최대 공약수와 최소. 학교 수학 과정에 숫자의 "최대 공약수(GCD)"와 "최소 공배수(LCD)" 개념을 도입하는 이유는 무엇입니까?

이 기사는 최대 공약수(GCD) 찾기두 개 그리고 더숫자. 먼저 유클리드 알고리즘을 살펴보겠습니다. 이를 통해 두 숫자의 gcd를 찾을 수 있습니다. 그 후에, 공통 소인수의 곱으로 숫자의 gcd를 계산할 수 있는 방법에 중점을 둘 것입니다. 다음으로, 세 개 이상의 숫자의 최대 공약수를 찾는 방법을 살펴보고, 음수의 gcd를 계산하는 예도 제시하겠습니다.

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GCD를 찾기 위한 유클리드 알고리즘

처음부터 소수 표를 살펴보았다면 숫자 661과 113이 소수라는 것을 알게 되었을 것이며, 이로부터 최대 공약수는 1이라고 즉시 말할 수 있습니다.

답변:

GCD(661, 113)=1 .

숫자를 소인수로 분해하여 GCD 찾기

GCD를 찾는 또 다른 방법을 고려해 보겠습니다. 최대 공약수는 숫자를 소인수로 나누어 구할 수 있습니다. 규칙을 만들어 봅시다: 두 양의 정수 a와 b의 gcd는 숫자 a와 b의 소인수분해에서 발견된 모든 공통 소인수의 곱과 같습니다..

GCD를 찾는 규칙을 설명하는 예를 들어 보겠습니다. 숫자 220과 600을 소인수로 분해하면 220=2·2·5·11과 600=2·2·2·3·5·5의 형태를 갖습니다. 숫자 220과 600을 인수분해하는 데 사용되는 일반적인 소인수는 2, 2, 5입니다. 따라서 GCD(220, 600)=2·2·5=20이 됩니다.

따라서 숫자 a와 b를 소인수로 인수분해하고 모든 공통 인수의 곱을 찾으면 숫자 a와 b의 최대 공약수를 찾을 수 있습니다.

명시된 규칙에 따라 GCD를 찾는 예를 살펴보겠습니다.

예.

숫자 72와 96의 최대 공약수를 찾으세요.

해결책.

숫자 72와 96을 소인수로 분해해 보겠습니다.

즉, 72=2·2·2·3·3이고 96=2·2·2·2·2·3이다. 공통 소인수는 2, 2, 2, 3입니다. 따라서 GCD(72, 96)=2·2·2·3=24이다.

답변:

글쿨(72, 96)=24 .

이 단락의 결론에서 우리는 GCD를 찾기 위한 위 규칙의 타당성은 최대 공약수의 속성에 따른다는 점에 주목합니다. GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), 여기서 m은 양의 정수입니다.

세 개 이상의 숫자의 gcd 찾기

세 개 이상의 숫자의 최대 공약수를 찾는 것은 두 숫자의 gcd를 순차적으로 찾는 것으로 축소될 수 있습니다. 우리는 GCD의 속성을 연구할 때 이것을 언급했습니다. 거기서 우리는 정리를 공식화하고 증명했습니다. 여러 숫자 a 1, a 2, ..., a k의 최대 공약수는 숫자 d k와 같습니다. 이는 GCD(a 1, a 2)=d 2를 순차적으로 계산하여 구합니다. , GCD(d 2, a 3) =d 3, GCD(d 3, a 4)=d 4,..., GCD(d k-1, a k)=d k.

예제에 대한 해법을 살펴보며 여러 숫자의 gcd를 찾는 과정이 어떤지 살펴보겠습니다.

예.

78, 294, 570, 36이라는 네 숫자의 최대공약수를 찾아보세요.

해결책.

이 예에서는 a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36입니다.

먼저 유클리드 알고리즘을 사용하여 처음 두 숫자 78과 294의 최대 공약수 d 2 를 결정합니다. 나누면 294 = 78 3 + 60 등식을 얻습니다. 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 및 18=6·3. 따라서 d 2 =GCD(78, 294)=6입니다.

이제 계산해보자 d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). 유클리드 알고리즘을 다시 적용해 보겠습니다: 570=6·95, 따라서 d 3 = GCD(6, 570)=6입니다.

계산이 남았다 d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36은 6으로 나누어질 수 있으므로 d 4 = GCD(6, 36) = 6입니다.

따라서 주어진 네 숫자의 최대 공약수는 d 4 =6, 즉 gcd(78, 294, 570, 36)=6입니다.

답변:

글쿨(78, 294, 570, 36)=6 .

숫자를 소인수로 분해하면 세 개 이상의 숫자에 대한 gcd를 계산할 수도 있습니다. 이 경우 최대 공약수는 주어진 숫자의 모든 공통 소인수의 곱으로 구됩니다.

예.

소인수분해를 사용하여 이전 예의 숫자의 gcd를 계산합니다.

해결책.

78, 294, 570, 36을 소인수분해하면 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2가 된다. ·3· 3. 이 네 숫자의 공통 소인수는 숫자 2와 3입니다. 따라서, 글쿨(78, 294, 570, 36)=2·3=6.

란치노바 아이사

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숫자의 GCD 및 LCM 문제 MCOU "Kamyshovskaya 중등 학교"Lantsinova Aisa 감독자 Zoya Erdnigoryaevna Goryaeva, 수학 교사 p. 카미셰보, 2013

숫자 50, 75, 325의 gcd를 구하는 예입니다. 1) 숫자 50, 75, 325를 소인수분해해 보겠습니다. 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙ 13 2) 이 숫자 중 하나의 확장에 포함된 요소 중에서 다른 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소를 지웁니다. . 50= 2 ∙ 5 ∙ 5 75= 3 ∙ 5 ∙ 5 325= 5 ∙ 5 ∙13 3) 나머지 인수의 곱을 구합니다. 5 ∙ 5 = 25 답: GCD (50, 75 및 325) = 25 가장 큰 자연 숫자 a와 b를 나머지 없이 나눌 때, 이들 숫자의 최대공약수를 이 숫자의 최대공약수라고 합니다.

숫자 72, 99, 117의 최소공배수를 구하는 예 1) 숫자 72, 99, 117을 소인수분해해보자 72 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 99 = 3 ∙ 3 ∙ 11 117 = 3 ∙ 3 ∙13 2) 숫자 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 중 하나의 전개에 포함된 인수를 적고 나머지 숫자에서 누락된 인수를 추가합니다. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13 3) 결과 요인의 곱을 구합니다. 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 3 ∙ 11 ∙ 13= 10296 답: LCM (72, 99 and 117) = 10296 자연수 a와 b의 최소공배수는 a의 배수인 가장 작은 자연수입니다. 그리고 b.

판지는 길이가 48cm, 너비가 40cm인 직사각형 모양으로, 이 시트를 낭비 없이 동일한 정사각형으로 잘라야 합니다. 이 워크시트에서 얻을 수 있는 가장 큰 정사각형은 무엇이며 몇 개입니까? 해결책: 1) S = a ∙ b – 직사각형의 면적. S= 48 ∙ 40 = 1960cm². – 판지 영역. 2) a – 정사각형 48의 측면: a – 판지 길이를 따라 놓을 수 있는 정사각형의 수입니다. 40: a – 판지 너비에 걸쳐 놓을 수 있는 정사각형의 수입니다. 3) GCD(40 및 48) = 8(cm) – 정사각형의 한 변. 4) S = a² – 한 정사각형의 면적. S = 8² = 64(cm²) – 정사각형 1개의 면적. 5) 1960년: 64 = 30(제곱수). 답: 한 변의 길이가 8cm인 정사각형 30개입니다. GCD 문제

방의 벽난로는 정사각형 타일로 마감해야 합니다. 195 ͯ 156 cm 크기의 벽난로에는 몇 개의 타일이 필요하며 그 개수는 무엇입니까? 가장 큰 치수타일? 해결책: 1) S = 196 ͯ 156 = 30420(cm²) – 벽난로 표면의 S. 2) GCD(195 및 156) = 39(cm) – 타일의 측면. 3) S = a² = 39² = 1521(cm²) – 1타일의 면적. 4) 30420: = 20(개). 답: 39 ͯ 39(cm) 크기의 타일 20개. GCD 문제

둘레 54 ͯ 48m 크기의 정원에는 울타리를 쳐야 하며, 이를 위해서는 콘크리트 기둥을 일정한 간격으로 배치해야 합니다. 현장에 몇 개의 기둥을 가져와야 하며, 기둥은 서로 최대 얼마나 떨어져 배치됩니까? 해결책: 1) P = 2(a + b) – 부지의 둘레. P = 2(54 + 48) = 204m 2) GCD(54 및 48) = 6(m) – 기둥 사이의 거리. 3) 204: 6 = 34(기둥). 답: 6m 거리에 있는 34개의 기둥 GCD 문제

꽃다발은 부르고뉴 210송이, 흰색 장미 126송이, 붉은 장미 294송이로 수집되었으며, 각 꽃다발에는 동일한 색상의 동일한 수의 장미가 포함되어 있습니다. 이 장미로 만든 꽃다발의 최대 수는 얼마이며, 꽃다발 하나에는 색깔별 장미가 몇 개씩 들어 있습니까? 해결책: 1) GCD (210, 126 및 294) = 42 (부케). 2) 210:42 = 5(버건디 장미). 3) 126:42 = 3(흰장미). 4) 294: 42 = 7(빨간 장미). 답변: 꽃다발 42개: 각 꽃다발에 부르고뉴 5개, 흰색 3개, 빨간 장미 7개. GCD 문제

Tanya와 Masha는 같은 수의 우편물 세트를 구입했습니다. Tanya는 90 루블을 지불했고 Masha는 5 루블을 지불했습니다. 더. 한세트 비용은 얼마인가요? 한 사람이 몇 세트를 구입했습니까? 해결책: 1) 90 + 5 = 95 (문지름) Masha가 지불했습니다. 2) GCD(90 및 95) = 5(문지름) – 1세트 가격. 3) 980: 5 = 18(세트) – 타냐가 구매함. 4) 95: 5 = 19(세트) – 마샤가 구매함. 답변 : 5 루블, 18 세트, 19 세트. GCD 문제

세 번의 관광 보트 여행이 항구 도시에서 시작됩니다. 첫 번째 여행은 15일, 두 번째 여행은 20일, 세 번째 여행은 12일 동안 진행됩니다. 항구로 돌아온 배는 같은 날 다시 출발했습니다. 오늘 선박은 세 경로 모두에서 항구를 떠났습니다. 며칠 뒤에 그들은 다시 처음으로 함께 항해를 하게 될까요? 각 배는 몇 번의 여행을 하게 될까요? 해결 방법: 1) NOC(15,20 및 12) = 60(일) – 회의 시간. 2) 60: 15 = 4(항해) – 1척. 3) 60: 20 = 3(항해) – 2척. 4) 60: 12 = 5(항공편) – 3척. 답: 60일, 4편, 3편, 5편. NOC 업무

마샤는 가게에서 곰에게 줄 계란을 샀어요. 숲으로 가는 길에 그녀는 알의 수가 2,3,5,10, 15로 나누어진다는 것을 깨달았습니다. 마샤는 몇 개의 알을 샀습니까? 풀이: LOC (2;3;5;10;15) = 30 (계란) 정답: Masha는 30개의 계란을 샀습니다. NOC 업무

16 ͯ 20 cm 크기의 상자를 수용하려면 바닥이 정사각형인 상자를 만들어야 하는데, 상자를 상자에 단단히 고정하려면 정사각형 바닥 변의 가장 짧은 길이는 얼마입니까? 해결 방법: 1) LCM(16 및 20) = 80(박스). 2) S = a ∙ b – 1박스의 면적. S = 16 ∙ 20 = 320(cm²) – 상자 1개의 바닥 면적. 3) 320 ∙ 80 = 25600 (cm²) – 정사각형 바닥의 면적. 4) S = a² = a ∙ a 25600 = 160 ∙ 160 – 상자 크기. 답: 160cm는 정사각형 바닥의 한 변입니다. NOC 업무

K 지점에서 도로를 따라 45m마다 전신주가 있는데, 이 전신주를 다른 전신주로 교체하여 서로 60m 떨어진 곳에 배치하기로 결정했습니다. 기둥은 몇 개였고, 몇 개나 될까요? 해결 방법: 1) LCM(45 및 60) = 180. 2) 180: 45 = 4 – 기둥이 있었습니다. 3) 180:60 = 3 – 기둥이 되었다. 답: 기둥 4개, 기둥 3개. NOC 업무

12명 일렬로 행진하다가 18명 일렬로 바뀐다면 열병식장에는 몇 명의 군인들이 행진하는가? 해결책: 1) NOC(12 및 18) = 36(명) - 행진. 답: 36명. NOC 업무

아래 제시된 자료는 LCM(최소 공배수, 정의, 예, LCM과 GCD 간의 연결)이라는 제목의 기사에서 나온 이론의 논리적 연속입니다. 여기서 우리는 최소 공배수(LCM) 찾기, 그리고 예제 해결에 특별한 주의를 기울일 것입니다. 먼저, 두 숫자의 GCD를 사용하여 두 숫자의 LCM을 계산하는 방법을 보여 드리겠습니다. 다음으로, 숫자를 소인수로 인수분해하여 최소 공배수를 찾는 방법을 살펴보겠습니다. 이후에는 세 개 이상의 숫자에 대한 최소공배수(LCM)를 구하는 데 중점을 두고, 음수의 최소공배수(LCM) 계산에도 주의를 기울일 것입니다.

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GCD를 통해 최소 공배수(LCM) 계산

최소 공배수를 찾는 한 가지 방법은 LCM과 GCD 간의 관계를 기반으로 합니다. LCM과 GCD 간의 기존 연결을 통해 알려진 최대 공약수를 통해 두 양의 정수의 최소 공배수를 계산할 수 있습니다. 해당 공식은 LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . 주어진 공식을 이용하여 LCM을 구하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

두 숫자 126과 70의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

이 예에서는 a=126 , b=70 입니다. 공식으로 표현되는 LCM과 GCD 간의 연결을 사용해 보겠습니다. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). 즉, 먼저 숫자 70과 126의 최대 공약수를 찾아야 하며, 그 후에 작성된 공식을 사용하여 이 숫자의 LCM을 계산할 수 있습니다.

유클리드 알고리즘을 사용하여 GCD(126, 70)를 구해보겠습니다: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, 따라서 GCD(126, 70)=14.

이제 필요한 최소 공배수를 찾습니다. GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

답변:

LCM(126, 70)=630 .

예.

LCM(68, 34)은 무엇입니까?

해결책.

왜냐하면 68은 34로 나누어지면 GCD(68, 34)=34입니다. 이제 최소 공배수를 계산합니다. 글쿨(68, 34)=68·34:글쿨(68, 34)= 68·34:34=68.

답변:

LCM(68, 34)=68 .

이전 예는 양의 정수 a와 b에 대한 LCM을 찾는 다음 규칙에 적합합니다. 숫자 a가 b로 나누어지면 이 숫자의 최소 공배수는 a입니다.

숫자를 소인수로 분해하여 LCM 찾기

최소 공배수를 찾는 또 다른 방법은 숫자를 소인수로 분해하는 것입니다. 주어진 숫자의 모든 소인수로 곱을 구성한 다음 주어진 숫자의 분해에 존재하는 모든 공통 소인수를 이 곱에서 제외하면 결과 곱은 주어진 숫자의 최소 공배수와 같습니다. .

LCM을 찾기 위해 명시된 규칙은 등식을 따릅니다. LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). 실제로 숫자 a와 b의 곱은 숫자 a와 b의 전개와 관련된 모든 요소의 곱과 같습니다. 결과적으로, GCD(a, b)는 숫자 a와 b의 전개에 동시에 존재하는 모든 소인수의 곱과 같습니다(수를 소인수로 전개하여 GCD를 찾는 섹션에 설명된 대로).

예를 들어 보겠습니다. 75=3·5·5, 210=2·3·5·7임을 알립니다. 이러한 확장의 모든 요소로부터 제품을 구성해 보겠습니다. 2·3·3·5·5·5·7 . 이제 이 곱에서 우리는 숫자 75의 전개와 숫자 210의 전개에 존재하는 모든 요소(이 요소는 3과 5)를 제외하고 결과는 2·3·5·5·7의 형태를 취하게 됩니다. . 이 곱의 값은 75와 210의 최소공배수, 즉 NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

예.

숫자 441과 700을 소인수로 인수분해하고 이 숫자의 최소 공배수를 찾습니다.

해결책.

숫자 441과 700을 소인수로 분해해 보겠습니다.

441=3·3·7·7과 700=2·2·5·5·7을 얻습니다.

이제 2·2·3·3·5·5·7·7·7이라는 숫자의 확장과 관련된 모든 요소로부터 제품을 만들어 보겠습니다. 이 곱에서 두 확장에 동시에 존재하는 모든 요소를 ​​제외하겠습니다(이러한 요소는 하나만 있습니다. 이는 숫자 7입니다): 2·2·3·3·5·5·7·7. 따라서, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

답변:

NOC(441, 700)= 44 100 .

숫자를 소인수로 분해하여 LCM을 찾는 규칙은 약간 다르게 공식화될 수 있습니다. 숫자 b의 전개에서 누락된 인수를 숫자 a의 전개에서 얻은 인수에 추가하면 결과 곱의 값은 숫자 a와 b의 최소 공배수와 같습니다..

예를 들어, 동일한 숫자 75와 210을 취하면 소인수로 분해하면 75=3·5·5 및 210=2·3·5·7과 같습니다. 숫자 75의 전개에서 나온 인수 3, 5, 5에 숫자 210의 확장에서 누락된 인수 2와 7을 추가하면 2·3·5·5·7의 곱을 얻습니다. 그 값은 다음과 같습니다. LCM(75, 210)과 같습니다.

예.

84와 648의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

먼저 숫자 84와 648을 소인수로 분해합니다. 84=2·2·3·7과 648=2·2·2·3·3·3·3처럼 보입니다. 숫자 84의 전개에서 나온 인수 2, 2, 3, 7에 숫자 648의 확장에서 누락된 인수 2, 3, 3, 3을 추가하여 곱 2 2 2 3 3 3 3 7을 얻습니다. 이는 4 536 과 같습니다. 따라서 84와 648의 원하는 최소 공배수는 4,536입니다.

답변:

LCM(84, 648)=4,536 .

세 개 이상의 숫자의 LCM 찾기

세 개 이상의 숫자의 최소공배수는 두 숫자의 최소 공배수를 순차적으로 구하면 구할 수 있습니다. 세 개 이상의 숫자의 최소공배수(LCM)를 찾는 방법을 제공하는 해당 정리를 떠올려 보겠습니다.

정리.

양의 정수 a 1 , a 2 , ..., a k 가 주어지면, 이들 숫자의 최소 공배수 m k 는 m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a )를 순차적으로 계산하여 구합니다. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

네 숫자의 최소 공배수를 찾는 예를 사용하여 이 정리의 적용을 고려해 보겠습니다.

예.

4개 숫자 140, 9, 54, 250의 최소공배수(LCM)를 구합니다.

해결책.

이 예에서는 a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250입니다.

먼저 우리는 찾아 m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). 이를 위해 유클리드 알고리즘을 사용하여 GCD(140, 9)를 결정하면 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, 따라서 GCD(140, 9)=1 , 여기서 GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. 즉, m 2 =1 260입니다.

이제 우리는 찾습니다 m 3 = LOC(m 2 , a 3) = LOC(1 260, 54). 이를 GCD(1 260, 54)를 통해 계산해 보겠습니다. 이 역시 유클리드 알고리즘을 사용하여 결정합니다: 1 260=54·23+18, 54=18·3. 그러면 gcd(1,260, 54)=18, 즉 gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780이 됩니다. 즉, m 3 =3 780입니다.

남은 건 찾는 일뿐 m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). 이를 위해 유클리드 알고리즘(3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3)을 사용하여 GCD(3,780, 250)를 찾습니다. 따라서 GCM(3,780, 250)=10이므로 GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. 즉, m 4 =94,500입니다.

따라서 원래 네 숫자의 최소 공배수는 94,500입니다.

답변:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

많은 경우, 주어진 숫자의 소인수분해를 사용하여 세 개 이상의 숫자의 최소 공배수를 찾는 것이 편리합니다. 이 경우 다음 규칙을 준수해야 합니다. 여러 숫자의 최소 공배수는 다음과 같이 구성되는 곱과 같습니다. 두 번째 숫자의 확장에서 누락된 요소는 첫 번째 숫자의 확장에서 발생한 모든 요소에 추가되고, 세 번째 숫자는 결과 요인에 추가됩니다.

소인수분해를 이용하여 최소 공배수를 구하는 예를 살펴보겠습니다.

예.

84, 6, 48, 7, 143 다섯 숫자의 최소공배수를 구합니다.

해결책.

먼저, 우리는 이 숫자들을 소인수로 분해합니다: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7은 소수이며, 일치합니다. 소인수로 분해) 및 143=11·13입니다.

이 숫자의 LCM을 찾으려면 첫 번째 숫자 84(2, 2, 3, 7)의 인수에 두 번째 숫자 6의 전개에서 누락된 인수를 추가해야 합니다. 첫 번째 숫자 84의 분해에는 2와 3이 모두 이미 존재하므로 숫자 6의 분해에는 누락된 인수가 포함되지 않습니다. 다음으로, 요소 2, 2, 3, 7에 세 번째 숫자 48의 확장에서 누락된 요소 2와 2를 추가하여 요소 2, 2, 2, 2, 3, 7의 집합을 얻습니다. 7이 이미 포함되어 있으므로 다음 단계에서 이 세트에 승수를 추가할 필요가 없습니다. 마지막으로, 요소 2, 2, 2, 2, 3, 7에 숫자 143의 확장에서 누락된 요소 11과 13을 추가합니다. 우리는 2·2·2·2·3·7·11·13의 곱을 얻습니다. 이는 48,048과 같습니다.

두 개 이상의 숫자의 최대 공약수를 찾는 방법을 배우려면 자연수, 소수, 복소수가 무엇인지 이해해야 합니다.

자연수는 전체 물체의 수를 세는 데 사용되는 모든 숫자입니다.

자연수가 자신과 1로만 나누어질 수 있는 경우 이를 소수라고 합니다.

모든 자연수는 자기 자신과 하나로 나눌 수 있지만, 유일한 짝수는 소수는 2이고 나머지는 모두 2로 나눌 수 있습니다. 그러므로 홀수만이 소수가 될 수 있다.

소수가 많아요 전체 목록그들은 존재하지 않습니다. GCD를 찾으려면 해당 숫자가 포함된 특수 테이블을 사용하는 것이 편리합니다.

대부분의 자연수는 1뿐만 아니라 다른 숫자로도 나눌 수 있습니다. 예를 들어, 숫자 15는 또 다른 3과 5로 나눌 수 있습니다. 이 모두를 숫자 15의 약수라고 합니다.

따라서 임의의 A의 제수는 나머지 없이 나누어질 수 있는 수입니다. 숫자에 두 개 이상의 자연 요인이 있는 경우 이를 합성이라고 합니다.

숫자 30은 1, 3, 5, 6, 15, 30과 같은 약수를 가질 수 있습니다.

15와 30의 약수는 1, 3, 5, 15로 동일합니다. 이 두 숫자의 최대 공약수는 15입니다.

따라서 숫자 A와 B의 공약수는 숫자 A와 B를 완전히 나눌 수 있는 숫자입니다. 가장 큰 것은 최대로 간주 될 수 있습니다 총 수, 로 나눌 수 있습니다.

문제를 해결하기 위해 다음과 같은 약식 비문이 사용됩니다.

GCD(A; B).

예를 들어, gcd (15; 30) = 30입니다.

모든 약수를 적으려면 자연수, 항목이 적용됩니다.

디(15) = (1, 3, 5, 15)

글쿨(9, 15) = 1

이 예에서 자연수에는 단 하나의 공약수가 있습니다. 그들은 상대적으로 소수라고 부르므로 단위는 그들의 최대 공약수입니다.

숫자의 최대 공약수를 찾는 방법

여러 숫자의 gcd를 찾으려면 다음이 필요합니다.

각 자연수의 모든 약수를 개별적으로 찾습니다. 즉, 인수분해(소수)합니다.

주어진 숫자의 동일한 요소를 모두 선택합니다.

그것들을 함께 곱하세요.

예를 들어, 숫자 30과 56의 최대 공약수를 계산하려면 다음과 같이 작성합니다.

혼란을 피하기 위해 수직 열을 사용하여 요인을 작성하는 것이 편리합니다. 선의 왼쪽에는 배당금을 배치하고 오른쪽에는 제수를 배치해야합니다. 배당금 아래에 결과 몫을 표시해야 합니다.

따라서 오른쪽 열에는 솔루션에 필요한 모든 요소가 있습니다.

편의를 위해 동일한 제수(발견된 인수)에 밑줄을 그을 수 있습니다. 다시 작성하고 곱하고 최대 공약수를 적어야 합니다.

글쿨(30; 56) = 2 * 5 = 10

이것이 숫자의 최대 공약수를 찾는 것이 얼마나 쉬운 지입니다. 조금만 연습하면 거의 자동으로 할 수 있습니다.

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주목! 슬라이드 미리보기는 정보 제공의 목적으로만 제공되며 프레젠테이션의 모든 기능을 나타내지 않을 수도 있습니다. 이 작품에 관심이 있으시면 정식 버전을 다운로드하시기 바랍니다.

중등학교 학생들은 6학년 때 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCM)의 개념을 접하게 됩니다. 이 주제는 항상 이해하기 어렵습니다. 아이들은 종종 이러한 개념을 혼동하고 왜 공부해야 하는지 이해하지 못합니다. 최근 대중 과학 문헌에는 이 자료를 학교 커리큘럼에서 제외해야 한다는 고립된 진술이 있었습니다. 나는 이것이 전적으로 사실이 아니라고 생각하며 수업 시간이 아니더라도 학교 구성 수업 중 과외 시간에 공부해야한다고 생각합니다. 왜냐하면 학생들의 논리적 사고 발달에 기여하고 계산 작업 속도를 높이기 때문입니다. 그리고 아름다운 방법을 사용하여 문제를 해결하는 능력.

"분수 덧셈과 뺄셈"이라는 주제를 공부할 때 다른 분모"우리는 아이들에게 두 개 이상의 숫자의 공통분모를 찾도록 가르칩니다. 예를 들어 분수 1/3과 1/5를 더해야 합니다. 학생들은 3과 5로 나누어지는 숫자를 나머지 없이 쉽게 찾을 수 있습니다. 숫자 15입니다. 실제로 숫자가 작을 경우 구구단을 잘 알면 공통 분모를 쉽게 찾을 수 있습니다. 어린이 중 한 명은 이 숫자가 숫자 3과 5의 곱이라는 것을 알아차립니다. 이 방법으로 숫자의 공통 분모를 찾는 것이 항상 가능하다고 생각합니다. 예를 들어 분수 7/18과 5/24를 뺍니다. 숫자 18과 24의 곱을 구해 보겠습니다. 이는 432와 같습니다. 이미 받았습니다 큰 숫자, 추가로 계산을 수행해야 하는 경우(특히 모든 작업에 대한 예) 오류 가능성이 높아집니다. 그러나 발견된 최소 공배수(LCM)는 이 경우 최소 공통 분모(LCD)인 숫자 72와 동일하며 계산을 크게 촉진하고 예제에 대한 더 빠른 솔루션을 제공하므로 비용을 절약할 수 있습니다. 최종 테스트를 완료하는 데 중요한 역할을 하는 이 작업을 완료하는 데 할당된 시간, 테스트, 특히 최종 평가 중에.

"분수 감소"라는 주제를 공부할 때 숫자의 나눗셈 기호를 사용하여 분수의 분자와 분모를 동일한 자연수로 나누어 순차적으로 이동하여 궁극적으로 기약 분수를 얻을 수 있습니다. 예를 들어 분수 128/344를 줄여야 합니다. 먼저 분수의 분자와 분모를 숫자 2로 나누면 분수 64/172를 얻습니다. 다시 한 번 결과 분수의 분자와 분모를 2로 나누면 분수 32/86을 얻습니다. 분수의 분자와 분모를 다시 2로 나누면 기약 분수 16/43을 얻습니다. 그러나 숫자 128과 344의 최대 공약수를 찾으면 분수를 줄이는 것이 훨씬 더 쉬워집니다. GCD(128, 344) = 8. 분수의 분자와 분모를 이 숫자로 나누면 즉시 기약 분수를 얻습니다. .

애들한테 보여줘야지 다른 방법들숫자의 최대 공약수(GCD)와 최소 공배수(LCM)를 구합니다. 간단한 경우에는 간단한 열거를 통해 숫자의 최대공약수(GCD)와 최소공배수(LCD)를 구하는 것이 편리합니다. 숫자가 커질수록 소인수분해를 사용할 수 있습니다. 6학년 교과서(저자 N.Ya. Vilenkin)는 숫자의 최대 공약수(GCD)를 찾는 다음과 같은 방법을 보여줍니다. 숫자를 소인수로 분해해 보겠습니다.

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

그런 다음 이 숫자 중 하나의 확장에 포함된 요소 중에서 다른 숫자의 확장에 포함되지 않은 요소를 제거합니다. 나머지 요소의 곱은 이 숫자의 최대 공약수가 됩니다. 이 경우 이것은 숫자 8입니다. 내 경험에 따르면 숫자 분해에서 동일한 요소에 밑줄을 긋고 분해 중 하나에서 다음의 곱을 찾는 것이 아이들에게 더 명확하다고 확신합니다. 밑줄 친 요소. 이것은 이 숫자들의 최대 공약수입니다. 6학년이 되면 아이들은 활동적이고 호기심이 많습니다. 다음 작업을 설정할 수 있습니다. 설명된 방법을 사용하여 숫자 343과 287의 최대 공약수를 찾아보세요. 이를 소인수로 인수분해하는 방법은 즉시 명확하지 않습니다. 그리고 여기에서 고대 그리스인이 발명한 놀라운 방법에 대해 설명할 수 있습니다. 이 방법을 사용하면 최대 공약수(GCD)를 소인수로 분해하지 않고도 검색할 수 있습니다. 최대 공약수를 찾는 이 방법은 유클리드의 저서 Elements에서 처음 설명되었습니다. 유클리드 알고리즘이라고 합니다. 이는 다음과 같이 구성됩니다. 먼저, 더 큰 숫자를 더 작은 숫자로 나눕니다. 나머지를 얻으면 더 작은 숫자를 나머지로 나눕니다. 나머지가 다시 얻어지면 첫 번째 나머지를 두 번째로 나눕니다. 나머지가 0이 될 때까지 이런 식으로 계속 나눕니다. 마지막 제수는 이 숫자의 최대 공약수(GCD)입니다.

예제로 돌아가서 명확성을 위해 솔루션을 표 형식으로 작성해 보겠습니다.

따라서 gcd(344,287) = 7

같은 숫자의 최소 공배수(LCM)를 찾는 방법은 무엇입니까? 이 숫자를 소인수로 사전 분해할 필요가 없는 방법이 있습니까? 그것은 아주 간단한 것으로 밝혀졌습니다. 이 숫자를 곱하고 그 결과를 우리가 찾은 최대 공약수(GCD)로 나누어야 합니다. 이 예에서 숫자의 곱은 98441입니다. 이를 7로 나누어 숫자 14063을 얻습니다. LCM(343,287) = 14063.

수학에서 어려운 주제 중 하나는 단어 문제를 푸는 것입니다. 우리는 학생들에게 GCD(최대 공약수)와 LCM(최소 공배수)의 개념을 사용하여 일반적인 방법으로는 해결하기 어려운 문제를 어떻게 해결할 수 있는지 보여줄 필요가 있습니다. 여기에서는 학교 교과서의 저자가 제안한 과제와 함께 아이들의 호기심을 키우고 이 주제 연구에 대한 관심을 높이는 고대의 재미있는 과제를 학생들과 함께 고려하는 것이 적절합니다. 이러한 개념을 능숙하게 숙달하면 학생들은 비표준 문제에 대한 아름다운 해결책을 볼 수 있습니다. 그리고 좋은 문제를 해결한 후 아이의 기분이 좋아진다면 이는 성공적인 일의 신호입니다.

따라서 학교에서는 숫자의 "최대 공약수(GCD)" 및 "최소 공배수(LCD)"와 같은 개념을 공부합니다.

작업 완료에 할당된 시간을 절약할 수 있어 완료된 작업의 양이 크게 늘어납니다.

산술 연산 수행의 속도와 정확성을 높여 계산 오류 수를 크게 줄입니다.

당신이 찾을 수 있습니다 아름다운 방법비표준 텍스트 문제 해결

학생들의 호기심을 키우고 시야를 넓힙니다.

다재다능한 창의적 인성교육을 위한 전제조건을 마련합니다.