Как находится площадь параллелограмма. Периметр и площадь параллелограмма.
Параллелограмм – это четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
В этой фигуре противоположные стороны и углы равны между собой. Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ей пополам. Формулы площади параллелограмма позволяют найти значение через стороны, высоту и диагонали. Параллелограмм также может быть представлен в частных случаях. Ими считаются прямоугольник, квадрат и ромб.
Для начала рассмотрим пример расчета площади параллелограмма по высоте и стороне, к которой она опущена.
Этот случай считается классическим и не требует дополнительного разбирательства. Лучше рассмотрим формулу вычисления площади через две стороны и угол между ними. Этот же способ применяется в расчете . Если даны стороны и угол между ними, то площадь рассчитывается так: 
Допустим, дан параллелограмм со сторонами a
= 4 см, b
= 6 см. Угол между ними α
= 30°. Найдем площадь:
Площадь параллелограмма через диагонали
Формула площади параллелограмма через диагонали позволяет быстро найти значение.
Для вычислений понадобится величина угла, расположенного между диагоналями.
Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма через диагонали. Пусть дан параллелограмм с диагоналями D
= 7 см, d
= 5 см. Угол, лежащий между ними α
=30°. Подставим данные в формулу:
Пример расчета площади параллелограмма через диагональ дал нам прекрасный результат – 8,75.
Зная формулу площади параллелограмма через диагональ можно решать множество интересных задач. Давайте рассмотрим одну из них.
Найдите площадь параллелограмма. Здравствуйте! В этой статье представлена группа заданий решение которых связанно с площадью . Задачи входят в состав экзамена. Рекомендую в которой о площади параллелограмма (и треугольника) всё подробно расписано. При решении пригодятся формулы:
*Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус угла между ними.
*Площадь параллелограмма равна произведению параллелограмма на высоту проведённую к этой стороне.
Также рассматриваются задачи с ромбами. Как известно, ромб является параллелограммом и обладает его свойствами, но есть ещё и дополнительные. Нам понадобится это:
— Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Рассмотрим задачи:
27586. Найдите площадь ромба, если его стороны равны 1, а один из углов равен 150 0 .
Используем формулу площади параллелограмма:
Стороны равны 1, а острый угол будет равен 30 0:
27614. Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 4 и 12.
Известно, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом, также они точкой пересечения делятся пополам. Построим эскиз следующим образом и отметим на нём размеры половин диагоналей:
Получается, что ромб диагоналями разбивается на 4 равных прямоугольных треугольника с катетами 2 и 6. Можем вычислить площадь этого треугольника:
Так как все четыре треугольника образованные диагоналями равны, то
317338. Площадь параллелограмма ABCD равна 189. Точка Е середина стороны AD. Найдите площадь трапеции AECB.
Для того чтобы вычислить площадь трапеции достаточно понимать как определить площадь отсечённого треугольника EDC. *Далее мы из площади параллелограмма просто вычтем площадь треугольника.
Посмотрите! Сторона треугольника ED равна половине стороны параллелограмма, высота у них общая. Что это значит? А то что:
Получается, что площадь треугольника в четыре раза меньше площади параллелограмма:
Таким образом:
Ответ: 141,75
*Какую часть по площади занимает треугольник в параллелограмме можно увидеть разделив параллелограмм диагональю (он делится пополам):
Площадь треугольника ADC составляет ½ от площади параллелограмма, а площадь треугольника EDC равна половине площади ADC, то есть треугольник EDC по площади будет в 4 раза меньше.
319056. Площадь параллелограмма ABCD равна 153. Найдите площадь параллелограмма A′B′C′D′, вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.
Построим эскиз:
Нетрудно заметить, что площади треугольников 1, 2, 3 и 4 равны, так как у них есть равные стороны и синусы углов между ними приобретают равные значения.
Вычислим площадь треугольника АA′D′:
Получается, что площадь треугольника будет в восемь раз меньше. Таким образом, искомая площадь равна:
Ответ: 76,5
*Конечно же, «опытный глаз» сразу увидит, что площадь параллелограмма A′B′C′D′ в два раза меньше площади данного параллелограмма, но понимать формальное соотношение площадей фигур необходимо и важно.
**Если вы построите отрезки соединяющие середины противоположных сторон, то сразу наглядно увидите каким образом параллелограмм разбивается на равные по площади треугольники и решение будет очевидно.
319057. Площадь параллелограмма ABCD равна 176. Точка E– середина стороны CD. Найдите площадь треугольника ADE.
Площадь треугольника ADE составляет четвёртую часть от площади параллелограмма, посмотрите вше задачу 317338. То есть S ADE =176/4=44.
27585. Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равны 8 и 10, а угол между ними равен 30 0 .
Посмотреть решение
27610. Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если его площадь равна половине площади прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Посмотреть решение
27611. Стороны параллелограмма равны 9 и 15. Высота, опущенная на первую сторону, равна 10. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.
Посмотреть решение
Прежде чем узнать, как найти площадь параллелограмма, нам необходимо вспомнить, что такое параллелограмм и что называется его высотой. Параллелограмм – четырехугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны (лежат на параллельных прямых). Перпендикуляр, проведенный из произвольной точки противоположной стороны к прямой, содержащей эту сторону называется высотой параллелограмма.
Квадрат, прямоугольник и ромб – это частные случаи параллелограмма.
Площадь параллелограмма обозначается как (S).
Формулы нахождения площади параллелограмма
S=a*h , где а – это основание, h – это высота, которая проведена к основанию.
S=a*b*sinα , где a и b – это основания, а α - угол между основаниями а и b.
S =p*r , где р – это полупериметр, r – это радиус окружности, которая вписана в параллелограмм.
Площадь параллелограмма, который образован векторами a и b равна модулю произведения заданных векторов, а именно:
Рассмотрим пример №1: Дан параллелограмм, сторона которого равна 7 см, а высота 3 см. Как найти площадь параллелограмма, формула для решения нам необходима.
Таким образом, S= 7x3. S=21. Ответ: 21 см 2 .
Рассмотрим пример №2: Даны основания 6 и 7 см, а также дан угол между основаниями 60 градусов. Как найти площадь параллелограмма? Формула, используемая для решения:
Таким образом, сначала найдем синус угла. Синус 60 = 0,5, соответственно S = 6*7*0,5=21 Ответ: 21 см 2 .
Надеюсь, что эти примеры Вам помогут при решении задач. И помните, главное – это знание формул и внимательность
Параллелограмм – геометрическая фигура, часто встречающаяся в задачах курса геометрии (раздел планиметрия). Ключевыми признаками данного четырехугольника являются равенство противолежащих углов и наличие двух пар параллельных противоположных сторон. Частные случаи параллелограмма – ромб, прямоугольник, квадрат.
Расчет площади данного вида многоугольника может быть произведен несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.
Найти площадь параллелограмма, если известны сторона и высота
Для вычисления площади параллелограмма можно воспользоваться значениями его стороны, а также длины высоты, опущенной на нее. При этом полученные данные будут достоверны как для случая известной стороны – основания фигуры, так и если в вашем распоряжении боковая сторона фигуры. В таком случае искомая величина будет получена по формуле:
S = a * h (a) = b * h(b),
- S – площадь, которую следовало определить,
- a, b – известная (или полученная путем вычислений) сторона,
- h – высота, опущенная на нее.
Пример: значение основания параллелограмма – 7 см, длина перпендикуляра, опущенного на него из противолежащей вершины, – 3 см.
Решение:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.
Найти площадь параллелограмма, если известны 2 стороны и угол между ними
Рассмотрим случай, когда вы знаете величины двух сторон фигуры, а также градусной меры угла, который они между собой образуют. Предоставленными данными также можно воспользоваться для нахождения площади параллелограмма. В этом случае выражение-формула будет иметь следующий вид:
S = a * c * sinα = a * c * sinβ,
- a – боковая сторона,
- с – известное (или полученное путем вычислений) основание,
- α, β – углы между сторонами a и c.
Пример: основание параллелограмма – 10 см, его боковая сторона на 4 см меньше. Тупой угол фигуры составляет 135°.
Решение: определяем значение второй стороны: 10 – 4 = 6 см.
S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.
Найти площадь параллелограмма, если известны диагонали и угол между ними
Наличие известных значений диагоналей данного многоугольника, а также угла, который они образуют в результате своего пересечения, позволяет определить величину площади фигуры.
S = (d1*d2)/2*sinγ,
S = (d1*d2)/2*sinφ,
S – площадь, которую следует определить,
d1, d2 – известные (или полученные путем вычислений) диагонали,
γ, φ – углы между диагоналями d1 и d2.
Кроме того, не стоит забывать о том, что площадь всей фигуры состоит из площадей всех ее частей.
Параллелограммом называют геометрическую фигуру, которая имеет парные противоположные стороны (расположенные на параллельных прямых).
К свойствам параллелограмма принято относить: противоположные стороны этого четырехугольника равные; противоположные углы параллелограмма имеют одинаковые величины; диагонали в точке пресечения делятся пополам; углы, находящиеся в одной стороне параллелепипеда, составляют 180°; каждая из диагоналей делит параллелепипед на два совершенно одинаковых треугольника; сума всех углов параллелограмма составляет 360; центр симметрии параллелограмма - точка пересечения диагоналей.
Прямоугольником
называют параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
Площадь параллелограмма находят с помощью формулы S = h x a , где S - площадь, h - высота, опущенная с угла параллелограмма на противоположную сторону, a - сторона к которой была проведена высота.
Доказательство:
Представленный на рисунке параллелограмм ABCD не является прямоугольником, так как один из его углов острый. На данном четырехугольнике острый угол - DCF . Опустим
перпендикуляр c вершины параллелепипеда А на сторону СВ - AE . Следовательно, получим трапецию, площадь которой равняется сумме площадей треугольника AEB и параллелограмма ABCD . Также опустим перпендикуляр DF , который берет свое начало с вершины D к одной из сторон - CD . Площадь трапеции AECD , которая образовалась, равняется сумме площадей треугольника DFC и прямоугольника AEFD . Треугольники, которые возникли после опущения сторон DFC и AEB равны, а также имеют одинаковое значение площадей. Из этого мы можем сделать вывод, что площадь параллелограмма ABCD равняется площади прямоугольника AEFD , иначе говоря, площадь равна произведению отрезков AE и AD , где AE - высота представленного параллелограмма, которая соответствует стороне AD . Исходя из всего вышесказанного, можно сказать S = h x a . Теорема доказана.
Также существуют такие формулы для расчета площади параллелограмма:
- Площадь параллелограмма можно найти если известна длина, сторона параллелепипеда и высота, которая опущена на эту сторону: S ABCD =AD xh AD .
- Площадь параллелограмма можно найти при известных двух сторонах и углом, который образуют эти стороны: S ABCD =АВ xAD xsinα .
- Площадь параллелограмма можно найти при известных диагоналях параллелограмма и углом, который они образуют: S ABCD =АС xВD xsinβ .
- При известном радиусе полупериметра (p ) и вписанной окружности (r ): S ABCD =p xr .