Ukuran sisi miring. Rumus segitiga. Luas segitiga, segitiga siku-siku, teorema Pythagoras, jari-jari lingkaran bertulis, jari-jari lingkaran berbatas

Segitiga siku-siku sebenarnya ditemukan di hampir setiap sudut. Pengetahuan tentang sifat-sifat suatu bangun datar, serta kemampuan menghitung luasnya, tentu akan berguna bagi Anda tidak hanya untuk memecahkan masalah geometri, tetapi juga dalam situasi kehidupan.

Geometri segitiga

Dalam geometri dasar segitiga siku-siku adalah bangun datar yang terdiri dari tiga ruas yang dihubungkan membentuk tiga sudut (dua lancip dan satu lurus). Segitiga siku-siku merupakan bangun datar asli yang memiliki sejumlah sifat penting yang menjadi dasar trigonometri. Berbeda dengan segitiga biasa, sisi-sisinya sosok persegi panjang punya nama sendiri:

• Sisi miring adalah yang paling banyak sisi panjang segitiga yang terletak berhadapan dengan sudut siku-siku.
• Kaki merupakan ruas-ruas yang membentuk sudut siku-siku. Tergantung pada sudut yang dipertimbangkan, kaki dapat bersebelahan dengannya (membentuk sudut ini dengan sisi miring) atau berlawanan (terletak di seberang sudut). Tidak ada kaki untuk segitiga tidak siku-siku.

Perbandingan kaki dan sisi miring inilah yang menjadi dasar trigonometri: sinus, garis singgung, dan garis potong didefinisikan sebagai perbandingan sisi-sisi segitiga siku-siku.

Segitiga siku-siku dalam kenyataan

Angka ini sebenarnya sudah tersebar luas. Segitiga digunakan dalam desain dan teknologi, sehingga perhitungan luas suatu bangun harus dilakukan oleh para insinyur, arsitek, dan desainer. Alas tetrahedron atau prisma – bangun ruang tiga dimensi yang mudah ditemui dalam kehidupan sehari-hari – berbentuk segitiga. Selain itu, persegi adalah representasi paling sederhana dari segitiga siku-siku "datar" di dunia nyata. Kotak adalah alat pengerjaan logam, gambar, konstruksi, dan pertukangan yang digunakan untuk membuat sudut baik oleh anak sekolah maupun insinyur.

Luas segitiga

Luas suatu bangun geometri adalah perkiraan kuantitatif seberapa luas bidang yang dibatasi oleh sisi-sisi segitiga. Luas segitiga biasa dapat dicari dengan lima cara, menggunakan rumus Heron atau menggunakan variabel seperti alas, sisi, sudut, dan jari-jari lingkaran bertulis atau dibatasi. Rumus luas yang paling sederhana dinyatakan sebagai:

dimana a adalah sisi segitiga, h adalah tingginya.

Rumus menghitung luas segitiga siku-siku bahkan lebih sederhana:

dimana a dan b adalah kaki.

Dengan menggunakan kalkulator online kami, Anda dapat menghitung luas segitiga menggunakan tiga pasang parameter:

• dua kaki;
• kaki dan sudut yang berdekatan;
• kaki dan sudut berlawanan.

Dalam soal atau situasi sehari-hari Anda akan diberikan kombinasi variabel yang berbeda, sehingga bentuk kalkulator ini memungkinkan Anda menghitung luas segitiga dengan beberapa cara. Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh kehidupan nyata

Ubin keramik

Katakanlah Anda ingin menutupi dinding dapur dengan ubin keramik yang berbentuk segitiga siku-siku. Untuk menentukan konsumsi ubin, Anda harus mengetahui luas satu elemen kelongsong dan total luas permukaan yang dirawat. Katakanlah Anda perlu mengolah 7 meter persegi. Panjang kaki suatu unsur adalah 19 cm, maka luas ubinnya adalah:

Artinya luas suatu unsur adalah 24,5 sentimeter persegi atau 0,01805 meter persegi. Mengetahui parameter ini, Anda dapat menghitung bahwa untuk menyelesaikan dinding seluas 7 meter persegi Anda memerlukan 7/0,01805 = 387 elemen ubin menghadap.

Tugas sekolah

Katakanlah dalam soal geometri sekolah Anda perlu mencari luas segitiga siku-siku, dengan mengetahui hanya sisi salah satu kakinya adalah 5 cm, dan sudut dihadapannya adalah 30 derajat. Kalkulator online kami dilengkapi dengan ilustrasi yang menunjukkan sisi dan sudut segitiga siku-siku. Jika sisi a = 5 cm, maka sudut berhadapannya adalah sudut alfa sama dengan 30 derajat. Masukkan data ini ke dalam formulir kalkulator dan dapatkan hasilnya:

Jadi, kalkulator tidak hanya menghitung luas segitiga tertentu, tetapi juga menentukan panjangnya kaki yang berdekatan dan sisi miring, serta nilai sudut kedua.

Kesimpulan

Segitiga siku-siku ditemukan dalam kehidupan kita di setiap sudut. Menentukan luas bangun-bangun tersebut akan berguna tidak hanya bagi Anda saat menyelesaikan tugas sekolah geometri, tetapi juga dalam aktivitas sehari-hari dan profesional.

Dalam soal geometri lintas tingkat, tujuan atau kegiatan perantaranya adalah mencari sudut suatu segitiga. Mari kita lihat bagaimana hal ini dilakukan jenis yang berbeda segitiga.

Rumus universal untuk mengetahui sudut segitiga

Rumus di bawah ini cocok untuk semua jenis segitiga.

• ∠A = 180°-(∠B+∠C) (karena jumlah seluruh sudut suatu segitiga adalah 180°).
• ∠A = 180°-∠OAB (karena ∠OAB bersifat eksternal).

Cari tahu sudut dalam segitiga sama kaki

Segitiga sama kaki dapat dikenali dari dua sisi yang sama besar atau dua sudut yang sama besar.

• ∠B = 180°-2 ∠A.
• ∠A =∠C (karena sudut-sudut pada alas segitiga sama kaki adalah sama besar).
• Jika ∠A=60°, maka semua sudutnya sama besar 60°, dan segitiga ABC sama sisi.

Cari tahu sudut dalam segitiga siku-siku

Sudut dalam segitiga siku-siku dapat dicari menggunakan salah satu metode yang disajikan pada poin 1, atau menggunakan fungsi trigonometri - sinus, kosinus, tangen, dan kotangen.

Fungsi trigonometri

Jika Anda diberikan dua sisi, Anda dapat mencari sudutnya menggunakan algoritma berikut:

• Mari kita lihat seperti apa kaitannya dengan partai-partai ini sudut kanan(sisi, sisi miring) dan sudut yang ditemukan (sisi yang berdekatan/berlawanan).
• Kami menemukan fungsi trigonometri yang cocok untuk kami.
• Kita mencari persamaannya dengan mensubstitusi nilai sisi-sisinya.
• Kami menghitung sudut menggunakan fungsi invers (arc sinus, arc cosinus, dll.).

Teorema sinus dan kosinus

Teoremanya sendiri dapat Anda lihat pada gambar di bawah ini. Dengan menggunakannya, Anda dapat mengetahui kosinus atau sinus dari sudut yang Anda minati, dan menghitung nilainya melaluinya.

Untuk mencari sisi-sisi segitiga dengan bilangan dan sudut tertentu, sebaiknya gunakan rumus yang diturunkan berdasarkan teorema kosinus.

Untuk memulainya, Anda harus menerima simbol sisi-sisinya yang ingin diketahui panjangnya adalah tiga huruf pertama abjad latin, begitu pula sudut yang berhadapan masing-masing, maka didapat rumus sebagai berikut: a^2 = (b^2+c^2 -2bc×cosA). Setelah menerima nilai sisi dalam persegi, Anda perlu mengekstrak akar kuadrat dari angka ini, sehingga menemukan sisi-sisi segitiga menjadi tugas yang sepenuhnya dapat dicapai.

Perlu diingat bahwa pada sudut yang lebih besar dari sembilan puluh derajat, kosinus sudut tersebut diambil arti negatif. Nuansa ini tidak bisa diabaikan, jika tidak, jawaban yang diterima akan salah.

Jika salah satu sisi dan dua sudut diketahui, maka ketika menghitung garis lurus yang diperlukan, kita harus mengingat teorema sinus dan substitusinya nilai-nilai yang diperlukan ke dalam rumus perhitungan. Dengan menggunakan cara ini, Anda dapat mencari sisi-sisi segitiga seperti ini:

a = (sinA x b)/ sinB, di mana A dan B adalah sudut yang nilai numeriknya diketahui, dan b adalah sisi yang juga termasuk dalam tugas.

Perlu dicatat bahwa jumlah sudut suatu segitiga selalu seratus delapan puluh derajat, jadi untuk menemukan sudut ketiga, perlu untuk mengurangi nilai dua lainnya dari jumlah ini.

Untuk mencari sisi-sisi segitiga yang memiliki sudut kanan, Anda perlu menggunakan rumus lain. Sinus sudut yang kurang dari sembilan puluh derajat, yaitu lancip, dalam segitiga yang siku-siku, adalah perbandingan sisi yang berlawanan ke sisi terbesar - sisi miring.

Anda dapat mencari sisi-sisi segitiga dengan menggunakan metode lain, misalnya, untuk nilai sisi miring dan sudut tertentu, kaki yang berhadapan dengan sudut dihitung dengan mengalikan sisi miring dengan sinusnya.

Mengingat panjang kaki yang berlawanan diketahui, sinus dibagi dengan angka yang diberikan pada sisi miring. Jika data numerik lain diketahui, cukup mencari sisi-sisi segitiga siku-siku menggunakan kosinus. Kosinus suatu sudut kurang dari sembilan puluh derajat adalah perbandingan kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Tetapi jika masalahnya melibatkan pencarian sisi-sisi segitiga yang kaki-kakinya diketahui, maka rumus tangen ikut berperan, di mana parameter ini sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Rumus yang digunakan untuk menghitung sisi-sisi segitiga siku-siku tidak cocok untuk menyelesaikan soal segitiga biasa. Namun sebaliknya, semuanya berfungsi, tetapi ini mengarah pada perhitungan yang tidak perlu. Saat menyelesaikan suatu tugas, Anda harus sangat berhati-hati, karena kondisi tugas mungkin menunjukkan segitiga sama kaki atau segitiga sama sisi, yang akan membuat penyelesaiannya lebih mudah.

Segitiga adalah bangun datar paling sederhana yang terdiri dari tiga sisi dan tiga titik sudut. Karena kesederhanaannya, segitiga telah digunakan sejak zaman dahulu untuk melakukan berbagai pengukuran, dan saat ini gambar tersebut dapat berguna untuk memecahkan masalah praktis dan sehari-hari.

Ciri-ciri segitiga

Angka tersebut telah digunakan untuk perhitungan sejak zaman kuno, misalnya surveyor tanah dan astronom menggunakan sifat-sifat segitiga untuk menghitung luas dan jarak. Sangat mudah untuk menyatakan luas n-gon apa pun melalui luas gambar ini, dan sifat ini digunakan oleh para ilmuwan kuno untuk mendapatkan rumus luas poligon. Pekerjaan terus-menerus dengan segitiga, terutama segitiga siku-siku, menjadi dasar seluruh cabang matematika - trigonometri.

Geometri segitiga

Sifat-sifat bangun geometris telah dipelajari sejak zaman kuno: informasi paling awal tentang segitiga ditemukan di papirus Mesir dari 4.000 tahun yang lalu. Kemudian sosok itu dipelajari Yunani kuno dan kontribusi terbesar terhadap geometri segitiga dibuat oleh Euclid, Pythagoras dan Heron. Studi tentang segitiga tidak pernah berhenti, dan pada abad ke-18, Leonhard Euler memperkenalkan konsep ortosenter suatu bangun datar dan lingkaran Euler. Pada pergantian abad ke-19 dan ke-20, ketika segala sesuatu tentang segitiga tampaknya telah diketahui, Frank Morley merumuskan teorema tentang trisektor sudut, dan Waclaw Sierpinski mengusulkan segitiga fraktal.

Ada beberapa jenis segitiga datar yang kita kenal kursus sekolah geometri:

• lancip - semua sudut gambar lancip;
• tumpul - gambar tersebut memiliki satu sudut tumpul (lebih dari 90 derajat);
• persegi panjang - gambar tersebut berisi satu sudut siku-siku sama dengan 90 derajat;
• sama kaki - segitiga dengan dua sisi yang sama;
• sama sisi - segitiga dengan semua sisi yang sama.
• DI DALAM kehidupan nyata Ada berbagai macam segitiga, dan dalam beberapa kasus kita mungkin perlu menghitung luas bangun geometris.

Luas segitiga

Luas adalah perkiraan luas bidang yang dilingkupi suatu bangun datar. Luas suatu segitiga dapat dicari dengan enam cara, yaitu dengan menggunakan sisi, tinggi, sudut, jari-jari lingkaran bertulis atau dibatasi, serta menggunakan rumus Heron atau menghitung integral ganda sepanjang garis yang membatasi bidang. Rumus paling sederhana untuk menghitung luas segitiga adalah:

dimana a adalah sisi segitiga, h adalah tingginya.

Namun, dalam praktiknya tidak selalu mudah bagi kita untuk mencari tinggi suatu bangun geometri. Algoritme kalkulator kami memungkinkan Anda menghitung luas dengan mengetahui:

• tiga sisi;
• dua sisi dan sudut di antara keduanya;
• satu sisi dan dua sudut.

Untuk menentukan luas melalui ketiga sisinya, kita menggunakan rumus Heron:

S = kuadrat (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

dimana p adalah setengah keliling segitiga.

Luas pada dua sisi dan sudut dihitung menggunakan rumus klasik:

S = a × b × dosa(alfa),

dimana alfa adalah sudut antara sisi a dan b.

Untuk menentukan luas satu sisi dan dua sudut, kita menggunakan hubungan bahwa:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Dengan menggunakan proporsi sederhana, kita menentukan panjang sisi kedua, setelah itu kita menghitung luasnya menggunakan rumus S = a × b × sin(alfa). Algoritme ini sepenuhnya otomatis dan Anda hanya perlu memasukkan variabel tertentu dan mendapatkan hasilnya. Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh dari kehidupan

Lembaran paving

Katakanlah Anda ingin mengaspal lantai dengan ubin segitiga, dan menentukan jumlahnya bahan yang dibutuhkan, Anda harus mencari luas satu ubin dan luas lantai. Misalkan Anda perlu mengolah permukaan seluas 6 meter persegi dengan menggunakan ubin yang dimensinya a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm.Tentunya untuk menghitung luas segitiga, kalkulator menggunakan rumus Heron dan memberikan hasil:

Jadi, luas satu elemen ubin adalah 0,021 meter persegi, dan Anda membutuhkan 6/0,021 = 285 segitiga untuk perbaikan lantai. Bilangan 20, 21 dan 29 membentuk tripel Pythagoras yang memenuhi teorema Pythagoras. Benar sekali, kalkulator kami juga menghitung semua sudut segitiga, dan sudut gammanya tepat 90 derajat.

Tugas sekolah

Dalam soal sekolah, kamu perlu mencari luas segitiga dengan mengetahui bahwa sisi a = 5 cm, dan sudut alfa dan beta masing-masing 30 dan 50 derajat. Untuk menyelesaikan soal ini secara manual, pertama-tama kita cari nilai sisi b menggunakan perbandingan rasio aspek dan sinus sudut-sudut yang berhadapan, lalu tentukan luasnya menggunakan rumus sederhana S = a × b × sin(alfa). Mari hemat waktu, masukkan data ke dalam formulir kalkulator dan dapatkan jawaban instan

Saat menggunakan kalkulator, penting untuk menunjukkan sudut dan sisi dengan benar, jika tidak, hasilnya akan salah.

Kesimpulan

Segitiga merupakan bangun datar unik yang ditemukan baik dalam kehidupan nyata maupun dalam perhitungan abstrak. Gunakan kalkulator online kami untuk menentukan luas segitiga apa pun.