Размер гипотенузы. Формулы треугольника. Площадь треугольника, прямоугольный треугольник, теорема Пифагора, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольник встречается в реальности практически на каждом углу. Знание о свойствах данной фигуры, а также умение вычислять ее площадь, несомненно пригодится вам не только для решения задач по геометрии, но и в жизненных ситуациях.

Геометрия треугольника

В элементарной геометрии прямоугольный треугольник - это фигура, которая состоит из трех соединенных отрезков, формирующих три угла (два острых и один прямой). Прямоугольный треугольник - оригинальная фигура, характеризующаяся рядом важных свойств, которые составляют фундамент тригонометрии. В отличие от обычного треугольника стороны прямоугольной фигуры имеют собственные названия:

• Гипотенуза - самая длинная сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла.
• Катеты - отрезки, образующие прямой угол. В зависимости от рассматриваемого угла катет может быть прилежащим к нему (образующий этот угол с гипотенузой) или противолежащим (лежащим напротив угла). Для непрямоугольных треугольников катетов не существуют.

Именно соотношение катетов и гипотенузы составляет основу тригонометрии: синусы, тангенсы и секансы определяются как отношение сторон прямоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник в реальности

Данная фигура получила широкое распространение в реальности. Треугольники находят применение в проектировании и технике, поэтому расчет площади фигуры приходится выполнять инженерам, архитекторам и проектировщикам. Форму треугольника имеют основания тетраэдров или призм - трехмерных фигур, которые легко встретить в повседневности. Кроме того, угольник - наиболее простое представление «плоского» прямоугольного треугольника в реальности. Угольник - это слесарный, чертежный, строительный и столярный инструмент, который используется для построения углов как школьниками, так и инженерами.

Площадь треугольника

Площадь геометрической фигуры - это количественная оценка того, какая часть плоскости ограничена сторонами треугольника. Площадь обычного треугольника можно найти пятью способами, используя формулу Герона или оперируя при расчетах такими переменными, как основание, сторона, угол и радиус вписанной или описанной окружности. Самая простая формула площади выражается как:

где a – сторона треугольника, h – его высота.

Формула для вычисления площади прямоугольного треугольника еще проще:

где a и b – катеты.

Работая с нашим онлайн-калькулятор, вы можете вычислить площадь треугольника, используя три пары параметров:

• два катета;
• катет и прилежащий угол;
• катет и противолежащий угол.

В задачах или бытовых ситуациях вам будут даны разные комбинации переменных, поэтому такая форма калькулятора позволяет вычислить площадь треугольника несколькими способами. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из реальной жизни

Керамическая плитка

Допустим, вы хотите выполнить облицовку стен кухни керамической плиткой, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для того чтобы определить расход плитки вы должны узнать площадь одного элемента облицовки и общую площадь обрабатываемой поверхности. Пусть вам необходимо обработать 7 квадратных метров. Длина катетов одного элемента составляет по 19 см, тогда площадь плитки будет равна:

Это означает, что площадь одного элемента составляет 24,5 квадратных сантиметра или 0,01805 квадратных метра. Зная эти параметры, вы можете подсчитать, что для отделки 7 квадратных метров стены вам понадобится 7/0,01805 = 387 элементов облицовочной плитки.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче по геометрии требуется найти площадь прямоугольного треугольника, зная только то, что сторона одного катета равна 5 см, а величина противолежащего угла составляет 30 градусов. Наш онлайн-калькулятор сопровождается иллюстрацией, на которой указаны стороны и углы прямоугольного треугольника. Если сторона a = 5 см, то ее противолежащий угол - это угол альфа, равный 30 градусов. Введите эти данные в форму калькулятора и получите результат:

Таким образом, калькулятор не только вычисляет площадь заданного треугольника, но и определяет длину прилежащего катета и гипотенузы, а также величину второго угла.

Заключение

Прямоугольные треугольники встречаются в нашей жизни буквально на каждом углу. Определение площади таких фигур пригодится вам не только при решении школьных заданий по геометрии, но и повседневной и профессиональной деятельности.

В задачах по геометрии для разных классов целью или промежуточным действием является нахождение угла треугольника. Разберем, как это делается в разных видах треугольников.

Универсальные формулы, чтобы узнать угол треугольника

Формулы, приведенные ниже, подойдут для любого типа треугольников.

• ∠А = 180°-(∠В+∠С) (т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°).
• ∠А = 180°-∠OAB (т.к. ∠OAB внешний).

Узнать угол в равнобедренном треугольнике

Равнобедренный треугольник можно опознать по двум равным боковым сторонам или по двум равным углам.

• ∠B = 180°-2 ∠A.
• ∠А =∠С (т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны).
• Если ∠А=60°, то все углы равны 60°, а треугольник ABC — равносторонний.

Узнать угол в прямоугольном треугольнике

Углы в прямоугольном треугольнике можно найти либо одним из способов, представленных в пункте 1, либо при помощи тригонометрических функций — синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Тригонометрические функции

Если вам даны две стороны, найти угол можно по следующему алгоритму:

• Смотрим, какими являются данные стороны по отношению к прямому углу (катет, гипотенуза) и углу, который нужно найти (прилежащий/противолежащий катет).
• Находим тригонометрическую функцию, которая подходит нам.
• Находим, чему она равна, подставив значения данных сторон.
• Вычисляем угол при помощи обратной функции (арксинус, арккосинус и т.д.).

Теоремы синуса и косинуса

Сами теоремы вы видите на картинке ниже. С помощью них можно узнать косинус или синус интересующего вас угла, и через него вычислить значение.

Чтобы найти стороны треугольника по заданным числам и углу, следует воспользоваться формулой, которая выводится согласно теореме косинусов.

Для начала следует принять условные обозначения сторон, длину которых требуется узнать, как три первые буквы латинского алфавита, аналогично - противоположные углы для каждой из них, то можно получить следующую формулу: а^2 = (b^2+c^2 -2bc×cosA). Получив значение стороны в квадрате, нужно извлечь квадратный корень из этого числа, тем самым найти стороны треугольника оказывается вполне достижимой задачей.

Следует помнить, что при угле большем девяносто градусов, косинус угла принимает отрицательное значение. Этот нюанс нельзя оставлять без внимания, иначе полученный ответ будет неверным.

Если же известна какая-то из сторон и два угла, то при расчете искомых прямых следует вспомнить теорему синусов и подставить нужные значения в расчетную формулу. Этим способом, найти стороны треугольника можно так:

а = (sinA х b)/ sinB, где А и В - углы с известными числовыми значениями, а b - сторона, также имеющая в задании.

Стоит отметить, что сумма углов треугольника всегда равна сто восемьдесят градусов, поэтому для того, чтобы найти третий угол, из этой суммы необходимо вычесть величины двух других.

Чтобы найти стороны треугольника, в котором имеется прямоугольный угол, нужно воспользоваться другими формулами. Синусом угла меньше, чем девяносто градусов, то есть острого, в треугольнике, имеющем прямой угол, есть отношение противолежащего катета к самой большой стороне - гипотенузе.

Найти стороны треугольника реально и другими методами, например, при заданной величине гипотенузы и угла, противостоящий углу катет высчитывается умножением гипотенузы на его синус.

При известной длине противолежащего катета, синус делится на число, данное к гипотенузе. В случае известных прочих числовых данных, найти стороны треугольника прямоугольного достаточно по косинусу. Косинусом угла, меньшего, чем девяносто градусов, является отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Но если в задаче следует найти стороны треугольника при известных катетах, то в действие вступает формула тангенса, при которой этот параметр равен соотношению противолежащего катета к прилежащему.

Формулы, по которым вычисляются стороны для прямоугольного треугольника не подходят для решения задач для обычного треугольника. А вот наоборот, все работает, только это приводит к лишним расчетам. При выполнении задания, следует быть очень внимательным, ведь в условии задачи может быть указан равнобедренный треугольник или равносторонний, что намного облегчит решение.

Треугольник - самая простая геометрическая фигура, которая состоит из трех сторон и трех вершин. Благодаря своей простоте треугольник с античных времен используется для проведения различных измерений, а сегодня фигура может пригодиться для решения практических и бытовых задач.

Особенности треугольника

Фигура издревле используется для вычислений, к примеру, землемеры и астрономы оперируют свойствами треугольников для вычисления площадей и расстояний. Через площадь этой фигуры легко выразить площадь любого n-угольника, и это свойство было использовано античными учеными для выведения формул площадей многоугольников. Постоянная работа с треугольниками, в особенности с прямоугольным треугольником, стала основной для целого раздела математики - тригонометрии.

Геометрия треугольника

Свойства геометрической фигуры изучались с древних времен: самая ранняя информация о треугольнике была найдена в египетских папирусах 4000-летней давности. Затем фигуру изучали в Древней Греции и наибольший вклад в геометрию треугольника внесли Евклид, Пифагор и Герон. Изучение треугольника никогда не прекращалось, и в 18-м веке Леонард Эйлер ввел понятие ортоцентра фигуры и окружности Эйлера. На рубеже 19 и 20 веков, когда казалось, что о треугольнике известно абсолютно все, Фрэнк Морли сформулировал теорему о трисектрисах угла, а Вацлав Серпинский предложил треугольник-фрактал.

Существует несколько видов плоских треугольников, знакомых нам со школьного курса геометрии:

• остроугольный - все углы фигуры острые;
• тупоугольный - у фигуры есть один тупой угол (больше 90 градусов);
• прямоугольный - фигура содержит один прямой угол, равный 90 градусов;
• равнобедренный - треугольник с двумя равными сторонами;
• равносторонний - треугольник со всеми равными сторонами.
• В реальной жизни встречаются все виды треугольников, и в некоторых случаях нам может потребоваться вычислить площадь геометрической фигуры.

Площадь треугольника

Площадь - это оценка того, какую часть плоскости ограничивает фигура. Площадь треугольника можно найти шестью способами, оперируя сторонами, высотой, величинами углов, радиусом вписанной или описанной окружности, а также используя формулу Герона или вычисляя двойной интеграл по линиям, ограничивающим плоскость. Самая простая формула для вычисления площади треугольника выглядит как:

где a - сторона треугольника, h - его высота.

Однако на практике нам не всегда удобно находить высоту геометрической фигуры. Алгоритм нашего калькулятора позволяет вычислять площадь, зная:

• три стороны;
• две стороны и угол между ними;
• одну сторону и два угла.

Для определения площади через три стороны мы используем формулу Герона:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

где p - полупериметр треугольника.

Вычисление площади по двум сторонам и углу производятся по классической формуле:

S = a × b × sin(alfa),

где alfa - угол между сторонами a и b.

Для определения площади через одну сторону и два угла мы используем соотношение, что:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Используя простую пропорцию, мы определяем длину второй стороны, после чего рассчитываем площадь по формуле S = a × b × sin(alfa). Данный алгоритм полностью автоматизирован и вам необходимо только внести заданные переменные и получить результат. Рассмотрим пару примеров.

Примеры из жизни

Тротуарная плитка

Допустим, вы хотите замостить пол треугольной плиткой, и чтобы определить количество необходимого материала, вам следует узнать площадь одной плитки и площадь пола. Пусть нужно обработать 6 квадратных метров поверхности, используя плитку, размеры которой составляют a = 20 см, b = 21 см, c = 29 см. Очевидно, что для вычисления площади треугольника калькулятор использует формулу Герона и выдаст результат:

Таким образом, площадь одного элемента плитки составит 0,021 квадратный метр, и вам понадобится 6/0,021 = 285 треугольников для благоустройства пола. Числа 20, 21 и 29 составляют пифагорову тройку - числа, которые удовлетворяют теореме Пифагора. И верно, наш калькулятор также рассчитал все углы треугольника, и угол гамма составляет именно 90 градусов.

Школьная задача

В школьной задаче необходимо отыскать площадь треугольника, зная, что сторона a = 5 см, а углы альфа и бета раны 30 и 50 градусов соответственно. Для решения этой задачи вручную мы вначале нашли бы значение стороны b, используя пропорцию соотношения сторон и синусов противолежащих углов, после чего определили площадь с использованием простой формулы S = a × b × sin(alfa). Давайте сэкономим время, введем данные в форму калькулятора и получим мгновенный ответ

При использовании калькулятора важно корректно указать углы и стороны, иначе результат будет неверным.

Заключение

Треугольник - уникальная фигура, которая встречается как в реальной жизни, так и в абстрактных расчетах. Используйте наш онлайн-калькулятор для определения площади треугольников любых видов.