapasztalatom szerint meg vagyok győződve arról, hogy a gyerekek számára egyértelműbb, ha a számok felbontásánál ugyanazokat a tényezőket húzzuk alá, majd az egyik dekompozícióban megtaláljuk a szorzatot aláhúzott tényezők. Ez ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója. A hatodik osztályban a gyerekek aktívak és érdeklődők. A következő feladatot állíthatja be nekik: próbálja meg a leírt módszerrel megkeresni a 343 és 287 számok legnagyobb közös osztóját. Nem azonnal nyilvánvaló, hogyan kell ezeket prímtényezőkbe beszámítani. És itt elmondhatja nekik az ókori görögök által feltalált csodálatos módszert, amely lehetővé teszi a legnagyobb közös osztó (GCD) keresését anélkül, hogy prímtényezőkbe számolná. A legnagyobb közös osztó megtalálásának ezt a módszerét először Eukleidész Elemek című könyve írta le. Euklideszi algoritmusnak hívják. Ez a következőkből áll: Először osszuk el a nagyobb számot a kisebbel. Ha maradékot kapunk, akkor a kisebb számot elosztjuk a maradékkal. Ha ismét maradékot kapunk, akkor az első maradékot el kell osztani a másodikkal. Folytassa az osztást így, amíg a maradék nulla lesz. Az utolsó osztó ezeknek a számoknak a legnagyobb közös osztója (GCD).

Térjünk vissza példánkhoz, és az érthetőség kedvéért írjuk le táblázat formájában a megoldást.

Tehát gcd(344,287) = 7

Hogyan találjuk meg ugyanazon számok legkisebb közös többszörösét (LCM)? Van-e erre valamilyen mód, amely nem igényli ezeket a számokat előzetesen prímtényezőkre? Kiderült, hogy létezik, és egy nagyon egyszerű. Ezeket a számokat meg kell szoroznunk, és el kell osztanunk a szorzatot a talált legnagyobb közös osztóval (GCD). Ebben a példában a számok szorzata 98441. Osszuk el 7-tel, és kapjuk az 14063 számot. LCM(343,287) = 14063.

A matematika egyik nehéz témája a szöveges feladatok megoldása. Meg kell mutatnunk a tanulóknak, hogy a Legnagyobb közös osztó (GCD) és a Least Common Multiple (LCM) fogalmak hogyan használhatók olyan problémák megoldására, amelyeket a szokásos módon néha nehéz megoldani. Itt érdemes a tanulókkal az iskolai tankönyv szerzői által javasolt feladatok mellett olyan ősi és szórakoztató feladatokat is átgondolni, amelyek fejlesztik a gyerekek kíváncsiságát és növelik az érdeklődést a téma tanulmányozása iránt. E fogalmak ügyes elsajátítása lehetővé teszi a hallgatóknak, hogy szép megoldást lássanak egy nem szabványos problémára. És ha a gyermek hangulata megemelkedik egy jó probléma megoldása után, ez a sikeres munka jele.

Így az olyan fogalmak iskolai tanulmányozása, mint a „legnagyobb közös osztó (GCD)” és a „legkisebb közös többszörös (LCD)”

Lehetővé teszi a munka elvégzésére szánt idő megtakarítását, ami az elvégzett feladatok mennyiségének jelentős növekedéséhez vezet;

Növeli az aritmetikai műveletek végrehajtásának sebességét és pontosságát, ami a számítási hibák számának jelentős csökkenéséhez vezet;

Lehetővé teszi, hogy megtalálja gyönyörű módokon nem szabványos szöveges feladatok megoldása;

Fejleszti a tanulók kíváncsiságát, szélesíti látókörüket;

Megteremti a sokoldalú alkotó személyiség nevelésének előfeltételeit.