Tujuan layanan. Kalkulator online digunakan untuk mencari minimal suatu fungsi dari dua variabel dengan metode linearisasi langsung.

Aturan untuk memasukkan fungsi:

1. Semua variabel dinyatakan melalui x 1 , x 2
2. Semua operasi matematika dinyatakan melalui simbol yang diterima secara umum (+,-,*,/,^). Misalnya, x 1 2 +x 1 x 2, tulislah sebagai x1^2+x1*x2.

Semua metode yang dibahas di bawah ini didasarkan pada perluasan fungsi nonlinier bentuk umum f(x) dalam deret Taylor ke suku orde pertama di sekitar titik x 0:

Di mana – suku orde kecil kedua yang dibuang.
Jadi, fungsi f(x) didekati di titik x 0 dengan fungsi linier:
,
di mana x 0 adalah titik linearisasi.
Komentar. Linearisasi harus digunakan dengan sangat hati-hati karena terkadang memberikan perkiraan yang sangat kasar.

Masalah umum pemrograman nonlinier

Pertimbangkan masalah pemrograman nonlinier umum:

Misalkan x t adalah perkiraan penyelesaian tertentu. Penggunaan linearisasi langsung menimbulkan masalah berikut:

Tugas ini adalah PLP. Menyelesaikannya, kita menemukan pendekatan baru x t +1, yang mungkin tidak termasuk dalam wilayah solusi yang dapat diterima S.
Jika , maka nilai optimal fungsi tujuan linier yang memenuhi pertidaksamaan:

mungkin bukan perkiraan yang akurat arti sebenarnya optimal.
Untuk konvergensi ke suatu ekstrem, cukuplah untuk barisan titik ( xt) yang diperoleh dari penyelesaian barisan submasalah LP, kondisi berikut terpenuhi:
nilai fungsi tujuan dan selisih kendala di titik x t +1 harus lebih kecil dari nilainya di titik x t.

Contoh No.1.

Mari kita buat daerah S yang dapat diterima (lihat gambar).

Daerah layak S terdiri dari titik-titik pada kurva h(x)=0 yang terletak di antara titik (2;0), yang ditentukan oleh batasan x 2 ≥0, dan titik (1;1), yang ditentukan oleh batasan g( x) ≥0.
Hasil linearisasi soal di titik x 0 =(2;1), diperoleh ZLP berikut:

Ini dia ruas garis lurus yang dibatasi oleh titik (2,5; 0,25) dan (11/9; 8/9). Garis datar fungsi tujuan yang dilinearisasi adalah garis lurus dengan kemiringan -2, sedangkan garis datar fungsi tujuan semula berupa lingkaran yang berpusat di titik (0;0). Jelas bahwa penyelesaian masalah yang dilinearisasi adalah titik x 1 = (11/9; 8/9). Pada titik ini kita memiliki:

jadi batasan kesetaraan dilanggar. Setelah melakukan linierisasi baru di titik x 1, kita memperoleh masalah baru:

Solusi baru terletak pada perpotongan garis dan dan mempunyai koordinat x 2 = (1,0187; 0,9965). Batasan – kesetaraan ( ) masih dilanggar, tetapi pada tingkat yang lebih rendah. Jika kita melakukan dua iterasi lagi, kita akan mendapatkan perkiraan yang sangat baik untuk solusi x * =(1;1), f(x *)=2

Tabel - Nilai fungsi tujuan untuk beberapa iterasi:

Pengulangan	F	G	H
0	5	3	–1
1	2,284	0,605	–0,0123
3	2,00015	3,44×10 -4	–1,18×10 -5
Optimal	2	0	0

Dari tabel tersebut jelas bahwa f,g nilai dan h meningkat secara monoton. Namun, kemonotonan seperti itu khas untuk masalah yang fungsinya “cukup” nonlinier. Dalam kasus fungsi dengan nonlinier yang jelas, peningkatan monotonisitas dipatahkan dan algoritma berhenti konvergen.
Ada tiga cara untuk meningkatkan metode linearisasi langsung:
1. Menggunakan pendekatan linier untuk mencari arah turun.
2. Perkiraan global dari masalah fungsi nonlinier menggunakan fungsi linier sepotong-sepotong.
3. Penerapan linearisasi berturut-turut pada setiap iterasi untuk memperjelas wilayah S yang diperbolehkan.

Metode linearisasi harmonik (keseimbangan harmonik) memungkinkan Anda menentukan kondisi keberadaan dan parameter kemungkinan osilasi diri dalam sistem kontrol otomatis nonlinier. Osilasi diri ditentukan oleh siklus pembatas dalam ruang fase sistem. Batasi siklus membagi ruang (secara umum - multidimensi) di wilayah proses peluruhan dan divergen. Sebagai hasil dari penghitungan parameter osilasi mandiri, kita dapat menarik kesimpulan tentang diterimanya parameter tersebut untuk sistem tertentu atau tentang perlunya mengubah parameter sistem.

Metode ini memungkinkan:

Menentukan kondisi kestabilan sistem nonlinier;

Temukan frekuensi dan amplitudo osilasi bebas sistem;

Mensintesis sirkuit koreksi untuk memastikan parameter osilasi mandiri yang diperlukan;

Selidiki osilasi paksa dan evaluasi kualitas proses transien dalam sistem kontrol otomatis nonlinier.

Syarat penerapan metode linierisasi harmonik.

1) Saat menggunakan metode ini diasumsikan bahwa linier bagian dari sistem stabil atau netral.

2) Sinyal pada masukan tautan nonlinier bentuknya mendekati sinyal harmonik. Ketentuan ini memerlukan klarifikasi.

Gambar 1 menunjukkan diagram blok sistem kendali otomatis nonlinier. Rangkaian ini terdiri dari tautan seri: tautan nonlinier y=F(x) dan tautan linier

th, yang dijelaskan oleh persamaan diferensial

Jika y = F(g - x) = g - x diperoleh persamaan gerak sistem linier.

Mari kita pertimbangkan pergerakan bebas, mis. untuk g(t) º 0. Lalu,

Dalam kasus ketika ada osilasi sendiri dalam sistem, pergerakan bebas sistem bersifat periodik. Pergerakan non-periodik dalam waktu berakhir dengan berhentinya sistem pada posisi akhir tertentu (biasanya pada pembatas yang disediakan khusus).

Untuk segala bentuk sinyal periodik pada masukan elemen nonlinier, sinyal pada keluarannya akan mengandung harmonisa yang lebih tinggi selain frekuensi dasar. Asumsi bahwa sinyal pada masukan bagian nonlinier sistem dapat dianggap harmonis, yaitu

x(t)@a×sin(berat),

dimana w=1/T, T adalah periode osilasi bebas sistem, setara dengan asumsi bahwa bagian linier sistem efektif filter harmonik yang lebih tinggi dari sinyal y(t) = F(x (t)).

Dalam kasus umum, ketika elemen nonlinier dari sinyal harmonik x(t) bekerja pada masukan, sinyal keluaran dapat ditransformasikan Fourier:

Koefisien deret Fourier

Untuk menyederhanakan perhitungan, kita asumsikan bahwa C 0 =0, yaitu fungsi F(x) simetris terhadap titik asal. Pembatasan seperti ini tidak diperlukan dan dilakukan dengan analisis. Munculnya koefisien C k ¹ 0 berarti bahwa, dalam kasus umum, konversi sinyal nonlinier disertai dengan pergeseran fasa dari sinyal yang dikonversi. Secara khusus, hal ini terjadi pada nonlinier dengan karakteristik ambigu (dengan berbagai jenis loop histeresis), baik penundaan maupun, dalam beberapa kasus, fase maju.

Asumsi penyaringan efektif berarti bahwa amplitudo harmonik yang lebih tinggi pada keluaran bagian linier sistem adalah kecil, yaitu

Pemenuhan kondisi ini difasilitasi oleh fakta bahwa dalam banyak kasus amplitudo harmonik yang langsung pada keluaran nonlinier ternyata jauh lebih kecil daripada amplitudo harmonik pertama. Misalnya pada keluaran relai ideal dengan sinyal harmonik pada masukannya

y(t)=F(с×sin(wt))=a×tanda(sin(wt))

tidak ada harmonik genap, dan amplitudo harmonik ketiga adalah tiga kali kurang dari amplitudo harmonik pertama

Ayo lakukan penilaian tingkat penindasan harmonik sinyal yang lebih tinggi di bagian linier ACS. Untuk melakukan ini, kami akan membuat sejumlah asumsi.

1) Frekuensi osilasi bebas ACS kira-kira sama dengan frekuensi cutoff bagian liniernya. Perhatikan bahwa frekuensi osilasi bebas ACS nonlinier dapat berbeda secara signifikan dengan frekuensi osilasi bebas sistem linier sehingga asumsi ini tidak selalu benar.

2) Mari kita ambil indeks osilasi ACS sama dengan M=1.1.

3) LAC di sekitar frekuensi cutoff (w c) memiliki kemiringan -20 dB/des. Batas-batas bagian LAC ini dihubungkan dengan indeks osilasi melalui relasi

4) Frekuensi w max dikonjugasikan dengan bagian LFC, sehingga pada w > w max kemiringan LAC tidak kurang dari minus 40 dB/des.

5) Nonlinier - relai ideal dengan karakteristik y = tanda(x) sehingga hanya harmonik ganjil yang muncul pada keluaran nonliniernya.

Frekuensi harmonik ketiga w 3 = 3w c, harmonik kelima w 5 = 5w c,

logw 3 = 0,48+logw c ,

logw 5 = 0,7+logw c .

Frekuensi w maks = 1,91w s, logw maks = 0,28+lgw s. Frekuensi sudut berjarak 0,28 dekade dari frekuensi cutoff.

Penurunan amplitudo sinyal harmonik yang lebih tinggi ketika melewati bagian linier sistem akan terjadi pada harmonik ketiga.

L 3 = -0,28×20-(0,48-0,28)×40 = -13,6 dB, yaitu 4,8 kali,

untuk yang kelima - L 5 = -0,28×20-(0,7-0,28)×40 = -22,4 dB, yaitu 13 kali.

Akibatnya, sinyal pada keluaran bagian linier akan mendekati harmonik

Hal ini setara dengan asumsi bahwa sistem tersebut adalah filter low-pass.

Kebanyakan sistem nyata bersifat nonlinier, yaitu. perilaku sistem dijelaskan oleh persamaan:

Seringkali dalam praktiknya, sistem nonlinier dapat didekati dengan sistem linier pada wilayah terbatas tertentu.

Mari kita berpura-pura seperti itu
untuk persamaan (1) diketahui. Mari kita ganti sistem (1,2) dengan mensubstitusi kondisi awal

Kami berasumsi bahwa keadaan awal dan variabel input diubah sehingga status dan variabel inputnya baru memiliki bentuk berikut.

KELUAR
kita temukan sebagai hasil penyelesaian persamaan yang terganggu.

Mari kita kembangkan ruas kanan menjadi deret Taylor.

-istilah kesalahan sisa orde kecil kedua.

Dengan mengurangkan solusi awal dari ekspansi, kita memperoleh persamaan linier berikut:

.

Kami menyatakan turunan parsial sebagai koefisien yang bergantung pada waktu

Ekspresi ini dapat ditulis ulang sebagai

Kami memperoleh persamaan linier pada titik kesetimbangan
.

. Pada intinya

Solusi untuk persamaan ini

Mari kita bedakan ruas kanan persamaan awal terhadap X, kita mendapatkan

.

Mari kita linierkan persamaan untuk nilai awal yang berubah-ubah
.

Kami memperoleh sistem linier dalam bentuk persamaan nonstasioner

Penyelesaian sistem linierisasi mempunyai bentuk:

.

1.7. Gangguan yang khas

Pengaruh eksternal yang mengganggu dapat bersifat berbeda-beda:

aksi sesaat yang berupa impuls dan aksi tetap.

Jika dibedakan dalam waktu
, Itu
, oleh karena itu fungsi (t) mewakili turunan waktu dari tindakan satu langkah.

(t) - fungsi ketika diintegrasikan memiliki sifat penyaringan berikut:

Produk integral dari fungsi arbitrer
dan(t)-fungsi difilter dari semua nilai
hanya yang sesuai dengan momen penerapan impuls satuan sesaat.

Gangguan linier

Gangguan harmonik

2 U. Sistem orde kedua

2.1 Mereduksi persamaan orde kedua menjadi sistem persamaan orde pertama

Contoh sistem stasioner linier.

Deskripsi lain dari sistem orde kedua yang sama diberikan oleh sepasang persamaan diferensial orde pertama yang digabungkan

(2)

dimana hubungan antara koefisien persamaan tersebut ditentukan oleh hubungan berikut

2.2. Memecahkan persamaan orde kedua

Menggunakan operator diferensial
persamaan tersebut dapat disajikan dalam bentuk yang lebih ringkas

Persamaan (1) diselesaikan dalam 3 tahap:

1) temukan solusi umum persamaan homogen;

2) menemukan solusi tertentu ;

3) penyelesaian lengkapnya adalah penjumlahan kedua penyelesaian tersebut
.

Pertimbangkan persamaan homogen

kami akan mencari solusi dalam bentuk

(5)

Di mana
besaran nyata atau kompleks. Substitusikan (5) ke (4) kita peroleh

(6)

Ekspresi ini adalah solusi persamaan homogen jika S memenuhi persamaan karakteristik

Untuk s 1  s 2, penyelesaian persamaan homogen memiliki bentuk

Kemudian kita mencari solusinya dalam bentuk tersebut
dan mensubstitusikannya ke persamaan awal

Dari situlah berikut ini
.

Jika Anda memilih

. (8)

Kami mencari solusi khusus untuk persamaan awal (1) menggunakan metode variasi
dalam bentuk

Berdasarkan (11), (13) kita memperoleh sistem

Solusi lengkap persamaan tersebut.

Dengan mengubah variabel kita memperoleh persamaan orde kedua:

FASE BIDANG

Ruang keadaan dua dimensi atau bidang fase adalah bidang di mana dua variabel keadaan dipertimbangkan dalam sistem koordinat persegi panjang

- variabel keadaan ini membentuk vektor
.

Ubah jadwal
membentuk lintasan pergerakan. Hal ini diperlukan untuk menunjukkan arah pergerakan lintasan.

Keadaan setimbang disebut keadaan demikian , di mana sistem tetap dengan ketentuan itu
Keadaan setimbang dapat ditentukan (jika ada) dari relasinya

apapun T.

Keadaan keseimbangan terkadang disebut titik kritis, fundamental, atau nol.

Lintasan sistem tidak dapat saling berpotongan dalam ruang, yang juga menyiratkan keunikan penyelesaian persamaan diferensial.

Tidak ada satu pun lintasan yang melewati keadaan setimbang, meskipun lintasan tersebut dapat mendekati titik-titik tunggal secara sembarang (di
) .

Jenis poin

1 Titik beraturan adalah setiap titik yang dapat dilalui suatu lintasan; titik keseimbangannya tidak beraturan.

2. Suatu titik kesetimbangan terisolasi jika lingkungan kecilnya hanya memuat titik-titik beraturan.

Pertimbangkan sistemnya

Untuk menentukan keadaan setimbang, kita selesaikan sistem persamaan berikut

.

Kami memperoleh ketergantungan antar variabel keadaan
.

titik mana pun yang merupakan keadaan setimbang. Poin-poin ini tidak berdiri sendiri.

Perhatikan bahwa untuk sistem stasioner linier

keadaan awal ternyata merupakan keadaan setimbang dan terisolasi jika determinan dari matriks koefisien
, Kemudian
ada keadaan seimbang.

Untuk sistem nonlinier orde kedua, keadaan setimbangnya adalah disebut sederhana, jika matriks Jacobian yang bersesuaian tidak sama dengan 0.

Kalau tidak, keadaannya tidak akan sederhana. Jika titik kesetimbangannya sederhana, maka titik tersebut terisolasi. Kebalikannya belum tentu benar (kecuali dalam kasus sistem stasioner linier).

Perhatikan penyelesaian persamaan keadaan sistem linier orde kedua:
.

Sistem ini dapat diwakili oleh dua persamaan orde pertama,

mari kita tunjukkan
,

Persamaan karakteristik
dan solusinya adalah:

Penyelesaian persamaan tersebut ditulis dalam bentuk

Berdasarkan sifat fungsi ACS, mereka dibagi menjadi 4 kelas: Sistem stabilisasi otomatis dicirikan oleh fakta bahwa selama pengoperasian sistem, pengaruh referensi tetap konstan. Dalam sistem kendali program, pengaruh acuan berubah menurut hukum yang telah ditentukan sebagai fungsi waktu dan koordinat sistem. Sistem servo, tindakan referensi adalah nilai variabel, tetapi deskripsi matematis dalam waktu tidak dapat ditentukan.Sistem adaptif atau penyesuaian diri, sistem seperti itu secara otomatis...

Bagikan pekerjaan Anda di jejaring sosial

Jika karya ini tidak cocok untuk Anda, di bagian bawah halaman terdapat daftar karya serupa. Anda juga dapat menggunakan tombol pencarian

Kuliah No.2. Klasifikasi dan Persyaratan ATS. ATS linier dan nonlinier. Metode linearisasi umum

(Geser 1)

2.1. Klasifikasi ATS

(Geser 2)

ATS diklasifikasikan menurut berbagai kriteria. Berdasarkan sifat fungsinya, ATS dibagi menjadi 4 kelas:

• Sistem stabilisasi otomatis(ditandai dengan fakta bahwa selama pengoperasian sistem, pengaruh referensi tetap konstan).Contoh: penstabil kecepatan mesin.
• Sistem peraturan program(pengaruh acuan berubah menurut hukum yang telah ditentukan, sebagai fungsi waktu dan koordinat sistem).Contoh: autopilot.
• Pengikut sistem (pengaruh pengaturan adalah nilai variabel, tetapi deskripsi matematis dalam waktu tidak dapat ditentukan, karena sumber sinyalnya adalah pengaruh eksternal, yang hukum pergerakannya tidak diketahui sebelumnya).Contoh: radar pelacak pesawat.
• adaptif atau sistem penyetelan mandiri (sistem tersebut secara otomatis memilih hukum kendali optimal dan dapat mengubah karakteristik pengontrol selama pengoperasian).Contoh: permainan komputer dengan plot non-linier.

(Geser 3)

ATS juga dibagi menurut sifat sinyal pada perangkat kontrol:

• Kontinu (sinyal masukan dan keluaran merupakan fungsi waktu yang kontinu).Contoh : komparator, penguat operasional.
• Menyampaikan (jika sistem memiliki setidaknya satu elemen dengan karakteristik relai).Contoh: berbagai relay, saklar analog dan multiplexer.
• Detak (ditandai dengan adanya setidaknya satu elemen pulsa).Contoh: thyristor, rangkaian digital.

Semua ACS dapat dibagi menurut ketergantungan karakteristik keluaran pada masukannya linier dan nonlinier.

2.2. Persyaratan untuk ATS

(Geser 4)

1. Kuantitas yang terkendali harus dipertahankan pada tingkat tertentu tanpa memperhatikan gangguan. Proses sementara tampaknya merupakan karakteristik dinamis yang dapat digunakan untuk menilai kualitas sistem.

2. Kondisi stabilitas harus dipenuhi, yaitu. sistem harus memiliki margin stabilitas.

3. Waktu pelaksanaan proses transisi, yang mencirikan kecepatan respons sistem.

(Geser 5)

4. Standar yang melampaui batas harus dipenuhi. Untuk menentukan besarnya overshoot, dua parameter utama digunakan:

• Faktor melampaui batas

dimana kamu m deviasi maksimum nilai keluaran selama proses transien, kamu∞ nilai besaran keluaran dalam keadaan tunak. Nilai yang diperbolehkan = 0  25% .

(Geser 6)

• Ukuran osilasi proses Jumlah osilasi selama proses transisi (tidak lebih dari 2)

5. Persyaratan akurasi statis harus dipenuhi. Jika proses dalam sistem bersifat acak, maka karakteristik probabilistik diperkenalkan untuk memastikan keakuratan.

2. 3 . ATS linier dan nonlinier

Proses dinamis dalam sistem kendali dijelaskan dengan persamaan diferensial.

(Geser 7)

Dalam sistem linier, proses dijelaskan menggunakandiferensial linierpersamaan. Dalam sistem nonlinier, proses dijelaskan dengan persamaan yang mengandung beberapa nonlinier . Perhitungan untuk sistem linier dikembangkan dengan baik dan lebih mudah aplikasi praktis. Perhitungan sistem nonlinier sering kali menimbulkan kesulitan besar.

Agar sistem kendali menjadi linier, karakteristik statis dari semua tautan perlu (tetapi tidak cukup) dalam bentuk garis lurus. Pada kenyataannya, karakteristik statis nyata dalam banyak kasus tidak linier. Oleh karena itu, untuk menghitung sistem nyata sebagai sistem linier, semua karakteristik statis lengkung dari tautan di area kerja yang digunakan dalam proses kontrol ini perlu diganti dengan segmen lurus. Itu disebut linearisasi . Kebanyakan sistem kendali kontinyu dapat menerima linearisasi seperti itu.

(Geser 8)

Sistem linier dibagi menjadisistem linier biasa dan seterusnya sistem linier khusus.Yang pertama mencakup sistem seperti itu, yang semua hubungannya dijelaskan oleh persamaan diferensial linier biasa dengan koefisien konstan.

(Geser 9)

Sistem linier khusus meliputi:

A) sistem dengan parameter yang bervariasi terhadap waktu, yang dijelaskan oleh diferensial linierpersamaan dengan koefisien variabel;

B) sistem dengan parameter terdistribusi, di mana kita harus berurusan dengan persamaan diferensial parsial, dan sistem dengan waktu tunda, yang dijelaskan oleh persamaan dengan argumen terbelakang;

(Geser 10)

V) sistem pulsa, di mana kita harus berurusan dengan persamaan perbedaan.

(Geser 11)

Beras. 2.1. Ciri-ciri unsur nonlinier

Dalam sistem nonlinier, ketika menganalisis proses pengendalian, perlu memperhitungkan nonlinier karakteristik statis setidaknya pada salah satu tautannya atau beberapa ketergantungan diferensial nonlinier dalam persamaan dinamika sistem. Terkadang tautan nonlinier secara khusus dimasukkan ke dalam sistem untuk memastikan kecepatan tertinggi atau kualitas lain yang diinginkan.

Sistem nonlinier terutama mencakup sistem relai, karenakarakteristik relai(Gbr. 2.1, a dan b ) tidak dapat digantikan oleh satu garis lurus pun. Suatu tautan akan menjadi nonlinier jika karakteristiknya meliputizona mati(Gbr. 2.1, c).

Fenomena saturasi atau batasan pukulan mekanismengarah pada karakteristik dengan ketergantungan linier terbatas di ujungnya (Gbr. 2.1, hal ). Karakteristik ini juga harus dianggap nonlinier jika proses tersebut dipertimbangkan ketika titik operasi melampaui bagian linier dari karakteristik tersebut.

Ketergantungan nonlinier juga mencakupkurva histeresis(Gbr. 2.1, d ), karakteristikizin dalam transmisi mekanis(Gbr. 2.1, f), gesekan kering (Gbr. 2.1, g), gesekan kuadrat(Gbr. 2.1, dan ) dll. Dalam dua karakteristik terakhir x 1 menunjukkan kecepatan gerakan, dan x 2 gaya atau momen gesekan.

Secara umum, setiap hubungan lengkung antara nilai keluaran dan masukan suatu tautan adalah nonlinier (Gbr. 2.1, Ke ). Ini adalah tipe nonlinier yang paling sederhana. Selain itu, nonlinier dapat dimasukkan dalam persamaan diferensial berupa hasil kali variabel dan turunannya, serta dalam bentuk ketergantungan fungsional yang lebih kompleks.

Tidak semua ketergantungan nonlinier dapat dengan mudah dilinierkan. Misalnya, linearisasi tidak dapat dilakukan untuk karakteristik yang ditunjukkan pada Gambar. 2.1, a atau pada Gambar. 2.1, e Kasus-kasus rumit seperti itu akan dibahas dalam Bagian. 9.

2.4. Metode linearisasi umum

(Geser 12)

Dalam kebanyakan kasus, linierisasi hubungan nonlinier dapat dilakukan dengan menggunakan metode deviasi atau variasi kecil. Untuk mempertimbangkannya, mari kita beralih ke tautan tertentu dalam sistem kontrol otomatis (Gbr. 2.2). Besaran masukan dan keluaran ditentukan oleh X 1 dan X 2 , dan gangguan eksternal melalui F(t).

Mari kita asumsikan bahwa hubungan tersebut dijelaskan oleh beberapa bentuk persamaan diferensial nonlinier

. (2.1)

Untuk menyusun persamaan seperti itu, Anda perlu menggunakan cabang ilmu teknis yang sesuai (misalnya, teknik elektro, mekanik, hidrolika, dll.) yang mempelajari jenis perangkat khusus ini.

(Geser 13)

Dasar linearisasi adalah asumsi bahwa simpangan semua variabel yang termasuk dalam persamaan dinamika link cukup kecil, karena pada luasan yang cukup kecil sifat lengkung dapat digantikan oleh ruas garis lurus. Penyimpangan variabel diukur dari nilainya dalam proses tunak atau dalam keadaan setimbang tertentu sistem. Misalnya, suatu proses yang stabil dicirikan oleh nilai variabel yang konstan X 1 , yang kami tunjukkan X 10 . Selama proses regulasi (Gbr. 2.3) variabel X 1 akan penting

dimana menunjukkan deviasi variabel X 1 dari nilai tetap X 10.

Hubungan serupa diperkenalkan untuk variabel lain. Untuk kasus yang sedang dipertimbangkan, kami memiliki:

Dan

Semua penyimpangan diasumsikan cukup kecil. Asumsi matematis ini tidak bertentangan dengan makna fisik dari masalah, karena gagasan pengendalian otomatis mengharuskan semua penyimpangan besaran yang dikendalikan selama proses pengendalian cukup kecil.

Kestabilan tautan ditentukan oleh nilainya X 10, X 20 dan F 0 . Maka persamaan (2.1) dapat dituliskan dalam bentuk keadaan tunak

. (2.2)

(Geser 15)

Mari kita perluas ruas kiri persamaan (2.1) menjadi deret Taylor

(2.3)

dimana  anggota tingkat yang lebih tinggi. Indeks 0 untuk turunan parsial berarti setelah mengambil turunannya, nilai keadaan tunak semua variabel harus disubstitusikan ke dalam ekspresinya

; ; ; .

Suku-suku orde tinggi dalam rumus (2.3) mencakup turunan parsial yang lebih tinggi dikalikan kuadrat, kubus, dan derajat simpangan yang lebih tinggi, serta hasil kali simpangan. Penyimpangan tersebut akan lebih kecil pada tingkat yang lebih tinggi dibandingkan dengan penyimpangan itu sendiri, yang merupakan penyimpangan kecil pada tingkat pertama.

(Geser 16)

Persamaan (2.3) merupakan persamaan dinamika link, sama seperti (2.1), namun ditulis dalam bentuk yang berbeda. Mari kita buang persamaan kecil orde tinggi dalam persamaan ini, setelah itu kita kurangi persamaan keadaan tunak (2.2) dari persamaan (2.3). Hasilnya, kami memperoleh persamaan perkiraan berikut untuk dinamika suatu tautan dalam deviasi kecil:

(2.4)

Semua variabel dan turunannya masuk ke dalam persamaan ini secara linier, yaitu sampai derajat pertama. Semua turunan parsial mewakili beberapa koefisien konstan jika suatu sistem dengan parameter konstan dipelajari. Jika sistem memiliki parameter variabel, maka persamaan (2.4) akan memiliki koefisien variabel. Mari kita perhatikan hanya kasus koefisien konstan.

(Geser 17)

Diperoleh persamaan (2.4) yang menjadi tujuan linearisasi yang dilakukan. Dalam teori kendali otomatis, persamaan semua tautan biasanya ditulis sedemikian rupa sehingga ruas kiri persamaan berisi nilai keluaran, dan semua suku lainnya dipindahkan ke ruas kanan. Dalam hal ini, semua suku persamaan dibagi dengan koefisien nilai keluaran. Hasilnya, persamaan (2.4) berbentuk

, (2.5)

di mana notasi berikut diperkenalkan

(Geser 18)

Selain itu, untuk memudahkan, semua persamaan diferensial biasanya ditulis dalam bentuk operator dengan notasi

Dll.

Maka persamaan diferensial (2.5) akan ditulis dalam bentuk

, (2.6)

Kami akan menyebut entri ini sebagai bentuk standar penulisan persamaan dinamika tautan.

Koefisien T 1 dan T 2 mempunyai dimensi waktu sekon. Hal ini mengikuti fakta bahwa semua suku dalam persamaan (2.6) harus memiliki dimensi yang sama, dan misalnya, dimensi (atau hal x 2 ) berbeda dari dimensinya x 2 selama satu detik hingga minus pangkat satu ( s -1 ). Oleh karena itu koefisiennya T 1 dan T 2 disebut konstanta waktu.

Koefisien k 1 mempunyai dimensi besaran keluaran dibagi dengan dimensi masukan. Itu disebutkoefisien transmisitautan Untuk sambungan yang besaran keluaran dan masukannya mempunyai dimensi yang sama, istilah berikut juga digunakan: penguatan untuk sambungan yang merupakan penguat atau berisi penguat; rasio roda gigi untuk kotak roda gigi, pembagi tegangan, perangkat penskalaan, dll.

Koefisien transmisi mencirikan sifat statis link, seperti dalam kondisi tunak. Oleh karena itu, ini menentukan kemiringan karakteristik statis untuk penyimpangan kecil. Jika kita menggambarkan seluruh karakteristik statis nyata dari tautan tersebut, maka linearisasi menghasilkan atau. Koefisien transfer k 1 akan menjadi garis singgung sudut kemiringan bersinggungan pada saat itu C (lihat Gambar 2.3), dari mana penyimpangan kecil diukur x 1 dan x 2.

Dapat dilihat dari gambar bahwa linearisasi persamaan yang dilakukan di atas berlaku untuk proses kontrol yang mencakup bagian karakteristik tersebut. AB , yang garis singgungnya sedikit berbeda dengan kurva itu sendiri.

(Geser 19)

Selain itu, metode linearisasi grafis lainnya mengikuti dari sini. Jika sifat statik dan titiknya diketahui C , yang menentukan keadaan tunak di sekitar tempat terjadinya proses regulasi, kemudian koefisien transmisi pada persamaan link ditentukan secara grafis dari gambar sesuai ketergantungan k 1 = tan  c dengan mempertimbangkan skala gambar dan dimensi x 2 . Dalam banyak kasusmetode linearisasi grafisternyata lebih nyaman dan lebih cepat mencapai tujuan.

(Geser 20)

Dimensi koefisien k 2 sama dengan dimensi koefisien transmisi k 1 , dikalikan dengan waktu. Oleh karena itu, persamaan (2.6) sering ditulis dalam bentuk

dimana adalah konstanta waktu.

Konstanta waktu T 1, T 2 dan T 3 menentukan sifat dinamis tautan. Masalah ini akan dibahas secara rinci di bawah ini.

Faktorkan k 3 mewakili koefisien transmisi akibat gangguan eksternal.

HALAMAN 1

Karya serupa lainnya yang mungkin menarik bagi Anda.vshm>
13570.		Mode pemanasan laser linier dan nonlinier	333,34 KB
	Mode linier pemanasan laser Untuk menganalisis mode linier pemanasan laser, mari kita perhatikan proses pemaparan setengah ruang ke sumber panas yang berkurang secara eksponensial seiring dengan kedalaman. Oleh karena itu, idealisasi sifat-sifat sumber panas, yang sering kali diperbolehkan dalam skema perhitungan untuk mengurangi kesulitan matematika, dapat menyebabkan penyimpangan nyata pada data perhitungan dari data eksperimen. Untuk bahan buram, dalam kebanyakan kasus pemanasan LR, sumber panas dapat dianggap sebagai koefisien penyerapan permukaan α 104  105...
16776.		Persyaratan kebijakan perpajakan negara pada saat krisis	21,72 KB
	Persyaratan kebijakan perpajakan negara pada saat krisis Untuk berkembangnya kegiatan wirausaha dalam kondisi perekonomian modern perlu adanya kondisi tertentu antara lain: - adanya sistem perpajakan yang efektif yang mendorong berkembangnya kewirausahaan; - adanya serangkaian hak dan kebebasan tertentu, pilihan jenis kegiatan ekonomi, perencanaan sumber pembiayaan, akses terhadap sumber daya, organisasi dan manajemen perusahaan, dll. Jadi, untuk pembangunan progresif...
7113.		Metode linearisasi harmonik	536,48 KB
	Metode linearisasi harmonik Karena metode ini merupakan perkiraan, hasil yang diperoleh akan mendekati kebenaran hanya jika asumsi tertentu terpenuhi: Suatu sistem nonlinier harus mengandung hanya satu nonlinier; Bagian linier dari sistem harus berupa filter frekuensi rendah melemahnya harmonik yang lebih tinggi yang timbul dalam siklus batas; Metode ini hanya berlaku untuk sistem otonom. Pergerakan bebas suatu sistem dipelajari, yaitu pergerakan pada kondisi awal yang bukan nol tanpa adanya pengaruh luar....
12947.		METODE LINEARISASI HARMONIS	338,05 KB
	Langsung ke pembahasan metode linierisasi harmonik, kita asumsikan bahwa sistem nonlinier yang diteliti direduksi menjadi bentuk yang ditunjukkan pada. Suatu elemen nonlinier dapat mempunyai karakteristik apa pun asalkan elemen tersebut dapat diintegralkan tanpa diskontinuitas jenis kedua. Transformasi variabel ini, misalnya, oleh elemen nonlinier dengan zona mati ditunjukkan pada Gambar.
2637.		Aplikasi obat-obatan. Karakteristik umum. Klasifikasi. Persyaratan utama. Teknologi penerapan perekat pada substrat dalam produksi aplikasi produk obat	64,04 KB
	Aplikasi obat plester kalus, plester perekat, plester lada, plester cair perekat kulit, film TTC, dll. karakteristik umum dan klasifikasi patch Patch emplstr adalah bentuk sediaan untuk pemakaian luar dengan kemampuan menempel pada kulit dan memberikan efek pada kulit, jaringan subkutan dan, dalam beberapa kasus, efek umum pada tubuh. Patch adalah salah satu bentuk sediaan tertua yang dikenal sejak zaman kuno, nenek moyang obat modern generasi keempat...
7112.		SISTEM NONLINEAR	940,02 KB
	Hukum fisika gerak dunia di sekitar kita sedemikian rupa sehingga semua objek kendali bersifat nonlinier. Nonlinier lainnya, yang disebut nonlinier struktural, sengaja dimasukkan ke dalam sistem untuk memperoleh karakteristik sistem yang diperlukan. Jika nonlinier diekspresikan dengan lemah, maka perilaku sistem nonlinier sedikit berbeda dengan perilaku sistem linier. Tidak mungkin membuat model yang tepat dari sistem nyata.
21761.		Jajaran umum para dewa Mesopotamia kuno. Dewa Sumeria kuno	24,7 KB
	Agama kuno masyarakat Mesopotamia, meskipun mereka memiliki konservatisme, secara bertahap, dalam perjalanan perkembangan sosial, mengalami perubahan yang mencerminkan proses politik dan sosial ekonomi yang terjadi di wilayah Mesopotamia.
11507.		pembentukan hasil keuangan dan analisis umum kegiatan keuangan dan ekonomi organisasi	193,55 KB
	Untuk mengenal lebih dalam kegiatan suatu perusahaan, ada kebutuhan untuk mempelajarinya dari semua sisi yang memungkinkan untuk membentuk opini yang paling obyektif baik tentang hal positif maupun positif. aspek negatif dalam pekerjaan dalam mengidentifikasi area yang paling rentan dan cara untuk menghilangkannya. Untuk melakukan analisis keuangan digunakan alat khusus yang disebut rasio keuangan. Menggunakan informasi yang diperlukan untuk mengevaluasi secara obyektif dan paling akurat kondisi keuangan organisasi perubahan untung dan ruginya...
13462.		Analisis statistik aset berisiko. Model nonlinier	546,54 KB
	Namun, data riil dari banyak rangkaian waktu keuangan menunjukkan bahwa model linier tidak selalu cukup mencerminkan gambaran perilaku harga yang sebenarnya. Jika kita mengingat ekspansi Doob yang melibatkan ekspektasi matematis bersyarat, wajar saja jika kita berasumsi bahwa distribusi bersyarat adalah Gaussian...
4273.		Model matematika linier	3,43 KB
	Model matematika linier. Telah disebutkan di atas bahwa apa pun model matematika dapat dianggap sebagai operator tertentu A, yang merupakan suatu algoritma atau ditentukan oleh sekumpulan persamaan - aljabar...

Persamaan diferensial dapat dilinierkan dengan menggunakan metode berikut:

1. fungsi nonlinier area kerja diperluas menjadi deret Taylor.

2. Fungsi nonlinier yang diberikan dalam bentuk grafik dilinierkan pada bidang kerja dengan garis lurus.

3. Daripada menentukan turunan parsial secara langsung, variabel dimasukkan ke dalam persamaan nonlinier asli.

,

. (33)

4. Metode ini didasarkan pada penentuan koefisien dengan menggunakan metode kuadrat terkecil.

, (34)

Di mana - konstanta waktu penggerak pneumatik;

- koefisien transmisi penggerak pneumatik;

- koefisien redaman penggerak pneumatik.

Struktur internal elemen ACS paling sederhana ditentukan dengan menggunakan diagram grafik struktur. Tidak seperti diagram struktural yang terkenal dalam grafik, variabel ditunjukkan dalam bentuk waktu, dan busur menunjukkan parameter atau fungsi transfer dari tautan tipikal. Terdapat perbandingan yang seimbang di antara keduanya.

mm elemen nonlinier

Metode linearisasi yang dibahas dalam bab pertama dapat diterapkan ketika nonlinier yang termasuk dalam objek LSA setidaknya dapat terdiferensiasi satu kali atau didekati secara garis singgung dengan kesalahan kecil di beberapa lingkungan yang dekat dengan titik operasi. Ada seluruh kelas nonlinier yang kedua kondisinya tidak terpenuhi. Biasanya ini merupakan nonlinier yang signifikan. Ini termasuk: fungsi bertahap, linier sepotong-sepotong, dan multinilai dengan titik diskontinuitas jenis pertama, serta fungsi pangkat dan transtenden. Penggunaan komputer yang memastikan pelaksanaan operasi logika-aljabar dalam sistem telah memunculkan jenis linearitas baru, yang direpresentasikan melalui variabel kontinu menggunakan logika khusus.

Untuk mendeskripsikan nonlinier tersebut secara matematis, digunakan fungsi transfer ekuivalen, bergantung pada koefisien linierisasi, yang diperoleh dengan meminimalkan kesalahan kuadrat rata-rata dalam mereproduksi sinyal masukan tertentu. Bentuk sinyal masukan yang sampai pada masukan nonlinier bisa berubah-ubah. Dalam praktiknya, yang paling luas adalah jenis sinyal masukan harmonis dan acak serta kombinasi waktunya. Oleh karena itu, metode linearisasi disebut harmonik dan statis.

Metode umum untuk mendeskripsikan fungsi transfer yang setara

Seluruh kelas nonlinier signifikan dibagi menjadi dua kelompok. Kelompok pertama mencakup nonlinier yang tidak ambigu di mana hubungan antar masukan dan akhir pekan sinyal vektor hanya bergantung pada bentuk karakteristik nonlinier statis
.

.

Dalam hal ini, dengan bentuk sinyal masukan tertentu:

.

Menggunakan matriks linearisasi
Anda dapat menemukan perkiraan nilai sinyal keluaran:

.

Dari (42) berikut bahwa matriks koefisien linearisasi nonlinier bernilai tunggal adalah besaran nyata dan fungsi alih ekuivalennya:

.

Kelompok kedua mencakup nonlinier dua nilai (multinilai), di mana hubungan antara sinyal masukan dan keluaran tidak hanya bergantung pada bentuk karakteristik statis, tetapi juga ditentukan oleh riwayat sinyal masukan. Dalam hal ini, ekspresi (42) akan ditulis sebagai:

.

Untuk memperhitungkan pengaruh riwayat sinyal periodik masukan, kami tidak hanya memperhitungkan sinyal itu sendiri , tetapi juga laju perubahannya, perbedaannya .

Untuk sinyal masukan:

perkiraan nilai sinyal input adalah:

Di mana
Dan
- Koefisien linearisasi harmonik dari nonlinier dua nilai;

- periode osilasi sepanjang harmonik kanan;

- fungsi harmonik.

Fungsi transfer yang setara:

Ada nonlinier dalam bentuk yang lebih umum:

,

,

Di mana
Dan
- koefisien linearisasi harmonik;

- bilangan harmonik.

Matriks koefisien linearisasi periodik dengan periode . Dengan mengingat hal ini, fungsi transfer dari dua nonlinier bernilai dua dapat direpresentasikan dengan analogi dengan fungsi transfer

Dengan menggunakan ini, kita akan mendefinisikan rumus umum untuk menghitung fungsi transfer nonlinier bernilai tunggal dan dua nilai.

Dalam kasus nonlinier yang tidak ambigu, matriks koefisien linierisasi , tergantung pada parameter vektor
, kita memilih sedemikian rupa untuk linierisasikan nilai rata-rata dari selisih kuadrat antara eksaknya dan tutup
sinyal masukan:

Setelah transformasi, penyederhanaan, trik dan peningkatan kewaspadaan, diperoleh fungsi alih ekuivalen dalam bentuk sistem matriks:
,
.

,

pada
,
.

.

Tentukan koefisien linierisasi untuk nonlinier bernilai tunggal. Ketika harmonik pertama dari sinyal sinusoidal tiba pada masukannya:

Di mana
.

.

Persamaan (56) adalah koefisien linearisasi harmonik pertama untuk nonlinier bernilai tunggal, yang menentukan fungsi transfer ekuivalen
.

Berikut ini kami akan membandingkan rumus untuk menentukan koefisien linearisasi nonlinier paling sederhana ketika sinyal periodik disuplai ke inputnya: sinusoidal, segitiga, dan kami akan menunjukkan kelayakan menggunakan fungsi transfer ekuivalen yang dihasilkan.

Mari kita tentukan koefisien linearisasi
,
.

,

.

Contoh. Tentukan koefisien linierisasi nonlinier dua nilai ketika harmonik pertama dari sinyal sinusoidal sampai pada masukannya dan memiliki satu masukan. Dari sistem matriks (60), kita peroleh:

,

.

Dalam contoh ini, kita menulis sinyal masukan dalam bentuk:

,

.

Jika untuk nonlinier dua nilai, fungsi ekuivalen umumnya adalah:

. .