온라인에서 세 개의 숫자를 끄덕이세요. 숫자의 최소 공배수를 찾는 방법

LCM을 계산하는 방법을 이해하려면 먼저 "다중"이라는 용어의 의미를 결정해야 합니다.


A의 배수는 A로 나머지 없이 나누어지는 자연수이므로 5의 배수는 15, 20, 25 등으로 간주될 수 있습니다.


특정 수의 약수는 제한되어 있지만 배수의 수는 무한합니다.


자연수의 공배수는 나머지가 남지 않고 나누어지는 수입니다.

숫자의 최소 공배수를 찾는 방법

최소 공배수(LCM)는 숫자(2, 3 또는 그 이상)로 나누어지는 가장 작은 자연수입니다.


LOC를 찾으려면 여러 가지 방법을 사용할 수 있습니다.


작은 숫자의 경우, 이들 숫자 사이에서 공통점을 찾을 때까지 이 숫자의 모든 배수를 한 줄에 적어 두는 것이 편리합니다. 배수는 대문자 K로 표시됩니다.


예를 들어 4의 배수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.


K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K(6) = (12, 18, 24, ...)


따라서 숫자 4와 6의 최소 공배수는 숫자 24라는 것을 알 수 있습니다. 이 표기법은 다음과 같이 수행됩니다.


LCM(4, 6) = 24


숫자가 큰 경우 세 개 이상의 숫자의 공배수를 찾은 다음 LCM을 계산하는 다른 방법을 사용하는 것이 좋습니다.


작업을 완료하려면 주어진 숫자를 소인수로 분해해야 합니다.


먼저 한 줄에 가장 큰 숫자의 분해를 기록하고 그 아래에 나머지 숫자를 적어야 합니다.


각 숫자의 분해에는 다양한 수의 요인이 포함될 수 있습니다.


예를 들어, 숫자 50과 20을 소인수로 인수분해해 보겠습니다.




작은 숫자의 확장에서는 첫 번째 숫자의 확장에는 없는 요소를 강조할 필요가 있습니다. 큰 숫자을 선택한 다음 추가하세요. 제시된 예에서는 2가 누락되었습니다.


이제 20과 50의 최소공배수를 계산할 수 있습니다.


LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


따라서 큰 수의 소인수와 큰 수의 전개에 포함되지 않은 두 번째 수의 ​​약수를 곱한 것이 최소 공배수가 됩니다.


세 개 이상의 숫자의 최소공배수(LCM)를 구하려면 앞의 경우와 마찬가지로 모든 숫자를 소인수로 인수분해해야 합니다.


예를 들어 숫자 16, 24, 36의 최소공배수를 찾을 수 있습니다.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


따라서 16의 전개에서 2개의 2만이 더 큰 수의 인수분해에 포함되지 않았습니다(1은 24의 전개에 있음).


따라서 더 많은 수의 확장을 위해 추가되어야 합니다.


LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


최소공배수를 결정하는 특별한 경우가 있습니다. 따라서 숫자 중 하나를 나머지 없이 다른 숫자로 나눌 수 있다면 이 숫자 중 더 큰 숫자가 최소 공배수가 됩니다.


예를 들어 12와 24의 LCM은 24입니다.


서로의 최소공배수를 구해야 한다면 소수, 동일한 제수가 없는 경우 LCM은 제품과 동일합니다.


예를 들어 LCM(10, 11) = 110입니다.

정의. a와 b를 나머지 없이 나눈 가장 큰 자연수를 라 한다. 최대 공약수(GCD)이 숫자.

24와 35의 최대공약수를 찾아봅시다.
24의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24이고, 35의 약수는 1, 5, 7, 35입니다.
숫자 24와 35에는 단 하나의 공통 약수, 즉 숫자 1이 있음을 알 수 있습니다. 이러한 숫자를 상호소수.

정의.자연수가 호출됩니다. 상호소수, 최대공약수(GCD)가 1인 경우.

최대 공약수(GCD)주어진 숫자의 모든 약수를 쓰지 않고도 찾을 수 있습니다.

숫자 48과 36을 인수분해하면 다음을 얻습니다.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
이 숫자 중 첫 번째 숫자의 전개에 포함된 요소 중에서 두 번째 숫자의 전개에 포함되지 않은 요소(예: 2 2개)를 지웁니다.
남은 약수는 2 * 2 * 3입니다. 그 곱은 12와 같습니다. 이 숫자는 숫자 48과 36의 최대 공약수입니다. 세 개 이상의 숫자의 최대 공약수도 있습니다.

찾다 최대 공약수

2) 이 숫자 중 하나의 확장에 포함된 요소 중에서 다른 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소를 삭제합니다.
3) 나머지 요소들의 곱을 구합니다.

주어진 모든 숫자가 그 중 하나로 나누어지면 이 숫자는 다음과 같습니다. 최대 공약수주어진 숫자.
예를 들어, 숫자 15, 45, 75 및 180의 최대 공약수는 숫자 15입니다. 왜냐하면 다른 모든 숫자는 45, 75 및 180으로 나누어지기 때문입니다.

최소공배수(LCM)

정의. 최소공배수(LCM)자연수 a와 b는 a와 b의 배수인 가장 작은 자연수입니다. 숫자 75와 60의 최소 공배수(LCM)는 이 숫자의 배수를 연속으로 쓰지 않고도 찾을 수 있습니다. 이를 위해 75와 60을 소인수로 분해해 보겠습니다. 75 = 3 * 5 * 5, 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
첫 번째 숫자의 확장에 포함된 요소를 기록하고 두 번째 숫자의 확장에서 누락된 요소 2와 2를 추가해 보겠습니다(즉, 요소를 결합합니다).
우리는 2 * 2 * 3 * 5 * 5의 5개 인수를 얻습니다. 그 곱은 300입니다. 이 숫자는 숫자 75와 60의 최소 공배수입니다.

또한 세 개 이상의 숫자의 최소 공배수를 찾습니다.

에게 최소 공배수 찾기여러 자연수에는 다음이 필요합니다.
1) 이를 소인수로 고려합니다.
2) 숫자 중 하나의 확장에 포함된 요소를 적습니다.
3) 나머지 숫자의 확장에서 누락된 요소를 추가합니다.
4) 결과 요인의 곱을 찾으십시오.

이 숫자 중 하나가 다른 모든 숫자로 나누어지면 이 숫자는 이 숫자의 최소 공배수입니다.
예를 들어, 숫자 12, 15, 20, 60의 최소 공배수는 모든 숫자로 나누어지기 때문에 60입니다.

피타고라스(기원전 6세기)와 그의 학생들은 숫자의 나눗셈 문제를 연구했습니다. 그들은 (숫자 자체 없이) 모든 약수의 합과 같은 숫자를 완전수라고 불렀습니다. 예를 들어 숫자 6(6 = 1 + 2 + 3), 28(28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14)은 완벽합니다. 다음 완전수는 496, 8128, 33,550,336입니다. 피타고라스학파는 처음 세 개의 완전수만 알고 있었습니다. 네 번째인 8128은 1세기에 알려졌습니다. N. 이자형. 다섯 번째인 33,550,336개는 15세기에 발견되었습니다. 1983년에는 이미 27개의 완전수가 알려져 있었습니다. 그러나 과학자들은 여전히 ​​홀수 완전수가 있는지, 아니면 가장 큰 완전수가 있는지 알지 못합니다.
소수에 대한 고대 수학자들의 관심은 모든 숫자가 소수이거나 소수의 곱으로 표현될 수 있다는 사실에 기인합니다. 즉, 소수는 나머지 자연수가 만들어지는 벽돌과 같습니다.
당신은 아마도 일련의 자연수에서 소수가 고르지 않게 발생한다는 것을 알았을 것입니다. 일련의 일부 부분에는 소수가 더 많고 다른 부분에는 더 적습니다. 그러나 숫자 계열을 따라 더 멀리 이동할수록 소수는 덜 일반적입니다. 질문이 생깁니다: 마지막(가장 큰) 소수가 있습니까? 고대 그리스 수학자 유클리드(기원전 3세기)는 2000년 동안 수학의 주요 교과서였던 그의 저서 '원소'에서 소수가 무한히 많다는 것을 증명했습니다. 즉, 모든 소수 뒤에는 더 큰 소수가 있다는 것입니다. 숫자.
소수를 찾기 위해 같은 시대의 또 다른 그리스 수학자 에라토스테네스가 이 방법을 고안했습니다. 그는 1부터 어떤 숫자까지 모든 숫자를 적고 소수도 합성수도 아닌 하나에 줄을 그었습니다. 그런 다음 2 이후의 모든 숫자(2의 배수인 숫자, 즉 4, 6, 8 등). 2 다음의 첫 번째 남은 숫자는 3이었습니다. 그런 다음 2 이후에는 3 이후의 모든 숫자(3의 배수인 숫자, 즉 6, 9, 12 등)를 지웠습니다. 결국 소수만이 교배되지 않은 채로 남았습니다.

최대 공약수

정의 2

자연수 a가 자연수 $b$로 나누어지면 $b$를 $a$의 제수라고 하고 $a$를 $b$의 배수라고 합니다.

$a$와 $b$를 자연수로 둡니다. $c$라는 숫자를 $a$와 $b$의 공약수라고 합니다.

$a$와 $b$의 공약수 집합은 유한합니다. 왜냐하면 이들 제수 중 어느 것도 $a$보다 클 수 없기 때문입니다. 이는 이러한 제수 중에 가장 큰 것이 있다는 것을 의미하며, 이를 숫자 $a$와 $b$의 최대 공약수라고 하며 다음 표기법으로 표시합니다.

$GCD\(a;b)\ 또는 \D\(a;b)$

두 숫자의 최대 공약수를 찾으려면 다음이 필요합니다.

  1. 2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

실시예 1

$121$과 $132.$의 gcd를 구하세요.

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    이 숫자의 확장에 포함된 숫자를 선택하세요.

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

    $GCD=2\cdot 11=22$

실시예 2

단항식 $63$과 $81$의 gcd를 구합니다.

제시된 알고리즘에 따라 찾아보겠습니다. 이를 위해:

    숫자를 소인수로 분해해보자

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    우리는 이 숫자의 확장에 포함된 숫자를 선택합니다.

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾아보겠습니다. 결과 숫자는 원하는 최대 공약수가 됩니다.

    $GCD=3\cdot 3=9$

숫자의 제수 세트를 사용하여 다른 방법으로 두 숫자의 gcd를 찾을 수 있습니다.

실시예 3

$48$와 $60$의 gcd를 구합니다.

해결책:

$48$의 약수 집합을 찾아봅시다: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

이제 $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) 의 약수 집합을 찾아보겠습니다. $

$\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - 이 세트는 숫자 $48$와 $60의 공약수 세트를 결정합니다. $. 이 세트에서 가장 큰 요소는 $12$라는 숫자입니다. 즉, $48$과 $60$의 최대 공약수는 $12$입니다.

NPL의 정의

정의 3

자연수의 공배수$a$ 및 $b$는 $a$와 $b$의 배수인 자연수입니다.

숫자의 공배수는 원래 숫자로 나머지 없이 나누어지는 숫자입니다. 예를 들어 $25$와 $50$라는 숫자의 경우 공배수는 $50,100,150,200$ 등이 됩니다.

가장 작은 공배수는 최소 공배수라고 하며 LCM$(a;b)$ 또는 K$(a;b).$로 표시됩니다.

두 숫자의 LCM을 찾으려면 다음을 수행해야 합니다.

  1. 숫자를 소인수로 분해
  2. 첫 번째 숫자의 일부인 요소를 적고 두 번째 숫자의 일부이고 첫 번째 숫자의 일부가 아닌 요소를 추가합니다.

실시예 4

$99$와 $77$의 최소공배수를 구하세요.

제시된 알고리즘에 따라 찾아보겠습니다. 이를 위해

    숫자를 소인수로 분해

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    첫 번째에 포함된 요소를 적어보세요.

    첫 번째의 일부가 아닌 두 번째의 일부인 승수를 추가하세요.

    2단계에서 찾은 숫자의 곱을 찾습니다. 결과 숫자는 원하는 최소 공배수가 됩니다.

    $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    숫자의 제수 목록을 작성하는 것은 매우 노동 집약적인 작업인 경우가 많습니다. 유클리드 알고리즘이라는 GCD를 찾는 방법이 있습니다.

    유클리드 알고리즘의 기반이 되는 진술:

    $a$와 $b$가 자연수이고 $a\vdots b$이면 $D(a;b)=b$

    $a$ 및 $b$가 $b와 같은 자연수인 경우

$D(a;b)= D(a-b;b)$를 사용하면 그 중 하나가 다른 숫자로 나누어지는 한 쌍의 숫자에 도달할 때까지 고려 중인 숫자를 연속적으로 줄일 수 있습니다. 그러면 이들 숫자 중 더 작은 숫자가 $a$ 및 $b$ 숫자에 대해 원하는 최대 공약수가 됩니다.

GCD 및 LCM의 속성

  1. $a$와 $b$의 공배수는 K$(a;b)$로 나눌 수 있습니다.
  2. $a\vdots b$ 인 경우 К$(a;b)=a$

    3. K$(a;b)=k$이고 $m$이 자연수이면 K$(am;bm)=km$

    $d$가 $a$와 $b$의 공약수이면 K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

    $a\vdots c$ 및 $b\vdots c$ 이면 $\frac(ab)(c)$는 $a$ 및 $b$의 공배수입니다.

    모든 자연수 $a$ 및 $b$에 대해 동일성이 유지됩니다.

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    $a$와 $b$의 공약수는 $D(a;b)$의 약수입니다.

최대 공약수와 최소 공배수는 쉽게 연산할 수 있는 핵심 산술 개념입니다. 일반 분수. LCM은 여러 분수의 공통 분모를 찾는 데 가장 자주 사용됩니다.

기본 개념

정수 X의 제수는 나머지를 남기지 않고 X를 나누는 또 다른 정수 Y입니다. 예를 들어, 4의 제수는 2이고, 36은 4, 6, 9입니다. 정수 X의 배수는 나머지 없이 X로 나누어지는 숫자 Y입니다. 예를 들어 3은 15의 배수이고, 6은 12의 배수입니다.

숫자 쌍에 대해 우리는 공약수와 배수를 찾을 수 있습니다. 예를 들어 6과 9의 경우 공배수는 18이고 공약수는 3입니다. 분명히 쌍에는 여러 제수와 배수가 있을 수 있으므로 계산에서는 가장 큰 제수 GCD와 가장 작은 배수 LCM을 사용합니다.

최소 제수는 의미가 없습니다. 어떤 숫자에 대해서도 항상 1이기 때문입니다. 배수의 수열이 무한대로 이어지기 때문에 가장 큰 배수도 의미가 없습니다.

gcd 찾기

최대 공약수를 찾는 방법에는 여러 가지가 있으며, 그 중 가장 유명한 방법은 다음과 같습니다.

  • 제수의 순차 검색, 한 쌍의 공통 제수 선택 및 가장 큰 제수 검색;
  • 숫자를 분할할 수 없는 요소로 분해;
  • 유클리드 알고리즘;
  • 바이너리 알고리즘.

오늘 교육 기관가장 널리 사용되는 방법은 소인수분해 방법과 유클리드 알고리즘입니다. 후자는 디오판토스 방정식을 풀 때 사용됩니다. 방정식에서 정수 분해 가능성을 확인하려면 GCD를 검색해야 합니다.

NOC 찾기

최소 공배수는 순차 검색이나 분할할 수 없는 요소로의 분해를 통해 결정됩니다. 또한, 최대약수가 이미 결정되어 있으면 LCM을 쉽게 찾을 수 있습니다. 숫자 X와 Y의 경우 LCM과 GCD는 다음 관계로 관련됩니다.

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

예를 들어 GCM(15,18) = 3이면 LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90입니다. LCM을 사용하는 가장 확실한 예는 최소 공배수인 공통 분모를 찾는 것입니다. 주어진 분수.

서로소수

한 쌍의 숫자에 공약수가 없으면 이러한 쌍을 서로소(coprime)라고 합니다. 이러한 쌍의 gcd는 항상 1과 같고, 제수와 배수 사이의 연결을 기반으로 서로소 쌍의 gcd는 해당 곱과 같습니다. 예를 들어 숫자 25와 28은 공약수가 없고 곱에 해당하는 LCM(25, 28) = 700이므로 상대적으로 소수입니다. 나눌 수 없는 두 숫자는 항상 상대적으로 소수입니다.

공약수 및 다중 계산기

계산기를 사용하면 선택할 수 있는 임의의 수에 대한 GCD 및 LCM을 계산할 수 있습니다. 공약수와 배수를 계산하는 작업은 5학년 및 6학년 산술에서 찾을 수 있지만, GCD와 LCM은 수학의 핵심 개념이며 정수론, 면적 측정 및 의사소통 대수학에 사용됩니다.

실제 사례

분수의 공통분모

최소공배수는 여러 분수의 공통분모를 찾을 때 사용됩니다. 산술 문제에서 5개의 분수를 더해야 한다고 가정해 보겠습니다.

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

분수를 더하려면 표현식을 공통 분모로 줄여야 하며, 이는 LCM을 찾는 문제로 줄어듭니다. 이렇게 하려면 계산기에서 5개의 숫자를 선택하고 해당 셀에 분모 값을 입력합니다. 프로그램은 LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360을 계산합니다. 이제 분모에 대한 LCM의 비율로 정의되는 각 분수에 대한 추가 요소를 계산해야 합니다. 따라서 추가 승수는 다음과 같습니다.

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

그런 다음 모든 분수에 해당 추가 요소를 곱하여 다음을 얻습니다.

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

이러한 분수를 쉽게 합산하여 159/360이라는 결과를 얻을 수 있습니다. 분수를 3으로 줄이면 최종 답인 53/120을 볼 수 있습니다.

선형 디오판토스 방정식 풀기

선형 디오판토스 방정식은 ax + by = d 형식의 표현식입니다. d / gcd(a, b) 비율이 정수이면 방정식은 정수로 풀 수 있습니다. 정수 해가 있는지 알아보기 위해 몇 가지 방정식을 확인해 보겠습니다. 먼저 방정식 150x + 8y = 37을 확인해 보겠습니다. 계산기를 사용하여 GCD(150.8) = 2를 찾습니다. 37/2 = 18.5로 나눕니다. 숫자는 정수가 아니므로 방정식에는 정수근이 없습니다.

방정식 1320x + 1760y = 10120을 확인해 보겠습니다. 계산기를 사용하여 GCD(1320, 1760) = 440을 찾습니다. 10120/440 = 23으로 나눕니다. 결과적으로 정수를 얻으므로 디오판토스 방정식은 정수 계수로 풀 수 있습니다. .

결론

GCD와 LCM은 정수론에서 큰 역할을 하며 개념 자체는 다양한 수학 분야에서 널리 사용됩니다. 계산기를 사용하여 모든 숫자의 최대 약수와 최소 배수를 계산하세요.


아래 제시된 자료는 LCM(최소 공배수, 정의, 예, LCM과 GCD 간의 연결)이라는 제목의 기사에서 나온 이론의 논리적 연속입니다. 여기서 우리는 최소 공배수(LCM) 찾기, 그리고 예제 해결에 특별한 주의를 기울일 것입니다. 먼저, 두 숫자의 GCD를 사용하여 두 숫자의 LCM을 계산하는 방법을 보여 드리겠습니다. 다음으로, 숫자를 소인수로 인수분해하여 최소 공배수를 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 이후에는 3개의 LCM을 찾는 데 중점을 두고 더숫자를 계산하고 음수의 LCM 계산에도 주의하세요.

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GCD를 통해 최소 공배수(LCM) 계산

최소 공배수를 찾는 한 가지 방법은 LCM과 GCD 간의 관계를 기반으로 합니다. LCM과 GCD 간의 기존 연결을 통해 알려진 최대 공약수를 통해 두 양의 정수의 최소 공배수를 계산할 수 있습니다. 해당 공식은 LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . 주어진 공식을 이용하여 LCM을 구하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

두 숫자 126과 70의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

이 예에서는 a=126 , b=70 입니다. 공식으로 표현되는 LCM과 GCD 간의 연결을 사용해 보겠습니다. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). 즉, 먼저 숫자 70과 126의 최대 공약수를 찾아야 하며, 그 후에 작성된 공식을 사용하여 이 숫자의 LCM을 계산할 수 있습니다.

유클리드 알고리즘을 사용하여 GCD(126, 70)를 구해보겠습니다: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, 따라서 GCD(126, 70)=14.

이제 필요한 최소 공배수를 찾습니다. GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

답변:

LCM(126, 70)=630 .

예.

LCM(68, 34)은 무엇입니까?

해결책.

왜냐하면 68은 34로 나누어지면 GCD(68, 34)=34입니다. 이제 최소 공배수를 계산합니다. 글쿨(68, 34)=68·34:글쿨(68, 34)= 68·34:34=68.

답변:

LCM(68, 34)=68 .

이전 예는 양의 정수 a와 b에 대한 LCM을 찾는 다음 규칙에 적합합니다. 숫자 a가 b로 나누어지면 이 숫자의 최소 공배수는 a입니다.

숫자를 소인수로 분해하여 LCM 찾기

최소 공배수를 찾는 또 다른 방법은 숫자를 소인수로 분해하는 것입니다. 주어진 숫자의 모든 소인수로 곱을 구성한 다음 주어진 숫자의 분해에 존재하는 모든 공통 소인수를 이 곱에서 제외하면 결과 곱은 주어진 숫자의 최소 공배수와 같습니다. .

LCM을 찾기 위해 명시된 규칙은 등식을 따릅니다. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). 실제로 숫자 a와 b의 곱은 숫자 a와 b의 전개와 관련된 모든 요소의 곱과 같습니다. 결과적으로 GCD(a, b)는 숫자 a와 b의 전개에 동시에 존재하는 모든 소인수의 곱과 같습니다(수를 소인수로 전개하여 GCD를 찾는 섹션에 설명된 대로).

예를 들어 보겠습니다. 75=3·5·5, 210=2·3·5·7임을 알립니다. 이러한 확장의 모든 요소로부터 제품을 구성해 보겠습니다. 2·3·3·5·5·5·7 . 이제 이 곱에서 숫자 75의 전개와 숫자 210의 전개에 존재하는 모든 요소(이 요소는 3과 5)를 제외하면 결과는 2·3·5·5·7의 형태를 취하게 됩니다. . 이 곱의 값은 75와 210의 최소공배수, 즉 NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

예.

숫자 441과 700을 소인수로 인수분해하고 이 숫자의 최소 공배수를 찾습니다.

해결책.

숫자 441과 700을 소인수로 분해해 보겠습니다.

441=3·3·7·7과 700=2·2·5·5·7을 얻습니다.

이제 2·2·3·3·5·5·7·7·7이라는 숫자의 확장과 관련된 모든 요소로부터 제품을 만들어 보겠습니다. 이 곱에서 두 확장에 동시에 존재하는 모든 요소를 ​​제외하겠습니다(이러한 요소는 하나만 있습니다. 이는 숫자 7입니다): 2·2·3·3·5·5·7·7. 따라서, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

답변:

NOC(441, 700)= 44 100 .

숫자를 소인수로 분해하여 LCM을 찾는 규칙은 약간 다르게 공식화될 수 있습니다. 숫자 b의 전개에서 누락된 인수를 숫자 a의 확장에서 얻은 인수에 추가하면 결과 곱의 값은 숫자 a와 b의 최소 공배수와 같습니다..

예를 들어, 동일한 숫자 75와 210을 취하면 소인수로 분해하면 75=3·5·5 및 210=2·3·5·7과 같습니다. 숫자 75의 전개에서 나온 인수 3, 5, 5에 숫자 210의 확장에서 누락된 인수 2와 7을 추가하면 2·3·5·5·7의 곱을 얻습니다. 그 값은 다음과 같습니다. LCM(75, 210)과 같습니다.

예.

84와 648의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

먼저 숫자 84와 648을 소인수로 분해합니다. 84=2·2·3·7과 648=2·2·2·3·3·3·3처럼 보입니다. 숫자 84의 전개에서 나온 인수 2, 2, 3, 7에 숫자 648의 확장에서 누락된 인수 2, 3, 3, 3을 추가하여 곱 2 2 2 3 3 3 3 7을 얻습니다. 이는 4 536 과 같습니다. 따라서 84와 648의 원하는 최소 공배수는 4,536입니다.

답변:

LCM(84, 648)=4,536 .

세 개 이상의 숫자의 LCM 찾기

세 개 이상의 숫자의 최소공배수는 두 숫자의 최소 공배수를 순차적으로 구하면 구할 수 있습니다. 세 개 이상의 숫자의 최소공배수(LCM)를 찾는 방법을 제공하는 해당 정리를 떠올려 보겠습니다.

정리.

양의 정수 a 1 , a 2 , ..., a k 가 주어지면, 이들 숫자의 최소 공배수 m k 는 m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a )를 순차적으로 계산하여 구합니다. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

네 숫자의 최소 공배수를 찾는 예를 사용하여 이 정리의 적용을 고려해 보겠습니다.

예.

4개 숫자 140, 9, 54, 250의 최소공배수(LCM)를 구합니다.

해결책.

이 예에서는 a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250입니다.

먼저 우리는 찾아 m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). 이를 위해 유클리드 알고리즘을 사용하여 GCD(140, 9)를 결정하면 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, 따라서 GCD(140, 9)=1 , 여기서 GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. 즉, m 2 =1 260입니다.

이제 우리는 찾습니다 m 3 = LOC(m 2 , a 3) = LOC(1 260, 54). 이를 GCD(1 260, 54)를 통해 계산해 보겠습니다. 이 역시 유클리드 알고리즘을 사용하여 결정합니다: 1 260=54·23+18, 54=18·3. 그러면 gcd(1,260, 54)=18, 즉 gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780이 됩니다. 즉, m 3 =3 780입니다.

남은 건 찾는 일뿐 m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). 이를 위해 유클리드 알고리즘(3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3)을 사용하여 GCD(3,780, 250)를 찾습니다. 따라서 GCM(3,780, 250)=10이므로 GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. 즉, m 4 =94,500입니다.

따라서 원래 네 숫자의 최소 공배수는 94,500입니다.

답변:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

많은 경우, 주어진 숫자의 소인수분해를 사용하여 세 개 이상의 숫자의 최소 공배수를 찾는 것이 편리합니다. 이 경우 다음 규칙을 준수해야 합니다. 여러 숫자의 최소 공배수는 다음과 같이 구성되는 곱과 같습니다. 두 번째 숫자의 확장에서 누락된 요소는 첫 번째 숫자의 확장에서 발생한 모든 요소에 추가되고, 세 번째 숫자는 결과 요인에 추가됩니다.

소인수분해를 이용하여 최소 공배수를 구하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

84, 6, 48, 7, 143 다섯 숫자의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

먼저, 우리는 이 숫자들을 소인수로 분해합니다: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7은 소수이며, 일치합니다. 소인수로 분해) 및 143=11·13입니다.

이 숫자의 LCM을 찾으려면 첫 번째 숫자 84(2, 2, 3, 7)의 인수에 두 번째 숫자 6의 전개에서 누락된 인수를 추가해야 합니다. 첫 번째 숫자 84의 분해에는 2와 3이 모두 이미 존재하므로 숫자 6의 분해에는 누락된 인수가 포함되지 않습니다. 다음으로, 요소 2, 2, 3, 7에 세 번째 숫자 48의 확장에서 누락된 요소 2와 2를 추가하여 요소 2, 2, 2, 2, 3, 7의 집합을 얻습니다. 7이 이미 포함되어 있으므로 다음 단계에서 이 세트에 승수를 추가할 필요가 없습니다. 마지막으로, 요소 2, 2, 2, 2, 3, 7에 숫자 143의 확장에서 누락된 요소 11과 13을 추가합니다. 우리는 2·2·2·2·3·7·11·13의 곱을 얻습니다. 이는 48,048과 같습니다.

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