¿Es cierto que las diagonales de un cuadrilátero se cortan? Propiedades de las diagonales de un paralelogramo. Lecciones completas - Hipermercado del conocimiento. Las diagonales se dividen por la mitad.
Tema de la lección
- Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.
Objetivos de la lección
- Familiarícese con nuevas definiciones y recuerde algunas ya estudiadas.
- Enunciar y demostrar la propiedad de las diagonales de un paralelogramo.
- Aprenda a aplicar las propiedades de las formas al resolver problemas.
- De desarrollo: para desarrollar la atención, la perseverancia, la perseverancia, pensamiento lógico, discurso matemático.
- Educativo: a través de la lección, cultive una actitud atenta hacia los demás, inculque la capacidad de escuchar a los camaradas, la asistencia mutua y la independencia.
Objetivos de la lección
- Pon a prueba las habilidades de resolución de problemas de los estudiantes.
Plan de estudios
- Introducción.
- Repetición de material previamente estudiado.
- Paralelogramo, sus propiedades y características.
- Ejemplos de tareas.
- Autochequeo.
Introducción
"Grande descubrimiento científico Proporciona una solución a un problema importante, pero en la solución de cualquier problema hay una pizca de descubrimiento”.
Parece que esta fórmula no se publicó en ninguna parte, ¿no? Por supuesto, las fórmulas matemáticas no surgen de la nada, pero quizás tengas que pensar un poco en ellas para descubrir la lógica detrás de ellas. De aquí surge la fórmula de la diagonal y por qué funciona. Cada diagonal conecta un punto con otro punto en un polígono que no es su vecino adyacente. Y cada diagonal puede llegar a puntos finales porque una diagonal no puede terminar en su punto inicial ni en ninguno de sus dos puntos adyacentes.
Este es tu problema: si un polígono tiene 90 diagonales, ¿cuántos lados tiene? Aquí tienes una gran aplicación de la fórmula diagonal en el mundo real. Digamos que hay un pequeño torneo de tenis con seis personas en el que todos tienen que jugar contra los demás. ¿Cuántos partidos habrá en total? La siguiente ilustración muestra seis jugadores de tenis con segmentos que conectan a cada par de jugadores.
Propiedad de los lados opuestos de un paralelogramo
Un paralelogramo tiene lados opuestos que son iguales.
Prueba.
Sea ABCD el paralelogramo dado. Y dejemos que sus diagonales se crucen en el punto O.
Dado que Δ AOB = Δ COD por el primer criterio de igualdad de los triángulos (∠ AOB = ∠ COD, como verticales, AO=OC, DO=OB, por la propiedad de las diagonales de un paralelogramo), entonces AB=CD. De la misma forma, de la igualdad de los triángulos BOC y DOA se sigue que BC = DA. El teorema ha sido demostrado.
Cada segmento representa un partido entre dos participantes. Entonces, para obtener el número total de coincidencias, simplemente necesitas contar todos los segmentos en el dibujo: el número de lados del hexágono más el número de diagonales en los hexágonos.
Esto se ilustra en la siguiente figura. Se muestra que la proporción de las partes correspondientes es de ½. En la figura que se muestra a continuación, todos los triángulos azules son similares al triángulo más grande y se puede ver que el teorema anterior se cumple. Jake deja la escuela para regresar a casa. Va 6 cuadras al norte y luego 8 cuadras al oeste. ¿Qué tan lejos está Jake de la escuela?
Propiedad de los ángulos opuestos de un paralelogramo.
En un paralelogramo los ángulos opuestos son iguales.
Prueba.
Sea ABCD el paralelogramo dado. Y dejemos que sus diagonales se crucen en el punto O.
De lo demostrado en el teorema sobre las propiedades de los lados opuestos de un paralelogramo Δ ABC = Δ CDA en tres lados (AB=CD, BC=DA de lo demostrado, AC – general). De la igualdad de triángulos se deduce que ∠ ABC = ∠ CDA.
También se demuestra que ∠ DAB = ∠ BCD, lo que se deriva de ∠ ABD = ∠ CDB. El teorema ha sido demostrado.
Cada segmento de recta de un polígono se llama lado.
Determine la longitud del cable.
Ángulo: El ángulo formado por dos lados adyacentes de un polígono se llama ángulo de polígono.
Si para cada lado de un polígono la recta que contiene ese lado tiene todos los demás vértices del mismo lado. Construcción de un cuadrilátero: construye un cuadrilátero con cinco elementos que se conocerán.Supongamos que las longitudes de las dos diagonales del paralelogramo son 8 cm y 6 cm, y el ángulo entre ellas es 60°. Muestra que área = ½ área. Para dividir una esquina seguimos las siguientes reglas. Así que simplemente reducimos a la mitad los 90º siguiendo los pasos que utilizamos anteriormente.
Propiedad de las diagonales de un paralelogramo.
Las diagonales de un paralelogramo se cortan y se bisecan en el punto de intersección.
Prueba.
Sea ABCD el paralelogramo dado. Dibujemos la diagonal AC. Marquemos en él la O del medio. En la continuación del segmento DO, dejaremos a un lado el segmento OB 1 igual a DO.
Según el teorema anterior, AB 1 CD es un paralelogramo. Por tanto, la recta AB 1 es paralela a DC. Pero por el punto A sólo se puede trazar una recta paralela a DC. Esto significa que la recta AB 1 coincide con la recta AB.
También se demuestra que BC 1 coincide con BC. Esto significa que el punto C coincide con C 1. El paralelogramo ABCD coincide con el paralelogramo AB 1 CD. En consecuencia, las diagonales del paralelogramo se cruzan y se bisecan en el punto de intersección. El teorema ha sido demostrado.
Entonces podemos dibujar 90º con los métodos anteriores y luego 45º para convertirlo en 135º como se muestra en la imagen. Construir tangentes a una circunferencia desde un punto externo. Encuentra el punto medio de esta recta construyendo una bisectriz perpendicular de la recta. El punto medio puede estar dentro o fuera del círculo, según el tamaño del círculo y la ubicación del punto. Paso 4: Sin cambiar el ancho, dibuja un arco en un círculo en dos ubicaciones posibles. Circunferencia de un triángulo: Paso 1: Encuentra la bisectriz de uno de los lados del triángulo.
Paso 2: Repita para el otro lado. Paso 3: El punto de intersección de estas dos perpendiculares es la circunferencia del triángulo, el centro del círculo que deseamos. Dibuja un círculo que pase por los tres. Dentro del triángulo: Paso 1: Coloca la punta del compás en cualquiera de los vértices del triángulo. Ajuste la brújula a un ancho medio. El ancho exacto no es importante. Sin cambiar el ancho del compás, traza un arco en cada lado adyacente. Paso 3: Cambie el ancho del compás si es necesario y luego, comenzando desde el punto donde cada arco cruza el lado, dibuje dos arcos dentro del triángulo para que se crucen entre sí, usando el mismo ancho de compás para cada uno.
En los libros de texto de las escuelas regulares (por ejemplo, en Pogorelovo) se demuestra así: las diagonales dividen un paralelogramo en 4 triángulos. Consideremos un par y descubramos: son iguales: sus bases son lados opuestos, los ángulos correspondientes adyacentes son iguales, como ángulos verticales con líneas paralelas. Es decir, los segmentos de las diagonales son iguales por pares. Todo.
Las diagonales se dividen por la mitad.
Paso 4: Usando una regla, dibuja una línea desde el vértice del triángulo hasta donde se cruzan los dos últimos arcos. Paso 5: repite lo anterior en cualquier otro vértice del triángulo. Ahora tendrás dos líneas nuevas. Paso 6: Cuando dos nuevas líneas se cruzan, marca un punto como el centro del triángulo. Paso 7: Dibuja una perpendicular desde el incentro hasta el lado del triángulo. Paso 9: dibuja un círculo completo para crear un círculo. Este se convertirá en uno de los lados del hexágono. Como estamos construyendo un hexágono regular, los otros cinco lados también tendrán esta longitud.
¿Eso es todo?
Anteriormente se demostró que el punto de intersección biseca las diagonales, si existe. El razonamiento anterior no prueba de ninguna manera su existencia. Es decir, parte del teorema “las diagonales de un paralelogramo se cruzan” sigue sin demostrarse.
Lo curioso es que esta parte es mucho más difícil de demostrar. Esto se desprende, por cierto, de un resultado más general: cualquier cuadrilátero convexo tendrá diagonales que se cruzan, pero cualquier cuadrilátero no convexo no.
Los lados opuestos y los ángulos son iguales.
El compás debe permanecer en este ancho durante el resto de la estructura. Este es el siguiente vértice del hexágono. Paso 5: Continúa esto hasta que tengas los seis vértices. Paso 6: Dibuja una línea entre cada par sucesivo de vértices y la forma. Construye el contorno y el círculo de triángulos, un lado de los cuales mide 5 cm, el otro lado mide 6 cm y el ángulo entre ellos es de 120°.
Los loci se muestran en la siguiente figura. Se coloca una escalera de 10 pies verticalmente contra la pared y luego los escalones se mueven hacia afuera hasta que la escalera quede plana sobre el piso con un extremo tocando la pared. ¿Cuál es la ubicación en el punto medio de la escalera mientras se desliza?
Sobre la igualdad de triángulos según un lado y dos ángulos adyacentes (el segundo signo de igualdad de triángulos) y otros.
Tales encontró un teorema importante sobre la igualdad de dos triángulos a lo largo de un lado y dos ángulos adyacentes uso práctico. En el puerto de Mileto se construyó un telémetro para determinar la distancia a un barco en el mar. Constaba de tres clavijas impulsadas A, B y C (AB = BC) y una línea recta marcada SC, perpendicular a CA. Cuando apareció un barco en la recta SK, encontramos el punto D tal que los puntos D, .B y E estaban en la misma recta. Como se desprende claramente del dibujo, la distancia CD en tierra es la distancia deseada al barco.
Círculo: propiedades de cuerda y cuerda.
¿Cuál es el lugar geométrico de los centros de los círculos que tocan una recta dada en un punto dado? ¿Cuál es el lugar geométrico de los extremos de los segmentos de línea que se encuentran en un punto dado y son atravesados por una línea que no pasa por ese punto? La siguiente figura muestra los parámetros requeridos. Esta es la inversa de la propiedad anterior.
Círculo: propiedades del arco y la cuerda.
¿Cuál es la profundidad máxima del agua? La longitud de cada una de las dos cuerdas paralelas es de 10 mm y la distancia perpendicular entre estas dos cuerdas es de 12 mm. ¿Cuál es el diámetro del tubo redondo? Esto se puede ver en la siguiente figura. Esta es la propiedad inversa de lo anterior, como también se puede ver en la figura anterior.
Preguntas
- ¿Las diagonales de un cuadrado están divididas por la mitad por el punto de intersección?
- ¿Son iguales las diagonales de un paralelogramo?
- ¿Son iguales los ángulos opuestos de un paralelogramo?
- ¿Indica la definición de paralelogramo?
- ¿Cuantos signos tiene un paralelogramo?
- ¿Puede un rombo ser un paralelogramo?
Lista de fuentes utilizadas
- Kuznetsov A.V., profesor de matemáticas (grados 5 a 9), Kiev
- "Soltero Examen de Estado 2006. Matemáticas. Materiales educativos y didácticos para la preparación de estudiantes / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
- Mazur K. I. “Resolución de los principales problemas competitivos en matemáticas de la colección editada por M. I. Skanavi”
- L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometría, 7 – 9: libro de texto para instituciones educativas”
Trabajamos en la lección.
Kuznetsov A.V.
Poturnak S.A.
Evgeniy Petrov
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Un cuadrilátero cuyos lados opuestos son paralelos es un paralelogramo. Las diagonales son líneas rectas que conectan vértices opuestos. El punto de su intersección es el centro de simetría. En general, un paralelogramo tiene dos diagonales, D es la larga y d es la corta.
Encuentra la diagonal de un paralelogramo usando el teorema del coseno
- El valor de los cosenos de los ángulos del paralelogramo α y β.
D = √a^2 + b^2 — 2ab cosβ
d = √a^2 + b^2 + 2ab cosβ
D = √a^2 + b^2 + 2ab cosα
d = √a^2 + b^2 — 2ab cosα
Encuentra la diagonal de un paralelogramo usando una diagonal y lados conocidos
Para utilizar este método necesitas saber:
- Las longitudes de los lados del paralelogramo a y b.
D = √2a^2 + 2b^2 - d^2
Para utilizar este método necesitas saber:
- Área de un paralelogramo.
- La longitud de una de las diagonales D o d.
- El ángulo entre las diagonales γ o δ.
D = 2S/d senγ = 2S/d senδ
d = 2S/D senγ = 2S/D senδ 
Un caso especial para determinar la longitud de la diagonal de un paralelogramo es un cuadrado
Un cuadrado es un paralelogramo en el que todos los lados son iguales y los ángulos miden 90°. Las longitudes de las diagonales en este caso serán iguales a D=d y se pueden calcular utilizando el teorema de Pitágoras.
D=d=a*√2 
Un caso especial para determinar la longitud de la diagonal de un paralelogramo es un rectángulo
Un rectángulo es un paralelogramo cuyos ángulos son iguales e iguales a 90°. Las longitudes de las diagonales en este caso serán iguales a D=d y se pueden calcular utilizando el teorema de Pitágoras.
D=d=√(a^2+b^2) 