Prezentacja pochodnych funkcji wykładniczych i logarytmicznych. Pochodna funkcji wykładniczej i logarytmicznej

Rozważmy funkcję wykładniczą y = a x, gdzie a > 1. Skonstruujmy wykresy dla różnych podstaw a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. opcja) 3. y = 10 x (2. opcja) 1. Zbudujmy wykresy dla różnych baz a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (opcja 1) 3. y = 10 x (opcja 2)"> 1. Zbudujmy wykresy dla różnych baz a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (opcja 1) 3. y = 10 x (opcja 2)"> 1. Zbudujmy wykresy dla różnych baz: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (opcja 1 ) 3 y = 10 x (opcja 2)" title=" Rozważmy funkcję wykładniczą y = a x, gdzie a > 1. Skonstruujmy wykresy dla różnych podstaw a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (Opcja 1) 3. y = 10 x (Opcja 2)"> title="Rozważmy funkcję wykładniczą y = a x, gdzie a > 1. Skonstruujmy wykresy dla różnych podstaw a: 1. y = 2 x 2. y = 3 x (1. opcja) 3. y = 10 x (2. opcja)"> !}

Stosując precyzyjne konstrukcje stycznych do wykresów można zauważyć, że jeśli podstawa a funkcji wykładniczej y = a x stopniowo zwiększa podstawę od 2 do 10, to kąt między styczną do wykresu funkcji w punkcie x = 0, a odcięta stopniowo wzrasta od 35 do 66, 5. Zatem istnieje podstawa a, dla której odpowiedni kąt wynosi 45. A ta wartość a mieści się w przedziale od 2 do 3, ponieważ dla a = 2 kąt jest równy 35, dla a = 3 jest równy 48. W toku analiz matematycznych udowodniono, że taka podstawa istnieje, co oznacza się zwykle literą e. Ustalono, że e jest liczbą niewymierną, tj. reprezentuje nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny: e = 2, ... ; W praktyce zwykle przyjmuje się, że e wynosi 2,7.

Wykres i własności funkcji y = e x: 1) D (f) = (- ; +); 2) nie jest ani parzysty, ani nieparzysty; 3) podwyżki; 4) nieograniczona od góry, ograniczona od dołu 5) nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości; 6) ciągły; 7) mi (f) = (0; +); 8) wypukły w dół; 9) różniczkowalne. Funkcja y = e x nazywana jest wykładnikiem.

W toku analizy matematycznej udowodniono, że funkcja y = e x ma pochodną w dowolnym punkcie x: (e x) = e x (e 5x)" = 5e 5x (e -4x+1)" = -4e -4x- 1 (np. x -3)" = mi x-3

3) -2 x) x = -2 – punkt maksymalny x = 0 – punkt minimalny Odpowiedź:

Własności funkcji y = ln x: 1) D (f) = (0; +); 2) nie jest ani parzysty, ani nieparzysty; 3) zwiększa się o (0; +); 4) nieograniczone; 5) nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości; 6) ciągły; 7) mi (f) = (-; +); 8) góra wypukła; 9) różniczkowalne. Wykres i własności funkcji y = ln x

W toku analizy matematycznej wykazano, że dla dowolnej wartości x>0 obowiązuje wzór różniczkowy 0 wzór na różniczkowanie jest ważny"> 0 wzór na różniczkowanie jest ważny"> 0 wzór na różniczkowanie jest ważny" title="W toku analizy matematycznej udowadnia się, że dla dowolnej wartości x>0 wzór na różniczkowanie jest ważny"> title="W toku analizy matematycznej wykazano, że dla dowolnej wartości x>0 obowiązuje wzór różniczkowy"> !} Zasoby internetowe: pokazatelnojj-funkcii.html pokazatelnojj-funkcii.html

Algebra i początki analizy matematycznej

Różniczkowanie funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Opracowany przez:

nauczyciel matematyki, Miejska Placówka Oświatowa Liceum nr 203 KhEC

Miasto Nowosybirsk

Vidutova T.V.

Numer mi. Funkcjonować y = mi X, jego własności, wykres, różniczkowanie

1. Zbudujmy wykresy dla różnych baz: 1. y = 2 x 3. y = 10 x 2. y = 3 x (2. opcja) (1. opcja) " szerokość="640"

Rozważmy funkcję wykładniczą y = a X, gdzie a wynosi 1.

Zbudujemy dla różnych baz A grafika:

1. y=2 X

3. y=10 X

2. y=3 X

(Opcja 2)

(1 opcja)

1) Wszystkie wykresy przechodzą przez punkt (0; 1);

2) Wszystkie wykresy mają asymptotę poziomą y = 0

Na X  ∞;

3) Wszystkie są wypukłe i skierowane w dół;

4) Wszystkie mają styczne we wszystkich swoich punktach.

Narysujmy styczną do wykresu funkcji y=2 X w tym punkcie X= 0 i zmierz kąt utworzony przez styczną z osią X

Stosując precyzyjne konstrukcje stycznych do wykresów, można zauważyć, że jeśli podstawa A funkcja wykładnicza y = a X podstawa stopniowo wzrasta od 2 do 10, następnie kąt między styczną do wykresu funkcji w punkcie X= 0, a oś x stopniowo wzrasta od 35’ do 66,5’.

Dlatego istnieje powód A, dla którego odpowiedni kąt wynosi 45’. I to jest znaczenie A zawiera się między 2 a 3, ponieważ Na A= 2 kąt wynosi 35’, przy czym A= 3 równa się 48’.

W toku analizy matematycznej udowodniono, że taka podstawa istnieje; jest ona zwykle oznaczona literą mi.

Ustaliłem to mi – liczba niewymierna, czyli reprezentuje nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny:

e = 2,7182818284590… ;

W praktyce zwykle tak się zakłada mi ≈ 2,7.

Wykres funkcji i właściwości y = mi X :

1) D(f) = (- ∞; + ∞);

3) podwyżki;

4) nieograniczony od góry, ograniczony od dołu

5) nie ma ani największego, ani najmniejszego

wartości;

6) ciągły;

7) E(f) = (0; + ∞);

8) wypukły w dół;

9) różniczkowalne.

Funkcjonować y = mi X zwany wykładnik potęgowy .

W toku analizy matematycznej wykazano, że funkcja y = mi X ma pochodną w dowolnym punkcie X :

(mi X ) = np X

(mi 5x )” = 5e 5x

(mi x-3 )" = np x-3

(mi -4x+1 )” = -4е -4x-1

Przykład 1 . Narysuj styczną do wykresu funkcji w punkcie x=1.

2) f()=f(1)=e

4) y=e+e(x-1); y = np

Odpowiedź:

Przykład 2 .

X = 3.

Przykład 3 .

Zbadaj funkcję ekstremum

x=0 i x=-2

X= -2 – punkt maksymalny

X= 0 – punkt minimalny

Jeśli podstawą logarytmu jest liczba mi, to mówią, że jest dane naturalny logarytm . Wprowadzono specjalną notację dla logarytmów naturalnych ln (l – logarytm, n – naturalny).

Wykres i własności funkcji y = ln x

Własności funkcji y = lnx:

1) D(f) = (0; + ∞);

2) nie jest ani parzysty, ani nieparzysty;

3) wzrasta o (0; + ∞);

4) nieograniczone;

5) nie ma ani największej, ani najmniejszej wartości;

6) ciągły;

7) E(f) = (- ∞; + ∞);

8) góra wypukła;

9) różniczkowalne.

0 obowiązuje formuła różniczkująca „width="640".

W toku analizy matematycznej udowadnia się, że dla dowolnej wartości x0 wzór na różniczkowanie jest ważny

Przykład 4:

Oblicz pochodną funkcji w punkcie X = -1.

Na przykład:

Zasoby internetowe:

• http://egemaximum.ru/pokazatelnaya-funktsiya/
• http://or-gr2005.narod.ru/grafik/sod/gr-3.html
• http://ru.wikipedia.org/wiki/
• http://900igr.net/prezentatsii
• http://ppt4web.ru/algebra/proizvodnaja-pokazatelnojj-funkcii.html

Pochodna funkcji wykładniczej i logarytmicznej Lekcja w klasie 11 „B”
nauczyciel Kopova O.V.

Oblicz pochodną

doustnie
1.
2.
3.
3x2 2x5
mi
2x
3e x
4.
l x 3
5.
34x
6.
5 x 2 grzech x ln 5 x
w piśmie
X
1
log 5 x 4
7
y x 2 log 1 3x 1
2
3 1
y ln 2 x
X

X
Biorąc pod uwagę funkcję y 2 x e. Znajdź róg
współczynnik tangensa narysowanego w
punkt z odciętą x0 0 .
Napisz równanie stycznej do
wykres funkcji f x x 5 ln x w punkcie c
odcięta x0 1 .

Zadanie B8 (nr 8319)

zdefiniowany w przedziale 5; 10 . Znajdź luki
funkcja rosnąca. W swojej odpowiedzi wskaż długość najdłuższego
z nich.

Zadanie B8 (nr 9031)
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji,
zdefiniowany w przedziale 11; 2. Znajdź punkt
ekstremum funkcji na odcinku 10; 5.

Zadanie B8 (nr 8795)
Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji,
zdefiniowany w przedziale 9; 2. Znajdź ilość
punkty, w których styczna do wykresu funkcji
równolegle lub pokrywa się z linią y x 12.

Zadanie prototypowe B14

Znajdź punkt minimalny funkcji y 4x 4 ln x 7 6 .
7 6 x x 2
Znajdź największą wartość funkcji
y 3
Znajdź najmniejszą wartość funkcji
tak 2 x 6e x 3
w segmencie 1; 2.