대체 방법에 의한 분수 유리 방정식. 분수로 방정식을 푸는 방법. 분수가 포함된 방정식의 지수 해법. 분수로 방정식을 푸는 방법 - 분자의 x
§ 5. 변수가 하나인 방정식
분수 유리 방정식
각 방정식에서
왼쪽과 오른쪽은 유리식이고 두 식이 모두 분수이거나 둘 중 하나가 분수이고 다른 하나가 정수 표현식입니다. 아시다시피 이러한 방정식은 다음과 같습니다. 분수 유리 방정식. 이를 상기시켜 드리겠습니다.
인수분해를 통한 불평등 해결
그런 다음 양쪽에 \\를 곱합니다. 이때 부등식의 방향을 반대로 바꿔야 합니다(\\). 부등식의 한 변이 0인 부등식을 해결하는 일반적인 방법을 살펴보겠습니다. 부등식의 한 변이 0이 되도록 요구하는 것은 어려운 요구 사항이 아닙니다. 왜냐하면 부등식의 양쪽 변에서 부등식의 한 변에 대한 표현식을 빼면 항상 한 단계로 이 상태를 달성할 수 있기 때문입니다.
위에서 살펴본 첫 번째 부등식인 \\를 고려해 보겠습니다. 각 변에서 9를 빼면 \\가 됩니다. 선행 계수 \\가 양수이므로 그래프의 가장 오른쪽 부분은 \\ 축 위에 있습니다. 따라서 그래프는 \\ 축 위에 \\ 오른쪽에 있고 그래프는 \\ 축 아래에 \\ 왼쪽에 있습니다.
아시다시피 분수 유리 방정식을 풀 때 일반적으로 다음과 같이 진행합니다.
당신은 분수 유리 방정식을 푸는 가장 간단한 예를 이미 접했습니다. 좀 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다.
따라서 우리는 \\에서 \\를 볼 수 있습니다. 따라서 우리가 합리적 불평등을 해결하기 위해 배울 방법은 불평등의 한 쪽에는 0을, 다른 쪽에는 합리적인 표현을 취하는 것입니다. 그런 다음 유리식을 그려 그래프의 어느 부분이 부등식 요구 사항을 충족하는지 확인합니다. 이 부분의 면적이 불평등에 대한 해결책입니다.
실제로 전체 그래프를 스케치할 필요는 없습니다. 우리가 알아야 할 것은 다음뿐입니다. 즉, 표현식이 \\ 또는 정의되지 않게 만드는 변수 값은 무엇입니까? \\가 홀수 다중성의 인수이면 임계수 \\는 추이적이며, \\가 짝수 다중성의 인수이면 비자동적이라는 점을 기억하십시오. 이는 \\가 분자 인자이건 분모 인자이건 마찬가지입니다. 표현식은 전이적 임계 숫자의 부호를 변경하지만 자동 임계 숫자의 부호는 변경하지 않습니다. 가장 큰 임계수 오른쪽에 있는 표현이 양수인가요, 음수인가요? 이를 알아보려면 분자의 최고 계수와 분모의 최고 계수의 비율을 구하세요. 비율이 양수이면 표현식은 가장 큰 임계수 오른쪽에 있는 양수입니다. 비율이 음수이면 표현식은 가장 큰 임계수 오른쪽에 음수가 됩니다.
- 유리식의 임계수는 무엇입니까?
- 즉, 분자의 0은 무엇이며 분모의 0은 무엇입니까?
- 중요한 숫자 중 어느 것이 전이적이고 어떤 것이 자동입니까?
예시 1.방정식을 풀어보자
방정식에서 분수의 공통 분모는 x 4 - x 2 - 72입니다. 방정식의 양쪽에 분수의 공통 분모를 곱하면 다음과 같습니다.
6x 2 - 54 + 9x = x 3.
x 3 - 6x 2 - 9x + 54 = 0. (2)
좌변의 인수분해를 사용하여 결과 전체 방정식을 풀어보겠습니다.
(x 3 - 6x 2) - (9x - 54) = 0,
x 2 (x - 6) - 9 (x - 6) = 0,
(x - 6)(x 2 - 9) = 0,
(x - 6)(x - 3)(x + 3) = 0.
중요한 숫자 \\는 비자동적이며 \\ 및 \\는 전이적입니다. 분자의 최고 계수는 \\이고, 분모의 최고 계수는 \\입니다. 따라서 주요 계수의 비율은 음수입니다. 따라서 표현식은 \\ 오른쪽에 음수, \\에 0, \\와 \\ 사이에 양수, \\에 0, \\와 \\ 사이에 음수, \\에 정의되지 않음, \\에 음수 \\. 따라서 표현식이 0보다 크거나 같은 유일한 위치는 간격 \\입니다.
변수가 포함된 표현식을 분할하지 마세요.
이 모든 것은 실제로 그래프를 그리지 않고도 결정할 수 있습니다. 이로 인해 원본과 동일하지 않은 불평등이 발생할 수 있습니다. 원본과 동일한 해결책이 없는 불평등. 유혹적이기 때문에 양쪽을 \\로 나누지 않습니다. 이를 위해서는 \\가 양수인 경우 외에 \\가 음수인 경우도 고려해야 합니다. 이로 인해 결정이 불필요하게 복잡해집니다. 대신, 양변의 두 식 중 하나를 빼고 공통분모를 찾아 식을 곱합니다.
이는 방정식 (2)에 세 가지 근이 있음을 의미합니다.
x 1 = 6, x 2 = 3, x 3 = -3.
이제 찾은 근이 방정식 (1)에 포함된 분수의 공통 분모를 0으로 바꾸지 않는지 확인해야 합니다.
x = 6이면 x 4 - x 2 - 72 ≠ 0입니다.
x = 3이면 x 4 - x 2 - 72 = 0입니다.
x = -3이면 x 4 - x 2 - 72 = 0입니다.
이는 방정식 (1)에 단일 루트, 즉 숫자 6이 있음을 의미합니다.
표현식은 \\ 오른쪽에 있으면 양수, \\와 \\ 사이에 음수, \\와 \\ 사이에 양수, \\ 왼쪽에 있으면 음수입니다. 때로는 부검을 하기 전에 몇 가지를 선택해야 할 때도 있습니다. 우리는 항상 먼저 하고 싶어합니다. 그리고 네 가지 조건이 있을 때 "그룹화"하는 것을 잊지 마세요.
신소재의 설명
제곱의 차이는 확인할 수 있지만 제곱합은 확인할 수 없습니다. 삼차 이항식의 경우 고려할 수 있습니다. 다음은 합과 세제곱 차이를 인수분해하는 몇 가지 예입니다. 다시, 유리식을 두 다항식의 비율로 생각해보세요. 다음은 유리식인 표현과 그렇지 않은 표현의 몇 가지 예입니다.
예시 2.방정식을 풀어보자
방정식에 포함된 분수를 공통 분모로 줄이는 것은 번거로운 변환을 수반하며 방정식의 근을 찾기가 쉽지 않습니다. 다르게 해봅시다. 분수의 분모가 x + b 형식의 이항식이라는 사실을 활용해 보겠습니다. 여기서 b는 특정 숫자입니다. 분수의 차이가 왼쪽과 오른쪽에 쓰여지도록 방정식을 변환하고, 각각의 차이를 분수로 대체해 보겠습니다.
종종 합리성은 분자, 분모 또는 둘 다와 절편 계수를 인수분해하여 단순화할 수 있습니다. 그들은 정규 파벌처럼 곱하고 나눌 수 있습니다. 이는 매우 복잡해 보이지만 우리는 이미 알고 있는 많은 단계를 사용하고 있습니다. 또한 마지막 예에서는 합리적인 추론을 나누고 있으므로 두 번째 예를 뒤집어서 곱합니다.
요소를 지울 때 같은 분수의 위쪽과 아래쪽에서 지울 수 있고, 곱하는 다른 요소의 위쪽과 아래쪽에서 지울 수 있다는 점을 기억하세요. 위쪽에 있는 두 개 또는 아래쪽에 있는 두 개를 지울 수 없습니다. 또한 변수가 분모에 있는 문제의 어느 지점에서든 분모는 \\가 될 수 없으므로 도메인 제한이 적용된다는 점을 기억하세요.
이 방정식을 풀면 두 가지 근이 있음을 알 수 있습니다.
x 1 = 5.2 및 x 2 = 10.
이 숫자 각각은 원래 방정식에서 분수의 분모를 사라지게 만들지 않습니다. 따라서 원래 방정식에는 5.2와 10이라는 두 가지 근이 있습니다.
공통분모 찾기
두 개 이상의 유리수를 더하거나 뺄 때, 일반 분수를 더하거나 뺄 때와 마찬가지로 가장 낮은 공통 분모를 찾아야 합니다. 분모가 같으면 분모는 그대로 두고 분자만 번갈아 더하면 됩니다.
일반 분수와 마찬가지로 각 분수의 분모에 인수를 사용하고 싶지만 모든 분모에 나타나는 경우 이중으로 계산하지 않습니다. 아무것도 없으면 인수를 곱하면 됩니다. 다음 분모에 대한 최소공분모를 찾아봅시다.
정수 표현식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산을 사용하여 숫자와 리터럴 변수로 구성된 수학적 표현식입니다. 정수에는 0이 아닌 숫자로 나누는 표현식도 포함됩니다.
분수 유리식의 개념
분수 표현은 숫자와 문자 변수를 사용하여 수행되는 덧셈, 뺄셈, 곱셈 연산과 0이 아닌 숫자로 나누는 연산 외에도 문자 변수를 사용하여 표현식으로 나누는 작업도 포함하는 수학적 표현입니다.
유리 함수의 제한된 영역
이제 다음 유리식을 더하고 빼봅시다. 우리가 언급했듯이, 유리 함수는 분모에 변수를 갖고 있기 때문에 분모가 0이 되지 않도록 해야 합니다. 우리가 사용할 수 없는 이러한 "답"을 외부 해라고 합니다. 아래 첫 번째 예에서 이를 살펴보겠습니다.
유리 방정식을 풀 때 방정식의 양변에 최소 공통 분모를 곱할 수 있으며 분수 작업에 대해 걱정할 필요도 없습니다! 분모는 취소되고 분자를 사용하여 방정식을 간단히 풀겠습니다. 정사각형의 경우 반대쪽은 0이고 인자나 도움이 되는 한 방향으로 모든 것을 얻어야 한다는 것을 기억하십시오.
유리식은 모두 정수식과 분수식입니다. 유리 방정식은 왼쪽과 오른쪽이 유리식인 방정식입니다. 유리 방정식에서 왼쪽과 오른쪽 변이 정수 표현식이면 이러한 유리 방정식을 정수라고 합니다.
유리 방정식에서 왼쪽이나 오른쪽이 분수 표현인 경우 이러한 유리 방정식을 분수라고 합니다.
때로는 문학적 방정식을 풀어야 할 수도 있습니다. 이는 단순히 변수에 대한 방정식을 풀어야 하지만 그 대가로 다른 변수를 얻게 된다는 의미입니다. 일반적으로 유리식을 사용하는 특정 유형의 연어가 있습니다. 요금은 일반적으로 분수이기 때문에 관세를 다루는 경향이 있습니다. 우리는 또한 단순한 분수나 분수 형태의 백분율에 관한 문제를 봅니다.
분수 2의 분모는 분자의 두 배보다 작습니다. 분자와 분모에 7을 더하면 결과 분수는 같습니다. 원래 세력은 무엇입니까? 이 문제는 문제가 설정한 것, 즉 원래 분수로 변수를 설정하고 싶지 않기 때문에 약간 까다롭습니다. 분모는 분자를 기준으로 하기 때문에 변수를 분자로 만드는 것이 더 쉽습니다.
분수 유리식의 예
1. x-3/x = -6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
분수 유리 방정식을 푸는 방식
1. 방정식에 포함된 모든 분수의 공통분모를 찾으세요.
2. 방정식의 양변에 공통 분모를 곱합니다.
3. 결과 전체 방정식을 푼다.
4. 근을 확인하고 공통분모를 사라지게 만드는 근을 제외하세요.
따라서 문제의 첫 번째 문장부터 원래 분수는 입니다. 이제 문제를 풀려면 분자와 분모에 7을 더하고 설정하면 됩니다. Bethany는 18번의 시도에서 10번의 자유투를 성공시켰습니다. 그녀는 평균 투구율을 68%까지 올리고 싶어합니다. 68%에 도달하려면 몇 번의 연속 자유투가 필요합니까?
다시 말하지만, 분수를 사용할 수 있으며 이번에는 분수가 그녀가 던지는 자유투의 비율을 나타냅니다. 우리는 그녀의 현재 연속 자유투 비율로 시작한 다음 그녀가 분자와 분모 모두에 필요한 숫자를 추가할 것입니다. 대부분의 문제는 비교 시간이나 시간 추가와 관련된 것 같습니다. Shalini는 여동생 Meena가 걷는 것보다 시속 3마일 더 빨리 걸을 수 있습니다. Shalini가 동시에 12마일을 달렸다면 8마일을 주행하기 위해 Meena가 필요했습니다. 이 경우 각 자매의 속도는 얼마입니까?
분수 유리 방정식을 풀고 있으므로 분수의 분모에 변수가 있을 것입니다. 이는 그들이 공통 분모가 될 것임을 의미합니다. 그리고 알고리즘의 두 번째 지점에서 공통 분모를 곱하면 외부 뿌리가 나타날 수 있습니다. 공통 분모가 0이 되는 경우, 이는 이를 곱하는 것이 의미가 없음을 의미합니다. 따라서 결국에는 얻은 뿌리를 확인하는 것이 필요합니다.
이제 흥미로운 부분인 수학을 해보겠습니다. 여기에 시간을 추가하기 위해 상류와 하류로 이동하는 보트의 속도를 사용할 때 문제가 있습니다. 카누를 타고 상류로 3마일을 갔다가 하류로 3마일을 돌아오는 데 소요되는 시간은 4시간입니다. 호수의 흐름은 시속 1마일이다. 찾다 평균 속도잔잔한 물에서 카누.
다운스트림 시간에 업스트림 시간을 더하면 4시간이 됩니다. 메모. 잔잔한 물에서 카누의 속도가 주어지고 해류의 속도를 찾아야 한다면 비슷한 방식으로 문제를 제기할 것입니다. 분모에 있는 숫자에서 변수를 더하고 빼야 합니다.
예를 살펴보겠습니다:
분수 유리 방정식을 푼다: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
우리는 일반적인 계획을 고수할 것입니다. 먼저 모든 분수의 공통 분모를 찾으십시오. 우리는 x*(x-5)를 얻습니다.
각 분수에 공통 분모를 곱하고 결과 전체 방정식을 작성하십시오.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
업무상의 문제는 일반적으로 다음과 관련이 있습니다. 다른 사람들또는 함께 일하거나 혼자서 일하거나 다른 속도로. 각 직원의 개별 요율에 근무 시간을 곱하면 얻을 수 있습니다. 모두 추가해서 1개의 작업으로 설정하세요. 에리카는 5시간 안에 자신의 방을 칠할 수 있습니다. 그녀에게 친구 Rachel이 있다면 그녀를 도와주세요. 그들은 3시간 안에 함께 방을 칠할 수 있습니다. Erica가 오후에 테니스를 치고 싶어한다면 Rachel이 혼자 방을 칠하는 데 얼마나 시간이 걸릴까요?
결과 방정식을 단순화해 보겠습니다. 우리는 다음을 얻습니다:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
우리는 간단한 감소를 얻었습니다 이차 방정식. 우리는 알려진 방법 중 하나를 사용하여 이를 풀고 근 x=-2 및 x=5를 얻습니다.
이제 얻은 솔루션을 확인합니다.
공통분모에 숫자 -2와 5를 대입합니다. x=-2에서 공통분모 x*(x-5)는 사라지지 않습니다(-2*(-2-5)=14). 이는 숫자 -2가 원래 분수 유리 방정식의 근이 된다는 것을 의미합니다.
분수 방정식. 오즈
우리는 소녀들이 함께 방을 그리는 데 걸리는 시간이 3시간이고, 에리카가 방을 그리는 데 걸리는 시간이 5시간이라는 것을 알고 있습니다. 위의 공식은 소녀들이 함께 또는 혼자서 한 시간에 얼마나 많은 일을 하는지 알아낼 수 있는 개념을 사용하여 파생될 수도 있습니다.
그런 다음 개별 "요율"을 추가하여 그림의 "요율"을 함께 얻을 수 있습니다. 실제로 시간이 1시간인 공식을 사용하여 그들이 완료한 작업을 추가합니다. 이 예에서 Erica의 시간당 요율은 다음과 같습니다. 레이첼의 시간당 속도; 요금을 추가하여 그림 요금을 합칠 수 있습니다. 모든 항에 3을 곱하면 위의 방정식에 도달합니다!
x=5에서 공통분모 x*(x-5)는 0이 됩니다. 따라서 이 숫자는 0으로 나누기가 발생하므로 원래 분수 유리 방정식의 근이 아닙니다.
답: x=-2.
공부하는 데 도움이 필요하신가요?
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