4. Moda. mesatare. Mesatarja e përgjithshme dhe e mostrës

Modaliteti është në ekran, mesatarja është në trekëndësh dhe mesatarja është temperatura në spital dhe në repart. Ne vazhdojmë kursin tonë praktik statistika interesante (Mesimi 1) duke studiuar karakteristikat qendrore popullata statistikore, emrat e të cilëve i shihni në titull. Dhe ne do të fillojmë nga fundi i saj, sepse oh vlerat mesatare biseda nisi pothuajse që në paragrafët e parë të temës. Për lexuesit e avancuar tabela e përmbajtjes:

• Mesatarja e përgjithshme dhe e mostrës– llogaritja e bazuar në të dhënat primare dhe për seritë e gjeneruara të variacioneve diskrete;
• Moda– përcaktimi dhe përcaktimi për një rast diskrete;
• mesatare– përkufizimi i përgjithshëm se si të gjendet mediana;
• Mesatarja, mënyra dhe mesatarja e serive të variacionit të intervalit– llogaritja e bazuar në të dhënat parësore dhe në serinë e përfunduar. Modaliteti dhe formulat mesatare,
• Kuartilët, decilat, përqindjet - shkurtimisht për gjënë kryesore.

Epo, për "dummies" është më mirë të njiheni me materialin në rend:

Pra, le të eksplorojmë disa popullatë vëllimi, përkatësisht karakteristikat e tij numerike, nuk kanë rëndësi diskrete ose të vazhdueshme (Mësimet 2, 3).

E mesme e përgjithshme thirrur mesatare të gjitha vlerat e këtij grupi:

Nëse midis numrave ka identikë (që është tipike për seri diskrete) , atëherë formula mund të shkruhet në një formë më kompakte:
, Ku
opsion përsëritet një herë;
opsion - një herë;
opsion - një herë;
…
opsion - një herë.

Shembull i llogaritjes së drejtpërdrejtë e mesme e përgjithshme u takua në Shembulli 2, por për të mos u bërë i mërzitshëm, nuk do ta kujtoj as përmbajtjen e tij.

Me tutje. Siç kujtojmë, përpunimi i të gjithë popullsisë është shpesh i vështirë ose i pamundur, dhe për këtë arsye ata organizohen prej tij përfaqësuese mostër vëllimi, dhe në bazë të studimit të këtij kampioni nxirret një përfundim për të gjithë popullatën.

Mesatarja e mostrës thirrur mesatare të gjitha vlerat e mostrës:

dhe nëse ka opsione identike, formula do të shkruhet më kompakt:
– si shuma e produkteve të opsionit sipas përkatësisë frekuencave .

Mesatarja e mostrës ju lejon të vlerësoni me saktësi kuptimin e vërtetë, e cila është mjaft e mjaftueshme për shumë studime. Për më tepër, sa më i madh të jetë kampioni, aq më i saktë do të jetë ky vlerësim.

Le të fillojmë praktikën, ose më mirë të vazhdojmë, me seri variacione diskrete dhe një gjendje e njohur:

Shembulli 8

Bazuar në rezultatet e një studimi mostër të punëtorëve të punëtorisë, u krijuan kategoritë e kualifikimit të tyre: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Si vendosin detyrë? Nëse na jepet të dhënat primare(vlerat e papërpunuara origjinale), atëherë ato thjesht mund të përmblidhen dhe rezultati të ndahet me madhësinë e kampionit:
- mesatare kategoria e kualifikimit punëtorët e dyqaneve.

Por në shumë probleme është e nevojshme të hartoni një seri variacionesh (cm. Shembulli 4) :

- ose kjo seri u propozua fillimisht (gjë që ndodh më shpesh). Dhe pastaj, natyrisht, ne përdorim formulën "e civilizuar":

Moda . Mënyra e një serie variacion diskrete është opsion me frekuencë maksimale. NË në këtë rast. Moda është e lehtë për t'u gjetur në tabelë, dhe madje edhe më e lehtë diapazoni i frekuencësështë abshisa e pikës më të lartë:


Ndonjëherë ka disa vlera të tilla (me të njëjtën frekuencë maksimale), dhe pastaj secila prej tyre konsiderohet një mënyrë.

Nëse të gjitha ose pothuajse të gjitha opsione të ndryshme (që është tipike për seri intervali), atëherë vlera modale përcaktohet në një mënyrë pak më ndryshe, e cila diskutohet në pjesën e dytë të mësimit.

mesatare . Mediana e serisë së variacionit * – kjo është vlera që e ndan atë në dy pjesë të barabarta (sipas numrit të opsioneve).

Por tani duhet të gjejmë mesataren, mënyrën dhe mesataren.

Zgjidhje: per te gjetur mesatare Sipas të dhënave primare, është më mirë të përmblidhni të gjitha opsionet dhe të ndani rezultatin me vëllimin e popullsisë:
strofull. njësi

Këto llogaritje, nga rruga, nuk do të marrin aq shumë kohë kur përdorni një kalkulator offline. Por nëse keni Excel, atëherë, sigurisht, çekiç në çdo qelizë të lirë =SUM(, zgjidhni të gjithë numrat me miun, mbyllni kllapa ) , vendosni një shenjë ndarjeje / , futni numrin 30 dhe shtypni Hyni. Gati.

Sa i përket modës, vlerësimi i saj në bazë të të dhënave fillestare bëhet i papërdorshëm. Edhe pse ne shohim të njëjtat numra midis numrave, midis tyre mund të ketë lehtësisht pesë, gjashtë ose shtatë variante me të njëjtën frekuencë maksimale, për shembull, frekuenca 2. Përveç kësaj, çmimet mund të rrumbullakosen. Prandaj, vlera modale llogaritet duke përdorur serinë e intervalit të gjeneruar (më shumë për këtë pak më vonë).

Çfarë nuk mund të thuhet për mesataren: futeni në Excel =MEDIAN (, zgjidhni të gjithë numrat me miun, mbyllni kllapa ) dhe shtypni Hyni: . Për më tepër, as nuk keni nevojë të renditni asgjë këtu.

Por në Shembulli 6 të renditura në rend rritës (mbani mend dhe renditni - lidhja e mësipërme), dhe kjo është një mundësi e mirë për të përsëritur algoritmin formal për gjetjen e mesatares. Ndani madhësinë e mostrës në gjysmë:

Dhe duke qenë se përbëhet nga një numër çift opsionesh, mesatarja është e barabartë me mesataren aritmetike të opsioneve të 15-të dhe të 16-të i rregullt(!) seritë e variacioneve:

strofull. njësi

Situata dy. Kur jepet një seri e gatshme intervali (detyrë tipike edukative).

Vazhdojmë të analizojmë të njëjtin shembull me çizmet, ku sipas të dhënave fillestare IVR u përpilua. Për të llogaritur mesatare do të kërkohen pikat e mesit të intervaleve:

– për të përdorur formulën e njohur të rasteve diskrete:

- rezultat i shkëlqyer! Mospërputhja me vlerën më të saktë () të llogaritur nga të dhënat primare është vetëm 0.04.

Në thelb, këtu ne e kemi përafruar serinë e intervalit si diskrete, dhe ky përafrim doli të ishte shumë efektiv. Megjithatë, këtu nuk ka ndonjë përfitim të veçantë, sepse... me moderne software nuk është e vështirë të llogaritet vlerën e saktë edhe për një grup shumë të madh të dhënash parësore. Por kjo me kusht që ne t'i njohim ata :)

Me tregues të tjerë qendrorë, gjithçka është më interesante.

Për të gjetur modën, duhet të gjesh interval modal (me frekuencë maksimale)- në këtë problem ky është një interval me një frekuencë prej 11, dhe përdorni formulën e frikshme të mëposhtme:
, Ku:

– kufiri i poshtëm i intervalit modal;
– gjatësia e intervalit modal;
– frekuenca e intervalit modal;
– frekuenca e intervalit të mëparshëm;
– frekuenca e intervalit të ardhshëm.

Kështu:
strofull. njësi – siç mund ta shihni, çmimi “në modë” për çizmet është dukshëm i ndryshëm nga mesatarja aritmetike.

Pa hyrë në gjeometrinë e formulës, unë thjesht do të jap histogrami i frekuencës relative dhe unë do të shënoj:


nga e cila shihet qartë se modaliteti është zhvendosur në raport me qendrën e intervalit modal drejt intervalit të majtë me një frekuencë më të lartë. Logjike.

Më lejoni të shikoj disa raste të rralla:

– nëse intervali modal është ekstrem, atëherë ose ;

– nëse gjejmë 2 intervale modale që janë afër, për shembull, dhe , atëherë marrim parasysh intervalin modal dhe nëse është e mundur, gjithashtu i zmadhojmë intervalet afër (në të majtë dhe në të djathtë) me 2 herë.

- nëse ka një distancë midis intervaleve modale, atëherë zbatoni formulën për çdo interval, duke marrë kështu 2 ose sasi e madhe Maud.

Ky është një mënyrë e tillë dërgimi :)

Dhe mesatarja. Nëse jepet një seri e gatshme intervali, atëherë mesatarja llogaritet duke përdorur një formulë paksa më pak të frikshme, por së pari është e lodhshme (gabim shkrimi i Frojdit :)) të gjesh intervali mesatar – ky është një interval që përmban një opsion (ose 2 opsione), i cili e ndan serinë e variacioneve në dy pjesë të barabarta.

Më sipër ju thashë se si të përcaktoni mesataren, duke u fokusuar në frekuencat e akumuluara relative, këtu është më i përshtatshëm për të llogaritur frekuencat e akumuluara "të zakonshme". Algoritmi llogaritës është saktësisht i njëjtë - ne zhvendosim vlerën e parë në të majtë (shigjeta e kuqe), dhe secila e ardhshme fitohet si shuma e të mëparshmes me frekuencën aktuale nga kolona e majtë (simbolet jeshile si shembull):

A e kuptojnë të gjithë kuptimin e numrave në kolonën e djathtë? – ky është numri i opsioneve që kanë arritur të “akumulohen” në të gjitha intervalet e “kaluara”, duke përfshirë edhe atë aktual.

Meqenëse kemi një numër çift opsionesh (30 copë), mesatarja do të jetë intervali që përmban 30/2 = opsionet e 15-të dhe të 16-të. Dhe bazuar në frekuencat e grumbulluara, është e lehtë të arrihet në përfundimin se këto opsione janë të përfshira në interval.

Formula mesatare:
, Ku:
– vëllimi i popullsisë statistikore;
– kufiri i poshtëm i intervalit mesatar;
– gjatësia e intervalit mesatar;
– frekuenca intervali mesatar;
– frekuenca e grumbulluar e mëparshme intervali.

Kështu:
strofull. njësi – vini re se vlera mesatare, përkundrazi, doli të zhvendoset djathtas, sepse Nga dora e djathtë Ka një numër të konsiderueshëm opsionesh:


Dhe për referencë raste të veçanta.

Për të llogaritur mesataren në MS EXCEL, ekziston një funksion i veçantë MEDIAN(). Në këtë artikull ne do të përcaktojmë mesataren dhe do të mësojmë se si ta llogarisim atë për një mostër dhe për një ligj të caktuar të shpërndarjes ndryshore e rastësishme.

Le të fillojmë me mesataret Për mostrat(d.m.th. për një grup fiks vlerash).

Mesatarja e mostrës

mesatare(mediane) është një numër që është mesi i një grupi numrash: gjysma e numrave në grup janë më të mëdha se mesatare, dhe gjysma e numrave janë më pak se mesatare .

Për të llogaritur mesataret së pari të nevojshme (vlerat në mostër). Për shembull, mesatare për mostrën (2; 3; 3; 4 ; 5; 7; 10) do të jetë 4. Sepse vetëm në mostër 7 vlera, tre prej tyre janë më pak se 4 (d.m.th. 2; 3; 3), dhe tre vlera janë më të mëdha (d.m.th. 5; 7; 10).

Nëse grupi përmban një numër çift numrash, atëherë ai llogaritet për dy numrat në mes të grupit. Për shembull, mesatare për mostrën (2; 3; 3 ; 6 ; 7; 10) do të jetë 4.5, sepse (3+6)/2=4,5.

Për përcaktimin mesataret në MS EXCEL ekziston një funksion me të njëjtin emër MEDIAN(), versioni anglisht MEDIAN ().

mesatare nuk përkon domosdoshmërisht me . Një përputhje ndodh vetëm nëse vlerat në mostër shpërndahen në mënyrë simetrike në lidhje me mesatare. Për shembull, për mostrat (1; 2; 3 ; 4 ; 5; 6) mesatare Dhe mesatare e barabartë me 3.5.

Nëse dihet Funksioni i shpërndarjes F(x) ose funksioni i densitetit të probabilitetitfq(X), Kjo mesatare mund të gjendet nga ekuacioni:

Për shembull, pasi kemi zgjidhur këtë ekuacion në mënyrë analitike për shpërndarjen Lognormale lnN(μ; σ 2), marrim se mesatare llogaritur duke përdorur formulën =EXP(μ). Kur μ=0, mesatarja është 1.

Kushtojini vëmendje pikës Funksionet e shpërndarjes, per cilin F(x)=0,5(shih foton më lart) . Abshisa e kësaj pike është e barabartë me 1. Kjo është vlera e mesatares, e cila natyrisht përkon me vlerën e llogaritur më parë duke përdorur formulën em.

Në MS EXCEL mesatare Për shpërndarje lognormale LnN(0;1) mund të llogaritet duke përdorur formulën =LOGNORM.REV(0.5,0,1) .

shënim: Kujtojmë se integrali i në të gjithë domenin e specifikimit të ndryshores së rastësishme është e barabartë me një.

Prandaj, vija mediane (x=Medianë) ndan zonën nën grafik funksionet e densitetit të probabilitetit në dy pjesë të barabarta.

Tendenca qendrore e të dhënave mund të konsiderohet jo vetëm si një vlerë me devijim total zero (mesatarja aritmetike) ose me frekuencë maksimale (mode), por edhe si një shenjë (vlera totale) që ndan të dhënat e renditura (të renditura në rend rritës ose zbritës) në dy pjesë të barabarta. Gjysma e të dhënave origjinale është më pak se kjo shenjë, dhe gjysma është më shumë. Kjo është ajo që është mesatare.

Pra, mesatarja në statistikë është niveli i treguesit që ndan grupin e të dhënave në dy gjysma të barabarta. Vlerat në njërën gjysmë janë më të vogla se mesatarja dhe gjysma tjetër janë më të mëdha se mesatarja. Si shembull, le të shohim një grup numrash të rastësishëm.

Natyrisht, me një shpërndarje simetrike, mesi, duke e ndarë popullsinë në gjysmë, do të vendoset në qendër - në të njëjtin vend me mesataren aritmetike (dhe mënyrën). Kjo është, si të thuash, një situatë ideale kur modaliteti, mesatarja dhe mesatarja aritmetike përkojnë dhe të gjitha vetitë e tyre bien në një pikë - frekuenca maksimale, përgjysmimi, shuma zero e devijimeve - të gjitha në një vend. Megjithatë, jeta nuk është aq simetrike sa një shpërndarje normale.

Le të themi se kemi të bëjmë me matje teknike të devijimeve nga vlera e pritur e diçkaje (përmbajtja e elementeve, largësia, niveli, masa, etj., etj.). Nëse gjithçka është në rregull, atëherë devijimet me shumë mundësi do të shpërndahen sipas një ligji afër normales, afërsisht si në figurën e mësipërme. Por nëse ka një faktor të rëndësishëm dhe të pakontrollueshëm në proces, atëherë mund të shfaqen vlera anormale që do të ndikojnë ndjeshëm në mesataren aritmetike, por vështirë se do të ndikojnë në mesataren.

Mediana e mostrës është një alternativë ndaj mesatares aritmetike, sepse është rezistent ndaj devijimeve jonormale (outliers).

Matematikore pronë e mesataresështë se shuma e devijimeve absolute (modulo) nga vlera mesatare jep minimumin kuptimi i mundshëm, kur krahasohet me devijimet nga çdo vlerë tjetër. Edhe më pak se mesatarja aritmetike, oh sa! Ky fakt gjen aplikimin e tij, për shembull, në zgjidhjen e problemeve të transportit, kur është e nevojshme të llogaritet vendi i ndërtimit të objekteve pranë rrugës në mënyrë të tillë që gjatësia totale e fluturimeve për në të nga vende të ndryshme të jetë minimale (ndalesa, pika karburanti, depo , etj., etj.) .

Formula mesatare në statistika për diskrete të dhënat të kujtojnë disi një formulë të modës. Domethënë, sepse nuk ekziston një formulë si e tillë. Vlera mesatare zgjidhet nga të dhënat e disponueshme dhe vetëm nëse kjo nuk është e mundur, kryhet një llogaritje e thjeshtë.

Para së gjithash, të dhënat renditen (të renditura në rend zbritës). Më tej ka dy opsione. Nëse numri i vlerave është tek, atëherë mesatarja do të korrespondojë me vlerën qendrore të serisë, numri i së cilës mund të përcaktohet me formulën:

Jo unë- numri i vlerës që korrespondon me mesataren,

N- numri i vlerave në grupin e të dhënave.

Atëherë mediana shënohet si

Ky është opsioni i parë kur ka një vlerë qendrore në të dhëna. Opsioni i dytë ndodh kur numri i të dhënave është çift, domethënë, në vend të një ka dy vlera qendrore. Zgjidhja është e thjeshtë: merrni mesataren aritmetike të dy vlerave qendrore:

NË të dhënat e intervalit zgjidhni kuptim specifik nuk duket e mundur. Mesatarja llogaritet sipas një rregulli të caktuar.

Për të filluar (pas renditjes së të dhënave), gjeni intervali mesatar. Ky është intervali nëpër të cilin kalon vlera mesatare e dëshiruar. Përcaktuar duke përdorur pjesën e akumuluar të intervaleve të renditura. Aty ku pjesa e akumuluar fillimisht tejkaloi 50% të të gjitha vlerave, ekziston një interval mesatar.

Nuk e di kush doli me formulën mesatare, por ata dolën qartë nga supozimi se shpërndarja e të dhënave brenda intervalit mesatar është uniforme (d.m.th. 30% e gjerësisë së intervalit është 30% e vlerave, 80% e gjerësia është 80% e vlerave, etj.) . Nga këtu, duke ditur numrin e vlerave që nga fillimi i intervalit mesatar deri në 50% të të gjitha vlerave në popullatë (diferenca midis gjysmës së numrit të të gjitha vlerave dhe frekuencës së grumbulluar të intervalit paramedian ), mund të gjeni se çfarë proporcioni zënë në të gjithë intervalin mesatar. Kjo pjesë transferohet saktësisht në gjerësinë e intervalit mesatar, duke treguar një vlerë specifike, e quajtur më pas mediane.

Le të shohim diagramin vizual.

Doli pak e rëndë, por tani, shpresoj, gjithçka është e qartë dhe e kuptueshme. Për të shmangur vizatimin e një grafiku të tillë çdo herë kur llogaritni, mund të përdorni formula e gatshme. Formula mesatare është si më poshtë:

Ku x Unë- kufiri i poshtëm i intervalit mesatar;

Unë Unë- gjerësia e intervalit mesatar;

∑f/2- numri i të gjitha vlerave të pjesëtuar me 2 (dy);

S (Me-1)- numri i përgjithshëm i vëzhgimeve që janë grumbulluar para fillimit të intervalit mesatar, d.m.th. frekuenca e akumuluar e intervalit premedian;

f Mua- numri i vëzhgimeve në intervalin mesatar.

Siç mund të shihet lehtë, formula mesatare përbëhet nga dy terma: 1 - vlera e fillimit të intervalit mesatar dhe 2 - vetë pjesa që është në përpjesëtim me pjesën e akumuluar që mungon deri në 50%.

Për shembull, le të llogarisim mesataren duke përdorur të dhënat e mëposhtme.

Duhet të gjesh çmimin mesatar, pra çmimin që është më i lirë dhe më i shtrenjtë se gjysma e sasisë së mallit. Për të filluar, ne do të bëjmë llogaritjet ndihmëse të frekuencës së akumuluar, pjesës së akumuluar dhe numrit total të mallrave.

Duke përdorur kolonën e fundit "Ndarja e akumuluar" ne përcaktojmë intervalin mesatar - 300-400 rubla (pjesa e akumuluar është më shumë se 50% për herë të parë). Gjerësia e intervalit - 100 rubla. Tani gjithçka që mbetet është të zëvendësohen të dhënat në formulën e mësipërme dhe të llogaritet mesatarja.

Kjo do të thotë, gjysma e mallrave ka një çmim më të ulët se 350 rubla, dhe gjysma tjetër ka një çmim më të lartë. Është e thjeshtë. Mesatarja aritmetike, e llogaritur duke përdorur të njëjtat të dhëna, është e barabartë me 355 rubla. Dallimi nuk është i rëndësishëm, por është aty.

Llogaritni mesataren në Excel

Mesatarja për të dhënat numerike është e lehtë për t'u përdorur Funksioni Excel, e cila quhet - MEDIANE. Të dhënat e intervalit janë një çështje tjetër. Nuk ka asnjë funksion përkatës në Excel. Prandaj, duhet të përdorni formulën e mësipërme. Cfare mund te besh? Por kjo nuk është shumë tragjike, pasi llogaritja e mesatares nga të dhënat e intervalit është një rast i rrallë. Ju mund ta bëni llogaritjen një herë në një kalkulator.

Së fundi, unë ofroj një problem. Ekziston një grup i të dhënave. 15, 5, 20, 5, 10. Sa është mesatarja? Katër opsione:

Modaliteti, mesatarja dhe mesatarja e mostrës janë mënyrë të ndryshme përcaktoni tendencën qendrore në kampion.

• Mesatarja (statistika), V statistika matematikore- një numër që karakterizon një mostër (për shembull, një grup numrash). Nëse të gjithë elementët e mostrës janë të ndryshëm, atëherë mesatarja është numri i mostrës në mënyrë që saktësisht gjysma e elementeve të mostrës janë më të mëdha se ai, dhe gjysma tjetër janë më të vogla se ai. Në përgjithësi, mediana mund të gjendet duke renditur elementet e një kampioni në rend rritës ose zbritës dhe duke marrë elementin e mesëm. Për shembull, kampioni (11, 9, 3, 5, 5) pas renditjes kthehet në (3, 5, 5, 9, 11) dhe mesatarja e tij është numri 5. Nëse kampioni ka një numër çift elementesh, mesatarja mund të mos përcaktohet në mënyrë unike: për të dhënat numerike, përdoret më shpesh gjysma e dy vlerave ngjitur (d.m.th., mesatarja e grupit (1, 3, 5, 7) merret e barabartë me 4).

  Me fjalë të tjera, një mesatare në statistikë është një vlerë që ndan një seri në gjysmë në mënyrë të tillë që në të dy anët e saj (poshtë ose lart) të ketë të njëjtin numër njësish në një popullsi të caktuar. Për shkak të kësaj vetie, ky tregues ka disa emra të tjerë: përqindja e 50-të ose kuantili 0.5.

  Mesatarja përdoret në vend të mesatares aritmetike kur opsionet ekstreme të serisë së renditur (më e vogla dhe më e madhe) në krahasim me pjesën tjetër rezultojnë të jenë tepër të mëdha ose tepër të vogla.

  Funksioni MEDIAN mat tendencën qendrore, e cila është qendra e një grupi numrash në një shpërndarje statistikore. Ekzistojnë tre mënyra më të zakonshme për të përcaktuar tendencën qendrore:

  • Vlera mesatare- mesatare aritmetike, e cila llogaritet duke mbledhur një grup numrash dhe më pas duke pjesëtuar shumën që rezulton me numrin e tyre.
    Për shembull, mesatarja e numrave 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 është 5, që është rezultat i pjesëtimit të shumës së tyre prej 30 me shumën e tyre prej 6.
  • mesatare- një numër që është mesi i një grupi numrash: gjysma e numrave kanë vlera më të mëdha se mesatarja dhe gjysma e numrave kanë vlera më të vogla.
    Për shembull, mesatarja për numrat 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 është 4.
  • Moda- numri që gjendet më shpesh në një grup të caktuar numrash.
    Për shembull, modaliteti për numrat 2, 3, 3, 5, 7 dhe 10 është 3.

  Paga në industri të ndryshme ekonomia, temperatura dhe niveli i reshjeve në të njëjtin territor për periudha të krahasueshme kohore, rendimenti i kulturave të kultivuara në rajone të ndryshme gjeografike, etj. Megjithatë, mesatarja nuk është aspak treguesi i vetëm i përgjithshëm - në disa raste, një vlerë si mesatarja . Në statistika, përdoret gjerësisht si një karakteristikë përshkruese ndihmëse e shpërndarjes së një karakteristike në një popullsi të caktuar. Le të kuptojmë se si ndryshon nga mesatarja, dhe gjithashtu pse është e nevojshme ta përdorim atë.

  Mesatarja në statistika: përkufizimi dhe vetitë

  Imagjinoni situatën e mëposhtme: Kompania punëson 10 persona së bashku me drejtorin. Punëtorët e zakonshëm marrin 1000 UAH dhe menaxheri i tyre, i cili është gjithashtu pronar, merr 10,000 UAH. Nëse llogarisim mesataren aritmetike, rezulton se paga mesatare në këtë ndërmarrje është 1900 UAH. A do të jetë e vërtetë kjo deklaratë? Ose le të marrim këtë shembull: në të njëjtin repart spitalor janë nëntë persona me temperaturë 36,6 °C dhe një person temperatura e të cilit është 41 °C. Mesatarja aritmetike në këtë rast është e barabartë me: (36,6*9+41)/10 = 37,04 °C. Por kjo nuk do të thotë se të gjithë të pranishmit janë të sëmurë. E gjithë kjo sugjeron që shpeshherë nuk mjafton vetëm mesatarja dhe për këtë arsye krahas saj përdoret edhe mesatarja. Në statistika, ky tregues quhet opsioni që ndodhet saktësisht në mes të serisë së variacionit të porositur. Nëse e llogarisim atë për shembujt tanë, marrim përkatësisht 1000 UAH. dhe 36.6 °C. Me fjalë të tjera, një mesatare në statistikë është një vlerë që ndan një seri në gjysmë në mënyrë të tillë që në të dy anët e saj (poshtë ose lart) të ketë të njëjtin numër njësish në një popullsi të caktuar. Për shkak të kësaj vetie, ky tregues ka disa emra të tjerë: përqindja e 50-të ose kuantili 0.5.

  

  Si të gjeni mesataren në statistika

  Metoda për llogaritjen e kësaj vlere varet kryesisht nga lloji i serive të variacionit që kemi: diskrete ose interval. Në rastin e parë, mesatarja gjendet thjesht në statistika. Gjithçka që duhet të bëni është të gjeni shumën e frekuencave, ta ndani me 2 dhe më pas t'i shtoni ½ rezultatit. Do të ishte më mirë të shpjegoni parimin e llogaritjes duke përdorur shembullin e mëposhtëm. Le të themi se kemi grupuar të dhëna për fertilitetin dhe duam të zbulojmë se cila është mesatarja.

  Numri i grupit të familjes sipas numrit të fëmijëve	Numri i familjeve

  Pas disa llogaritjeve të thjeshta, zbulojmë se treguesi i kërkuar është: 195/2 + ½ = opsion. Për të zbuluar se çfarë do të thotë kjo, duhet të grumbulloni në mënyrë sekuenciale frekuencat, duke filluar nga opsionet më të vogla. Pra, shuma e dy rreshtave të parë na jep 30. Është e qartë se këtu nuk ka 98 opsione. Por nëse rezultatit i shtoni frekuencën e opsionit të tretë (70), do të merrni një shumë të barabartë me 100. Ai përmban saktësisht opsionin e 98-të, që do të thotë se mesatarja do të jetë një familje që ka dy fëmijë.

  

  Sa i përket serisë së intervalit, zakonisht përdoret formula e mëposhtme:

  M e = X Me + i Me * (∑f/2 - S Me-1)/f Me, në të cilën:

  • X Me - vlera e parë e intervalit mesatar;
  • ∑f - numri i serive (shuma e frekuencave të saj);
  • i Ме - vlera e diapazonit mesatar;
  • f Me - frekuenca e diapazonit mesatar;
  • S Ме-1 është shuma e frekuencave kumulative në intervalet që i paraprijnë mesatares.

  Përsëri, është mjaft e vështirë të kuptohet pa një shembull. Supozoni se ka të dhëna për vlerën

  Paga, mijëra rubla.		Frekuencat e grumbulluara

  Për të përdorur formulën e mësipërme, së pari duhet të përcaktojmë intervalin mesatar. Si një interval i tillë, zgjidhni atë, frekuenca e akumuluar e të cilit tejkalon gjysmën e shumës totale të frekuencave ose është e barabartë me të. Pra, duke e ndarë 510 me 2, zbulojmë se ky kriter korrespondon me intervalin me një vlerë pagash prej 250,000 rubla. deri në 300,000 rubla. Tani mund të zëvendësoni të gjitha të dhënat në formulën:

  M e = X Me + i Me * (∑f/2 - S Me-1)/f Me = 250 + 50 * (510/2 - 170) / 115 = 286,96 mijë rubla.

  Shpresojmë që artikulli ynë të ishte i dobishëm dhe tani keni një kuptim të qartë se çfarë është mesatarja në statistika dhe si duhet llogaritur.