Esta calculadora matemática en línea te ayudará resolver una ecuación o desigualdad con módulos. Programa para resolver ecuaciones y desigualdades con módulos no sólo da la respuesta al problema, sino que conduce solución detallada con explicaciones, es decir. muestra el proceso de obtención del resultado.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria en escuelas secundarias en preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta manera puedes gastar tu propia formación y/o capacitar a sus hermanos o hermanas menores, mientras aumenta el nivel de educación en el área de los problemas que se resuelven.

|x| o abs(x) - módulo x

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Resolver una ecuación o desigualdad

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Un poco de teoría.

Ecuaciones y desigualdades con módulos.

En un curso de álgebra escolar básico, es posible que encuentres las ecuaciones y desigualdades con módulos más simples. Para resolverlos, puedes utilizar un método geométrico basado en el hecho de que \(|x-a| \) es la distancia en la recta numérica entre los puntos x y a: \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). Por ejemplo, para resolver la ecuación \(|x-3|=2\) necesitas encontrar puntos en la recta numérica que estén distantes del punto 3 a una distancia de 2. Hay dos de esos puntos: \(x_1=1 \) y \(x_2=5\) .

Resolviendo la desigualdad \(|2x+7|

Pero la principal forma de resolver ecuaciones y desigualdades con módulos está asociada a la llamada “revelación del módulo por definición”:
si \(a \geq 0 \), entonces \(|a|=a \);
si \(a Como regla general, una ecuación (desigualdad) con módulos se reduce a un conjunto de ecuaciones (desigualdades) que no contienen el signo del módulo.

Además de la definición anterior, se utilizan las siguientes declaraciones:
1) Si \(c > 0\), entonces la ecuación \(|f(x)|=c \) es equivalente al conjunto de ecuaciones: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\right. \)
2) Si \(c > 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| 3) Si \(c \geq 0 \), entonces la desigualdad \(|f(x)| > c \) es equivalente a un conjunto de desigualdades: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Si ambos lados de la desigualdad \(f(x) EJEMPLO 1. Resuelve la ecuación \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Si \(x-1 \geq 0\), entonces \(|x-1| = x-1\) y la ecuación dada toma la forma
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Si \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Por tanto, la ecuación dada debe considerarse por separado en cada uno de los dos casos indicados.
1) Sea \(x-1 \geq 0 \), es decir \(x\geq 1\). De la ecuación \(x^2 +2x -8 = 0\) encontramos \(x_1=2, \; x_2=-4\). La condición \(x \geq 1 \) se cumple únicamente con el valor \(x_1=2\).
2) Sea \(x-1 Respuesta: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

EJEMPLO 2. Resuelve la ecuación \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

primera manera(expansión del módulo por definición).
Razonando como en el ejemplo 1, llegamos a la conclusión de que la ecuación dada debe considerarse por separado si se cumplen dos condiciones: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) o \(x^2-6x+7

1) Si \(x^2-6x+7 \geq 0 \), entonces \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) y la ecuación dada toma la forma \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Habiendo resuelto esta ecuación cuadrática, obtenemos: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Averigüemos si el valor \(x_1=6\) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0\). Para hacer esto, sustituya el valor indicado en la desigualdad cuadrática. Obtenemos: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), es decir \(7 \geq 0 \) es una desigualdad verdadera. Esto significa que \(x_1=6\) es la raíz de la ecuación dada.
Averigüemos si el valor \(x_2=\frac(5)(3)\) satisface la condición \(x^2-6x+7 \geq 0\). Para hacer esto, sustituya el valor indicado en la desigualdad cuadrática. Obtenemos: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), es decir \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) es una desigualdad incorrecta. Esto significa que \(x_2=\frac(5)(3)\) no es una raíz de la ecuación dada.

2) Si \(x^2-6x+7 Valor \(x_3=3\) satisface la condición \(x^2-6x+7 Valor \(x_4=\frac(4)(3) \) no satisface la condición \ (x^2-6x+7 Entonces, la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6, \; x=3 \).

Segunda vía. Si se da la ecuación \(|f(x)| = h(x) \), entonces con \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right. \)
Ambas ecuaciones se resolvieron anteriormente (usando el primer método para resolver la ecuación dada), sus raíces son las siguientes: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). La condición \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) de estos cuatro valores se satisface solo con dos: 6 y 3. Esto significa que la ecuación dada tiene dos raíces: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Tercera vía(gráfico).
1) Construyamos una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \). Primero, construyamos una parábola \(y = x^2-6x+7\). Tenemos \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). La gráfica de la función \(y = (x-3)^2-2\) se puede obtener a partir de la gráfica de la función \(y = x^2 \) desplazándola 3 unidades de escala hacia la derecha (junto el eje x) y 2 unidades de escala hacia abajo (a lo largo del eje y). La recta x=3 es el eje de la parábola que nos interesa. Como puntos de control para un trazado más preciso, es conveniente tomar el punto (3; -2): el vértice de la parábola, el punto (0; 7) y el punto (6; 7) simétrico con respecto al eje de la parábola. .
Para construir ahora una gráfica de la función \(y = |x^2-6x+7| \), debes dejar sin cambios aquellas partes de la parábola construida que no se encuentran debajo del eje x, y reflejar esa parte de la parábola construida. parábola que se encuentra debajo del eje x con respecto al eje x.
2) Construyamos un gráfico función lineal\(y = \frac(5x-9)(3)\). Es conveniente tomar los puntos (0; –3) y (3; 2) como puntos de control.

Es importante que el punto x = 1,8 de la intersección de la línea recta con el eje de abscisas esté ubicado a la derecha del punto izquierdo de intersección de la parábola con el eje de abscisas; este es el punto \(x=3-\ sqrt(2)\) (ya que \(3-\sqrt(2 ) 3) A juzgar por el dibujo, las gráficas se cruzan en dos puntos: A(3; 2) y B(6; 7).Sustituyendo las abscisas de estas puntos x = 3 y x = 6 en la ecuación dada, estamos convencidos de que ambos en otro valor, se obtiene la igualdad numérica correcta. Esto significa que nuestra hipótesis fue confirmada: la ecuación tiene dos raíces: x = 3 y x = 6 .Respuesta: 3; 6.

Comentario. El método gráfico, a pesar de su elegancia, no es muy fiable. En el ejemplo considerado, funcionó sólo porque las raíces de la ecuación son números enteros.

EJEMPLO 3. Resuelve la ecuación \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

primera manera
La expresión 2x–4 se vuelve 0 en el punto x = 2, y la expresión x + 3 se vuelve 0 en el punto x = –3. Estos dos puntos dividen la recta numérica en tres intervalos: \(x

Considere el primer intervalo: \((-\infty; \; -3) \).
Si x Considere el segundo intervalo: \([-3; \; 2) \).
Si \(-3 \leq x Considere el tercer intervalo: \(

Discurso en lenguaje sencillo, el módulo es "un número sin menos". Y es en esta dualidad (en algunos lugares no hay que hacer nada con el número original, pero en otros hay que eliminar algún tipo de signo negativo) donde radica toda la dificultad para los estudiantes principiantes.

También hay una definición geométrica. También es útil saberlo, pero lo abordaremos solo en aspectos complejos y algunos. casos especiales, donde el enfoque geométrico es más conveniente que el algebraico (spoiler: hoy no).

Definición. Sea el punto $a$ marcado en la recta numérica. Entonces el módulo $\left| x-a \right|$ es la distancia desde el punto $x$ al punto $a$ en esta línea.

Si haces un dibujo, obtendrás algo como esto:

Definición del módulo gráfico.

De una forma u otra, de la definición de un módulo se desprende inmediatamente su propiedad clave: el módulo de un número es siempre una cantidad no negativa. Este hecho será un hilo rojo que atravesará toda nuestra narrativa de hoy.

Resolver desigualdades. método de intervalo

Ahora veamos las desigualdades. Hay muchísimos de ellos, pero nuestra tarea ahora es poder resolver al menos el más simple de ellos. Las que se reducen a desigualdades lineales, así como al método de intervalos.

Tengo dos grandes lecciones sobre este tema (por cierto, muy, MUY útiles; recomiendo estudiarlas):

1. Método de intervalos para desigualdades (especialmente mire el video);
2. Las desigualdades racionales fraccionarias es una lección muy extensa, pero después no tendrás ninguna pregunta.

Si sabes todo esto, si la frase “pasemos de la desigualdad a la ecuación” no te provoca un vago deseo de darte contra la pared, entonces estás listo: bienvenido al infierno al tema principal de la lección. :)

1. Desigualdades de la forma “El módulo es menor que la función”

Este es uno de los problemas más comunes con los módulos. Se requiere resolver una desigualdad de la forma:

\[\izquierda| miedo\derecho| \ltg\]

Las funciones $f$ y $g$ pueden ser cualquier cosa, pero normalmente son polinomios. Ejemplos de tales desigualdades:

\[\begin(alinear) & \left| 2x+3 \derecha| \ltx+7; \\ & \izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \izquierda| ((x)^(2))-2\izquierda| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(align)\]

Todos ellos se pueden resolver literalmente en una línea según el siguiente esquema:

\[\izquierda| miedo\derecho| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \bien bien)\]

Es fácil ver que nos deshacemos del módulo, pero a cambio obtenemos una doble desigualdad (o, lo que es lo mismo, un sistema de dos desigualdades). Pero esta transición tiene en cuenta absolutamente todo. Posibles problemas: si el número bajo el módulo es positivo, el método funciona; si es negativo, todavía funciona; e incluso con la función más inadecuada en lugar de $f$ o $g$, el método seguirá funcionando.

Naturalmente, surge la pregunta: ¿no podría ser más sencillo? Lamentablemente, no es posible. Este es el objetivo del módulo.

Pero basta ya de filosofar. Resolvamos un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 2x+3 \derecha| \ltx+7\]

Solución. Entonces, tenemos ante nosotros una desigualdad clásica de la forma "el módulo es menor": ni siquiera hay nada que transformar. Trabajamos según el algoritmo:

\[\begin(alinear) & \left| miedo\derecho| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \izquierda| 2x+3 \derecha| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

No te apresures a abrir los paréntesis precedidos por un "menos": es muy posible que debido a tu prisa cometas un error ofensivo.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

El problema se redujo a dos desigualdades elementales. Observemos sus soluciones en rectas numéricas paralelas:

Intersección de muchos

La intersección de estos conjuntos será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Solución. Esta tarea es un poco más difícil. Primero, aislamos el módulo moviendo el segundo término hacia la derecha:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Obviamente, nuevamente tenemos una desigualdad de la forma “el módulo es más pequeño”, por lo que nos deshacemos del módulo usando el algoritmo ya conocido:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Ahora atención: alguien dirá que soy un poco pervertido con todos estos paréntesis. Pero permítanme recordarles una vez más que nuestro objetivo clave es resuelve correctamente la desigualdad y obtén la respuesta. Más adelante, cuando hayas dominado perfectamente todo lo descrito en esta lección, podrás pervertirlo tú mismo como quieras: abrir paréntesis, añadir menos, etc.

Para empezar, simplemente nos desharemos del doble menos de la izquierda:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\izquierda(x+1 \derecha)\]

Ahora abramos todos los corchetes en la doble desigualdad:

Pasemos a la doble desigualdad. Esta vez los cálculos serán más serios:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( alinear)\derecha.\]

Ambas desigualdades son cuadráticas y se pueden resolver por el método del intervalo (por eso digo: si no sabes qué es esto, mejor no coger módulos todavía). Pasemos a la ecuación de la primera desigualdad:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(alinear)\]

Como puede ver, el resultado es una ecuación cuadrática incompleta, que se puede resolver de forma elemental. Ahora veamos la segunda desigualdad del sistema. Allí tendrás que aplicar el teorema de Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(alinear)\]

Marcamos los números resultantes en dos líneas paralelas (separadas para la primera desigualdad y separadas para la segunda):

Nuevamente, dado que estamos resolviendo un sistema de desigualdades, nos interesa la intersección de los conjuntos sombreados: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Esta es la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Creo que después de estos ejemplos el esquema de solución es sumamente claro:

1. Aísle el módulo moviendo todos los demás términos al lado opuesto de la desigualdad. Así obtenemos una desigualdad de la forma $\left| miedo\derecho| \ltg$.
2. Resuelva esta desigualdad deshaciéndose del módulo según el esquema descrito anteriormente. En algún momento será necesario pasar de la doble desigualdad a un sistema de dos expresiones independientes, cada una de las cuales ya puede resolverse por separado.
3. Finalmente, todo lo que queda es intersecar las soluciones de estas dos expresiones independientes, y eso es todo, obtendremos la respuesta final.

Existe un algoritmo similar para desigualdades del siguiente tipo, cuando el módulo es mayor que la función. Sin embargo, hay un par de “peros” serios. Hablaremos ahora de estos “peros”.

2. Desigualdades de la forma “El módulo es mayor que la función”

Se ven así:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gtg\]

¿Parecido al anterior? Parece. Y, sin embargo, estos problemas se resuelven de una manera completamente diferente. Formalmente, el esquema es el siguiente:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

En otras palabras, consideramos dos casos:

1. Primero, simplemente ignoramos el módulo y resolvemos la desigualdad habitual;
2. Luego, en esencia, expandimos el módulo con el signo menos y luego multiplicamos ambos lados de la desigualdad por −1, mientras tengo el signo.

En este caso, las opciones se combinan con un corchete, es decir Tenemos ante nosotros una combinación de dos requisitos.

Tenga en cuenta nuevamente: esto no es un sistema, sino una totalidad, por lo tanto en la respuesta los conjuntos se combinan en lugar de cruzarse. ¡Esta es una diferencia fundamental con respecto al punto anterior!

En general, muchos estudiantes están completamente confundidos con las uniones y las intersecciones, así que solucionemos este problema de una vez por todas:

• "∪" es un signo sindical. De hecho, esta es una letra estilizada "U" que nos llegó desde en Inglés y es una abreviatura de “Unión”, es decir "Asociaciones".
• "∩" es la señal de intersección. Esta basura no surgió de ninguna parte, sino que simplemente apareció como un contrapunto a “∪”.

Para que sea aún más fácil de recordar, simplemente dibuje piernas en estos carteles para hacer anteojos (pero no me acuse ahora de promover la adicción a las drogas y el alcoholismo: si está estudiando seriamente esta lección, entonces ya es un drogadicto):

Diferencia entre intersección y unión de conjuntos.

Traducido al ruso, esto significa lo siguiente: la unión (totalidad) incluye elementos de ambos conjuntos, por lo tanto, de ninguna manera es menos que cada uno de ellos; pero la intersección (sistema) incluye solo aquellos elementos que están simultáneamente tanto en el primer conjunto como en el segundo. Por lo tanto, la intersección de conjuntos nunca es mayor que los conjuntos fuente.

¿Entonces quedó más claro? Eso es genial. Pasemos a la práctica.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\]

Solución. Procedemos según el esquema:

\[\izquierda| 3x+1 \derecha| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ bien.\]

Resolvemos cada desigualdad de la población:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Marcamos cada conjunto resultante en la recta numérica y luego los combinamos:

unión de conjuntos

Es bastante obvio que la respuesta será $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Respuesta: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gtx\]

Solución. ¿Bien? Nada, todo es igual. Pasamos de una desigualdad con módulo a un conjunto de dos desigualdades:

\[\izquierda| ((x)^(2))+2x-3 \derecha| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Resolvemos cada desigualdad. Desafortunadamente, las raíces allí no serán muy buenas:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(alinear)\]

La segunda desigualdad también es un poco descabellada:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(alinear)\]

Ahora necesitas marcar estos números en dos ejes: un eje para cada desigualdad. Sin embargo, los puntos deben marcarse en en el orden correcto: cuanto mayor es el número, más se mueve el punto hacia la derecha.

Y aquí nos espera una configuración. Si todo está claro con los números $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (los términos en el numerador del primer fracción son menores que los términos en el numerador de la segunda, por lo que la suma también es menor), con los números $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tampoco habrá dificultades (un número positivo obviamente es más negativo), luego con el último par no todo está tan claro. ¿Cuál es mayor: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ o $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? La ubicación de los puntos en las rectas numéricas y, de hecho, la respuesta dependerán de la respuesta a esta pregunta.

Entonces comparemos:

\[\begin(matriz) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriz)\]

Aislamos la raíz, obtuvimos números no negativos en ambos lados de la desigualdad, por lo que tenemos derecho a elevar al cuadrado ambos lados:

\[\begin(matriz) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriz)\]

Creo que es una obviedad que $4\sqrt(13) \gt 3$, entonces $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, los puntos finales de los ejes quedarán así:

Un caso de raíces feas

Déjame recordarte que estamos resolviendo un conjunto, por lo que la respuesta será una unión, no una intersección de conjuntos sombreados.

Respuesta: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Como puede ver, nuestro esquema funciona muy bien tanto para problemas simples como para problemas muy difíciles. La única cosa " debilidad“En este enfoque, es necesario comparar de manera competente números irracionales (y créanme: no son solo raíces). Pero se dedicará una lección aparte (y muy seria) a las cuestiones de comparación. Y seguimos adelante.

3. Desigualdades con “colas” no negativas

Ahora llegamos a la parte más interesante. Estas son desigualdades de la forma:

\[\izquierda| miedo\derecho| \gt\izquierda| g\derecho|\]

En términos generales, el algoritmo del que hablaremos ahora es correcto sólo para el módulo. Funciona en todas las desigualdades donde se garantizan expresiones no negativas a la izquierda y a la derecha:

¿Qué hacer con estas tareas? Solo recuerda:

En desigualdades con “colas” no negativas, ambos lados pueden elevarse a cualquier potencia natural. No habrá restricciones adicionales.

En primer lugar, nos interesará la cuadratura: quema módulos y raíces:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(alinear)\]

Pero no confundas esto con sacar la raíz de un cuadrado:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\izquierda| f \right|\ne f\]

¡Se cometieron innumerables errores cuando un estudiante olvidó instalar un módulo! Pero esta es una historia completamente diferente (son, por así decirlo, ecuaciones irracionales), por lo que no entraremos en esto ahora. Resolvamos mejor un par de problemas:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \derecha|\]

Solución. Notemos inmediatamente dos cosas:

1. Esta no es una desigualdad estricta. Se perforarán los puntos de la recta numérica.
2. Ambos lados de la desigualdad son obviamente no negativos (esta es una propiedad del módulo: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Por lo tanto, podemos elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad para deshacernos del módulo y resolver el problema usando el método de intervalo habitual:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(alinear)\]

En último paso Hice un poco de trampa: cambié la secuencia de términos, aprovechando la uniformidad del módulo (de hecho, multipliqué la expresión $1-2x$ por −1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ derecha)\derecha)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Resolvemos usando el método del intervalo. Pasemos de la desigualdad a la ecuación:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(alinear)\]

Marcamos las raíces encontradas en la recta numérica. Una vez más: ¡todos los puntos están sombreados porque la desigualdad original no es estricta!

Deshacerse del signo del módulo

Permítanme recordarles a aquellos que son especialmente testarudos: tomamos los signos de la última desigualdad, que fue escrita antes de pasar a la ecuación. Y pintamos sobre las áreas requeridas en la misma desigualdad. En nuestro caso es $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK, todo ha terminado. El problema esta resuelto.

Respuesta: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \derecha|\]

Solución. Hacemos todo igual. No haré comentarios, solo mira la secuencia de acciones.

Encuadrelo:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \derecha))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ derecha))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Método de intervalo:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Flecha derecha x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Sólo hay una raíz en la recta numérica:

La respuesta es un intervalo completo.

Respuesta: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Una pequeña nota sobre la última tarea. Como señaló con precisión uno de mis alumnos, ambas expresiones submodulares en esta desigualdad son obviamente positivas, por lo que el signo del módulo se puede omitir sin dañar la salud.

Pero este es un nivel de pensamiento completamente diferente y un enfoque diferente: convencionalmente se le puede llamar el método de las consecuencias. Sobre esto, en una lección separada. Ahora pasemos a la parte final de la lección de hoy y veamos un algoritmo universal que siempre funciona. Incluso cuando todos los enfoques anteriores fueron impotentes. :)

4. Método de enumeración de opciones.

¿Qué pasa si todas estas técnicas no ayudan? ¿Si la desigualdad no se puede reducir a colas no negativas, si es imposible aislar el módulo, si en general hay dolor, tristeza, melancolía?

Entonces entra en escena la “artillería pesada” de todas las matemáticas: el método de la fuerza bruta. En relación con las desigualdades con módulo, se ve así:

1. Escriba todas las expresiones submodulares e igualelas a cero;
2. Resuelve las ecuaciones resultantes y marca las raíces encontradas en una recta numérica;
3. La línea recta se dividirá en varios tramos, dentro de los cuales cada módulo tiene un signo fijo y por tanto se revela de forma única;
4. Resuelva la desigualdad en cada una de estas secciones (puede considerar por separado los límites de las raíces obtenidos en el paso 2, para mayor confiabilidad). Combine los resultados: esta será la respuesta. :)

¿Así que cómo? ¿Débil? ¡Fácilmente! Sólo por mucho tiempo. Veamos en la práctica:

Tarea. Resuelve la desigualdad:

\[\izquierda| x+2 \derecha| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Solución. Esta basura no se reduce a desigualdades como $\left| miedo\derecho| \lt g$, $\izquierda| miedo\derecho| \gt g$ o $\left| miedo\derecho| \lt \left| g \right|$, entonces actuamos con anticipación.

Escribimos expresiones submodulares, las igualamos a cero y encontramos las raíces:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Flecha derecha x=1. \\\end(alinear)\]

En total, tenemos dos raíces que dividen la recta numérica en tres secciones, dentro de las cuales cada módulo se revela de forma única:

Partición de la recta numérica por ceros de funciones submodulares

Veamos cada sección por separado.

1. Sea $x \lt -2$. Entonces ambas expresiones submodulares son negativas y la desigualdad original se reescribirá de la siguiente manera:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Tenemos una limitación bastante simple. Crucémoslo con la suposición inicial de que $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Obviamente, la variable $x$ no puede ser simultáneamente menor que −2 y mayor que 1,5. No hay soluciones en este ámbito.

1.1. Consideremos por separado el caso límite: $x=-2$. Simplemente sustituyamos este número en la desigualdad original y comprobemos: ¿es cierto?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \left| -3\derecha|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Es obvio que la cadena de cálculos nos ha llevado a una desigualdad incorrecta. Por lo tanto, la desigualdad original también es falsa y $x=-2$ no está incluido en la respuesta.

2. Sea ahora $-2 \lt x \lt 1$. El módulo izquierdo ya se abrirá con un "más", pero el derecho aún se abrirá con un "menos". Tenemos:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(alinear)\]

Nuevamente nos cruzamos con el requisito original:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Y nuevamente, el conjunto de soluciones está vacío, ya que no hay números que sean menores que −2,5 y mayores que −2.

2.1. Y otra vez caso especial: $x=1$. Sustituimos en la desigualdad original:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ &\izquierda| 3\derecha| \lt \left| 0\derecha|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(alinear)\]

Al igual que en el “caso especial” anterior, el número $x=1$ claramente no está incluido en la respuesta.

3. La última parte de la línea: $x \gt 1$. Aquí todos los módulos se abren con un signo más:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Y nuevamente cruzamos el conjunto encontrado con la restricción original:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

¡Finalmente! Hemos encontrado un intervalo que será la respuesta.

Respuesta: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Finalmente, una observación que puede salvarle de errores estúpidos al resolver problemas reales:

Las soluciones a desigualdades con módulos suelen representar conjuntos continuos en la recta numérica: intervalos y segmentos. Los puntos aislados son mucho menos comunes. Y con menos frecuencia sucede que el límite de la solución (el final del segmento) coincide con el límite del rango considerado.

En consecuencia, si los límites (los mismos “casos especiales”) no se incluyen en la respuesta, entonces es casi seguro que las áreas a la izquierda y a la derecha de estos límites no se incluirán en la respuesta. Y viceversa: la frontera entró en la respuesta, lo que significa que algunas áreas a su alrededor también serán respuestas.

Tenga esto en cuenta al revisar sus soluciones.

Hay varias formas de resolver desigualdades que contienen un módulo. Veamos algunos de ellos.

1) Resolver la desigualdad usando la propiedad geométrica del módulo.

Déjame recordarte cuál es la propiedad geométrica de un módulo: el módulo de un número x es la distancia desde el origen hasta el punto de coordenada x.

Al resolver desigualdades mediante este método, pueden surgir dos casos:

1. |x| ≤b,

Y la desigualdad con módulo obviamente se reduce a un sistema de dos desigualdades. Aquí el signo puede ser estricto, en cuyo caso los puntos de la imagen quedarán “perforados”.

2. |x| ≥ segundo, entonces la imagen de la solución se ve así:

Y la desigualdad con módulo obviamente se reduce a una combinación de dos desigualdades. Aquí el signo puede ser estricto, en cuyo caso los puntos de la imagen quedarán “perforados”.

Ejemplo 1.

Resuelve la desigualdad |4 – |x|| ≥ 3.

Solución.

Esta desigualdad es equivalente al siguiente conjunto:

U [-1;1] U

Ejemplo 2.

Resuelve la desigualdad ||x+2| – 3| ≤ 2.

Solución.

Esta desigualdad es equivalente al siguiente sistema.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Resolvamos por separado la primera desigualdad del sistema. Es equivalente al siguiente conjunto:

U[-1; 3].

2) Resolver desigualdades utilizando la definición del módulo.

Déjame recordarte primero definición del módulo.

|a| = a si a ≥ 0 y |a| = -a si a< 0.

Por ejemplo, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Ejemplo 1.

Resuelve la desigualdad 3|x – 1| ≤ x+3.

Solución.

Usando la definición del módulo obtenemos dos sistemas:

(x-1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Resolviendo el primer y segundo sistema por separado, obtenemos:

(x ≥ 1
(x≤3,

(X< 1
(x ≥ 0.

La solución a la desigualdad original serán todas las soluciones del primer sistema y todas las soluciones del segundo sistema.

Respuesta: x€.

3) Resolver desigualdades elevando al cuadrado.

Ejemplo 1.

Resuelve la desigualdad |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Solución.

Elevamos al cuadrado ambos lados de la desigualdad. Déjame señalar que es posible elevar al cuadrado ambos lados de la desigualdad sólo si ambos son positivos. EN en este caso Tenemos módulos tanto a la izquierda como a la derecha, por lo que podemos hacer esto.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Ahora usemos la siguiente propiedad módulo: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Resolvemos usando el método del intervalo.

Respuesta: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Resolver desigualdades cambiando variables.

Ejemplo.

Resuelve la desigualdad (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Solución.

Tenga en cuenta que (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Entonces obtenemos la desigualdad

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Hagamos el cambio y = |2x + 3|.

Reescribamos nuestra desigualdad teniendo en cuenta el reemplazo.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Factoricemos el trinomio cuadrático de la izquierda.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Resolvamos usando el método del intervalo y obtenemos:

Volvamos al reemplazo:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Esta doble desigualdad equivale al sistema de desigualdades:

(|2x + 3| ≤6
(|2x + 3| ≥ -5.

Resolvamos cada una de las desigualdades por separado.

El primero es equivalente al sistema

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Resolvámoslo.

(x ≤ 1,5
(x ≥ -4,5.

La segunda desigualdad obviamente se cumple para todo x, ya que el módulo es, por definición, un número positivo. Dado que la solución del sistema son todas las x que satisfacen simultáneamente la primera y la segunda desigualdad del sistema, entonces la solución del sistema original será la solución a su primera doble desigualdad (después de todo, la segunda es cierta para todo x) .

Respuesta: x € [-4,5; 1.5].

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Módulo de números este número en sí se llama si no es negativo, o el mismo número con el signo opuesto si es negativo.

Por ejemplo, el módulo del número 6 es 6 y el módulo del número -6 también es 6.

Es decir, por módulo de un número queremos decir valor absoluto, el valor absoluto de este número sin tener en cuenta su signo.

Se designa de la siguiente manera: |6|, | X|, |A| etc.

(Más detalles en el apartado “Módulo numérico”).

Ecuaciones con módulo.

Ejemplo 1 . Resuelve la ecuación|10 X - 5| = 15.

Solución.

Según la regla, la ecuación equivale a la combinación de dos ecuaciones:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Nosotros decidimos:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Respuesta: X 1 = 2, X 2 = -1.

Ejemplo 2 . Resuelve la ecuación|2 X + 1| = X + 2.

Solución.

Dado que el módulo es un número no negativo, entonces X+ 2 ≥ 0. En consecuencia:

X ≥ -2.

Hagamos dos ecuaciones:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Nosotros decidimos:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Ambos números son mayores que -2. Entonces ambas son raíces de la ecuación.

Respuesta: X 1 = -1, X 2 = 1.

Ejemplo 3 . Resuelve la ecuación

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Solución.

La ecuación tiene sentido si el denominador no es cero, es decir, si X≠ 1. Tengamos en cuenta esta condición. Nuestra primera acción es simple: no sólo nos deshacemos de la fracción, sino que la transformamos para obtener el módulo en su forma pura:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Ahora sólo tenemos una expresión bajo el módulo en el lado izquierdo de la ecuación. Adelante.
El módulo de un número es un número no negativo, es decir, debe ser mayor que cero o igual a cero. En consecuencia, resolvemos la desigualdad:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Por tanto, tenemos una segunda condición: la raíz de la ecuación debe ser al menos 3/4.

De acuerdo con la regla, formamos un conjunto de dos ecuaciones y las resolvemos:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Recibimos dos respuestas. Comprobemos si son raíces de la ecuación original.

Teníamos dos condiciones: la raíz de la ecuación no puede ser igual a 1 y debe ser al menos 3/4. Eso es X ≠ 1, X≥ 3/4. Ambas condiciones corresponden solo a una de las dos respuestas recibidas: el número 2. Esto significa que solo esta es la raíz de la ecuación original.

Respuesta: X = 2.

Desigualdades con módulo.

Ejemplo 1 . Resolver desigualdad| X - 3| < 4

Solución.

La regla del módulo establece:

|A| = A, Si A ≥ 0.

|A| = -A, Si A < 0.

El módulo puede tener números negativos y no negativos. Entonces tenemos que considerar ambos casos: X- 3 ≥ 0 y X - 3 < 0.

1) cuando X- 3 ≥ 0 nuestra desigualdad original permanece como está, sólo que sin el signo del módulo:
X - 3 < 4.

2) cuando X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Abriendo los paréntesis obtenemos:

-X + 3 < 4.

Así, de estas dos condiciones llegamos a la unificación de dos sistemas de desigualdades:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Resolvámoslos:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Entonces, nuestra respuesta es una unión de dos conjuntos:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Determine los valores más pequeños y más grandes. Estos son -1 y 7. Además X mayor que -1 pero menor que 7.
Además, X≥ 3. Esto significa que la solución a la desigualdad es el conjunto completo de números del -1 al 7, excluyendo estos números extremos.

Respuesta: -1 < X < 7.

O: X ∈ (-1; 7).

Complementos.

1) Existe una forma más sencilla y breve de resolver nuestra desigualdad: gráficamente. Para hacer esto, dibuje un eje horizontal (Fig. 1).

Expresión | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X al punto 3 es inferior a cuatro unidades. Marcamos el número 3 en el eje y contamos 4 divisiones a la izquierda y a la derecha del mismo. A la izquierda llegaremos al punto -1, a la derecha - al punto 7. Así, los puntos X simplemente los vimos sin calcularlos.

Además, según la condición de desigualdad, -1 y 7 no están incluidos en el conjunto de soluciones. Así, obtenemos la respuesta:

1 < X < 7.

2) Pero hay otra solución que es incluso más sencilla que el método gráfico. Para ello, nuestra desigualdad debe presentarse de la siguiente forma:

4 < X - 3 < 4.

Después de todo, así es según la regla del módulo. El número no negativo 4 y el número negativo similar -4 son los límites para resolver la desigualdad.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Ejemplo 2 . Resolver desigualdad| X - 2| ≥ 5

Solución.

Este ejemplo es significativamente diferente del anterior. El lado izquierdo es mayor que 5 o igual a 5. Desde un punto de vista geométrico, la solución a la desigualdad son todos los números que están a una distancia de 5 unidades o más del punto 2 (Fig. 2). El gráfico muestra que estos son todos números menores o iguales a -3 y mayores o iguales a 7. Esto significa que ya hemos recibido la respuesta.

Respuesta: -3 ≥ X ≥ 7.

En el camino, resolvemos la misma desigualdad reordenando el término libre hacia la izquierda y hacia la derecha con el signo opuesto:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

La respuesta es la misma: -3 ≥ X ≥ 7.

O: X ∈ [-3; 7]

El ejemplo está solucionado.

Ejemplo 3 . Resolver desigualdad 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Solución.

Número X puede ser un número positivo, un número negativo o cero. Por tanto, debemos tener en cuenta las tres circunstancias. Como sabes, se tienen en cuenta en dos desigualdades: X≥ 0 y X < 0. При X≥ 0 simplemente reescribimos nuestra desigualdad original tal como está, solo que sin el signo del módulo:

6x2- X - 2 ≤ 0.

Ahora sobre el segundo caso: si X < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Ampliando los corchetes:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Así, obtuvimos dos sistemas de ecuaciones:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Necesitamos resolver desigualdades en sistemas, y esto significa encontrar las raíces de dos ecuaciones cuadráticas. Para hacer esto, igualamos los lados izquierdos de las desigualdades a cero.

Empecemos por el primero:

6X 2 - X - 2 = 0.

Cómo resolver una ecuación cuadrática: consulte la sección "Ecuación cuadrática". Inmediatamente nombraremos la respuesta:

X 1 = -1/2, x2 = 2/3.

Del primer sistema de desigualdades obtenemos que la solución a la desigualdad original es el conjunto completo de números desde -1/2 hasta 2/3. Escribimos la unión de soluciones en X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Ahora resolvamos la segunda ecuación cuadrática:

6X 2 + X - 2 = 0.

Sus raices:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Conclusión: cuando X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Combinemos las dos respuestas y obtengamos la respuesta final: la solución es el conjunto completo de números desde -2/3 hasta 2/3, incluidos estos números extremos.

Respuesta: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

O: X ∈ [-2/3; 2/3].

Matemáticas es un símbolo de la sabiduría de la ciencia,

un modelo de rigor científico y sencillez,

el estándar de excelencia y belleza en la ciencia.

El filósofo ruso, profesor A.V. Volóshínov

Desigualdades con módulo

Los problemas más difíciles de resolver en matemáticas escolares son las desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo. Para resolver con éxito tales desigualdades, es necesario tener un buen conocimiento de las propiedades del módulo y tener las habilidades para utilizarlas.

Conceptos y propiedades básicos.

Módulo (valor absoluto) de un número real denotado por y se define de la siguiente manera:

Las propiedades simples de un módulo incluyen las siguientes relaciones:

Y .

Nota, que las dos últimas propiedades son válidas para cualquier grado par.

Además, si, dónde, entonces y

Propiedades de módulo más complejas, que se puede utilizar eficazmente al resolver ecuaciones y desigualdades con módulos, se formulan a través de los siguientes teoremas:

Teorema 1.Para cualquier función analítica Y la desigualdad es cierta.

Teorema 2. Igualdad equivale a desigualdad.

Teorema 3. Igualdad equivale a desigualdad.

Más común en matematicas escolares desigualdades, que contiene variables desconocidas bajo el signo del módulo, son desigualdades de la forma y donde alguna constante positiva.

Teorema 4. Desigualdad es equivalente a la doble desigualdad, y la solución a la desigualdadse reduce a resolver un conjunto de desigualdades Y .

Este teorema es un caso especial de los teoremas 6 y 7.

Desigualdades más complejas, que contienen un módulo son desigualdades de la forma, Y .

Los métodos para resolver tales desigualdades se pueden formular utilizando los siguientes tres teoremas.

Teorema 5. Desigualdad es equivalente a la combinación de dos sistemas de desigualdades

yo (1)

Prueba. Desde entonces

Esto implica la validez de (1).

Teorema 6. Desigualdad es equivalente al sistema de desigualdades

Prueba. Porque , entonces de la desigualdad sigue eso . Bajo esta condición, la desigualdady en este caso el segundo sistema de desigualdades (1) resultará inconsistente.

El teorema ha sido demostrado.

Teorema 7. Desigualdad es equivalente a la combinación de una desigualdad y dos sistemas de desigualdades

yo (3)

Prueba. Puesto que , entonces la desigualdad siempre ejecutado, Si .

Dejar , entonces la desigualdadserá equivalente a la desigualdad, de donde se sigue un conjunto de dos desigualdades Y .

El teorema ha sido demostrado.

Consideremos ejemplos típicos resolución de problemas sobre el tema “Desigualdades, que contiene variables bajo el signo del módulo."

Resolver desigualdades con módulo.

Mayoría método sencillo resolver desigualdades con módulo es el método, basado en la expansión del módulo. Este método es universal., sin embargo, en el caso general, su uso puede dar lugar a cálculos muy engorrosos. Por tanto, los estudiantes deben conocer otros métodos y técnicas (más eficaces) para resolver este tipo de desigualdades. En particular, es necesario tener habilidades en la aplicación de teoremas, dado en este artículo.

Ejemplo 1.Resolver desigualdad

. (4)

Solución.Resolveremos la desigualdad (4) usando el método "clásico": el método de revelar módulos. Para ello dividimos el eje numérico puntos y en intervalos y considere tres casos.

1. Si , entonces , , , y la desigualdad (4) toma la forma o .

Dado que el caso se considera aquí, es una solución a la desigualdad (4).

2. Si, entonces de la desigualdad (4) obtenemos o . Desde la intersección de intervalos Y esta vacio, entonces, en el intervalo de soluciones considerado no hay desigualdad (4).

3. Si, entonces la desigualdad (4) toma la forma o . Es obvio que también es una solución a la desigualdad (4).

Respuesta: , .

Ejemplo 2. Resolver desigualdad.

Solución. Supongamos eso. Porque , entonces la desigualdad dada toma la forma o . Desde entonces y de aquí se sigue o .

Sin embargo, por lo tanto o.

Ejemplo 3. Resolver desigualdad

. (5)

Solución. Porque , entonces la desigualdad (5) es equivalente a las desigualdades o . De aquí, según el teorema 4, tenemos un conjunto de desigualdades Y .

Respuesta: , .

Ejemplo 4.Resolver desigualdad

. (6)

Solución. Denotemos. Luego de la desigualdad (6) obtenemos las desigualdades , , o .

De aquí, usando el método del intervalo, obtenemos . Porque , entonces aquí tenemos un sistema de desigualdades

La solución a la primera desigualdad del sistema (7) es la unión de dos intervalos Y , y la solución a la segunda desigualdad es la doble desigualdad. Esto implica , que la solución del sistema de desigualdades (7) es la unión de dos intervalos Y .

Respuesta: ,

Ejemplo 5.Resolver desigualdad

. (8)

Solución. Transformemos la desigualdad (8) de la siguiente manera:

O .

Usando el método del intervalo, obtenemos una solución a la desigualdad (8).

Respuesta: .

Nota. Si ponemos y en las condiciones del Teorema 5, obtenemos .

Ejemplo 6. Resolver desigualdad

. (9)

Solución. De la desigualdad (9) se sigue. Transformemos la desigualdad (9) de la siguiente manera:

O

Desde entonces o .

Respuesta: .

Ejemplo 7.Resolver desigualdad

. (10)

Solución. Desde y , entonces o .

A este respecto y la desigualdad (10) toma la forma

O

. (11)

De ello se deduce que o . Dado que , entonces la desigualdad (11) también implica o .

Respuesta: .

Nota. Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (10), entonces obtenemos . De esto y de la desigualdad (10) se sigue, qué o . Porque , entonces la desigualdad (10) toma la forma o .

Ejemplo 8. Resolver desigualdad

. (12)

Solución. Desde entonces y de la desigualdad (12) se sigue o . Sin embargo, por lo tanto o. De aquí obtenemos o .

Respuesta: .

Ejemplo 9. Resolver desigualdad

. (13)

Solución. Según el Teorema 7, la solución a la desigualdad (13) es o .

Déjalo ser ahora. En este caso y la desigualdad (13) toma la forma o .

Si combinas los intervalos Y , entonces obtenemos una solución a la desigualdad (13) de la forma.

Ejemplo 10. Resolver desigualdad

. (14)

Solución. Reescribamos la desigualdad (14) en una forma equivalente: . Si aplicamos el Teorema 1 al lado izquierdo de esta desigualdad, obtenemos la desigualdad.

De aquí y del Teorema 1 se sigue, esa desigualdad (14) se satisface para cualquier valor.

Respuesta: cualquier número.

Ejemplo 11. Resolver desigualdad

. (15)

Solución. Aplicando el Teorema 1 al lado izquierdo de la desigualdad (15), obtenemos . Esto y la desigualdad (15) producen la ecuación, que tiene la forma.

Según el teorema 3, la ecuacion equivale a desigualdad. De aquí obtenemos.

Ejemplo 12.Resolver desigualdad

. (16)

Solución. De la desigualdad (16), según el Teorema 4, obtenemos un sistema de desigualdades

Al resolver la desigualdadUsemos el teorema 6 y obtengamos un sistema de desigualdades.de donde se sigue.

Considere la desigualdad. Según el teorema 7, obtenemos un conjunto de desigualdades Y . La segunda desigualdad poblacional es válida para cualquier situación real..

Por eso , la solución a la desigualdad (16) es.

Ejemplo 13.Resolver desigualdad

. (17)

Solución. Según el teorema 1, podemos escribir

(18)

Teniendo en cuenta la desigualdad (17), concluimos que ambas desigualdades (18) se convierten en igualdades, es decir hay un sistema de ecuaciones

Por el teorema 3 este sistema ecuaciones es equivalente al sistema de desigualdades

o

Ejemplo 14.Resolver desigualdad

. (19)

Solución. Desde entonces. Multipliquemos ambos lados de la desigualdad (19) por la expresión, que para cualquier valor toma solo valores positivos. Luego obtenemos una desigualdad que es equivalente a la desigualdad (19), de la forma

Desde aquí llegamos o , dónde . Desde y entonces la solución a la desigualdad (19) es Y .

Respuesta: , .

Para un estudio más profundo de los métodos para resolver desigualdades con módulo, recomendamos consultar los libros de texto., figura en la lista de literatura recomendada.

1. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades / Ed. MI. Scanavi. – M.: Paz y Educación, 2013. – 608 p.

2. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos para resolver y demostrar desigualdades. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.

3. Suprimir V.P. Matemáticas para estudiantes de secundaria: métodos no estándar para la resolución de problemas. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

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