GIA. 이차 함수

"슬라이드용 그림" - 선택 코스 "멀티미디어 기술의 세계". 슬라이드에 그림을 그립니다. 다) 마우스로 가운데 부분을 잡아서 그림을 옮길 수 있습니다. 슬라이드에 그림을 삽입합니다. 시립 교육 기관 중등 학교 No. 5. 정보의 95 %는 시각 기관을 사용하는 사람에 의해 인식됩니다...

“함수와 그래프” - 3. 접선 함수. 삼각법. 이 함수는 전체 실수 집합에 대해 정의되고 연속됩니다. 정의: 공식 y = cos x로 제공되는 수치 함수를 코사인이라고 합니다. 4.코탄젠트 기능. x = a 지점에서 함수는 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있습니다. 정의 1. 함수 y = f(x)를 간격으로 정의합니다.

"여러 변수의 함수" - 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값입니다. Weierstrass의 정리. 내부 및 경계점. 2변수 함수의 한계. 함수 그래프. 정리. 연속성. 제한된 지역. 열린 공간과 닫힌 공간. 더 높은 주문의 파생상품. 부분 파생 상품. 2개 변수의 함수를 부분적으로 증가시킵니다.

"아스팔트 위의 3D 그림" - 커트는 16세 때 산타바바라에서 첫 작품을 만들기 시작했고 그곳에서 거리 예술에 중독되었습니다. 아스팔트에 3D 그림을 그렸습니다. 커트 베너(Kurt Wenner)는 일반 크레용을 사용하여 아스팔트 위에 3D 그림을 그리는 가장 유명한 거리 예술가 중 한 명입니다. 미국. 젊은 시절 Kurt Wenner는 NASA에서 일러스트레이터로 일하며 미래 우주선의 초기 이미지를 만들었습니다.

“주제 기능” - 학생들이 다르게 공부한다면 교사도 그들과 다르게 공부해야 합니다. 학생이 모르는 것이 아니라 무엇을 알고 있는지 알아내는 것이 필요합니다. 일반화. 합성. 통합 국가 시험 결과는 수학입니다. 선택 코스 프로그램. 협회. 교육 및 주제별 계획(24시간). 유추. 학생이 선생님을 능가한다면 이것이 선생님의 행복입니다.

5. 단항식숫자와 알파벳 요소의 곱이 호출됩니다. 계수단항식의 수치적 인자라고 합니다.

6. 표준 형식으로 단항식을 작성하려면 다음을 수행해야 합니다. 1) 수치적 요소를 곱하고 해당 제품을 첫 번째 위치에 배치합니다. 2) 동일한 밑수를 사용하여 거듭제곱을 곱하고 결과 제품을 수치 인수 뒤에 놓습니다.

7. 다항식이 호출됩니다.여러 단항식의 대수적 합.

8. 단항식에 다항식을 곱하려면,단항식에 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 더해야 합니다.

9. 다항식에 다항식을 곱하려면,한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 그 결과를 더하는 것이 필요합니다.

10. 두 점을 통해 직선을 그릴 수 있으며 단 하나만 그릴 수 있습니다.

11. 두 선에는 공통점이 하나만 있거나 공통점이 없습니다.

12. 두 개의 기하학적 도형이 겹쳐서 결합될 수 있으면 같다고 합니다.

13. 선분을 반으로 나누는 점, 즉 두 개의 동일한 선분으로 나누는 점을 선분의 중간점이라고 합니다.

14. 각도의 꼭지점에서 나오는 광선을 두 개의 동일한 각도로 나누는 광선을 각도 이등분선이라고 합니다.

15. 회전 각도는 180°입니다.

16. 각도가 90°이면 직각이라고 합니다.

17. 90°보다 작은 각도, 즉 직각보다 작은 각도를 예각이라고 합니다.

18. 90°보다 크고 180°보다 작은 각도, 즉 직각보다 크고 직선보다 작은 각도를 둔각이라고 합니다.

19. 한 변이 서로 같고 다른 두 변이 서로 이어지는 두 각을 인접각이라고 합니다.

20. 인접한 각도의 합은 180°입니다.

21. 한 각의 변이 다른 각의 변의 연속인 경우 두 각을 수직이라고 합니다.

22. 수직 각도는 동일합니다.

23. 두 개의 교차선을 수직(또는 상호)이라고 합니다.

수직) 네 개의 직각을 형성하는 경우.

24. 세 번째 선에 수직인 두 선은 교차하지 않습니다.

25. 다항식 인수분해- 여러 단항식과 다항식의 곱으로 표현한다는 뜻입니다.

26. 다항식을 인수분해하는 방법:

a) 공통 인수를 괄호 안에 넣습니다.

b) 축약된 곱셈 공식을 사용합니다.

c) 그룹화 방법.

27. 괄호에서 공통인수를 빼서 다항식을 인수분해하려면 다음이 필요합니다.:

a) 이 공통인수를 찾으세요.

b) 괄호에서 꺼내십시오.

c) 다항식의 각 항을 이 인수로 나누고 결과 결과를 더합니다.

삼각형의 평등의 징후

1) 한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도가 각각 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각도와 같으면 이 삼각형은 합동입니다.

2) 한 삼각형의 한 변과 두 인접한 각이 각각 다른 삼각형의 변과 두 인접한 각과 같으면 그러한 삼각형은 합동입니다.

3) 한 삼각형의 세 변이 각각 다른 삼각형의 세 변과 같으면 두 삼각형은 합동입니다.

교육 최소

1. 축약된 곱셈 공식을 이용한 인수분해:

a 2 – b 2 = (a – b) (a + b)

a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2)

2. 약식 곱셈식:

(a + b) 2 =a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

(a + b) 3 =a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

3. 삼각형의 꼭지점과 반대쪽 변의 중점을 연결하는 선분을 삼각형이라고 합니다. 중앙값삼각형.

4. 삼각형의 꼭지점에서 반대쪽 변을 포함하는 선까지 그은 수선을 수선이라고 합니다. 키삼각형.

5. 이등변삼각형에서는 밑각이 동일합니다.

6. 이등변삼각형에서 밑변에 그려진 이등분선은 중앙값과 고도입니다.

7. 둘레주어진 점으로부터 주어진 거리에 위치한 평면의 모든 점으로 구성된 기하학적 도형입니다.

8. 중심과 원 위의 한 점을 연결하는 선분을 선분이라고 합니다. 반지름원 .

9. 원 위의 두 점을 연결하는 선분을 선분이라고 합니다. 현.

원의 중심을 통과하는 현을 현이라고 합니다. 지름

10. 정비례 y = kx , 어디 엑스 - 독립 변수, 에게 – 0이 아닌 숫자( 에게 – 비례 계수).

11. 정비례 그래프좌표의 원점을 지나는 직선이다.

12. 선형 함수는 공식으로 주어질 수 있는 함수이다 y = kx + b , 어디 엑스 - 독립 변수, 에게 그리고 비 - 몇 가지 숫자.

13. 선형함수 그래프- 이것은 직선입니다.

14 엑스 – 함수 인수(독립변수)

~에 – 함수값(종속변수)

15. ~에 b=0함수는 다음과 같은 형식을 취합니다. y=kx, 그래프는 원점을 통과합니다.

~에 k=0함수는 다음과 같은 형식을 취합니다. y=b, 그 그래프는 점을 통과하는 수평선입니다 ( 0;b).

선형 함수의 그래프와 계수 k 및 b의 부호 사이의 대응

1. 평면 위의 두 직선을 ​​칭한다. 평행한,교차하지 않으면.

실습에서 알 수 있듯이 이차 함수의 속성 및 그래프에 대한 작업은 심각한 어려움을 야기합니다. 이것은 꽤 이상합니다. 왜냐하면 그들은 8학년 때 이차 함수를 공부하고 9학년 1분기 내내 포물선의 속성을 "고통"하고 다양한 매개변수에 대한 그래프를 작성하기 때문입니다.

이는 학생들에게 포물선을 만들도록 강요할 때 실제로 그래프를 "읽는" 데 시간을 할애하지 않기 때문입니다. 즉, 그림에서 받은 정보를 이해하는 연습을 하지 않기 때문입니다. 분명히, 12~2개의 그래프를 만든 후, 똑똑한 학생 자신이 공식의 계수와 그래프의 모양 사이의 관계를 발견하고 공식화할 것이라고 가정합니다. 실제로 이것은 작동하지 않습니다. 이러한 일반화를 위해서는 물론 대부분의 9학년 학생들이 가지고 있지 않은 수학적 미니 연구에 대한 진지한 경험이 필요합니다. 한편, 주 검사관은 일정을 사용하여 계수의 부호를 결정할 것을 제안합니다.

우리는 학생들에게 불가능한 것을 요구하지 않을 것이며 단순히 그러한 문제를 해결하기 위한 알고리즘 중 하나를 제공할 것입니다.

그래서, 형태의 함수 y = 도끼 2 + bx + c이차함수라고 불리는 이 그래프는 포물선입니다. 이름에서 알 수 있듯이 주요 용어는 다음과 같습니다. 도끼 2. 그건 ㅏ 0과 같아서는 안 되며 나머지 계수( 비그리고 와 함께)은 0일 수 있습니다.

계수의 부호가 포물선 모양에 어떤 영향을 미치는지 살펴보겠습니다.

계수에 대한 가장 간단한 의존성 ㅏ. 대부분의 학생들은 다음과 같이 자신있게 대답합니다. ㅏ> 0이면 포물선의 가지가 위쪽을 향하고, ㅏ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ㅏ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

이 경우 ㅏ = 0,5

그리고 지금은 ㅏ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

이 경우 ㅏ = - 0,5

계수의 영향 와 함께따라하는 것도 꽤 쉽습니다. 한 지점에서 함수의 값을 찾고 싶다고 상상해 봅시다. 엑스= 0. 공식에 0을 대입합니다.

와이 = ㅏ 0 2 + 비 0 + 씨 = 씨. 그것은 밝혀졌다 와이 = c. 그건 와 함께는 포물선과 y축의 교차점의 세로 좌표입니다. 일반적으로 이 지점은 그래프에서 쉽게 찾을 수 있습니다. 그리고 그것이 0 위에 있는지 아래에 있는지 결정하십시오. 그건 와 함께> 0 또는 와 함께 < 0.

와 함께 > 0:

y = x 2 + 4x + 3

와 함께 < 0

y = x 2 + 4x - 3

따라서 만약에 와 함께= 0이면 포물선은 반드시 원점을 통과합니다.

y = x 2 + 4x

매개변수가 더 어렵습니다. 비. 우리가 그것을 발견하게 될 지점은 다음에만 달려 있는 것이 아닙니다. 비하지만 또한 ㅏ. 이것은 포물선의 꼭대기입니다. 가로좌표(축 좌표 엑스)는 공식에 의해 발견됩니다 x in = - b/(2a). 따라서, b = - 2축 입력. 즉, 다음과 같이 진행합니다. 그래프에서 포물선의 꼭지점을 찾고 가로좌표의 부호를 결정합니다. 즉, 0의 오른쪽을 봅니다. x in> 0) 또는 왼쪽( x in < 0) она лежит.

그러나 그것이 전부는 아닙니다. 계수의 부호에도 주의를 기울여야 합니다. ㅏ. 즉, 포물선의 가지가 어디로 향하는지 살펴보십시오. 그 후에야 공식에 따르면 b = - 2축 입력부호를 결정하다 비.

예를 살펴보겠습니다:

가지가 위쪽을 향하고 있다는 뜻이다. ㅏ> 0, 포물선이 축과 교차합니다. ~에 0 이하, 즉 와 함께 < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x in> 0. 그래서 b = - 2축 입력 = -++ = -. 비 < 0. Окончательно имеем: ㅏ > 0, 비 < 0, 와 함께 < 0.

선형 함수는 모든 실수 집합에 정의된 y = kx + b 형식의 함수입니다. 여기서 k는 기울기(실수), b는 절편(실수), x는 독립변수입니다.

특별한 경우 k = 0이면 상수 함수 y = b를 얻습니다. 그래프는 좌표 (0; b)가 있는 점을 통과하는 Ox 축에 평행한 직선입니다.

b = 0이면 정비례인 y = kx 함수를 얻습니다.

계수 b의 기하학적 의미는 원점에서 계산하여 Oy 축을 따라 직선이 절단되는 세그먼트의 길이입니다.

계수 k의 기하학적 의미는 Ox 축의 양의 방향에 대한 직선의 경사각이며 시계 반대 방향으로 계산됩니다.

선형 함수의 속성:

1) 선형 함수의 정의 영역은 전체 실수 축입니다.

2) k ≠ 0이면 선형 함수 값의 범위는 전체 실제 축입니다. k = 0이면 선형 함수 값의 범위는 숫자 b로 구성됩니다.

3) 선형 함수의 균등성과 홀수성은 계수 k와 b의 값에 따라 달라집니다.

a) b ≠ 0, k = 0, 따라서 y = b - 짝수;

b) b = 0, k ≠ 0, 따라서 y = kx - 홀수;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, 따라서 y = kx + b는 일반 형식의 함수입니다.

d) b = 0, k = 0이므로 y = 0은 짝수 함수이자 홀수 함수입니다.

4) 선형 함수에는 주기성의 특성이 없습니다.

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, 따라서 (-b/k; 0)은 가로축과의 교차점입니다.

Oy: y = 0k + b = b, 따라서 (0; b)는 세로 좌표와의 교차점입니다.

참고: b = 0이고 k = 0이면 변수 x의 모든 값에 대해 함수 y = 0이 사라집니다. b ≠ 0이고 k = 0이면 함수 y = b는 변수 x의 값에 대해 사라지지 않습니다.

6) 상수 부호의 간격은 계수 k에 따라 달라집니다.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - (-b/k; +무한)의 x에서 양수,

y = kx + b - x(-무한대; -b/k)에 대해 음수입니다.

b)케이< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - (-무한대; -b/k)에서 x의 양수,

y = kx + b - (-b/k; +)의 x에 대해 음수입니다.

c) k = 0, b > 0; y = kx + b는 전체 정의 영역에서 양수입니다.

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) 선형 함수의 단조성 간격은 계수 k에 따라 달라집니다.

k > 0이므로 y = kx + b는 전체 정의 영역에 걸쳐 증가합니다.

케이< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) 선형함수의 그래프는 직선이다. 직선을 구성하려면 두 점만 알면 충분합니다. 좌표평면에서 직선의 위치는 계수 k와 b의 값에 따라 달라집니다. 아래는 이를 명확하게 보여주는 표입니다(그림 1). (그림 1)

예: 다음 선형 함수를 고려하십시오: y = 5x - 3.

3) 일반 기능

4) 비주기적;

5) 좌표축과의 교차점:

Ox: 5x - 3 = 0, x = 3/5이므로 (3/5; 0)은 x축과의 교차점입니다.

Oy: y = -3이므로 (0; -3)은 세로 좌표와의 교차점입니다.

6) y = 5x - 3 - (3/5; +)에서 x에 대해 양수,

y = 5x - 3 - x의 (-무한대; 3/5)에서 음수;

7) y = 5x - 전체 정의 영역에 걸쳐 3이 증가합니다.

웹사이트에서 자료의 전체 또는 일부를 복사하는 경우 출처에 대한 링크가 필요합니다.

선형 함수형태의 함수라고 불린다. y = kx + b, 모든 실수 집합에 정의됩니다. 여기 케이– 기울기(실수), 비 – 자유 기간(실수), 엑스- 독립 변수.

특별한 경우에는 k = 0, 우리는 상수 함수를 얻습니다 와이 = b, 그래프는 좌표가 있는 점을 통과하는 Ox 축과 평행한 직선입니다. (0;비).

만약에 b = 0, 그러면 우리는 함수를 얻습니다 y = kx, 이는 직접적인 비례.

비 – 세그먼트 길이, 원점에서 계산하여 Oy 축을 따라 직선으로 절단됩니다.

계수의 기하학적 의미 케이 – 경사각시계 반대 방향으로 간주하여 Ox 축의 양의 방향으로 직선입니다.

선형 함수의 속성:

1) 선형 함수의 정의 영역은 전체 실수 축입니다.

2) 만약에 k ≠ 0, 선형 함수 값의 범위는 전체 실제 축입니다. 만약에 k = 0, 선형 함수 값의 범위는 다음과 같은 숫자로 구성됩니다. 비;

3) 선형 함수의 균등성과 홀수성은 계수 값에 따라 달라집니다. 케이그리고 비.

ㅏ) b ≠ 0, k = 0,따라서, y = b – 짝수;

비) b = 0, k ≠ 0,따라서 y = kx – 홀수;

씨) b ≠ 0, k ≠ 0,따라서 y = kx + b – 일반 형식의 함수;

디) b = 0, k = 0,따라서 y = 0 – 짝수 함수와 홀수 함수 모두.

4) 선형 함수에는 주기성 속성이 없습니다.

5) 좌표축이 있는 교차점:

황소: y = kx + b = 0, x = -b/k, 따라서 (-b/k; 0)– 가로축과의 교차점.

아야: y = 0k + b = b, 따라서 (0;비)– 세로축과의 교차점.

참고: 만약 b = 0그리고 k = 0, 다음 기능 와이 = 0변수의 모든 값에 대해 0이 됩니다. 엑스. 만약에 b ≠ 0그리고 k = 0, 다음 기능 와이 = b변수의 어떤 값에도 사라지지 않습니다. 엑스.

6) 부호의 불변성 간격은 계수 k에 따라 달라집니다.

ㅏ) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– 긍정적인 경우 엑스~에서 (-b/k; +무한대),

y = kx + b– 부정적인 경우 엑스~에서 (-무한대; -b/k).

비) 케이< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– 긍정적인 경우 엑스~에서 (-무한대; -b/k),

y = kx + b– 부정적인 경우 엑스~에서 (-b/k; +무한대).

씨) k = 0, b > 0; y = kx + b전체 정의 범위에 걸쳐 양수,

k = 0, b< 0; y = kx + b 정의의 전체 범위에 걸쳐 부정적입니다.

7) 선형 함수의 단조성 간격은 계수에 따라 달라집니다. 케이.

케이 > 0, 따라서 y = kx + b전체 정의 영역에 걸쳐 증가합니다.

케이< 0 , 따라서 y = kx + b전체 정의 영역에 걸쳐 감소합니다.

8) 선형함수의 그래프는 직선이다. 직선을 구성하려면 두 점만 알면 충분합니다. 좌표평면에서 직선의 위치는 계수의 값에 따라 달라집니다. 케이그리고 비. 아래는 이를 명확하게 보여주는 표입니다.