Persamaan penyelesaian bilangan real dengan modulus. Modulus suatu bilangan (nilai mutlak suatu bilangan), definisi, contoh, sifat-sifatnya

Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dengan modulus seringkali menimbulkan kesulitan. Namun, jika Anda memahami dengan baik apa itu nilai mutlak suatu bilangan, Dan cara memperluas ekspresi yang mengandung tanda modulus dengan benar, maka kehadiran dalam persamaan ekspresi di bawah tanda modulus, tidak lagi menjadi hambatan bagi penyelesaiannya.

Sedikit teori. Setiap bilangan mempunyai dua ciri: nilai mutlak bilangan tersebut dan tandanya.

Misalnya, bilangan +5, atau sekadar 5, memiliki tanda “+” dan nilai absolutnya 5.

Angka -5 mempunyai tanda “-” dan nilai absolutnya 5.

Nilai mutlak bilangan 5 dan -5 adalah 5.

Nilai absolut suatu bilangan x disebut modulus bilangan tersebut dan dilambangkan dengan |x|.

Seperti yang bisa kita lihat, modulus suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri jika bilangan tersebut lebih besar dari atau sama dengan nol, dan dengan bilangan yang bertanda berlawanan jika bilangan tersebut negatif.

Hal yang sama berlaku untuk ekspresi apa pun yang muncul di bawah tanda modulus.

Aturan perluasan modul terlihat seperti ini:

|f(x)|= f(x) jika f(x) ≥ 0, dan

|f(x)|= - f(x), jika f(x)< 0

Misalnya |x-3|=x-3, jika x-3≥0 dan |x-3|=-(x-3)=3-x, jika x-3<0.

Untuk menyelesaikan persamaan yang berisi ekspresi di bawah tanda modulus, Anda harus menyelesaikannya terlebih dahulu perluas modul sesuai dengan aturan perluasan modul.

Maka persamaan atau pertidaksamaan kita menjadi menjadi dua persamaan berbeda yang ada pada dua interval numerik berbeda.

Suatu persamaan terdapat pada interval numerik yang ekspresi di bawah tanda modulusnya adalah non-negatif.

Dan persamaan kedua ada pada interval di mana ekspresi di bawah tanda modulus bernilai negatif.

Mari kita lihat contoh sederhana.

Mari selesaikan persamaannya:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Mari kita buka modulnya.

|x-3|=x-3, jika x-3≥0, mis. jika x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x jika x-3<0, т.е. если х<3

2. Kami menerima dua interval numerik: x≥3 dan x<3.

Mari kita perhatikan persamaan mana yang persamaan aslinya diubah pada setiap interval:

A) Untuk x≥3 |x-3|=x-3, dan luka kita berbentuk:

Perhatian! Persamaan ini hanya ada pada interval x≥3!

Mari kita buka tanda kurung dan sajikan istilah serupa:

dan selesaikan persamaan ini.

Persamaan ini memiliki akar:

x 1 =0, x 2 =3

Perhatian! karena persamaan x-3=-x 2 +4x-3 hanya ada pada interval x≥3, kita hanya tertarik pada akar-akar yang termasuk dalam interval ini. Kondisi ini hanya dipenuhi oleh x 2 =3.

B) Pada x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Perhatian! Persamaan ini hanya ada pada interval x<3!

Mari kita buka tanda kurung dan sajikan istilah serupa. Kami mendapatkan persamaan:

x 1 =2, x 2 =3

Perhatian! karena persamaan 3-x=-x 2 +4x-3 hanya ada pada interval x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Jadi: dari interval pertama kita hanya mengambil akar x=3, dari interval kedua - akar x=2.

A dihitung sesuai dengan aturan berikut:

Untuk singkatnya, notasi digunakan |sebuah|. Jadi, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100| =100, dst.

Setiap ukuran X sesuai dengan nilai yang cukup akurat | X|. Dan itu artinya identitas pada= |X| set pada seperti beberapa fungsi argumen X.

Jadwal ini fungsi disajikan di bawah ini.

Untuk X > 0 |X| = X, dan untuk X< 0 |X|= -X; dalam hal ini, garis y = | X| pada X> 0 digabungkan dengan garis lurus kamu = x(bagi sudut koordinat pertama), dan kapan X< 0 - с прямой kamu = -x(bagi sudut koordinat kedua).

Memisahkan persamaan sertakan hal-hal yang tidak diketahui di bawah tanda modul.

Contoh sewenang-wenang dari persamaan tersebut - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+1, dst.

Memecahkan persamaan mengandung bilangan yang tidak diketahui di bawah tanda modulus didasarkan pada kenyataan bahwa jika nilai mutlak suatu bilangan yang tidak diketahui x sama dengan bilangan positif a, maka bilangan x itu sendiri sama dengan a atau -a.

Misalnya:, jika | X| = 10, maka atau X=10, atau X = -10.

Mari kita pertimbangkan menyelesaikan persamaan individu.

Mari kita analisa penyelesaian persamaan | X- 1| = 2.

Mari kita perluas modulnya lalu perbedaannya X- 1 bisa sama dengan + 2 atau - 2. Jika x - 1 = 2, maka X= 3; jika X- 1 = - 2, lalu X= - 1. Kita melakukan substitusi dan menemukan bahwa kedua nilai ini memenuhi persamaan.

Menjawab. Persamaan di atas memiliki dua akar: X 1 = 3, X 2 = - 1.

Mari kita analisa penyelesaian persamaan tersebut | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Setelah perluasan modul kita mendapatkan: atau 6 - 2 X= 3X+1, atau 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Dalam kasus pertama X= 1, dan yang kedua X= - 7.

Penyelidikan. Pada X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4; itu mengikuti dari pengadilan, X = 1 - akar diberikan persamaan.

Pada X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20; karena 20 ≠ -20, maka X= - 7 bukan akar persamaan ini.

Menjawab. kamu persamaan hanya mempunyai satu akar: X = 1.

Persamaan jenis ini bisa saja memecahkan dan secara grafis.

Jadi mari kita putuskan Misalnya, persamaan grafis | X- 1| = 2.

Pertama kita akan membangun grafik fungsi pada = |X- 1|. Pertama, mari kita menggambar grafik fungsinya pada=X- 1:

Bagian itu seni grafis, yang terletak di atas sumbu X Kami tidak akan mengubahnya. Untuk dia X- 1 > 0 dan oleh karena itu | X-1|=X-1.

Bagian grafik yang terletak di bawah sumbu X, mari kita gambarkan secara simetris relatif terhadap sumbu ini. Karena untuk bagian ini X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). Hasilnya garis(garis padat) dan kemauan grafik fungsi kamu = | X—1|.

Garis ini akan berpotongan dengan lurus pada= 2 di dua titik: M 1 dengan absis -1 dan M 2 dengan absis 3. Dan karenanya, persamaan | X- 1| =2 akan ada dua akar: X 1 = - 1, X 2 = 3.

Salah satu topik yang paling sulit bagi siswa adalah menyelesaikan persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Mari kita cari tahu dulu apa hubungannya? Mengapa, misalnya, sebagian besar anak-anak memecahkan persamaan kuadrat seperti kacang, tetapi memiliki begitu banyak masalah dengan konsep yang jauh dari rumit seperti modul?

Menurut pendapat saya, semua kesulitan ini disebabkan oleh kurangnya aturan yang dirumuskan dengan jelas untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Jadi, putuskan persamaan kuadrat, siswa mengetahui dengan pasti bahwa ia perlu menerapkan rumus diskriminan terlebih dahulu, baru kemudian rumus akar-akar persamaan kuadrat. Apa yang harus dilakukan jika modulus ditemukan dalam persamaan? Kami akan mencoba menjelaskan dengan jelas rencana tindakan yang diperlukan untuk kasus ketika persamaan mengandung hal yang tidak diketahui di bawah tanda modulus. Kami akan memberikan beberapa contoh untuk setiap kasus.

Tapi pertama-tama, mari kita ingat definisi modul. Jadi, modulo nomornya A nomor ini sendiri disebut jika A non-negatif dan -A, jika nomor A kurang dari nol. Anda dapat menulisnya seperti ini:

|sebuah| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0

Berbicara tentang arti geometri modul, harus diingat bahwa setiap bilangan real berhubungan dengan titik tertentu pada sumbu bilangan - itu koordinat. Jadi, modul atau nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak dari titik tersebut ke titik asal sumbu bilangan. Jarak selalu ditentukan sebagai bilangan positif. Jadi, modulus bilangan negatif adalah bilangan positif. Ngomong-ngomong, bahkan pada tahap ini, banyak siswa yang mulai bingung. Modul bisa berisi bilangan apa saja, namun hasil penggunaan modul selalu berupa bilangan positif.

Sekarang mari kita langsung menyelesaikan persamaannya.

1. Perhatikan persamaan bentuk |x| = c, dimana c adalah bilangan real. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan menggunakan definisi modulus.

Kita bagi semua bilangan real menjadi tiga kelompok: bilangan yang lebih besar dari nol, bilangan yang lebih kecil dari nol, dan golongan ketiga adalah bilangan 0. Kita tuliskan penyelesaiannya dalam bentuk diagram:

(±c, jika c > 0

Jika |x| = c, maka x = (0, jika c = 0

(tidak ada akar jika dengan< 0

1) |x| = 5, karena 5 > 0, maka x = ±5;

2) |x| = -5, karena -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, maka x = 0.

2. Persamaan bentuk |f(x)| = b, dimana b > 0. Untuk menyelesaikan persamaan ini, modul harus dihilangkan. Kita melakukannya dengan cara ini: f(x) = b atau f(x) = -b. Sekarang Anda perlu menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan secara terpisah. Jika pada persamaan awal b< 0, решений не будет.

1) |x+2| = 4, karena 4 > 0, lalu

x + 2 = 4 atau x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, karena 11 > 0, lalu

x 2 – 5 = 11 atau x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 tanpa akar

3) |x 2 – 5x| = -8, karena -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Persamaan berbentuk |f(x)| =g(x). Menurut pengertian modul, persamaan tersebut akan mempunyai penyelesaian jika ruas kanannya lebih besar atau sama dengan nol, yaitu. g(x) ≥ 0. Maka kita akan mendapatkan:

f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Persamaan ini akan berakar jika 5x – 10 ≥ 0. Di sinilah penyelesaian persamaan tersebut dimulai.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solusi:

2x – 1 = 5x – 10 atau 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Kami menggabungkan O.D.Z. dan penyelesaiannya, kita peroleh:

Akar x = 11/7 tidak sesuai dengan O.D.Z., kurang dari 2, tetapi x = 3 memenuhi kondisi ini.

Jawaban: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Selesaikan pertidaksamaan ini dengan menggunakan metode interval:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solusi:

x – 1 = 1 – x 2 atau x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 atau x = 1 x = 0 atau x = 1

3. Kami menggabungkan solusi dan O.D.Z.:

Hanya akar x = 1 dan x = 0 yang cocok.

Jawaban: x = 0, x = 1.

4. Persamaan bentuk |f(x)| = |g(x)|. Persamaan tersebut setara dengan dua persamaan berikut f(x) = g(x) atau f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Persamaan ini setara dengan dua persamaan berikut:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 atau x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 atau x = 4 x = 2 atau x = 1

Jawaban: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Persamaan diselesaikan dengan metode substitusi (penggantian variabel). Metode solusi ini paling mudah dijelaskan dengan contoh spesifik. Jadi, diberikan persamaan kuadrat dengan modulus:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, sehingga persamaannya dapat ditulis ulang sebagai berikut:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka diperoleh:

t 2 – 6t + 5 = 0. Dengan menyelesaikan persamaan ini, kita mendapatkan bahwa t = 1 atau t = 5. Mari kita kembali ke penggantian:

|x| = 1 atau |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Jawaban: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Mari kita lihat contoh lainnya:

x 2 + |x| – 2 = 0. Berdasarkan sifat modulus x 2 = |x| 2, oleh karena itu

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Mari kita lakukan penggantian |x| = t ≥ 0, maka:

t 2 + t – 2 = 0. Selesaikan persamaan ini, kita peroleh t = -2 atau t = 1. Mari kembali ke penggantian:

|x| = -2 atau |x| = 1

Tidak ada akar x = ± 1

Jawaban: x = -1, x = 1.

6. Jenis persamaan lainnya adalah persamaan dengan modulus “kompleks”. Persamaan tersebut mencakup persamaan yang memiliki “modul di dalam modul”. Persamaan jenis ini dapat diselesaikan dengan menggunakan properti modul.

1) |3 – |x|| = 4. Kita akan bertindak dengan cara yang sama seperti persamaan tipe kedua. Karena 4 > 0, maka kita mendapatkan dua persamaan:

3 – |x| = 4 atau 3 – |x| = -4.

Sekarang mari kita nyatakan modulus x pada setiap persamaan, lalu |x| = -1 atau |x| = 7.

Kami menyelesaikan setiap persamaan yang dihasilkan. Tidak ada akar pada persamaan pertama, karena -1< 0, а во втором x = ±7.

Jawab x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Kita selesaikan persamaan ini dengan cara yang sama:

3 + |x + 1| = 5 atau 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 atau x + 1 = -2. Tidak ada akar.

Jawaban: x = -3, x = 1.

Ada juga metode universal untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus. Ini adalah metode interval. Tapi kita akan melihatnya nanti.

blog.site, apabila menyalin materi seluruhnya atau sebagian, diperlukan link ke sumber aslinya.

Pada artikel ini kami akan menganalisis secara detail nilai mutlak suatu bilangan. Kami akan memberikan berbagai definisi modulus suatu bilangan, memperkenalkan notasi dan memberikan ilustrasi grafis. Pada saat yang sama, mari kita pertimbangkan berbagai contoh menemukan modulus suatu bilangan menurut definisi. Setelah ini, kami akan membuat daftar dan membenarkan properti utama modul. Di akhir artikel, kita akan membahas tentang bagaimana modulus bilangan kompleks ditentukan dan ditemukan.

Navigasi halaman.

Modul bilangan - definisi, notasi dan contoh

Pertama kami perkenalkan penunjukan modulus bilangan. Modulus bilangan a akan kita tuliskan sebagai , yaitu di sebelah kiri dan kanan bilangan tersebut kita beri tanda hubung vertikal sehingga membentuk tanda modulus. Mari kita berikan beberapa contoh. Misalnya, modul −7 dapat ditulis sebagai ; modul 4.125 ditulis sebagai , dan modul mempunyai notasi berbentuk .

Definisi modulus berikut mengacu pada , dan oleh karena itu, pada , dan bilangan bulat, dan bilangan rasional, dan bilangan irasional, sebagai bagian penyusun himpunan bilangan real. Kita akan berbicara tentang modulus bilangan kompleks di.

Definisi.

Modulus bilangan a– ini bisa berupa bilangan a itu sendiri, jika a adalah bilangan positif, atau bilangan −a, kebalikan dari bilangan a, jika a adalah bilangan negatif, atau 0, jika a=0.

Definisi suara modulus suatu bilangan sering ditulis dalam bentuk berikut , entri ini berarti jika a>0 , jika a=0 , dan jika a<0 .

Rekor tersebut dapat disajikan dalam bentuk yang lebih kompak . Notasi ini berarti jika (a lebih besar atau sama dengan 0), dan jika a<0 .

Ada juga entri . Di sini kita harus menjelaskan secara terpisah kasus ketika a=0. Dalam hal ini kita mempunyai , tetapi −0=0, karena nol dianggap sebagai bilangan yang berlawanan dengan bilangan itu sendiri.

Mari kita memberi contoh mencari modulus suatu bilangan menggunakan definisi yang dinyatakan. Misalnya, cari modul bilangan 15 dan . Mari kita mulai dengan mencari. Karena bilangan 15 positif, modulusnya menurut definisi sama dengan bilangan itu sendiri, yaitu . Berapakah modulus suatu bilangan? Karena bilangan negatif, modulusnya sama dengan bilangan yang berlawanan dengan bilangan tersebut, yaitu bilangan . Dengan demikian, .

Untuk menyimpulkan poin ini, kami menyajikan satu kesimpulan yang sangat mudah digunakan dalam praktik ketika mencari modulus suatu bilangan. Dari definisi modulus suatu bilangan dapat disimpulkan bahwa modulus suatu bilangan sama dengan bilangan yang berada di bawah tanda modulus tanpa memperhitungkan tandanya, dan dari contoh yang dibahas di atas hal ini terlihat sangat jelas. Pernyataan tersebut menjelaskan mengapa modul suatu bilangan disebut juga nilai absolut dari bilangan tersebut. Jadi modulus suatu bilangan dan nilai mutlak suatu bilangan adalah satu dan sama.

Modulus bilangan sebagai jarak

Secara geometris, modulus suatu bilangan dapat diartikan sebagai jarak. Mari kita memberi menentukan modulus suatu bilangan melalui jarak.

Definisi.

Modulus bilangan a– ini adalah jarak dari titik asal pada garis koordinat ke titik yang bersesuaian dengan bilangan a.

Definisi ini sesuai dengan definisi modulus suatu bilangan yang diberikan pada paragraf pertama. Mari kita perjelas hal ini. Jarak dari titik asal ke titik yang bersesuaian dengan bilangan positif sama dengan bilangan tersebut. Nol sesuai dengan titik asal, oleh karena itu jarak dari titik asal ke titik dengan koordinat 0 sama dengan nol (Anda tidak perlu menyisihkan satu segmen satuan dan tidak satu segmen pun yang membentuk pecahan apa pun dari segmen satuan secara berurutan. untuk berpindah dari titik O ke titik dengan koordinat 0). Jarak titik asal ke suatu titik yang koordinatnya negatif sama dengan bilangan yang berlawanan dengan koordinat titik tersebut, karena sama dengan jarak dari titik asal ke titik yang koordinatnya berlawanan bilangan tersebut.

Misalnya modulus bilangan 9 sama dengan 9, karena jarak titik asal ke titik dengan koordinat 9 sama dengan sembilan. Mari kita beri contoh lain. Titik dengan koordinat −3,25 terletak pada jarak 3,25 dari titik O, jadi .

Pengertian modulus suatu bilangan merupakan kasus khusus dari definisi modulus selisih dua bilangan.

Definisi.

Modulus selisih dua bilangan a dan b sama dengan jarak antara titik-titik garis koordinat dengan koordinat a dan b.

Artinya, jika diberikan titik-titik pada garis koordinat A(a) dan B(b), maka jarak titik A ke titik B sama dengan modulus selisih bilangan a dan b. Jika kita mengambil titik O (asal) sebagai titik B, maka kita memperoleh definisi modulus suatu bilangan yang diberikan di awal paragraf ini.

Menentukan modulus suatu bilangan menggunakan akar kuadrat aritmatika

Kadang-kadang terjadi menentukan modulus melalui akar kuadrat aritmatika.

Misalnya, mari kita hitung modulus bilangan −30 dan berdasarkan definisi ini. Kita punya. Demikian pula, kami menghitung modulus dua pertiga: .

Definisi modulus suatu bilangan melalui akar kuadrat aritmatika juga sesuai dengan definisi yang diberikan pada paragraf pertama artikel ini. Mari kita tunjukkan. Misalkan a bilangan positif dan −a bilangan negatif. Kemudian Dan , jika a=0 , maka .

Properti modul

Modul ini memiliki sejumlah hasil karakteristik - properti modul. Sekarang kami akan menyajikan yang utama dan paling sering digunakan. Saat membenarkan sifat-sifat ini, kita akan mengandalkan definisi modulus suatu bilangan dalam kaitannya dengan jarak.

Mari kita mulai dengan properti modul yang paling jelas - Modulus suatu bilangan tidak boleh berupa bilangan negatif. Dalam bentuk literal, properti ini memiliki bentuk untuk sembarang bilangan a. Sifat ini sangat mudah untuk dibenarkan: modulus suatu bilangan adalah jarak, dan jarak tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan negatif.

Mari beralih ke properti modul berikutnya. Modulus suatu bilangan adalah nol jika dan hanya jika bilangan tersebut nol. Modulus nol menurut definisinya adalah nol. Nol sama dengan titik asal; tidak ada titik lain pada garis koordinat yang sama dengan nol, karena setiap bilangan real dikaitkan dengan satu titik pada garis koordinat. Untuk alasan yang sama, bilangan apa pun selain nol berhubungan dengan titik yang berbeda dari titik asal. Dan jarak dari titik asal ke titik mana pun selain titik O tidaklah nol, karena jarak antara dua titik adalah nol jika dan hanya jika titik-titik tersebut bertepatan. Alasan di atas membuktikan bahwa hanya modulus nol yang sama dengan nol.

Teruskan. Bilangan-bilangan yang berlawanan mempunyai modulus yang sama, yaitu untuk sembarang bilangan a. Memang benar, dua titik pada garis koordinat yang koordinatnya merupakan bilangan-bilangan yang berlawanan, berada pada jarak yang sama dari titik asal, yang berarti modul-modul bilangan-bilangan yang berlawanan tersebut adalah sama.

Properti modul berikut adalah: Modulus hasil kali dua bilangan sama dengan hasil kali modulus bilangan-bilangan tersebut, itu adalah, . Berdasarkan definisinya, modulus hasil kali bilangan a dan b sama dengan a·b jika , atau −(a·b) jika . Dari aturan perkalian bilangan real dapat disimpulkan bahwa hasil kali modulus bilangan a dan b sama dengan a·b, , atau −(a·b) jika , yang membuktikan sifat yang dimaksud.

Modulus hasil bagi a dibagi b sama dengan hasil bagi modulus suatu bilangan dibagi modulus b, itu adalah, . Mari kita membenarkan properti modul ini. Karena hasil bagi sama dengan hasil kali, maka. Berdasarkan properti sebelumnya yang kita miliki . Yang tersisa hanyalah menggunakan persamaan, yang valid berdasarkan definisi modulus suatu bilangan.

Properti modul berikut ditulis sebagai pertidaksamaan: , a , b dan c adalah bilangan real sembarang. Ketimpangan tertulis tidak lebih dari itu pertidaksamaan segitiga. Untuk memperjelasnya, mari kita ambil titik A(a), B(b), C(c) pada garis koordinat, dan perhatikan segitiga ABC yang merosot, yang titik-titik sudutnya terletak pada garis yang sama. Menurut definisi, modulus selisihnya sama dengan panjang ruas AB, - panjang ruas AC, dan - panjang ruas CB. Karena panjang salah satu sisi suatu segitiga tidak melebihi jumlah panjang kedua sisi lainnya, maka pertidaksamaan tersebut benar , oleh karena itu, ketimpangan tersebut juga benar.

Ketimpangan yang baru saja dibuktikan lebih sering terjadi dalam bentuk ini . Pertidaksamaan tertulis biasanya dianggap sebagai sifat tersendiri dari modul dengan rumusan: “ Modulus jumlah dua bilangan tidak melebihi jumlah modulus bilangan-bilangan tersebut" Namun pertidaksamaan tersebut muncul langsung dari pertidaksamaan tersebut jika kita menempatkan −b sebagai pengganti b dan mengambil c=0.

Modulus bilangan kompleks

Mari kita memberi definisi modulus bilangan kompleks. Semoga itu diberikan kepada kita bilangan kompleks, ditulis dalam bentuk aljabar, di mana x dan y adalah beberapa bilangan real, masing-masing mewakili bagian nyata dan bagian imajiner dari suatu bilangan kompleks z, dan merupakan satuan imajiner.

Kami tidak memilih matematika profesinya, dan dia memilih kita.

Matematikawan Rusia Yu.I. Manin

Persamaan dengan modulus

Masalah yang paling sulit diselesaikan dalam matematika sekolah adalah persamaan yang mengandung variabel di bawah tanda modulus. Agar berhasil menyelesaikan persamaan tersebut, Anda perlu mengetahui definisi dan sifat dasar modul. Secara alami, siswa harus memiliki keterampilan menyelesaikan persamaan jenis ini.

Konsep dan sifat dasar

Modulus (nilai absolut) suatu bilangan real dilambangkan dengan dan didefinisikan sebagai berikut:

Properti sederhana dari sebuah modul mencakup hubungan berikut:

Catatan, bahwa dua properti terakhir berlaku untuk derajat genap apa pun.

Apalagi jika, dimana, lalu dan

Properti modul yang lebih kompleks, yang dapat digunakan secara efektif saat menyelesaikan persamaan dengan moduli, dirumuskan melalui teorema berikut:

Teorema 1.Untuk fungsi analitis apa pun Dan ketimpangan memang benar adanya

Teorema 2. Kesetaraan setara dengan ketimpangan.

Teorema 3. Persamaan sama saja dengan ketimpangan.

Mari kita lihat contoh tipikal penyelesaian masalah pada topik “Persamaan, mengandung variabel di bawah tanda modulus."

Menyelesaikan persamaan dengan modulus

Metode yang paling umum dalam matematika sekolah untuk menyelesaikan persamaan dengan modulus adalah metode, berdasarkan perluasan modul. Metode ini bersifat universal, namun, secara umum, penggunaannya dapat mengakibatkan perhitungan yang sangat rumit. Dalam hal ini, siswa harus mengetahui hal lain, metode dan teknik yang lebih efektif untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Secara khusus, perlu memiliki keterampilan dalam menerapkan teorema, diberikan dalam artikel ini.

Contoh 1. Selesaikan persamaannya. (1)

Larutan. Kita akan menyelesaikan Persamaan (1) menggunakan metode “klasik” – metode pengungkapan modul. Untuk melakukan ini, mari kita bagi sumbu bilangan titik dan menjadi beberapa interval dan pertimbangkan tiga kasus.

1. Jika , maka , , , dan persamaan (1) berbentuk . Ini mengikuti dari ini. Namun, di sini, nilai yang ditemukan bukanlah akar persamaan (1).

2. Jika, maka dari persamaan (1) kita peroleh atau .

Dari dulu akar persamaan (1).

3. Jika, maka persamaan (1) mengambil bentuk atau . Mari kita perhatikan itu.

Menjawab: , .

Saat menyelesaikan persamaan selanjutnya dengan modul, kami akan secara aktif menggunakan properti modul untuk meningkatkan efisiensi penyelesaian persamaan tersebut.

Contoh 2. Selesaikan persamaannya.

Larutan. Sejak dan maka dari persamaan berikut. Dalam kasus ini, , , dan persamaannya mengambil bentuk. Dari sini kita dapatkan. Namun , oleh karena itu persamaan aslinya tidak memiliki akar.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 3. Selesaikan persamaannya.

Larutan. Dari dulu. Jika kemudian dan persamaannya mengambil bentuk.

Dari sini kita mendapatkan.

Contoh 4. Selesaikan persamaannya.

Larutan.Mari kita tulis ulang persamaan tersebut dalam bentuk ekuivalen. (2)

Persamaan yang dihasilkan termasuk dalam persamaan tipe .

Dengan memperhatikan Teorema 2, dapat dikatakan bahwa persamaan (2) ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita mendapatkan.

Menjawab: .

Contoh 5. Selesaikan persamaannya.

Larutan. Persamaan ini memiliki bentuk. Itu sebabnya, menurut Teorema 3, di sini kita mengalami ketimpangan atau .

Contoh 6. Selesaikan persamaannya.

Larutan. Mari kita asumsikan itu. Karena , maka persamaan yang diberikan berbentuk persamaan kuadrat, (3)

Di mana . Karena persamaan (3) mempunyai akar positif tunggal kemudian . Dari sini kita mendapatkan dua akar persamaan awal: Dan .

Contoh 7. Selesaikan persamaannya. (4)

Larutan. Sejak persamaansetara dengan kombinasi dua persamaan: Dan , maka ketika menyelesaikan persamaan (4) perlu mempertimbangkan dua kasus.

1. Jika , maka atau .

Dari sini kita mendapatkan, dan.

2. Jika , maka atau .

Dari dulu.

Menjawab: , , , .

Contoh 8.Selesaikan persamaannya . (5)

Larutan. Sejak dan , lalu . Dari sini dan dari persamaan (5) berikut ini dan , yaitu. di sini kita memiliki sistem persamaan

Namun, sistem persamaan ini tidak konsisten.

Jawaban: tidak ada akar.

Contoh 9. Selesaikan persamaannya. (6)

Larutan. Jika kita menyatakan , maka dan dari persamaan (6) kita peroleh

Atau . (7)

Karena persamaan (7) berbentuk , persamaan ini ekuivalen dengan pertidaksamaan . Dari sini kita mendapatkan. Sejak , lalu atau .

Menjawab: .

Contoh 10.Selesaikan persamaannya. (8)

Larutan.Menurut Teorema 1, kita dapat menulis

(9)

Dengan memperhatikan persamaan (8), kita menyimpulkan bahwa kedua pertidaksamaan (9) berubah menjadi persamaan, yaitu. ada sistem persamaan

Namun menurut Teorema 3, sistem persamaan di atas ekuivalen dengan sistem pertidaksamaan

(10)

Memecahkan sistem pertidaksamaan (10) kita peroleh . Karena sistem pertidaksamaan (10) ekuivalen dengan persamaan (8), persamaan aslinya mempunyai akar tunggal.

Menjawab: .

Contoh 11. Selesaikan persamaannya. (11)

Larutan. Misalkan dan , maka persamaan mengikuti persamaan (11).

Ini mengikuti itu dan . Jadi, di sini kita mempunyai sistem ketidaksetaraan

Solusi untuk sistem kesenjangan ini adalah Dan .

Menjawab: , .

Contoh 12.Selesaikan persamaannya. (12)

Larutan. Persamaan (12) akan diselesaikan dengan metode perluasan modul secara berurutan. Untuk melakukan ini, mari kita pertimbangkan beberapa kasus.

1. Jika , maka .

1.1. Jika , maka dan , .

1.2. Jika kemudian. Namun , oleh karena itu, dalam hal ini persamaan (12) tidak memiliki akar.

2. Jika , maka .

2.1. Jika , maka dan , .

2.2. Jika , maka dan .

Menjawab: , , , , .

Contoh 13.Selesaikan persamaannya. (13)

Larutan. Karena ruas kiri persamaan (13) adalah non-negatif, maka . Dalam hal ini, dan persamaan (13)

mengambil bentuk atau .

Diketahui persamaan tersebut setara dengan kombinasi dua persamaan Dan , penyelesaian yang kita peroleh, . Karena , maka persamaan (13) mempunyai satu akar.

Menjawab: .

Contoh 14. Selesaikan sistem persamaan (14)

Larutan. Sejak dan , kemudian dan . Oleh karena itu, dari sistem persamaan (14) diperoleh empat sistem persamaan:

Akar-akar sistem persamaan di atas merupakan akar-akar sistem persamaan (14).

Menjawab: ,, , , , , , .

Contoh 15. Selesaikan sistem persamaan (15)

Larutan. Dari dulu. Sehubungan dengan itu, dari sistem persamaan (15) diperoleh dua sistem persamaan

Akar sistem persamaan pertama adalah dan , dan dari sistem persamaan kedua kita peroleh dan .

Menjawab: , , , .

Contoh 16. Selesaikan sistem persamaan (16)

Larutan. Dari persamaan pertama sistem (16) berikut ini .

Dari dulu . Mari kita perhatikan persamaan kedua dari sistem tersebut. Karena, Itu , dan persamaannya mengambil bentuk, , atau .

Jika Anda mengganti nilainyake dalam persamaan pertama sistem (16), lalu , atau .

Menjawab: , .

Untuk mempelajari lebih dalam tentang metode pemecahan masalah, berkaitan dengan penyelesaian persamaan, berisi variabel di bawah tanda modulus, Anda dapat merekomendasikan tutorial dari daftar literatur yang direkomendasikan.

1. Kumpulan Soal Matematika untuk Pelamar Perguruan Tinggi / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Perdamaian dan Pendidikan, 2013. – 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: tugas-tugas dengan kompleksitas yang meningkat. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 200 hal.

3. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: metode non-standar untuk memecahkan masalah. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 hal.

Masih ada pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan dari tutor, daftarlah.

situs web, ketika menyalin materi secara keseluruhan atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.