평면 위의 두 점 사이의 거리 좌표계. 지점 간 거리: 공식, 예, 솔루션

이론적 문제

평면에서의 분석 기하학

1. 좌표 방법: 수직선, 선 위의 좌표; 평면 위의 직사각형(직교) 좌표계; 극좌표.

직선을 생각해 봅시다. 방향을 선택하고(그러면 축이 됨) 일부 지점 0(좌표의 원점)을 선택해 보겠습니다. 선택한 방향과 원점을 가진 직선을 호출합니다. 좌표선(스케일 단위가 선택되었다고 가정합니다).

허락하다 중– 좌표선 상의 임의의 점. 요점에 맞게 넣어보자 중실수 엑스, 값과 동일 옴분절: x=OM.숫자 엑스그 점의 좌표라고 부른다 중.

따라서 좌표선의 각 점은 특정 실수, 즉 좌표에 해당합니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 각 실수 x는 좌표선의 특정 점, 즉 그러한 점에 해당합니다. 중, 그 좌표는 x입니다. 이 서신은 1-1.

따라서 실수는 좌표선의 점으로 표현될 수 있습니다. 좌표선은 모든 실수 집합의 이미지 역할을 합니다. 따라서 모든 실수의 집합을 호출합니다. 수직선, 모든 숫자는 이 선의 한 점입니다. 수직선의 한 지점 근처에는 숫자, 즉 좌표가 표시되는 경우가 많습니다.

평면의 직사각형(또는 데카르트) 좌표계.

서로 수직인 두 개의 축 x 소개그리고 y 소개데 일반적인 시작 에 대한동일한 규모, 형태 단위 평면의 직사각형(또는 데카르트) 좌표계.

중심선 오가로축이라고 불리는 축 오오– 세로축. 점 에 대한축의 교차점을 원점이라고 합니다. 축이 위치한 평면 오그리고 오오을 좌표평면이라 부르며 다음과 같이 표시한다. XY 소개.

따라서 평면의 직교 좌표계는 평면의 모든 점 집합과 숫자 쌍 집합 사이에 일대일 대응을 설정하므로 기하학적 문제를 해결할 때 대수적 방법을 적용할 수 있습니다. 좌표축은 평면을 4개의 부분으로 나눕니다. 분기별로, 정사각형또는 좌표 각도.

극좌표.

극좌표계는 특정 점으로 구성됩니다. 에 대한, 라고 불리는 폴, 그리고 거기서 나오는 광선 OE, 라고 불리는 극축.또한 선분의 길이를 측정하기 위한 눈금 단위가 설정됩니다. 극좌표계를 주고 다음과 같이 하자. 중- 평면의 임의의 지점. 다음으로 나타내자 아르 자형– 지점 거리 중지점에서 에 대한, 그리고 이를 통해 φ – 극축을 빔과 정렬하기 위해 빔이 시계 반대 방향으로 회전하는 각도 옴.

극좌표포인트들 중전화번호 아르 자형그리고 φ . 숫자 아르 자형첫 번째 좌표로 간주되어 호출됩니다. 극 반경, 숫자 φ – 두 번째 좌표가 호출됩니다. 극각.

점 중극좌표가 있는 아르 자형그리고 φ 다음과 같이 지정됩니다. M( ;ψ).점의 극좌표와 직교좌표 사이의 연결을 설정해 보겠습니다.
이 경우 직교 좌표계의 원점이 극점에 있고 양의 반횡좌표 축이 극축과 일치한다고 가정합니다.

점 M이 직교좌표를 가지도록 하세요. 엑스그리고 와이극좌표 아르 자형그리고 φ .

(1)

증거.

점에서 드롭 남 1그리고 남 2수직 남 1V그리고 남 1A,. 왜냐하면 (x 2 ; y 2). 정리에 따르면, M1(x1)그리고 M2(x2)는 임의의 두 점이고 α는 두 점 사이의 거리입니다. α = ‌‌‌‍‌‌|x 2 - x 1 | .

수학 문제를 해결하는 것은 종종 학생들에게 많은 어려움을 동반합니다. 연구생이 이러한 어려움에 대처하도록 도와주고 자신이 가지고 있는 것을 활용하는 방법을 가르쳐 주십시오. 이론적 지식우리 사이트의 주요 목적인 "수학" 과목의 모든 섹션에서 특정 문제를 해결할 때.

주제에 관한 문제를 풀기 시작할 때, 학생들은 좌표를 사용하여 평면 위에 점을 구성하고 주어진 점의 좌표를 찾을 수 있어야 합니다.

평면에서 취한 두 점 A(x A; y A)와 B(x B; y B) 사이의 거리 계산은 다음 공식을 사용하여 수행됩니다. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), 여기서 d는 평면에서 이들 점을 연결하는 선분의 ​​길이입니다.

세그먼트의 끝 중 하나가 좌표 원점과 일치하고 다른 쪽 끝의 좌표가 M(x M; y M)인 경우 d 계산 공식은 OM = √(x M 2 + y M 2 형식을 취합니다. ).

1. 두 점의 주어진 좌표를 기반으로 두 점 사이의 거리 계산

실시예 1.

좌표평면에서 점 A(2; -5)와 B(-4; 3)를 연결하는 선분의 ​​길이를 구합니다(그림 1).

해결책.

문제 설명은 다음과 같습니다. x A = 2; xB = -4; y A = -5 및 y B = 3. d를 구합니다.

공식 d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)를 적용하면 다음을 얻습니다.

d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.

2. 주어진 세 점에서 등거리에 있는 점의 좌표 계산

예시 2.

세 점 A(7; -1), B(-2; 2), C(-1; -5)에서 등거리에 있는 점 O 1의 좌표를 찾습니다.

해결책.

문제 조건의 공식화로부터 O 1 A = O 1 B = O 1 C가 됩니다. 원하는 점 O 1에 좌표 (a; b)가 있다고 가정합니다. 공식 d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)를 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);

O 1 B = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2);

O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

두 방정식의 시스템을 만들어 보겠습니다.

(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b – 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

방정식의 왼쪽과 오른쪽을 제곱한 후 다음과 같이 씁니다.

((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

단순화해서 쓰자

(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.

시스템을 풀면 다음을 얻습니다. a = 2; b = -1.

점 O 1 (2; -1)은 동일한 직선 위에 있지 않은 조건에서 지정된 세 점으로부터 등거리에 있습니다. 이 점은 주어진 세 점을 지나는 원의 중심입니다. (그림 2).

3. 가로좌표(세로좌표) 축에 있고 주어진 점으로부터 주어진 거리에 있는 점의 가로좌표(세로좌표) 계산

예시 3.

점 B(-5; 6)에서 Ox 축에 있는 점 A까지의 거리는 10입니다. 점 A를 찾습니다.

해결책.

문제 조건의 공식화에 따르면 점 A의 세로 좌표는 0이고 AB = 10입니다.

A 지점의 가로좌표를 a로 표시하여 A(a; 0)이라고 씁니다.

AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).

우리는 방정식 √((a + 5) 2 + 36) = 10을 얻습니다. 이를 단순화하면 다음과 같습니다.

2 + 10a – 39 = 0.

이 방정식의 근은 a 1 = -13입니다. 2 = 3입니다.

우리는 A 1 (-13; 0)과 A 2 (3; 0) 두 점을 얻습니다.

시험:

A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.

획득한 두 포인트 모두 문제의 조건에 따라 적합합니다. (그림 3).

4. 가로좌표(세로좌표) 축에 있고 주어진 두 점으로부터 동일한 거리에 있는 점의 가로좌표(세로좌표) 계산

예시 4.

점 A(6, 12)와 B(-8, 10)로부터 동일한 거리에 있는 Oy 축의 점을 찾습니다.

해결책.

문제의 조건에 따라 요구되는 점의 좌표를 Oy 축에 놓고 O 1 (0; b)로 둡니다(Oy 축에 있는 점에서 가로좌표는 0입니다). 이는 O 1 A = O 1 B라는 조건에서 따릅니다.

공식 d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)를 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);

O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).

방정식은 √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) 또는 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2입니다.

단순화하면 b – 4 = 0, b = 4를 얻습니다.

문제의 조건에 따라 O점 1(0; 4)이 필요합니다. (그림 4).

5. 좌표축과 특정 지점으로부터 동일한 거리에 위치한 지점의 좌표 계산

실시예 5.

좌표축과 점 A(-2; 1)로부터 같은 거리에 있는 좌표평면에 위치한 점 M을 찾습니다.

해결책.

필요한 점 M은 점 A(-2; 1)과 마찬가지로 점 A, P 1 및 P 2에서 등거리에 있으므로 두 번째 좌표 각도에 위치합니다. (그림 5). 좌표축에서 점 M까지의 거리는 동일하므로 해당 좌표는 (-a; a)가 됩니다. 여기서 a > 0입니다.

문제의 조건에 따르면 MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,

저것들. |-a| = 가.

공식 d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)를 사용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).

방정식을 만들어 봅시다:

√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.

제곱하고 단순화하면 다음과 같은 결과가 나옵니다. a 2 – 6a + 5 = 0. 방정식을 풀고 a 1 = 1을 찾습니다. 2 = 5.

문제의 조건을 만족하는 두 개의 점 M 1 (-1; 1)과 M 2 (-5; 5)를 얻습니다.

6. 가로좌표(세로축) 축과 주어진 지점으로부터 동일한 지정된 거리에 위치한 지점의 좌표 계산

실시예 6.

세로축과 점 A(8; 6)로부터의 거리가 5와 같은 점 M을 찾습니다.

해결책.

문제의 조건에 따르면 MA = 5이고 점 M의 가로좌표는 5와 같습니다. 점 M의 세로 좌표를 b와 같게 하고 M(5; b) (그림 6).

공식 d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2)에 따르면 다음과 같습니다.

MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).

방정식을 만들어 봅시다:

√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. 단순화하면 b 2 – 12b + 20 = 0을 얻습니다. 이 방정식의 근은 b 1 = 2입니다. b 2 = 10. 결과적으로 문제의 조건을 만족하는 두 개의 점이 있습니다: M 1 (5; 2) 및 M 2 (5; 10).

많은 학생들이 스스로 문제를 해결하려면 문제 해결을 위한 기술과 방법에 대한 지속적인 상담이 필요한 것으로 알려져 있습니다. 종종 학생은 교사의 도움 없이는 문제를 해결할 방법을 찾을 수 없습니다. 학생은 우리 웹사이트에서 문제 해결에 필요한 조언을 받을 수 있습니다.

아직도 질문이 있으신가요? 평면의 두 점 사이의 거리를 구하는 방법을 모르시나요?
튜터의 도움을 받으려면 -.
첫 수업은 무료입니다!

blog.site에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 원본 소스에 대한 링크가 필요합니다.

이 기사에서는 이론적으로 특정 작업의 예를 사용하여 지점 간 거리를 결정하는 방법을 살펴보겠습니다. 우선 몇 가지 정의를 소개하겠습니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1 정의 1

점 사이의 거리기존 규모에서 이들을 연결하는 세그먼트의 길이입니다. 측정할 길이의 단위를 가지기 위해서는 눈금을 설정해야 합니다. 따라서 기본적으로 점 사이의 거리를 찾는 문제는 좌표선, 좌표 평면 또는 3차원 공간의 좌표를 사용하여 해결됩니다.

초기 데이터: 좌표선 O x와 그 위에 임의의 점 A가 놓여 있습니다. 선 위의 모든 점은 하나의 특성을 갖습니다. 실수: 점 A를 특정 숫자로 둡니다. xA,이는 또한 점 A의 좌표이기도 합니다.

일반적으로 특정 세그먼트의 길이는 주어진 척도에서 길이 단위로 사용되는 세그먼트와 비교하여 평가된다고 말할 수 있습니다.

점 A가 정수 실수에 해당하는 경우, 점 O에서 직선 O A 세그먼트(길이 단위)를 따라 점까지 순차적으로 배치함으로써 별도로 설정된 단위 세그먼트의 총 수에서 세그먼트 O A의 길이를 결정할 수 있습니다.

예를 들어, A 지점은 숫자 3에 해당합니다. O 지점에서 A 지점에 도달하려면 세 개의 단위 세그먼트를 정리해야 합니다. 점 A의 좌표가 - 4인 경우 단위 세그먼트는 비슷한 방식으로 배치되지만 음의 방향은 다릅니다. 따라서 첫 번째 경우 거리 OA는 3과 같습니다. 두 번째 경우에는 O A = 4입니다.

A 지점에 유리수 좌표가 있는 경우 원점(O 지점)에서 정수 단위 세그먼트를 그린 다음 필요한 부분을 그립니다. 그러나 기하학적으로 측정하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 예를 들어 분수 4 111을 좌표선에 그리는 것은 어려운 것 같습니다.

위의 방법을 사용하면 무리수를 직선으로 그리는 것은 전혀 불가능합니다. 예를 들어 A지점의 좌표가 11이라고 해보자. 이 경우 추상화로 전환할 수 있습니다. A 지점의 주어진 좌표가 0보다 크면 O A = x A(숫자는 거리로 간주됩니다); 좌표가 0보다 작으면 O A = - x A 입니다. 일반적으로 이러한 진술은 모든 실수 x A에 대해 적용됩니다.

요약하면 원점에서 좌표선의 실수에 해당하는 점까지의 거리는 다음과 같습니다.

• 점이 원점과 일치하면 0이고, 그렇지 않으면 0입니다.

• x A > 0인 경우 x A;

• - x A인 경우 x A< 0 .

이 경우 세그먼트 자체의 길이는 음수일 수 없으므로 모듈러스 기호를 사용하여 점 O에서 점 A까지의 거리를 좌표로 씁니다. ×A: OA = xA

다음 진술은 참입니다. 한 지점에서 다른 지점까지의 거리는 좌표 차이의 계수와 같습니다.저것들. 임의의 위치에 대해 동일한 좌표선에 있고 해당 좌표를 갖는 점 A와 B의 경우 ×A그리고 x B: A B = x B - x A .

초기 데이터: 주어진 좌표: A(x A, y A) 및 B(x B, y B)를 사용하여 직교 좌표계 O x y의 평면에 있는 점 A와 B.

점 A와 B를 통해 좌표축 O x 및 O y에 수직을 그리고 결과적으로 투영점 A x, A y, B x, B y를 얻습니다. 점 A와 B의 위치에 따라 다음 옵션이 가능합니다.

점 A와 B가 일치하면 그 사이의 거리는 0입니다.

점 A와 B가 O x 축(가로축)에 수직인 직선 위에 있으면 점이 일치하고 | AB | = | 에이 바이 | . 점 사이의 거리는 좌표 차이의 계수와 동일하므로 A y B y = y B - y A이므로 A B = A y B y = y B - y A입니다.

점 A와 B가 O y 축(세로축)에 수직인 직선 위에 있는 경우 - 이전 단락과 유사하게: A B = A x B x = x B - x A

점 A와 B가 좌표축 중 하나에 수직인 직선 위에 있지 않으면 계산 공식을 도출하여 두 점 사이의 거리를 찾습니다.

우리는 삼각형 A B C가 직사각형이라는 것을 알 수 있습니다. 이 경우 A C = A x B x 및 B C = A y B y입니다. 피타고라스 정리를 사용하여 A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 등식을 만든 다음 이를 변환합니다. A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

얻은 결과로부터 결론을 도출해 보겠습니다. 평면의 A 지점에서 B 지점까지의 거리는 이 지점의 좌표를 사용하는 공식을 사용하여 계산하여 결정됩니다.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

결과 공식은 또한 점이 축에 수직인 직선에 있는 점 또는 상황이 일치하는 경우에 대해 이전에 형성된 설명을 확인합니다. 따라서 점 A와 B가 일치하면 다음과 같은 등식이 성립합니다. A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

점 A와 B가 x축에 수직인 직선 위에 있는 경우:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

점 A와 B가 세로축에 수직인 직선 위에 있는 경우:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

초기 데이터: 주어진 좌표 A(x A, y A, z A) 및 B(x B, y B, z B)와 함께 임의의 점이 있는 직교 좌표계 O x y z. 이 점들 사이의 거리를 결정하는 것이 필요합니다.

점 A와 B가 좌표 평면 중 하나와 평행한 평면에 있지 않은 일반적인 경우를 고려해 보겠습니다. 점 A와 B를 통해 좌표축에 수직인 평면을 그리고 해당 투영점을 얻습니다. A x , A y , A z , B x , B y , B z

점 A와 B 사이의 거리는 결과 평행육면체의 대각선입니다. 이 평행육면체의 측정 구성에 따르면: A x B x , A y B y 및 A z B z

기하학 과정에서 우리는 평행육면체의 대각선의 제곱이 그 치수의 제곱의 합과 같다는 것을 알고 있습니다. 이 진술을 바탕으로 우리는 평등을 얻습니다. A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

이전에 얻은 결론을 사용하여 다음과 같이 작성합니다.

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

표현식을 변형해 보겠습니다.

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

결정적인 공간의 점 사이의 거리를 결정하는 공식다음과 같이 보일 것입니다 :

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

결과 수식은 다음과 같은 경우에도 유효합니다.

포인트가 일치합니다.

이는 하나의 좌표축 또는 좌표축 중 하나와 평행한 직선 위에 있습니다.

점 사이의 거리를 찾는 문제 해결의 예

실시예 1

초기 데이터: 주어진 좌표 A(1 - 2) 및 B(11 + 2)를 사용하여 좌표선과 그 위에 놓인 점이 제공됩니다. 원점 O에서 A점까지, A점과 B점 사이의 거리를 구해야 합니다.

해결책

1. 기준점에서 점까지의 거리는 각각 이 점의 좌표 계수와 같습니다. O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. 점 A와 B 사이의 거리를 이 점의 좌표 간 차이의 계수로 정의합니다. A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

답: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

실시예 2

초기 데이터: 직교 좌표계와 그 위에 놓인 두 점 A(1, - 1) 및 B(λ + 1, 3)가 제공됩니다. λ는 실수입니다. 거리 A B가 5가 되는 이 숫자의 모든 값을 찾아야 합니다.

해결책

점 A와 B 사이의 거리를 찾으려면 공식 A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2를 사용해야 합니다.

실제 좌표 값을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

또한 A B = 5라는 기존 조건을 사용하면 동등성이 참이 됩니다.

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

답: λ = ± 3이면 A B = 5입니다.

실시예 3

초기 데이터: 3차원 공간은 직교 좌표계 O x y z와 그 안에 있는 점 A(1, 2, 3) 및 B - 7, - 2, 4로 지정됩니다.

해결책

문제를 해결하기 위해 공식 A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2를 사용합니다.

실제 값을 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다. A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

답: | AB | = 9

텍스트에 오류가 있으면 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르세요.

지점에서 지점까지의 거리주어진 규모에서 이러한 점을 연결하는 세그먼트의 길이입니다. 따라서 거리를 측정할 때는 측정할 척도(길이 단위)를 알아야 합니다. 따라서 점에서 점까지의 거리를 찾는 문제는 일반적으로 좌표선이나 직사각형 직교 좌표계평면에서나 3차원 공간에서. 즉, 대부분의 경우 좌표를 사용하여 점 사이의 거리를 계산해야 합니다.

이 기사에서는 먼저 좌표선의 한 지점에서 한 지점까지의 거리가 어떻게 결정되는지 기억해 보겠습니다. 다음으로, 주어진 좌표에 따라 평면이나 공간의 두 점 사이의 거리를 계산하는 공식을 얻습니다. 결론적으로 일반적인 사례와 문제에 대한 해결책을 자세히 고려할 것입니다.

페이지 탐색.

좌표선 위의 두 점 사이의 거리.

먼저 표기법을 정의해 보겠습니다. A점에서 B점까지의 거리를 로 표시하겠습니다.

이것으로부터 우리는 다음과 같은 결론을 내릴 수 있습니다. 좌표가 있는 지점 A에서 좌표가 있는 지점 B까지의 거리는 좌표 차이의 계수와 같습니다., 그건, 좌표선의 모든 점 위치에 대해.

평면의 점에서 점까지의 거리, 공식.

우리는 점 사이의 거리를 계산하고 평면의 직사각형 직교 좌표계로 제공되는 공식을 얻습니다.

A점과 B점의 위치에 따라 다음과 같은 옵션이 가능합니다.

점 A와 B가 일치하면 두 점 사이의 거리는 0입니다.

점 A와 B가 가로축에 수직인 직선 위에 있으면 점이 일치하고 거리는 거리와 같습니다. 이전 단락에서 우리는 좌표선 위의 두 점 사이의 거리가 좌표 사이의 차이 계수와 동일하다는 것을 알았습니다. . 따라서, .

마찬가지로 점 A와 B가 세로축에 수직인 직선 위에 있으면 점 A에서 점 B까지의 거리는 로 구됩니다.

이 경우 삼각형 ABC는 직사각형 구조이고 그리고 . 에 의해 피타고라스의 정리우리는 평등을 기록할 수 있습니다.

얻은 모든 결과를 요약해 보겠습니다. 평면 위의 한 점에서 한 점까지의 거리는 다음 공식을 사용하여 점의 좌표를 통해 구합니다. .

점 A와 B가 일치하거나 좌표축 중 하나에 수직인 직선 위에 있을 때 점 사이의 거리를 찾는 결과 공식을 사용할 수 있습니다. 실제로 A와 B가 일치하면 . 점 A와 B가 Ox 축에 수직인 직선 위에 있으면 다음과 같습니다. A와 B가 Oy 축에 수직인 직선 위에 있으면 .

공간의 점 사이의 거리, 공식.

우주의 직교좌표계 Oxyz를 소개하겠습니다. 한 점으로부터의 거리를 구하는 공식을 구해보자 요점까지 .

일반적으로 점 A와 B는 좌표 평면 중 하나와 평행한 평면에 있지 않습니다. 좌표축 Ox, Oy 및 Oz에 수직인 점 A와 B 평면을 통해 그려 보겠습니다. 이 평면과 좌표축의 교차점은 점 A와 B를 이 축에 투영하는 결과를 제공합니다. 우리는 예측을 나타냅니다 .

점 A와 B 사이에 필요한 거리는 대각선입니다. 직육면체그림에 표시되어 있습니다. 구조적으로 이 평행육면체의 크기는 동일합니다. 그리고 . 기하학 과정에서 고등학교직육면체의 대각선의 제곱은 세 차원의 제곱의 합과 같다는 것이 증명되었습니다. 이 기사의 첫 번째 섹션에 있는 정보를 바탕으로 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 다음 평등, 따라서,

우리는 그것을 어디서 얻나요? 공간의 점 사이의 거리를 구하는 공식 .

이 공식은 점 A와 B의 경우에도 유효합니다.

• 일치;
• 좌표축 중 하나에 속하거나 좌표축 중 하나에 평행한 선에 속합니다.
• 좌표 평면 중 하나에 속하거나 좌표 평면 중 하나에 평행한 평면에 속합니다.

지점 간 거리, 예 및 솔루션 찾기.

그래서 우리는 좌표선, 평면, 3차원 공간 위의 두 점 사이의 거리를 구하는 공식을 얻었습니다. 이제 일반적인 예에 ​​대한 솔루션을 살펴보겠습니다.

좌표에 따라 두 점 사이의 거리를 찾는 것이 마지막 단계인 문제의 수는 정말 엄청납니다. 전체 리뷰이러한 예는 이 기사의 범위를 벗어납니다. 여기서는 두 점의 좌표가 알려져 있고 두 점 사이의 거리를 계산해야 하는 예로 제한하겠습니다.