모듈러스로 방정식을 푸는 실수. 숫자의 모듈러스(숫자의 절대값), 정의, 예, 속성

계수를 사용하여 방정식과 부등식 풀기어려움을 겪는 경우가 많습니다. 그러나 그것이 무엇인지 잘 이해한다면 숫자의 절대값, 그리고 모듈러스 기호가 포함된 표현식을 올바르게 확장하는 방법, 방정식에 존재 모듈러스 기호 아래의 표현, 솔루션에 대한 장애물이 아닙니다.

약간의 이론. 각 숫자에는 숫자의 절대값과 부호라는 두 가지 특성이 있습니다.

예를 들어 숫자 +5 또는 간단히 5에는 "+" 기호가 있고 절대값은 5입니다.

숫자 -5에는 "-" 기호가 있고 절대값은 5입니다.

숫자 5와 -5의 절대값은 5입니다.

숫자 x의 절대값을 숫자의 모듈러스라고 하며 |x|로 표시합니다.

보시다시피, 숫자의 모듈러스는 이 숫자가 0보다 크거나 같으면 숫자 자체와 같고, 이 숫자가 음수이면 반대 부호가 있는 이 숫자와 같습니다.

모듈러스 기호 아래에 나타나는 모든 표현식에도 동일하게 적용됩니다.

모듈 확장 규칙은 다음과 같습니다.

|f(x)|= f(x) f(x) ≥ 0인 경우, 그리고

|f(x)|= - f(x), f(x)인 경우< 0

예를 들어 |x-3|=x-3, x-3≥0이고 |x-3|=-(x-3)=3-x인 경우, x-3인 경우<0.

모듈러스 기호 아래 표현식이 포함된 방정식을 풀려면 먼저 다음을 수행해야 합니다. 모듈 확장 규칙에 따라 모듈을 확장합니다..

그러면 우리의 방정식 또는 부등식은 다음과 같습니다. 두 개의 서로 다른 수치 간격에 존재하는 두 개의 서로 다른 방정식으로 변환됩니다.

모듈러스 기호 아래의 식이 음수가 아닌 수치 간격에 하나의 방정식이 존재합니다.

그리고 두 번째 방정식은 모듈러스 기호 아래의 식이 음수인 구간에 존재합니다.

간단한 예를 살펴보겠습니다.

방정식을 풀어 봅시다:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. 모듈을 열어보겠습니다.

|x-3|=x-3, x-3≥0인 경우, 즉 x≥3인 경우

|x-3|=-(x-3)=3-x x-3인 경우<0, т.е. если х<3

2. 우리는 x≥3과 x의 두 가지 수치 구간을 받았습니다.<3.

원래 방정식이 각 구간에서 어떤 방정식으로 변환되는지 고려해 보겠습니다.

A) x≥3 |x-3|=x-3의 경우 부상은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

주목! 이 방정식은 x≥3 구간에만 존재합니다!

괄호를 열고 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.

그리고 이 방정식을 풀어보세요.

이 방정식에는 다음과 같은 뿌리가 있습니다.

엑스 1 =0, 엑스 2 =3

주목! 방정식 x-3=-x 2 +4x-3은 x≥3 구간에만 존재하므로 우리는 이 구간에 속하는 근에만 관심이 있습니다. 이 조건은 x 2 =3에 의해서만 충족됩니다.

나) x에서<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

주목! 이 방정식은 구간 x에만 존재합니다.<3!

괄호를 열고 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다. 우리는 방정식을 얻습니다.

엑스 1 =2, 엑스 2 =3

주목! 방정식 3-x=-x 2 +4x-3은 구간 x에만 존재하므로<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

따라서 첫 번째 간격에서는 루트 x=3만 가져오고, 두 번째 간격에서는 루트 x=2만 가져옵니다.

A는 다음 규칙에 따라 계산됩니다.

간결함을 위해 표기법이 사용됩니다. |아|. 그래서 |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100 등

모든 사이즈 엑스상당히 정확한 값에 해당 | 엑스|. 그것이 의미하는 바는 신원 ~에= |엑스| 세트 ~에일부처럼 인수 함수 엑스.

일정이것 기능아래에 제시되어 있습니다.

을 위한 엑스 > 0 |엑스| = 엑스, 그리고 엑스< 0 |엑스|= -엑스; 이와 관련하여 라인 y = | 엑스| ~에 엑스> 0 직선과 결합 와이 = 엑스(첫 번째 좌표 각도의 이등분선), 그리고 언제 엑스< 0 - с прямой y = -x(두 번째 좌표 각도의 이등분선).

분리된 방정식기호 아래에 알 수 없는 항목 포함 기준 치수.

그러한 방정식의 임의의 예 - | 엑스— 1| = 2, |6 — 2엑스| =3엑스+ 1 등

방정식 풀기모듈러스 기호 아래에 미지수를 포함하는 것은 미지수 x의 절대값이 양수 a와 같으면 이 숫자 x 자체가 a 또는 -a와 같다는 사실에 기초합니다.

예를 들어:, 만약 | 엑스| = 10, 그러면 또는 엑스=10 또는 엑스 = -10.

고려해 봅시다 개별 방정식 풀기.

방정식의 해를 분석해 봅시다 | 엑스- 1| = 2.

모듈을 확장해보자그렇다면 차이점은 엑스- 1은 + 2 또는 - 2와 같을 수 있습니다. x - 1 = 2이면 엑스= 3; 만약에 엑스- 1 = - 2, 그러면 엑스= - 1. 대체를 수행하고 이 두 값이 모두 방정식을 만족한다는 것을 확인합니다.

답변.위 방정식에는 두 가지 근이 있습니다. 엑스 1 = 3, 엑스 2 = - 1.

분석해보자 방정식의 해 | 6 — 2엑스| = 3엑스+ 1.

후에 모듈 확장우리는 다음을 얻습니다: 또는 6 - 2 엑스= 3엑스+ 1 또는 6 - 2 엑스= - (3엑스+ 1).

첫 번째 경우 엑스= 1, 그리고 두 번째 엑스= - 7.

시험.~에 엑스= 1 |6 — 2엑스| = |4| = 4, 3엑스+ 1 = 4; 법원에서 나온 내용입니다. 엑스 = 1 - 뿌리주어진 방정식.

~에 엑스 = - 7 |6 — 2엑스| = |20| = 20, 3엑스+ 1= - 20; 20 ≠ -20 이후, 그러면 엑스= - 7은 이 방정식의 근이 아닙니다.

답변. 유방정식에는 근이 하나뿐입니다. 엑스 = 1.

이 유형의 방정식은 다음과 같습니다. 해결하고 그래픽으로.

그럼 결정하자 예를 들어, 그래픽으로 방정식 | 엑스- 1| = 2.

먼저 우리는 건설 할 것입니다 기능 그래픽 ~에 = |엑스- 1|. 먼저 함수의 그래프를 그려보자. ~에=엑스- 1:

그 부분이 그래픽 아트, 축 위에 위치 엑스우리는 그것을 바꾸지 않을 것입니다. 그녀를 위하여 엑스- 1 > 0이므로 | 엑스-1|=엑스-1.

그래프에서 축 아래에 위치한 부분 엑스, 묘사하자 대칭적으로이 축을 기준으로 합니다. 왜냐면 이 부분 때문에 엑스 - 1 < 0 и соответственно |엑스 - 1|= - (엑스 - 1). 결과 선(실선) 그리고 것입니다 함수 그래프와이 = | 엑스—1|.

이 선은 다음과 교차할 것입니다. 똑바로 ~에= 두 지점에서 2: 가로좌표가 -1인 M 1 및 가로좌표가 3인 M 2. 따라서 방정식 | 엑스- 1| =2 두 개의 루트가 있습니다. 엑스 1 = - 1, 엑스 2 = 3.

학생들에게 가장 어려운 주제 중 하나는 모듈러스 기호 아래에 변수가 포함된 방정식을 푸는 것입니다. 먼저 이것이 무엇과 연결되어 있는지 알아 봅시다. 예를 들어, 왜 대부분의 아이들은 견과류처럼 이차 방정식을 풀면서도 모듈과 같은 복잡한 개념과는 거리가 먼 문제에 그렇게 많은 문제를 안고 있습니까?

제 생각에는 이러한 모든 어려움은 모듈러스로 방정식을 풀기 위해 명확하게 공식화된 규칙이 부족하기 때문에 발생합니다. 그래서 결정 이차 방정식, 학생은 먼저 판별 공식을 적용한 다음 이차 방정식의 근에 대한 공식을 적용해야 한다는 것을 확실히 알고 있습니다. 방정식에서 계수가 발견되면 어떻게 해야 합니까? 방정식의 모듈러스 기호 아래에 미지수가 포함되어 있는 경우에 필요한 조치 계획을 명확하게 설명하려고 노력할 것입니다. 각 경우에 대해 몇 가지 예를 제시하겠습니다.

하지만 먼저 기억하자 모듈 정의. 따라서 숫자를 모듈로로 ㅏ다음과 같은 경우 이 번호 자체가 호출됩니다. ㅏ음수가 아닌 -ㅏ, 숫자인 경우 ㅏ 0보다 작습니다. 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

|아| = a ≥ 0이고 |a|인 경우 = -a인 경우< 0

모듈의 기하학적 의미에 관해 말하면, 각 실수는 숫자 축의 특정 지점에 해당한다는 점을 기억해야 합니다. 동등 어구. 따라서 숫자의 모듈 또는 절대값은 이 지점에서 숫자 축의 원점까지의 거리입니다. 거리는 항상 양수로 지정됩니다. 따라서 음수의 모듈러스는 양수입니다. 그런데 이 단계에서도 많은 학생들이 혼란스러워하기 시작합니다. 모듈에는 어떤 숫자도 포함될 수 있지만 모듈 사용 결과는 항상 양수입니다.

이제 방정식 풀이로 직접 이동해 보겠습니다.

1. |x| 형식의 방정식을 생각해 보세요. = c, 여기서 c는 실수입니다. 이 방정식은 계수 정의를 사용하여 풀 수 있습니다.

우리는 모든 실수를 0보다 큰 그룹, 0보다 작은 그룹, 세 번째 그룹은 숫자 0의 세 그룹으로 나눕니다. 솔루션은 다이어그램 형식으로 작성됩니다.

(±c, c > 0인 경우

만약 |x| = c이면 x = (0, c = 0이면

(함께 있으면 뿌리가 없습니다.< 0

1) |x| = 5, 왜냐면 5 > 0이면 x = ±5;

2) |x| = -5, 왜냐하면 -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0이면 x = 0입니다.

2. |f(x)| 형식의 방정식 = b, 여기서 b > 0. 이 방정식을 풀려면 모듈을 제거해야 합니다. f(x) = b 또는 f(x) = -b 방식으로 수행합니다. 이제 각 결과 방정식을 개별적으로 풀어야 합니다. 원래 방정식 b에 있는 경우< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, 왜냐면 4 > 0이면

x + 2 = 4 또는 x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, 왜냐하면 11 > 0, 그러면

x 2 – 5 = 11 또는 x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 근 없음

3) |x 2 – 5x| = -8, 왜냐하면 -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. |f(x)| 형식의 방정식 = g(x). 모듈의 의미에 따르면 이러한 방정식은 우변이 0보다 크거나 같으면 해를 갖습니다. 즉, g(x) ≥ 0. 그러면 우리는 다음을 얻게 됩니다:

에프(엑스) = 지(엑스)또는 에프(엑스) = -g(엑스).

1) |2x – 1| = 5x – 10. 이 방정식은 5x – 10 ≥ 0이면 근을 갖습니다. 이것이 그러한 방정식의 해가 시작되는 곳입니다.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. 해결책:

2x – 1 = 5x – 10 또는 2x – 1 = -(5x – 10)

3. O.D.Z를 결합합니다. 그리고 해결책은 다음과 같습니다.

루트 x = 11/7은 O.D.Z.에 맞지 않고 2보다 작지만 x = 3은 이 조건을 충족합니다.

답: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. 간격 방법을 사용하여 이 부등식을 풀어보겠습니다.

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. 해결책:

x – 1 = 1 – x 2 또는 x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 또는 x = 1 x = 0 또는 x = 1

3. 솔루션과 O.D.Z.를 결합합니다.

근 x = 1과 x = 0만 적합합니다.

답: x = 0, x = 1.

4. |f(x)| 형식의 방정식 = |g(x)|. 이러한 방정식은 다음 두 방정식 f(x) = g(x) 또는 f(x) = -g(x)와 동일합니다.

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. 이 방정식은 다음 두 가지와 동일합니다.

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 또는 x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 또는 x = 4 x = 2 또는 x = 1

답: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. 치환법(변수 치환)으로 방정식을 푼다. 이 해결 방법은 구체적인 예를 들어 설명하는 것이 가장 쉽습니다. 따라서 모듈러스가 있는 이차 방정식이 주어집니다.

x 2 – 6|x| + 5 = 0. 모듈러스 속성에 따라 x 2 = |x| 2이므로 방정식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. |x|를 교체해 보겠습니다. = t ≥ 0이면 다음과 같습니다.

t 2 – 6t + 5 = 0. 이 방정식을 풀면 t = 1 또는 t = 5임을 알 수 있습니다. 교체로 돌아가 보겠습니다.

|x| = 1 또는 |x| = 5

x = ±1 x = ±5

답: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

또 다른 예를 살펴보겠습니다.

x 2 + |x| – 2 = 0. 모듈러스 속성에 따라 x 2 = |x| 2 그러므로

|x| 2 + |x| – 2 = 0. |x|를 교체해 보겠습니다. =t ≥ 0이면:

t 2 + t – 2 = 0. 이 방정식을 풀면 t = -2 또는 t = 1을 얻습니다. 교체로 돌아가 보겠습니다.

|x| = -2 또는 |x| = 1

뿌리 없음 x = ± 1

답: x = -1, x = 1.

6. 또 다른 유형의 방정식은 "복소수" 계수를 갖는 방정식입니다. 이러한 방정식에는 "모듈 내의 모듈"이 있는 방정식이 포함됩니다. 이 유형의 방정식은 모듈의 속성을 사용하여 풀 수 있습니다.

1) |3 – |x|| = 4. 두 번째 유형의 방정식과 동일한 방식으로 작동합니다. 왜냐하면 4 > 0이면 두 개의 방정식을 얻습니다.

3 – |x| = 4 또는 3 - |x| = -4.

이제 각 방정식에서 모듈러스 x를 표현하고 |x| = -1 또는 |x| = 7.

우리는 각 결과 방정식을 푼다. 첫 번째 방정식에는 근이 없습니다. 왜냐하면 -1< 0, а во втором x = ±7.

x = -7, x = 7이라고 답하세요.

2) |3 + |x + 1|| = 5. 비슷한 방식으로 이 방정식을 푼다.

3 + |x + 1| = 5 또는 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 또는 x + 1 = -2. 뿌리가 없습니다.

답: x = -3, x = 1.

계수를 사용하여 방정식을 푸는 보편적인 방법도 있습니다. 이것이 간격 방법이다. 하지만 나중에 살펴보겠습니다.

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이번 글에서는 자세히 분석해보겠습니다. 숫자의 절대값. 우리는 숫자의 모듈러스에 대한 다양한 정의를 제공하고 표기법을 소개하며 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 동시에 생각해 보자. 다양한 예정의에 따라 숫자의 모듈러스를 찾는 것입니다. 그런 다음 모듈의 주요 속성을 나열하고 정당화합니다. 기사 마지막 부분에서는 복소수의 계수를 결정하고 찾는 방법에 대해 설명하겠습니다.

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숫자 모듈 - 정의, 표기법 및 예

먼저 소개합니다 숫자 계수 지정. 숫자 a의 모듈러스를 다음과 같이 씁니다. 즉, 숫자의 왼쪽과 오른쪽에 수직 대시를 넣어 모듈러스 기호를 형성합니다. 몇 가지 예를 들어 보겠습니다. 예를 들어 모듈 −7은 다음과 같이 작성할 수 있습니다. 모듈 4.125는 다음과 같이 작성되며 모듈에는 다음과 같은 형식의 표기법이 있습니다.

모듈러스의 다음 정의는 실수 집합의 구성 부분으로 정수, 유리수, 무리수를 나타냅니다. 복소수의 모듈러스(modulus)에 대해 이야기하겠습니다.

정의.

숫자 a의 계수– 이는 a가 양수인 경우 숫자 a 자체이거나 a가 음수인 경우 숫자 a의 반대인 숫자 −a이거나 a=0인 경우 0입니다.

숫자의 모듈러스에 대한 유성 정의는 종종 다음 형식으로 작성됩니다. , 이 항목은 a>0 인 경우, a=0 인 경우, 그리고<0 .

기록을 보다 간결한 형식으로 표시할 수 있습니다. . 이 표기법은 (a가 0보다 크거나 같다면), 그리고 a가<0 .

입장도 있어요 . 여기서는 a=0인 경우를 별도로 설명해야 한다. 이 경우에는 가 있지만 −0=0입니다. 0은 자신과 반대되는 숫자로 간주되기 때문입니다.

주자 숫자의 모듈러스를 찾는 예명시된 정의를 사용합니다. 예를 들어 숫자 15와 의 모듈을 찾아보겠습니다. 을 찾는 것부터 시작하겠습니다. 숫자 15는 양수이므로 정의에 따라 모듈러스는 이 숫자 자체와 같습니다. 숫자의 계수는 무엇입니까? 은 음수이므로 모듈러스는 숫자의 반대 숫자, 즉 숫자와 같습니다. . 따라서, .

이 점을 마무리하기 위해 우리는 숫자의 모듈러스를 찾을 때 실제로 사용하기 매우 편리한 한 가지 결론을 제시합니다. 숫자의 모듈러스 정의에 따르면 다음과 같습니다. 숫자의 모듈러스는 부호를 고려하지 않고 모듈러스 기호 아래의 숫자와 같습니다., 위에서 논의한 예에서 이는 매우 명확하게 보입니다. 명시된 진술은 숫자 모듈이 호출되는 이유를 설명합니다. 숫자의 절대값. 따라서 숫자의 모듈러스와 숫자의 절대값은 1이며 동일합니다.

거리에 따른 숫자의 계수

기하학적으로 숫자의 모듈러스는 다음과 같이 해석될 수 있습니다. 거리. 주자 거리를 통한 숫자의 계수 결정.

정의.

숫자 a의 계수– 좌표선상의 원점에서 숫자 a에 해당하는 점까지의 거리입니다.

이 정의는 첫 번째 단락에 제공된 숫자의 모듈러스 정의와 일치합니다. 이 점을 명확히 하자. 원점에서 양수에 해당하는 지점까지의 거리가 이 숫자와 같습니다. 0은 원점에 해당하므로 원점에서 좌표 0이 있는 지점까지의 거리는 0과 같습니다(단일 단위 세그먼트를 따로 설정할 필요가 없으며 순서대로 단위 세그먼트의 일부를 구성하는 단일 세그먼트를 설정할 필요가 없습니다). O점에서 좌표 0점으로 이동합니다. 원점에서 음의 좌표가 있는 점까지의 거리는 이 점의 좌표와 반대쪽 숫자와 같습니다. 왜냐하면 원점에서 좌표가 반대 숫자인 점까지의 거리와 같기 때문입니다.

예를 들어, 원점에서 좌표 9가 있는 지점까지의 거리가 9이므로 숫자 9의 모듈러스는 9와 같습니다. 또 다른 예를 들어 보겠습니다. 좌표가 -3.25인 점은 점 O에서 3.25 거리에 있으므로 .

숫자의 모듈러스에 대한 명시된 정의는 두 숫자의 차이 모듈러스 정의의 특별한 경우입니다.

정의.

두 숫자의 차이 계수 a와 b는 좌표 a와 b가 있는 좌표선의 점 사이의 거리와 같습니다.

즉, 좌표선 A(a)와 B(b) 위의 점들이 주어지면 점 A에서 점 B까지의 거리는 숫자 a와 b 사이의 차이의 계수와 같습니다. 점 O(원점)를 점 B로 취하면 이 단락의 시작 부분에 주어진 숫자의 모듈러스에 대한 정의를 얻습니다.

산술 제곱근을 사용하여 숫자의 모듈러스 결정

가끔 발생함 산술 제곱근을 통해 계수 결정.

예를 들어, 이 정의를 기반으로 숫자 -30의 모듈러스를 계산해 보겠습니다. 우리는 가지고 있습니다. 마찬가지로 2/3 모듈을 계산합니다. .

산술 제곱근을 통한 숫자의 모듈러스 정의는 이 기사의 첫 번째 단락에 제공된 정의와도 일치합니다. 보여드리겠습니다. a를 양수로, −a를 음수로 설정합니다. 그 다음에 그리고 , a=0이면 .

모듈 속성

이 모듈에는 여러 가지 특징적인 결과가 있습니다. 모듈 속성. 이제 우리는 그 중 가장 자주 사용되는 주요 내용을 소개합니다. 이러한 속성을 정당화할 때 우리는 거리 측면에서 숫자의 계수 정의에 의존할 것입니다.

모듈의 가장 분명한 속성부터 시작해 보겠습니다. 숫자의 모듈러스는 음수가 될 수 없습니다.. 리터럴 형식에서 이 속성은 임의의 숫자 a에 대한 형식을 갖습니다. 이 속성은 정당화하기가 매우 쉽습니다. 숫자의 모듈러스는 거리이고 거리는 음수로 표현될 수 없습니다.

다음 모듈 속성으로 넘어 갑시다. 숫자의 모듈러스는 이 숫자가 0인 경우에만 0입니다.. 0의 계수는 정의에 따라 0입니다. 0은 원점에 해당합니다. 각 실수는 좌표선의 단일 점과 연관되어 있으므로 좌표선의 다른 점은 0에 해당하지 않습니다. 같은 이유로 0이 아닌 모든 숫자는 원점과 다른 지점에 해당합니다. 그리고 원점에서 점 O가 아닌 다른 점까지의 거리는 0이 아닙니다. 왜냐하면 두 점 사이의 거리는 이 점이 일치하는 경우에만 0이기 때문입니다. 위의 추론은 0의 계수만이 0과 같다는 것을 증명합니다.

계속하세요. 반대 숫자는 동일한 모듈을 갖습니다. 즉, 모든 숫자에 대해 a입니다. 실제로, 좌표가 반대 숫자인 좌표선의 두 점은 원점으로부터 동일한 거리에 있습니다. 이는 반대 숫자의 모듈이 동일함을 의미합니다.

모듈의 속성은 다음과 같습니다. 두 숫자의 곱의 계수는 이 숫자의 계수의 곱과 같습니다., 그건, . 정의에 따르면 숫자 a와 b의 곱의 계수는 a·b인 경우 또는 −(a·b)인 경우와 같습니다. 실수의 곱셈 규칙에 따르면 숫자 a와 b의 모듈러스의 곱은 a·b, 또는 −(a·b) if 와 동일하며 이는 문제의 속성을 증명합니다.

a를 b로 나눈 몫의 계수는 숫자의 계수를 b의 계수로 나눈 몫과 같습니다., 그건, . 모듈의 이 속성을 정당화해 보겠습니다. 그렇다면 몫은 제품과 같기 때문입니다. 이전 재산 덕분에 우리는 . 남은 것은 숫자의 모듈러스 정의로 인해 유효한 같음을 사용하는 것입니다.

모듈의 다음 속성은 부등식으로 작성됩니다. , a , b 및 c 는 임의의 실수입니다. 서면 불평등은 다음과 같습니다. 삼각형 부등식. 이를 명확하게 하기 위해 좌표선 위의 점 A(a), B(b), C(c)를 취하고 꼭지점이 같은 선에 있는 축퇴삼각형 ABC를 생각해 보겠습니다. 정의에 따르면, 차이 계수는 세그먼트 AB의 길이, - 세그먼트 AC의 길이 및 - 세그먼트 CB의 길이와 같습니다. 삼각형의 한 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합을 초과하지 않으므로 부등식은 참입니다. , 그러므로 부등식도 참입니다.

방금 증명된 부등식은 다음 형식에서 훨씬 더 일반적입니다. . 서면 부등식은 일반적으로 다음 공식을 사용하여 모듈의 별도 속성으로 간주됩니다. 두 숫자의 합의 계수는 이 숫자의 계수의 합을 초과하지 않습니다." 그러나 b 대신에 -b를 놓고 c=0을 취하면 부등식은 부등식에서 직접적으로 발생합니다.

복소수의 계수

주자 복소수의 계수 정의. 우리에게 주어졌으면 좋겠다 복소수, 대수 형식으로 작성되었으며, 여기서 x와 y는 각각 주어진 복소수 z의 실수부와 허수부를 나타내는 실수이며 허수 단위입니다.

우리는 수학을 선택하지 않습니다그녀의 직업은 우리를 선택합니다.

러시아 수학자 Yu.I. 마닌

모듈러스가 있는 방정식

학교 수학에서 풀기 가장 어려운 문제는 모듈러스 기호 아래에 변수가 포함된 방정식입니다. 이러한 방정식을 성공적으로 풀려면 모듈의 정의와 기본 속성을 알아야 합니다. 당연히 학생들은 이러한 유형의 방정식을 풀 수 있는 기술을 가지고 있어야 합니다.

기본 개념 및 속성

실수의 계수(절대값)로 표시 다음과 같이 정의됩니다.

모듈의 단순 속성에는 다음 관계가 포함됩니다.

메모, 마지막 두 속성은 모든 짝수 차수에 유효합니다.

더욱이, 만약, 어디서, 그러면 그리고

더 복잡한 모듈 속성, 모듈러스로 방정식을 풀 때 효과적으로 사용할 수 있습니다., 다음 정리를 통해 공식화됩니다.

정리 1.모든 분석 기능의 경우그리고 불평등은 사실이다

정리 2.평등은 불평등과 동일합니다.

정리 3.평등 불평등과 다름없다.

"방정식"이라는 주제에 대한 문제 해결의 일반적인 예를 살펴 보겠습니다., 모듈러스 기호 아래에 변수가 포함되어 있습니다."

계수를 사용하여 방정식 풀기

계수를 사용하여 방정식을 풀기 위한 학교 수학에서 가장 일반적인 방법은 다음과 같습니다., 모듈 확장을 기반으로 합니다. 이 방법은 보편적입니다, 그러나 일반적인 경우에는 이를 사용하면 매우 번거로운 계산이 발생할 수 있습니다. 이와 관련하여 학생들은 다음 사항을 알아야 합니다., 그러한 방정식을 풀기 위한 보다 효과적인 방법과 기술. 특히, 정리를 적용하는 기술이 필요합니다, 이 기사에 나와 있습니다.

예시 1.방정식을 풀어보세요. (1)

해결책. 우리는 모듈을 드러내는 방법인 "고전적인" 방법을 사용하여 방정식 (1)을 풀 것입니다. 이를 위해 숫자 축을 분할해 보겠습니다.점과 간격으로 나누고 세 가지 경우를 고려하십시오.

1. 만약 , then , , , 그리고 방정식 (1)은 의 형태를 취합니다. 이것으로부터 이어집니다. 그러나 여기서 발견된 값은 식 (1)의 근본이 아닙니다.

2. 만일, 그런 다음 방정식 (1)로부터 우리는또는 .

그때부터 방정식 (1)의 근본.

3. 만일, 그러면 방정식 (1)은 다음과 같은 형식을 취합니다.또는 . 이에 주목하자.

답변: , .

모듈로 후속 방정식을 풀 때, 그러한 방정식의 풀이 효율성을 높이기 위해 모듈의 속성을 적극적으로 활용하겠습니다.

예시 2.방정식을 풀어보세요.

해결책.이후와 그런 다음 방정식에서 다음과 같습니다.. 이에 관하여, , , 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다.. 여기에서 우리는 얻는다. 하지만 , 따라서 원래 방정식에는 근이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

예시 3.방정식을 풀어보세요.

해결책.그때부터. 그렇다면 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다..

여기에서 우리는 .

예시 4.방정식을 풀어보세요.

해결책.등가 형식으로 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.. (2)

결과 방정식은 유형의 방정식에 속합니다.

정리 2를 고려하면 방정식 (2)는 부등식과 동일하다고 주장할 수 있습니다. 여기에서 우리는 .

답변: .

실시예 5.방정식을 풀어보세요.

해결책. 이 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.. 그렇기 때문에 , 정리 3에 따르면, 여기에 불평등이 있습니다또는 .

실시예 6.방정식을 풀어보세요.

해결책.가정해보자. 왜냐하면 , 그러면 주어진 방정식은 이차 방정식의 형태를 취합니다., (3)

어디 . 방정식 (3)에는 단일 양의 근이 있으므로그런 다음 . 여기에서 우리는 원래 방정식의 두 가지 근을 얻습니다.그리고 .

실시예 7. 방정식을 풀어보세요. (4)

해결책. 방정식 이후두 방정식의 조합과 동일합니다.그리고 , 그러면 방정식 (4)를 풀 때 두 가지 경우를 고려해야 합니다.

1. 만약 , 그렇다면 또는 .

여기에서 우리는 , 및 를 얻습니다.

2. 만약 , 그렇다면 또는 .

그때부터.

답변: , , , .

실시예 8.방정식을 풀어보세요 . (5)

해결책.이후 및 , 다음 . 여기와 방정식 (5)에서 다음과 같습니다. , 즉 여기에 방정식 시스템이 있습니다

그러나 이 방정식 시스템은 일관성이 없습니다.

답: 뿌리가 없습니다.

실시예 9. 방정식을 풀어보세요. (6)

해결책.로 표시하면 그리고 방정식 (6)으로부터 우리는

또는 . (7)

방정식 (7)은 의 형태를 갖기 때문에 이 방정식은 부등식 과 동일합니다. 여기에서 우리는 . 이후 , 그때 또는 .

답변: .

실시예 10.방정식을 풀어보세요. (8)

해결책.정리 1에 따르면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(9)

방정식 (8)을 고려하면 두 불평등 (9)이 모두 평등으로 변한다는 결론을 내립니다. 방정식 시스템이 있습니다

그러나 정리 3에 따르면 위의 연립방정식은 부등식 시스템과 동일합니다.

(10)

불평등 시스템 (10)을 풀면 . 부등식 (10)은 방정식 (8)과 동일하므로 원래 방정식은 단일 근을 갖습니다.

답변: .

실시예 11. 방정식을 풀어보세요. (11)

해결책.과 , 그러면 등식은 방정식 (11)에서 따릅니다.

그것은 다음과 같습니다. 따라서 여기에는 불평등 시스템이 있습니다.

이 불평등 시스템에 대한 해결책은 다음과 같습니다.그리고 .

답변: , .

실시예 12.방정식을 풀어보세요. (12)

해결책. 식 (12)는 모듈을 순차적으로 확장하는 방법으로 풀 수 있다. 이를 위해 몇 가지 경우를 고려해 보겠습니다.

1. 그렇다면 .

1.1. 만약 , 그러면 그리고 , .

1.2. 그렇다면. 하지만 , 따라서 이 경우 방정식 (12)에는 근이 없습니다.

2. 그렇다면 .

2.1. 만약 , 그러면 그리고 , .

2.2. 이면, 그리고 .

답변: , , , , .

실시예 13.방정식을 풀어보세요. (13)

해결책.식 (13)의 좌변은 음수가 아니므로 . 이와 관련하여 식 (13)

또는 형식을 취합니다.

방정식은 두 방정식의 조합과 같습니다그리고 , 우리가 얻는 것을 해결, . 왜냐하면 , 그러면 방정식 (13)은 하나의 근을 갖습니다..

답변: .

실시예 14. 연립방정식 풀기 (14)

해결책.이후 및 , 다음 및 . 결과적으로 방정식 시스템 (14)에서 우리는 네 가지 방정식 시스템을 얻습니다.

위 방정식 시스템의 근은 방정식 시스템(14)의 근입니다.

답변: ,, , , , , , .

실시예 15. 연립방정식 풀기 (15)

해결책.그때부터. 이와 관련하여 방정식 시스템 (15)에서 우리는 두 가지 방정식 시스템을 얻습니다.

첫 번째 연립방정식의 근은 과 이고, 두 번째 연립방정식에서 우리는 과 를 얻습니다.

답변: , , , .

실시예 16. 연립방정식 풀기 (16)

해결책.시스템 (16)의 첫 번째 방정식으로부터 다음과 같습니다.

그때부터 . 시스템의 두 번째 방정식을 고려해 봅시다. 왜냐하면, 저것 , 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다., , 또는 .

값을 대체하면시스템의 첫 번째 방정식으로 (16), 다음, 또는 .

답변: , .

문제 해결 방법에 대한 더 깊은 연구를 위해, 방정식 풀이와 관련된, 모듈러스 기호 아래에 변수를 포함하는 경우, 추천 문헌 목록에서 튜토리얼을 추천할 수 있습니다.

1. 대학 지원자를 위한 수학 문제 모음 / Ed. 미. 스카나비. – M.: 평화와 교육, 2013. – 608p.

2. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 복잡성이 증가하는 과제. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200p.

3. 수프런 V.P. 고등학생을 위한 수학: 문제 해결을 위한 비표준 방법. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296p.

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