Верно ли что диагонали четырехугольника пересекаются. Свойство диагоналей параллелограмма. Полные уроки — Гипермаркет знаний. Диагонали делятся пополам
Тема урока
- Свойство диагоналей параллелограмма.
Цели урока
- Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
- Сформулировать и доказать свойство диагоналей параллелограмма.
- Научиться применять свойства фигур при решении задач.
- Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
- Воспитательные - посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.
Задачи урока
- Проверить умение учащихся решать задачи.
План урока
- Вступительное слово.
- Повторение ранее изученного материала.
- Параллелограмм, его свойства и признаки.
- Примеры задач.
- Самостоятельная проверка.
Введение
«Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия».
Эта формула выглядит так, будто она не вышла нигде, не так ли? Конечно, математические формулы не выходят из ниоткуда, но вам, возможно, придется немного подумать об этом, чтобы обнаружить логику этого. Вот откуда исходит диагональная формула и почему она работает. Каждая диагональ соединяет одну точку с другой точкой в многоугольнике, который не является его соседним соседом. И каждая диагональ может перейти к конечным точкам, потому что диагональ не может заканчиваться в своей начальной точке или в любой из двух соседних точек.
Вот вам и проблема: если полигон имеет 90 диагоналей, сколько у него сторон? Вот отличное применение диагональной формулы в реальном мире. Скажем, есть небольшой теннисный турнир с шестью людьми, в котором каждый должен играть всех. Сколько будет общего количества матчей? На следующем рисунке показаны шесть теннисистов с сегментами, соединяющими каждую пару игроков.
Свойство противолежащих сторон параллелограмма
У параллелограмма противолежащие стороны равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Так как Δ AOB = Δ COD по первому признаку равенства треугольников (∠ AOB = ∠ COD, как вертикальные, AO=OC, DO=OB, по свойству диагоналей параллелограмма), то AB=CD. Точно также из равенства треугольников ВОС и DOA, следует что BC=DA. Теорема доказана.
Каждый сегмент представляет собой совпадение между двумя участниками. Таким образом, чтобы получить общее количество совпадений, вам просто нужно подсчитать все сегменты на рисунке: количество сторон шестиугольника плюс число диагоналей в шестиугольниках.
Это проиллюстрировано следующей фигурой. Показано, что отношение соответствующих сторон находится в отношении ½. На рисунке, показанном ниже, все синие треугольники подобны большему треугольнику, и можно видеть, что приведенная выше теорема имеет место. Джейк покидает школу, чтобы вернуться домой. Он идет 6 блоков на север, а затем на 8 блоков на запад. Насколько далеко Джейк от школы?
Свойство противолежащих углов параллелограмма
У параллелограмма противолежащие углы равны.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм . И пусть его диагонали пересекаются в точке O.
Из доказанного в теореме о свойства противолежащих сторон параллелограмма Δ ABC = Δ CDA по трем сторонам (AB=CD, BC=DA из доказанного, AC – общая). Из равенства треугольников следует, что ∠ ABC = ∠ CDA.
Так же доказывается, что ∠ DAB = ∠ BCD, которое следует из ∠ ABD = ∠ CDB. Теорема доказана.
Каждый отрезок линии многоугольника называется его стороной
Определите длину кабеля.
Угол: угол, образованный двумя соседними сторонами многоугольника, называется углом многоугольника
Если для каждой стороны многоугольника линия, содержащая ту сторону, имеет все остальные вершины на той же стороне. Построение четырехстороннего: построить четырехугольник пять элементов, которые будут известны.Предположим, что длины двух диагоналей параллелограмма составляют 8 см и 6 см, а угол между ними - 60 °. Покажите, что область = ½ области. Чтобы разделить угол, мы следуем приведенным ниже правилам. Таким образом, мы просто делим пополам 90º, используя шаги, которые использовались ранее.
Свойство диагоналей параллелограмма
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство.
Пусть ABCD – данный параллелограмм. Проведем диагональ AC. Отметим на ней середину O. На продолжении отрезка DO отложим отрезок OB 1 , равный DO.
По предыдущей теореме AB 1 CD – параллелограмм. Поэтому, прямая AB 1 параллельна DC. Но через точку A можно провести только одну прямую, параллельную DC. Значит, прямая AB 1 совпадает с прямой AB.
Также доказывается, что BC 1 совпадает с BC. Значит, точка С совпадает с С 1 . параллелограмм ABCD совпадает с параллелограммом AB 1 CD. Следовательно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана.
Таким образом, мы можем нарисовать 90º от вышеуказанных методов, а затем 45º на нем, чтобы сделать его 135º, как показано на рисунке. Построить тангенсы к кругу из внешней точки. Найдите среднюю точку этой линии, построив перпендикулярную биссектрису линии. Средняя точка может находиться внутри или вне круга, в зависимости от по размеру круга и местоположению данной точки. Шаг 4: Без изменения ширины проведите дугу по кругу в двух возможных местах. Окружность треугольника: Шаг 1: Найдите биссектрису одной из сторон треугольника.
Шаг 2: Повторите для другой стороны. Шаг 3: Точка пересечения этих двух перпендикуляров - это окружитель треугольника, центр круга, который мы желаем. Нарисуйте круг, который пройдет через все три. Внутри треугольника: Шаг 1: Поместите точку компаса на любую из вершин треугольника. Отрегулируйте компас до установки средней ширины. Точная ширина не важна. Не меняя ширину компаса, ударяйте дугу по каждой соседней стороне. Шаг 3: При необходимости измените ширину компаса, а затем, начиная с точки, где каждая дуга пересекает бок, нарисуйте две дуги внутри треугольника, чтобы они пересекали друг друга, используя одну и ту же ширину компаса для каждого.
В учебниках для обычных школ (например, в Погорелове) доказывается она так: диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника. Рассмотрим одну пару и выясним - они равны: основания у них - противоположные стороны, прилежащие к нему соответствующие углы равны как вертикальные при параллельных прямых. То есть отрезки диагоналей попарно равны. Всё.
Диагонали делятся пополам
Шаг 4: Используя линейку, нарисуйте линию из вершины треугольника туда, где пересекаются последние две дуги. Шаг 5: Повторите все вышеперечисленное в любой другой вершине треугольника. Теперь у вас будет две новые линии. Шаг 6: Когда две новые линии пересекаются, отметьте точку как центр треугольника. Шаг 7: Нарисуйте перпендикуляр от инцентра к стороне треугольника. Шаг 9: Нарисуйте полный круг, чтобы получить круг. Это станет одной из сторон шестиугольника. Поскольку мы строим правильный шестиугольник, остальные пять сторон тоже будут иметь эту длину.
Всё ли?
Выше доказано, что точка пересечения делит диагонали пополам - если существует. Само её существование приведённое рассуждение не доказывает ни в коей мере. То есть часть теоремы "диагонали параллелограмма пересекаются" остаётся недоказанной.
Забавно, что доказать эту часть намного сложнее. Следует это, кстати, из более общего результата: у любого выпуклого четырёхугольника диагонали будут пересекаться, у любого невыпуклого - не будут.
Противоположные стороны и углы равны
Компас должен оставаться на этой ширине для остальной части конструкции. Это следующая вершина шестиугольника. Шаг 5: Продолжайте так, пока у вас не будет всех шести вершин Шаг 6: Нарисуйте линию между каждыми последовательными парами вершин и фигурой. Постройте обводку и окружность треугольников, одна сторона которых составляет 5 см, другая сторона - 6 см, а угол между ними - 120 °.
Локусы показаны на рисунке ниже. 10-футовая лестница помещается вертикально к стене, а затем ступеньки лестницы перемещаются наружу, пока лестница не лежит ровно на полу, а один конец касается стены. Каково место в середине точки лестницы, когда она скользит?
О равенстве треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников) и другие.
Теореме о равенстве двух треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам Фалес нашел важное практическое применение. В гавани Милета был построен дальномер, определяющий расстояние до корабля в море. Он представлял собой три вбитых колышка А, В и С (АВ = ВС) и размеченную прямую СК, перпендикулярную.СА. При появлении корабля на прямой СК находили точку D такую, чтобы точки D, .В и Е оказывались на одной прямой. Как ясно из чертежа, расстояние CD на земле является искомым расстоянием до корабля.
Круг: свойства аккорда и аккорда
Каков локус центров кругов, которые касаются данной линии в данной точке? Каков локус концов сегментов линии, встречающихся в данной точке и делящихся пополам линией не через данную точку? На рисунке ниже показаны требуемые параметры. Это обратное предыдущее свойство.
Круг: свойства дуги и аккорда
Какова максимальная глубина воды? Длина каждого из двух параллельных хорд составляет 10 мм, а перпендикулярное расстояние между этими двумя хордами составляет 12 мм. Каков диаметр круглой трубы? Это видно на рисунке ниже. Это обратное свойство выше, что также видно из приведенного выше рисунка.
Вопросы
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам?
- Диагонали параллелограмма равны?
- Противолежащие углы параллелограмма равны?
- Сформулируйте определение параллелограмма?
- Сколько признаков параллелограмма?
- Может ли ромб быть параллелограмом?
Список использованных источников
- Кузнецов А. В., учитель математики (5-9 класс), г. Киев
- «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
- Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
- Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
Над уроком работали
Кузнецов А. В.
Потурнак С.А.
Евгений Петров
Поставить вопрос о современном образовании, выразить идею или решить назревшую проблему Вы можете на Образовательном форуме
, где на международном уровне собирается образовательный совет свежей мысли и действия. Создав блог,
Вы не только повысите свой статус, как компетентного преподавателя, а и сделаете весомый вклад в развитие школы будущего. Гильдия Лидеров Образования
открывает двери для специалистов высшего ранга и приглашает к сотрудничеству в направлении создания лучших в мире школ.
Четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны, является параллелограммом. Диагонали — это прямые, соединяющие противоположные вершины. Точка их пересечения является центром симметрии. В общем случае у параллелограмма есть две диагонали, D — длинная и d — короткая.
Найти диагональ параллелограмма по теореме косинусов
- Значение косинусов углов параллелограмма α и β.
D = √a^2 + b^2 — 2ab·cosβ
d = √a^2 + b^2 + 2ab·cosβ
D = √a^2 + b^2 + 2ab·cosα
d = √a^2 + b^2 — 2ab·cosα
Найти диагональ параллелограмма через одну известную диагональ и стороны
Для применения этого метода необходимо знать:
- Длины сторон параллелограмма a и b.
D = √2a^2 + 2b^2 — d^2
Для применения этого метода необходимо знать:
- Площадь параллелограмма.
- Длину одной из диагоналей D или d.
- Угол между диагоналями γ или δ.
D = 2S/d·sinγ = 2S/d·sinδ
d = 2S/D·sinγ = 2S/D·sinδ
Частный случай определения длины диагонали параллелограмма — квадрат
Квадрат — это параллелограмм, в котором все стороны равны и углы составляют 90°. Длины диагоналей в таком случае будут равны D=d и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора.
D=d=a*√2
Частный случай определения длины диагонали параллелограмма — прямоугольник
Прямоугольник — это параллелограмм, в котором углы равны и составляют 90°. Длины диагоналей в таком случае будут равны D=d и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора.
D=d=√(а^2+b^2)