Vectores. Coordenadas y vectores

En este artículo, comenzaremos a discutir una “varita mágica” que le permitirá reducir muchos problemas de geometría a aritmética simple. Este “palo” puede hacerte la vida mucho más fácil, especialmente cuando no estás seguro de cómo construir figuras espaciales, secciones, etc. Todo esto requiere cierta imaginación y habilidad práctica. El método que comenzaremos a considerar aquí le permitirá abstraerse casi por completo de todo tipo de construcciones y razonamientos geométricos. El método se llama "método de coordenadas". En este artículo consideraremos las siguientes preguntas:

1. Plano coordinado
2. Puntos y vectores en el plano.
3. Construyendo un vector a partir de dos puntos.
4. Longitud del vector (distancia entre dos puntos)​
5. Coordenadas de la mitad del segmento.
6. Producto escalar de vectores
7. Ángulo entre dos vectores

Creo que ya has adivinado por qué el método de coordenadas se llama así. Así es, recibió este nombre porque no opera con objetos geométricos, sino con sus características numéricas (coordenadas). Y la propia transformación, que nos permite pasar de la geometría al álgebra, consiste en introducir un sistema de coordenadas. Si la figura original era plana, entonces las coordenadas son bidimensionales, y si la figura es tridimensional, entonces las coordenadas son tridimensionales. En este artículo consideraremos sólo el caso bidimensional. Y el objetivo principal del artículo es enseñarte a utilizar algunas técnicas básicas del método de coordenadas (a veces resultan útiles a la hora de resolver problemas de planimetría de la Parte B del Examen Estatal Unificado). Las siguientes dos secciones sobre este tema están dedicadas a una discusión de métodos para resolver el problema C2 (el problema de la estereometría).

¿Dónde sería lógico empezar a discutir el método de coordenadas? Probablemente del concepto de sistema de coordenadas. Recuerda cuando la conociste por primera vez. Me parece que en séptimo grado, cuando conociste la existencia de una función lineal, por ejemplo. Déjame recordarte que lo construiste punto por punto. ¿Te acuerdas? Elegiste un número arbitrario, lo sustituiste en la fórmula y lo calculaste de esa manera. Por ejemplo, si, entonces, si, entonces, etc. ¿Qué obtuviste al final? Y recibiste puntos con coordenadas: y. A continuación, dibujaste una “cruz” (sistema de coordenadas), elegiste una escala en ella (cuántas celdas tendrás como segmento unitario) y marcaste los puntos que obtuviste, que luego conectaste con una línea recta; el resultado La recta es la gráfica de la función.

Aquí hay algunos puntos que conviene explicarle con un poco más de detalle:

1. Eliges un solo segmento por razones de comodidad, para que todo encaje de forma hermosa y compacta en el dibujo.

2. Se acepta que el eje va de izquierda a derecha y el eje va de abajo hacia arriba.

3. Se cruzan en ángulos rectos y el punto de su intersección se llama origen. Está indicado por una letra.

4. Al escribir las coordenadas de un punto, por ejemplo, a la izquierda entre paréntesis está la coordenada del punto a lo largo del eje, y a la derecha, a lo largo del eje. En particular, simplemente significa que en el momento

5. Para especificar cualquier punto en el eje de coordenadas, debe indicar sus coordenadas (2 números)

6. Para cualquier punto que se encuentre sobre el eje,

7. Para cualquier punto que se encuentre sobre el eje,

8. El eje se llama eje x.

9. El eje se llama eje y.

Ahora demos el siguiente paso: marque dos puntos. Conectemos estos dos puntos con un segmento. Y pondremos la flecha como si estuviéramos dibujando un segmento de punto a punto: es decir, ¡haremos nuestro segmento dirigido!

¿Recuerdas cómo se llama otro segmento direccional? Así es, ¡se llama vector!

Entonces, si conectamos punto con punto, y el comienzo será el punto A, y el final será el punto B, entonces obtenemos un vector. Tú también hiciste esta construcción en octavo grado, ¿recuerdas?

Resulta que los vectores, como los puntos, se pueden denotar con dos números: estos números se llaman coordenadas vectoriales. Pregunta: ¿Crees que nos basta con conocer las coordenadas del principio y del final de un vector para encontrar sus coordenadas? ¡Resulta que sí! Y esto se hace de forma muy sencilla:

Así, como en un vector el punto es el principio y el punto es el final, el vector tiene las siguientes coordenadas:

Por ejemplo, si, entonces las coordenadas del vector.

Ahora hagamos lo contrario, encontremos las coordenadas del vector. ¿Qué necesitamos cambiar para esto? Sí, necesitas intercambiar el principio y el final: ahora el comienzo del vector estará en el punto y el final estará en el punto. Entonces:

Mire con atención, ¿cuál es la diferencia entre vectores y? Su única diferencia son los signos en las coordenadas. Son opuestos. Este hecho suele escribirse así:

A veces, si no se indica específicamente qué punto es el comienzo del vector y cuál es el final, entonces los vectores no se indican con dos letras mayúsculas, sino con una letra minúscula, por ejemplo: , etc.

ahora un poco práctica usted mismo y encuentre las coordenadas de los siguientes vectores:

Examen:

Ahora resuelve un problema un poco más difícil:

Un vector que comienza en un punto tiene un co-o-di-na-you. Encuentra los puntos abs-cis-su.

De todos modos es bastante prosaico: sean las coordenadas del punto. Entonces

Compilé el sistema basándome en la definición de qué son las coordenadas vectoriales. Entonces el punto tiene coordenadas. Nos interesa la abscisa. Entonces

Respuesta:

¿Qué más puedes hacer con los vectores? Sí, casi todo es igual que con los números ordinarios (excepto que no puedes dividir, pero puedes multiplicar de dos maneras, una de las cuales discutiremos aquí un poco más adelante)

1. Los vectores se pueden sumar entre sí.
2. Los vectores se pueden restar unos de otros.
3. Los vectores se pueden multiplicar (o dividir) por un número arbitrario distinto de cero
4. Los vectores se pueden multiplicar entre sí.

Todas estas operaciones tienen una representación geométrica muy clara. Por ejemplo, la regla del triángulo (o paralelogramo) para suma y resta:

Un vector se estira, se contrae o cambia de dirección cuando se multiplica o divide por un número:

Sin embargo, aquí nos interesará la cuestión de qué sucede con las coordenadas.

1. Al sumar (restar) dos vectores, sumamos (restamos) sus coordenadas elemento por elemento. Eso es:

2. Al multiplicar (dividir) un vector por un número, todas sus coordenadas se multiplican (dividen) por este número:

Por ejemplo:

· Calcula la cantidad de co-or-di-nat siglo-a-ra.

Primero encontremos las coordenadas de cada uno de los vectores. Ambos tienen el mismo origen: el punto de origen. Sus fines son diferentes. Entonces, . Ahora calculemos las coordenadas del vector, entonces la suma de las coordenadas del vector resultante es igual.

Respuesta:

Ahora resuelva usted mismo el siguiente problema:

· Encuentra la suma de coordenadas vectoriales.

Verificamos:

Consideremos ahora el siguiente problema: tenemos dos puntos en el plano coordenado. ¿Cómo encontrar la distancia entre ellos? Dejemos el primer punto y el segundo. Denotemos la distancia entre ellos por. Hagamos el siguiente dibujo para mayor claridad:

¿Qué he hecho? Primero que nada, conecté puntos y,a también desde un punto tracé una recta paralela al eje, y desde un punto tracé una recta paralela al eje. ¿Se cruzaron en algún punto formando una figura notable? ¿Qué tiene de especial ella? Sí, tú y yo sabemos casi todo sobre el triángulo rectángulo. Bueno, seguro que el teorema de Pitágoras. El segmento requerido es la hipotenusa de este triángulo y los segmentos son los catetos. ¿Cuáles son las coordenadas del punto? Sí, son fáciles de encontrar en la imagen: dado que los segmentos son paralelos a los ejes y, respectivamente, sus longitudes son fáciles de encontrar: si denotamos las longitudes de los segmentos por, respectivamente, entonces

Ahora usemos el teorema de Pitágoras. Conocemos las longitudes de los catetos, encontraremos la hipotenusa:

Por tanto, la distancia entre dos puntos es la raíz de la suma de las diferencias al cuadrado de las coordenadas. O bien, la distancia entre dos puntos es la longitud del segmento que los conecta. Es fácil ver que la distancia entre puntos no depende de la dirección. Entonces:

De aquí sacamos tres conclusiones:

Practiquemos un poco sobre cómo calcular la distancia entre dos puntos:

Por ejemplo, si, entonces la distancia entre y es igual a

O vayamos de otro modo: encuentra las coordenadas del vector.

Y encuentra la longitud del vector:

Como puedes ver, ¡es lo mismo!

Ahora practica un poco tú mismo:

Tarea: encuentra la distancia entre los puntos indicados:

Verificamos:

Aquí hay un par de problemas más que usan la misma fórmula, aunque suenan un poco diferentes:

1. Encuentra el cuadrado de la longitud del párpado.

2. Encuentra el cuadrado de la longitud del párpado.

¿Creo que los trataste sin dificultad? Verificamos:

1. Y esto es para prestar atención) Ya hemos encontrado las coordenadas de los vectores anteriormente: . Entonces el vector tiene coordenadas. El cuadrado de su longitud será igual a:

2. Encuentra las coordenadas del vector.

Entonces el cuadrado de su longitud es

Nada complicado, ¿verdad? Aritmética simple, nada más.

Los siguientes problemas no se pueden clasificar sin ambigüedades; se refieren más bien a la erudición general y la capacidad de hacer dibujos sencillos.

1. Encuentra el seno del ángulo del corte que conecta el punto con el eje de abscisas.

Y

¿Cómo vamos a proceder aquí? Necesitamos encontrar el seno del ángulo entre y el eje. ¿Dónde podemos buscar el seno? Así es, en un triángulo rectángulo. entonces ¿que debemos hacer? ¡Construye este triángulo!

Dado que las coordenadas del punto son y, entonces el segmento es igual a y el segmento. Necesitamos encontrar el seno del ángulo. Déjame recordarte que el seno es una razón. pierna opuesta a la hipotenusa, entonces

¿Qué nos queda por hacer? Encuentra la hipotenusa. Puedes hacer esto de dos maneras: usando el teorema de Pitágoras (¡los catetos se conocen!) o usando la fórmula para la distancia entre dos puntos (de hecho, ¡lo mismo que el primer método!). Voy por el segundo camino:

Respuesta:

La siguiente tarea te parecerá aún más fácil. Ella está en las coordenadas del punto.

Tarea 2. Desde el punto en que el per-pen-di-ku-lyar desciende hasta el eje ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Hagamos un dibujo:

La base de una perpendicular es el punto en el que se cruza con el eje x (eje), para mí este es un punto. La figura muestra que tiene coordenadas: . Nos interesa la abscisa, es decir, el componente "x". Ella es igual.

Respuesta: .

Tarea 3. En las condiciones del problema anterior, encuentre la suma de las distancias desde el punto a los ejes coordenados.

La tarea es generalmente elemental si sabes cuál es la distancia de un punto a los ejes. ¿Sabes? Espero, pero aún así te lo recordaré:

Entonces, en mi dibujo de arriba, ¿ya he dibujado una de esas perpendiculares? ¿En qué eje está? Al eje. ¿Y cuál es su longitud entonces? Ella es igual. Ahora dibuja tú mismo una perpendicular al eje y encuentra su longitud. Será igual ¿no? Entonces su suma es igual.

Respuesta: .

Tarea 4. En las condiciones de la tarea 2, encuentre la ordenada de un punto simétrico al punto con respecto al eje de abscisas.

Creo que intuitivamente tienes claro qué es la simetría. Muchos objetos la tienen: muchos edificios, mesas, aviones, muchas formas geométricas: bola, cilindro, cuadrado, rombo, etc. En términos generales, la simetría se puede entender de la siguiente manera: una figura consta de dos (o más) mitades idénticas. Esta simetría se llama simetría axial. ¿Qué es entonces un eje? Esta es exactamente la línea a lo largo de la cual la figura se puede, relativamente hablando, "cortar" en mitades iguales (en esta imagen el eje de simetría es recto):

Ahora volvamos a nuestra tarea. Sabemos que estamos buscando un punto que sea simétrico con respecto al eje. Entonces este eje es el eje de simetría. Esto significa que necesitamos marcar un punto tal que el eje corte el segmento en dos partes iguales. Intente marcar ese punto usted mismo. Ahora compare con mi solución:

¿Te resultó igual? ¡Bien! Nos interesa la ordenada del punto encontrado. es igual

Respuesta:

Ahora dime, después de pensar unos segundos, ¿cuál será la abscisa de un punto simétrico al punto A con respecto a la ordenada? ¿Cual es tu respuesta? Respuesta correcta: .

En general, la regla se puede escribir así:

Un punto simétrico a un punto relativo al eje de abscisas tiene las coordenadas:

Un punto simétrico a un punto relativo al eje de ordenadas tiene coordenadas:

Bueno, ahora da mucho miedo. tarea: encuentre las coordenadas de un punto simétrico al punto relativo al origen. ¡Primero piensa por ti mismo y luego mira mi dibujo!

Respuesta:

Ahora problema del paralelogramo:

Tarea 5: Los puntos aparecen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Encuentra or-di-en-ese punto.

Puedes resolver este problema de dos maneras: lógica y método de coordenadas. Primero usaré el método de coordenadas y luego te diré cómo puedes resolverlo de manera diferente.

Está bastante claro que las abscisas del punto son iguales. (se encuentra en la perpendicular trazada desde el punto al eje de abscisas). Necesitamos encontrar la ordenada. Aprovechemos que nuestra figura es un paralelogramo, esto quiere decir eso. Encontremos la longitud del segmento usando la fórmula para la distancia entre dos puntos:

Bajamos la perpendicular que conecta el punto con el eje. Indicaré el punto de intersección con una letra.

La longitud del segmento es igual. (encuentre usted mismo el problema donde discutimos este punto), luego encontraremos la longitud del segmento usando el teorema de Pitágoras:

La longitud de un segmento coincide exactamente con su ordenada.

Respuesta: .

Otra solución (solo daré una imagen que lo ilustra)

Progreso de la solución:

1. Conducta

2. Encuentra las coordenadas del punto y la longitud.

3. Demuéstralo.

Otro problema de longitud de segmento:

Los puntos aparecen encima del triángulo. Encuentra la longitud de su línea media, paralela.

¿Recuerdas cuál es la línea media de un triángulo? Entonces esta tarea es elemental para ti. Si no lo recuerdas, te lo recuerdo: la línea media de un triángulo es la línea que conecta los puntos medios de los lados opuestos. Es paralela a la base e igual a la mitad de ella.

La base es un segmento. Tuvimos que buscar su longitud antes, es igual. Entonces la longitud de la línea media es la mitad e igual.

Respuesta: .

Comentario: este problema se puede solucionar de otra forma, a la que nos referiremos un poco más adelante.

Mientras tanto, aquí tienes algunos problemas, practica con ellos, son muy simples, ¡pero te ayudarán a mejorar en el uso del método de coordenadas!

1. Los puntos son la cima de las trampas. Encuentra la longitud de su línea media.

2. Puntos y apariciones ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Encuentra or-di-en-ese punto.

3. Encuentre la longitud del corte, conectando el punto y

4. Encuentra el área detrás de la figura coloreada en el plano coordinado.

5. Un círculo con centro en na-cha-le ko-or-di-nat pasa por el punto. Encuéntrala ra-di-us.

6. Encuentra-di-te ra-di-us del círculo, describe-san-noy sobre el ángulo recto-no-ka, las cimas de algo tienen un co-o -di-na-eres tan-responsable

Soluciones:

1. Se sabe que la línea media de un trapezoide es igual a la mitad de la suma de sus bases. La base es igual y la base. Entonces

Respuesta:

2. La forma más sencilla de resolver este problema es observar que (regla del paralelogramo). Calcular las coordenadas de vectores no es difícil: . Al sumar vectores, se suman las coordenadas. Entonces tiene coordenadas. El punto también tiene estas coordenadas, ya que el origen del vector es el punto con las coordenadas. Nos interesa la ordenada. Ella es igual.

Respuesta:

3. Actuamos inmediatamente según la fórmula de la distancia entre dos puntos:

Respuesta:

4. Mire la imagen y dígame ¿entre cuáles dos figuras está “intercalada” el área sombreada? Está intercalado entre dos cuadrados. Entonces el área de la figura deseada es igual al área del cuadrado grande menos el área del pequeño. El lado de un cuadrado pequeño es un segmento que conecta los puntos y su longitud es

Entonces el área del cuadrado pequeño es

Hacemos lo mismo con un cuadrado grande: su lado es un segmento que une los puntos y su longitud es

Entonces el área del cuadrado grande es

Encontramos el área de la figura deseada usando la fórmula:

Respuesta:

5. Si una circunferencia tiene como centro el origen y pasa por un punto, entonces su radio será exactamente igual a la longitud del segmento (haz un dibujo y entenderás por qué esto es obvio). Encontremos la longitud de este segmento:

Respuesta:

6. Se sabe que el radio de un círculo circunscrito a un rectángulo es igual a la mitad de su diagonal. Encontremos la longitud de cualquiera de las dos diagonales (después de todo, ¡en un rectángulo son iguales!)

Respuesta:

Bueno, ¿lo hiciste con todo? No fue muy difícil entenderlo, ¿verdad? Aquí solo hay una regla: poder hacer una imagen visual y simplemente "leer" todos los datos que contiene.

Nos queda muy poco. Hay literalmente dos puntos más que me gustaría discutir.

Intentemos resolver este simple problema. Deja dos puntos y que te den. Encuentra las coordenadas del punto medio del segmento. La solución a este problema es la siguiente: sea el punto el medio deseado, entonces tiene coordenadas:

Eso es: coordenadas de la mitad del segmento = la media aritmética de las coordenadas correspondientes de los extremos del segmento.

Esta regla es muy sencilla y no suele causar dificultades a los estudiantes. Veamos en qué problemas y cómo se utiliza:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny desde-cortar, conectar-el-punto y

2. Los puntos parecen ser la cima del mundo. Find-di-te or-di-na-tu puntos per-re-se-che-niya de su dia-go-na-ley.

3. Encuentra-di-te abs-cis-su centro del círculo, describe-san-noy sobre el rectangular-no-ka, las cimas de algo tienen co-o-di-na-tú tan-responsablemente-pero.

Soluciones:

1. El primer problema es simplemente un clásico. Procedemos inmediatamente a determinar la mitad del segmento. Tiene coordenadas. La ordenada es igual.

Respuesta:

2. Es fácil ver que este cuadrilátero es un paralelogramo (¡incluso un rombo!). Puedes comprobarlo tú mismo calculando las longitudes de los lados y comparándolas entre sí. ¿Qué sé sobre los paralelogramos? ¡Sus diagonales están divididas por la mitad por el punto de intersección! ¡Sí! ¿Cuál es entonces el punto de intersección de las diagonales? ¡Ésta es la mitad de cualquiera de las diagonales! Elegiré, en particular, la diagonal. Entonces el punto tiene coordenadas La ordenada del punto es igual a.

Respuesta:

3. ¿Con qué coincide el centro del círculo circunscrito al rectángulo? Coincide con el punto de intersección de sus diagonales. ¿Qué sabes sobre las diagonales de un rectángulo? Son iguales y el punto de intersección los divide por la mitad. La tarea quedó reducida a la anterior. Tomemos, por ejemplo, la diagonal. Entonces si es el centro de la circunferencia, entonces es el punto medio. Estoy buscando coordenadas: La abscisa es igual.

Respuesta:

Ahora practica un poco por tu cuenta, solo daré las respuestas a cada problema para que puedas ponerte a prueba.

1. Find-di-te ra-di-us del círculo, describe-san-noy sobre el triángulo-no-ka, las cimas de algo tienen un co-or-di -no señores

2. Encuentra-di-te o-di-en-ese centro del círculo, describe-san-noy sobre el triángulo-no-ka, cuyas cimas tienen coordenadas

3. ¿Qué tipo de ra-di-u-sa debería tener un círculo con centro en un punto para que toque el eje ab-ciss?

4. Encuentre-di-esos o-di-en-ese punto de re-se-ce-ción del eje y desde-corte, conecte-el-punto y

Respuestas:

¿Todo fue exitoso? ¡Realmente lo espero! Ahora, el último empujón. Ahora tenga especial cuidado. El material que ahora explicaré está directamente relacionado no sólo con problemas simples sobre el método de coordenadas de la Parte B, sino que también se encuentra en todas partes del Problema C2.

¿Cuáles de mis promesas no he cumplido todavía? ¿Recuerda qué operaciones sobre vectores prometí introducir y cuáles finalmente introduje? ¿Estás seguro de que no me he olvidado de nada? ¡Olvidó! Olvidé explicar qué significa la multiplicación de vectores.

Hay dos formas de multiplicar un vector por un vector. Dependiendo del método elegido, conseguiremos objetos de distinta naturaleza:

El producto cruzado se hace de manera bastante inteligente. Discutiremos cómo hacerlo y por qué es necesario en el próximo artículo. Y en este nos centraremos en el producto escalar.

Hay dos formas que nos permiten calcularlo:

Como habrás adivinado, ¡el resultado debería ser el mismo! Entonces, veamos primero el primer método:

Producto escalar mediante coordenadas

Encuentre: - notación generalmente aceptada para producto escalar

La fórmula para el cálculo es la siguiente:

Es decir, el producto escalar = ¡la suma de los productos de coordenadas vectoriales!

Ejemplo:

encontrar-di-te

Solución:

Encontremos las coordenadas de cada uno de los vectores:

Calculamos el producto escalar usando la fórmula:

Respuesta:

Mira, ¡absolutamente nada complicado!

Bueno, ahora pruébalo tú mismo:

· Encuentra un escalar pro-iz-ve-de-nie de siglos y

¿Lograste? ¿Quizás notaste un pequeño problema? Vamos a revisar:

¡Coordenadas vectoriales, como en el problema anterior! Respuesta: .

Además del de coordenadas, existe otra forma de calcular el producto escalar, es decir, a través de las longitudes de los vectores y el coseno del ángulo entre ellos:

Denota el ángulo entre los vectores y.

Es decir, el producto escalar es igual al producto de las longitudes de los vectores por el coseno del ángulo entre ellos.

¿Por qué necesitamos esta segunda fórmula, si tenemos la primera, que es mucho más simple, al menos no contiene cosenos? ¡Y es necesario para que a partir de la primera y segunda fórmulas tú y yo podamos deducir cómo encontrar el ángulo entre vectores!

¡Entonces recordemos la fórmula para la longitud del vector!

Luego, si sustituyo estos datos en la fórmula del producto escalar, obtengo:

Pero de otra manera:

Entonces, ¿qué obtuvimos tú y yo? ¡Ahora tenemos una fórmula que nos permite calcular el ángulo entre dos vectores! A veces también se escribe así por brevedad:

Es decir, el algoritmo para calcular el ángulo entre vectores es el siguiente:

1. Calcular el producto escalar a través de coordenadas.
2. Encuentra las longitudes de los vectores y multiplícalos.
3. Divide el resultado del punto 1 por el resultado del punto 2

Practiquemos con ejemplos:

1. Encuentra el ángulo entre los párpados y. Da la respuesta en grad-du-sah.

2. En las condiciones del problema anterior, encuentra el coseno entre los vectores.

Hagamos esto: te ayudaré a resolver el primer problema y ¡intentaré resolver el segundo tú mismo! ¿Aceptar? ¡Entonces comencemos!

1. Estos vectores son nuestros viejos amigos. Ya calculamos su producto escalar y fue igual. Sus coordenadas son: , . Luego encontramos sus longitudes:

Luego buscamos el coseno entre los vectores:

¿Cuál es el coseno del ángulo? Esta es la esquina.

Respuesta:

Bueno, ahora resuelve el segundo problema tú mismo y luego compara. Daré sólo una solución muy breve:

2. tiene coordenadas, tiene coordenadas.

Sea el ángulo entre los vectores y, entonces

Respuesta:

Cabe señalar que los problemas directamente sobre vectores y el método de coordenadas en la parte B papel de examen Bastante raro. Sin embargo, la gran mayoría de los problemas C2 se pueden resolver fácilmente introduciendo un sistema de coordenadas. Por lo tanto, puede considerar este artículo como la base sobre la cual haremos construcciones bastante inteligentes que necesitaremos para resolver problemas complejos.

COORDENADAS Y VECTORES. NIVEL PROMEDIO

Tú y yo continuamos estudiando el método de coordenadas. En la última parte, derivamos una serie de fórmulas importantes que le permiten:

1. Encuentra coordenadas vectoriales
2. Encuentra la longitud de un vector (alternativamente: la distancia entre dos puntos)
3. Suma y resta vectores. multiplicarlos por un numero real
4. encontrar el punto medio de un segmento
5. Calcular el producto escalar de vectores.
6. Encuentra el ángulo entre vectores.

Por supuesto, todo el método de coordenadas no cabe en estos 6 puntos. En ella se basa una ciencia como la geometría analítica, con la que se familiarizará en la universidad. Sólo quiero construir una base que les permita resolver problemas en un solo estado. examen. Nos hemos ocupado de las tareas de la parte B. Ahora es el momento de pasar a la alta calidad. nuevo nivel! Este artículo estará dedicado a un método para resolver aquellos problemas C2 en los que sería razonable cambiar al método de coordenadas. Esta razonabilidad está determinada por lo que se requiere encontrar en el problema y qué cifra se da. Entonces, usaría el método de coordenadas si las preguntas son:

1. Encuentra el ángulo entre dos planos.
2. Encuentra el ángulo entre una recta y un plano.
3. Encuentra el ángulo entre dos rectas.
4. Encuentra la distancia de un punto a un plano.
5. Encuentra la distancia de un punto a una recta.
6. Encuentra la distancia de una línea recta a un plano.
7. Encuentra la distancia entre dos rectas.

Si la figura dada en el planteamiento del problema es un cuerpo de rotación (bola, cilindro, cono...)

Las cifras adecuadas para el método de coordenadas son:

1. Paralelepípedo rectangular
2. Pirámide (triangular, cuadrangular, hexagonal)

También desde mi experiencia. No es apropiado utilizar el método de coordenadas para:

1. Encontrar áreas transversales
2. Cálculo de volúmenes de cuerpos.

Sin embargo, cabe señalar inmediatamente que las tres situaciones “desfavorables” para el método de coordenadas son bastante raras en la práctica. En la mayoría de tareas, puede convertirse en tu salvador, especialmente si no eres muy bueno con las construcciones tridimensionales (que a veces pueden resultar bastante complejas).

¿Cuáles son todas las cifras que enumeré anteriormente? Ya no son planos, como, por ejemplo, un cuadrado, un triángulo, un círculo, ¡sino voluminosos! En consecuencia, debemos considerar no un sistema de coordenadas bidimensional, sino tridimensional. Es bastante fácil de construir: además del eje de abscisas y ordenadas, introduciremos otro eje, el eje aplicado. La figura muestra esquemáticamente su posición relativa:

Todos ellos son mutuamente perpendiculares y se cruzan en un punto, al que llamaremos origen de coordenadas. Como antes, denotaremos el eje de abscisas, el eje de ordenadas - y el eje aplicado introducido - .

Si antes cada punto del plano se caracterizaba por dos números: abscisa y ordenada, entonces cada punto en el espacio ya está descrito por tres números: abscisa, ordenada y aplicada. Por ejemplo:

En consecuencia, la abscisa de un punto es igual, la ordenada es y la aplicada es .

A veces, la abscisa de un punto también se denomina proyección de un punto sobre el eje de abscisas, ordenada, la proyección de un punto sobre el eje de ordenadas y aplicada, la proyección de un punto sobre el eje de la aplicación. En consecuencia, si se da un punto, entonces un punto con coordenadas:

Se llama proyección de un punto sobre un plano.

Se llama proyección de un punto sobre un plano.

Surge una pregunta natural: ¿todas las fórmulas derivadas para el caso bidimensional son válidas en el espacio? La respuesta es sí, son justos y tienen la misma apariencia. Para un pequeño detalle. Creo que ya has adivinado cuál es. En todas las fórmulas tendremos que añadir un término más responsable del eje de aplicación. A saber.

1. Si se dan dos puntos: , entonces:

• Coordenadas vectoriales:
• Distancia entre dos puntos (o longitud del vector)
• El punto medio del segmento tiene coordenadas.

2. Si se dan dos vectores: y, entonces:

• Su producto escalar es igual a:
• El coseno del ángulo entre los vectores es igual a:

Sin embargo, el espacio no es tan sencillo. Como comprenderá, agregar una coordenada más introduce una diversidad significativa en el espectro de figuras que "viven" en este espacio. Y para una mayor narración necesitaré introducir alguna, en términos generales, "generalización" de la línea recta. Esta “generalización” será un avión. ¿Qué sabes sobre el avión? Intenta responder la pregunta, ¿qué es un avión? Es muy difícil decirlo. Sin embargo, todos imaginamos intuitivamente cómo se ve:

En términos generales, se trata de una especie de “hoja” interminable clavada en el espacio. Por “infinito” se debe entender que el plano se extiende en todas direcciones, es decir, su área es igual al infinito. Sin embargo, esta explicación “práctica” no da la menor idea sobre la estructura del avión. Y es ella quien se interesará por nosotros.

Recordemos uno de los axiomas básicos de la geometría:

• una recta pasa por dos puntos diferentes de un plano, y solo uno:

O su análogo en el espacio:

Por supuesto, recuerdas cómo derivar la ecuación de una recta a partir de dos puntos dados, no es nada difícil: si el primer punto tiene coordenadas: y el segundo, entonces la ecuación de la recta será la siguiente:

Tomaste esto en séptimo grado. En el espacio, la ecuación de una recta se ve así: se nos dan dos puntos con coordenadas: , entonces la ecuación de la recta que pasa por ellos tiene la forma:

Por ejemplo, una línea pasa por puntos:

¿Cómo debería entenderse esto? Esto debe entenderse de la siguiente manera: un punto se encuentra en una recta si sus coordenadas satisfacen el siguiente sistema:

No nos interesará mucho la ecuación de una recta, pero debemos prestar atención al concepto muy importante del vector director de una recta. - cualquier vector distinto de cero que se encuentre en una línea determinada o paralelo a ella.

Por ejemplo, ambos vectores son vectores directores de una línea recta. Sea un punto que se encuentra sobre una recta y sea su vector director. Entonces la ecuación de la recta se puede escribir de la siguiente forma:

Una vez más, no me interesará mucho la ecuación de una línea recta, ¡pero realmente necesito que recuerdes qué es un vector director! De nuevo: este es CUALQUIER vector distinto de cero que se encuentre en una línea o paralelo a ella.

Retirar ecuación de un plano basada en tres puntos dados Ya no es tan trivial y, por lo general, este tema no se aborda en el curso. escuela secundaria. ¡Pero en vano! Esta técnica es vital cuando recurrimos al método de coordenadas para resolver problemas complejos. Sin embargo, supongo que estás ansioso por aprender algo nuevo. Además, podrás impresionar a tu profesor de la universidad cuando descubra que ya sabes utilizar una técnica que normalmente se estudia en un curso de geometría analítica. Entonces empecemos.

La ecuación de un plano no es muy diferente de la ecuación de una línea recta en un plano, es decir, tiene la forma:

algunos números (no todos iguales a cero), sino variables, por ejemplo: etc. Como puedes ver, la ecuación de un plano no es muy diferente de la ecuación de una recta (función lineal). Sin embargo, ¿recuerdas lo que discutimos tú y yo? Dijimos que si tenemos tres puntos que no se encuentran en la misma recta, entonces la ecuación del plano se puede reconstruir de manera única a partir de ellos. ¿Pero cómo? Intentaré explicártelo.

Dado que la ecuación del avión es:

Y los puntos pertenecen a este plano, entonces al sustituir las coordenadas de cada punto en la ecuación del plano deberíamos obtener la identidad correcta:

¡Por lo tanto, es necesario resolver tres ecuaciones con incógnitas! ¡Dilema! Sin embargo, siempre puedes asumir eso (para hacer esto necesitas dividir por). Por tanto, obtenemos tres ecuaciones con tres incógnitas:

Sin embargo, no resolveremos tal sistema, sino que escribiremos la misteriosa expresión que se desprende de él:

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados

\[\izquierda| (\begin(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(matriz)) \right| = 0\]

¡Detener! ¿Qué es esto? ¡Algún módulo muy inusual! Sin embargo, el objeto que ves frente a ti no tiene nada que ver con el módulo. Este objeto se llama determinante de tercer orden. De ahora en adelante, cuando trabajes con el método de las coordenadas en un plano, muy a menudo encontrarás estos mismos determinantes. ¿Qué es un determinante de tercer orden? Por extraño que parezca, es sólo un número. Queda por entender qué número específico compararemos con el determinante.

Primero escribamos el determinante de tercer orden en una forma más general:

¿Dónde están algunos números? Además, por primer índice nos referimos al número de fila y por índice nos referimos al número de columna. Por ejemplo, significa que este número está en la intersección de la segunda fila y la tercera columna. Planteemos la siguiente pregunta: ¿cómo calcularemos exactamente tal determinante? Es decir, ¿qué número específico compararemos con él? Para el determinante de tercer orden existe una regla heurística (visual) del triángulo, que se ve así:

1. El producto de los elementos de la diagonal principal (desde la esquina superior izquierda hasta la inferior derecha) El producto de los elementos que forman el primer triángulo “perpendicular” a la diagonal principal El producto de los elementos que forman el segundo triángulo “perpendicular” a la diagonal principal
2. El producto de los elementos de la diagonal secundaria (desde la esquina superior derecha hasta la inferior izquierda) El producto de los elementos que forman el primer triángulo “perpendicular” a la diagonal secundaria El producto de los elementos que forman el segundo triángulo “perpendicular” a la diagonal secundaria
3. Entonces el determinante es igual a la diferencia entre los valores obtenidos en el paso y

Si escribimos todo esto en números obtenemos la siguiente expresión:

Sin embargo, no es necesario recordar el método de cálculo en esta forma, basta con tener en la cabeza los triángulos y la idea misma de qué suma qué y qué se resta de qué).

Ilustremos el método del triángulo con un ejemplo:

1. Calcula el determinante:

Averigüemos qué sumamos y qué restamos:

Términos que vienen con un plus:

Esta es la diagonal principal: el producto de los elementos es igual a

El primer triángulo, "perpendicular a la diagonal principal: el producto de los elementos es igual a

Segundo triángulo, "perpendicular a la diagonal principal: el producto de los elementos es igual a

Suma tres números:

Términos que vienen con un menos

Esta es una diagonal lateral: el producto de los elementos es igual a

El primer triángulo, “perpendicular a la diagonal secundaria: el producto de los elementos es igual a

El segundo triángulo, “perpendicular a la diagonal secundaria: el producto de los elementos es igual a

Suma tres números:

Lo único que queda por hacer es restar la suma de los términos “más” de la suma de los términos “menos”:

De este modo,

Como puede ver, no hay nada complicado ni sobrenatural en el cálculo de determinantes de tercer orden. Sólo es importante recordar los triángulos y no cometer errores aritméticos. Ahora intenta calcularlo tú mismo:

Verificamos:

1. El primer triángulo perpendicular a la diagonal principal:
2. Segundo triángulo perpendicular a la diagonal principal:
3. Suma de términos con más:
4. El primer triángulo perpendicular a la diagonal secundaria:
5. Segundo triángulo perpendicular a la diagonal lateral:
6. Suma de términos con menos:
7. La suma de los términos con más menos la suma de los términos con menos:

Aquí hay un par de determinantes más, calcule sus valores usted mismo y compárelos con las respuestas:

Respuestas:

Bueno, ¿coincidió todo? ¡Genial, entonces puedes seguir adelante! Si surgen dificultades, mi consejo es el siguiente: hay muchos programas en Internet para calcular el determinante en línea. Todo lo que necesitas es crear tu propio determinante, calcularlo tú mismo y luego compararlo con lo que calcula el programa. Y así sucesivamente hasta que los resultados empiecen a coincidir. ¡Estoy segura de que este momento no tardará en llegar!

Ahora volvamos al determinante que escribí cuando hablé de la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados:

Todo lo que necesitas es calcular su valor directamente (usando el método del triángulo) y establecer el resultado en cero. Naturalmente, dado que se trata de variables, obtendrá alguna expresión que depende de ellas. ¡Esta expresión será la ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no se encuentran en la misma línea recta!

Ilustremos esto con un ejemplo sencillo:

1. Construya la ecuación de un plano que pase por los puntos.

Recopilamos un determinante para estos tres puntos:

Simplifiquemos:

Ahora lo calculamos directamente usando la regla del triángulo:

\[(\left| (\begin(array)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(array)) \ derecha| = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \right) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Así, la ecuación del plano que pasa por los puntos es:

Ahora intente resolver un problema usted mismo y luego lo discutiremos:

2. Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos.

Bueno, ahora analicemos la solución:

Creemos un determinante:

Y calcula su valor:

Entonces la ecuación del avión tiene la forma:

O reduciendo por obtenemos:

Ahora dos tareas de autocontrol:

1. Construya la ecuación de un plano que pasa por tres puntos:

Respuestas:

¿Todo coincidió? Nuevamente, si surgen ciertas dificultades, mi consejo es este: toma tres puntos de tu cabeza (con un alto grado de probabilidad no estarán en la misma línea recta) y construye un avión a partir de ellos. Y luego te revisas en línea. Por ejemplo, en el sitio:

Sin embargo, con la ayuda de determinantes construiremos no solo la ecuación del plano. Recuerda, te dije que no solo se define el producto escalar para los vectores. También hay un producto vectorial, así como un producto mixto. Y si el producto escalar de dos vectores es un número, entonces el producto vectorial de dos vectores será un vector, y este vector será perpendicular a los dados:

Además, su módulo será igual al área de un paralelogramo construido sobre los vectores y. Necesitaremos este vector para calcular la distancia de un punto a una línea. ¿Cómo podemos calcular el producto vectorial de vectores y, si se dan sus coordenadas? El determinante de tercer orden vuelve a venir en nuestra ayuda. Sin embargo, antes de pasar al algoritmo para calcular el producto vectorial, debo hacer una pequeña digresión.

Esta digresión se refiere a los vectores básicos.

Se muestran esquemáticamente en la figura:

¿Por qué crees que se llaman básicos? El hecho es que :

O en la imagen:

La validez de esta fórmula es obvia, porque:

Ilustraciones vectoriales

Ahora puedo empezar a presentar el producto cruzado:

El producto vectorial de dos vectores es un vector, que se calcula según la siguiente regla:

Ahora demos algunos ejemplos de cálculo del producto cruzado:

Ejemplo 1: Encuentre el producto cruzado de vectores:

Solución: invento un determinante:

Y lo calculo:

Ahora, después de escribir vectores base, volveré a la notación vectorial habitual:

De este modo:

Ahora inténtalo.

¿Listo? Verificamos:

Y tradicionalmente dos tareas de control:

1. Encuentre el producto vectorial de los siguientes vectores:
2. Encuentre el producto vectorial de los siguientes vectores:

Respuestas:

Producto mixto de tres vectores.

La última construcción que necesitaré es el producto mixto de tres vectores. Al igual que un escalar, es un número. Hay dos formas de calcularlo. - mediante un determinante, - mediante un producto mixto.

Es decir, nos darán tres vectores:

Entonces el producto mixto de tres vectores, denotado por, se puede calcular como:

1. - es decir, el producto mixto es el producto escalar de un vector y el producto vectorial de otros dos vectores

Por ejemplo, el producto mixto de tres vectores es:

¡Intenta calcularlo tú mismo usando el producto vectorial y asegúrate de que los resultados coincidan!

Y nuevamente, dos ejemplos de soluciones independientes:

Respuestas:

Seleccionar un sistema de coordenadas

Bueno, ahora tenemos toda la base de conocimiento necesaria para resolver problemas complejos de geometría estereométrica. Sin embargo, antes de pasar directamente a ejemplos y algoritmos para resolverlos, creo que será útil detenerse en la siguiente pregunta: ¿cómo exactamente elegir un sistema de coordenadas para una figura en particular. Después de todo, es la elección de la posición relativa del sistema de coordenadas y la figura en el espacio lo que en última instancia determinará cuán engorrosos serán los cálculos.

Permítanme recordarles que en este apartado consideramos las siguientes figuras:

1. Paralelepípedo rectangular
2. Prisma recto (triangular, hexagonal...)
3. Pirámide (triangular, cuadrangular)
4. Tetraedro (igual que la pirámide triangular)

Para paralelepípedo rectangular o cubo, te recomiendo la siguiente construcción:

Es decir, colocaré la figura “en la esquina”. El cubo y el paralelepípedo son muy buenas cifras. Para ellos, siempre podrás encontrar fácilmente las coordenadas de sus vértices. Por ejemplo, si (como se muestra en la imagen)

entonces las coordenadas de los vértices son las siguientes:

Por supuesto, no es necesario recordar esto, pero es recomendable recordar cuál es la mejor manera de colocar un cubo o un paralelepípedo rectangular.

Prisma recto

El prisma es una figura más dañina. Se puede colocar en el espacio de diferentes formas. Sin embargo, la siguiente opción me parece la más aceptable:

Prisma triangular:

Es decir, colocamos uno de los lados del triángulo enteramente sobre el eje, y uno de los vértices coincide con el origen de coordenadas.

Prisma hexagonal:

Es decir, uno de los vértices coincide con el origen y uno de los lados se encuentra sobre el eje.

Pirámide cuadrangular y hexagonal:

La situación es similar a un cubo: alineamos dos lados de la base con los ejes de coordenadas y alineamos uno de los vértices con el origen de coordenadas. La única pequeña dificultad será calcular las coordenadas del punto.

Para una pirámide hexagonal, lo mismo que para un prisma hexagonal. La tarea principal volverá a ser encontrar las coordenadas del vértice.

Tetraedro (pirámide triangular)

La situación es muy similar a la que di para un prisma triangular: un vértice coincide con el origen, un lado se encuentra en el eje de coordenadas.

Bueno, ahora tú y yo finalmente estamos cerca de comenzar a resolver problemas. De lo que dije al principio del artículo, se puede sacar la siguiente conclusión: la mayoría de los problemas de C2 se dividen en 2 categorías: problemas de ángulos y problemas de distancia. Primero, veremos los problemas de encontrar un ángulo. A su vez se dividen en las siguientes categorías (a medida que aumenta la complejidad):

Problemas para encontrar ángulos.

1. Encontrar el ángulo entre dos rectas
2. Encontrar el ángulo entre dos planos.

Veamos estos problemas secuencialmente: comencemos por encontrar el ángulo entre dos líneas rectas. Bueno, recuerda, ¿no hemos resuelto tú y yo ejemplos similares antes? ¿Recuerdas que ya teníamos algo similar? Estábamos buscando el ángulo entre dos vectores. Permítanme recordarles, si se dan dos vectores: y, entonces el ángulo entre ellos se encuentra a partir de la relación:

Ahora nuestro objetivo es encontrar el ángulo entre dos líneas rectas. Veamos la “imagen plana”:

¿Cuántos ángulos obtuvimos cuando dos rectas se cortaron? Sólo algunas cosas. Es cierto que sólo dos de ellos no son iguales, mientras que los demás son verticales a ellos (y por tanto coinciden con ellos). Entonces, ¿qué ángulo debemos considerar el ángulo entre dos rectas: o? Aquí la regla es: El ángulo entre dos rectas siempre no supera los grados.. Es decir, de dos ángulos siempre elegiremos el ángulo con menor medida de grado. Es decir, en esta imagen el ángulo entre dos rectas es igual. Para no molestarse cada vez en encontrar el menor de dos ángulos, los astutos matemáticos sugirieron utilizar un módulo. Así, el ángulo entre dos rectas está determinado por la fórmula:

Usted, como lector atento, debería haber tenido una pregunta: ¿de dónde exactamente obtenemos estos números que necesitamos para calcular el coseno de un ángulo? Respuesta: ¡los tomaremos de los vectores directores de las líneas! Así, el algoritmo para encontrar el ángulo entre dos rectas es el siguiente:

1. Aplicamos la fórmula 1.

O con más detalle:

1. Buscamos las coordenadas del vector director de la primera recta.
2. Buscamos las coordenadas del vector director de la segunda recta.
3. Calculamos el módulo de su producto escalar.
4. Buscamos la longitud del primer vector.
5. Buscamos la longitud del segundo vector.
6. Multiplica los resultados del punto 4 por los resultados del punto 5
7. Dividimos el resultado del punto 3 por el resultado del punto 6. Obtenemos el coseno del ángulo entre las rectas
8. Si este resultado nos permite calcular con precisión el ángulo, lo buscamos
9. De lo contrario escribimos mediante arco coseno

Bueno, ahora toca pasar a los problemas: demostraré la solución a los dos primeros en detalle, presentaré la solución a otro de forma breve, y a los dos últimos problemas solo daré las respuestas; debe realizar todos los cálculos usted mismo.

Tareas:

1. En el tetra-ed-re derecho, encuentra el ángulo entre la altura del tetra-ed-ra y el lado medio.

2. En la pi-r-mi-de de seis esquinas de la derecha, los cien os-no-va-niyas son iguales y los bordes laterales son iguales, encuentre el ángulo entre las líneas y.

3. Las longitudes de todos los bordes de la pi-ra-mi-dy derecha de cuatro carbones son iguales entre sí. Encuentra el ángulo entre las líneas rectas y si desde el corte estás con la pi-ra-mi-dy dada, el punto está se-re-di-en sus bo-co- segundas costillas

4. En el borde del cubo hay un punto para que Encuentre el ángulo entre las líneas rectas y

5. Punto - en los bordes del cubo Encuentra el ángulo entre las líneas rectas y.

No es casualidad que haya ordenado las tareas en este orden. Si bien aún no has comenzado a navegar por el método de coordenadas, yo mismo analizaré las figuras más "problemáticas" y te dejaré ocuparte del cubo más simple. Poco a poco tendrás que aprender a trabajar con todas las figuras, iré aumentando la complejidad de las tareas de un tema a otro.

Empecemos a resolver problemas:

1. Dibuja un tetraedro, colócalo en el sistema de coordenadas como sugerí antes. Como el tetraedro es regular, todas sus caras (incluida la base) son triángulos regulares. Como no nos dan la longitud del lado, puedo considerarla igual. ¿Creo que entiendes que el ángulo en realidad no dependerá de cuánto esté “estirado” nuestro tetraedro? También dibujaré la altura y la mediana en el tetraedro. En el camino dibujaré su base (también nos será útil).

Necesito encontrar el ángulo entre y. ¿Qué sabemos? Sólo conocemos la coordenada del punto. Esto significa que necesitamos encontrar las coordenadas de los puntos. Ahora pensamos: un punto es el punto de intersección de las altitudes (o bisectrices o medianas) del triángulo. Y un punto es un punto elevado. El punto es la mitad del segmento. Luego finalmente necesitamos encontrar: las coordenadas de los puntos: .

Empecemos por lo más sencillo: las coordenadas de un punto. Mire la figura: está claro que la aplicación de un punto es igual a cero (el punto se encuentra en el plano). Su ordenada es igual (ya que es la mediana). Es más difícil encontrar su abscisa. Sin embargo, esto se hace fácilmente basándose en el teorema de Pitágoras: considere un triángulo. Su hipotenusa es igual y uno de sus catetos es igual Entonces:

Finalmente tenemos: .

Ahora busquemos las coordenadas del punto. Está claro que su aplicada es nuevamente igual a cero, y su ordenada es la misma que la de un punto, es decir. Encontremos su abscisa. Esto se hace de manera bastante trivial si recuerdas que alturas triángulo equilátero el punto de intersección se divide en proporción, contando desde arriba. Dado que: , entonces la abscisa requerida del punto, igual a la longitud del segmento, es igual a: . Así, las coordenadas del punto son:

Encontremos las coordenadas del punto. Está claro que su abscisa y ordenada coinciden con la abscisa y ordenada del punto. Y la aplicación es igual a la longitud del segmento. - este es uno de los catetos del triángulo. La hipotenusa de un triángulo es un segmento, un cateto. Se busca por motivos que he resaltado en negrita:

El punto es la mitad del segmento. Luego debemos recordar la fórmula para las coordenadas del punto medio del segmento:

Eso es todo, ahora podemos buscar las coordenadas de los vectores directores:

Bueno, todo está listo: sustituimos todos los datos en la fórmula:

De este modo,

Respuesta:

No debería asustarse por respuestas tan “aterradoras”: para las tareas C2 esta es una práctica común. Preferiría sorprenderme con la "hermosa" respuesta de esta parte. Además, como habrás notado, prácticamente no recurrí a nada más que al teorema de Pitágoras y la propiedad de las alturas de un triángulo equilátero. Es decir, para resolver el problema estereométrico, utilicé el mínimo de estereometría. La ganancia en esto se “extingue” parcialmente mediante cálculos bastante engorrosos. ¡Pero son bastante algorítmicos!

2. Representemos una pirámide hexagonal regular junto con el sistema de coordenadas, así como su base:

Necesitamos encontrar el ángulo entre las líneas y. Así, nuestra tarea se reduce a encontrar las coordenadas de los puntos: . Las coordenadas de los tres últimos las encontraremos mediante un pequeño dibujo, y la coordenada del vértice la encontraremos a través de la coordenada del punto. ¡Hay mucho trabajo por hacer, pero tenemos que empezar!

a) Coordenada: queda claro que su aplicada y ordenada son iguales a cero. Encontremos la abscisa. Para hacer esto, considere un triángulo rectángulo. Por desgracia, en él solo conocemos la hipotenusa, que es igual. Intentaremos encontrar el cateto (pues está claro que el doble de longitud del cateto nos dará la abscisa del punto). ¿Cómo podemos buscarlo? ¿Recordemos qué tipo de figura tenemos en la base de la pirámide? Este es un hexágono regular. ¿Qué significa? Esto significa que todos los lados y todos los ángulos son iguales. Necesitamos encontrar uno de esos ángulos. ¿Algunas ideas? Hay muchas ideas, pero hay una fórmula:

La suma de los ángulos de un n-gón regular es .

Por tanto, la suma de los ángulos de un hexágono regular es igual a grados. Entonces cada uno de los ángulos es igual a:

Miremos la imagen nuevamente. Está claro que el segmento es la bisectriz del ángulo. Entonces el ángulo es igual a grados. Entonces:

Entonces de dónde.

Por tanto, tiene coordenadas

b) Ahora podemos encontrar fácilmente la coordenada del punto: .

c) Encuentra las coordenadas del punto. Como su abscisa coincide con la longitud del segmento, es igual. Encontrar la ordenada tampoco es muy difícil: si conectamos los puntos y designamos el punto de intersección de la línea como, digamos, . (Hágalo usted mismo construcción simple). Entonces, la ordenada del punto B es igual a la suma de las longitudes de los segmentos. Miremos el triángulo nuevamente. Entonces

Entonces desde Entonces el punto tiene coordenadas

d) Ahora busquemos las coordenadas del punto. Considere el rectángulo y demuestre que Por tanto, las coordenadas del punto son:

e) Queda por encontrar las coordenadas del vértice. Está claro que su abscisa y ordenada coinciden con la abscisa y ordenada del punto. Busquemos la aplicación. Desde entonces. Considere un triángulo rectángulo. Según las condiciones del problema, un borde lateral. Esta es la hipotenusa de mi triángulo. Entonces la altura de la pirámide es un cateto.

Entonces el punto tiene coordenadas:

Bueno, eso es todo, tengo las coordenadas de todos los puntos que me interesan. Busco las coordenadas de los vectores directores de rectas:

Buscamos el ángulo entre estos vectores:

Respuesta:

Nuevamente, para resolver este problema no utilicé ninguna técnica sofisticada excepto la fórmula para la suma de los ángulos de un n-gón regular, así como la definición del coseno y el seno de un triángulo rectángulo.

3. Como nuevamente no se nos dan las longitudes de las aristas de la pirámide, las consideraré iguales a uno. Por lo tanto, dado que TODAS las aristas, y no solo las laterales, son iguales entre sí, entonces en la base de la pirámide y en mí hay un cuadrado, y las caras laterales son triángulos regulares. Dibujemos dicha pirámide, así como su base en un plano, anotando todos los datos dados en el texto del problema:

Buscamos el ángulo entre y. Haré cálculos muy breves cuando busque las coordenadas de los puntos. Necesitará “descifrarlos”:

b) - la mitad del segmento. Sus coordenadas:

c) Encontraré la longitud del segmento usando el teorema de Pitágoras en un triángulo. Puedo encontrarlo usando el teorema de Pitágoras en un triángulo.

Coordenadas:

d) - la mitad del segmento. Sus coordenadas son

e) Coordenadas vectoriales

f) Coordenadas vectoriales

g) Buscando el ángulo:

Un cubo es la figura más simple. Estoy seguro de que lo descubrirás por tu cuenta. Las respuestas a los problemas 4 y 5 son las siguientes:

Encontrar el ángulo entre una línea recta y un plano

Bueno, ¡se acabó el tiempo de los acertijos simples! Ahora los ejemplos serán aún más complicados. Para encontrar el ángulo entre una recta y un plano procederemos de la siguiente manera:

1. Usando tres puntos construimos una ecuación del plano.
   ,
   utilizando un determinante de tercer orden.
2. Utilizando dos puntos buscamos las coordenadas del vector director de la recta:
3. Aplicamos la fórmula para calcular el ángulo entre una recta y un plano:

Como puedes ver, esta fórmula es muy similar a la que usamos para encontrar ángulos entre dos líneas rectas. La estructura del lado derecho es simplemente la misma, y ​​en el izquierdo ahora buscamos el seno, no el coseno como antes. Bueno, se agregó una acción desagradable: buscar la ecuación del avión.

No procrastinemos ejemplos de solución:

1. El prisma directo principal, pero va-ni-em, somos un triángulo igual a pobre. Encuentra el ángulo entre la recta y el plano.

2. En un par-ral-le-le-pi-pe-de rectangular desde el oeste Encuentra el ángulo entre la recta y el plano.

3. En un prisma recto de seis esquinas, todas las aristas son iguales. Encuentra el ángulo entre la recta y el plano.

4. En el pi-r-mi-de triangular derecho con el os-no-va-ni-em de las costillas conocidas Encuentra una esquina, ob-ra-zo-van -plana en la base y recta, pasando por el gris costillas y

5. Las longitudes de todas las aristas de una pi-ra-mi-dy cuadrangular recta con vértice son iguales entre sí. Encuentra el ángulo entre la línea recta y el plano si el punto está en el lado del borde de la pirámide.

Nuevamente, resolveré los dos primeros problemas en detalle, el tercero brevemente y dejaré los dos últimos para que los resuelvas por tu cuenta. Además, ya habéis tenido que lidiar con pirámides triangulares y cuadrangulares, pero todavía no con prismas.

Soluciones:

1. Representemos un prisma, así como su base. Combinémoslo con el sistema de coordenadas y anotemos todos los datos que se dan en el planteamiento del problema:

Pido disculpas por algún incumplimiento de las proporciones, pero esto, de hecho, no es tan importante para resolver el problema. La planitud es simplemente " pared posterior"de mi prisma. Basta simplemente adivinar que la ecuación de dicho plano tiene la forma:

Sin embargo, esto se puede mostrar directamente:

Elijamos tres puntos arbitrarios en este plano: por ejemplo, .

Creemos la ecuación del avión:

Ejercicio para usted: calcule usted mismo este determinante. ¿Tuviste éxito? Entonces la ecuación del avión queda así:

O simplemente

De este modo,

Para resolver el ejemplo, necesito encontrar las coordenadas del vector director de la recta. Como el punto coincide con el origen de coordenadas, las coordenadas del vector simplemente coincidirán con las coordenadas del punto, para ello primero encontramos las coordenadas del punto.

Para hacer esto, considere un triángulo. Dibujemos la altura (también conocida como mediana y bisectriz) desde el vértice. Desde entonces, la ordenada del punto es igual a. Para encontrar la abscisa de este punto, necesitamos calcular la longitud del segmento. Según el teorema de Pitágoras tenemos:

Entonces el punto tiene coordenadas:

Un punto es un punto "elevado":

Entonces las coordenadas vectoriales son:

Respuesta:

Como puede ver, no hay nada fundamentalmente complicado a la hora de resolver este tipo de problemas. De hecho, el proceso se simplifica un poco más por la “rectitud” de una figura como un prisma. Ahora pasemos al siguiente ejemplo:

2. Dibuja un paralelepípedo, dibuja en él un plano y una línea recta, y también dibuja por separado su base inferior:

Primero encontramos la ecuación del plano: Las coordenadas de los tres puntos que se encuentran en él:

(Las dos primeras coordenadas se obtienen de forma obvia y puedes encontrar fácilmente la última coordenada en la imagen del punto). Luego componemos la ecuación del avión:

Calculamos:

Buscamos las coordenadas del vector guía: Está claro que sus coordenadas coinciden con las coordenadas del punto, ¿no? ¿Cómo encontrar coordenadas? ¡Estas son las coordenadas del punto, elevadas en uno a lo largo del eje de aplicación! . Luego buscamos el ángulo deseado:

Respuesta:

3. Dibuja una pirámide hexagonal regular y luego dibuja un plano y una línea recta en ella.

Aquí incluso es problemático dibujar un plano, sin mencionar resolver este problema, ¡pero al método de coordenadas no le importa! ¡Su versatilidad es su principal ventaja!

El avión pasa por tres puntos: . Buscamos sus coordenadas:

1). Descubra usted mismo las coordenadas de los dos últimos puntos. ¡Necesitarás resolver el problema de la pirámide hexagonal para esto!

2) Construimos la ecuación del avión:

Buscamos las coordenadas del vector: . (¡Vea nuevamente el problema de la pirámide triangular!)

3) Buscando un ángulo:

Respuesta:

Como puedes ver, no hay nada sobrenaturalmente difícil en estas tareas. Sólo hay que tener mucho cuidado con las raíces. Sólo daré respuestas a los dos últimos problemas:

Como puede ver, la técnica para resolver problemas es la misma en todas partes: la tarea principal es encontrar las coordenadas de los vértices y sustituirlas en determinadas fórmulas. Todavía tenemos que considerar una clase más de problemas para calcular ángulos, a saber:

Calcular ángulos entre dos planos.

El algoritmo de solución será el siguiente:

1. Utilizando tres puntos buscamos la ecuación del primer plano:
2. Utilizando los otros tres puntos buscamos la ecuación del segundo plano:
3. Aplicamos la fórmula:

Como ves, la fórmula es muy similar a las dos anteriores, con la que buscamos ángulos entre rectas y entre recta y plano. Así que no te resultará difícil recordar este. Pasemos al análisis de las tareas:

1. El lado de la base del prisma triangular rectángulo es igual y la diagonal de la cara lateral es igual. Encuentra el ángulo entre el plano y el plano del eje del prisma.

2. En la pi-r-mi-de de cuatro esquinas derecha, cuyos bordes son iguales, encuentre el seno del ángulo entre el plano y el hueso plano, pasando por el punto per-pen-di-ku- mentiroso, pero recto.

3. En un prisma regular de cuatro esquinas, los lados de la base son iguales y los bordes laterales son iguales. Hay un punto en el borde de-me-che-on para que. Encuentra el ángulo entre los planos y

4. En un prisma cuadrangular recto, los lados de la base son iguales y los bordes laterales son iguales. Hay un punto en el borde desde el punto para que Encuentre el ángulo entre los planos y.

5. En un cubo, encuentre el coseno del ángulo entre los planos y

Soluciones de problemas:

1. Dibujo un prisma triangular regular (un triángulo equilátero en la base) y marco en él los planos que aparecen en el planteamiento del problema:

Necesitamos encontrar las ecuaciones de dos planos: La ecuación de la base es trivial: puedes componer el determinante correspondiente usando tres puntos, pero yo haré la ecuación de inmediato:

Ahora encontremos la ecuación El punto tiene coordenadas Punto: dado que es la mediana y la altitud del triángulo, se encuentra fácilmente usando el teorema de Pitágoras en el triángulo. Entonces el punto tiene coordenadas: Encontremos la aplicación del punto. Para ello, consideremos un triángulo rectángulo.

Luego obtenemos las siguientes coordenadas: Componemos la ecuación del plano.

Calculamos el ángulo entre los planos:

Respuesta:

2. Hacer un dibujo:

Lo más difícil es entender qué tipo de plano misterioso es este, que pasa perpendicularmente por el punto. Bueno, lo principal es, ¿qué es? ¡Lo principal es la atención! De hecho, la línea es perpendicular. La recta también es perpendicular. Entonces el plano que pasa por estas dos rectas será perpendicular a la recta y, por cierto, pasará por el punto. Este plano también pasa por la cima de la pirámide. Entonces el avión deseado - Y el avión ya nos lo han entregado. Buscamos las coordenadas de los puntos.

Encontramos la coordenada del punto que pasa por el punto. Del pequeño dibujo es fácil deducir que las coordenadas del punto serán las siguientes: ¿Qué queda ahora por encontrar para encontrar las coordenadas de la cima de la pirámide? También necesitas calcular su altura. Esto se hace usando el mismo teorema de Pitágoras: primero demuestra eso (trivialmente a partir de pequeños triángulos que forman un cuadrado en la base). Ya que por condición tenemos:

Ahora todo está listo: coordenadas de vértice:

Componemos la ecuación del avión:

Ya eres un experto en el cálculo de determinantes. Sin dificultad recibirás:

O en caso contrario (si multiplicamos ambos lados por la raíz de dos)

Ahora encontremos la ecuación del avión:

(No has olvidado cómo obtenemos la ecuación de un avión, ¿verdad? Si no entiendes de dónde viene este menos uno, ¡vuelve a la definición de la ecuación de un avión! Siempre resultaba antes de eso. ¡Mi avión pertenecía al origen de coordenadas!)

Calculamos el determinante:

(¡Puedes notar que la ecuación del plano coincide con la ecuación de la recta que pasa por los puntos y! ¡Piensa por qué!)

Ahora calculemos el ángulo:

Necesitamos encontrar el seno:

Respuesta:

3. Pregunta capciosa: ¿qué crees que es un prisma rectangular? ¡Esto es sólo un paralelepípedo que conoces bien! ¡Hagamos un dibujo ahora mismo! Ni siquiera es necesario representar la base por separado, aquí es de poca utilidad:

El plano, como señalamos anteriormente, se escribe en forma de ecuación:

Ahora creemos un avión.

Inmediatamente creamos la ecuación del avión:

Buscando un ángulo:

Ahora las respuestas a los dos últimos problemas:

Bueno, ahora es el momento de tomarnos un pequeño descanso, ¡porque tú y yo somos geniales y hemos hecho un gran trabajo!

Coordenadas y vectores. Nivel avanzado

En este artículo discutiremos contigo otra clase de problemas que se pueden resolver usando el método de coordenadas: los problemas de cálculo de distancias. Es decir, consideraremos los siguientes casos:

1. Cálculo de la distancia entre líneas que se cruzan.

He ordenado estas tareas en orden de dificultad creciente. Resulta ser más fácil de encontrar. distancia de un punto a un plano, y lo más difícil es encontrar distancia entre líneas que se cruzan. Aunque claro, ¡nada es imposible! No pospongamos las cosas y pasemos inmediatamente a considerar la primera clase de problemas:

Calcular la distancia de un punto a un plano.

¿Qué necesitamos para solucionar este problema?

1. Coordenadas de puntos

Entonces, tan pronto como recibamos todos los datos necesarios, aplicamos la fórmula:

Ya deberías saber cómo construimos la ecuación de un plano a partir de los problemas anteriores que hablé en la última parte. Vayamos directamente a las tareas. El esquema es el siguiente: 1, 2 - Te ayudo a decidir, y con cierto detalle, 3, 4 - solo la respuesta, tú mismo resuelves y comparas. ¡Empecemos!

Tareas:

1. Dado un cubo. La longitud de las aristas del cubo es igual. Encuentra la distancia desde el se-re-di-na desde el corte hasta el plano.

2. Dado el pi-ra-mi-sí de cuatro carbones derecho, el lado del lado es igual a la base. Encuentre la distancia desde el punto al plano donde - se-re-di-en los bordes.

3. En el triángulo recto pi-r-mi-de con el os-no-va-ni-em, el borde lateral es igual y el cien-ro-en el os-no-va-nia es igual. Calcula la distancia desde la cima al avión.

4. En un prisma hexagonal rectángulo, todas las aristas son iguales. Calcula la distancia de un punto a un plano.

Soluciones:

1. Dibuja un cubo con aristas simples, construye un segmento y un plano, indica el medio del segmento con una letra.

.

Primero, comencemos con lo fácil: encontrar las coordenadas del punto. Desde entonces (¡recuerda las coordenadas de la mitad del segmento!)

Ahora componemos la ecuación del avión usando tres puntos.

\[\izquierda| (\begin(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(array)) \right| = 0\]

Ahora puedo empezar a encontrar la distancia:

2. ¡Empezamos de nuevo con un dibujo en el que marcamos todos los datos!

Para una pirámide, sería útil dibujar su base por separado.

¡Incluso el hecho de que dibujo como un pollo con su pata no nos impedirá resolver este problema con facilidad!

Ahora es fácil encontrar las coordenadas de un punto.

Dado que las coordenadas del punto, entonces

2. Dado que las coordenadas del punto a son la mitad del segmento, entonces

Sin problemas podemos encontrar las coordenadas de dos puntos más del plano, creamos una ecuación para el plano y la simplificamos:

\[\izquierda| (\left| (\begin(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \right|) \right| = 0\]

Como el punto tiene coordenadas: , calculamos la distancia:

Respuesta (¡muy rara!):

Bueno, ¿lo descubriste? Me parece que aquí todo es tan técnico como en los ejemplos que vimos en la parte anterior. Así que estoy seguro de que si dominas ese material, entonces no te resultará difícil resolver los dos problemas restantes. Sólo te daré las respuestas:

Calcular la distancia de una línea recta a un plano

De hecho, no hay nada nuevo aquí. ¿Cómo se pueden posicionar una línea recta y un plano entre sí? Sólo tienen una posibilidad: cruzarse, o ser una recta paralela al plano. ¿Cuál crees que es la distancia de una línea recta al plano con el que se cruza esta línea recta? Me parece que aquí está claro que esa distancia es igual a cero. No es un caso interesante.

El segundo caso es más complicado: aquí la distancia ya es distinta de cero. Sin embargo, como la recta es paralela al plano, entonces cada punto de la recta equidista de este plano:

De este modo:

Esto significa que mi tarea se ha reducido a la anterior: buscamos las coordenadas de cualquier punto en línea recta, buscamos la ecuación del plano y calculamos la distancia del punto al plano. De hecho, estas tareas son extremadamente raras en el Examen Estatal Unificado. ¡Logré encontrar solo un problema y los datos que contenía eran tales que el método de coordenadas no era muy aplicable!

Pasemos ahora a otra clase de problemas mucho más importante:

Calcular la distancia de un punto a una recta

¿Qué necesitamos?

1. Coordenadas del punto desde el que buscamos la distancia:

2. Coordenadas de cualquier punto que se encuentre sobre una línea.

3. Coordenadas del vector director de la recta.

¿Qué fórmula utilizamos?

Deberías tener claro lo que significa el denominador de esta fracción: esta es la longitud del vector director de la línea recta. ¡Este es un numerador muy complicado! La expresión significa el módulo (longitud) del producto vectorial de vectores y Cómo calcular el producto vectorial, lo estudiamos en la parte anterior del trabajo. Actualice sus conocimientos, ¡los necesitaremos mucho ahora!

Así, el algoritmo para la resolución de problemas será el siguiente:

1. Buscamos las coordenadas del punto desde el que buscamos la distancia:

2. Buscamos las coordenadas de cualquier punto de la recta al que buscamos la distancia:

3. Construye un vector

4. Construya un vector director de una línea recta.

5. Calcula el producto vectorial.

6. Buscamos la longitud del vector resultante:

7. Calcula la distancia:

¡Tenemos mucho trabajo por hacer y los ejemplos serán bastante complejos! ¡Así que ahora centra toda tu atención!

1. Dada una pi-r-mi-da triangular recta con cima. El cien-ro-sobre la base del pi-ra-mi-dy es igual, ustedes son iguales. Encuentra la distancia desde el borde gris hasta la línea recta, donde los puntos y son los bordes grises y desde veterinaria.

2. Las longitudes de las nervaduras y el ángulo recto-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da son iguales en consecuencia y encuentre la distancia desde la parte superior hasta la línea recta.

3. En un prisma hexagonal rectángulo, todas las aristas son iguales, encuentra la distancia de un punto a una línea recta.

Soluciones:

1. Hacemos un dibujo cuidado en el que marcamos todos los datos:

¡Tenemos mucho trabajo por hacer! Primero, me gustaría describir con palabras qué buscaremos y en qué orden:

1. Coordenadas de puntos y

2. Coordenadas de puntos

3. Coordenadas de puntos y

4. Coordenadas de vectores y

5. Su producto cruzado

6. Longitud del vector

7. Longitud del producto vectorial

8. Distancia de a

Bueno, ¡tenemos mucho trabajo por delante! ¡Vamos a ello con las mangas arremangadas!

1. Para encontrar las coordenadas de la altura de la pirámide, necesitamos saber las coordenadas del punto. Su aplicada es cero y su ordenada es igual a su abscisa es igual a la longitud del segmento. Dado que es la altura de un triángulo equilátero, se divide en la proporción, contando desde el vértice, desde aquí. Finalmente obtuvimos las coordenadas:

Coordenadas de puntos

2.- mitad del segmento

3.- mitad del segmento

Punto medio del segmento

4.Coordenadas

Coordenadas vectoriales

5. Calcula el producto vectorial:

6. Longitud del vector: la forma más sencilla de reemplazar es que el segmento sea la línea media del triángulo, lo que significa que es igual a la mitad de la base. Entonces.

7. Calcule la longitud del producto vectorial:

8. Finalmente, encontramos la distancia:

¡Uf, eso es todo! Te lo diré honestamente: resolver este problema usando métodos tradicionales (mediante la construcción) sería mucho más rápido. ¡Pero aquí reduje todo a un algoritmo ya preparado! ¿Creo que el algoritmo de solución te resulta claro? Por lo tanto, le pediré que resuelva usted mismo los dos problemas restantes. ¿Comparemos las respuestas?

Nuevamente repito: es más fácil (más rápido) resolver estos problemas mediante construcciones, que recurrir al método de coordenadas. Demostré este método de solución sólo para mostrarles un método universal que les permite "no terminar de construir nada".

Finalmente, considere la última clase de problemas:

Calcular la distancia entre líneas que se cruzan

Aquí el algoritmo de resolución de problemas será similar al anterior. Que tenemos:

3. Cualquier vector que conecte los puntos de la primera y segunda línea:

¿Cómo encontramos la distancia entre líneas?

La fórmula es la siguiente:

El numerador es el módulo del producto mixto (lo introdujimos en la parte anterior), y el denominador es, como en la fórmula anterior (el módulo del producto vectorial de los vectores directores de las rectas, la distancia entre las cuales estan buscando).

te recordaré que

Entonces la fórmula para la distancia se puede reescribir como:

¡Este es un determinante dividido por un determinante! Aunque, para ser honesto, ¡aquí no tengo tiempo para bromas! De hecho, esta fórmula es muy engorrosa y conduce a cálculos bastante complejos. ¡Si yo fuera usted, recurriría a ello sólo como último recurso!

Intentemos resolver algunos problemas usando el método anterior:

1. En un prisma triangular rectángulo, cuyos bordes son iguales, encuentre la distancia entre las líneas rectas y.

2. Dado un prisma triangular rectángulo, todas las aristas de la base son iguales a la sección que pasa por la nervadura del cuerpo y las nervaduras se-re-di-well son un cuadrado. Encuentra la distancia entre las rectas y

¡Yo decido lo primero, y en base a ello, tú decides lo segundo!

1. Dibujo un prisma y marco líneas rectas y

Coordenadas del punto C: entonces

Coordenadas de puntos

Coordenadas vectoriales

Coordenadas de puntos

Coordenadas vectoriales

Coordenadas vectoriales

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \right) = \left| (\begin(array)(*(20)(l))(\begin(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\begin(array)(*(20) (c))0&0&1\end(array))\\(\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \right| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Calculamos el producto vectorial entre vectores y

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \left| \begin(array)(l)\begin(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(array)\\\begin(array )(*(20)(c))0&0&1\end(array)\\\begin(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

Ahora calculamos su longitud:

Respuesta:

Ahora intenta completar la segunda tarea con cuidado. La respuesta será: .

Coordenadas y vectores. Breve descripción y fórmulas básicas.

Un vector es un segmento dirigido. - el comienzo del vector, - el final del vector.
Un vector se denota por o.

Valor absoluto vector: la longitud del segmento que representa el vector. Denotado como.

Coordenadas vectoriales:

,
¿Dónde están los extremos del vector \displaystyle a ?

Suma de vectores: .

Producto de vectores:

Producto escalar de vectores:

El producto escalar de vectores es igual a su producto. valores absolutos por el coseno del ángulo entre ellos:

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También habrá problemas que podrás resolver por tu cuenta, de los cuales podrás ver las respuestas.

Concepto vectorial

Antes de aprender todo sobre los vectores y sus operaciones, prepárese para resolver un problema simple. Hay un vector de tu emprendimiento y un vector de tus habilidades innovadoras. El vector del espíritu empresarial te lleva al Objetivo 1 y el vector de las habilidades innovadoras te lleva al Objetivo 2. Las reglas del juego son tales que no puedes moverte en las direcciones de estos dos vectores a la vez y lograr dos objetivos a la vez. Los vectores interactúan o, hablando en lenguaje matemático, se realiza alguna operación sobre los vectores. El resultado de esta operación es el vector “Resultado”, que le lleva al Objetivo 3.

Ahora dígame: ¿el resultado de qué operación sobre los vectores “Emprendimiento” y “Habilidades innovadoras” es el vector “Resultado”? Si no puede saberlo de inmediato, no se desanime. A medida que avance en esta lección, podrá responder esta pregunta.

Como ya hemos visto anteriormente, el vector necesariamente proviene de un punto determinado. A en línea recta hasta algún punto B. En consecuencia, cada vector no sólo tiene un valor numérico (longitud), sino también un valor físico y geométrico: dirección. De aquí surge la primera y más simple definición de vector. Entonces, un vector es un segmento dirigido que viene de un punto. A al punto B. Se designa de la siguiente manera: .

Y para empezar varios operaciones con vectores , necesitamos familiarizarnos con otra definición de vector.

Un vector es un tipo de representación de un punto al que se debe llegar desde algún punto de partida. Por ejemplo, un vector tridimensional generalmente se escribe como (x, y, z) . En términos muy simples, estos números significan qué tan lejos debes caminar en tres direcciones diferentes para llegar a un punto.

Sea un vector dado. Donde X = 3 (la mano derecha apunta a la derecha), y = 1 (la mano izquierda apunta hacia adelante) z = 5 (debajo del punto hay una escalera que conduce hacia arriba). Con estos datos encontrarás un punto caminando 3 metros en la dirección que indica tu mano derecha, luego 1 metro en la dirección que indica tu mano izquierda, luego te espera una escalera y subiendo 5 metros finalmente encontrarás usted mismo en el punto final.

Todos los demás términos son aclaraciones de la explicación presentada anteriormente, necesarias para diversas operaciones con vectores, es decir, para resolver problemas prácticos. Repasemos estas definiciones más rigurosas, centrándonos en los problemas vectoriales típicos.

Ejemplos fisicos Las cantidades vectoriales pueden ser el desplazamiento de un punto material que se mueve en el espacio, la velocidad y aceleración de este punto, así como la fuerza que actúa sobre él.

vector geométrico presentado en un espacio bidimensional y tridimensional en la forma segmento direccional. Este es un segmento que tiene un principio y un final.

Si A- el comienzo del vector, y B- su final, entonces el vector se indica con el símbolo o una letra minúscula . En la figura, el final del vector está indicado por una flecha (Fig.1)

Longitud(o módulo) de un vector geométrico es la longitud del segmento que lo genera

Los dos vectores se llaman igual , si se pueden combinar (si las direcciones coinciden) mediante transferencia paralela, es decir si son paralelos, están dirigidos en la misma dirección y tienen longitudes iguales.

En física a menudo se considera vectores pinned, especificado por el punto de aplicación, longitud y dirección. Si el punto de aplicación del vector no importa, entonces se puede transferir, manteniendo su longitud y dirección, a cualquier punto del espacio. En este caso, el vector se llama gratis. Aceptaremos considerar sólo vectores gratis.

Operaciones lineales sobre vectores geométricos.

Multiplicar un vector por un número

Producto de un vector por numero es un vector que se obtiene de un vector estirando (en) o comprimiendo (en) por un factor, y la dirección del vector sigue siendo la misma si, y cambia a la opuesta si. (Figura 2)

De la definición se deduce que los vectores y = siempre están ubicados en una o líneas paralelas. Estos vectores se llaman colineal. (También podemos decir que estos vectores son paralelos, pero en álgebra vectorial se acostumbra decir “colineales”.) Lo contrario también es cierto: si los vectores son colineales, entonces están relacionados por la relación

En consecuencia, la igualdad (1) expresa la condición de colinealidad de dos vectores.

Suma y resta de vectores.

Al sumar vectores necesitas saber que cantidad vectores y se llama vector, cuyo comienzo coincide con el comienzo del vector y el final con el final del vector, siempre que el comienzo del vector esté unido al final del vector. (Fig. 3)

Esta definición se puede distribuir sobre cualquier número finito de vectores. Que se den en el espacio. norte vectores gratis. Al sumar varios vectores, su suma se toma como el vector de cierre, cuyo comienzo coincide con el comienzo del primer vector y el final con el final del último vector. Es decir, si adjunta el comienzo del vector al final del vector y el comienzo del vector al final del vector, etc. y, finalmente, hasta el final del vector, el comienzo del vector, luego la suma de estos vectores es el vector de cierre , cuyo comienzo coincide con el comienzo del primer vector y el final, con el final del último vector. (Figura 4)

Los términos se llaman componentes del vector y la regla formulada es regla del polígono. Es posible que este polígono no sea plano.

Cuando se multiplica un vector por el número -1, se obtiene el vector opuesto. Los vectores y tienen las mismas longitudes y direcciones opuestas. Su suma da vector cero, cuya longitud es cero. La dirección del vector cero no está definida.

En álgebra vectorial, no es necesario considerar la operación de resta por separado: restar un vector de un vector significa sumar el vector opuesto al vector, es decir,

Ejemplo 1. Simplifica la expresión:

.

,

es decir, los vectores se pueden sumar y multiplicar por números de la misma forma que los polinomios (en particular, también problemas de simplificación de expresiones). Normalmente, surge la necesidad de simplificar expresiones linealmente similares con vectores antes de calcular los productos de los vectores.

Ejemplo 2. Los vectores y sirven como diagonales del paralelogramo ABCD (Fig. 4a). Expresa mediante y los vectores , , y , que son los lados de este paralelogramo.

Solución. El punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo biseca cada diagonal. Encontramos las longitudes de los vectores requeridos en el planteamiento del problema como la mitad de las sumas de los vectores que forman un triángulo con los requeridos, o como la mitad de las diferencias (dependiendo de la dirección del vector que sirve como diagonal), o, como en el último caso, la mitad de la suma se toma con un signo menos. El resultado son los vectores requeridos en el planteamiento del problema:

Hay muchas razones para creer que ya ha respondido correctamente a la pregunta sobre los vectores "Emprendimiento" y "Habilidades innovadoras" al comienzo de esta lección. Respuesta correcta: se realiza una operación de suma sobre estos vectores.

Resuelva problemas vectoriales usted mismo y luego observe las soluciones.

¿Cómo encontrar la longitud de la suma de vectores?

Este problema ocupa un lugar especial en las operaciones con vectores, ya que implica el uso de propiedades trigonométricas. Digamos que te encuentras con una tarea como la siguiente:

Las longitudes de los vectores están dadas. y la longitud de la suma de estos vectores. Encuentra la longitud de la diferencia entre estos vectores.

Las soluciones a este y otros problemas similares y las explicaciones de cómo resolverlos se encuentran en la lección " Suma de vectores: longitud de la suma de vectores y teorema del coseno ".

Y puedes consultar la solución a este tipo de problemas en Calculadora en línea "Lado desconocido de un triángulo (suma de vectores y teorema del coseno)" .

¿Dónde están los productos de los vectores?

Los productos vector-vector no son operaciones lineales y se consideran por separado. Y tenemos las lecciones "Producto escalar de vectores" y "Productos vectoriales y mixtos de vectores".

Proyección de un vector sobre un eje

La proyección de un vector sobre un eje es igual al producto de la longitud del vector proyectado por el coseno del ángulo entre el vector y el eje:

Como es sabido, la proyección de un punto A en la línea recta (plano) es la base de la perpendicular que cae desde este punto sobre la línea recta (plano).

Sea un vector arbitrario (Fig.5) y sean las proyecciones de su origen (puntos A) y final (puntos B) por eje yo. (Para construir una proyección de un punto A) dibuja una línea recta que pasa por el punto A un plano perpendicular a una recta. La intersección de la línea y el plano determinará la proyección requerida.

Componente vectorial en el eje l Se llama un vector que se encuentra en este eje, cuyo comienzo coincide con la proyección del principio y el final con la proyección del final del vector.

Proyección del vector sobre el eje. yo número llamado

,

igual a la longitud del vector componente en este eje, tomado con un signo más si la dirección de los componentes coincide con la dirección del eje yo, y con signo menos si estas direcciones son opuestas.

Propiedades básicas de las proyecciones vectoriales sobre un eje:

1. Las proyecciones de vectores iguales sobre el mismo eje son iguales entre sí.

2. Cuando un vector se multiplica por un número, su proyección se multiplica por el mismo número.

3. La proyección de la suma de los vectores sobre cualquier eje es igual a la suma de las proyecciones de los sumandos de los vectores sobre el mismo eje.

4. La proyección del vector sobre el eje es igual al producto de la longitud del vector proyectado por el coseno del ángulo entre el vector y el eje:

.

Solución. Proyectamos vectores sobre el eje. yo como se define en los antecedentes teóricos anteriores. De la Fig. 5a se desprende claramente que la proyección de la suma de vectores es igual a la suma de las proyecciones de vectores. Calculamos estas proyecciones:

Encontramos la proyección final de la suma de vectores:

Relación entre un vector y un sistema de coordenadas cartesiano rectangular en el espacio

Conociendo El sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el espacio tuvo lugar en la lección correspondiente., es recomendable abrirlo en una nueva ventana.

En un sistema ordenado de ejes de coordenadas. 0xyz eje Buey llamado eje x, eje 0 años – eje y y eje 0z – aplicar eje.

Con un punto arbitrario METRO vector de conexión espacial

llamado vector de radio puntos METRO y proyectarlo sobre cada uno de los ejes de coordenadas. Denotemos las magnitudes de las proyecciones correspondientes:

Números x, y, z son llamados coordenadas del punto M, respectivamente abscisa, ordenada Y aplicar, y se escriben como un punto ordenado de números: M(x;y;z)(Figura 6).

Un vector de longitud unitaria cuya dirección coincide con la dirección del eje se llama vector unitario(o ortom) ejes. Denotemos por

En consecuencia, los vectores unitarios de los ejes de coordenadas. Buey, Oye, Onz

Teorema. Cualquier vector se puede expandir en vectores unitarios de ejes de coordenadas:

(2)

La igualdad (2) se llama expansión del vector a lo largo de los ejes de coordenadas. Los coeficientes de esta expansión son las proyecciones del vector sobre los ejes de coordenadas. Por tanto, los coeficientes de expansión (2) del vector a lo largo de los ejes de coordenadas son las coordenadas del vector.

Después de elegir un determinado sistema de coordenadas en el espacio, el vector y el triplete de sus coordenadas se determinan de forma única entre sí, por lo que el vector se puede escribir en la forma

Las representaciones del vector en la forma (2) y (3) son idénticas.

Condición de colinealidad de vectores en coordenadas.

Como ya hemos señalado, los vectores se llaman colineales si están relacionados por la relación

Se dan los vectores. . Estos vectores son colineales si las coordenadas de los vectores están relacionadas por la relación

,

es decir, las coordenadas de los vectores son proporcionales.

Ejemplo 6. Se dan vectores . ¿Son estos vectores colineales?

Solución. Averigüemos la relación entre las coordenadas de estos vectores:

.

Las coordenadas de los vectores son proporcionales, por tanto, los vectores son colineales, o lo que es lo mismo, paralelos.

Cosenos de longitud y dirección del vector

Debido a la perpendicularidad mutua de los ejes de coordenadas, la longitud del vector

igual a la longitud de la diagonal de un paralelepípedo rectangular construido sobre vectores

y se expresa por la igualdad

(4)

Un vector se define completamente especificando dos puntos (inicio y final), por lo que las coordenadas del vector se pueden expresar en términos de las coordenadas de estos puntos.

Sea, en un sistema de coordenadas dado, el origen del vector en el punto

y el final está en el punto

Desde la igualdad

sigue eso

o en forma de coordenadas

Por eso, Las coordenadas del vector son iguales a las diferencias entre las mismas coordenadas del final y el comienzo del vector. . La fórmula (4) en este caso tomará la forma

La dirección del vector está determinada. cosenos de dirección . Estos son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes Buey, Oye Y Onz. Denotemos estos ángulos en consecuencia. α , β Y γ . Entonces los cosenos de estos ángulos se pueden encontrar usando las fórmulas

Los cosenos directores de un vector también son las coordenadas del vector de ese vector y, por tanto, del vector del vector.

.

Considerando que la longitud del vector unitario es igual a una unidad, es decir

,

obtenemos la siguiente igualdad para cosenos directores:

Ejemplo 7. Encuentra la longitud del vector. X = (3; 0; 4).

Solución. La longitud del vector es

Ejemplo 8. Puntos otorgados:

Descubre si el triángulo construido sobre estos puntos es isósceles.

Solución. Usando la fórmula de longitud del vector (6), encontramos las longitudes de los lados y determinamos si hay dos iguales entre ellos:

Dos lados iguales se encontraron, por lo tanto no es necesario buscar la longitud del tercer lado, y el triángulo dado es isósceles.

Ejemplo 9. Encuentre la longitud del vector y sus cosenos directores si .

Solución. Las coordenadas vectoriales están dadas:

.

La longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las coordenadas del vector:

.

Encontrar cosenos directores:

Resuelva el problema del vector usted mismo y luego mire la solución.

Operaciones con vectores dados en forma de coordenadas.

Sean dos vectores y estén dados, definidos por sus proyecciones:

Indiquemos acciones sobre estos vectores.

Fecha de creación: 2009-04-11 15:25:51
Última edición: 2012-02-08 09:19:45

Durante mucho tiempo no quise escribir. Este artículo- Pensé en cómo presentar el material. También necesitas hacer dibujos. Pero, al parecer, hoy las estrellas se han alineado bien y habrá un artículo sobre vectores. Aunque esto es sólo un borrador. En el futuro, dividiré este artículo en varios: material suficiente. Además, el artículo mejorará gradualmente: le haré cambios, porque... No podrás cubrir todos los aspectos de una sola vez.

Los vectores se introdujeron en las matemáticas en el siglo XIX para describir cantidades que eran difíciles de describir utilizando valores escalares.

Los vectores se utilizan intensivamente en el desarrollo. juegos de computadora. Se utilizan no sólo tradicionalmente, para describir cantidades como la fuerza o la velocidad, sino también en áreas que parecen no tener nada que ver con los vectores: almacenar color, crear sombras.

Escalares y vectores

Primero, déjame recordarte qué es un escalar y en qué se diferencia de un vector.

Los valores escalares almacenan alguna cantidad: masa, volumen. Es decir, es una entidad que se caracteriza por un solo número (por ejemplo, la cantidad de algo).

Un vector, a diferencia de un escalar, se describe utilizando dos valores: magnitud y dirección.

Una diferencia importante entre vectores y coordenadas: ¡los vectores no están vinculados a una ubicación específica! Una vez más, lo principal en un vector es su longitud y dirección.

Un vector se indica mediante una letra en negrita del alfabeto latino. Por ejemplo: a, b, v.

En la primera figura puedes ver cómo se designa un vector en un plano.

Vectores en el espacio

En el espacio, los vectores se pueden expresar mediante coordenadas. Pero primero necesitamos introducir un concepto:

Vector de radio de un punto

Tomemos algún punto M(2,1) en el espacio. El vector radio de un punto es un vector que comienza en el origen y termina en el punto.

Lo que tenemos aquí no es más que un vector. om. Las coordenadas del inicio del vector son (0,0), las coordenadas del final son (2,1). Denotamos este vector como a.

EN en este caso el vector se puede escribir de la siguiente manera a = <2, 1>. Esta es la forma coordenada del vector. a.

Las coordenadas de un vector se denominan componentes con respecto a los ejes. Por ejemplo, 2 es un componente vectorial. a respecto al eje x.

Veamos nuevamente cuáles son las coordenadas de un punto. La coordenada de un punto (por ejemplo x) es la proyección del punto sobre el eje, es decir la base de una perpendicular trazada desde un punto a un eje. En nuestro ejemplo 2.

Pero volvamos al primer dibujo. Aquí tenemos dos puntos A y B. Sean las coordenadas de los puntos (1,1) y (3,3). Vector v en este caso se puede denotar de la siguiente manera v = <3-1, 3-1>. Un vector que se encuentra en dos puntos en un espacio tridimensional se verá así:

v =

Creo que aquí no hay dificultades.

Multiplicar un vector por un escalar

Un vector se puede multiplicar por valores escalares:

k v = =

En este caso, el valor escalar se multiplica por cada componente del vector.

Si k > 1, entonces el vector aumentará; si k es menor que uno pero mayor que cero, el vector disminuirá en longitud. Si k es menor que cero, entonces el vector cambiará de dirección.

Vectores unitarios

Los vectores unitarios son vectores cuya longitud es igual a uno. Tenga en cuenta que el vector con coordenadas<1,1,1>¡No será igual a uno! Encontrar la longitud de un vector se describe a continuación en el texto.

Existen los llamados vectores unitarios, que son vectores unitarios que coinciden en dirección con los ejes de coordenadas. i- vector unitario del eje x, j- vector unitario del eje y, k- vector unitario del eje z.

Donde i = <1,0,0>, j = <0,1,0>, k = <0,0,1>.

Ahora sabemos qué es la multiplicación de un vector por un escalar y qué son los vectores unitarios. ahora podemos escribir v en forma vectorial.

v=vx i+ v y j+vz k, donde v x , v y , v z son las componentes correspondientes del vector

Suma de vectores

Para comprender completamente la fórmula anterior, es necesario comprender cómo funciona la suma de vectores.

Aquí todo es sencillo. Tomemos dos vectores v1 = y v 2 =

v 1 + v 2 =

Simplemente sumamos los componentes correspondientes de dos vectores.

La diferencia se calcula de la misma forma.

Esto se refiere a la forma matemática. Para completar, vale la pena considerar cómo se verá gráficamente la suma y resta de vectores.

Para sumar dos vectores a+b. Necesitamos alinear el comienzo del vector. b y el final del vector a. Luego, entre el inicio del vector a y el final del vector b dibuja un nuevo vector. Para mayor claridad, vea la segunda imagen (letra “a”).

Para restar vectores, debes combinar los comienzos de dos vectores y dibujar un nuevo vector desde el final del segundo vector hasta el final del primero. La segunda imagen (letra "b") muestra cómo se ve.

Longitud y dirección del vector

Veamos primero la longitud.

La longitud es el valor numérico de un vector, independientemente de la dirección.

La longitud está determinada por la fórmula (para un vector tridimensional):

la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los componentes del vector.

Una fórmula familiar, ¿no? En general, esta es la fórmula para la longitud de un segmento.

La dirección del vector está determinada por los cosenos directores de los ángulos formados entre el vector y los ejes de coordenadas. Para encontrar los cosenos directores se utilizan los componentes y la longitud correspondientes (la imagen aparecerá más adelante).

Representación de vectores en programas.

Puedes representar vectores en programas. diferentes caminos. Tanto con la ayuda de variables ordinarias, lo cual es ineficaz, como con la ayuda de matrices, clases y estructuras.

Vector flotante3 = (1,2,3); // matriz para almacenar un vector struct vector3 // estructura para almacenar vectores ( float x,y,z; );

Las clases nos brindan las mayores oportunidades para almacenar vectores. En las clases podemos describir no sólo el vector en sí (variables), sino también las operaciones vectoriales (funciones).

Producto escalar de vectores

Hay dos tipos de multiplicación de vectores: vectorial y escalar.

Una característica distintiva del producto escalar es que el resultado siempre será un valor escalar, es decir número.

Aquí vale la pena prestar atención a este punto. Si el resultado de esta operación es cero, entonces los dos vectores son perpendiculares: el ángulo entre ellos es de 90 grados. Si el resultado es mayor que cero, el ángulo es menor de 90 grados. Si el resultado es menor que cero, el ángulo es mayor que 90 grados.

Esta operación está representada por la siguiente fórmula:

a · b= a x *b x + a y *b y + a z *b z

El producto escalar es la suma de los productos de los componentes correspondientes de dos vectores. Aquellos. Tomamos las x de dos vectores, las multiplicamos, luego las sumamos al producto de las y y así sucesivamente.

Producto vectorial de vectores

El resultado del producto vectorial de dos vectores será un vector perpendicular a estos vectores.

a X b =

No discutiremos esta fórmula en detalle por ahora. Además, es bastante difícil de recordar. Volveremos a este punto después de familiarizarnos con los determinantes.

Bueno, para el desarrollo general es útil saber que la longitud del vector resultante es igual al área de un paralelogramo construido sobre vectores. a Y b.

Normalización de vectores

Un vector normalizado es un vector cuya longitud es uno.

La fórmula para encontrar un vector normalizado es la siguiente: todos los componentes del vector deben dividirse por su longitud:

v norte= v/|v| =

Epílogo

Como probablemente habrás visto, los vectores no son difíciles de entender. Analizamos una serie de operaciones con vectores.

En los siguientes artículos de la sección "matemáticas" analizaremos matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Todo esto es teoría.

Después de esto, veremos las transformaciones matriciales. Entonces comprenderás la importancia de las matemáticas en la creación de juegos de ordenador. Este tema se convertirá en práctica sobre todos los temas anteriores.

Un concepto como vector se considera en casi todas las ciencias naturales y puede tener significados completamente diferentes, por lo que es imposible dar una definición inequívoca de vector para todas las áreas. Pero intentemos resolverlo. Entonces, ¿qué es un vector?

El concepto de vector en geometría clásica.

Un vector en geometría es un segmento para el cual se indica cuál de sus puntos es el comienzo y cuál es el final. Es decir, en pocas palabras, un segmento dirigido se llama vector.

En consecuencia, se denota un vector (lo que es, discutido anteriormente), así como un segmento, es decir, dos letras mayúsculas del alfabeto latino con la adición de una línea o una flecha que apunta hacia la derecha en la parte superior. También se puede firmar con una letra minúscula (pequeña) del alfabeto latino con una línea o flecha. La flecha siempre apunta hacia la derecha y no cambia según la ubicación del vector.

Por tanto, un vector tiene una dirección y una longitud.

La designación de un vector también contiene su dirección. Esto se expresa como en la siguiente figura.

Cambiar la dirección invierte el valor del vector.

La longitud de un vector es la longitud del segmento a partir del cual se forma. Se denota como módulo de un vector. Esto se muestra en la imagen de abajo.

En consecuencia, un vector cuya longitud es cero es cero. De esto se deduce que el vector cero es un punto y sus puntos inicial y final coinciden.

La longitud de un vector es siempre una cantidad no negativa. En otras palabras, si hay un segmento, entonces necesariamente tiene una cierta longitud o es un punto, entonces su longitud es cero.

El concepto mismo de punto es básico y no tiene definición.

Suma de vectores

Existen fórmulas y reglas especiales para vectores que se pueden utilizar para realizar la suma.

Regla del triángulo. Para sumar vectores según esta regla, basta con combinar el final del primer vector y el comienzo del segundo, mediante traslación paralela, y conectarlos. El tercer vector resultante será igual a la suma de los otros dos.

Regla del paralelogramo. Para sumar usando esta regla, debes dibujar ambos vectores desde un punto y luego dibujar otro vector desde el final de cada uno de ellos. Es decir, el segundo se extraerá del primer vector y el primero del segundo. El resultado es un nuevo punto de intersección y se forma un paralelogramo. Si combinas el punto de intersección de los principios y finales de los vectores, entonces el vector resultante será el resultado de la suma.

La resta se puede hacer de manera similar.

diferencia vectorial

De manera similar a la suma de vectores, también es posible restarlos. Se basa en el principio que se muestra en la siguiente figura.

Es decir, basta con representar el vector restado como un vector opuesto a él y realizar el cálculo utilizando los principios de la suma.

Además, absolutamente cualquier vector distinto de cero se puede multiplicar por cualquier número k, esto cambiará su longitud k veces.

Además de estas, existen otras fórmulas vectoriales (por ejemplo, para expresar la longitud de un vector a través de sus coordenadas).

Ubicación vectorial

Seguramente muchos se han encontrado con un concepto como vector colineal. ¿Qué es la colinealidad?

La colinealidad de vectores es el equivalente al paralelismo de rectas. Si dos vectores se encuentran en líneas paralelas entre sí, o en la misma línea, entonces dichos vectores se llaman colineales.

Dirección. Entre sí, los vectores colineales pueden estar codirigidos o de manera opuesta, esto está determinado por la dirección de los vectores. En consecuencia, si un vector es codireccional con otro, entonces el vector opuesto tiene dirección opuesta.

La primera figura muestra dos vectores con direcciones opuestas y un tercero que no es colineal con ellos.

Después de introducir las propiedades anteriores, es posible definir vectores iguales: estos son vectores que están dirigidos en una dirección y tienen la misma longitud de los segmentos a partir de los cuales se forman.

En muchas ciencias también se utiliza el concepto de radio vector. Un vector de este tipo describe la posición de un punto en el plano con respecto a otro punto fijo (a menudo este es el origen).

Vectores en física

Supongamos que al resolver un problema surge una condición: el cuerpo se mueve a una velocidad de 3 m/s. Esto significa que el cuerpo se mueve con una dirección específica a lo largo de una línea recta, por lo que esta variable será una cantidad vectorial. Para resolver es importante conocer tanto el valor como la dirección, ya que dependiendo de la consideración, la velocidad puede ser de 3 m/s o de -3 m/s.

En general, un vector en física se utiliza para indicar la dirección de una fuerza que actúa sobre un cuerpo y para determinar la resultante.

Cuando estas fuerzas se indican en la figura, se indican mediante flechas con una etiqueta de vector encima. Clásicamente, la longitud de la flecha es igualmente importante; se utiliza para indicar qué fuerza es más fuerte, pero esta es una propiedad secundaria y no se debe confiar en ella.

Vector en álgebra lineal y cálculo.

Los elementos de espacios lineales también se llaman vectores, pero en este caso representan un sistema ordenado de números que describen algunos de los elementos. Por tanto, la dirección en este caso ya no tiene importancia. La definición de vector en geometría clásica y en cálculo es muy diferente.

Proyectando vectores

Vector proyectado: ¿qué es?

Muy a menudo, para un cálculo correcto y conveniente, es necesario expandir un vector ubicado en un espacio bidimensional o tridimensional a lo largo de los ejes de coordenadas. Esta operación es necesaria, por ejemplo, en mecánica a la hora de calcular las fuerzas que actúan sobre un cuerpo. Un vector se utiliza con bastante frecuencia en física.

Para realizar una proyección basta con bajar las perpendiculares del principio y del final del vector a cada uno de los ejes de coordenadas, los segmentos obtenidos en ellos se denominarán proyección del vector sobre el eje.

Para calcular la longitud de una proyección, basta con multiplicar su longitud original por una determinada función trigonométrica, que se obtiene resolviendo un miniproblema. Esencialmente, hay un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa es el vector original, uno de los catetos es la proyección y el otro cateto es la perpendicular caída.

VECTOR
En física y matemáticas, un vector es una cantidad que se caracteriza por su valor numérico y dirección. En física, hay muchas cantidades importantes que son vectores, por ejemplo, fuerza, posición, velocidad, aceleración, par, momento, intensidad de campo eléctrico y magnético. Se pueden contrastar con otras cantidades como masa, volumen, presión, temperatura y densidad, que pueden describirse mediante un número ordinario y se denominan "escalares". La notación vectorial se utiliza cuando se trabaja con cantidades que no se pueden especificar completamente utilizando números ordinarios. Por ejemplo, queremos describir la posición de un objeto con respecto a algún punto. Podemos saber a cuántos kilómetros se encuentra un objeto de un punto, pero no podemos determinar completamente su ubicación hasta que sepamos la dirección en la que se encuentra. Así, la ubicación de un objeto se caracteriza por un valor numérico (distancia en kilómetros) y una dirección. Gráficamente, los vectores se representan como segmentos rectos dirigidos de cierta longitud, como en la Fig. 1. Por ejemplo, para representar gráficamente una fuerza de cinco kilogramos, es necesario dibujar un segmento de línea recta de cinco unidades de largo en la dirección de la fuerza. La flecha indica que la fuerza actúa de A a B; si la fuerza actuara de B a A, entonces escribiríamos o. Por conveniencia, los vectores generalmente se indican con letras mayúsculas y negritas (A, B, C, etc.); los vectores A y -A tienen valores numéricos iguales, pero de dirección opuesta. El valor numérico del vector A se llama módulo o longitud y se denota A o |A|. Esta cantidad es, por supuesto, un escalar. Un vector cuyo principio y fin coinciden se llama cero y se denota por O.

Dos vectores se llaman iguales (o libres) si sus magnitudes y direcciones coinciden. Sin embargo, en mecánica y física esta definición debe usarse con precaución, ya que dos fuerzas iguales aplicadas a diferentes puntos del cuerpo generalmente conducirán a resultados diferentes. En este sentido, los vectores se dividen en “conectados” o “deslizantes”, de la siguiente manera: Los vectores conexos tienen puntos de aplicación fijos. Por ejemplo, un vector de radio indica la posición de un punto con respecto a algún origen fijo. Los vectores conexos se consideran iguales si no sólo tienen los mismos módulos y direcciones, sino que también tienen un punto de aplicación común. Los vectores deslizantes son vectores iguales entre sí y ubicados en la misma línea recta.
Suma de vectores. La idea de la suma de vectores surge de la idea de que podemos encontrar un único vector que tenga el mismo efecto que otros dos vectores combinados. Si para llegar a un punto determinado primero necesitamos caminar A kilómetros en una dirección y luego B kilómetros en la otra dirección, entonces podríamos llegar a nuestro punto final caminando C kilómetros en la tercera dirección (Fig. 2). . En este sentido se puede decir que

A + B = C.
El vector C se denomina "vector resultante" de A y B, y viene dado por la construcción que se muestra en la figura; se construye un paralelogramo sobre los vectores A y B como lados, y C es una diagonal que conecta el comienzo de A y el final de B. De la Fig. 2 está claro que la suma de vectores es "conmutativa", es decir A + B = B + A. De manera similar, puede sumar varios vectores, conectándolos secuencialmente en una "cadena continua", como se muestra en la Fig. 3 para tres vectores D, E y F. De la Fig. 3 también está claro que

(D + E) + F = D + (E + F), es decir la suma de vectores es asociativa. Se puede sumar cualquier número de vectores y los vectores no necesariamente tienen que estar en el mismo plano. La resta de vectores se representa como una suma con un vector negativo. Por ejemplo, A - B = A + (-B), donde, como se definió anteriormente, -B es un vector igual a B en magnitud, pero de dirección opuesta. Esta regla de la suma ahora se puede utilizar como un criterio real para comprobar si una cantidad es un vector o no. Los movimientos suelen estar sujetos a las condiciones de esta regla; lo mismo puede decirse de las velocidades; las fuerzas se suman de la misma manera que se puede ver en el “triángulo de fuerzas”. Sin embargo, algunas cantidades que tienen valores numéricos y direcciones no obedecen esta regla y, por lo tanto, no pueden considerarse vectores. Un ejemplo son las rotaciones finitas.
Multiplicar un vector por un escalar. El producto mA o Am, donde m (m # 0) es un escalar y A es un vector distinto de cero, se define como otro vector que es m veces más largo que A y tiene la misma dirección que A si m es positivo, y lo contrario dirección si m es negativa, como se muestra en la Fig. 4, donde m es 2 y -1/2, respectivamente. Además, 1A = A, es decir Cuando se multiplica por 1, el vector no cambia. La cantidad -1A es un vector igual a A en longitud pero de dirección opuesta, generalmente escrito como -A. Si A es un vector cero y/o m = 0, entonces mA es un vector cero. La multiplicación es distributiva, es decir

Podemos sumar cualquier cantidad de vectores y el orden de los términos no afecta el resultado. Lo contrario también es cierto: cualquier vector se puede descomponer en dos o más “componentes”, es decir, en dos o más vectores, que, cuando se suman, dan como resultado el vector original. Por ejemplo, en la Fig. 2, A y B son componentes de C. Muchas operaciones matemáticas con vectores se simplifican si el vector se descompone en tres componentes a lo largo de tres direcciones mutuamente perpendiculares. Elijamos un sistema de coordenadas cartesiano diestro con ejes Ox, Oy y Oz como se muestra en la Fig. 5. Por sistema de coordenadas diestro queremos decir que los ejes x, y y z están posicionados como se podrían ubicar los dedos pulgar, índice e índice respectivamente. dedos del medio mano derecha. A partir de un sistema de coordenadas diestro siempre es posible obtener otro sistema de coordenadas diestro mediante una rotación adecuada. En la Fig. 5, se muestra la descomposición del vector A en tres componentes y suman el vector A, ya que

Por eso,

También se podrían sumar y obtener primero y luego sumarle. Las proyecciones del vector A sobre los tres ejes de coordenadas designados Ax, Ay y Az se denominan “componentes escalares” del vector A:

donde a, b y g son los ángulos entre A y los tres ejes coordenados. Ahora introducimos tres vectores de longitud unitaria i, j y k (vectores unitarios) que tienen la misma dirección que los ejes correspondientes x, y y z. Entonces, si Ax se multiplica por i, entonces el producto resultante es un vector igual a y

Dos vectores son iguales si y sólo si sus componentes escalares correspondientes son iguales. Así, A = B si y sólo si Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Se pueden sumar dos vectores sumando sus componentes:

Además, según el teorema de Pitágoras:

Funciones lineales. La expresión aA + bB, donde a y b son escalares, se llama función lineal vectores A y B. Este es un vector ubicado en el mismo plano que A y B; Si A y B no son paralelos, cuando a y b cambian, el vector aA + bB se moverá a lo largo de todo el plano (Fig. 6). Si A, B y C no se encuentran todos en el mismo plano, entonces el vector aA + bB + cC (a, b y c cambian) se mueve por el espacio. Supongamos que A, B y C son los vectores unitarios de i, j y k. El vector ai se encuentra en el eje x; el vector ai + bj puede moverse a lo largo del plano xy; el vector ai + bj + ck puede moverse por el espacio.

Se podrían elegir cuatro vectores mutuamente perpendiculares i, j, k y l y definir el vector de cuatro dimensiones como la cantidad A = Axi + Ayj + Azk + Awl
con longitud

Y podríamos continuar con cinco, seis o cualquier número de dimensiones. Aunque es imposible representar visualmente un vector de este tipo, aquí no surgen dificultades matemáticas. Un registro de este tipo suele ser útil; por ejemplo, el estado de una partícula en movimiento se describe mediante un vector de seis dimensiones P (x, y, z, px, py, pz), cuyos componentes son su posición en el espacio (x, y, z) y su impulso. (px, py, pz). Tal espacio se llama "espacio de fase"; si consideramos dos partículas, entonces el espacio de fases es de 12 dimensiones, si hay tres, entonces de 18 dimensiones, y así sucesivamente. El número de dimensiones se puede aumentar ilimitadamente; Además, las cantidades con las que nos ocuparemos se comportan de forma muy parecida a las que consideraremos en el resto de este artículo, es decir, vectores tridimensionales.
Multiplicando dos vectores. La regla para sumar vectores se derivó estudiando el comportamiento de cantidades representadas por vectores. No hay ninguna razón aparente por la que dos vectores no puedan multiplicarse de alguna manera, pero esta multiplicación sólo tendrá sentido si se puede demostrar que es matemáticamente válida; Además, es deseable que la obra tenga un determinado significado físico. Hay dos formas de multiplicar vectores que cumplan estas condiciones. El resultado de uno de ellos es un escalar, dicho producto se llama “producto escalar” o “producto interno” de dos vectores y se escribe AÇB o (A, B). El resultado de otra multiplicación es un vector llamado "producto cruzado" o "producto exterior" y se escribe A*B o []. Los productos escalares tienen un significado físico para una, dos o tres dimensiones, mientras que los productos cruzados se definen sólo para tres dimensiones.
Productos punto. Si, bajo la influencia de alguna fuerza F, el punto al que se aplica se mueve una distancia r, entonces el trabajo realizado es igual al producto de r por la componente de F en la dirección de r. Este componente es igual a F cos bF, rc, donde bF, rc es el ángulo entre F y r, es decir Trabajo realizado = Fr cos bF, rs. Este es un ejemplo de la justificación física del producto escalar definido para dos vectores cualesquiera A, B mediante la fórmula
A*B = AB cos bA, Bс.
Dado que todas las cantidades en el lado derecho de la ecuación son escalares, entonces A*B = B*A; por tanto, la multiplicación escalar es conmutativa. La multiplicación escalar también tiene la propiedad distributiva: A*(B + C) = A*B + A*C. Si los vectores A y B son perpendiculares, entonces cos bA, Bc es cero y, por tanto, A*B = 0, incluso si ni A ni B son cero. Por eso no podemos dividir por un vector. Supongamos que dividimos ambos lados de la ecuación A*B = A*C entre A. Esto daría B = C, y si se pudiera hacer la división, entonces esta igualdad sería el único resultado posible. Sin embargo, si reescribimos la ecuación A*B = A*C como A*(B - C) = 0 y recordamos que (B - C) es un vector, entonces está claro que (B - C) no es necesariamente cero. y, por lo tanto, B no debe ser igual a C. Estos resultados contradictorios muestran que la división vectorial no es posible. El producto escalar proporciona otra forma de escribir el valor numérico (módulo) de un vector: A*A = AA*cos 0° = A2;
Es por eso

El producto escalar se puede escribir de otra forma. Para ello recuerda que: A = Ax i + Ayj + Azk. Darse cuenta de

Entonces,

Dado que la última ecuación contiene x, y y z como subíndices, la ecuación parecería depender del sistema de coordenadas particular elegido. Sin embargo, este no es el caso, como se desprende de la definición, que no depende de los ejes de coordenadas elegidos.
Trabajos vectoriales. Un vector o producto exterior de vectores es un vector cuyo módulo es igual al producto de sus módulos por el seno del ángulo perpendicular a los vectores originales y junto con ellos constituye una terna derecha. Este producto se introduce más fácilmente considerando la relación entre velocidad y velocidad angular. El primero es un vector; Ahora mostraremos que este último también puede interpretarse como un vector. La velocidad angular de un cuerpo en rotación se determina de la siguiente manera: seleccione cualquier punto del cuerpo y dibuje una perpendicular desde este punto al eje de rotación. Entonces la velocidad angular del cuerpo es el número de radianes que gira esta línea por unidad de tiempo. Si la velocidad angular es un vector, debe tener un valor numérico y una dirección. El valor numérico se expresa en radianes por segundo, la dirección se puede elegir a lo largo del eje de rotación, se puede determinar dirigiendo el vector en la dirección en la que se movería la hélice derecha al girar con el cuerpo. Consideremos la rotación de un cuerpo alrededor de un eje fijo. Si instalamos este eje dentro de un anillo, que a su vez está unido a un eje insertado dentro de otro anillo, podemos girar el cuerpo dentro del primer anillo con velocidad angular w1 y luego hacer que el anillo interior (y el cuerpo) giren con velocidad angular. w2. La Figura 7 explica el punto; Las flechas circulares indican la dirección de rotación. Este cuerpo es una esfera sólida con centro O y radio r.

Arroz. 7. UNA ESFERA CON CENTRO O gira con velocidad angular w1 dentro del anillo BC, que, a su vez, gira dentro del anillo DE con velocidad angular w2. La esfera gira con una velocidad angular igual a la suma de las velocidades angulares y todos los puntos de la recta POP" están en estado de reposo instantáneo.

Démosle a este cuerpo un movimiento que sea la suma de dos velocidades angulares diferentes. Este movimiento es bastante difícil de visualizar, pero es bastante obvio que el cuerpo ya no gira alrededor de un eje fijo. Sin embargo, todavía podemos decir que gira. Para mostrar esto, elijamos un cierto punto P en la superficie del cuerpo, que en el momento que estamos considerando está ubicado en un círculo máximo que conecta los puntos en los que dos ejes cruzan la superficie de la esfera. Dejemos caer perpendiculares desde P al eje. Estas perpendiculares se convertirán en los radios PJ y PK de los círculos PQRS y PTUW respectivamente. Dibujemos una línea recta POPў que pase por el centro de la esfera. Ahora el punto P, en el momento considerado, se mueve simultáneamente a lo largo de círculos que se tocan en el punto P. Durante un corto intervalo de tiempo Dt, P se mueve una distancia

Esta distancia es cero si

En este caso, el punto P está en estado de reposo instantáneo, al igual que todos los puntos de la recta POP. El resto de la esfera estará en movimiento (los círculos a lo largo de los cuales se mueven otros puntos no se tocan, sino que se cruzan). Por lo tanto, POPў es el eje instantáneo de rotación de la esfera, al igual que una rueda que rueda a lo largo de la carretera en cada momento gira alrededor de su punto más bajo. ¿Cuál es la velocidad angular de la esfera? Para simplificar, elijamos el punto A en el que El eje w1 corta la superficie y en el momento que estamos considerando se mueve en el tiempo Dt una distancia

En un círculo de radio r sen w1. Por definición, velocidad angular

De esta fórmula y relación (1) obtenemos

En otras palabras, si escribe un valor numérico y elige la dirección de la velocidad angular como se describe arriba, entonces estas cantidades se suman como vectores y pueden considerarse como tales. Ahora puedes ingresar el producto cruzado; Considere un cuerpo que gira con velocidad angular w. Elijamos cualquier punto P del cuerpo y cualquier origen O, que se encuentre en el eje de rotación. Sea r un vector dirigido de O a P. El punto P se mueve en un círculo con velocidad V = w r sin (w, r). El vector velocidad V es tangente al círculo y apunta en la dirección que se muestra en la figura. 8.

Esta ecuación da la dependencia de la velocidad V de un punto de la combinación de dos vectores w y r. Usamos esta relación para determinar el nuevo tipo producto, y escribe: V = w * r. Dado que el resultado de dicha multiplicación es un vector, este producto se llama producto vectorial. Para dos vectores cualesquiera A y B, si A * B = C, entonces C = AB sen bA, Bc, y la dirección del vector C es tal que es perpendicular al plano que pasa por A y B y apunta en la dirección coincidente con la dirección de movimiento del tornillo derecho si es paralelo a C y gira de A a B. En otras palabras, podemos decir que A, B y C, dispuestos en este orden, forman un conjunto de tornillos derechos ejes de coordenadas. El producto cruzado es anticonmutativo; el vector B * A tiene el mismo módulo que A * B, pero está dirigido en la dirección opuesta: A * B = -B * A. Este producto es distributivo, pero no asociativo; se puede demostrar que

Veamos cómo se escribe el producto vectorial en términos de componentes y vectores unitarios. En primer lugar, para cualquier vector A, A * A = AA sen 0 = 0.
Por lo tanto, en el caso de vectores unitarios, i * i = j * j = k * k = 0 y i * j = k, j * k = i, k * i = j. Entonces,

Esta igualdad también se puede escribir como determinante:

Si A * B = 0, entonces A o B son iguales a 0, o A y B son colineales. Por tanto, al igual que con el producto escalar, la división por un vector no es posible. El valor A * B es igual al área de un paralelogramo con lados A y B. Esto es fácil de ver, ya que B sen bA, Bс es su altura y A es su base. Hay muchas otras cantidades físicas que son productos cruzados. Uno de los productos cruzados más importantes aparece en la teoría del electromagnetismo y se llama vector apuntador P. Este vector viene dado por: P = E * H, donde E y H son los vectores del campo eléctrico y magnético, respectivamente. El vector P puede considerarse como un flujo de energía determinado en vatios por metro cuadrado en cualquier punto. Pongamos algunos ejemplos más: el momento de fuerza F (par) relativo al origen de coordenadas que actúa sobre un punto cuyo radio vector r se define como r * F; una partícula ubicada en el punto r, con masa m y velocidad V, tiene momento angular mr * V con respecto al origen; la fuerza que actúa sobre una partícula que transporta una carga eléctrica q a través de un campo magnético B con una velocidad V es qV * B.
Obras triples. A partir de tres vectores podemos formar los siguientes productos triples: vector (A*B) * C; vector (A*B)*C; escalar (A * B)*C. El primer tipo es el producto de un vector C y un escalar A*B; Ya hemos hablado de este tipo de obras. El segundo tipo se llama producto cruzado doble; el vector A * B es perpendicular al plano donde se encuentran A y B, y por lo tanto (A * B) * C es un vector que se encuentra en el plano de A y B y perpendicular a C. Por lo tanto, en general, (A * B ) * C no es igual a A * (B * C). Escribiendo A, B y C en términos de sus coordenadas (componentes) a lo largo de los ejes x, y y z y multiplicando, podemos demostrar que A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A *B). El tercer tipo de producto que surge en los cálculos reticulares en física. sólido, es numéricamente igual al volumen de un paralelepípedo con aristas A, B, C. Como (A * B)*C = A*(B * C), los signos de las multiplicaciones escalares y vectoriales se pueden intercambiar, y el producto es a menudo escrito como (A B C). Este producto es igual al determinante.

Tenga en cuenta que (A B C) = 0 si los tres vectores se encuentran en el mismo plano o si A = 0 o (y) B = 0 o (y) C = 0.
DIFERENCIACIÓN DE VECTORES
Supongamos que el vector U es función de una variable escalar t. Por ejemplo, U podría ser el vector de radio dibujado desde el origen hasta el punto en movimiento y t podría ser el tiempo. Hagamos que t cambie en una pequeña cantidad Dt, lo que provocará un cambio en U en la cantidad DU. Esto se muestra en la figura. 9. La relación DU/Dt es un vector dirigido en la misma dirección que DU. Podemos definir la derivada de U con respecto a t como

siempre que exista tal límite. Por otro lado, podemos representar U como la suma de componentes a lo largo de tres ejes y escribir

Si U es el radio vector r, entonces dr/dt es la velocidad del punto expresada en función del tiempo. Diferenciando nuevamente con respecto al tiempo, obtenemos aceleración. Supongamos que el punto se mueve a lo largo de la curva que se muestra en la Fig. 10. Sea s la distancia recorrida por un punto a lo largo de una curva. Durante un pequeño intervalo de tiempo Dt, el punto recorrerá una distancia Ds a lo largo de la curva; la posición del vector de radio cambiará a Dr. Por lo tanto Dr/Ds es un vector dirigido como Dr. Más

Vector Dr: cambio en el vector de radio.

es un vector unitario tangente a la curva. Esto se puede ver por el hecho de que a medida que el punto Q se acerca al punto P, PQ se acerca a la tangente y Dr se acerca a Ds. Las fórmulas para diferenciar un producto son similares a las fórmulas para diferenciar el producto de funciones escalares; sin embargo, dado que el producto cruz es anticonmutativo, se debe preservar el orden de multiplicación. Es por eso,

Por tanto, vemos que si un vector es función de una variable escalar, entonces podemos representar la derivada de la misma manera que en el caso de una función escalar.
Campos vectoriales y escalares. Degradado. En física, a menudo hay que lidiar con cantidades vectoriales o escalares que varían de un punto a otro en una región determinada. Estas áreas se denominan "campos". Por ejemplo, el escalar podría ser temperatura o presión; el vector puede ser la velocidad de un fluido en movimiento o el campo electrostático de un sistema de cargas. Si hemos elegido un determinado sistema de coordenadas, entonces cualquier punto P (x, y, z) en un área dada corresponde a un cierto vector de radio r (= xi + yj + zk) y también al valor de la cantidad vectorial U (r ) o escalar f (r) asociado a él. Supongamos que U y f están definidos de forma única en el dominio; aquellos. cada punto corresponde a uno y sólo un valor U o f, aunque, por supuesto, diferentes puntos pueden tener diferentes significados. Digamos que queremos describir la velocidad a la que U y f cambian a medida que avanzamos por esta área. Las derivadas parciales simples, como dU/dx y df/dy, no nos convienen porque dependen de los ejes de coordenadas elegidos específicamente. Sin embargo, es posible introducir un operador diferencial vectorial independiente de la elección de los ejes de coordenadas; este operador se llama "gradiente". Tratemos con un campo escalar f. Primero, como ejemplo, considere mapa de contorno regiones del país. En este caso, f es la altura sobre el nivel del mar; Las líneas de contorno conectan puntos con el mismo valor de f. Cuando se avanza por cualquiera de estas líneas, f no cambia; Si te mueves perpendicular a estas líneas, entonces la tasa de cambio de f será máxima. Podemos asociar a cada punto un vector que indique la magnitud y dirección del cambio máximo en la velocidad f; Dicho mapa y algunos de estos vectores se muestran en la Fig. 11. Si hacemos esto para cada punto del campo, obtenemos un campo vectorial asociado con un campo escalar f. Este es el campo de un vector llamado "gradiente" f, que se escribe como grad f o Cf (el símbolo C también se llama "nabla").

En el caso de las tres dimensiones, las curvas de nivel se convierten en superficies. Un pequeño cambio Dr (= iDx + jDy + kDz) conduce a un cambio en f, que se escribe como

donde los puntos indican términos de órdenes superiores. Esta expresión se puede escribir como un producto escalar.

Dividamos los lados derecho e izquierdo de esta igualdad por Ds, y dejemos que Ds tienda a cero; Entonces

donde dr/ds es el vector unitario en la dirección seleccionada. La expresión entre paréntesis es un vector que depende del punto seleccionado. Por tanto, df/ds tiene un valor máximo cuando dr/ds apunta en la misma dirección, siendo la expresión entre paréntesis el gradiente. De este modo,

- un vector de igual magnitud y coincidente en dirección con la tasa máxima de cambio f con respecto a las coordenadas. El gradiente f a menudo se escribe como

Esto significa que el operador C existe por sí solo. En muchos casos se comporta como un vector y de hecho es un "operador diferencial vectorial", uno de los operadores diferenciales más importantes de la física. A pesar de que C contiene los vectores unitarios i, j y k, su significado físico no depende del sistema de coordenadas elegido. ¿Cuál es la relación entre Cf y f? En primer lugar, supongamos que f determina el potencial en cualquier punto. Para cualquier desplazamiento pequeño Dr, el valor de f cambiará en

Si q es una cantidad (por ejemplo, masa, carga) movida por Dr, entonces el trabajo realizado al mover q por Dr es

Como Dr es el desplazamiento, entonces qСf es la fuerza; -Cf es la tensión (fuerza por unidad de cantidad) asociada con f. Por ejemplo, sea U el potencial electrostático; entonces E es la intensidad del campo eléctrico, dada por la fórmula E = -CU. Supongamos que U es creado por una carga eléctrica puntual de q culombios colocada en el origen. El valor de U en el punto P (x, y, z) con vector de radio r viene dado por

Donde e0 es la constante dieléctrica del espacio libre. Es por eso

de donde se sigue que E actúa en la dirección r y su magnitud es igual a q/(4pe0r3). Conociendo el campo escalar, podemos determinar el campo vectorial asociado a él. También es posible lo contrario. Desde el punto de vista del procesamiento matemático, los campos escalares son más fáciles de operar que los vectoriales, ya que están especificados por una única función de coordenadas, mientras que un campo vectorial requiere tres funciones correspondientes a los componentes del vector en tres direcciones. Entonces surge la pregunta: dado un campo vectorial, ¿podemos escribir el campo escalar asociado?
Divergencia y rotor. Vimos el resultado de C actuando sobre una función escalar. ¿Qué sucede cuando se aplica C a un vector? Hay dos posibilidades: sea U(x, y, z) un vector; entonces podemos formar el producto cruzado y el producto escalar de la siguiente manera:

La primera de estas expresiones es un escalar llamado divergencia de U (denotado divU); el segundo es un vector llamado rotor U (denotado rotU). Estas funciones diferenciales, divergencia y rizo, se utilizan ampliamente en física matemática. Imaginemos que U es algún vector y que él y sus primeras derivadas son continuos en alguna región. Sea P un punto en esta región rodeado por una pequeña superficie cerrada S que limita el volumen DV. Sea n un vector unitario perpendicular a esta superficie en cada punto (n cambia de dirección a medida que se mueve alrededor de la superficie, pero siempre tiene una longitud unitaria); dejemos que n apunte hacia afuera. demostremos que

Aquí S indica que estas integrales se toman sobre toda la superficie, da es un elemento de la superficie S. Para simplificar, elegiremos la forma conveniente de S en forma de un pequeño paralelepípedo (como se muestra en la Fig. 12) con lados Dx, Dy y Dz; El punto P es el centro del paralelepípedo. Calculemos primero la integral de la ecuación (4) sobre una cara del paralelepípedo. Para la cara frontal n = i (el vector unitario es paralelo al eje x); Da = DyDz. La contribución a la integral desde la cara frontal es igual a

En el lado opuesto n = -i; esta cara contribuye a la integral

Usando el teorema de Taylor, obtenemos contribución total desde dos bordes

Tenga en cuenta que DxDyDz = DV. De manera similar, puedes calcular la contribución de los otros dos pares de caras. La integral total es igual a

y si establecemos DV(r) 0, entonces los términos de orden superior desaparecen. Según la fórmula (2), la expresión entre paréntesis es divU, lo que demuestra la igualdad (4). La igualdad (5) se puede demostrar de la misma manera. Usemos la Fig. nuevamente. 12; entonces la contribución de la cara frontal a la integral será igual a

Y, usando el teorema de Taylor, encontramos que la contribución total a la integral de las dos caras tiene la forma

aquellos. estos son dos términos de la expresión de rotU en la ecuación (3). Los otros cuatro términos se obtienen tras tener en cuenta las aportaciones de las otras cuatro caras. ¿Qué significan realmente estas proporciones? Consideremos la igualdad (4). Supongamos que U es la velocidad (de un fluido, por ejemplo). Entonces nНU da = Un da, donde Un es la componente normal del vector U a la superficie. Por lo tanto, Un da ​​es el volumen de líquido que fluye por da por unidad de tiempo y es el volumen de líquido que fluye por S por unidad de tiempo. Por eso,

La tasa de expansión de una unidad de volumen alrededor del punto P. De aquí es de donde la divergencia recibe su nombre; muestra la velocidad a la que el fluido se expande (es decir, diverge de) P. Para explicar el significado físico del rotor U, considere otra integral de superficie sobre un pequeño volumen cilíndrico de altura h que rodea el punto P; Las superficies planas paralelas se pueden orientar en cualquier dirección que elijamos. Sea k el vector unitario perpendicular a cada superficie y sea DA el área de cada superficie; entonces el volumen total DV = hDA (Fig. 13). Consideremos ahora la integral