Инструкция

По теореме центром описанной окружности является центр пересечения серединных перпендикуляров. На рисунке видно, что каждая сторона треугольника , перпендикуляр, проведенный из ее середины и отрезки, соединяющие точку пересечения перпендикуляров с вершинами, образуют два равных прямоугольных треугольника . Отрезки MА, MВ, MС равны.

Вам дан треугольник. Найдите середину каждой стороны – возьмите линейку и измерьте его стороны. Полученные размеры разделите пополам. Отложите от вершин на каждой стороне половину ее размера. Отметьте результаты точками.

Из каждой точки отложите перпендикуляр к стороне. Точка пересечения этих перпендикуляров будет центром описанной окружности. Для нахождения центра окружности достаточно двух перпендикуляров. Третий строится для самопроверки.

Обратите внимание – в треугольнике, где все углы острые, точка пересечения находится внутри треугольника . В прямоугольном треугольнике – лежит на гипотенузе. В тупоугольном – находится за его пределами. Причем перпендикуляр к стороне напротив тупого угла построен не к центру треугольника , а наружу.

Измерьте расстояние от точки пересечения перпендикуляров до любой вершины треугольника . Установите это значение на циркуле. Поместив иглу в точку пересечения, начертите окружность . Если она касается всех трех вершин треугольника , вы все сделали правильно.

Согласно определению, описанная окружность должна проходить через все вершины углов заданного многоугольника. При этом совершенно неважно, что это за многоугольник - треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция или что-то иное. Также не играет роли, правильный или неправильный это многоугольник. Необходимо лишь учитывать, что существуют многоугольники, вокруг которых окружность описать нельзя. Всегда можно описать окружность вокруг треугольника. Что касается четырехугольников, то окружность можно описать около квадрата или прямоугольника или равнобедренной трапеции.

Вам понадобится

• Заданный многоугольника
• Линейка
• Угольник
• Карандаш
• Циркуль
• Транспортир
• Таблицы синусов и косинусов
• Математические понятия и формулы
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов
• Теорема косинусов
• Признаки подобия треугольников

Инструкция

Постройте многоугольник с заданными параметрами и определите , можно ли описать вокруг него окружность . Если вам дан четырехугольник, посчитайте суммы его противоположных углов. Каждая из них должна равняться 180°.

Для того, чтобы описать окружность , нужно вычислить ее радиус. Вспомните, где лежит центр описанной окружности в разных многоугольниках. В треугольнике он находится в точке пересечения всех высот данного треугольника. В квадрате и прямоугольники - в точке пересечения диагоналей, для трапеции- в точке пересечения оси симметрии к линии, соединяющей середины боковых сторон, а для любого другого выпуклого многоугольника - в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам.

Диаметр окружности, описанной вокруг квадрата и прямоугольника, вычислите по теореме Пифагора. Он будет равняться квадратному корню из суммы квадратов сторон прямоугольника. Для квадрата, у которого все стороны равны, диагональ равна квадратному корню из удвоенного квадрата стороны. Разделив диаметр на 2, получаете радиус.

Вычислите радиус описанной окружности для треугольника. Поскольку параметры треугольника заданы в условиях, вычислите радиус по формуле R = a/(2·sinA), где а - одна из сторон треугольника, ? - противолежащий ей угол. Вместо этой стороны можно взять любую другую сторону и противолежащий ей угол.

Вычислите радиус окружности, описанной вокруг трапеции. R = a*d*c / 4 v(p*(p-a)*(p-d)*(p-c)) В этой формуле a и b - известные по условиям задания основания трапеции, h - высота, d - диагональ, p = 1/2*(a+d+c) . Вычислите недостающие значения. Высоту можно вычислить по теореме синусов или косинусов,

Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

Радиус

Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

лежит:

у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

у прямоугольного — на середине гипотенузы;

у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

Окружность, описанная около многоугольника

Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

Радиус описанной окружности правильного треугольника

Формула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

В этой части мы обсудим окружность, описанную вокруг (часто говорят «около») треугольника. Прежде всего дадим определение.

1. Существование и центр описанной окружности

Тут возникает вопрос: а для всякого ли треугольника существует такая окружность? Вот оказывается, что да, для всякого. И более того, мы сейчас сформулируем теорему, которая ещё и отвечает на вопрос, где же находится центр описанной окружности.

Смотри, вот так:

Давай наберёмся мужества и докажем эту теорему. Если ты читал уже тему « » разбирался в том, почему же три биссектрисы пересекаются в одной точке, то тебе будет легче, но и если не читал – не переживай: сейчас во всём разберёмся.

Доказательство будем проводить, используя понятие геометрического места точек (ГМТ).

Ну вот, например, является ли множество мячей – «геометрическим местом» круглых предметов? Нет, конечно, потому что бывают круглые …арбузы. А является ли множество людей, «геометрическим местом», умеющих говорить? Тоже нет, потому что есть младенцы, которые говорить не умеют. В жизни вообще сложно найти пример настоящего «геометрического места точек». В геометрии проще. Вот, к примеру, как раз то, что нам нужно:

Тут множество – это серединный перпендикуляр, а свойство « » - это «быть равноудаленной (точкой) от концов отрезка».

Проверим? Итак, нужно удостовериться в двух вещах:

Соединим с и с.Тогда линия является медианой и высотой в. Значит, – равнобедренный, – убедились, что любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, одинаково удалена от точек и.

Возьмём – середину и соединим и. Получилась медиана. Но – равнобедренный по условию не только медиана, но и высота, то есть – серединный перпендикуляр. Значит, точка - точно лежит на серединном перпендикуляре.

Всё! Полностью проверили тот факт, что серединный перпендикуляр к отрезку является геометрическим местом точек, равноудаленных от концов отрезка.

Это все хорошо, но не забыли ли мы об описанной окружности? Вовсе нет, мы как раз подготовили себе «плацдарм для нападения».

Рассмотрим треугольник. Проведём два серединных перпендикуляра и, скажем, к отрезкам и. Они пересекутся в какой-то точке, которую мы назовем.

А теперь, внимание!

Точка лежит на серединном перпендикуляре;
точка лежит на серединном перпендикуляре.
И значит, и.

Отсюда следует сразу несколько вещей:

Во – первых , точка обязана лежать на третьем серединном перпендикуляре, к отрезку.

То есть серединный перпендикуляр тоже обязан пройти через точку, и все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке.

Во – вторых : если мы проведём окружность с центром в точке и радиусом, то эта окружность также пройдёт и через точку, и через точку, то есть будет описанной окружностью. Значит, уже есть, что пересечение трёх серединных перпендикуляров – центр описанной окружности для любого треугольника.

И последнее: о единственности. Ясно (почти), что точку можно получить единственным образом, поэтому и окружность – единственная. Ну, а «почти» - оставим на твоё размышление. Вот и доказали теорему. Можно кричать «Ура!».

А если в задаче стоит вопрос «найдите радиус описанной окружности»? Или наоборот, радиус дан, а требуется найти что – то другое? Есть ли формула, связывающая радиус описанной окружность с другими элементами треугольника?

Определение

Окружность \(S\) описана около многоугольника \(P\) , если все вершины многоугольника \(P\) лежат на окружности \(S\) .

В этом случае многоугольник \(P\) называется вписанным в окружность.

Определение

Серединный перпендикуляр к отрезку – это прямая, проходящая через середину данного отрезка перпендикулярно ему.

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Доказательство

Рассмотрим отрезок \(AB\) и серединный перпендикуляр \(a\) к нему. Докажем, что для любой точки \(X\in a\) выполнено: \(AX=BX\) .

Рассмотрим \(\triangle AXB\) : отрезок \(XO\) является медианой и высотой, следовательно, \(\triangle AXB\) – равнобедренный, следовательно, \(AX=BX\) .

Теорема

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Рассмотрим \(\triangle ABC\) . Проведем серединные перпендикуляры к сторонам \(AB\) и \(AC\) . Они пересекутся в точке \(O\) .

По предыдущей теореме для серединного перпендикуляра \(C_1O\) выполнено: \(AO=BO\) , а для \(B_1O\) - \(AO=CO\) . Следовательно, \(BO=CO\) . Значит, \(\triangle BOC\) – равнобедренный, следовательно, высота \(OA_1\) , проведенная к основанию \(BC\) , будет также и медианой. Значит, \(OA_1\) – серединный перпендикуляр к отрезку \(BC\) .

Таким образом, все три серединных перпендикуляра пересеклись в одной точке \(O\) .

Следствие

Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на его серединном перпендикуляре.

Теорема

Около любого треугольника можно описать единственную окружность, причём центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство

Из доказанной выше теоремы следует, что \(AO=BO=CO\) . Значит, все вершины треугольника равноудалены от точки \(O\) , следовательно, они лежат на одной окружности.

Такая окружность единственна. Допустим, что около \(\triangle ABC\) можно описать еще одну окружность. Тогда ее центр должен совпасть с точкой \(O\) (т.к. это единственная точка, равноудаленная от вершин треугольника), а радиус должен быть равен расстоянию от центра до какой-то из вершин, т.е. \(OA\) . Т.к. у этих окружностей совпадают и центр, и радиус, то и эти окружности совпадают.

Теорема о площади вписанного треугольника

Если \(a, b, c\) – стороны треугольника, а \(R\) – радиус описанной около него окружности, то площадь треугольника \

Доказательство*
С доказательством данной теоремы рекомендуется ознакомиться после изучения темы “Теорема синусов”.

Обозначим угол между сторонами \(a\) и \(c\) за \(\alpha\) . Тогда \(S_{\triangle}=\frac12 ac\cdot \sin \alpha\) .

По теореме синусов \(\dfrac b{\sin\alpha}=2R\) , откуда \(\sin \alpha=\dfrac b{2R}\) . Следовательно, \(S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}\) .

Теорема

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны \(180^\circ\) .

Доказательство

Необходимость.

Если около четырёхугольника \(ABCD\) можно описать окружность, то \(\buildrel\smile\over{ABC} + \buildrel\smile\over{ADC} = 360^\circ\) , откуда \(\angle ABC + \angle ADC = \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{ABC} + \frac{1}{2}\buildrel\smile\over{ADC} = \frac{1}{2}(\buildrel\smile\over{ABC} + \buildrel\smile\over{ADC}) = 180^\circ\) . Для углов \(BCD\) и \(BAD\) аналогично.

Достаточность.

Опишем окружность около треугольника \(ABC\) . Пусть центр этой окружности – точка \(O\) . На прямой, проходящей через точки \(O\) и \(D\) отметим точку \(D"\) пересечения этой прямой и окружности. Предположим, что точки \(D\) и \(D"\) не совпали, тогда рассмотрим четырёхугольник \(CD"AD\) .

Углы \(CD"A\) и \(CDA\) дополняют угол \(ABC\) до \(180^\circ\) (\(\angle CDA\) дополняет по условию, а \(\angle CD"A\) по доказанному выше), следовательно, они равны, но тогда сумма углов четырёхугольника \(AD"CD\) больше \(360^\circ\) , чего быть не может (сумма углов это четырёхугольника есть сумма углов двух треугольников), следовательно, точки \(D\) и \(D"\) совпадают.

Замечание. На рисунке точка \(D\) лежит вне круга, ограниченного окружностью, описанной около \(\triangle ABC\) , однако, в случае, когда \(D\) лежит внутри, доказательство также остаётся верным.

Теорема

Около выпуклого четырехугольника \(ABCD\) можно описать окружность тогда и только тогда, когда \(\angle ABD=\angle ACD\) .

Доказательство

Необходимость. Если около \(ABCD\) описана окружность, то углы \(\angle ABD\) и \(\angle ACD\) – вписанные и опираются на одну дугу \(\buildrel\smile\over{AD}\) , следовательно, они равны.

Достаточность. Пусть \(\angle ABD=\angle ACD=\alpha\) . Докажем, что около \(ABCD\) можно описать окружность.

Опишем окружность около \(\triangle ABD\) . Пусть прямая \(CD\) пересекла эту окружность в точке \(C"\) . Тогда \(\angle ABD=\angle AC"D \Rightarrow \angle AC"D=\angle ACD\) .

Следовательно, \(\angle CAD=\angle C"AD=180^\circ-\angle ADC-\angle AC"D\) , то есть \(\triangle AC"D=\triangle ACD\) по общей стороне \(AD\) и двум прилежащим углам (\(\angle C"AD=\angle CAD\) , \(\angle ADC"=\angle ADC\) – общий). Значит, \(DC"=DC\) , то есть точки \(C"\) и \(C\) совпадают.

Теоремы

1. Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 1).

2. Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 2).

3. Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная (рис. 3).

Верны и обратные утверждения: около прямоугольника, ромба и равнобедренной трапеции можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

1) Пусть около параллелограмма \(ABCD\) описана окружность. Тогда суммы его противоположных углов равны \(180^\circ: \quad \angle A+\angle C=180^\circ\) . Но в параллелограмме противоположные углы равны, т.к. \(\angle A=\angle C\) . Следовательно, \(\angle A=\angle C=90^\circ\) . Значит, по определению \(ABCD\) – прямоугольник.

2) Пусть около ромба \(MNKP\) описана окружность. Аналогично предыдущему пункту (т.к. ромб является параллелограммом) доказывается, что \(MNKP\) – прямоугольник. Но все стороны этого прямоугольника равны (т.к. он ромб), значит \(MNKP\) – квадрат.

Обратное утверждение очевидно.

3) Пусть около трапеции \(QWER\) описана окружность. Тогда \(\angle Q+\angle E=180^\circ\) . Но из определения трапеции следует, что \(\angle Q+\angle W=180^\circ\) . Следовательно, \(\angle W=\angle E\) . Т.к. углы при основании \(WE\) трапеции равны, то она равнобедренная.

Обратное утверждение очевидно.

Вам понадобится

• Треугольник с заданными параметрами
• Циркуль
• Линейка
• Угольник
• Таблица синусов и косинусов
• Математические понятия
• Определение высоты треугольника
• Формулы синусов и косинусов
• Формула площади треугольника

Инструкция

Начертите треугольник с нужными параметрами. Треугольник можно построить либо по трем сторонам, либо по двум сторонам и углу между ними, либо по стороне и двум прилежащим к ней углам. Обозначьте вершины треугольника как А, В и С, углы - как α, β, и γ, а противолежащие вершинам углом стороны - как а, b и c.

Проведите высоты ко всем сторонам треугольника и найдите точку их пересечения. Обозначьте высоты как h с соответствующими сторонам индексами. Найдите точку их пересечения и обозначьте ее О. Она и будет являться центром описанной окружности. Таким образом, радиусами этой окружности будут являться отрезки ОА, ОВ и ОС.

Радиус описанной окружности можно найти по двум формулам. Для одной вам необходимо сначала вычислить площадь треугольника . Она равна произведению всех сторон треугольника на синус любого из углов, деленному на 2.

В этом случае радиус описанной окружности вычисляется по формуле

Для другой формулы достаточно знать длину одной из сторон и синус противолежащего угла.

Вычислите радиус и опишите вокруг треугольника окружность.

Окружность считается описанной вокруг многоугольника в том случае, если она касается всех его вершин. Что примечательно, центр подобной окружности совпадает с точкой пересечения перпендикуляров, проведенных из середин сторон многоугольника. Радиус описанной окружности полностью зависит от того многоугольника, вокруг которого она описана.

Вам понадобится

• Знать стороны многоугольника, его площадь/периметр.

Инструкция

Подсчет радиуса описанной вокруг треугольника окружности .
Если окружность описана вокруг треугольника со сторонами a, b, c, площадью S и углом?, лежащим против стороны a, то ее радиус R может быть рассчитан по следующим формулам:
1) R = (a*b*c)/4S;
2) R = a/2sin?.

Подсчет радиуса окружности , описанной вокруг правильного многоугольника.
Для расчета радиуса окружности , описанной вокруг правильного многоугольника, нужно воспользоваться следующей формулой:
R = a/(2 x sin (360 / (2 x n))), где
a - сторона правильного многоугольника;
n - количество его сторон.

Обратите внимание

Вокруг многоугольника можно описать окружность только в том случае, если он правильный, т.е. все его стороны равны и все его углы равны.
Тезис, гласящий, что центром описанной вокруг многоугольника окружности является пересечение его серединных перпендикуляров, справедлив для всех правильных многоугольников.

Источники:

• как найти радиус многоугольника

Если для многоугольника удается построить вписанную и описанную окружности, то площадь этого многоугольника меньше площади описанной окружности, но больше площади вписанной окружности. Для некоторых многоугольников известны формулы для нахождения радиуса вписанной и описанной окружностей.

Инструкция

Вписанной в многоугольник называется окружность, касающаяся всех сторон многоугольника. Для треугольника формула радиуса вписанной окружности: r = ((p-a)(p-b)(p-c)/p)^1/2, где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного треугольника формула упрощается: r = a/(2*3^1/2), а - сторона треугольника.

Описанной вокруг многоугольника называется такая окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Для треугольника радиус описанной окружности находится по формуле: R = abc/(4(p(p-a)(p-b)(p-c))^1/2), где p - полупериметр; a, b, c - стороны треугольника. Для правильного треугольника формула проще: R = a/3^1/2.

Для многоугольников не всегда возможно выяснить соотношение радиусов вписанных и описанных окружностей и длин его сторон. Чаще ограничиваются построением таких окружностей около многоугольника, а затем физического измерения радиуса окружностей с помощью измерительных приборов или векторного пространства.
Для построения описанной окружности выпуклого многоугольника строят биссектрисы двух его углов, на их пересечении лежит центр описанной окружности. Радиусом будет расстояние от точки пересечения биссектрис до вершины любого угла многоугольника. Центр вписанной окружности лежит на пересечении перпендикуляров, построенных вовнутрь многоугольника из центров сторон (эти перпендикуляры называются срединными). Достаточно построить два таких перпендикуляра. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от точки пересечения срединных перпендикуляров до стороны многоугольника.

Видео по теме

Обратите внимание

В произвольно заданный многоугольник нельзя вписать окружность и описать окружность вокруг него.

Полезный совет

В четырехугольник можно вписать окружность, если a+c = b+d, где a, b, с, d - стороны четырехугольника по порядку. Вокруг четырехугольника можно описать окружность, если противоположные его углы в сумме дают 180 градусов;

Для треугольника такие окружности всегда существуют.

Совет 4: Как найти по трем сторонам площадь треугольника

Поиск площади треугольника - одна из самых распространенных задач школьной планиметрии. Знания трех сторон треугольника достаточно для определения площади любого треугольника. В частных случаях равнобедренного и равностороннего треугольников достаточно знать длины двух и одной стороны соответственно.

Вам понадобится

• длины сторон треугольников, формула Герона, теорема косинусов

Инструкция

Пусть задана треугольник ABC со сторонами AB = c, AC = b, BC = a. Площадь такого треугольника можно найти по формуле Герона.

Периметр треугольника P - это сумма длин его трех сторон: P = a+b+c. Обозначим его полупериметр за p. Он будет равен p = (a+b+c)/2.

Формула Герона для площади треугольника выглядит следующим образом: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Если расписать полупериметр p, то получится: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2)) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можно вывести формулу для площади треугольника и из других соображений, например, применив теорему косинусов.

По теореме косинусов AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Используя введенные обозначения, эти выражения можно также записать в виде: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Отсюда, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площадь треугольника находится также по формуле S = a*c*sin(ABC)/2 через две стороны и угол между ними. Синус угла ABC можно выразить через его косинус с помощью основного тригонометрического тождества: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Подставляя синус в формулу для площади и расписывая его, можно прийти к формуле для площади треугольника ABC.

Видео по теме

Три точки, однозначно определяющие треугольник в Декартовой системе координат - это его вершины. Зная их положение относительно каждой из координатных осей можно вычислить любые параметры этой плоской фигуры, включая и ограничиваемую ее периметром площадь . Это можно сделать несколькими способами.