확률변수의 수학적 기대와 분산. 이산 확률 변수의 수학적 기대 이산 확률 변수의 수학적 기대
DSV의 특성과 그 속성. 기대, 분산, 표준편차
분포법칙은 확률변수의 특성을 완전히 나타냅니다. 그러나 분포 법칙을 찾는 것이 불가능하거나 이것이 필요하지 않은 경우에는 확률변수의 수치적 특성이라는 값을 찾는 것으로 제한할 수 있습니다. 이 값은 무작위 변수의 값이 그룹화되는 일부 평균값과 이 평균값 주위에 분산되는 정도를 결정합니다.
수학적 기대이산 확률 변수는 확률 변수의 가능한 모든 값과 확률의 곱의 합입니다.
등식의 우변에 있는 계열이 절대적으로 수렴하는 경우 수학적 기대가 존재합니다.
확률의 관점에서 볼 때 수학적 기대값은 관측된 확률 변수 값의 산술 평균과 거의 동일하다고 말할 수 있습니다.
예. 이산 확률 변수의 분포 법칙이 알려져 있습니다. 수학적 기대값을 구합니다.
| 엑스 | ||||
| 피 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
해결책:
9.2 수학적 기대값의 속성
1. 상수 값에 대한 수학적 기대는 상수 자체와 같습니다.
2. 상수 인자는 수학적 기대값의 표시로 꺼낼 수 있습니다. 
3. 두 독립 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대값은 해당 수학적 기대값의 곱과 같습니다.
이 속성은 임의의 수의 임의 변수에 대해 적용됩니다.
4. 두 확률 변수의 합에 대한 수학적 기대값은 해당 항의 수학적 기대값의 합과 같습니다.
이 속성은 임의의 수의 임의 변수에도 적용됩니다.
n개의 독립적인 시행을 수행하고, 사건 A의 발생 확률은 p와 같습니다.
정리. n번의 독립적 시행에서 사건 A의 발생 횟수에 대한 수학적 기대 M(X)는 시행 횟수와 각 시행에서 사건이 발생할 확률을 곱한 것과 같습니다.
예. X와 Y의 수학적 기대값이 알려진 경우 확률 변수 Z의 수학적 기대값을 구합니다(M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y).
해결책:
9.3 이산확률변수의 분산
그러나 수학적 기대는 무작위 과정을 완전히 특성화할 수 없습니다. 수학적 기대값 외에도, 수학적 기대값과 랜덤 변수 값의 편차를 나타내는 값을 입력해야 합니다.
이 편차는 확률 변수와 수학적 기대값 간의 차이와 같습니다. 이 경우 편차에 대한 수학적 기대치는 0입니다. 이는 가능한 편차 중 일부는 양수이고 다른 편차는 음수이며 상호 취소의 결과로 0이 얻어지기 때문에 설명됩니다.
분산(산란)이산 확률 변수의 수학적 기대값은 확률 변수의 수학적 기대값과의 편차 제곱의 수학적 기대값입니다.
실제로 이러한 분산 계산 방법은 불편합니다. 많은 수의 랜덤 변수 값에 대한 계산이 번거로워집니다.
따라서 다른 방법이 사용됩니다.
정리. 분산은 확률 변수 X의 제곱에 대한 수학적 기대값과 해당 수학적 기대값의 제곱 간의 차이와 같습니다..
증거. 수학적 기대 M(X)와 수학적 기대 M2(X)의 제곱이 일정한 양이라는 사실을 고려하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
예. 분포법칙에 의해 주어진 이산확률변수의 분산을 구합니다.
| 엑스 | ||||
| X 2 | ||||
| 아르 자형 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
해결책: .
9.4 분산 특성
1. 상수 값의 분산은 0입니다. .
2. 상수 인자는 분산 부호를 제곱하여 빼낼 수 있습니다. 
.
3. 두 독립 확률 변수의 합의 분산은 이들 변수의 분산의 합과 같습니다. .
4. 두 독립확률변수의 차이의 분산은 이들 변수의 분산의 합과 같습니다. .
정리. 사건 발생 확률 p가 일정한 n번의 독립적 시행에서 사건 A 발생 횟수의 분산은 시행 횟수와 발생 확률 및 비발생 확률을 곱한 것과 같습니다. 각 재판에서 사건이 발생합니다.
9.5 이산확률변수의 표준편차
표준 편차확률 변수 X를 분산의 제곱근이라고 합니다.
정리. 유한한 수의 상호 독립 확률 변수 합의 표준 편차는 이러한 변수의 표준 편차 제곱 합의 제곱근과 같습니다.
확률 이론과 많은 응용 분야에서 확률 변수의 다양한 수치적 특성은 매우 중요합니다. 주요한 것은 수학적 기대와 분산입니다.
1. 확률변수와 그 속성에 대한 수학적 기대.
먼저 다음 예를 살펴보겠습니다. 식물이 다음으로 구성된 배치를 받도록 하십시오. N문장. 여기서:
m 1 x 1,
m 2- 외경이 있는 베어링 수 x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- 외경이 있는 베어링 수 xn,
여기 m 1 +m 2 +...+mn =N. 산술평균을 구해보자 x 평균베어링의 외경. 확실히,
무작위로 꺼낸 베어링의 외경은 값을 취하는 무작위 변수로 간주될 수 있습니다. x 1, x 2, ..., xn, 해당 확률 p 1 =m 1 /N, p 2 =m 2 /N, ..., p n =m n /N, 확률이 높기 때문에 피 나는외경이 있는 베어링의 모습 x 나는동일 m 나는 /N. 따라서 산술 평균은 x 평균베어링의 외경은 관계식을 사용하여 결정될 수 있습니다. 
주어진 확률분포법칙을 갖는 이산확률변수라 하자
가치
x 1
x 2
. . .
xn
확률
p 1
p2
. . .
피앤
수학적 기대 이산확률변수해당 확률에 따라 임의 변수의 가능한 모든 값의 쌍을 이룬 곱의 합입니다. 즉 *
이 경우, 등식(40)의 우변의 가적분이 존재한다고 가정합니다.
수학적 기대의 속성을 고려해 봅시다. 이 경우, 우리는 이산 확률 변수에 대해 수행할 처음 두 속성의 증명으로만 제한할 것입니다.
1°. 상수 C의 수학적 기대값은 이 상수와 같습니다..
증거.끊임없는 씨하나의 값만 취할 수 있는 확률변수로 생각할 수 있습니다. 씨확률은 1과 같습니다. 그렇기 때문에 
2°. 상수 인자는 수학적 기대값의 부호를 넘어설 수 있습니다., 즉. 
증거.관계식 (39)를 사용하면 다음과 같습니다. 
3°. 여러 확률 변수의 합에 대한 수학적 기대값은 이러한 변수에 대한 수학적 기대값의 합과 같습니다.:
이전에 우리는 인수 분포의 법칙이 알려진 경우 함수의 수치적 특성을 찾을 수 있는 여러 공식을 제시했습니다. 그러나 많은 경우 함수의 수치적 특성을 찾기 위해서는 인수 분포의 법칙을 알 필요조차 없고 함수의 수치적 특성 중 일부만 알면 충분합니다. 동시에 우리는 일반적으로 분배 법칙 없이 생활합니다. 인수의 주어진 수치적 특성으로부터 함수의 수치적 특성을 결정하는 것은 확률 이론에서 널리 사용되며 여러 문제의 해결을 크게 단순화할 수 있습니다. 이러한 단순화된 방법의 대부분은 선형 함수와 관련이 있습니다. 그러나 일부 기본 비선형 함수도 유사한 접근 방식을 허용합니다.
현재 우리는 함수의 수치적 특성에 대한 여러 가지 정리를 제시할 것이며, 이는 다양한 조건에 적용할 수 있는 이러한 특성을 계산하기 위한 매우 간단한 장치를 함께 나타냅니다.
1. 무작위가 아닌 값의 수학적 기대
공식화 된 속성은 매우 분명합니다. 이는 무작위가 아닌 변수를 확률이 1인 하나의 가능한 값을 갖는 특별한 유형의 무작위로 간주하여 증명할 수 있습니다. 그런 다음 수학적 기대에 대한 일반 공식에 따라:
.
2. 무작위가 아닌 수량의 분산
무작위가 아닌 값인 경우
3. 수학적 기대값의 부호를 무작위가 아닌 값으로 대체
, (10.2.1)
즉, 무작위가 아닌 값은 수학적 기대값의 표시로 간주될 수 있습니다.
증거.
a) 불연속 수량의 경우
b) 연속 수량의 경우
.
4. 분산 및 표준편차의 부호를 무작위가 아닌 값으로 대체
가 무작위가 아닌 수량이고 무작위인 경우
, (10.2.2)
즉, 분산의 부호를 제곱하여 무작위가 아닌 값을 제거할 수 있습니다.
증거. 분산의 정의에 따라
결과
,
즉, 절대값으로 표준편차 부호에서 무작위가 아닌 값을 제거할 수 있습니다. 우리는 식 (10.2.2)에서 제곱근을 취하고 r.s.o.를 고려하여 증명을 얻습니다. - 상당히 긍정적인 값입니다.
5. 확률변수의 합에 대한 수학적 기대
임의의 두 확률 변수에 대해 이를 증명해 보겠습니다.
즉, 두 확률변수의 합에 대한 수학적 기대치는 두 확률변수의 수학적 기대값의 합과 같습니다.
이 속성은 수학적 기대값 덧셈의 정리로 알려져 있습니다.
증거.
a) 불연속 확률 변수 시스템을 가정해 보겠습니다. 두 인수 함수의 수학적 기대값에 대한 확률 변수의 합에 일반 공식(10.1.6)을 적용해 보겠습니다.
.
Ho는 수량이 다음과 같은 가치를 가질 총 확률에 지나지 않습니다.
;
따라서,
.
우리도 마찬가지로 증명할 것이다
,
그리고 정리가 증명되었습니다.
b) 연속확률변수 시스템이라고 하자. 공식 (10.1.7)에 따르면
. (10.2.4)
첫 번째 적분(10.2.4)을 변환해 보겠습니다.
;
비슷하게
,
그리고 정리가 증명되었습니다.
수학적 기대값을 추가하는 정리는 종속 변수와 독립 변수 모두에 대해 모든 확률 변수에 유효하다는 점에 특히 유의해야 합니다.
수학적 기대치를 추가하는 정리는 임의의 수의 항으로 일반화됩니다.
, (10.2.5)
즉, 여러 확률 변수의 합에 대한 수학적 기대값은 해당 수학적 기대값의 합과 같습니다.
이를 증명하려면 완전 유도 방법을 사용하면 충분합니다.
6. 선형 함수의 수학적 기대
여러 임의 인수로 구성된 선형 함수를 생각해 보세요.
비랜덤 계수는 어디에 있습니까? 그것을 증명해보자
, (10.2.6)
즉, 선형 함수의 수학적 기대값은 인수의 수학적 기대값의 동일한 선형 함수와 같습니다.
증거. m.o의 덧셈 정리를 사용하여 그리고 m.o. 기호 외부에 무작위가 아닌 수량을 배치하는 규칙을 통해 다음을 얻습니다.
.
7. 디스플레이에프이 확률 변수의 합
두 확률 변수의 합의 분산은 분산의 합에 상관 순간의 두 배를 더한 것과 같습니다.
증거. 나타내자
수학적 기대값 덧셈의 정리에 따르면
확률 변수에서 해당 중심 변수로 이동해 보겠습니다. 평등(10.2.8)에서 항별로 평등(10.2.9)을 빼면 다음과 같습니다.
분산의 정의에 따라
Q.E.D.
합의 분산에 대한 공식(10.2.7)은 임의 개수의 항으로 일반화될 수 있습니다.
,
(10.2.10)
수량의 상관 순간은 어디에 있습니까? 합계 아래의 부호는 합계가 확률 변수의 가능한 모든 쌍별 조합으로 확장됨을 의미합니다. 
.
증명은 이전 증명과 유사하며 다항식의 제곱에 대한 공식을 따릅니다.
공식(10.2.10)은 다른 형식으로 작성할 수 있습니다.
, (10.2.11)
여기서 이중 합은 수량 시스템의 상관 행렬의 모든 요소로 확장됩니다. , 상관 모멘트와 분산을 모두 포함합니다.
모든 확률변수가 있는 경우 시스템에 포함된 는 상관되지 않습니다(즉, ). 공식(10.2.10)은 다음과 같은 형식을 취합니다.
, (10.2.12)
즉, 상관관계가 없는 랜덤 변수의 합의 분산은 항의 분산의 합과 같습니다.
이 위치는 분산 덧셈의 정리로 알려져 있습니다.
8. 선형함수의 분산
여러 확률 변수의 선형 함수를 고려해 봅시다.
무작위가 아닌 수량은 어디에 있습니까?
이 선형 함수의 분산이 다음 공식으로 표현된다는 것을 증명해 보겠습니다.
, (10.2.13)
수량의 상관 순간은 어디에 있습니까?
증거. 표기법을 소개하겠습니다.
. (10.2.14)
식 (10.2.14)의 오른쪽에 합의 분산을 위해 식 (10.2.10)을 적용하고 이를 고려하면 다음을 얻습니다.
수량의 상관 순간은 어디에 있습니까?
.
이 순간을 계산해 봅시다. 우리는:
;
비슷하게
이 식을 (10.2.15)에 대입하면 식 (10.2.13)에 도달합니다.
모든 수량을 처리하는 특별한 경우 상관 관계가 없으면 공식 (10.2.13)은 다음 형식을 취합니다.
, (10.2.16)
즉, 상관되지 않은 확률 변수의 선형 함수의 분산은 계수의 제곱과 해당 인수의 분산을 곱한 값의 합과 같습니다.
9. 확률변수 곱의 수학적 기대
두 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대치는 수학적 기대치에 상관 순간을 더한 결과와 같습니다.
증거. 상관 순간의 정의부터 진행하겠습니다.
수학적 기대의 속성을 사용하여 이 표현식을 변환해 보겠습니다.
이는 분명히 공식 (10.2.17)과 동일합니다.
확률 변수가 상관되지 않은 경우 공식 (10.2.17)은 다음 형식을 취합니다.
즉, 상관관계가 없는 두 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대값은 해당 수학적 기대값의 곱과 같습니다.
이 입장은 수학적 기대치의 곱셈의 정리로 알려져 있습니다.
공식(10.2.17)은 두 번째 혼합 초기 모멘트와 수학적 기대를 통해 시스템의 두 번째 혼합 중심 모멘트를 표현한 것에 지나지 않습니다.
. (10.2.19)
이 표현은 실제로 하나의 확률변수에 대한 분산이 두 번째 초기 적률과 수학적 기대값을 통해 계산되는 것과 같은 방식으로 상관 적률을 계산할 때 실제로 자주 사용됩니다.
수학적 기대치의 곱셈 정리는 임의의 수의 요소로 일반화됩니다. 이 경우에만 적용을 위해 양이 상관되지 않는 것만으로는 충분하지 않지만 더 높은 혼합 모멘트가 필요합니다. 그 수는 다음과 같습니다. 제품의 용어 수에 따라 사라집니다. 이러한 조건은 곱에 포함된 확률변수가 독립이면 확실히 만족됩니다. 이 경우
, (10.2.20)
즉, 독립 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대치는 수학적 기대치의 곱과 같습니다.
이 명제는 완전 귀납법으로 쉽게 증명될 수 있습니다.
10. 독립확률변수의 곱의 분산
독립된 수량에 대해 이를 증명해 보겠습니다.
증거. 을 나타내자. 분산의 정의에 따라
양이 독립적이기 때문에
독립인 경우 수량도 독립입니다. 따라서,
,
그러나 크기의 두 번째 초기 순간 외에는 아무것도 없으므로 분산을 통해 표현됩니다.
;
비슷하게
.
이러한 표현을 식(10.2.22)에 대입하고 유사한 용어를 가져오면 식(10.2.21)에 도달합니다.
중심확률변수(수학적 기대치가 0인 변수)를 곱하는 경우 공식(10.2.21)은 다음과 같은 형식을 취합니다.
, (10.2.23)
즉, 독립 중심 확률 변수의 곱의 분산은 해당 분산의 곱과 같습니다.
11. 확률 변수의 합이 더 높은 모멘트
어떤 경우에는 독립 확률 변수 합계의 가장 높은 적률을 계산해야 합니다. 몇 가지 관련 관계를 증명해 보겠습니다.
1) 양이 독립인 경우
증거.
수학적 기대값의 곱셈 정리에 따르면
그러나 모든 수량에 대한 첫 번째 중심 모멘트는 0입니다. 두 개의 중간항이 사라지고 식 (10.2.24)이 증명됩니다.
관계식(10.2.24)은 임의의 개수의 독립 항에 대한 귀납법을 통해 쉽게 일반화됩니다.
. (10.2.25)
2) 두 개의 독립 확률변수의 합의 네 번째 중심 모멘트는 다음 식으로 표현됩니다.
수량의 차이는 어디에 있고 .
증명은 이전 증명과 완전히 유사합니다.
완전 귀납법을 사용하면 식 (10.2.26)의 일반화를 임의의 개수의 독립항으로 쉽게 증명할 수 있습니다.
이산 확률 공간에 주어진 확률 변수 X의 수학적 기대값(평균 값)은 계열이 절대적으로 수렴하는 경우 m =M[X]=∑x i p i 수입니다.
서비스 목적. 온라인 서비스 이용 수학적 기대, 분산 및 표준 편차가 계산됩니다.(예제 참조). 또한, 분포 함수 F(X)의 그래프가 그려집니다.
확률변수의 수학적 기대값의 속성
- 상수 값의 수학적 기대값은 그 자체와 같습니다. M[C]=C, C – 상수;
- M=C M[X]
- 확률 변수의 합에 대한 수학적 기대값은 수학적 기대값의 합과 같습니다. M=M[X]+M[Y]
- 독립 확률 변수의 곱에 대한 수학적 기대값은 수학적 기대값의 곱과 같습니다. X와 Y가 독립인 경우 M=M[X] M[Y] .
분산 특성
- 상수 값의 분산은 0입니다: D(c)=0.
- 상수 인자는 분산 기호 아래에서 제곱하여 꺼낼 수 있습니다: D(k*X)= k 2 D(X).
- 확률 변수 X와 Y가 독립이면 합의 분산은 분산의 합과 같습니다: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- 확률변수 X와 Y가 종속인 경우: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- 다음 계산 공식은 분산에 유효합니다.
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
예. 두 개의 독립 확률 변수 X와 Y의 수학적 기대치와 분산은 다음과 같이 알려져 있습니다: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. 확률변수 Z=9X-8Y+7의 수학적 기대값과 분산을 구합니다.
해결책. 수학적 기대의 속성에 기초: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
분산 특성에 기초: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
수학적 기대값을 계산하는 알고리즘
이산 확률 변수의 속성: 모든 값은 자연수로 다시 번호를 매길 수 있습니다. 각 값에 0이 아닌 확률을 할당합니다.- 우리는 쌍을 하나씩 곱합니다: x i by p i .
- 각 쌍 x i p i 의 곱을 더합니다.
예를 들어, n = 4의 경우: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
예 1.
| x 나는 | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| 피 나는 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
m = ∑x i p i 공식을 사용하여 수학적 기대값을 구합니다.
기대M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 공식을 사용하여 분산을 구합니다.
분산 D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
표준편차 σ(x).
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78
예 2. 이산확률변수에는 다음과 같은 분포 계열이 있습니다.
| 엑스 | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| 아르 자형 | ㅏ | 0,32 | 2ㅏ | 0,41 | 0,03 |
해결책. a의 값은 다음 관계식에서 구됩니다: Σp i = 1
Σp i = a + 0.32 + 2a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3a = 1
0.76 + 3 a = 1 또는 0.24=3 a , 여기서 a = 0.08
예 번호 3. 분산이 알려진 경우 이산 확률 변수의 분포 법칙을 결정하고 x 1
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p4=0.3
d(x)=12.96
해결책.
여기에서 분산 d(x)를 찾기 위한 공식을 만들어야 합니다.
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
여기서 기대값 m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
우리 데이터의 경우
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
또는 -9/100(x 2 -20x+96)=0
따라서 방정식의 근을 찾아야하며 그 중 두 가지가 있습니다.
엑스 3 =8, 엑스 3 =12
조건을 만족하는 것을 선택하세요 x 1
이산확률변수의 분포 법칙
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0.3; p2=0.3; p3=0.1; p4=0.3
확률 이론은 고등 교육 기관의 학생들만 연구하는 수학의 특수 분야입니다. 계산과 공식을 좋아하시나요? 이산 확률 변수의 정규 분포, 앙상블 엔트로피, 수학적 기대 및 분산에 대해 알게 될 가능성이 두렵지 않습니까? 그렇다면 이 주제가 당신에게 매우 흥미로울 것입니다. 이 과학 분야의 가장 중요한 몇 가지 기본 개념에 대해 알아 보겠습니다.
기본을 기억하자
확률 이론의 가장 간단한 개념을 기억하더라도 기사의 첫 번째 단락을 무시하지 마십시오. 요점은 기본 사항에 대한 명확한 이해가 없으면 아래에 설명된 공식을 사용할 수 없다는 것입니다.
따라서 임의의 이벤트가 발생하고 일부 실험이 발생합니다. 우리가 취하는 조치의 결과로 몇 가지 결과를 얻을 수 있습니다. 그 중 일부는 더 자주 발생하고 다른 일부는 덜 자주 발생합니다. 사건의 확률은 가능한 결과의 총 수에 대해 한 유형에서 실제로 얻은 결과 수의 비율입니다. 이 개념의 고전적인 정의를 아는 것만으로 연속 확률 변수의 수학적 기대와 분산을 연구할 수 있습니다.
평균
학교로 돌아가서 수학 수업 중에 산술 평균을 다루기 시작했습니다. 이 개념은 확률 이론에서 널리 사용되므로 무시할 수 없습니다. 현재 우리에게 가장 중요한 것은 무작위 변수의 수학적 기대와 분산에 대한 공식에서 이를 접하게 된다는 것입니다.
일련의 숫자가 있고 산술 평균을 찾고 싶습니다. 우리에게 필요한 것은 사용 가능한 모든 것을 합산하고 시퀀스의 요소 수로 나누는 것입니다. 1부터 9까지의 숫자를 생각해 보겠습니다. 요소의 합은 45가 되며 이 값을 9로 나눕니다. 답: - 5.
분산
과학적 용어로 분산은 산술 평균에서 얻은 특성 값의 편차의 평균 제곱입니다. 하나의 라틴 대문자 D로 표시됩니다. 계산하려면 무엇이 필요합니까? 수열의 각 요소에 대해 기존 숫자와 산술 평균의 차이를 계산하고 이를 제곱합니다. 우리가 고려하고 있는 이벤트에 대한 결과만큼 정확하게 많은 가치가 있을 것입니다. 다음으로, 수신된 모든 것을 합산하고 시퀀스의 요소 수로 나눕니다. 가능한 결과가 5개라면 5로 나눕니다.
분산에는 문제를 해결할 때 사용하기 위해 기억해야 할 속성도 있습니다. 예를 들어, 확률 변수를 X배 증가시키면 분산은 X 제곱배(예: X*X)만큼 증가합니다. 이는 결코 0보다 작지 않으며 값을 같은 양만큼 위아래로 이동하는 데 의존하지 않습니다. 또한 독립 시행의 경우 합의 분산은 분산의 합과 같습니다.
이제 우리는 이산 확률 변수의 분산과 수학적 기대의 예를 확실히 고려해야 합니다.
21번의 실험을 실행하여 7가지 다른 결과를 얻었다고 가정해 보겠습니다. 우리는 각각 1번, 2번, 2번, 3번, 4번, 4번, 5번 관찰했습니다. 분산은 어떻게 될까요?
먼저 산술 평균을 계산해 보겠습니다. 요소의 합은 물론 21입니다. 이를 7로 나누어 3을 얻습니다. 이제 원래 수열의 각 숫자에서 3을 빼고 각 값을 제곱한 다음 결과를 더합니다. 결과는 12입니다. 이제 우리가 해야 할 일은 숫자를 요소 수로 나누는 것뿐입니다. 그게 전부인 것 같습니다. 하지만 문제가 있습니다! 그것에 대해 논의합시다.
실험 횟수에 따른 의존성
분산을 계산할 때 분모에는 N 또는 N-1이라는 두 숫자 중 하나가 포함될 수 있습니다. 여기서 N은 수행된 실험 수 또는 시퀀스의 요소 수입니다(본질적으로는 동일함). 이것은 무엇에 달려 있습니까?
테스트 횟수가 수백 단위로 측정되면 분모에 N을 입력해야 합니다. 단위라면 N-1입니다. 과학자들은 아주 상징적으로 경계를 그리기로 결정했습니다. 오늘은 숫자 30을 통과합니다. 실험이 30회 미만이면 그 양을 N-1로 나누고, 그 이상이면 N으로 나눕니다.
일
분산 문제와 수학적 기대 문제를 해결하는 예로 돌아가 보겠습니다. 우리는 N 또는 N-1로 나누어야 하는 중간 숫자 12를 얻었습니다. 30개 미만인 21개의 실험을 수행했으므로 두 번째 옵션을 선택하겠습니다. 따라서 답은 다음과 같습니다. 분산은 12/2 = 2입니다.
기대값
이 기사에서 고려해야 할 두 번째 개념으로 넘어가겠습니다. 수학적 기대는 가능한 모든 결과에 해당 확률을 곱한 결과입니다. 획득한 값과 분산 계산 결과는 문제에서 얼마나 많은 결과를 고려하더라도 전체 문제에 대해 한 번만 획득된다는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
수학적 기대값에 대한 공식은 매우 간단합니다. 결과에 확률을 곱하고 두 번째, 세 번째 결과 등에 동일한 값을 더합니다. 이 개념과 관련된 모든 것은 계산하기 어렵지 않습니다. 예를 들어, 기대값의 합은 합의 기대값과 같습니다. 작품에서도 마찬가지다. 확률 이론의 모든 수량을 사용하여 이러한 간단한 작업을 수행할 수 있는 것은 아닙니다. 문제를 풀어서 우리가 공부한 두 개념의 의미를 한번에 계산해 봅시다. 게다가 우리는 이론 때문에 주의가 산만해졌습니다. 이제 연습할 시간입니다.
또 하나의 예
우리는 50번의 시도를 실행했고 10가지 유형의 결과(0부터 9까지의 숫자)가 다양한 비율로 나타나는 것을 얻었습니다. 이는 각각 2%, 10%, 4%, 14%, 2%,18%, 6%, 16%, 10%, 18%입니다. 확률을 얻으려면 백분율 값을 100으로 나누어야 함을 기억하십시오. 따라서 0.02를 얻습니다. 0.1 등 확률변수의 분산과 수학적 기대값에 대한 문제를 해결하는 예를 제시해 보겠습니다.
우리는 초등학교에서 기억하는 공식인 50/10 = 5를 사용하여 산술 평균을 계산합니다.
이제 더 쉽게 계산할 수 있도록 확률을 "조각"의 결과 수로 변환해 보겠습니다. 우리는 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 및 9를 얻습니다. 얻은 각 값에서 산술 평균을 뺀 후 얻은 각 결과를 제곱합니다. 예를 들어 첫 번째 요소를 사용하여 이 작업을 수행하는 방법을 확인하세요. 1 - 5 = (-4). 다음: (-4) * (-4) = 16. 다른 값의 경우 이러한 작업을 직접 수행하세요. 모든 것을 올바르게 수행했다면 모두 합산하면 90이 됩니다.
90을 N으로 나누어 분산과 기대값을 계속 계산해 보겠습니다. 왜 N-1 대신 N을 선택합니까? 맞습니다. 수행된 실험 수가 30을 초과하기 때문입니다. 따라서 90/10 = 9입니다. 분산을 얻었습니다. 다른 번호를 받았다면 절망하지 마세요. 아마도 계산에서 단순한 실수를 했을 가능성이 높습니다. 작성한 내용을 다시 확인하면 모든 것이 제대로 이루어질 것입니다.
마지막으로 수학적 기대값의 공식을 기억하세요. 모든 계산을 제공하지는 않으며, 필요한 모든 절차를 완료하신 후 확인하실 수 있는 답변만 작성해 드립니다. 기대값은 5.48입니다. 첫 번째 요소를 예로 들어 0*0.02 + 1*0.1... 등을 사용하여 작업을 수행하는 방법만 기억해 보겠습니다. 보시다시피, 결과 값에 확률을 곱하면 됩니다.
편차
분산 및 수학적 기대와 밀접하게 관련된 또 다른 개념은 표준편차입니다. 라틴 문자 sd 또는 그리스 소문자 "sigma"로 표시됩니다. 이 개념은 값이 중앙 특성에서 평균적으로 얼마나 벗어나는지를 보여줍니다. 해당 값을 찾으려면 분산의 제곱근을 계산해야 합니다.
정규 분포 그래프를 그리고 그 그래프에서 직접 제곱 편차를 확인하려는 경우 여러 단계를 거쳐 수행할 수 있습니다. 이미지의 절반을 모드(중앙 값)의 왼쪽 또는 오른쪽으로 가져오고 결과 그림의 영역이 동일하도록 가로 축에 수직을 그립니다. 분포 중간과 결과적으로 수평 축에 투영된 부분 사이의 세그먼트 크기가 표준 편차를 나타냅니다.
소프트웨어
제시된 공식과 예제에 대한 설명에서 알 수 있듯이 분산과 수학적 기대값을 계산하는 것은 산술적 관점에서 볼 때 가장 간단한 절차가 아닙니다. 시간을 낭비하지 않으려면 고등 교육 기관에서 사용되는 프로그램인 "R"을 사용하는 것이 좋습니다. 통계 및 확률 이론의 다양한 개념에 대한 값을 계산할 수 있는 기능이 있습니다.
예를 들어 값의 벡터를 지정합니다. 이는 다음과 같이 수행됩니다: 벡터<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
마지막으로
분산과 수학적 기대가 없으면 미래에 무엇이든 계산하기가 어렵습니다. 대학 강의의 주요 과정에서는 해당 주제를 공부하는 첫 달에 이미 논의됩니다. 많은 학생들이 프로그램에서 즉시 뒤처지기 시작하고 나중에 세션이 끝날 때 나쁜 성적을 받아 장학금을 박탈당하는 것은 이러한 간단한 개념에 대한 이해가 부족하고 이를 계산할 수 없기 때문입니다.
이 기사에 제시된 것과 유사한 문제를 해결하면서 적어도 일주일에 하루 30분씩 연습하십시오. 그러면 확률 이론의 모든 테스트에서 불필요한 팁이나 치트 시트 없이 예제에 대처할 수 있습니다.