솔루션의 모듈 예제 내의 불평등 모듈입니다. 모듈러스와의 부등식
이 온라인 수학 계산기는 당신에게 도움이 될 것입니다 모듈러스를 사용하여 방정식 또는 부등식 풀기. 프로그램 모듈러스를 사용하여 방정식과 부등식 풀기문제에 대한 답을 줄 뿐만 아니라, 설명이 포함된 자세한 솔루션, 즉. 결과를 얻는 과정을 표시합니다.
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|x| 또는 ABS(x) - 모듈 x모듈러스를 사용하여 방정식이나 부등식을 입력하세요.
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약간의 이론.
모듈러스를 사용한 방정식과 부등식
기본 학교 대수학 과정에서는 모듈러스를 사용하여 가장 간단한 방정식과 부등식을 접할 수 있습니다. 이 문제를 해결하려면 \(|x-a| \)가 점 x와 a 사이의 수직선 상의 거리라는 사실을 기반으로 하는 기하학적 방법을 사용할 수 있습니다. \(|x-a| = \rho (x;\; a) \). 예를 들어, \(|x-3|=2\) 방정식을 풀려면 점 3에서 2만큼 떨어진 수직선 상의 점을 찾아야 합니다. 그러한 점이 두 개 있습니다: \(x_1=1 \) 및 \(x_2=5\) .
부등식 풀기 \(|2x+7| 
그러나 모듈러스를 사용하여 방정식과 부등식을 해결하는 주요 방법은 소위 "정의에 따른 모듈러스 공개"와 관련이 있습니다.
\(a \geq 0 \)이면 \(|a|=a \);
if \(a 일반적으로 모듈러스가 있는 방정식(부등식)은 모듈러스 기호를 포함하지 않는 일련의 방정식(부등식)으로 축소됩니다.
위의 정의 외에도 다음 명령문이 사용됩니다.
1) \(c > 0\)이면 방정식 \(|f(x)|=c \)는 방정식 세트와 동일합니다: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(배열)\right.\)
2) \(c > 0 \)이면 부등식 \(|f(x)| 3) \(c \geq 0 \)이면 부등식 \(|f(x)| > c \)는 다음과 같습니다. 부등식 집합과 같습니다: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) 부등식의 양쪽에 \(f(x) 예 1. 방정식 \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\)을 풉니다.
\(x-1 \geq 0\)이면 \(|x-1| = x-1\)이고 주어진 방정식은 다음 형식을 취합니다.
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \오른쪽 화살표 x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \오른쪽 화살표 x^2 -2x -4 = 0 \)인 경우.
따라서 주어진 방정식은 표시된 두 가지 경우 각각에서 별도로 고려되어야 합니다.
1) \(x-1 \geq 0 \), 즉 \(x\geq 1\). 방정식 \(x^2 +2x -8 = 0\)에서 \(x_1=2, \; x_2=-4\)를 찾습니다. \(x \geq 1 \) 조건은 \(x_1=2\) 값에 의해서만 충족됩니다.
2) \(x-1 답: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
예 2. 방정식 \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\)을 풉니다.
첫 번째 방법(정의에 따른 모듈 확장).
예제 1과 같이 추론하면 두 가지 조건이 충족되면 주어진 방정식을 별도로 고려해야 한다는 결론에 도달합니다: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) 또는 \(x^2-6x+7
1) \(x^2-6x+7 \geq 0 \)이면 \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \)이고 주어진 방정식은 \(x) 형식을 취합니다. ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \오른쪽 화살표 3x^2-23x+30=0 \). 이 이차 방정식을 풀면 \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \)를 얻습니다.
\(x_1=6\) 값이 \(x^2-6x+7 \geq 0\) 조건을 만족하는지 알아봅시다. 이렇게 하려면 표시된 값을 2차 부등식에 대입하세요. 우리는 다음을 얻습니다: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), 즉 \(7 \geq 0 \)은 진정한 부등식입니다. 이는 \(x_1=6\)이 주어진 방정식의 근임을 의미합니다.
\(x_2=\frac(5)(3)\) 값이 \(x^2-6x+7 \geq 0\) 조건을 만족하는지 알아봅시다. 이렇게 하려면 표시된 값을 2차 부등식에 대입하세요. 우리는 다음을 얻습니다: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), 즉 \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \)은 잘못된 부등식입니다. 이는 \(x_2=\frac(5)(3)\)이 주어진 방정식의 근이 아니라는 것을 의미합니다.
2) \(x^2-6x+7 값 \(x_3=3\)이 조건 \(x^2-6x+7 값 \(x_4=\frac(4)(3) \)을 만족하는 경우 \(x_4=\frac(4)(3) \)는 만족하지 않음 조건 \(x^2-6x+7) 따라서 주어진 방정식에는 두 개의 근이 있습니다: \(x=6, \; x=3 \).
두 번째 방법.방정식 \(|f(x)| = h(x) \)가 주어지면 \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right.\)
이 두 방정식은 모두 위에서 풀었습니다(주어진 방정식을 푸는 첫 번째 방법을 사용하여). 그 근은 다음과 같습니다: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(삼)\). 이 네 가지 값의 조건 \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \)은 6과 3 두 가지로만 충족됩니다. 이는 주어진 방정식에 두 개의 근이 있음을 의미합니다: \(x=6 , \; x=3 \ ).
세 번째 방법(그래픽).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) 함수의 그래프를 작성해 보겠습니다. 먼저 포물선 \(y = x^2-6x+7\)을 만들어 보겠습니다. \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \)가 있습니다. 함수 \(y = (x-3)^2-2\)의 그래프는 함수 \(y = x^2\)의 그래프에서 3 척도 단위를 오른쪽으로 이동하여 얻을 수 있습니다. x축) 및 2배율 단위 아래(y축을 따라). 직선 x=3은 우리가 관심 있는 포물선의 축입니다. 보다 정확한 플롯을 위한 제어점으로 포물선의 꼭지점인 점 (3; -2), 포물선 축을 기준으로 대칭인 점 (0; 7) 및 점 (6; 7)을 사용하는 것이 편리합니다. .
이제 \(y = |x^2-6x+7| \) 함수의 그래프를 구성하려면 구성된 포물선 중 x축 아래에 있지 않은 부분을 변경하지 않고 그대로 두어야 합니다. x축을 기준으로 x축 아래에 있는 포물선.
2) 그래프를 만들어보자 선형 함수\(y = \frac(5x-9)(3)\). 점 (0; –3)과 (3; 2)를 제어점으로 사용하는 것이 편리합니다.
직선과 가로축의 교차점 x = 1.8이 포물선과 가로축의 왼쪽 교차점 오른쪽에 위치하는 것이 중요합니다. 이것이 \(x=3-\ 점입니다. sqrt(2)\) (\(3-\sqrt(2 ) 3 이후) 그림으로 판단하면 그래프는 두 지점 A(3; 2)와 B(6; 7)에서 교차합니다. 이들의 가로 좌표를 대체합니다. 주어진 방정식에 x = 3 및 x = 6 점을 추가하면 다른 값에서 올바른 수치 동등성이 얻어짐을 확신합니다. 이는 가설이 확인되었음을 의미합니다. 방정식에는 x = 3 및 x = 6의 두 가지 근이 있습니다. . 답: 3, 6.
논평. 모든 우아함에도 불구하고 그래픽 방법은 그다지 신뢰할 수 없습니다. 고려된 예에서는 방정식의 근이 정수이기 때문에 작동했습니다.
예 3. 방정식 \(|2x-4|+|x+3| = 8\) 풀기
첫 번째 방법
2x–4라는 표현은 x = 2 지점에서 0이 되고, x + 3이라는 표현은 x = –3 지점에서 0이 됩니다. 이 두 점은 수직선을 세 개의 간격으로 나눕니다.
첫 번째 간격인 \((-\infty; \; -3) \)를 고려하세요.
x인 경우 두 번째 간격인 \([-3; \; 2) \)를 고려합니다.
\(-3 \leq x인 경우 세 번째 간격을 고려합니다. \(
말하기 간단한 언어로, 모듈러스는 "마이너스가 없는 숫자"입니다. 그리고 바로 이 이중성(어떤 곳에서는 원래 숫자로 아무것도 할 필요가 없지만 다른 곳에서는 일종의 마이너스를 제거해야 함)이 바로 초보 학생의 어려움입니다.
기하학적 정의도 있습니다. 아는 것도 유용하지만 복잡하고 일부 경우에만 다루겠습니다. 특수한 상황들, 기하학적 접근 방식이 대수적 접근 방식보다 더 편리합니다(스포일러: 오늘은 아님).
정의. $a$ 점을 수직선에 표시하도록 합니다. 그런 다음 모듈 $\left| x-a \right|$는 이 선의 $x$ 지점에서 $a$ 지점까지의 거리입니다.
그림을 그리면 다음과 같은 결과가 나옵니다.
그래픽 모듈 정의 어떤 식으로든 모듈 정의에서 핵심 속성은 바로 다음과 같습니다. 숫자의 모듈러스는 항상 음수가 아닌 수량입니다.. 이 사실은 오늘 우리의 이야기 전체를 관통하는 붉은 실이 될 것입니다.
불평등 해결. 간격 방법
이제 불평등을 살펴보겠습니다. 그 중 아주 많은 문제가 있지만 이제 우리의 임무는 최소한 그 중 가장 간단한 문제를 해결할 수 있는 것입니다. 선형 불평등과 간격 방법으로 축소되는 것입니다.
저는 이 주제에 대해 두 가지 큰 교훈을 얻었습니다(그런데 매우 유용합니다. 공부하는 것이 좋습니다).
- 불평등에 대한 간격 방법(특히 비디오 보기);
- 분수 합리적 불평등은 매우 광범위한 교훈이지만, 그 후에는 전혀 질문이 없을 것입니다.
이 모든 것을 알고 있다면, "불평등에서 방정식으로 나아가자"라는 문구가 벽에 부딪치고 싶은 막연한 욕구를 갖게 하지 않는다면, 당신은 준비가 된 것입니다: 수업의 주요 주제에 오신 것을 환영합니다. :)
1. "모듈러스가 함수보다 작습니다" 형태의 부등식
이는 모듈의 가장 일반적인 문제 중 하나입니다. 다음 형식의 부등식을 해결해야 합니다.
\[\왼쪽| f\right| \ltg\]
$f$ 및 $g$ 함수는 무엇이든 될 수 있지만 일반적으로 다항식입니다. 그러한 불평등의 예:
\[\begin(align) & \left| 2x+3 \오른쪽| \lt x+7; \\ & \왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \왼쪽| ((x)^(2))-2\왼쪽| x \오른쪽|-3 \오른쪽| \lt 2. \\\end(정렬)\]
모든 문제는 다음 구성표에 따라 문자 그대로 한 줄로 해결할 수 있습니다.
\[\왼쪽| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \맞아 맞아)\]
모듈을 제거하면 쉽게 알 수 있지만 그 대가로 이중 불평등(또는 동일한 의미로 두 불평등 시스템)을 얻게 됩니다. 하지만 이 전환은 절대적으로 모든 것을 고려합니다. 가능한 문제: 모듈러스 아래의 숫자가 양수이면 방법이 작동합니다. 음수이면 여전히 작동합니다. $f$ 또는 $g$ 대신 가장 부적절한 기능을 사용하더라도 이 방법은 여전히 작동합니다.
당연히 질문이 생깁니다. 이보다 더 간단할 수는 없을까요? 불행히도 그것은 불가능합니다. 이것이 모듈의 전체 요점입니다.
그러나 철학적으로는 충분합니다. 몇 가지 문제를 해결해 보겠습니다.
일. 부등식을 해결합니다.
\[\왼쪽| 2x+3 \오른쪽| \lt x+7\]
해결책. 따라서 우리 앞에는 "모듈러스가 적습니다"라는 형식의 고전적인 불평등이 있습니다. 변환할 것도 없습니다. 우리는 알고리즘에 따라 작업합니다.
\[\begin(align) & \left| f\right| \lt g\오른쪽 화살표 -g \lt f \lt g; \\ & \왼쪽| 2x+3 \오른쪽| \lt x+7\오른쪽 화살표 -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(정렬)\]
앞에 "마이너스"가 붙은 괄호를 서두르지 마십시오. 서두르면 공격적인 실수를 저지를 가능성이 높습니다.
\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]
\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]
문제는 두 가지 기본 불평등으로 축소되었습니다. 평행 수직선에 대한 해결책을 살펴보겠습니다.
많은 것의 교차점
이 세트의 교집합이 답이 될 것입니다.
답: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$
일. 부등식을 해결합니다.
\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]
해결책. 이 작업은 조금 더 어렵습니다. 먼저 두 번째 항을 오른쪽으로 이동하여 모듈을 분리해 보겠습니다.
\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right| \lt -3\왼쪽(x+1 \오른쪽)\]
분명히 "모듈이 더 작습니다"라는 형태의 부등식이 다시 발생하므로 이미 알려진 알고리즘을 사용하여 모듈을 제거합니다.
\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]
이제 주목하세요. 누군가는 제가 이 모든 괄호 때문에 약간 변태라고 말할 것입니다. 하지만 우리의 핵심 목표는 다음과 같다는 점을 다시 한 번 상기시켜 드리겠습니다. 불평등을 올바르게 풀고 답을 얻으세요. 나중에 이 단원에 설명된 모든 내용을 완벽하게 익힌 후에는 원하는 대로 괄호 열기, 빼기 추가 등을 직접 변경할 수 있습니다.
우선 왼쪽에 있는 이중 마이너스를 제거하겠습니다.
\[-\왼쪽(-3\왼쪽(x+1 \오른쪽) \오른쪽)=\왼쪽(-1 \오른쪽)\cdot \왼쪽(-3 \오른쪽)\cdot \왼쪽(x+1 \오른쪽) =3\왼쪽(x+1 \오른쪽)\]
이제 이중 부등식의 모든 괄호를 열어 보겠습니다.
이중 불평등으로 넘어가 보겠습니다. 이번에는 계산이 더욱 심각해집니다.
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \right.\]
\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( 정렬)\오른쪽.\]
두 부등식은 모두 이차적이며 간격 방법으로 풀 수 있습니다(그래서 제가 말하는 이유는 이것이 무엇인지 모른다면 아직 모듈을 수강하지 않는 것이 좋습니다). 첫 번째 부등식의 방정식으로 넘어가겠습니다.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\끝(정렬)\]
보시다시피 출력은 초보적인 방법으로 풀 수 있는 불완전한 2차 방정식입니다. 이제 시스템의 두 번째 부등식을 살펴보겠습니다. 거기에서 Vieta의 정리를 적용해야 합니다.
\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\끝(정렬)\]
결과 숫자를 두 개의 평행선에 표시합니다(첫 번째 부등식과 두 번째 부등식에 대해 구분).
다시 말하지만, 우리는 부등식 시스템을 풀고 있기 때문에 음영 집합의 교집합인 $x\in \left(-5;-2 \right)$에 관심이 있습니다. 이것이 답입니다.
답: $x\in \left(-5;-2 \right)$
나는 이러한 예를 통해 솔루션 체계가 매우 명확하다고 생각합니다.
- 다른 모든 항을 부등식의 반대쪽으로 이동하여 모듈을 분리합니다. 따라서 우리는 $\left| 형식의 부등식을 얻습니다. f\right| \ltg$.
- 위에서 설명한 구성표에 따라 모듈을 제거하여 이러한 불평등을 해결하십시오. 어느 시점에서는 이중 불평등에서 두 개의 독립적인 표현 시스템으로 전환해야 하며, 각 표현은 이미 개별적으로 해결될 수 있습니다.
- 마지막으로 남은 것은 이 두 개의 독립적인 표현의 해를 교차시키는 것입니다. 이것이 바로 최종 답을 얻게 되는 것입니다.
모듈러스가 함수보다 큰 경우 다음 유형의 부등식에 대해 유사한 알고리즘이 존재합니다. 그러나 몇 가지 심각한 "그러나"가 있습니다. 이제 이러한 "그러나"에 대해 이야기하겠습니다.
2. "계수가 함수보다 크다" 형태의 부등식
그것들은 다음과 같습니다:
\[\왼쪽| f\right| \gtg\]
전작과 비슷한데요? 그런 것 같습니다. 그러나 이러한 문제는 완전히 다른 방식으로 해결됩니다. 공식적으로 계획은 다음과 같습니다.
\[\왼쪽| f\right| \gt g\오른쪽 화살표 \left[ \begin(정렬) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(정렬) \right.\]
즉, 우리는 두 가지 경우를 고려합니다.
- 첫째, 우리는 단순히 모듈을 무시하고 일반적인 부등식을 해결합니다.
- 그런 다음 본질적으로 빼기 기호를 사용하여 모듈을 확장한 다음 부등식의 양쪽에 -1을 곱합니다. 이때 기호가 있습니다.
이 경우 옵션은 대괄호로 결합됩니다. 우리 앞에는 두 가지 요구 사항이 결합되어 있습니다.
다시 한 번 주의하세요: 이것은 시스템이 아니라 총체입니다. 답에서는 세트가 교차하지 않고 결합됩니다.. 이것은 이전 요점과 근본적인 차이점입니다!
일반적으로 많은 학생들이 합집합과 교차점에 대해 완전히 혼동하고 있으므로 이 문제를 한 번 정리해 보겠습니다.
- "∪"은 결합 기호입니다. 본질적으로 이것은 우리에게 온 양식화된 문자 "U"입니다. 영어로"Union"의 약어입니다. "협회".
- "∩"는 교차로 표시입니다. 이 쓰레기는 어디에서 나온 것이 아니라 단순히 "∪"에 대한 대위법으로 나타났습니다.
더 쉽게 기억할 수 있도록 다음 표지판에 다리를 그려서 안경을 만드세요. (이제 마약 중독과 알코올 중독을 조장한다고 비난하지 마세요. 이 수업을 진지하게 공부하고 있다면 이미 마약 중독자입니다.)
집합의 교집합과 합집합의 차이점 러시아어로 번역하면 이는 다음을 의미합니다. 결합(전체)에는 두 세트의 요소가 모두 포함되므로 각 세트보다 작지 않습니다. 그러나 교차점(시스템)에는 첫 번째 세트와 두 번째 세트에 동시에 있는 요소만 포함됩니다. 따라서 세트의 교집합은 소스 세트보다 결코 크지 않습니다.
그래서 더 명확해졌나요? 그거 좋네. 연습을 계속해 봅시다.
일. 부등식을 해결합니다.
\[\왼쪽| 3x+1 \오른쪽| \gt 5-4배\]
해결책. 우리는 계획에 따라 진행합니다.
\[\왼쪽| 3x+1 \오른쪽| \gt 5-4x\오른쪽 화살표 \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ 오른쪽.\]
우리는 인구의 각 불평등을 해결합니다.
\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]
\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]
각 결과 집합을 수직선에 표시한 다음 결합합니다.
세트의 합집합
대답은 다음과 같습니다. $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
답: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$
일. 부등식을 해결합니다.
\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\]
해결책. 잘? 아무것도 - 모든 것이 동일합니다. 모듈러스가 있는 부등식에서 두 가지 부등식의 집합으로 이동합니다.
\[\왼쪽| ((x)^(2))+2x-3 \right| \gt x\오른쪽 화살표 \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\끝(정렬) \오른쪽.\]
우리는 모든 불평등을 해결합니다. 불행하게도 그곳의 뿌리는 그다지 좋지 않을 것입니다.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\끝(정렬)\]
두 번째 부등식도 약간 거칠습니다.
\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\끝(정렬)\]
이제 이 숫자를 두 개의 축(각 부등식에 대한 하나의 축)에 표시해야 합니다. 단, 포인트는 반드시 표시해야 합니다. 올바른 순서로: 숫자가 클수록 포인트가 오른쪽으로 더 이동합니다.
그리고 여기에 설정이 우리를 기다립니다. 숫자 $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$(첫 번째 분자의 항)로 모든 것이 명확하다면 분수는 두 번째 분자의 항보다 작으므로 합도 더 작습니다. 숫자 $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ 또한 어려움이 없을 것입니다(양수는 분명히 더 음수임). 그러면 마지막 커플의 경우 모든 것이 그렇게 명확하지 않습니다. $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ 또는 $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$ 중 어느 것이 더 큽니까? 수직선의 점 배치와 실제로 답은 이 질문에 대한 답에 따라 달라집니다.
그럼 비교해 보겠습니다:
\[\begin(행렬) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\end(행렬)\]
우리는 근을 분리하고 부등식의 양쪽에 음수가 아닌 숫자를 얻었으므로 양쪽을 제곱할 권리가 있습니다.
\[\begin(행렬) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\end(행렬)\]
제 생각에는 $4\sqrt(13) \gt 3$를 하는 것이 더 이상 생각할 필요가 없습니다. 따라서 $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, 축의 마지막 점은 다음과 같이 배치됩니다.
못생긴 뿌리의 사례
우리는 집합을 풀고 있으므로 답은 음영 집합의 교집합이 아니라 합집합이 될 것임을 상기시켜 드리겠습니다.
답: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$
보시다시피, 우리의 계획은 간단한 문제와 매우 어려운 문제 모두에 훌륭하게 작동합니다. 유일한 것 " 약점“이 접근 방식에서는 무리수를 유능하게 비교해야 합니다(저를 믿으세요. 이것은 단지 뿌리가 아닙니다). 그러나 비교 문제에 대해서는 별도의 (매우 심각한) 수업이 제공됩니다. 그리고 우리는 계속 나아갑니다.
3. 음수가 아닌 "꼬리"가 있는 부등식
이제 우리는 가장 흥미로운 부분에 도달합니다. 이는 다음과 같은 형식의 불평등입니다.
\[\왼쪽| f\right| \gt\왼쪽| g\오른쪽|\]
일반적으로 지금 이야기할 알고리즘은 모듈에 대해서만 정확합니다. 왼쪽과 오른쪽에 음이 아닌 표현이 보장되는 모든 부등식에서 작동합니다.
이 작업을 어떻게 해야 할까요? 기억해라:
음수가 아닌 "꼬리"가 있는 부등식에서는 양측이 어떤 자연력으로도 상승할 수 있습니다. 추가적인 제한은 없습니다.
우선, 우리는 제곱에 관심을 가질 것입니다 - 그것은 모듈과 루트를 태워버립니다:
\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\끝(정렬)\]
이것을 제곱근을 구하는 것과 혼동하지 마세요:
\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]
학생이 모듈 설치를 잊어버렸을 때 수많은 실수가 있었습니다! 그러나 이것은 완전히 다른 이야기이므로 (이것은 비합리적인 방정식입니다) 지금은 이에 대해 다루지 않겠습니다. 몇 가지 문제를 더 잘 해결해 보겠습니다.
일. 부등식을 해결합니다.
\[\왼쪽| x+2 \오른쪽|\ge \왼쪽| 1-2x \오른쪽|\]
해결책. 즉시 두 가지 사항을 살펴보겠습니다.
- 이것은 엄격한 불평등이 아닙니다. 수직선의 점에 구멍이 뚫립니다.
- 부등식의 양쪽은 분명히 음수가 아닙니다(이것은 모듈의 속성입니다: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).
따라서 부등식의 양쪽을 제곱하여 모듈러스를 제거하고 일반적인 간격 방법을 사용하여 문제를 해결할 수 있습니다.
\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\끝(정렬)\]
~에 마지막 단계나는 약간의 속임수를 썼습니다. 모듈의 균등성을 활용하여 용어 순서를 변경했습니다(사실 $1-2x$ 표현식에 −1을 곱했습니다).
\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ 오른쪽)\오른쪽)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]
간격법을 사용하여 해결합니다. 불평등에서 방정식으로 넘어가겠습니다.
\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\끝(정렬)\]
발견된 뿌리를 수직선에 표시합니다. 다시 한 번 말하지만, 원래의 부등식은 엄격하지 않기 때문에 모든 점에 음영 처리가 되어 있습니다!
모듈러스 기호 제거
특히 완고한 사람들을 위해 상기시켜 드리겠습니다. 방정식으로 넘어가기 전에 기록된 마지막 부등식의 기호를 사용합니다. 그리고 우리는 동일한 불평등에 필요한 영역을 칠합니다. 우리의 경우에는 $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$입니다.
이제 다 끝났습니다. 문제가 해결되었습니다.
답: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.
일. 부등식을 해결합니다.
\[\왼쪽| ((x)^(2))+x+1 \오른쪽|\le \왼쪽| ((x)^(2))+3x+4 \오른쪽|\]
해결책. 우리는 모든 일을 동일하게 수행합니다. 나는 논평하지 않을 것입니다. 단지 일련의 동작을 살펴보십시오.
제곱하세요:
\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \오른쪽))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ 오른쪽))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]
간격 방법:
\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ 오른쪽 화살표 x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\끝(정렬)\]
수직선에는 단 하나의 근이 있습니다:
답은 전체 간격입니다.
답: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.
마지막 작업에 대한 작은 메모입니다. 내 학생 중 한 명이 정확하게 지적했듯이 이 부등식의 두 하위 모듈 식은 모두 명백히 양수이므로 건강에 해를 끼치지 않고 모듈러스 기호를 생략할 수 있습니다.
그러나 이것은 완전히 다른 수준의 사고와 다른 접근 방식입니다. 조건부로 결과 방법이라고 부를 수 있습니다. 그것에 대해 - 별도의 수업에서. 이제 오늘 수업의 마지막 부분으로 넘어가서 항상 작동하는 범용 알고리즘을 살펴보겠습니다. 이전의 모든 접근 방식이 무력한 경우에도 마찬가지입니다. :)
4. 옵션의 열거방법
이 모든 기술이 도움이 되지 않는다면 어떻게 될까요? 불평등을 음이 아닌 꼬리로 줄일 수 없다면, 모듈을 분리하는 것이 불가능하다면, 일반적으로 고통, 슬픔, 우울이 있다면?
그런 다음 모든 수학의 "중포", 즉 무차별 대입 방법이 등장합니다. 모듈러스와의 불평등과 관련하여 다음과 같습니다.
- 모든 하위 모듈 식을 작성하고 0으로 설정합니다.
- 결과 방정식을 풀고 수직선에 있는 근을 표시하세요.
- 직선은 여러 섹션으로 나누어지며, 각 섹션에는 고정된 기호가 있어 고유하게 드러납니다.
- 각 섹션의 부등식을 해결합니다(신뢰성을 위해 2단계에서 얻은 루트 경계를 별도로 고려할 수 있음). 결과를 합치면 이것이 답이 됩니다. :)
그래서 방법? 약한? 용이하게! 오랫동안만. 실제로 살펴보겠습니다:
일. 부등식을 해결합니다.
\[\왼쪽| x+2 \오른쪽| \lt \왼쪽| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]
해결책. 이 쓰레기는 $\left|와 같은 불평등으로 귀결되지 않습니다. f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ 또는 $\left| f\right| \lt \왼쪽| g \right|$, 그래서 우리는 미리 행동합니다.
우리는 하위 모듈 식을 작성하고 이를 0과 동일시하며 근을 찾습니다.
\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\오른쪽 화살표 x=1. \\끝(정렬)\]
전체적으로 수직선을 세 부분으로 나누는 두 개의 루트가 있으며, 그 안에서 각 모듈이 고유하게 표시됩니다.
하위 모듈 함수의 0으로 수직선 분할
각 섹션을 별도로 살펴보겠습니다.
1. $x \lt -2$로 둡니다. 그런 다음 두 하위 모듈 식은 모두 음수이며 원래 부등식은 다음과 같이 다시 작성됩니다.
\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\end(정렬)\]
우리는 상당히 간단한 제한 사항을 가지고 있습니다. $x \lt -2$라는 초기 가정과 이를 교차시켜 보겠습니다.
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
분명히 변수 $x$는 -2보다 작으면서 동시에 1.5보다 클 수 없습니다. 이 분야에는 해결책이 없습니다.
1.1. $x=-2$라는 경계선 사례를 별도로 고려해 보겠습니다. 이 숫자를 원래 부등식에 대입하고 확인해 보겠습니다. 이것이 사실인가요?
\[\begin(align) & ((\left.\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \왼쪽| -3\오른쪽|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\끝(정렬)\]
일련의 계산이 우리를 잘못된 불평등으로 이끌었다는 것은 분명합니다. 따라서 원래의 부등식도 거짓이 되며, $x=-2$는 답에 포함되지 않습니다.
2. 이제 $-2 \lt x \lt 1$로 놔두세요. 왼쪽 모듈은 이미 "플러스"로 열리지만 오른쪽 모듈은 여전히 "마이너스"로 열립니다. 우리는:
\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\끝(정렬)\]
다시 우리는 원래 요구 사항과 교차합니다.
\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]
그리고 다시, -2.5보다 작고 -2보다 큰 숫자가 없기 때문에 해 집합은 비어 있습니다.
2.1. 그리고 다시 특별한 경우: $x=1$. 우리는 원래 부등식으로 대체합니다:
\[\begin(align) & ((\left.\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \왼쪽| 3\오른쪽| \lt \왼쪽| 0\오른쪽|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\끝(정렬)\]
이전의 "특수 사례"와 유사하게 $x=1$라는 숫자는 답변에 분명히 포함되지 않습니다.
3. 줄의 마지막 부분: $x \gt 1$. 여기서 모든 모듈은 더하기 기호로 열립니다.
\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]
그리고 다시 찾기 세트를 원래 제약 조건과 교차시킵니다.
\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]
마지막으로! 우리는 답이 될 간격을 찾았습니다.
답: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$
마지막으로, 실제 문제를 해결할 때 어리석은 실수를 방지할 수 있는 한마디:
모듈러스를 사용한 부등식의 해는 일반적으로 수직선의 연속 집합(구간 및 세그먼트)을 나타냅니다. 고립된 점은 훨씬 덜 일반적입니다. 그리고 더 드물게 솔루션의 경계(세그먼트의 끝)가 고려 중인 범위의 경계와 일치하는 경우가 있습니다.
결과적으로 경계(동일한 "특수 사례")가 답에 포함되지 않으면 이러한 경계의 왼쪽과 오른쪽 영역은 답에 포함되지 않을 것이 거의 확실합니다. 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 테두리가 답변에 입력되었습니다. 즉, 테두리 주변의 일부 영역도 답변이 됩니다.
솔루션을 검토할 때 이 점을 염두에 두십시오.
모듈러스가 포함된 부등식을 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 그 중 일부를 살펴보겠습니다.
1) 모듈의 기하학적 특성을 이용하여 부등식을 해결합니다.
모듈러스의 기하학적 속성이 무엇인지 상기시켜 드리겠습니다. 숫자 x의 모듈러스는 원점에서 좌표 x가 있는 점까지의 거리입니다.
이 방법을 사용하여 불평등을 해결할 때 두 가지 경우가 발생할 수 있습니다.
1. |x| ≤b, 
그리고 모듈러스의 부등식은 분명히 두 부등식의 시스템으로 감소합니다. 여기서 기호는 엄격할 수 있으며, 이 경우 그림의 점이 "구멍이 뚫립니다".
2. |x| ≥b,그러면 솔루션 그림은 다음과 같습니다.
그리고 모듈러스의 부등식은 분명히 두 부등식의 조합으로 줄어듭니다. 여기서 기호는 엄격할 수 있으며, 이 경우 그림의 점이 "구멍이 뚫립니다".
예시 1.
부등식 풀기 |4 – |x|| ≥ 3.
해결책.
이 부등식은 다음 세트와 동일합니다.
유 [-1;1] 유
예시 2.
부등식 풀기 ||x+2| – 3| ≤ 2.
해결책.
이 부등식은 다음 시스템과 동일합니다.
(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.
시스템의 첫 번째 부등식을 별도로 해결해 보겠습니다. 이는 다음 세트와 동일합니다.
유[-1; 삼].
2) 모듈러스의 정의를 사용하여 불평등을 해결합니다.
먼저 상기시켜 드리겠습니다. 모듈 정의.
|아| = 만약에 ≥ 0 및 |a| = -a인 경우< 0.
예를 들어, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.
예시 1.
부등식 3|x – 1| 풀기 ≤ x+3.
해결책.
모듈 정의를 사용하여 우리는 두 가지 시스템을 얻습니다.
(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3
(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.
첫 번째 시스템과 두 번째 시스템을 개별적으로 해결하면 다음을 얻습니다.
(x ≥ 1
(x ≤ 3,
(엑스< 1
(x ≥ 0.
원래 불평등에 대한 해결책은 첫 번째 시스템의 모든 솔루션과 두 번째 시스템의 모든 솔루션이 됩니다.
답: x € .
3) 제곱을 통해 불평등을 해결합니다.
예시 1.
부등식 풀기 |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.
해결책.
부등식의 양변을 제곱해 봅시다. 부등식의 양쪽이 모두 양수인 경우에만 제곱을 하는 것이 가능하다는 점에 주목하겠습니다. 안에 이 경우왼쪽과 오른쪽 모두에 모듈이 있으므로 이를 수행할 수 있습니다.
(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .
이제 사용해보자 다음 속성모듈러스: (|x|) 2 = x 2 .
(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,
(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.
(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,
(x – 2)(2x 2 – x)< 0,
x(x – 2)(2x – 1)< 0.
간격법을 사용하여 해결합니다.
답: x € (-무한대; 0) U (1/2; 2)
4) 변수를 변경하여 불평등을 해결합니다.
예.
부등식 풀기 (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
해결책.
(2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 에 유의하세요. 그러면 우리는 불평등을 얻습니다.
(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.
y = |2x + 3|으로 변경해 보겠습니다.
대체를 고려하여 부등식을 다시 작성해 보겠습니다.
y 2 – y ≤ 30,
y 2 – y – 30 ≤ 0.
왼쪽의 이차 삼항식을 인수분해해 봅시다.
y1 = (1 + 11) / 2,
y2 = (1 – 11) / 2,
(y – 6)(y + 5) ≤ 0.
간격 방법을 사용하여 풀고 다음을 얻습니다.
교체로 돌아가 보겠습니다.
5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.
이 이중 불평등은 불평등 시스템과 동일합니다.
(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.
각 불평등을 개별적으로 해결해 보겠습니다.
첫 번째는 시스템과 동일합니다.
(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.
해결해 봅시다.
(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.
두 번째 부등식은 모든 x에 대해 분명히 적용됩니다. 모듈러스는 정의에 따라 양수이기 때문입니다. 시스템에 대한 해는 시스템의 첫 번째 부등식과 두 번째 부등식을 동시에 만족하는 모든 x이므로, 원래 시스템에 대한 해는 첫 번째 이중 부등식에 대한 해가 될 것입니다(결국 두 번째는 모든 x에 대해 참입니다). .
답: x € [-4.5; 1.5].
blog.site에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 원본 소스에 대한 링크가 필요합니다.
숫자의 계수이 숫자 자체가 음수가 아니면 호출되고, 음수이면 반대 부호가 붙은 동일한 숫자라고 합니다.
예를 들어 숫자 6의 모듈러스는 6이고 숫자 -6의 모듈러스도 6입니다.
즉, 우리가 의미하는 숫자의 모듈러스는 절대값, 부호를 고려하지 않은 이 숫자의 절대값입니다.
다음과 같이 지정됩니다: |6|, | 엑스|, |ㅏ| 등.
(자세한 내용은 "숫자 모듈" 섹션을 참조하세요).
모듈러스가 있는 방정식.
실시예 1 . 방정식을 풀어보세요|10 엑스 - 5| = 15.
해결책.
규칙에 따르면 방정식은 두 방정식의 조합과 같습니다.
10엑스 - 5 = 15
10엑스 - 5 = -15
우리는 다음을 결정합니다:
10엑스 = 15 + 5 = 20
10엑스 = -15 + 5 = -10
엑스 = 20: 10
엑스 = -10: 10
엑스 = 2
엑스 = -1
답변: 엑스 1 = 2, 엑스 2 = -1.
실시예 2 . 방정식을 풀어보세요|2 엑스 + 1| = 엑스 + 2.
해결책.
모듈러스는 음수가 아니므로 엑스+ 2 ≥ 0. 따라서:
엑스 ≥ -2.
두 가지 방정식을 만들어 보겠습니다.
2엑스 + 1 = 엑스 + 2
2엑스 + 1 = -(엑스 + 2)
우리는 다음을 결정합니다:
2엑스 + 1 = 엑스 + 2
2엑스 + 1 = -엑스 - 2
2엑스 - 엑스 = 2 - 1
2엑스 + 엑스 = -2 - 1
엑스 = 1
엑스 = -1
두 숫자 모두 -2보다 큽니다. 따라서 둘 다 방정식의 뿌리입니다.
답변: 엑스 1 = -1, 엑스 2 = 1.
실시예 3
. 방정식을 풀어보세요
|엑스 + 3| - 1
————— = 4
엑스 - 1
해결책.
분모가 0이 아닌 경우 방정식은 의미가 있습니다. 즉, 엑스≠ 1. 이 조건을 고려해보자. 첫 번째 작업은 간단합니다. 분수를 제거하는 것이 아니라 변환하여 순수한 형태의 모듈을 얻습니다.
|엑스+ 3| - 1 = 4 · ( 엑스 - 1),
|엑스 + 3| - 1 = 4엑스 - 4,
|엑스 + 3| = 4엑스 - 4 + 1,
|엑스 + 3| = 4엑스 - 3.
이제 방정식의 왼쪽에 있는 계수 아래에 표현식만 있습니다. 계속하세요.
숫자의 모듈러스는 음수가 아닌 숫자입니다. 즉, 0보다 크거나 0과 같아야 합니다. 따라서 우리는 불평등을 해결합니다.
4엑스 - 3 ≥ 0
4엑스 ≥ 3
엑스 ≥ 3/4
따라서 두 번째 조건이 있습니다. 방정식의 근은 최소한 3/4이어야 합니다.
규칙에 따라 우리는 두 개의 방정식 세트를 구성하고 이를 해결합니다.
엑스 + 3 = 4엑스 - 3
엑스 + 3 = -(4엑스 - 3)
엑스 + 3 = 4엑스 - 3
엑스 + 3 = -4엑스 + 3
엑스 - 4엑스 = -3 - 3
엑스 + 4엑스 = 3 - 3
엑스 = 2
엑스 = 0
우리는 두 가지 답변을 받았습니다. 이들이 원래 방정식의 근인지 확인해 봅시다.
두 가지 조건이 있었습니다. 방정식의 근은 1이 될 수 없으며 최소한 3/4이어야 합니다. 그건 엑스 ≠ 1, 엑스≥ 3/4. 이 두 조건은 모두 수신된 두 답변 중 하나인 숫자 2에만 해당합니다. 이는 이것이 원래 방정식의 근본임을 의미합니다.
답변: 엑스 = 2.
모듈러스와의 부등식.
실시예 1 . 불평등 해결| 엑스 - 3| < 4
해결책.
모듈 규칙에는 다음과 같이 명시되어 있습니다.
|ㅏ| = ㅏ, 만약에 ㅏ ≥ 0.
|ㅏ| = -ㅏ, 만약에 ㅏ < 0.
모듈은 음수가 아닌 숫자와 음수를 모두 가질 수 있습니다. 따라서 우리는 두 가지 경우를 모두 고려해야 합니다. 엑스- 3 ≥ 0 및 엑스 - 3 < 0.
1) 언제 엑스- 3 ≥ 0 원래 부등식은 모듈러스 기호 없이 그대로 유지됩니다.
엑스 - 3 < 4.
2) 언제 엑스 - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:
-(엑스 - 3) < 4.
괄호를 열면 다음을 얻습니다.
-엑스 + 3 < 4.
따라서 이 두 가지 조건으로부터 우리는 두 가지 불평등 시스템을 통합하게 되었습니다.
엑스 - 3 ≥ 0
엑스 - 3 < 4
엑스 - 3 < 0
-엑스 + 3 < 4
문제를 해결해 봅시다:
엑스 ≥ 3
엑스 < 7
엑스 < 3
엑스 > -1
따라서 우리의 대답은 두 세트의 합집합입니다.
3 ≤ 엑스 < 7 U -1 < 엑스 < 3.
가장 작은 값과 가장 큰 값을 결정합니다. 이는 -1과 7입니다. 게다가 엑스-1보다 크고 7보다 작습니다.
게다가, 엑스≥ 3. 이는 불평등에 대한 해결책이 이러한 극단 숫자를 제외한 -1부터 7까지의 전체 숫자 집합이라는 것을 의미합니다.
답변: -1 < 엑스 < 7.
또는: 엑스 ∈ (-1; 7).
부가기능.
1) 불평등을 그래픽으로 해결하는 더 간단하고 짧은 방법이 있습니다. 이렇게 하려면 수평 축을 그려야 합니다(그림 1).
표현 | 엑스 - 3| < 4 означает, что расстояние от точки 엑스 3번 지점은 4개 단위 미만입니다. 축에 숫자 3을 표시하고 축의 왼쪽과 오른쪽에 4개의 구분선을 셉니다. 왼쪽에서는 -1 지점, 오른쪽에서는 7 지점으로 이동합니다. 따라서 지점은 엑스우리는 계산하지 않고 그냥 보았습니다.
또한 부등식 조건에 따라 -1과 7 자체는 해 집합에 포함되지 않습니다. 따라서 우리는 답을 얻습니다.
1 < 엑스 < 7.
2) 그러나 그래픽 방식보다 더 간단한 또 다른 솔루션이 있습니다. 이를 위해서는 불평등이 다음과 같은 형식으로 표현되어야 합니다.
4 < 엑스 - 3 < 4.
결국 이것은 모듈러스 규칙에 따른 방법입니다. 음수가 아닌 숫자 4와 유사한 음수 -4는 부등식을 해결하기 위한 경계입니다.
4 + 3 < 엑스 < 4 + 3
1 < 엑스 < 7.
실시예 2 . 불평등 해결| 엑스 - 2| ≥ 5
해결책.
이 예는 이전 예와 크게 다릅니다. 왼쪽은 5보다 크거나 5와 같습니다. 기하학적 관점에서 부등식에 대한 해법은 점 2에서 5단위 이상 떨어진 모든 숫자입니다(그림 2). 그래프는 이것이 모두 -3보다 작거나 같고 7보다 크거나 같은 숫자임을 보여줍니다. 이는 우리가 이미 답을 받았다는 것을 의미합니다.
답변: -3 ≥ 엑스 ≥ 7.
그 과정에서 우리는 반대 기호를 사용하여 자유 항을 왼쪽과 오른쪽으로 재배열하여 동일한 부등식을 해결합니다.
5 ≥ 엑스 - 2 ≥ 5
5 + 2 ≥ 엑스 ≥ 5 + 2
대답은 동일합니다: -3 ≥ 엑스 ≥ 7.
또는: 엑스 ∈ [-3; 7]
예제가 해결되었습니다.
실시예 3 . 불평등 해결 6 엑스 2 - | 엑스| - 2 ≤ 0
해결책.
숫자 엑스양수, 음수 또는 0일 수 있습니다. 그러므로 우리는 세 가지 상황을 모두 고려해야 합니다. 아시다시피 두 가지 불평등이 고려됩니다. 엑스≥ 0 및 엑스 < 0. При 엑스≥ 0이면 모듈러스 기호 없이 원래 부등식을 있는 그대로 다시 작성합니다.
6x2 - 엑스 - 2 ≤ 0.
이제 두 번째 경우에 대해 설명합니다. 엑스 < 0. Модулем отрицательного числа является это же число с противоположным знаком. То есть пишем число под модулем с обратным знаком и опять же освобождаемся от знака модуля:
6엑스 2 - (-엑스) - 2 ≤ 0.
대괄호 확장:
6엑스 2 + 엑스 - 2 ≤ 0.
따라서 우리는 두 가지 방정식 시스템을 얻었습니다.
6엑스 2 - 엑스 - 2 ≤ 0
엑스 ≥ 0
6엑스 2 + 엑스 - 2 ≤ 0
엑스 < 0
우리는 시스템의 부등식을 풀어야 합니다. 이는 두 개의 이차 방정식의 근을 찾아야 함을 의미합니다. 이를 위해 부등식의 왼쪽을 0으로 동일시합니다.
첫 번째부터 시작해 보겠습니다.
6엑스 2 - 엑스 - 2 = 0.
이차 방정식을 푸는 방법 - "이차 방정식" 섹션을 참조하세요. 즉시 답변의 이름을 지정하겠습니다.
엑스 1 = -1/2, x 2 = 2/3.
첫 번째 불평등 체계로부터 우리는 원래 불평등에 대한 해가 -1/2에서 2/3까지의 전체 숫자 집합이라는 것을 얻습니다. 우리는 솔루션 조합을 작성합니다. 엑스 ≥ 0:
[-1/2; 2/3].
이제 두 번째 이차 방정식을 풀어보겠습니다.
6엑스 2 + 엑스 - 2 = 0.
그 뿌리:
엑스 1 = -2/3, 엑스 2 = 1/2.
결론: 언제 엑스 < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.
두 가지 답을 결합하여 최종 답을 얻습니다. 답은 이러한 극단 숫자를 포함하여 -2/3에서 2/3까지의 전체 숫자 집합입니다.
답변: -2/3 ≤ 엑스 ≤ 2/3.
또는: 엑스 ∈ [-2/3; 2/3].
수학 과학의 지혜의 상징이다,
과학적 엄격함과 단순함의 모델,
과학의 우수성과 아름다움의 기준.
러시아 철학자 A.V. 볼로시노프
모듈러스와의 부등식
학교 수학에서 가장 풀기 어려운 문제는 불평등이다, 모듈러스 기호 아래에 변수가 포함되어 있습니다. 이러한 불평등을 성공적으로 해결하려면 모듈의 속성에 대한 충분한 지식과 이를 활용할 수 있는 기술이 있어야 합니다.
기본 개념 및 속성
실수의 계수(절대값)로 표시 다음과 같이 정의됩니다.
모듈의 단순 속성에는 다음 관계가 포함됩니다.
그리고 .
메모, 마지막 두 속성은 모든 짝수 차수에 유효합니다.
더욱이, 만약, 어디서, 그러면 그리고
더 복잡한 모듈 속성, 모듈러스를 사용하여 방정식과 부등식을 풀 때 효과적으로 사용할 수 있습니다., 다음 정리를 통해 공식화됩니다.
정리 1.모든 분석 기능의 경우그리고 불평등은 사실이다.
정리 2.평등 불평등과 다름없다.
정리 3.평등 불평등과 다름없다.
가장 일반적 학교 수학불평등, 모듈러스 기호 아래에 알 수 없는 변수가 포함되어 있음, 형태의 불평등이다그리고 어디서 일부 양의 상수.
정리 4.불평등 이중 불평등과 동일합니다., 그리고 불평등의 해결책일련의 불평등을 해결하는 것으로 축소됩니다.그리고 .
이 정리는 정리 6과 7의 특별한 경우입니다.
더 복잡한 불평등, 모듈을 포함하는 것은 다음 형식의 부등식입니다., 그리고 .
이러한 부등식을 해결하는 방법은 다음 세 가지 정리를 사용하여 공식화될 수 있습니다.
정리 5.불평등 두 불평등 시스템을 결합한 것과 같습니다.
나는 (1)
증거.그때부터
이는 (1)의 타당성을 의미합니다.
정리 6.불평등 불평등 시스템과 동일합니다.
증거.왜냐하면 , 그럼 불평등에서그 뒤를 따른다 . 이 조건에서 불평등은그리고 이 경우 두 번째 불평등 시스템(1)은 일관성이 없는 것으로 판명될 것입니다.
정리가 입증되었습니다.
정리 7.불평등 하나의 불평등과 두 개의 불평등 시스템을 결합한 것과 같습니다.
나는 (3)
증거.이후 , 그러면 부등식 항상 실행, 만약에 .
허락하다 , 그러면 불평등불평등과 같을 것이다, 두 부등식의 집합을 따르는 것그리고 .
정리가 입증되었습니다.
고려해 봅시다 전형적인 예“불평등”주제에 대한 문제 해결, 모듈러스 기호 아래에 변수가 포함되어 있습니다."
모듈러스로 부등식 풀기
최대 간단한 방법모듈러스로 불평등을 해결하는 방법은 다음과 같습니다., 모듈 확장을 기반으로 합니다. 이 방법은 보편적입니다, 그러나 일반적인 경우에는 이를 사용하면 매우 번거로운 계산이 발생할 수 있습니다. 그러므로 학생들은 그러한 불평등을 해결하기 위한 다른 (보다 효과적인) 방법과 기술을 알아야 합니다. 특히, 정리를 적용하는 기술이 필요합니다, 이 기사에 나와 있습니다.
예시 1.불평등 해결
. (4)
해결책.우리는 모듈을 드러내는 방법인 "고전적인" 방법을 사용하여 불평등(4)을 해결할 것입니다. 이를 위해 숫자 축을 나눕니다.점과 간격을 두고 세 가지 경우를 고려해 보세요.
1. 만약 , 그렇다면 , , , 불평등 (4)는 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 .
여기서 사례를 고려하면 불평등에 대한 해결책이 된다(4).
2. 만일, 그런 다음 불평등 (4)로부터 우리는 다음을 얻습니다.또는 . 간격의 교차 이후그리고 비었다, 그러면 고려 중인 솔루션 간격에는 불평등이 없습니다(4).
3. 만일, 그러면 불평등(4)은 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 . 그것은 분명하다 불평등에 대한 해결책이기도 하다(4).
답변: , .
예시 2.불평등 해결.
해결책.가정해보자. 왜냐하면 , 그러면 주어진 부등식은 다음과 같은 형태를 취합니다또는 . 그때부터 그리고 여기에서 다음과 같습니다또는 .
그러나 그러므로 또는.
예시 3.불평등 해결
. (5)
해결책.왜냐하면 , 그러면 불평등(5)은 불평등과 동일합니다.또는 . 여기에서, 정리 4에 따르면, 우리에게는 일련의 불평등이 있습니다그리고 .
답변: , .
예시 4.불평등 해결
. (6)
해결책.을 나타내자. 그런 다음 불평등 (6)으로부터 불평등 , , 또는 을 얻습니다.
여기에서, 간격 방법을 사용하여, 우리는 얻습니다. 왜냐하면 , 그러면 여기에 불평등의 시스템이 있습니다
시스템 (7)의 첫 번째 부등식에 대한 해는 두 구간의 합집합입니다.그리고 , 두 번째 불평등에 대한 해결책은 이중 불평등입니다.. 이는 다음을 의미합니다. 불평등 체계(7)에 대한 해는 두 간격의 합집합이라는 것그리고 .
답변: ,
실시예 5.불평등 해결
. (8)
해결책. 불평등(8)을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.
또는 .
간격 방법 사용, 우리는 불평등에 대한 해결책을 얻습니다(8).
답변: .
메모. 정리 5의 조건에 와 를 대입하면 을 얻습니다.
실시예 6.불평등 해결
. (9)
해결책. 불평등 (9)로부터 다음과 같다. 불평등(9)을 다음과 같이 변형해 보겠습니다.
또는
이후 , 그때 또는 .
답변: .
실시예 7.불평등 해결
. (10)
해결책.이후 및 , 다음 또는 .
이와 관련하여 불평등 (10)은 다음과 같은 형태를 취합니다.
또는
. (11)
그것은 또는 . 이후 불평등 (11)은 또는 을 의미합니다.
답변: .
메모. 부등식의 좌변에 정리 1을 적용하면 (10), 그러면 우리는 얻는다 . 이것과 불평등(10)으로부터 다음과 같다, 무엇 또는 . 왜냐하면 , 그러면 불평등(10)은 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 .
실시예 8.불평등 해결
. (12)
해결책.그때부터 그리고 불평등 (12)으로부터 다음과 같습니다또는 . 그러나 그러므로 또는. 여기에서 우리는 또는 를 얻습니다.
답변: .
실시예 9.불평등 해결
. (13)
해결책.정리 7에 따르면 불평등(13)에 대한 해는 다음과 같습니다.
지금 그대로 두십시오. 이 경우 불평등 (13)은 다음과 같은 형태를 취합니다.또는 .
간격을 합치면그리고 , 그런 다음 우리는 다음 형식의 불평등 (13)에 대한 해결책을 얻습니다..
실시예 10.불평등 해결
. (14)
해결책.불평등(14)을 동등한 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. 이 부등식의 좌변에 정리 1을 적용하면 부등식 을 얻습니다.
여기와 정리 1로부터 다음과 같습니다., 부등식(14)은 모든 값에 대해 충족됩니다..
대답: 임의의 숫자.
실시예 11.불평등 해결
. (15)
해결책. 부등식의 좌변에 정리 1 적용(15), 우리는 얻는다 . 이것과 부등식(15)은 다음 방정식을 산출합니다., 이는 다음과 같은 형태를 가지고 있습니다..
정리 3에 따르면, 방정식 불평등과 다름없다. 여기에서 우리는 얻는다.
실시예 12.불평등 해결
. (16)
해결책. 불평등 (16)으로부터 정리 4에 따라 우리는 불평등 시스템을 얻습니다.
불평등을 해결할 때정리 6을 사용하여 부등식 시스템을 구해 보겠습니다.그로부터.
불평등을 고려하라. 정리 7에 따르면, 우리는 일련의 불평등을 얻습니다그리고 . 두 번째 인구 불평등은 모든 실제 상황에 유효합니다..
따라서 , 불평등에 대한 해결책(16)은 다음과 같습니다..
실시예 13.불평등 해결
. (17)
해결책.정리 1에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
(18)
불평등(17)을 고려하여 우리는 두 불평등(18)이 모두 평등으로 변한다는 결론을 내립니다. 방정식 시스템이 있습니다
정리 3 이 시스템방정식은 불평등 시스템과 동일합니다.
또는
실시예 14.불평등 해결
. (19)
해결책.그때부터. 불평등 (19)의 양쪽에 어떤 값에 대해서도 다음과 같은 표현식을 곱해 보겠습니다. 양수 값. 그런 다음 불평등(19)과 동일한 불평등을 얻습니다.
여기에서 우리는 or , where 를 얻습니다. 이후와 그러면 불평등(19)에 대한 해결책은 다음과 같습니다.그리고 .
답변: , .
모듈러스를 사용하여 불평등을 해결하는 방법에 대한 보다 심층적인 연구를 위해서는 교과서를 참조하는 것이 좋습니다., 추천 문헌 목록에 나와 있습니다.
1. 대학 지원자를 위한 수학 문제 모음 / Ed. 미. 스카나비. – M.: 평화와 교육, 2013. – 608p.
2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 불평등을 해결하고 증명하는 방법. – M.: 레넌드 / URSS, 2018. – 264p.
3. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 문제 해결을 위한 비표준 방법. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296p.
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