Corso di lezioni per disciplina

"Analisi della matrice"

per studenti del 2 ° anno

facoltà di Matematica specialità

"Cibernetica economica"

(docente Dmitruk Maria Alexandrovna)

Capitolo 3. Funzioni dalle matrici.

1. Definizione della funzione.

Df. Lascia stare È una funzione di argomento scalare. È necessario determinare cosa si intende per f (A), ad es. è necessario estendere la funzione f (x) al valore della matrice dell'argomento.

La soluzione a questo problema è nota quando f (x) è un polinomio :, quindi.

Definizione di f (A) nel caso generale.

Sia m (x) il polinomio minimo A e ha una tale scomposizione canonica, , Sono gli autovalori di A. Siano i polinomi g (x) e h (x) gli stessi valori.

Sia g (A) \u003d h (A) (1), allora il polinomio d (x) \u003d g (x) -h (x) è un polinomio annichilante per A, poiché d (A) \u003d 0, quindi d (x ) è divisibile per un polinomio lineare, ad es. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

Quindi, ad es. (3), , , .

Accettiamo di chiamare m numeri per f (x) tali valori della funzione f (x) sullo spettro della matrice A, e denotiamo l'insieme di questi valori.

Se l'insieme f (Sp A) è definito per f (x), la funzione è definita sullo spettro della matrice A.

Da (3) risulta che i polinomi h (x) eg (x) hanno gli stessi valori sullo spettro della matrice A.

Il nostro ragionamento è reversibile, ad es. da (3) Þ (3) Þ (1). Pertanto, se viene fornita la matrice A, il valore del polinomio f (x) è completamente determinato dai valori di questo polinomio sullo spettro della matrice A, ad es. tutti i polinomi g i (x) che assumono gli stessi valori sullo spettro della matrice hanno gli stessi valori di matrice g i (A). Richiediamo che la definizione del valore di f (A) nel caso generale obbedisca allo stesso principio.

I valori della funzione f (x) sullo spettro della matrice A devono definire completamente f (A), cioè le funzioni che hanno gli stessi valori sullo spettro devono avere lo stesso valore di matrice f (A). Ovviamente, per determinare f (A) nel caso generale, è sufficiente trovare un polinomio g (x) che assuma sullo spettro A gli stessi valori della funzione f (A) \u003d g (A).

Df. Se f (x) è definito sullo spettro della matrice A, allora f (A) \u003d g (A), dove g (A) è un polinomio che assume gli stessi valori sullo spettro di f (A),

Df. Il valore di una funzione di una matrice A è il valore di un polinomio in questa matrice per .

Tra i polinomi da C [x] che assumono gli stessi valori sullo spettro della matrice A come f (x), di grado non superiore a (m-1), assumono gli stessi valori sullo spettro A, poiché f (x) è il resto della divisione qualsiasi polinomio g (x) avente gli stessi valori sullo spettro della matrice A di f (x) per il polinomio minimo m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x) ...

Questo polinomio r (x) è chiamato polinomio di interpolazione di Lagrange-Sylvester per la funzione f (x) sullo spettro della matrice A.

Commento. Se il polinomio minimo m (x) della matrice A non ha radici multiple, ad es. , quindi il valore della funzione sullo spettro.

Trova r (x) per f (x) arbitrario se la matrice

... Costruiamo f (H 1). Trova il polinomio minimo H 1 - l'ultimo fattore invariante:

, d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x n Þ 0 - n è una radice multipla di m (x), cioè n volte autovalori di H 1.

R (0) \u003d f (0), r '(0) \u003d f' (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0) Þ.

Tre è la soluzione al gioco<=>, quando è una soluzione al gioco, dove a è un qualsiasi numero reale, k\u003e 0 CAPITOLO 2. Giochi a somma zero in strategie pure 2.1 Calcolo di strategie ottimali con l'esempio della risoluzione di problemi Usando il teorema minimax, possiamo affermare che ogni gioco antagonistico ha strategie ottimali. Teorema: sia A un gioco di matrici e le righe di un dato ...

Le immagini che non corrispondono sono candidate all'esclusione dall'ambito della società. 5. Sviluppo della strategia aziendale L'analisi che precede ha aperto la strada allo sviluppo di passaggi strategici per migliorare le prestazioni di un'azienda diversificata. La conclusione principale su cosa fare dipende dalle conclusioni riguardanti l'intera serie di attività nell'azienda ...

Permette di determinare la sequenza ottimale di studio delle materie incluse nel curriculum. Ogni materia del curriculum ha il proprio numero.

Lascia che il curriculum includa 19 materie. Costruiamo una matrice quadrata con una base, che è uguale al numero di materie del curriculum (19).

Con il metodo della valutazione degli esperti, gli insegnanti esperti determinano le interrelazioni più significative tra le materie accademiche. Le colonne della matrice sono considerate consumatori e le righe sono vettori di informazioni. Ad esempio, per la colonna 10, i supporti di informazioni importanti sono le righe 7, 9, 11, ovvero la conoscenza su argomenti con questi numeri. Queste righe nella colonna sono rappresentate da uno (1), l'assenza di una connessione in contanti - da zeri (0). A seguito dell'analisi si è formata una matrice del diciannovesimo ordine L'analisi della matrice consiste nella rimozione sequenziale di colonne e righe. Le colonne riempite di zeri non ricevono informazioni da altri soggetti, cioè il loro studio non si basa su una relazione logica con altri soggetti, sebbene questi, a loro volta, possano essere portatori di informazioni primarie. Ciò significa che i soggetti che hanno numeri in queste colonne possono essere studiati per primi. Le linee riempite con zeri non sono considerate portatrici di informazioni e non saranno la base per studiare altre materie, il che significa che possono essere studiate per ultime.

Innanzitutto vengono eliminate le colonne 7,8, 9,18 e le righe corrispondenti. Otteniamo la prima matrice ridotta del quindicesimo ordine, che a sua volta ha zero colonne 4, 16, 17. Dopo averle eliminate, otteniamo la seconda matrice ridotta. Eseguite, quindi, tutte le riduzioni successive, otteniamo una matrice in cui non ci sono colonne senza colonne, ma ci sono zero righe, anch'esse barrate insieme alle colonne corrispondenti. Dopo aver eseguito in sequenza tali azioni, arriviamo a una matrice del modulo mostrato nel diagramma.

La matrice formata corrisponde al grafico mostrato nella Figura 3.2. Questo grafico contiene tre doppi loop chiusi (13-15), (5-6), (11-10). Con una certa approssimazione, si può presumere che gli oggetti che sono entrati in questi contorni debbano essere studiati in parallelo, e si studino i primi oggetti con i numeri 13 e 15, e solo allora gli oggetti 5, 6, 10, 11.

come risultato dell'analisi della matrice, diventa possibile creare un modello schematico (a blocchi) dello studio delle materie nel curriculum:

Il diagramma mostra un sistema combinato per collegare le materie educative. Le celle contengono il numero di soggetti con studio parallelo. Il sistema di connessione formato dovrebbe essere inteso non come una sequenza obbligatoria per collegare un gruppo di soggetti solo dopo la fine del precedente, ma solo come la necessità di essere avanti nel loro studio. Indica solo l'andamento generale nella connessione degli oggetti.

Analisi del programma a matrice

Consente di valutare la sequenza logica della disposizione del materiale didattico all'interno della materia accademica e di migliorarla di conseguenza.

Lascia che l'argomento includa 6 argomenti. Matrix A! compilato secondo il piano tematico di questa materia accademica. I numeri per coloro che sono considerati in termini di utilizzo nello studio di altri argomenti durante la compilazione della matrice sono posizionati verticalmente, i numeri posizionati orizzontalmente corrispondono agli argomenti considerati in termini di utilizzo di informazioni da altri argomenti.

Per individuare contorni chiusi, la cui presenza indica l'impossibilità di stabilire il passaggio della sequenza di passaggio dei singoli argomenti, si effettuano trasformazioni (accorciamenti) della matrice Au. Elimina la riga 5, composta da zeri, e la colonna ad essa corrispondente, nonché la colonna zero 3 con la riga corrispondente. Viene formata la matrice A2.

La matrice A2 contiene righe e colonne mancanti costituite da tutti zeri. Per stabilire contorni chiusi, diamo il grafico corrispondente alla matrice A2 (vedi Fig. 3.3, a).

Studiando il grafico, ne consegue che la presenza di circuiti chiusi è causata dalla relazione tra il contenuto del materiale didattico degli argomenti 1 e 6, nonché degli argomenti 4 e 6. Il motivo della relazione segnalata è la mancata ridistribuzione del contenuto del materiale didattico tra gli argomenti indicati. Dopo aver esaminato il contenuto di questi argomenti, diventa possibile eliminare i contorni chiusi esistenti del grafico. Quindi, si forma un nuovo grafico (Fig. 3.3, b) e la corrispondente matrice A3.

Riducendo questa matrice si ottiene una nuova matrice A4.

Dopo aver rimosso gli archi (6, 4), (6, 1) e (1, 6), otteniamo una nuova matrice iniziale B1, il cui grafico non ha contorni chiusi.

Ora che i percorsi chiusi sono interrotti, iniziamo a regolare l'ordine dei temi. Per fare ciò, elimineremo successivamente le colonne composte da zeri e righe con lo stesso nome. Gli argomenti corrispondenti a queste colonne non utilizzano informazioni da altri argomenti e possono quindi essere studiati per primi.

Nella matrice! le colonne 1 e 3 sono zero, quindi l'argomento 1 può prendere il suo posto nel piano tematico. Quando si studiano i motivi che richiedono l'impostazione dell'argomento 3 prima dell'argomento 2, risulta che alcune informazioni sull'argomento 2 si trovano nell'argomento 3. Tuttavia, è più logico e più utile lasciarle nell'argomento 3.

Dopo aver riorganizzato il materiale di formazione invece dell'arco (3, 2), otteniamo l'arco (2, 3); rimuovere la colonna 1: otteniamo la matrice B2.

All'argomento 2 viene assegnato il numero precedente 2. Eliminare la colonna 2, riga 2. Otteniamo la matrice B3.

I temi 3 e 4 rimangono con gli stessi numeri. Elimina le colonne 3, 4 con le righe corrispondenti; otteniamo la matrice B4

L'argomento 6 è il numero 5 e l'argomento 5 è il numero 6.

Componiamo la matrice C1 in base alla nuova distribuzione degli argomenti.

Trasformiamo la matrice, eliminando in sequenza zero righe e colonne con lo stesso nome. Spostiamo gli argomenti corrispondenti alla fine della riga, perché le informazioni di questi argomenti non vengono utilizzate quando si studiano altri argomenti. All'argomento 5 viene assegnato il numero 6.

Elimina riga e colonna 6. Assegna all'argomento 6 il numero 5.

Cancelliamo le righe 4 e 3 e gli argomenti che rispondono, assegniamo i precedenti numeri 4 e 3.

Per i temi 1 e 2, le stesse questioni rimangono nel piano tematico. Come risultato dell'elaborazione della matrice, si ottiene la seguente disposizione finale degli argomenti nella struttura della materia accademica:

Si può vedere dalla sequenza data che dopo l'elaborazione a matrice della struttura del piano tematico, gli argomenti 5 e 6 hanno cambiato posizione.Inoltre, è diventato necessario spostare il materiale di formazione sull'argomento 5 all'argomento 1, e anche dall'argomento 2 all'argomento 3.

Come si può vedere dall'esempio fornito, l'analisi matriciale della struttura del materiale didattico consente di ordinarlo in una certa misura e migliorare la disposizione reciproca degli argomenti del curriculum.

Va tenuto presente che l'analisi matriciale dei curricula e dei programmi richiede agli esecutori molta esperienza pratica e profonda conoscenza dei contenuti formativi. Prima di tutto, questo si riferisce alla compilazione della matrice iniziale, più precisamente, alla determinazione dei collegamenti tra materie accademiche o argomenti accademici all'interno della materia. Esistono molte connessioni tra elementi importanti come gli argomenti del programma, ma coloro che eseguono l'analisi di matrici devono essere in grado di "leggere tra le righe" (trovare connessioni nascoste, ma reali), determinare il significato di varie connessioni in relazione agli obiettivi dell'analisi di matrici e talvolta essere critici nei confronti contenuto di argomenti di materie accademiche.

Corso di lezioni per disciplina

"Analisi della matrice"

per studenti del 2 ° anno

facoltà di Matematica specialità

"Cibernetica economica"

(docente Maria Alexandrovna Dmitruk)

1. Definizione di funzione.

Df. Lascia stare

È una funzione di argomento scalare. È necessario determinare cosa si intende per f (A), ad es. è necessario estendere la funzione f (x) al valore della matrice dell'argomento.

La soluzione a questo problema è nota quando f (x) è un polinomio:

, poi.

Definizione di f (A) nel caso generale.

Sia m (x) il polinomio minimo A e ha una tale scomposizione canonica

,, Sono gli autovalori di A. Siano i polinomi g (x) e h (x) gli stessi valori.

Sia g (A) \u003d h (A) (1), allora il polinomio d (x) \u003d g (x) -h (x) è un polinomio annichilante per A, poiché d (A) \u003d 0, quindi d (x ) è divisibile per un polinomio lineare, ad es. d (x) \u003d m (x) * q (x) (2).

, cioè (3) ,,,.

Concordiamo m numeri per f (x) tale

saranno chiamati i valori della funzione f (x) sullo spettro della matrice A, e l'insieme di questi valori sarà indicato con.

Se l'insieme f (Sp A) è definito per f (x), la funzione è definita sullo spettro della matrice A.

Da (3) risulta che i polinomi h (x) eg (x) hanno gli stessi valori sullo spettro della matrice A.

Il nostro ragionamento è reversibile, ad es. da (3) Þ (3) Þ (1). Pertanto, se viene fornita la matrice A, il valore del polinomio f (x) è completamente determinato dai valori di questo polinomio sullo spettro della matrice A, ad es. tutti i polinomi g i (x) che assumono gli stessi valori sullo spettro della matrice hanno gli stessi valori di matrice g i (A). Richiediamo che la definizione del valore di f (A) nel caso generale obbedisca allo stesso principio.

I valori della funzione f (x) sullo spettro della matrice A devono definire completamente f (A), cioè le funzioni che hanno gli stessi valori sullo spettro devono avere lo stesso valore di matrice f (A). Ovviamente, per determinare f (A) nel caso generale, è sufficiente trovare un polinomio g (x) che assuma sullo spettro A gli stessi valori della funzione f (A) \u003d g (A).

Df. Se f (x) è definito sullo spettro della matrice A, allora f (A) \u003d g (A), dove g (A) è un polinomio che assume gli stessi valori sullo spettro di f (A),

Df.Il valore della funzione della matrice A chiamiamo il valore del polinomio di questa matrice per

.

Tra i polinomi da C [x] che assumono gli stessi valori sullo spettro della matrice A come f (x), di grado non superiore a (m-1), assumono gli stessi valori sullo spettro A, poiché f (x) è il resto della divisione qualsiasi polinomio g (x) avente gli stessi valori sullo spettro della matrice A di f (x) per il polinomio minimo m (x) \u003d g (x) \u003d m (x) * g (x) + r (x) ...

Questo polinomio r (x) è chiamato polinomio di interpolazione di Lagrange-Sylvester per la funzione f (x) sullo spettro della matrice A.

Commento. Se il polinomio minimo m (x) della matrice A non ha radici multiple, ad es.

, quindi il valore della funzione sullo spettro.

Esempio:

Trova r (x) per f (x) arbitrario se la matrice

... Costruiamo f (H 1). Trova il polinomio minimo H 1 - l'ultimo fattore invariante:

, d n-1 \u003d x 2; d n-1 \u003d 1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 - n è una radice multipla di m (x), ad es. n volte autovalori di H 1.

, r (0) \u003d f (0), r ’(0) \u003d f’ (0), ..., r (n-1) (0) \u003d f (n-1) (0)Þ .

2. Proprietà delle funzioni delle matrici.

Numero proprietà 1. Se il file matrix

ha autovalori (tra questi possono esserci multipli), e quindi gli autovalori della matrice f (A) sono gli autovalori del polinomio f (x) :.

Prova:

Lascia che il polinomio caratteristico della matrice A abbia la forma:

,,. Contiamo. Passiamo dall'uguaglianza ai determinanti:

Facciamo una sostituzione nell'uguaglianza:

(*)

L'uguaglianza (*) è valida per qualsiasi insieme f (x), quindi sostituiamo il polinomio f (x) con

, noi abbiamo:.

A sinistra, abbiamo ottenuto il polinomio caratteristico per la matrice f (A), scomposto a destra in fattori lineari, il che implica che

Sono gli autovalori della matrice f (A).

CHTD.

Numero proprietà 2. Lascia che la matrice

e sono gli autovalori della matrice A, f (x) è una funzione arbitraria definita sullo spettro della matrice A, quindi gli autovalori della matrice f (A) sono uguali.

Prova:

Perché la funzione f (x) è definita sullo spettro della matrice A, quindi esiste un polinomio di interpolazione della matrice r (x) tale che

, e quindi f (A) \u003d r (A), e gli autovalori della matrice r (A) per la proprietà n. 1 saranno rispettivamente uguali a loro.

il metodo di ricerca scientifica delle proprietà degli oggetti basato sull'uso delle regole della teoria delle matrici, che determinano il valore degli elementi del modello, riflettendo la relazione degli oggetti economici. Viene utilizzato nei casi in cui l'oggetto principale dello studio è il rapporto tra costi e risultati della produzione e delle attività economiche e gli standard di costi e risultati.

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Il secondo approccio all'analisi delle reti di Petri si basa sulla rappresentazione a matrice delle reti di Petri. Un'alternativa alla definizione della rete di Petri nella forma (P, T, I, O) è la definizione di due matrici D - e D +, che rappresentano le funzioni di input e output. Ogni matrice ha m righe (una per transizione) en colonne (una per posizione). Definiamo D - \u003d # (p i, I (t j)), a D + \u003d # (p i, O (t j)). D - definisce gli ingressi alle transizioni, D + - le uscite.

La forma matriciale della definizione della rete di Petri (P, T, D -, D +) è equivalente alla forma standard da noi utilizzata, ma consente di dare definizioni in termini di vettori e matrici. Sia e [j] un vettore m contenente zeri ovunque tranne che per la componente j-esima, che è uguale a uno. La transizione t j è rappresentata da un vettore m-riga e [j].

Ora la transizione t j nella marcatura µ è consentita se µ\u003e e [j] D -, e il risultato dell'avvio della transizione t j nella marcatura µ è scritta come:

δ (t j) \u003d µ - e [j] D - + e [j] D + \u003d µ + e [j] D

dove D \u003d D + - D - è una matrice di cambiamento composita.

Allora per la sequenza delle transizioni iniziali σ \u003d t j \u200b\u200b1, t j 2,…, t jk abbiamo:

δ (σ) \u003d µ + e D + e D +… + e D \u003d

\u003d µ + (e + e +… + e) \u200b\u200bD \u003d µ + f (σ) D

Il vettore f (σ) \u003d e + e + ... + e è chiamato il vettore degli inizi della sequenza σ \u003d tj 1, tj 2, ..., t jk, f (σ) jp è il numero degli inizi della transizione tp nella sequenza tj 1, tj 2 ,…, T jk. Il vettore di inizio f (σ) è quindi un vettore con componenti intere non negative. (Il vettore f (σ) è la mappa Parikh della successione σ \u003d t j \u200b\u200b1, t j 2,…, t jk).

Per mostrare l'utilità di un tale approccio a matrice per le reti di Petri, si consideri, ad esempio, il problema della conservazione: una data rete di Petri etichettata si conserva? Per mostrare la conservazione, è necessario trovare un vettore di ponderazione (diverso da zero) per il quale la somma pesata su tutte le marcature raggiungibili sia costante.

Sia w \u003d (w 1, w 2,…, w n) un vettore colonna. Quindi, se µ è un'etichetta iniziale e µ "è un'etichetta raggiungibile arbitrariamente, cioè µ" appartiene a R (C, µ), è necessario che µ w \u003d µ "w. Ora, poiché µ" è raggiungibile, c'è una sequenza di partenze transizioni σ \u003d tj 1, tj 2,…, t jk, che porta la rete da µ a µ ".

µ "\u003d µ + f (σ) D

Quindi,

µ w \u003d µ "w \u003d (µ + f (σ) D) w \u003d µ w + f (σ) D w, quindi f (σ) D w \u003d 0.

Poiché questo deve essere vero per ogni f (σ), abbiamo D w \u003d 0.

Quindi, una rete di Petri preserva se e solo se esiste un vettore positivo w tale che D w \u003d 0.

Ciò fornisce un semplice algoritmo di controllo della persistenza e fornisce anche un vettore di ponderazione w.

La teoria delle matrici sviluppata delle reti di Petri è uno strumento per risolvere il problema della raggiungibilità. Supponiamo che l'etichettatura µ "sia raggiungibile dall'etichettatura µ. Allora ci sia una sequenza (possibilmente vuota) di transizioni iniziali σ che porta da µ a µ". Ciò significa che f (σ) è una soluzione intera non negativa della seguente equazione di matrice per x:

µ "\u003d µ + x D

Pertanto, se µ "è raggiungibile da µ, allora l'equazione data ha una soluzione in numeri interi non negativi; se questa equazione non ha soluzione, allora µ" è irraggiungibile da µ.

Si consideri, ad esempio, la rete di Petri etichettata mostrata nella Figura 1:

Figura: 1. Rete di Petri che illustra il metodo di analisi basato su equazioni matriciali

Le matrici D - e D + hanno la forma:

t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3

p 1 1 0 0 p 1 1 0 0

D - \u003d p 2 1 0 0 D + \u003d p 2 0 2 0

p 3 1 0 1 p 3 0 1 0

p 4 0 1 0 p 4 0 0 1

e matrice D:

Nella marcatura iniziale µ \u003d (1, 0, 1, 0), la transizione t 3 è consentita e porta alla marcatura µ "\u003d (1, 0, 0.1).

µ "\u003d µ + e D \u003d (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D \u003d

= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).

La sequenza σ \u003d t 3, t 2, t 3, t 2, t 1 è rappresentata dal vettore di inizio f (σ) \u003d (1, 2, 2) e riceve la marcatura µ ":

µ "\u003d (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D \u003d (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) \u003d (1, 3, 0, 0)

Per determinare se l'etichettatura (1, 8, 0, 1) è raggiungibile dall'etichettatura (1,0, 1, 0), abbiamo l'equazione:

(1, 8, 0, 1) \u003d (1, 0, 1.0) + x D

che ha una soluzione x \u003d(0, 4, 5). Ciò corrisponde alla sequenza σ \u003d t 3, t 2, t 3, t 2, t 3, t 2, t 3, t 2, t 3

(1, 7,0, 1) \u003d (1, 0, 1, 0) + x D

non ha soluzione.

L'approccio a matrice all'analisi delle reti di Petri è molto promettente, ma presenta anche alcune difficoltà. Prima di tutto, nota che la matrice Ddi per sé non riflette completamente la struttura della rete di Petri. Le transizioni che hanno sia ingressi che uscite da una posizione (loop) sono rappresentate dagli elementi corrispondenti delle matrici D +e D -, ma poi si annichilano reciprocamente nella matrice D \u003d D + - D -.Ciò si riflette nell'esempio precedente dalla posizione p 4 e dalla transizione t 3.

Un altro problema è la mancanza di informazioni sulla sequenza nel vettore di lancio. Considera la rete di Petri in Fig. 2. Supponiamo di voler determinare se l'etichettatura (0, 0, 0, 0, 1) è raggiungibile da (1, 0, 0, 0, 0). Quindi abbiamo l'equazione

(1, 0, 0, 0, 0) \u003d (0, 0, 0, 0, 1) + x D

Figura: 2. Un'altra rete di Petri che serve per illustrare l'analisi della matrice

Questa equazione non ha una soluzione univoca, ma si riduce a un insieme di soluzioni (a \\ f (o) \u003d(1, x 2, x 6 -1, 2x 6, x e -1, x 6)).Definisce la relazione tra i trigger di transizione. Se mettiamo x 6\u003d 1 e x 2\u003d 1, quindi / (o) \u003d (1, 1, 0, 2, 0, 1), ma questo vettore di trigger corrisponde sia alla sequenza 44444 che alla sequenza n0 44444. Pertanto, sebbene il numero di transizioni sia noto, il loro ordine lancio sconosciuto.

Un'altra difficoltà è che la risoluzione dell'equazione è necessaria per la raggiungibilità, ma non sufficiente. Si consideri una semplice rete di Petri mostrata in Fig. 3. Se vogliamo determinare se (0, 0, 0, 1) è raggiungibile da (1, 0, 0, 0), è necessario risolvere l'equazione

Figura: 3. Rete di Petri che mostra che la soluzione dell'equazione di matrice è una condizione necessaria ma insufficiente per risolvere il problema di raggiungibilità

Questa equazione ha una soluzione f (a) \u003d (1, 1), corrispondente a due successioni: tetta 2e / 3 / t. Ma nessuna di queste due sequenze di transizioni è possibile, poiché in (1,0,0,0) nessuna delle due t itnon sono ammessi 4. Pertanto, risolvere l'equazione non è sufficiente per dimostrare la raggiungibilità.

Controlla domande e compiti

1. Costruisci un grafico della rete di Petri per la seguente rete di Petri:

P \u003d (p 1, p 2, p 3, p 4), T \u003d (t 1, t 2, t 3, t 4, t 5),

Io (t 1) \u003d (), O (t 1) \u003d (p 1),

Io (t 2) \u003d (p 1), O (t 2) \u003d (p 2),

Io (t 3) \u003d (p 2, p 2, p 4), O (t 3) \u003d (p 1, p 3),

Io (t 4) \u003d (), O (t 4) \u003d (p 3),

Io (t 5) \u003d (p 3), O (t 5) \u003d (p 4, p 4).

2. Costruisci un grafico della rete Petri per la seguente rete Petri:

P \u003d (p 1, p 2, p 3, p 4), T \u003d (t 1, t 2, t 3, t 4),

Io (t 1) \u003d (), O (t 1) \u003d (p 1, p 1, p 1, p 1, p 2),

Io (t 2) \u003d (p 2), O (t 2) \u003d (p 1, p 1 p 1, p 1, p 1, p 1, p 3),

I (t 3) \u003d (p 1, p 1, p 1, p 1, p 1, p 1), O (t 3) \u003d (p 2, p 2 p 2, p 2 p 4, p 4),

Io (t 4) \u003d (p 2, p 3 p 4, p 4), O (t 4) \u003d (p 3).

3. Per la rete di Petri dell'esercizio 1 per la marcatura m \u003d (5,4,0,0), indicare le transizioni consentite.

4. Per la rete di Petri dell'esercizio 2 per la marcatura m \u003d (7,12,2,1), indicare le transizioni consentite.

5. Mostra che ÈR (C, m) \u003d N n, dove mÎN n.

6. Dimostrare che se m'Î R (C, m), allora R (C, m ') Í R (C, m).

7. Dimostrare che m 'R (C, m) se e solo se R (C, m') Í R (C, m).

8. Costruire il set di raggiungibilità per la rete di Petri dall'esercizio 1.

9. Costruire il set di raggiungibilità per la rete di Petri dall'esercizio 2.

10. Le reti di Petri con le loro fiches e le regole di lancio ricordano per molti versi i giochi che hanno un campo di gioco: dama, backgammon, nim, go, ecc. Si può pensare a un gioco da una a quattro persone, costituito da un campo da gioco (la rete di Petri è usata come campo) e un set di patatine. Le fiches sono distribuite sulle posizioni della rete di Petri ei giocatori, a turno, scelgono le transizioni consentite e le lanciano. Determina le regole del gioco che includono quanto segue:

a Come viene determinata la posizione iniziale dei pezzi? (Ad esempio, ogni giocatore inizia il gioco con una fiche in casa, oppure ogni giocatore ottiene n fiche su tutto il campo a piacimento, ecc.).

b Qual è lo scopo del gioco? (Cattura le chip del tuo avversario; ottieni il maggior numero di chip; sbarazzati delle tue chip il prima possibile, ecc.).

c Hai bisogno di colorare i pezzi per giocatori diversi? (Sulla base di ciò, definire le regole per l'attivazione delle transizioni).

d Non dovresti dare punti a diverse transizioni? (Quindi il punteggio del giocatore è determinato dalla somma delle transizioni che ha attivato).

Sulla base di ciò, descrivi il gioco, fornisci un esempio del gioco.

11. Sviluppa un programma che implementa il gioco dell'Esercizio 10, dove il tuo avversario è un computer per una data rete di Petri.

12. Costruisci un sistema di simulazione per eseguire la rete di Petri. L'avvio delle transizioni consentite è impostato dall'utente del sistema di modellazione.

13. I saggi sono seduti a una grande tavola rotonda su cui sono presenti molti piatti della cucina cinese. C'è una bacchetta tra i vicini. Tuttavia, per mangiare cibo cinese sono necessarie due bacchette, quindi ogni saggio deve prendere le bacchette a destra ea sinistra. Il problema è che se tutti i saggi prendono i bastoni a sinistra e poi aspettano che i bastoni sul lato destro vengano liberati, aspetteranno per sempre e moriranno di fame (stato di stallo). È necessario costruire una rete Petri che stabilisca la strategia per il pranzo e non abbia vicoli ciechi.

14. Costruisci una rete di Petri che rappresenti un automa finito che calcoli numeri binari in complemento a due.

15. Costruisci una rete di Petri che rappresenti una macchina a stati finiti per determinare la parità di un numero binario di input.

16. Costruire una rete di Petri che rappresenti una macchina a stati finiti che definisce un trigger con un input di conteggio.

17. Costruisci una rete di Petri che rappresenti una macchina a stati che definisce un trigger con input separati.

18. Sviluppare un algoritmo per la modellazione di schemi a blocchi con una rete di Petri.

19. Un diagramma PERT è una rappresentazione grafica delle relazioni tra le varie fasi che compongono un progetto. Un progetto è una raccolta di un gran numero di lavori e i lavori devono essere completati prima che altri possano iniziare. Inoltre, ogni lavoro richiede una certa quantità di tempo per essere completato. I lavori sono rappresentati graficamente da vertici e gli archi sono usati per rappresentare la relazione causale tra loro. PETR: un diagramma è un grafico diretto con archi pesati. La sfida è determinare il lead time minimo per il progetto. Sviluppa un algoritmo per modellare i diagrammi PERT utilizzando reti di Petri.

20. Sviluppare un modello di rete di Petri per modellare le reazioni chimiche.

21. Considera di costruire non un albero, ma un grafico di raggiungibilità. Se un vertice x genera un vertice successivo z con m [z] \u003d m [y] per un vertice y non limite, viene introdotto un arco opportunamente etichettato da x a y. Descrivi un algoritmo per costruire un grafo di raggiungibilità.

22 Mostra che l'algoritmo del grafo di raggiungibilità converge ed esamina le sue proprietà confrontandolo con l'algoritmo dell'albero di raggiungibilità.

23. L'albero della raggiungibilità non può essere utilizzato per risolvere il problema della raggiungibilità. le informazioni vengono perse a causa dell'introduzione del concetto del simbolo w. Viene inserito quando arriviamo al segno m 'e sulla strada dalla radice ad m' c'è un tale segno m che m '\u003e m. In questo caso, si possono ottenere tutti i segni della forma m + n (m'-m). Esplora utilizzando l'espressione a + bn i invece di w per rappresentare i valori dei componenti. Se è possibile definire un albero di raggiungibilità in cui tutti i vettori di etichettatura sono rappresentati da espressioni, il problema di raggiungibilità viene risolto semplicemente risolvendo un sistema di equazioni.

24. Generalizzare la definizione di conservazione consentendo pesi negativi Quale sarebbe un'interpretazione ragionevole dei pesi negativi? Il problema di determinare la conservazione di una rete di Petri è risolvibile se sono ammessi pesi negativi?

25. Sviluppare un algoritmo per determinare i vincoli della rete di Petri utilizzando l'approccio a matrice all'analisi.

26. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema dell'uguaglianza di due reti di Petri. Rete di Petri C 1 \u003d (P 1, T 1, I 1, O 1) etichettato m 1 è uguale a rete di Petri C 2 \u003d (P 2, T 2, I 2, O 2) etichettato m 2 se R (C 1, m 1) \u003d R (C 2, m 2).

27. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema di un sottoinsieme di due reti di Petri. Rete di Petri C 1 \u003d (P 2, T 2, I 2, O 2) etichettato m 2 è un sottoinsieme della rete di Petri C 1 \u003d (P 1, T 1, I 1, O 1) etichettato m 1, se R ( C 1, m 1) Í R (C 2, m 2).

28. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema della raggiungibilità. In una rete di Petri C \u003d (P, T, I, O) con segno m, m è raggiungibile da m se m'ÎR (C, m).

29. Sviluppare un algoritmo per il problema della raggiungibilità del submarking. Per il sottoinsieme P ’Í P e l'etichettatura m‘ esiste m ’’ ’R (C, m) tale che m’ ’(p i) \u003d m’ (p i) per ogni p i ÎP ’?.

30. Sviluppare un algoritmo per il problema della raggiungibilità dello zero. È m'ÎR (C, m), dove m '(p i) \u003d 0 per ogni p i ÎP?

31. Sviluppare un algoritmo per il problema della raggiungibilità di zero in una posizione. Per una data posizione p i ÎP, esiste m'ÎR (C, m) con m '(p i) \u003d 0?

32. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema dell'attività della rete di Petri. Tutte le transizioni t j ÎT sono attive?

33. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema dell'attività di una transizione. Questa transizione t j ÎT è attiva?

34. Una rete di Petri è detta reversibile se per ogni transizione t j ОT esiste una transizione t k ОT tale che

# (p io, I (t j)) \u003d # (p io, O (t k)), # (p io, O (t j)) \u003d # (p io, I (t k)),

quelli. per ogni transizione, c'è un'altra transizione con ingressi e uscite inversi. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema di raggiungibilità per reti di Petri reversibili.

35. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema di uguaglianza per reti di Petri reversibili.

36. Il problema dei fumatori. Ciascuno dei tre fumatori fa continuamente una sigaretta e la fuma. Per fare una sigaretta, hai bisogno di tabacco, carta e fiammiferi. Uno dei fumatori ha sempre la carta, un altro ha i fiammiferi e il terzo ha il tabacco. L'agente ha una scorta infinita di carta, fiammiferi e tabacco. L'agente mette i due pezzi sul tavolo. Il fumatore con il terzo ingrediente mancante può preparare e accendere una sigaretta, segnalandolo all'agente. Quindi l'agente inserisce gli altri due dei tre ingredienti e il ciclo si ripete. Proponi una rete di Petri attiva che simuli il problema dei fumatori.

37. Una rete di Petri automa è una rete di Petri in cui ogni transizione può avere esattamente un'uscita e un'entrata, cioè. per ogni t j ÎT ½I (t j) ½ \u003d 1 e ½O (t j) ½ \u003d 1. Sviluppa un algoritmo per costruire un automa finito che è equivalente a una data rete di Petri automa.

38. Un grafo etichettato è una rete di Petri, in cui ogni posizione è l'ingresso per esattamente una transizione e l'uscita di esattamente una transizione, cioè. per ogni transizione p i ÎP ½I (p i) ½ \u003d 1 e ½O (p i) ½ \u003d 1. Sviluppare un algoritmo per risolvere il problema di raggiungibilità per i grafici etichettati.

39. Considera la classe delle reti di Petri, che sono sia grafici etichettati che reti di Petri automatiche.

40. Costruisci una rete Petri che simuli i sistemi descritti nell'Appendice 8. Descrivi gli eventi che si verificano nel sistema e le condizioni che descrivono il sistema. Costruisci l'albero di raggiungibilità della rete di Petri costruita. Descrivi gli stati in cui potrebbe trovarsi il sistema.