Koordinat suatu vektor berdasarkan dua titik dalam ruang. Koordinat dan vektor. Tingkat pertama
Menemukan koordinat suatu vektor adalah kondisi yang cukup umum untuk banyak masalah matematika. Kemampuan untuk menemukan koordinat vektor akan membantu Anda dalam masalah lain yang lebih kompleks dengan topik serupa. Pada artikel ini kita akan melihat rumus mencari koordinat vektor dan beberapa soal.
Menemukan koordinat suatu vektor pada suatu bidang
Apa itu pesawat? Bidang dianggap sebagai ruang dua dimensi, ruang dengan dua dimensi (dimensi x dan dimensi y). Misalnya, kertas itu datar. Permukaan mejanya rata. Setiap bangun datar non-volumetrik (persegi, segitiga, trapesium) juga merupakan bidang. Jadi, jika dalam rumusan masalah perlu mencari koordinat suatu vektor yang terletak pada suatu bidang, kita langsung mengingat tentang x dan y. Anda dapat mencari koordinat vektor tersebut sebagai berikut: Koordinat AB dari vektor = (xB - xA; yB - xA). Rumusnya menunjukkan bahwa Anda perlu mengurangkan koordinat titik awal dari koordinat titik akhir.
Contoh:
- CD vektor mempunyai koordinat awal (5; 6) dan akhir (7; 8).
- Temukan koordinat vektor itu sendiri.
- Dengan menggunakan rumus di atas, kita memperoleh ekspresi berikut: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
- Jadi, koordinat vektor CD = (2; 2).
- Jadi koordinat x sama dengan dua, koordinat y juga dua.
Menemukan koordinat suatu vektor dalam ruang
Apa itu luar angkasa? Ruang sudah berdimensi tiga dimensi, dimana diberikan 3 koordinat: x, y, z. Jika Anda perlu mencari vektor yang terletak di ruang angkasa, rumusnya praktis tidak berubah. Hanya satu koordinat yang ditambahkan. Untuk mencari vektor, Anda perlu mengurangkan koordinat awal dan koordinat akhir. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)
Contoh:
- Vektor DF memiliki inisial (2; 3; 1) dan final (1; 5; 2).
- Dengan menerapkan rumus di atas, diperoleh: Koordinat vektor DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
- Ingat, nilai koordinatnya boleh negatif, tidak masalah.
Bagaimana cara mencari koordinat vektor secara online?
Jika karena alasan tertentu Anda tidak ingin mencari koordinatnya sendiri, Anda dapat menggunakan kalkulator online. Untuk memulai, pilih dimensi vektor. Dimensi suatu vektor bertanggung jawab atas dimensinya. Dimensi 3 berarti vektor berada pada ruang, dimensi 2 berarti berada pada bidang. Selanjutnya, masukkan koordinat titik ke dalam bidang yang sesuai dan program akan menentukan koordinat vektor itu sendiri. Semuanya sangat sederhana.
Dengan mengklik tombol tersebut, halaman akan otomatis bergulir ke bawah dan memberikan Anda jawaban yang benar beserta langkah penyelesaiannya.
Disarankan untuk mempelajari topik ini dengan baik, karena konsep vektor tidak hanya ditemukan dalam matematika, tetapi juga dalam fisika. Mahasiswa Fakultas Teknologi Informasi juga mempelajari topik vektor, namun pada tingkat yang lebih kompleks.
Jika dua titik pada bidang dan diberikan, maka vektor tersebut mempunyai koordinat sebagai berikut:
Jika dua titik dalam ruang dan diberikan, maka vektor tersebut mempunyai koordinat sebagai berikut:
Itu adalah, dari koordinat ujung vektor Anda perlu mengurangi koordinat yang sesuai awal vektor.
Latihan: Untuk titik yang sama, tuliskan rumus mencari koordinat vektor. Rumus di akhir pelajaran.
Contoh 1
Diberikan dua titik pada bidang dan . Temukan koordinat vektor
Larutan: sesuai dengan rumus yang sesuai:
Sebagai alternatif, entri berikut dapat digunakan:
Aesthetes akan memutuskan ini:
Secara pribadi, saya sudah terbiasa dengan rekaman versi pertama.
Menjawab:
Sesuai dengan kondisi, tidak perlu membuat gambar (yang khas untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk memperjelas beberapa poin untuk boneka, saya tidak akan malas:
Anda pasti perlu memahaminya perbedaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:
Koordinat titik– ini adalah koordinat biasa dalam sistem koordinat persegi panjang. Saya rasa semua orang tahu cara memplot titik pada bidang koordinat dari kelas 5-6. Setiap titik memiliki tempat yang ketat di bidangnya, dan tidak dapat dipindahkan ke mana pun.
Koordinat vektor adalah perluasannya dalam hal basis, di pada kasus ini. Vektor apa pun bebas, jadi jika perlu, kita dapat dengan mudah memindahkannya dari titik lain pada bidang tersebut. Menariknya, untuk vektor Anda tidak perlu membuat sumbu atau sistem koordinat persegi panjang sama sekali; Anda hanya memerlukan basis, dalam hal ini basis ortonormal dari bidang tersebut.
Pencatatan koordinat titik dan koordinat vektor nampaknya serupa: , dan arti koordinat sangat berbeda, dan Anda harus menyadari perbedaan ini. Perbedaan ini tentu saja juga berlaku pada ruang.
Hadirin sekalian, mari kita isi tangan kita:
Contoh 2
a) Poin dan diberikan. Temukan vektor dan .
b) Poin dan diberikan. Temukan vektor dan .
c) Poin dan diberikan. Temukan vektor dan .
d) Poin diberikan. Temukan vektor.
Mungkin itu cukup. Ini adalah contoh untuk Anda putuskan sendiri, cobalah untuk tidak mengabaikannya, itu akan membuahkan hasil ;-). Tidak perlu membuat gambar. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.
Apa yang penting ketika menyelesaikan masalah geometri analitik? Sangatlah penting untuk berhati-hati agar tidak membuat kesalahan “dua tambah dua sama dengan nol”. Saya segera meminta maaf jika saya melakukan kesalahan di suatu tempat =)
Bagaimana cara mencari panjang suatu ruas?
Panjangnya, sebagaimana telah disebutkan, ditunjukkan dengan tanda modulus.
Jika diberikan dua titik pada bidang dan , maka panjang segmen dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Jika ada dua titik dalam ruang dan diberikan, maka panjang ruas tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus
Catatan: Rumusnya akan tetap benar jika koordinat yang bersangkutan ditukar: Dan , tapi opsi pertama lebih standar
Contoh 3
Larutan: sesuai dengan rumus yang sesuai:
Menjawab:
Untuk lebih jelasnya, saya akan membuat gambar 
Segmen garis - ini bukan vektor, dan, tentu saja, Anda tidak dapat memindahkannya ke mana pun. Selain itu, jika Anda menggambar menurut skala: 1 satuan. = 1 cm (dua sel buku catatan), maka jawaban yang dihasilkan dapat diperiksa dengan penggaris biasa dengan cara mengukur langsung panjang ruas tersebut.
Ya, solusinya singkat, tetapi masih ada beberapa solusi lagi poin penting yang ingin saya jelaskan:
Pertama, dalam jawaban kami mencantumkan dimensi: “satuan”. Kondisinya tidak menyebutkan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh karena itu, solusi yang benar secara matematis adalah rumusan umum: "unit" - disingkat "unit".
Kedua, mari kita ulangi materi sekolah, yang berguna tidak hanya untuk tugas yang dipertimbangkan:
perhatikan teknik penting – menghapus pengganda dari bawah root. Sebagai hasil perhitungan, kami mendapatkan hasil dan gaya matematika yang baik melibatkan penghapusan faktor dari bawah akar (jika memungkinkan). Secara lebih rinci prosesnya terlihat seperti ini: . Tentu saja, membiarkan jawaban apa adanya bukanlah suatu kesalahan - tetapi tentu saja akan menjadi kelemahan dan argumen yang kuat untuk membuat guru berdalih.
Berikut kasus umum lainnya:
Seringkali jumlahnya cukup di akarnya jumlah yang besar, Misalnya . Apa yang harus dilakukan dalam kasus seperti itu? Dengan menggunakan kalkulator, kita periksa apakah bilangan tersebut habis dibagi 4: . Ya, itu benar-benar terbagi, jadi: 
. Atau mungkin angkanya bisa dibagi 4 lagi? . Dengan demikian: 
. Di nomor tersebut angka terakhir aneh, jadi membaginya dengan 4 untuk ketiga kalinya jelas tidak akan berhasil. Mari kita coba bagi dengan sembilan: . Sebagai akibat:
Siap.
Kesimpulan: jika di bawah akar kita mendapatkan bilangan yang tidak dapat diekstraksi secara keseluruhan, maka kita coba menghilangkan faktor tersebut dari bawah akar - dengan menggunakan kalkulator kita memeriksa apakah bilangan tersebut habis dibagi: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dll.
Ketika memecahkan berbagai masalah, akar sering ditemui; selalu berusaha mengekstrak faktor-faktor dari bawah akar untuk menghindari nilai yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dalam menyelesaikan solusi Anda berdasarkan komentar guru.
Mari kita ulangi juga akar kuadrat dan pangkat lainnya:
Aturan pengoperasian pangkat dalam bentuk umum dapat ditemukan di buku teks aljabar sekolah, namun menurut saya dari contoh yang diberikan, semuanya atau hampir semuanya sudah jelas.
Tugas untuk solusi mandiri dengan segmen dalam ruang:
Contoh 4
Poin dan diberikan. Temukan panjang segmen tersebut.
Solusi dan jawabannya ada di akhir pelajaran.
Bagaimana cara mencari panjang suatu vektor?
Jika vektor bidang diberikan, maka panjangnya dihitung dengan rumus.
Jika diberikan vektor ruang, maka panjangnya dihitung dengan rumus.
Rumus-rumus ini (serta rumus panjang suatu ruas) mudah diturunkan menggunakan teorema Pythagoras yang terkenal.
Contoh 5
Poin dan diberikan. Temukan panjang vektor.
Saya mengambil poin yang sama seperti pada Contoh 3.
Larutan: Pertama, mari kita cari vektornya:
Dengan menggunakan rumus, kita menghitung panjang vektor:
Menjawab:
Jangan lupa untuk menunjukkan dimensi – “satuan”! Ngomong-ngomong, apakah selalu perlu menghitung nilai perkiraan (dalam contoh ini 8,94) jika kondisi ini tidak diperlukan? Dari sudut pandang saya, itu tidak akan berlebihan; kurangnya nilai perkiraan menyebabkan pemilihan yang salah. Sebaiknya dibulatkan menjadi 2-3 desimal.
Mari kita membuat gambar untuk tugas tersebut:
Apa perbedaan mendasar dari Contoh 3? Bedanya di sini yang kita bicarakan adalah vektor, bukan segmen. Vektor dapat dipindahkan ke titik mana pun pada bidang.
Apa persamaan antara Contoh 3 dan Contoh 5? Jelas secara geometris bahwa panjang suatu segmen sama dengan panjang vektor. Jelas juga bahwa panjang vektornya akan sama. Sebagai akibat: 
.
b) Diberikan vektor , , dan . Temukan panjangnya.
Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.
Pada artikel ini, kita akan mulai membahas satu “tongkat ajaib” yang memungkinkan Anda mereduksi banyak soal geometri menjadi aritmatika sederhana. “Tongkat” ini dapat membuat hidup Anda lebih mudah, terutama ketika Anda merasa tidak yakin dalam membuat gambar spasial, bagian, dll. Semua ini memerlukan imajinasi dan keterampilan praktis tertentu. Metode yang akan kita mulai pertimbangkan di sini akan memungkinkan Anda untuk mengabstraksi hampir sepenuhnya dari semua jenis konstruksi dan penalaran geometris. Metode tersebut disebut "metode koordinat". Pada artikel ini kami akan mempertimbangkan pertanyaan-pertanyaan berikut:
- Bidang koordinat
- Titik dan vektor pada bidang
- Membangun vektor dari dua titik
- Panjang vektor (jarak antara dua titik).
- Koordinat tengah ruas
- Produk titik dari vektor
- Sudut antara dua vektor
Saya rasa Anda sudah menebak mengapa metode koordinat disebut demikian? Benar sekali, ia mendapat nama ini karena ia beroperasi bukan dengan objek geometris, tetapi dengan karakteristik numeriknya (koordinat). Dan transformasi itu sendiri, yang memungkinkan kita berpindah dari geometri ke aljabar, terdiri dari pengenalan sistem koordinat. Jika bangun aslinya datar maka koordinatnya dua dimensi, dan jika bangun tiga dimensi maka koordinatnya tiga dimensi. Pada artikel ini kita hanya akan membahas kasus dua dimensi. Dan tujuan utama artikel ini adalah untuk mengajari Anda cara menggunakan beberapa teknik dasar metode koordinat (terkadang berguna saat memecahkan masalah planimetri di Bagian B Ujian Negara Terpadu). Dua bagian berikutnya dari topik ini dikhususkan untuk pembahasan metode penyelesaian masalah C2 (masalah stereometri).
Di mana yang logis untuk mulai membahas metode koordinat? Mungkin dari konsep sistem koordinat. Ingat saat pertama kali Anda bertemu dengannya. Tampak bagi saya bahwa di kelas 7, ketika Anda belajar tentang keberadaan fungsi linear, Misalnya. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa Anda membangunnya poin demi poin. Apakah kamu ingat? Anda memilih angka sembarang, menggantinya ke dalam rumus dan menghitungnya seperti itu. Misalnya, jika, maka, jika, maka, dll. Apa yang Anda dapatkan pada akhirnya? Dan Anda menerima poin dengan koordinat: dan. Selanjutnya, Anda menggambar “silang” (sistem koordinat), memilih skala di atasnya (berapa banyak sel yang akan Anda miliki sebagai segmen satuan) dan menandai titik-titik yang Anda peroleh di atasnya, yang kemudian Anda hubungkan dengan garis lurus; hasilnya garis adalah grafik fungsinya.
Ada beberapa poin di sini yang perlu dijelaskan lebih detail kepada Anda:
1. Anda memilih satu segmen karena alasan kenyamanan, sehingga semuanya cocok dengan indah dan kompak dalam gambar.
2. Diterima bahwa sumbu bergerak dari kiri ke kanan, dan sumbu bergerak dari bawah ke atas
3. Mereka berpotongan tegak lurus, dan titik potongnya disebut titik asal. Hal ini ditunjukkan dengan surat.
4. Dalam penulisan koordinat suatu titik, misalnya di sebelah kiri dalam tanda kurung terdapat koordinat titik sepanjang sumbu, dan di sebelah kanan sepanjang sumbu. Secara khusus, ini berarti pada intinya
5. Untuk menentukan titik mana pun pada sumbu koordinat, Anda perlu menunjukkan koordinatnya (2 angka)
6. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,
7. Untuk setiap titik yang terletak pada sumbu,
8. Sumbunya disebut sumbu x
9. Sumbunya disebut sumbu y
Sekarang mari kita ambil langkah selanjutnya: tandai dua poin. Mari kita hubungkan kedua titik ini dengan sebuah segmen. Dan kita akan meletakkan panah seolah-olah kita sedang menggambar segmen dari titik ke titik: yaitu, kita akan membuat segmen kita terarah!
Ingat apa sebutan segmen arah lainnya? Benar sekali, itu disebut vektor!
Jadi jika kita menghubungkan titik ke titik, dan awalnya adalah titik A, dan akhirnya adalah titik B, maka kita mendapatkan vektor. Anda juga melakukan konstruksi ini di kelas 8, ingat?
Ternyata vektor, seperti halnya titik, dapat dilambangkan dengan dua bilangan: bilangan-bilangan ini disebut koordinat vektor. Pertanyaan: Menurut Anda, apakah kita cukup mengetahui koordinat awal dan akhir suatu vektor untuk mencari koordinatnya? Ternyata ya! Dan ini dilakukan dengan sangat sederhana:
Jadi, karena dalam suatu vektor titik adalah awal dan titik adalah akhir, maka vektor tersebut mempunyai koordinat sebagai berikut:
Misalnya, jika, maka koordinat vektornya
Sekarang mari kita lakukan sebaliknya, cari koordinat vektornya. Apa yang perlu kita ubah untuk ini? Ya, Anda perlu menukar awal dan akhir: sekarang awal vektor akan berada pada titik, dan akhir akan berada pada titik. Kemudian:
Perhatikan baik-baik, apa perbedaan antara vektor dan? Perbedaannya hanya pada tanda koordinatnya. Mereka bertolak belakang. Fakta ini biasanya ditulis seperti ini:
Kadang-kadang, jika tidak disebutkan secara spesifik mana titik awal dan akhir suatu vektor, maka vektor dilambangkan bukan dengan dua huruf kapital, melainkan dengan satu huruf kecil, misalnya: , dst.
Sekarang sedikit praktik sendiri dan temukan koordinat vektor-vektor berikut:
Penyelidikan:
Sekarang selesaikan masalah yang sedikit lebih sulit:
Sebuah vektor yang bermula pada suatu titik memiliki co-or-di-na-you. Temukan titik abs-cis-su.
Semuanya cukup membosankan: Biarlah koordinat titiknya. Kemudian
Saya menyusun sistem berdasarkan definisi apa itu koordinat vektor. Maka titik tersebut memiliki koordinat. Kami tertarik pada absis. Kemudian
Menjawab:
Apa lagi yang bisa Anda lakukan dengan vektor? Ya, hampir semuanya sama dengan bilangan biasa (hanya saja tidak bisa membagi, tetapi bisa dikalikan dengan dua cara, salah satunya akan kita bahas di sini nanti)
- Vektor dapat ditambahkan satu sama lain
- Vektor dapat dikurangkan satu sama lain
- Vektor dapat dikalikan (atau dibagi) dengan bilangan bukan nol yang sembarang
- Vektor dapat dikalikan satu sama lain
Semua operasi ini memiliki representasi geometris yang sangat jelas. Misalnya, aturan segitiga (atau jajar genjang) untuk penjumlahan dan pengurangan:
Suatu vektor meregang atau menyusut atau berubah arah bila dikalikan atau dibagi dengan suatu bilangan:
Namun, di sini kita akan tertarik pada pertanyaan tentang apa yang terjadi pada koordinatnya.
1. Saat menjumlahkan (mengurangi) dua vektor, kita menjumlahkan (mengurangi) koordinatnya elemen demi elemen. Itu adalah:
2. Saat mengalikan (membagi) suatu vektor dengan suatu bilangan, semua koordinatnya dikalikan (dibagi) dengan bilangan ini:
Misalnya:
· Temukan jumlah co-or-di-nat abad ke-ra.
Mari kita cari dulu koordinat masing-masing vektornya. Keduanya mempunyai asal – titik asal yang sama. Tujuan mereka berbeda. Kemudian, . Sekarang mari kita hitung koordinat vektornya, maka jumlah koordinat vektor yang dihasilkan adalah sama.
Menjawab:
Sekarang selesaikan sendiri masalah berikut:
· Temukan jumlah koordinat vektor
Kami memeriksa:
Sekarang mari kita perhatikan soal berikut: kita mempunyai dua titik pada bidang koordinat. Bagaimana cara mencari jarak antara keduanya? Biarkan poin pertama menjadi, dan poin kedua. Mari kita nyatakan jarak antara keduanya dengan. Mari kita buat gambar berikut agar lebih jelas:
Apa yang telah kulakukan? Pertama-tama, saya terhubung titik dan,a juga dari suatu titik saya menggambar garis yang sejajar dengan sumbu, dan dari suatu titik saya menggambar garis yang sejajar dengan sumbu. Apakah mereka berpotongan pada suatu titik, membentuk sosok yang luar biasa? Apa yang istimewa dari dia? Ya, Anda dan saya tahu hampir segalanya tentang segitiga siku-siku. Ya, teorema Pythagoras pastinya. Ruas yang diperlukan adalah sisi miring segitiga ini, dan ruas tersebut adalah kaki-kakinya. Berapakah koordinat titik tersebut? Ya, mudah ditemukan dari gambar: Karena ruas-ruas tersebut sejajar dengan sumbu dan, karenanya, panjangnya mudah ditemukan: jika kita menyatakan panjang ruas-ruas tersebut dengan, masing-masing, maka
Sekarang mari kita gunakan teorema Pythagoras. Kita mengetahui panjang kakinya, kita akan mencari sisi miringnya:
Jadi, jarak antara dua titik adalah akar jumlah selisih kuadrat dari koordinatnya. Atau - jarak antara dua titik adalah panjang segmen yang menghubungkannya. Sangat mudah untuk melihat bahwa jarak antar titik tidak bergantung pada arah. Kemudian:
Dari sini kami menarik tiga kesimpulan:
Mari kita berlatih sedikit tentang menghitung jarak antara dua titik:
Misalnya, jika, maka jarak antara dan sama dengan
Atau mari kita lakukan cara lain: temukan koordinat vektornya
Dan carilah panjang vektornya:
Seperti yang Anda lihat, itu sama saja!
Sekarang berlatihlah sedikit sendiri:
Tugas: temukan jarak antara titik-titik yang ditunjukkan:
Kami memeriksa:
Berikut adalah beberapa soal lagi yang menggunakan rumus yang sama, meskipun kedengarannya sedikit berbeda:
1. Temukan kuadrat panjang kelopak mata.
2. Temukan kuadrat panjang kelopak mata
Saya pikir Anda menanganinya tanpa kesulitan? Kami memeriksa:
1. Dan ini untuk perhatian) Kita sudah menemukan koordinat vektor-vektornya tadi: . Maka vektor tersebut memiliki koordinat. Kuadrat panjangnya akan sama dengan:
2. Temukan koordinat vektornya
Maka kuadrat panjangnya adalah
Tidak ada yang rumit, bukan? Aritmatika sederhana, tidak lebih.
Soal-soal berikut ini tidak dapat diklasifikasikan dengan jelas, lebih pada pengetahuan umum dan kemampuan menggambar sederhana.
1. Temukan sinus sudut dari potongan yang menghubungkan titik dengan sumbu absis.
Dan
Bagaimana kita akan melanjutkannya di sini? Kita perlu mencari sinus sudut antara dan sumbu. Dimana kita bisa mencari sinus? Itu benar, di segitiga siku-siku. Jadi apa yang perlu kita lakukan? Bangun segitiga ini!
Karena koordinat titiknya adalah dan, maka ruas tersebut sama dengan, dan ruas tersebut. Kita perlu mencari sinus sudutnya. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa sinus adalah rasio sisi yang berlawanan ke sisi miring, kalau begitu
Apa yang tersisa untuk kita lakukan? Temukan sisi miringnya. Anda dapat melakukannya dengan dua cara: menggunakan teorema Pythagoras (kaki-kakinya diketahui!) atau menggunakan rumus jarak antara dua titik (sebenarnya, sama dengan metode pertama!). Saya akan memilih cara kedua:
Menjawab:
Tugas selanjutnya akan tampak lebih mudah bagi Anda. Dia berada di koordinat titik tersebut.
Tugas 2. Dari titik per-pen-di-ku-lyar diturunkan ke sumbu abs. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.
Mari kita membuat gambar:
Alas suatu tegak lurus adalah titik potongnya sumbu x (sumbu), bagi saya ini adalah sebuah titik. Gambar tersebut menunjukkan bahwa ia memiliki koordinat: . Kami tertarik pada absis - yaitu komponen "x". Dia setara.
Menjawab: .
Tugas 3. Pada kondisi soal sebelumnya, carilah jumlah jarak dari titik ke sumbu koordinat.
Tugas ini umumnya bersifat dasar jika Anda mengetahui berapa jarak dari suatu titik ke sumbu. Kamu tahu? Saya berharap, tetapi saya tetap akan mengingatkan Anda:
Jadi, pada gambar saya di atas, apakah saya sudah menggambar garis tegak lurus seperti itu? Di sumbu manakah itu? Ke poros. Lalu berapa panjangnya? Dia setara. Sekarang gambarlah sendiri garis tegak lurus terhadap sumbu dan temukan panjangnya. Itu akan sama, bukan? Maka jumlahnya sama.
Menjawab: .
Tugas 4. Pada kondisi tugas 2, carilah ordinat suatu titik yang simetris terhadap titik tersebut terhadap sumbu absis.
Saya pikir secara intuitif sudah jelas bagi Anda apa itu simetri? Banyak benda yang memilikinya: banyak bangunan, meja, pesawat terbang, banyak bentuk geometris: bola, silinder, persegi, belah ketupat, dll. Secara kasar, simetri dapat dipahami sebagai berikut: suatu bangun terdiri dari dua (atau lebih) bagian yang identik. Simetri ini disebut simetri aksial. Lalu apa itu sumbu? Ini adalah garis persis di mana gambar tersebut, secara relatif, dapat “dipotong” menjadi dua bagian yang sama (dalam gambar ini sumbu simetrinya lurus):
Sekarang mari kita kembali ke tugas kita. Kita tahu bahwa kita sedang mencari titik yang simetris terhadap sumbunya. Maka sumbu ini adalah sumbu simetri. Artinya kita perlu menandai suatu titik sedemikian rupa sehingga sumbunya memotong segmen tersebut menjadi dua bagian yang sama besar. Cobalah untuk menandai sendiri hal tersebut. Sekarang bandingkan dengan solusi saya:
Apakah hal yang sama terjadi pada Anda? Bagus! Kami tertarik pada ordinat dari titik yang ditemukan. Itu sama
Menjawab:
Sekarang beri tahu saya, setelah berpikir beberapa detik, berapakah absis suatu titik yang simetris dengan titik A terhadap ordinatnya? Apa jawabanmu? Jawaban yang benar: .
Secara umum aturannya dapat ditulis seperti ini:
Suatu titik yang simetris terhadap suatu titik terhadap sumbu absis mempunyai koordinat:
Suatu titik yang simetris terhadap suatu titik terhadap sumbu ordinat mempunyai koordinat:
Nah, sekarang ini benar-benar menakutkan tugas: mencari koordinat suatu titik yang simetris terhadap titik relatif terhadap titik asal. Pertama-tama Anda berpikir sendiri, lalu lihat gambar saya!
Menjawab:
Sekarang soal jajaran genjang:
Tugas 5: Poin-poinnya muncul ver-shi-na-mi para-ral-le-lo-gram-ma. Temukan or-di-pada-titik itu.
Anda dapat menyelesaikan masalah ini dengan dua cara: logika dan metode koordinat. Saya akan menggunakan metode koordinat terlebih dahulu, lalu saya akan memberi tahu Anda cara menyelesaikannya secara berbeda.
Jelas sekali bahwa absis suatu titik adalah sama. (terletak pada garis tegak lurus yang ditarik dari titik ke sumbu absis). Kita perlu menemukan ordinatnya. Mari kita manfaatkan fakta bahwa gambar kita adalah jajar genjang, artinya. Mari kita cari panjang ruas menggunakan rumus jarak antara dua titik:
Kami menurunkan garis tegak lurus yang menghubungkan titik ke sumbu. Saya akan menunjukkan titik persimpangan dengan sebuah huruf.
Panjang segmennya sama. (temukan sendiri soal dimana kita membahas poin ini), maka kita akan mencari panjang ruas tersebut menggunakan teorema Pythagoras:
Panjang suatu ruas sama persis dengan ordinatnya.
Menjawab: .
Solusi lain (saya hanya akan memberikan gambar yang mengilustrasikannya)
Kemajuan solusi:
1. Perilaku
2. Carilah koordinat titik dan panjangnya
3. Buktikan itu.
Yang lainnya masalah panjang segmen:
Titik-titik tersebut muncul di atas segitiga. Temukan panjang garis tengahnya, sejajar.
Masih ingatkah kamu apa itu garis tengah segitiga? Maka tugas ini adalah tugas dasar bagi Anda. Kalau belum ingat, saya ingatkan: garis tengah segitiga adalah garis yang menghubungkan titik tengah sisi-sisi yang berhadapan. Itu sejajar dengan alas dan sama dengan setengahnya.
Basisnya adalah segmen. Tadi kita harus mencari panjangnya, sama. Maka panjang garis tengahnya adalah setengahnya dan sama panjang.
Menjawab: .
Komentar: masalah ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yang akan kita bahas nanti.
Sementara itu, berikut beberapa soal untuk Anda, praktikkan soal tersebut, soalnya sangat sederhana, tetapi akan membantu Anda menjadi lebih baik dalam menggunakan metode koordinat!
1. Poin-poin tersebut merupakan bagian atas dari tra-pe-tions. Temukan panjang garis tengahnya.
2. Poin dan penampilan ver-shi-na-mi paral-le-lo-gram-ma. Temukan or-di-pada-titik itu.
3. Tentukan panjang potongan yang menghubungkan titik dan
4. Temukan luas di belakang gambar berwarna pada bidang koordinat.
5. Sebuah lingkaran yang berpusat di na-cha-le ko-or-di-nat melalui titik tersebut. Temukan dia ra-di-us.
6. Temukan-di-te ra-di-us lingkaran, jelaskan-san-noy tentang sudut siku-siku-no-ka, puncak sesuatu memiliki co-atau -di-na-kamu sangat bertanggung jawab
Solusi:
1. Diketahui garis tengah trapesium sama dengan setengah jumlah alasnya. Basisnya sama, dan basisnya. Kemudian
Menjawab:
2. Cara termudah untuk menyelesaikan soal ini adalah dengan memperhatikan hal tersebut (aturan jajaran genjang). Menghitung koordinat vektor tidaklah sulit: . Saat menjumlahkan vektor, koordinatnya juga ditambahkan. Kemudian memiliki koordinat. Titik tersebut juga mempunyai koordinat-koordinat tersebut, karena titik asal vektor adalah titik yang memiliki koordinat tersebut. Kami tertarik pada ordinatnya. Dia setara.
Menjawab:
3. Langsung saja kita bertindak sesuai rumus jarak antara dua titik:
Menjawab:
4. Perhatikan gambar dan sebutkan dua gambar manakah yang “terjepit” di area yang diarsir? Itu terjepit di antara dua kotak. Maka luas bangun yang diinginkan sama dengan luas persegi besar dikurangi luas persegi kecil. Sisi persegi kecil merupakan ruas yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya adalah
Maka luas persegi kecil tersebut adalah
Kita melakukan hal yang sama dengan persegi besar: sisinya adalah segmen yang menghubungkan titik-titik dan panjangnya adalah
Maka luas persegi besar tersebut adalah
Kami menemukan luas gambar yang diinginkan menggunakan rumus:
Menjawab:
5. Jika sebuah lingkaran mempunyai titik asal sebagai pusatnya dan melalui suatu titik, maka jari-jarinya akan sama persis dengan panjang segmen tersebut (buatlah gambar dan Anda akan mengerti mengapa hal ini jelas). Mari kita cari panjang ruas ini:
Menjawab:
6. Diketahui jari-jari lingkaran yang dibatasi pada suatu persegi panjang sama dengan setengah diagonalnya. Mari kita cari panjang salah satu dari dua diagonalnya (bagaimanapun juga, dalam persegi panjang keduanya sama besar!)
Menjawab:
Nah, apakah Anda mengatasi semuanya? Tidak terlalu sulit untuk mengetahuinya, bukan? Hanya ada satu aturan di sini - dapat membuat gambaran visual dan cukup “membaca” semua data darinya.
Kita hanya punya sedikit yang tersisa. Ada dua hal lagi yang ingin saya diskusikan.
Mari kita coba selesaikan masalah sederhana ini. Biarkan dua poin dan diberikan. Temukan koordinat titik tengah segmen tersebut. Penyelesaian permasalahan tersebut adalah sebagai berikut: misalkan titik tersebut berada di tengah yang diinginkan, maka mempunyai koordinat:
Itu adalah: koordinat tengah ruas = mean aritmatika dari koordinat ujung-ujung ruas yang bersesuaian.
Aturan ini sangat sederhana dan biasanya tidak menimbulkan kesulitan bagi siswa. Mari kita lihat masalah apa dan bagaimana penggunaannya:
1. Temukan-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny dari-potong, sambungkan titik dan
2. Poinnya tampak seperti yang teratas di dunia. Temukan-di-te or-di-na-tu poin per-re-se-che-niya dari dia-go-na-ley-nya.
3. Temukan-di-te abs-cis-su pusat lingkaran, jelaskan-san-noy tentang persegi panjang-no-ka, puncak sesuatu memiliki co-or-di-na-you jadi-bertanggung jawab-tapi.
Solusi:
1. Masalah pertama hanyalah masalah klasik. Kami segera melanjutkan untuk menentukan bagian tengah segmen. Ia memiliki koordinat. Ordinatnya sama.
Menjawab:
2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segiempat ini adalah jajar genjang (bahkan belah ketupat!). Anda dapat membuktikannya sendiri dengan menghitung panjang sisi-sisinya dan membandingkannya satu sama lain. Apa yang saya ketahui tentang jajaran genjang? Diagonal-diagonalnya terbagi dua oleh titik potongnya! Ya! Jadi, apa titik potong diagonal-diagonalnya? Ini adalah titik tengah diagonal mana pun! Saya akan memilih, khususnya, diagonal. Maka titik tersebut memiliki koordinat. Ordinat titik tersebut sama dengan.
Menjawab:
3. Titik pusat lingkaran yang dibatasi pada persegi panjang berimpit dengan apa? Bertepatan dengan titik potong diagonal-diagonalnya. Apa yang kamu ketahui tentang diagonal-diagonal persegi panjang? Keduanya sama besar dan titik potong membaginya menjadi dua. Tugas tersebut dikurangi menjadi tugas sebelumnya. Misalnya saja diagonalnya. Maka jika adalah pusat lingkaran, maka adalah titik tengahnya. Saya mencari koordinat: Absisnya sama.
Menjawab:
Sekarang berlatihlah sedikit sendiri, saya hanya akan memberikan jawaban dari setiap soal agar Anda dapat menguji diri sendiri.
1. Temukan-di-te ra-di-us lingkaran, jelaskan-san-noy tentang segitiga-no-ka, puncak sesuatu memiliki co-or-di -no misters
2. Temukan-di-te or-di-on-pusat lingkaran itu, jelaskan-san-noy tentang segitiga-no-ka yang puncak-puncaknya mempunyai koordinat
3. Ra-di-u-sa manakah yang harus berupa lingkaran yang berpusat di suatu titik sehingga menyentuh sumbu absis?
4. Temukan-di-itu atau-di-pada-itu titik pemisahan sumbu dan dari-potong, sambungkan-titik dan
Jawaban:
Apakah semuanya berhasil? Saya sangat berharap untuk itu! Sekarang - dorongan terakhir. Sekarang berhati-hatilah. Materi yang akan saya jelaskan sekarang tidak hanya berkaitan langsung dengan soal-soal sederhana tentang metode koordinat dari Bagian B, tetapi juga terdapat di mana-mana pada Soal C2.
Janji-janjiku yang manakah yang belum aku tepati? Ingat operasi apa pada vektor yang saya janjikan untuk diperkenalkan dan operasi mana yang akhirnya saya perkenalkan? Apakah kamu yakin aku tidak melupakan apa pun? Lupa! Saya lupa menjelaskan apa yang dimaksud dengan perkalian vektor.
Ada dua cara untuk mengalikan vektor dengan vektor. Bergantung pada metode yang dipilih, kita akan mendapatkan objek dengan sifat berbeda:
Perkalian silang dilakukan dengan cukup cerdik. Bagaimana cara melakukannya dan mengapa diperlukan, kita akan membahasnya di artikel selanjutnya. Dan kali ini kita akan fokus pada perkalian skalar.
Ada dua cara yang memungkinkan kita menghitungnya:
Seperti yang Anda duga, hasilnya seharusnya sama! Jadi mari kita lihat cara pertama terlebih dahulu:
Perkalian titik melalui koordinat
Temukan: - notasi yang diterima secara umum untuk produk skalar
Rumus perhitungannya adalah sebagai berikut:
Artinya, hasil kali skalar = jumlah hasil kali koordinat vektor!
Contoh:
Temukan-di-te
Larutan:
Mari kita cari koordinat masing-masing vektor:
Kami menghitung produk skalar menggunakan rumus:
Menjawab:
Lihat, tidak ada yang rumit!
Nah, sekarang coba sendiri:
· Temukan skalar pro-iz-ve-de-nie berabad-abad dan
Apakah Anda berhasil? Mungkin Anda memperhatikan tangkapan kecil? Mari kita periksa:
Koordinat vektor, seperti pada soal sebelumnya! Menjawab: .
Selain koordinat, ada cara lain untuk menghitung hasil kali skalar, yaitu melalui panjang vektor dan kosinus sudut antara keduanya:
Menunjukkan sudut antara vektor dan.
Artinya, hasil kali skalar sama dengan hasil kali panjang vektor dan kosinus sudut di antara keduanya.
Mengapa kita membutuhkan rumus kedua ini, jika kita memiliki rumus pertama yang jauh lebih sederhana, setidaknya tidak ada cosinus di dalamnya. Dan itu diperlukan agar dari rumus pertama dan kedua kita bisa menyimpulkan cara mencari sudut antar vektor!
Mari kita ingat rumus panjang vektor!
Kemudian jika saya substitusikan data ini ke dalam rumus perkalian skalar, saya mendapatkan:
Namun dengan cara lain:
Jadi, apa yang Anda dan saya dapatkan? Sekarang kita mempunyai rumus yang memungkinkan kita menghitung sudut antara dua vektor! Terkadang juga ditulis seperti ini agar singkatnya:
Artinya, algoritma untuk menghitung sudut antar vektor adalah sebagai berikut:
- Hitung produk skalar melalui koordinat
- Temukan panjang vektor dan kalikan
- Bagilah hasil poin 1 dengan hasil poin 2
Mari berlatih dengan contoh:
1. Temukan sudut antara kelopak mata dan. Berikan jawabannya di gradu-du-sah.
2. Pada kondisi soal sebelumnya, carilah cosinus antar vektor
Mari kita lakukan ini: Saya akan membantu Anda memecahkan masalah pertama, dan mencoba menyelesaikan masalah kedua sendiri! Setuju? Kalau begitu mari kita mulai!
1. Vektor-vektor ini adalah teman lama kita. Kami telah menghitung produk skalarnya dan hasilnya sama. Koordinatnya adalah: , . Kemudian kita menemukan panjangnya:
Kemudian kita mencari kosinus antar vektor:
Berapa cosinus sudutnya? Ini adalah sudutnya.
Menjawab:
Nah, sekarang selesaikan sendiri masalah kedua, lalu bandingkan! Saya akan memberikan solusi yang sangat singkat:
2. mempunyai koordinat, mempunyai koordinat.
Misalkan adalah sudut antara vektor dan, maka
Menjawab:
Perlu diperhatikan permasalahan langsung pada vektor dan metode koordinat pada bagian B kertas ujian cukup jarang. Namun, sebagian besar masalah C2 dapat diselesaikan dengan mudah dengan memperkenalkan sistem koordinat. Jadi, Anda dapat menganggap artikel ini sebagai fondasi yang menjadi dasar kami membuat konstruksi yang cukup cerdas yang kami perlukan untuk memecahkan masalah yang kompleks.