사각형의 대각선이 교차한다는 것은 맞습니까? 평행사변형의 대각선 속성. 완전한 강의 - 지식 하이퍼마켓. 대각선은 반으로 나누어져 있습니다

수업 주제

• 평행사변형의 대각선 속성.

수업 목표

• 새로운 정의에 대해 알아보고 이미 연구된 일부 정의를 기억하세요.
• 평행사변형의 대각선의 성질을 기술하고 증명하십시오.
• 문제를 해결할 때 도형의 속성을 적용하는 방법을 알아보세요.
• 발달 – 학생들의 주의력, 인내, 끈기, 논리적 사고, 수학적 연설.
• 교육 - 수업을 통해 서로에 대한 세심한 태도를 기르고 동지의 말을 듣는 능력, 상호 지원 및 독립성을 심어줍니다.

수업 목표

• 학생들의 문제 해결 능력을 테스트합니다.

강의 계획

1. 소개.
2. 이전에 공부한 자료를 반복합니다.
3. 평행 사변형, 그 속성 및 특징.
4. 작업의 예.
5. 자체 점검.

소개

"크기가 큰 과학적 발견중요한 문제에 대한 해결책을 제공하지만, 어떤 문제의 해결책에도 발견의 알갱이가 있습니다.”

평행사변형의 대변의 성질

평행사변형은 반대쪽 변이 동일합니다.

증거.

ABCD를 주어진 평행사변형이라 하자. 그리고 대각선이 점 O에서 교차하도록 하세요.
삼각형의 동등성의 첫 번째 기준에 따라 Δ AOB = Δ COD(∠ AOB = ∠ COD, 수직형, AO=OC, DO=OB, 평행사변형의 대각선 속성에 따라), AB=CD입니다. 마찬가지로 삼각형 BOC와 DOA의 동일성으로부터 BC = DA가 됩니다. 정리가 입증되었습니다.

평행사변형의 대향각의 성질

평행사변형에서는 반대각이 동일합니다.

증거.

ABCD를 주어진 평행사변형이라 하자. 그리고 대각선이 점 O에서 교차하도록 하세요.
평행사변형 Δ ABC = Δ CDA(증명된 것에서 AB=CD, BC=DA, AC – 일반)의 반대쪽 속성에 대한 정리에서 증명되었습니다. 삼각형의 동일성으로부터 ∠ ABC = ∠ CDA가 됩니다.
또한 ∠ ABD = ∠ CDB에 따라 ∠ DAB = ∠ BCD가 증명됩니다. 정리가 입증되었습니다.

평행사변형의 대각선의 성질

평행사변형의 대각선은 교차점에서 교차하고 이등분됩니다.

증거.

ABCD를 주어진 평행사변형이라 하자. 대각선 AC를 그려 봅시다. 중간에 O를 표시하고 DO 세그먼트의 연속에서 DO와 동일한 세그먼트 OB 1을 따로 둡니다.
이전 정리에 따르면 AB 1 CD는 평행사변형입니다. 따라서 선 AB 1은 DC와 평행합니다. 그러나 점 A를 통해서는 DC에 평행한 선 하나만 그릴 수 있습니다. 이는 직선 AB 1이 직선 AB와 일치함을 의미합니다.
BC 1이 BC와 일치한다는 것도 증명되었습니다. 이는 점 C가 C 1과 일치함을 의미합니다. 평행사변형 ABCD는 평행사변형 AB 1 CD와 일치합니다. 결과적으로, 평행사변형의 대각선은 교차하고 교차점에서 이등분됩니다. 정리가 입증되었습니다.

일반 학교 교과서(예: Pogorelovo)에서는 다음과 같이 입증되었습니다. 대각선은 평행사변형을 4개의 삼각형으로 나눕니다. 한 쌍을 고려하고 알아보십시오. 그들은 동일합니다. 밑면은 반대쪽이고 인접한 해당 각도는 평행선이 있는 수직 각도와 같습니다. 즉, 대각선의 세그먼트는 쌍으로 동일합니다. 모두.

그게 다야?
위에서 교차점이 대각선을 이등분한다는 것이 증명되었습니다(존재하는 경우). 위의 추론은 어떤 식으로든 그 존재 자체를 증명하지 않습니다. 즉, "평행사변형의 대각선이 교차한다"라는 정리의 일부는 아직 증명되지 않은 상태입니다.

재미있는 점은 이 부분이 증명하기가 훨씬 어렵다는 것입니다. 그건 그렇고, 이것은 보다 일반적인 결과에 따른 것입니다. 볼록한 사변형은 대각선이 교차하지만 볼록하지 않은 사변형은 교차하지 않습니다.

한 변과 두 개의 인접한 각도(삼각형의 평등의 두 번째 기호) 및 기타를 따라 삼각형의 평등에 대해 설명합니다.

탈레스는 한 변을 따라 있는 두 삼각형과 인접한 두 각이 동일하다는 중요한 정리를 발견했습니다. 실제 사용. 바다에 있는 배까지의 거리를 측정하기 위해 거리 측정기가 밀레투스 항구에 건설되었습니다. 이는 세 개의 구동 페그 A, B 및 C(AB = BC)와 CA에 수직인 표시된 직선 SC로 구성되었습니다. SK 직선 위에 배가 나타났을 때 우리는 D점, B점, E점이 같은 직선 위에 있다는 것을 발견했습니다. 도면에서 알 수 있듯이 지상에서의 거리 CD는 선박까지의 원하는 거리입니다.

질문

1. 정사각형의 대각선은 교차점에 의해 반으로 나누어지나요?
   
2. 평행사변형의 대각선은 동일합니까?
3. 평행사변형의 반대 각도는 동일합니까?
4. 평행사변형의 정의를 말해 보세요.
5. 평행사변형의 부호는 몇 개입니까?
   
6. 마름모는 평행사변형이 될 수 있나요?
   

사용된 소스 목록

1. Kuznetsov A.V., 수학 교사(5-9학년), 키예프
2. "하나의 주 시험 2006. 수학. 학생 준비를 위한 교육 및 훈련 자료 / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
3. Mazur K. I. "M. I. Skanavi가 편집한 컬렉션 수학의 주요 경쟁 문제 해결"
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina "기하학, 7 – 9: 교육 기관용 교과서"

우리는 수업을 진행했습니다.

쿠즈네초프 A.V.

포투르낙 S.A.

예브게니 페트로프

현대 교육에 대한 질문을 제기하고, 아이디어를 표현하고, 시급한 문제를 해결할 수 있습니다. 교육 포럼, 신선한 생각과 행동으로 구성된 교육 위원회가 국제적으로 모이는 곳입니다. 생성한 블로그,귀하는 유능한 교사로서의 지위를 향상시킬 뿐만 아니라, 미래의 학교 발전에 크게 기여하게 될 것입니다. 교육 지도자 길드최고의 전문가들에게 문을 열고 세계 최고의 학교를 만드는 데 협력하도록 초대합니다.

마주보는 변이 평행한 사각형은 평행사변형입니다. 대각선은 반대쪽 꼭지점을 연결하는 직선입니다. 교차점은 대칭의 중심입니다. 일반적으로 평행사변형에는 두 개의 대각선이 있는데, D는 긴 대각선이고 d는 짧은 대각선입니다.

코사인 정리를 이용하여 평행사변형의 대각선 구하기

• 평행사변형 각도 α와 β의 코사인 값입니다.

D = √a^2 + b^2 — 2ab cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab cosα

d = √a^2 + b^2 — 2ab cosα

알려진 대각선 하나와 변을 사용하여 평행사변형의 대각선 찾기

이 방법을 사용하려면 다음 사항을 알아야 합니다.

• 평행사변형 a와 b의 변의 길이입니다.

D = √2a^2 + 2b^2 — d^2

이 방법을 사용하려면 다음 사항을 알아야 합니다.

• 평행사변형의 면적.
• 대각선 D 또는 d 중 하나의 길이입니다.
• 대각선 γ 또는 δ 사이의 각도입니다.

D = 2S/d sinγ = 2S/d sinδ

d = 2S/D sinγ = 2S/D sinδ

평행사변형의 대각선 길이를 결정하는 특별한 경우는 정사각형입니다.

정사각형은 모든 변이 동일하고 각이 90°인 평행사변형입니다. 이 경우 대각선의 길이는 D=d와 같으며 피타고라스 정리를 사용하여 계산할 수 있습니다.
D=d=a*√2

평행사변형의 대각선 길이를 결정하는 특별한 경우는 직사각형입니다.

직사각형은 각도가 90°인 평행사변형입니다. 이 경우 대각선의 길이는 D=d와 같으며 피타고라스 정리를 사용하여 계산할 수 있습니다.
D=d=√(a^2+b^2)