Benarkah diagonal-diagonal suatu segi empat berpotongan? Sifat-sifat diagonal jajar genjang. Pelajaran lengkap - Pengetahuan Hypermarket. Diagonal dibagi menjadi dua

Topik pelajaran

  • Sifat-sifat diagonal jajar genjang.

Tujuan Pelajaran

  • Kenali definisi baru dan ingat beberapa definisi yang sudah dipelajari.
  • Nyatakan dan buktikan sifat-sifat diagonal jajar genjang.
  • Belajar menerapkan sifat-sifat bentuk ketika memecahkan masalah.
  • Perkembangan – untuk mengembangkan perhatian, ketekunan, ketekunan, berpikir logis, pidato matematika.
  • Edukasi – melalui pembelajaran menumbuhkan sikap penuh perhatian terhadap sesama, menanamkan kemampuan mendengarkan kawan, gotong royong, dan kemandirian.

Tujuan Pelajaran

  • Uji keterampilan pemecahan masalah siswa.

Rencana belajar

  1. Perkenalan.
  2. Pengulangan materi yang telah dipelajari sebelumnya.
  3. Jajar genjang, sifat dan ciri-cirinya.
  4. Contoh tugas.
  5. Periksa sendiri.

Perkenalan

"Besar penemuan ilmiah memberikan solusi terhadap suatu masalah besar, namun dalam solusi masalah apa pun terdapat sedikit penemuan.”

Formula ini sepertinya belum dirilis kemana-mana ya? Tentu saja, rumus matematika tidak muncul begitu saja, tetapi Anda mungkin harus memikirkannya sedikit untuk menemukan logika di baliknya. Dari sinilah rumus diagonal berasal dan mengapa berhasil. Setiap diagonal menghubungkan suatu titik dengan titik lain pada suatu poligon yang bukan tetangganya. Dan setiap diagonal dapat menuju ke titik akhir karena sebuah diagonal tidak dapat berakhir pada titik awalnya atau pada salah satu dari dua titik yang berdekatan.

Inilah soal Anda: jika sebuah poligon memiliki 90 diagonal, berapa banyak sisi yang dimilikinya? Inilah penerapan rumus diagonal yang bagus di dunia nyata. Katakanlah ada turnamen tenis kecil dengan enam orang di mana setiap orang harus bermain melawan orang lain. Berapa total pertandingan yang akan diadakan? Ilustrasi berikut memperlihatkan enam pemain tenis dengan segmen yang menghubungkan setiap pasangan pemain.

Sifat sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang

Jajargenjang mempunyai sisi-sisi berhadapan yang sama besar.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajaran genjang yang diberikan. Dan biarkan diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O.
Karena Δ AOB = Δ COD berdasarkan kriteria pertama persamaan segitiga (∠ AOB = ∠ COD, sebagai segitiga vertikal, AO=OC, DO=OB, berdasarkan sifat diagonal jajar genjang), maka AB=CD. Begitu pula dari persamaan segitiga BOC dan DOA diperoleh BC = DA. Teorema tersebut telah terbukti.

Setiap segmen mewakili pertandingan antara dua peserta. Jadi untuk mendapatkan jumlah total kecocokan, Anda hanya perlu menghitung semua segmen pada gambar: jumlah sisi segi enam ditambah jumlah diagonal pada segi enam.

Hal ini diilustrasikan oleh gambar berikut. Terlihat bahwa perbandingan pihak-pihak yang bersesuaian berada pada perbandingan ½. Pada gambar di bawah, semua segitiga biru sebangun dengan segitiga yang lebih besar dan terlihat bahwa teorema di atas berlaku. Jake meninggalkan sekolah untuk kembali ke rumah. Jalannya 6 blok ke utara dan kemudian 8 blok ke barat. Seberapa jauh Jake dari sekolah?

Sifat-sifat sudut berhadapan pada jajar genjang

Pada jajar genjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajaran genjang yang diberikan. Dan biarkan diagonal-diagonalnya berpotongan di titik O.
Dari yang dibuktikan pada teorema sifat-sifat sisi-sisi yang berhadapan pada jajar genjang Δ ABC = Δ CDA pada tiga sisi (AB=CD, BC=DA dari yang dibuktikan, AC – umum). Dari persamaan segitiga diperoleh ∠ ABC = ∠ CDA.
Terbukti juga bahwa ∠ DAB = ∠ BCD yang berasal dari ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema tersebut telah terbukti.

Setiap ruas garis suatu poligon disebut sisinya

Tentukan panjang kabel.

Sudut: Sudut yang dibentuk oleh dua sisi poligon yang berdekatan disebut sudut poligon

Jika untuk setiap sisi suatu poligon, garis yang memuat sisi tersebut mempunyai semua simpul lainnya pada sisi yang sama. Konstruksi segi empat: buatlah segi empat dengan lima elemen yang akan diketahui.

Misalkan panjang kedua diagonal jajar genjang adalah 8 cm dan 6 cm, dan sudut antara keduanya adalah 60°. Tunjukkan bahwa luas = ½ luas. Untuk membagi sudut kita mengikuti aturan di bawah ini. Jadi kita cukup membagi 90º menggunakan langkah yang kita gunakan sebelumnya.

Sifat-sifat diagonal jajar genjang

Diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan dan dibagi dua di titik perpotongannya.

Bukti.

Biarkan ABCD menjadi jajaran genjang yang diberikan. Mari kita menggambar diagonal AC. Mari kita tandai bagian tengah O di atasnya. Pada kelanjutan segmen DO, kita sisihkan segmen OB 1 sama dengan DO.
Berdasarkan teorema sebelumnya, AB 1 CD adalah jajar genjang. Oleh karena itu, garis AB 1 sejajar dengan DC. Tetapi melalui titik A hanya dapat ditarik satu garis sejajar DC. Artinya lurus AB 1 berimpit dengan lurus AB.
Terbukti juga bahwa SM 1 bertepatan dengan SM. Artinya titik C berimpit dengan C1. jajar genjang ABCD berimpit dengan jajar genjang AB 1 CD. Akibatnya, diagonal-diagonal jajar genjang berpotongan dan dibagi dua di titik perpotongannya. Teorema tersebut telah terbukti.

Jadi kita bisa menggambar 90º dari cara di atas dan kemudian 45º di atasnya menjadi 135º seperti yang ditunjukkan pada gambar. Buatlah garis singgung lingkaran dari titik luar. Temukan titik tengah garis ini dengan membuat garis bagi yang tegak lurus. Titik tengahnya mungkin berada di dalam atau di luar lingkaran, bergantung pada ukuran lingkaran dan lokasi titiknya. Langkah 4: Tanpa mengubah lebarnya, gambarlah busur dalam lingkaran di dua tempat yang memungkinkan. Keliling segitiga: Langkah 1: Temukan garis bagi salah satu sisi segitiga.

Langkah 2: Ulangi untuk sisi lainnya. Langkah 3: Titik potong kedua garis tegak lurus ini adalah keliling segitiga, pusat lingkaran yang kita inginkan. Gambarlah sebuah lingkaran yang melewati ketiganya. Di dalam segitiga: Langkah 1: Tempatkan titik kompas di salah satu titik sudut segitiga. Sesuaikan kompas dengan lebar sedang. Lebar pastinya tidak penting. Tanpa mengubah lebar kompas, buatlah busur pada setiap sisi yang berdekatan. Langkah 3: Ubah lebar kompas jika perlu, lalu, mulai dari titik perpotongan setiap busur dengan sisinya, gambarlah dua busur di dalam segitiga sehingga keduanya saling berpotongan, dengan menggunakan lebar kompas yang sama untuk masing-masing busur.

Dalam buku pelajaran sekolah reguler (misalnya di Pogorelovo) dibuktikan seperti ini: diagonal membagi jajar genjang menjadi 4 segitiga. Mari kita perhatikan satu pasang dan cari tahu - keduanya sama besar: alasnya adalah sisi yang berhadapan, sudut-sudut yang berdekatan di dekatnya sama besar, seperti sudut vertikal dengan garis sejajar. Artinya, ruas-ruas diagonalnya berpasangan sama besar. Semua.

Diagonal dibagi menjadi dua

Langkah 4: Dengan menggunakan penggaris, tarik garis dari puncak segitiga ke titik perpotongan dua busur terakhir. Langkah 5: Ulangi langkah di atas pada titik sudut segitiga lainnya. Anda sekarang akan memiliki dua baris baru. Langkah 6: Ketika dua garis baru berpotongan, tandai sebuah titik sebagai pusat segitiga. Langkah 7: Gambarlah garis tegak lurus dari bagian tengah ke sisi segitiga. Langkah 9: Gambarlah lingkaran penuh untuk membuat lingkaran. Ini akan menjadi salah satu sisi segi enam. Karena kita membuat segi enam beraturan, lima sisi lainnya juga akan memiliki panjang ini.

Apakah itu semuanya?
Di atas telah dibuktikan bahwa titik potong membagi dua diagonalnya – jika ada. Alasan di atas tidak membuktikan keberadaannya sama sekali. Artinya, bagian dari teorema “diagonal jajar genjang berpotongan” masih belum terbukti.

Lucunya, bagian ini lebih sulit dibuktikan. Ini mengikuti hasil yang lebih umum: setiap segi empat cembung akan mempunyai diagonal-diagonal yang berpotongan, tetapi segiempat non-cembung tidak akan berpotongan.

Sisi-sisi dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar

Kompas harus tetap pada lebar ini untuk seluruh struktur. Ini adalah titik puncak segi enam berikutnya. Langkah 5: Lanjutkan sampai Anda memiliki keenam simpul. Langkah 6: Tarik garis antara setiap pasangan simpul yang berurutan dan bentuknya. Buatlah garis luar dan lingkaran segitiga yang salah satu sisinya 5 cm, sisi lainnya 6 cm, dan sudut antara keduanya 120°.

Lokusnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Sebuah tangga setinggi 10 kaki diletakkan vertikal pada dinding, kemudian anak tangga tersebut dipindahkan ke luar hingga tangga terletak rata di lantai dengan salah satu ujungnya menyentuh dinding. Di manakah letak titik tengah tangga yang digeser?

Tentang persamaan segitiga sepanjang satu sisi dan dua sudut yang berdekatan (tanda kedua persamaan segitiga) dan lain-lain.

Thales menemukan teorema penting tentang persamaan dua segitiga sepanjang satu sisi dan dua sudut yang berdekatan penggunaan praktis. Pengintai dibangun di pelabuhan Miletus untuk menentukan jarak ke kapal di laut. Terdiri dari tiga pasak yang digerakkan A, B dan C (AB = BC) dan garis lurus bertanda SC, tegak lurus CA. Ketika sebuah kapal muncul pada garis lurus SK, kita menemukan titik D sedemikian rupa sehingga titik D, .B dan E berada pada garis lurus yang sama. Terlihat jelas dari gambar, jarak CD di darat adalah jarak yang diinginkan ke kapal.

Lingkaran: sifat-sifat akord dan akord

Berapakah letak pusat lingkaran yang menyentuh garis tertentu pada suatu titik tertentu? Berapakah letak ujung-ujung ruas garis yang bertemu pada suatu titik tertentu dan dibagi dua oleh suatu garis yang tidak melalui titik tersebut? Gambar di bawah menunjukkan parameter yang diperlukan. Ini adalah kebalikan dari properti sebelumnya.

Lingkaran: sifat busur dan tali busur

Berapa kedalaman air maksimum? Panjang kedua tali busur sejajar adalah 10 mm, dan jarak tegak lurus kedua tali busur tersebut adalah 12 mm. Berapa diameter pipa bulat tersebut? Hal ini dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Ini adalah kebalikan dari sifat di atas, seperti juga terlihat pada gambar di atas.


Pertanyaan

  1. Apakah diagonal-diagonal suatu persegi dibagi dua oleh titik potongnya?
  2. Apakah diagonal-diagonal jajar genjang sama besar?
  3. Apakah sudut-sudut yang berhadapan pada jajar genjang sama besar?
  4. Sebutkan definisi jajar genjang?
  5. Berapa banyak tanda jajar genjang?
  6. Bisakah belah ketupat menjadi jajar genjang?

Daftar sumber yang digunakan

  1. Kuznetsov A.V., guru matematika (kelas 5-9), Kyiv
  2. "Lajang Ujian negara 2006. Matematika. Materi pendidikan dan pelatihan untuk mempersiapkan siswa / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellect-Center, 2006"
  3. Mazur K. I. “Memecahkan masalah kompetisi utama dalam matematika dari koleksi yang diedit oleh M. I. Skanavi”
  4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometri, 7 – 9: buku teks untuk lembaga pendidikan”

Kami mengerjakan pelajaran

Kuznetsov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Anda dapat mengajukan pertanyaan tentang pendidikan modern, mengungkapkan ide, atau memecahkan masalah mendesak di forum pendidikan, tempat dewan pendidikan yang berisi pemikiran dan tindakan segar bertemu secara internasional. Setelah dibuat blog, Anda tidak hanya akan meningkatkan status Anda sebagai guru yang kompeten, tetapi juga memberikan kontribusi yang signifikan bagi perkembangan sekolah masa depan. Persatuan Pemimpin Pendidikan membuka pintu bagi para spesialis peringkat atas dan mengundang mereka untuk bekerja sama dalam menciptakan sekolah terbaik di dunia.

Mata Pelajaran > Matematika > Matematika kelas 8

Segi empat yang sisi-sisinya berhadapan sejajar disebut jajar genjang. Diagonal adalah garis lurus yang menghubungkan titik-titik yang berhadapan. Titik perpotongannya adalah pusat simetri. Secara umum jajar genjang mempunyai dua diagonal, D yang panjang dan d yang pendek.

Temukan diagonal jajar genjang menggunakan teorema kosinus

  • Nilai kosinus sudut jajar genjang α dan β.

D = √a^2 + b^2 — 2ab cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab cosα

d = √a^2 + b^2 — 2ab cosα

Temukan diagonal jajar genjang menggunakan salah satu diagonal dan sisi yang diketahui

Untuk menggunakan metode ini, Anda perlu mengetahui:

  • Panjang sisi jajar genjang a dan b.

D = √2a^2 + 2b^2 — d^2

Untuk menggunakan metode ini, Anda perlu mengetahui:

  • Luas jajar genjang.
  • Panjang salah satu diagonal D atau d.
  • Sudut antara diagonal γ atau δ.

D = 2S/d sinγ = 2S/d sinδ

d = 2S/D sinγ = 2S/D sinδ


Kasus khusus dalam menentukan panjang diagonal jajar genjang adalah persegi

Persegi adalah jajar genjang yang semua sisinya sama panjang dan sudutnya 90°. Panjang diagonal dalam hal ini akan sama dengan D=d dan dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras.
D=d=a*√2


Kasus khusus dalam menentukan panjang diagonal jajar genjang adalah persegi panjang

Persegi panjang adalah jajar genjang yang sudut-sudutnya sama besar dan besarnya 90°. Panjang diagonal dalam hal ini akan sama dengan D=d dan dapat dihitung menggunakan teorema Pythagoras.
D=d=√(a^2+b^2)




Membagikan: