Apa itu pernyataan? Topik, tujuan dan jenis pernyataan. Ucapan terkenal

Topik 2. Pernyataan. Operasi logis pada mereka

Pernyataan sederhana - merupakan pernyataan (kalimat deklaratif) yang dapat dikatakan benar atau salah (tetapi tidak keduanya).

Setiap pernyataan merupakan sebuah kalimat dan dapat diungkapkan dengan kata-kata, namun tidak setiap kalimat merupakan pernyataan dalam pengertian matematis.

Contoh. Kalimat bukan pernyataan:

1) angka 0,00000001 sangat kecil;

2) adakah bilangan yang kuadratnya 2?

4) .

Kalimat pertama bukanlah pernyataan karena tidak mempunyai arti pasti dan kita tidak dapat mengatakan apakah itu benar atau salah; kalimat kedua berisi pertanyaan; kalimat ketiga dan keempat berisi huruf tersebut X. Dengan nilai yang sama X hasilnya adalah pernyataan yang benar, tetapi sebaliknya pernyataan itu salah.

Suatu kalimat yang tidak mungkin ditentukan secara pasti apakah benar atau salah bukanlah suatu pernyataan.

Setiap pernyataan bisa benar atau salah(hukum tengah yang dikecualikan).

Tidak ada pernyataan yang bisa benar dan salah(hukum kontradiksi).

Pernyataan yang tidak jelas

Dilambangkan dengan N himpunan semua bilangan asli. Melalui X mari kita nyatakan elemen sembarang dari himpunan N. Perhatikan kalimat berikut:

,

.

Penawaran SEBUAH(x), B(x), C(x), D(x) bukan pernyataan, karena tentang kebenaran, misalnya, Kapak) kita tidak bisa berkata apa-apa sampai kita mengetahui nomornya X. Namun, menggantikannya ke Kapak) alih-alih X bilangan asli yang berbeda, kita akan menerima pernyataan tentang bilangan asli - kadang benar, kadang salah. Misalnya:

Pernyataan yang benar;

Pernyataan yang salah.

Penawaran SEBUAH(x), B(x), C(x), D(x), berisi suatu variabel X , ditelepon pernyataan tak tentu (predikat). Jika sebaliknya X Gantikan nomornya, maka kita mendapatkan pernyataan biasa.

Pernyataan tak tentu dapat didefinisikan pada himpunan mana pun. Ini adalah pernyataan tentang beberapa elemen X himpunan yang sedang dipertimbangkan.

Seringkali kita harus mempertimbangkan pernyataan tak tentu yang tidak hanya mencakup satu, tetapi dua atau lebih variabel.

Contoh. ;

Kami tidak dapat mengatakan apa pun tentang benar atau salahnya pernyataan ini, karena... tidak kita ketahui X Dan kamu. Tetapi jika disebutkan dengan tepat apa persamaannya X Dan kamu , setiap pernyataan yang dirumuskan berubah menjadi pernyataan - untuk beberapa pasangan X Dan kamu benar, bagi yang lain - salah. Berikut adalah contoh pernyataan yang berasal dari kalimat tertentu dengan makna tertentu X Dan kamu:

- pernyataan yang benar;

- pernyataan palsu;

- pernyataan palsu;

- pernyataan palsu;

- pernyataan yang benar.

Operasi logis pada pernyataan

Pernyataan dilambangkan dengan huruf latin A, B, C, ..., artinya BENAR Dan berbohong masing-masing, melalui "I" dan "L". Pernyataan kompleks diperoleh dari pernyataan sederhana dengan menggunakan operasi logika, yang meliputi negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, kesetaraan(persamaan derajatnya) .

1. Jika A- sebuah pernyataan, kalau begitu negasi dari pernyataan A didefinisikan sebagai pernyataan yang benar jika dan hanya jika pernyataan tersebut A PALSU. Negasi suatu pernyataan A ditunjuk (atau Ø A) dan membaca " tidak a".

Operasi benar-salah penyangkalan mengungkapkan kebenaran tabel 1.1.

Tabel 1.1

A
DAN L
L DAN

Contoh. 1) ; .

2) ; .

3) ; .

4) ; .

Apapun pernyataan A, dari dua pernyataan A, A, yang satu benar dan yang lain salah.

Hukum Negasi Negasi: Dua kali tidak A benar jika dan hanya jika pernyataan A itu sendiri benar (yaitu jika A benar, maka A benar, dan jika A salah, maka A PALSU).

2. Konjungsi dua pernyataan adalah suatu pernyataan yang benar jika dan hanya jika kedua pernyataan penyusunnya benar.

Jika A, DI DALAM- pernyataan, kemudian dilambangkan dengan konjungsinya A Ù B(atau A & B) dan membaca " A Dan DI DALAM».

Konjungsi tersebut sesuai dengan tabel kebenaran 1.2.

Tabel 1.2

A DI DALAM AÙ DI DALAM
DAN DAN DAN
DAN L L
L DAN L
L L L

Contoh: Penyataan - benar, pernyataan - benar, oleh karena itu konjungsinya juga benar.

3. Disjungsi dua pernyataan adalah pernyataan yang salah jika dan hanya jika kedua pernyataan penyusunnya salah.

Jika A, DI DALAM- dua pernyataan, kemudian disjungsinya ditunjukkan A Ú DI DALAM dan membaca " A atau DI DALAM" Konjungsi “atau” di sini digunakan dalam arti menghubungkan, dan bukan dalam arti disjungtif, yaitu untuk kebenaran pernyataan tersebut. A Ú DI DALAM mungkin juga kedua pernyataan itu benar A, DI DALAM.

Operasi disjungsi sesuai dengan tabel kebenaran 1.3.

Tabel 1.3

A DI DALAM AÚ DI DALAM
DAN DAN DAN
L DAN DAN
DAN L DAN
L L L

Contoh: Penyataan - benar, pernyataan - PALSU. Lalu pernyataannya - BENAR.

4. Implikasi dari pernyataan A, B didefinisikan sebagai pernyataan yang salah jika dan hanya jika pernyataan tersebut A benar dan pernyataannya DI DALAM PALSU. Implikasi dari dua pernyataan A, DI DALAM dilambangkan dengan AÞ DI DALAM dan berbunyi “jika A, Itu DI DALAM" Penyataan A ditelepon premis implikasi , A DI DALAM - kesimpulan .

Implikasinya sesuai dengan tabel kebenaran 1.4.

Tabel 1.4

A DI DALAM AÞ DI DALAM
DAN DAN DAN
L DAN DAN
DAN L L
L L DAN

5. Kesetaraan dua pernyataan A, DI DALAM didefinisikan sebagai pernyataan yang benar jika dan hanya jika pernyataan tersebut A, DI DALAM keduanya benar atau keduanya salah. Ditunjuk A Û DI DALAM dan membaca " A saat itu dan hanya kapan DI DALAM" ("Jika A, Itu DI DALAM, dan jika DI DALAM, Itu A», « A ada syarat perlu dan cukup untuk itu DI DALAM"). Nilai ekivalensi didefinisikan pada tabel kebenaran 1.5.

Tabel 1.5

A DI DALAM AÛ DI DALAM
DAN DAN DAN
DAN L L
L DAN L
L L DAN

Contoh: Perhatikan dua pernyataan yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli:

Maka uji habis dibagi 3 dapat ditulis sebagai (suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya habis dibagi tiga).

Jika teorema dirumuskan sebagai AÞ B, lalu disebut tanda atau kondisi cukup Untuk B, Di mana A, B- beberapa pernyataan.

Ketik teorema DI DALAM Þ A ditelepon balik untuk teorema AÞ B.

Jika teorema mempunyai bentuk AÛ B, lalu disebut kriteria atau kondisi perlu dan cukup Untuk B.

Teorema jenis ini menggabungkan teorema langsung dan teorema kebalikannya.

Ketik teorema ditelepon berlawanan dengan teorema kebalikannya .

Penyataan AÞ B benar jika dan hanya jika pernyataan tersebut benar . Berdasarkan fakta ini metode pembuktian dengan kontradiksi .

Contoh: Misalkan pernyataan , a . Kemudian .

Teorema ini biasanya dinyatakan dalam bentuk berikut:

A merupakan syarat cukup bagi B.

B merupakan syarat perlu bagi A.

Syarat yang diperlukan dapat dirumuskan sebagai berikut: agar bilangan x habis dibagi 4, maka haruslah angka terakhir genap.


©2015-2019 situs
Semua hak milik penulisnya. Situs ini tidak mengklaim kepenulisan, tetapi menyediakan penggunaan gratis.
Tanggal pembuatan halaman: 25-10-2017

Subjek: Pernyataan logis dan operasi logis.

Tujuan pelajaran:

Konsep bentuk: pernyataan logika, besaran logika, operasi logika.

Siswa harus mengetahui: makna konsep: pernyataan logika, besaran logika, operasi logika.

Siswa harus mampu:

  • berikan contoh pernyataan logis;
  • sebutkan besaran logika, operasi logika.

Selama kelas

Pembelajaran disertai dengan presentasi komputer. (Aplikasi)

I. Momen organisasi

Pada pelajaran kemarin kita telah membahas tentang ilmu Logika. Kita telah mengetahui bahwa ilmu logika mempunyai beberapa bagian. Salah satu bagian - Aljabar proposisi.

Mari kita tulis judulnya: Aljabar proposisi.

II. Penjelasan materi baru

(Geser 1)

PERNYATAAN adalah kalimat deklaratif yang dapat dikatakan benar atau salah.

Misalnya:

Planet bumi tata surya. (BENAR.)

2 + 8 < 5 (PALSU.)

5 5 = 25 (BENAR.)

Setiap persegi adalah jajaran genjang. (BENAR.)

Setiap jajaran genjang adalah persegi. (PALSU.)

2 2 = 5 (PALSU.)

Tidak setiap kalimat merupakan pernyataan.

1) Tanda seru dan kalimat interogatif bukanlah pernyataan.

- “Apa warna rumah ini?”

- “Minumlah jus tomat!”

2) Definisi dan pernyataan bukanlah pernyataan.

“Mari kita sebut median sebagai ruas yang menghubungkan titik sudut suatu segitiga dengan titik tengah sisi yang berhadapan.”

Definisi tidak benar atau salah, definisi tersebut hanya mencatat penggunaan istilah yang diterima.

3) Kalimat seperti "Dia pria bermata abu-abu" atau " x- 4x + 3=0"- mereka tidak menunjukkan yang mana pria itu sedang berjalan pidato atau untuk nomor berapa X kesetaraan adalah benar. Usulan seperti itu disebut bentuk ekspresif.

Bentuk ekspresif adalah kalimat deklaratif yang secara langsung atau tidak langsung mengandung paling sedikit satu variabel dan menjadi pernyataan bila semua variabel diganti nilainya.

(Geser 2)

Dalam logika matematika, isi spesifik suatu pernyataan tidak dipertimbangkan; yang penting adalah apakah pernyataan itu benar atau salah. Itu sebabnya suatu pernyataan dapat diwakili oleh beberapa variabel yang nilainya hanya boleh 0 atau 1 . Jika pernyataannya benar, maka nilainya adalah 1, jika salah - 0.

Pernyataan sederhana disebut variabel logis dan untuk kemudahan pencatatan, mereka dilambangkan dengan huruf Latin: A, B, C...

Bulan adalah satelit Bumi. SEBUAH = 1

Moskow adalah ibu kota Jerman. B = 0

Pernyataan kompleks disebut fungsi logis . Nilai suatu fungsi logika juga hanya dapat mengambil nilai 0 atau 1.

Mari kita tulis judulnya:

OPERASI LOGIS DASAR

(Geser 3)

Dalam aljabar proposisional, seperti dalam aljabar biasa, sejumlah operasi diperkenalkan. Penghubung logis AND, OR dan NOT digantikan oleh operasi logika: konjungsi, disjungsi, dan inversi . Ini adalah operasi logika dasar yang dapat digunakan untuk menulis fungsi logika apa pun.

(Geser 4)

KAPAN AIR AKAN KELUAR DARI PIPA?

(Geser 5)

MULTIPLIKASI LOGIS

Mari kita nyatakan setiap pernyataan dengan huruf latin.

A – “Matahari bersinar hari ini.”

B – “Hari ini hujan.”

Mari terhubung menggunakan serikat pekerja DAN , kami mendapatkan pernyataan yang kompleks. Ini akan menjadi perkalian logis.

Mari kita tuliskan definisinya: Perkalian logika (konjungsi) dibentuk dengan menggabungkan dua (atau lebih) pernyataan menjadi satu dengan menggunakan konjungsi “dan”.
Mari kita buat tabel kebenaran.(Geser 6)

Sebutan: &, ^, *.

Konjungsi dalam bahasa alami: i.

Mari kita masukkan ke dalam tabel semua opsi ketika pernyataan bisa benar - 1, atau salah - 0. Sekarang mari kita lihat apa yang kita dapatkan pada akhirnya?

Mari kita pertimbangkan pilihan lain: KAPAN AIR AKAN ALIRAN DARI PIPA?

(Geser 7)

(Geser 8) PENAMBAHAN LOGIS

A – Ada Mercedes di tempat parkir.

B – Ada Zhiguli di tempat parkir.

Mari terhubung menggunakan serikat pekerja ATAU , kami mendapatkan pernyataan yang kompleks. Ini akan menjadi tambahan yang logis.

Mari kita tuliskan definisinya: Penjumlahan logis (disjungsi) dibentuk dengan menggabungkan dua (atau lebih) pernyataan menjadi satu dengan menggunakan konjungsi “atau”.

Mari kita buat tabel kebenaran. (Geser 9)

Sebutan: +, V.

Konjungsi dalam bahasa alami: atau.

(Geser 10)

Lihat betapa mudahnya mengingat disjungsi dan konjungsi.

Kata disjungsi mempunyai dua huruf I yang artinya OR, dan kata konjungsi mempunyai satu huruf I yang artinya I.

Operasi selanjutnya: NEGASI LOGIS. (Geser 11)

Mari kita kembali menyatakan setiap pernyataan dengan huruf latin.

Mari kita tuliskan definisinya: Negasi logis (inversi) dibentuk dari suatu pernyataan dengan menambahkan partikel “tidak” pada predikatnya atau menggunakan kiasan “tidak benar bahwa...”.

Mari kita buat tabel kebenaran. (Geser 12)

Sebutan : ¬.

Konjungsi dalam bahasa alami: tidak; Tidak benar bahwa...

Operasi selanjutnya: BERIKUT LOGIS. (Geser 13)

Penunjukan: →.

Konjungsi dalam bahasa alami: jika..., maka....

Mari kita tuliskan definisinya: Konsekuensi logis (implikasi) dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan menggunakan kiasan “jika…, maka…”.

Mari kita buat tabel kebenaran. (Geser 14)

AKU AKU AKU. Ringkasan pelajaran

Hari ini kita melihat pernyataan logis dan operasi logis. Adakah yang punya pertanyaan tentang topik ini?

Aljabar dalam arti luas adalah ilmu tentang operasi umum, mirip dengan penjumlahan dan perkalian, yang dapat dilakukan pada berbagai objek matematika.

Anda mempelajari banyak objek matematika (bilangan bulat dan bilangan rasional, polinomial, vektor, himpunan) di kursus sekolah aljabar, di mana Anda mengenal cabang-cabang matematika seperti aljabar bilangan, aljabar polinomial, aljabar himpunan, dll. Bagi ilmu komputer, cabang matematika yang disebut aljabar logika itu penting; objek aljabar logika adalah proposisi.

Ucapan adalah kalimat dalam bahasa apa pun yang isinya dapat ditentukan secara jelas benar atau salahnya.

Contoh:

Misalnya, mengenai kalimat “Ilmuwan besar Rusia M.V. Lomonosov lahir pada \(1711\)” dan “Dua tambah enam adalah delapan” kita dapat dengan pasti mengatakan bahwa kalimat tersebut benar. Kalimat “Burung pipit berhibernasi di musim dingin” adalah salah. Oleh karena itu, kalimat-kalimat tersebut merupakan pernyataan.

Dalam bahasa Rusia, pernyataan diungkapkan dengan kalimat deklaratif.

Perhatian!

Namun tidak semua kalimat deklaratif merupakan pernyataan.

Contoh:

Misalnya kalimat “Kalimat ini salah” bukan merupakan pernyataan karena tidak dapat dikatakan benar atau salah tanpa menimbulkan pertentangan. Memang benar, jika kita menerima bahwa kalimat tersebut benar, maka hal tersebut bertentangan dengan apa yang diucapkan. Jika kita menerima bahwa kalimat tersebut salah, maka kalimat tersebut benar.

Kalimat insentif dan interogatif bukanlah pernyataan.

Misalnya kalimat seperti: “Tuliskan pekerjaan rumah", "Bagaimana menuju ke perpustakaan?", "Siapa yang datang kepada kami?"

Pernyataan dapat dibangun dengan menggunakan tanda-tanda dari berbagai bahasa formal - matematika, fisika, kimia, dll.

Contoh pernyataannya bisa berupa:

“Na adalah logam” (pernyataan benar);

“Hukum kedua Newton dinyatakan dengan rumus \(F = ma\) (pernyataan benar);

Keliling suatu persegi panjang dengan panjang sisi \(a\) dan \(b\) sama dengan \(ab\)” (pernyataan salah).

Ekspresi numerik bukanlah pernyataan, tetapi dari dua ekspresi numerik Anda dapat membuat pernyataan dengan menghubungkannya dengan tanda sama dengan atau pertidaksamaan. Misalnya:

  • 3 + 5 = 2 ⋅ 4 (pernyataan benar);
  • “II + VI > VIII” (pernyataan salah).

Persamaan dan pertidaksamaan yang mengandung variabel juga bukan pernyataan.

Misalnya kalimat \("x< 12»\) становится высказыванием только при замене переменной каким-либо конкретным значением: \(«5 < 12»\) - истинное высказывание; \(«12 < 12»\) - ложное высказывание.

Pembenaran atas benar atau salahnya suatu pernyataan ditentukan oleh ilmu pengetahuan yang bersangkutan. Aljabar logika disarikan dari isi semantik pernyataan. Dia hanya tertarik pada apakah pernyataan yang diberikan benar atau salah. Dalam aljabar logika, pernyataan dilambangkan dengan huruf dan disebut variabel logis. Selain itu, jika pernyataannya benar, maka nilai variabel logis yang bersangkutan dilambangkan dengan satu \((A = 1)\), dan jika salah - dengan nol \((B = 0)\).

\(0\) dan \(1\), yang menunjukkan nilai variabel logis, disebut nilai-nilai logis.

Jenis pernyataan

Pernyataan logika biasanya dibagi menjadi dua jenis: pernyataan logika dasar dan pernyataan logika majemuk.

Pernyataan logis majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari pernyataan lain dengan menggunakan penghubung logis.

Ikatan logis adalah operasi logika apa pun pada suatu pernyataan. Misalnya kata dan frasa yang digunakan dalam percakapan biasa “tidak”, “dan”, “atau”, “jika… maka”, “kemudian dan hanya kemudian” adalah penghubung logis.

Pernyataan logis dasar- ini adalah pernyataan yang tidak berhubungan dengan senyawa.

Contoh: "Petrov adalah seorang dokter", "Petrov adalah seorang pemain catur" - pernyataan logis dasar. “Petrov adalah seorang dokter dan pemain catur” adalah pernyataan logika majemuk yang terdiri dari dua pernyataan dasar yang dihubungkan satu sama lain menggunakan kata penghubung “dan”.

Koneksi dengan logika matematika

Logika biasa bernilai dua, yaitu hanya memberikan dua kemungkinan arti pada pernyataan: benar atau salah.

Biarlah itu menjadi sebuah pernyataan. Jika benar maka tulislah , jika salah maka tulislah .

Operasi dasar pada pernyataan logis

Penyangkalan pernyataan logis - pernyataan logis yang bernilai “benar” jika pernyataan aslinya salah, dan sebaliknya.

Konjungsi dua pernyataan logis - pernyataan logis yang benar hanya jika keduanya benar secara bersamaan.

Pemisahan dua pernyataan logis - pernyataan logis yang benar hanya jika setidaknya salah satunya benar.

Implikasi dua pernyataan logis A dan B - pernyataan logis yang salah hanya jika B salah dan A benar.

Persamaan derajatnya(kesetaraan) dua pernyataan logis - pernyataan logis yang benar hanya jika keduanya benar atau salah.

Pembilang keuniversalan() adalah pernyataan logis yang benar hanya jika untuk setiap objek x dari suatu populasi tertentu pernyataan A(x) benar.

Pembilang pernyataan logis dengan pembilang adanya() adalah pernyataan logis yang benar hanya jika dalam suatu himpunan terdapat objek x sehingga pernyataan A(x) benar.

Lihat juga

  • Penyataan

Catatan

literatur

  • Karpenko, A.S. Penelitian modern dalam logika filosofis // Penelitian Logis. Jil. 10. - M.: Nauka, 2003. ISBN 5-02-006257-X - Hal.61-93.
  • Kripke, S.A. Wittgenstein tentang aturan dan bahasa individu / Trans. V.A.Ladova, V.A.Surovtseva. Secara umum ed. V.A.Surovtseva. - Tomsk: Rumah penerbitan Tom. Universitas, 2005. - 152 hal. - (Perpustakaan Filsafat Analitik). ISBN 5-7511-1906-1
  • Kurbatov, V.I. Logika. Kursus sistematis. -Rostov n/d: Phoenix, 2001. - 512 hal. ISBN 5-222-01850-4
  • Schumann, A.N. Logika modern: teori dan praktik. - Minsk: Econompress, 2004. - 416 hal. ISBN 985-6479-35-5
  • Makarova, N.V. Ilmu Komputer dan TIK. - St.Petersburg: Peter Press, 2007 ISBN 978-5-91180-198-4 - Hal.343-345.
  • Kondakov N.I. Kamus logika / Gorsky D.P. - M.: Nauka, 1971. - 656 hal.

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu “Pernyataan (logika)” di kamus lain:

    Proposisi: Pernyataan (logika) adalah kalimat yang bisa benar atau salah. Tuturan (linguistik) adalah kalimat dalam situasi tutur tertentu. Lihat juga Penghakiman... Wikipedia

    - (dari kata logos Yunani, konsep, penalaran, alasan), atau Logika formal, ilmu tentang hukum dan cara berpikir yang benar. Menurut prinsip dasar L., kebenaran penalaran (kesimpulan) hanya ditentukan oleh bentuk logisnya, atau... ... Ensiklopedia Filsafat

    Cabang logika yang mempelajari hubungan kebenaran antar pernyataan. Dalam kerangka bagian ini, pernyataan (proposisi, kalimat) hanya dilihat dari sudut pandang. kebenaran atau kepalsuan mereka, terlepas dari subjektivitas internal mereka... Ensiklopedia Filsafat

    logika proposisional- LOGIKA PERNYATAAN, logika proposisional merupakan bagian dari logika simbolik yang mempelajari pernyataan-pernyataan kompleks yang dibentuk dari pernyataan-pernyataan sederhana dan hubungannya. Berbeda dengan logika predikat, pernyataan sederhana bertindak sebagai... ... Ensiklopedia Epistemologi dan Filsafat Ilmu Pengetahuan

    Kalimat deklaratif yang benar secara tata bahasa beserta makna yang diungkapkannya. Dalam logika digunakan beberapa konsep logika yang berbeda secara signifikan satu sama lain. Pertama-tama, ini adalah konsep deskriptif, atau deskriptif,... ... Ensiklopedia Filsafat

    Logika Burrows Abadi Needham atau logika BAN adalah logika formal model logika untuk analisis pengetahuan dan kepercayaan, banyak digunakan dalam analisis protokol... ... Wikipedia

    Bagian sentral dari logika, yang mempelajari struktur predikat subjektif dari pernyataan dan hubungan kebenaran di antara mereka. L.p. mewakili perluasan yang berarti dari logika proposisional. Dalam kerangka bagian ini, pernyataan apa pun... ... Ensiklopedia Filsafat

    Atau Logika Ilmu, penerapan ide, metode dan perangkat logika dalam analisis pengetahuan ilmiah. Perkembangan logika selalu erat kaitannya dengan praktik pemikiran teoritis dan terutama dengan perkembangan ilmu pengetahuan. Penalaran konkrit memberikan logika dengan materi... Ensiklopedia Filsafat

Logika proposisional , juga disebut logika proposisional, adalah cabang matematika dan logika yang mempelajari bentuk logis dari pernyataan kompleks yang dibangun dari pernyataan sederhana atau dasar dengan menggunakan operasi logika.

Logika proposisional mengabstraksi isi pernyataan dan mempelajari nilai kebenarannya, yaitu benar atau salahnya pernyataan tersebut.

Gambar di atas merupakan ilustrasi fenomena yang dikenal dengan nama Paradoks Pembohong. Pada saat yang sama, menurut penulis proyek, paradoks semacam itu hanya mungkin terjadi di lingkungan yang tidak lepas dari masalah politik, di mana seseorang secara apriori dapat dicap sebagai pembohong. Di dunia alami yang berlapis-lapis subjek “benar” atau “salah” hanya pernyataan individual yang dievaluasi . Dan nanti dalam pelajaran ini Anda akan diperkenalkan kesempatan untuk mengevaluasi sendiri banyak pernyataan tentang hal ini (dan kemudian lihat jawaban yang benar). Termasuk pernyataan kompleks di mana pernyataan yang lebih sederhana dihubungkan oleh tanda-tanda operasi logis. Namun pertama-tama, mari kita pertimbangkan operasi pada pernyataan itu sendiri.

Logika proposisional digunakan dalam ilmu komputer dan pemrograman dalam bentuk mendeklarasikan variabel logika dan memberinya nilai logika "salah" atau "benar", yang menjadi sandaran jalannya eksekusi program selanjutnya. Dalam program kecil di mana hanya satu variabel boolean yang terlibat, variabel boolean sering diberi nama seperti "flag" dan artinya adalah "flag is up" ketika nilai variabelnya adalah "true" dan "flag is down." , ketika nilai variabel ini adalah "salah". Dalam program berukuran besar yang didalamnya terdapat beberapa atau bahkan banyak variabel logika, para profesional diharuskan untuk memberikan nama-nama variabel logika yang mempunyai bentuk pernyataan dan makna semantik yang membedakannya dengan variabel logika lainnya dan dapat dimengerti oleh profesional lain yang akan membaca teks program ini.

Dengan demikian, variabel logika dengan nama “UserRegistered” (atau analognya dalam bahasa Inggris) dapat dideklarasikan dalam bentuk pernyataan, yang dapat diberi nilai logika “true” jika kondisi terpenuhi bahwa data registrasi telah dikirim. oleh pengguna dan data ini diakui valid oleh program. Dalam perhitungan selanjutnya, nilai variabel dapat berubah tergantung pada nilai logika (benar atau salah) dari variabel UserRegistered. Dalam kasus lain, sebuah variabel, misalnya, dengan nama “Lebih dari Tiga Hari Tersisa Sebelum Hari”, dapat diberi nilai “Benar” sebelum blok perhitungan tertentu, dan selama eksekusi program lebih lanjut, nilai ini dapat menjadi disimpan atau diubah menjadi "false" dan kemajuan eksekusi selanjutnya bergantung pada nilai program variabel ini.

Jika suatu program menggunakan beberapa variabel logika, yang namanya berbentuk pernyataan, dan pernyataan yang lebih kompleks dibangun darinya, maka akan lebih mudah untuk mengembangkan program jika, sebelum mengembangkannya, kita menuliskan semua operasi dari pernyataan tersebut. dalam bentuk rumus-rumus yang digunakan dalam logika pernyataan daripada yang kita lakukan selama Pelajaran inilah yang akan kita lakukan.

Operasi logis pada pernyataan

Untuk pernyataan matematis seseorang selalu dapat membuat pilihan antara dua alternatif yang berbeda, “benar” dan “salah”, namun untuk pernyataan yang dibuat dalam bahasa “verbal”, konsep “benar” dan “salah” agak lebih kabur. Namun, misalnya, bentuk verbal seperti “Pulanglah” dan “Apakah hujan?” bukanlah pernyataan. Oleh karena itu jelas bahwa pernyataan adalah bentuk verbal yang menyatakan sesuatu . Kalimat interogatif atau seruan, imbauan, serta keinginan atau tuntutan bukanlah pernyataan. Mereka tidak dapat dievaluasi dengan nilai "benar" dan "salah".

Sebaliknya, pernyataan dapat dianggap sebagai besaran yang mempunyai dua arti: “benar” dan “salah”.

Misalnya, penilaian berikut diberikan: “anjing adalah binatang”, “Paris adalah ibu kota Italia”, “3

Pernyataan pertama dapat diberi simbol “benar”, pernyataan kedua dengan “salah”, pernyataan ketiga dengan “benar”, dan pernyataan keempat dengan “salah”. Penafsiran pernyataan ini merupakan pokok bahasan aljabar proposisional. Kami akan menunjukkan pernyataan dengan huruf kapital A, B, ..., dan artinya, masing-masing benar dan salah DAN Dan L. Dalam tuturan biasa digunakan hubungan antara pernyataan “dan”, “atau” dan lain-lain.

Koneksi ini memungkinkan, dengan menghubungkan pernyataan yang berbeda satu sama lain, untuk membentuk pernyataan baru - pernyataan yang kompleks . Misalnya, kata penghubung "dan". Biarkan pernyataan diberikan: " π lebih dari 3" dan pernyataan " π kurang dari 4". Anda dapat mengatur pernyataan baru yang kompleks " π lebih dari 3 dan π kurang dari 4". Pernyataan "jika π tidak rasional kalau begitu π ² juga irasional" diperoleh dengan menghubungkan dua pernyataan dengan kata penghubung "jika - maka". Akhirnya, kita dapat memperoleh pernyataan baru dari pernyataan apa pun - pernyataan kompleks - dengan menyangkal pernyataan asli.

Menganggap pernyataan sebagai besaran yang mempunyai makna DAN Dan L, kami akan mendefinisikan lebih lanjut operasi logis pada pernyataan , yang memungkinkan kita memperoleh pernyataan kompleks baru dari pernyataan ini.

Biarkan dua pernyataan sewenang-wenang diberikan A Dan B.

1 . Operasi logis pertama pada pernyataan ini - konjungsi - mewakili pembentukan pernyataan baru, yang akan kami tunjukkan A ∧ B dan mana yang benar jika dan hanya jika A Dan B benar. Dalam percakapan biasa, operasi ini berhubungan dengan hubungan pernyataan dengan kata penghubung “dan”.

Tabel kebenaran konjungsi:

A B A ∧ B
DANDANDAN
DANLL
LDANL
LLL

2 . Operasi logis kedua pada pernyataan A Dan B- disjungsi dinyatakan sebagai A ∨ B, didefinisikan sebagai berikut: benar jika dan hanya jika setidaknya salah satu pernyataan awal benar. Dalam pidato biasa, operasi ini berhubungan dengan menghubungkan pernyataan dengan kata penghubung “atau”. Namun, di sini kita memiliki kata “atau” yang tidak dapat dipisahkan, yang dipahami dalam arti “salah satu atau” kapan A Dan B keduanya tidak mungkin benar. Dalam mendefinisikan logika proposisional A ∨ B benar keduanya jika hanya salah satu pernyataan yang benar, dan jika kedua pernyataan benar A Dan B.

Tabel kebenaran disjungsi:

A B A ∨ B
DANDANDAN
DANLDAN
LDANDAN
LLL

3 . Operasi logis ketiga pada pernyataan A Dan B, diekspresikan sebagai A → B; pernyataan yang diperoleh salah jika dan hanya jika A benar, tapi B PALSU. A ditelepon melalui parsel , B - konsekuensi , dan pernyataannya A → B - mengikuti , juga disebut implikasi. Dalam percakapan biasa, operasi ini berkaitan dengan kata penghubung “jika-maka”: “jika A, Itu B". Namun dalam definisi logika proposisional, pernyataan ini selalu benar terlepas dari apakah pernyataan tersebut benar atau salah B. Keadaan ini dapat dirumuskan secara singkat sebagai berikut: “segala sesuatu mengikuti dari yang salah.” Pada gilirannya, jika A benar, tapi B salah, maka seluruh pernyataannya A → B PALSU. Hal ini akan menjadi kenyataan jika dan hanya jika A, Dan B benar. Secara singkat hal ini dapat dirumuskan sebagai berikut: “kepalsuan tidak bisa mengikuti dari yang benar.”

Tabel kebenaran yang harus diikuti (implikasi):

A B A → B
DANDANDAN
DANLL
LDANDAN
LLDAN

4 . Operasi logika keempat pada pernyataan, lebih tepatnya pada satu pernyataan, disebut negasi suatu pernyataan A dan dilambangkan dengan ~ A(Anda juga dapat menemukan penggunaan bukan simbol ~, tetapi simbol ¬, serta garis berlebih di atas A). ~ A ada pernyataan yang salah kapan A benar, dan benar kapan A PALSU.

Tabel kebenaran negasi:

A ~ A
LDAN
DANL

5 . Dan terakhir, operasi logika kelima pada pernyataan disebut kesetaraan dan dilambangkan A ↔ B. Pernyataan yang dihasilkan A ↔ B suatu pernyataan benar jika dan hanya jika A Dan B keduanya benar atau keduanya salah.

Tabel kebenaran kesetaraan:

A B A → B B → A A ↔ B
DANDANDANDANDAN
DANLLDANL
LDANDANLL
LLDANDANDAN

Sebagian besar bahasa pemrograman memiliki simbol khusus untuk menunjukkan makna logis dari pernyataan; mereka ditulis di hampir semua bahasa sebagai benar dan salah.

Mari kita rangkum hal di atas. Logika proposisional mempelajari hubungan yang sepenuhnya ditentukan oleh cara beberapa pernyataan dibangun dari pernyataan lain, yang disebut dasar. Dalam hal ini pernyataan-pernyataan dasar dianggap sebagai suatu kesatuan dan tidak dapat diuraikan lagi menjadi bagian-bagian.

Mari kita sistematiskan dalam tabel di bawah nama, notasi, dan arti operasi logika pada pernyataan (kita akan segera membutuhkannya lagi untuk menyelesaikan contoh).

BundelPenamaanNama operasi
Bukan penyangkalan
Dan konjungsi
atau pemisahan
jika kemudian... implikasi
saat itu dan hanya saat itu persamaan derajatnya

Benar untuk operasi logis hukum logika aljabar, yang dapat digunakan untuk menyederhanakan ekspresi Boolean. Perlu dicatat bahwa dalam logika proposisional seseorang mengabstraksi isi semantik suatu pernyataan dan membatasi dirinya untuk mempertimbangkannya dari posisi apakah pernyataan tersebut benar atau salah.

Contoh 1.

1) (2 = 2) DAN (7 = 7) ;

2) Tidak(15;

3) ("Pinus" = "Ek") ATAU ("Ceri" = "Maple");

4) Bukan("Pinus" = "Ek") ;

5) (Tidak(15 20) ;

6) (“Mata diberikan untuk melihat”) Dan (“Di bawah lantai tiga ada lantai dua”);

7) (6/2 = 3) ATAU (7*5 = 20) .

1) Arti pernyataan dalam tanda kurung pertama adalah “benar”, arti pernyataan dalam tanda kurung kedua juga benar. Kedua pernyataan tersebut dihubungkan dengan operasi logika “DAN” (lihat aturan operasi ini di atas), oleh karena itu nilai logika dari keseluruhan pernyataan ini adalah “benar”.

2) Arti pernyataan dalam tanda kurung adalah “salah”. Sebelum pernyataan ini terdapat operasi logika negasi, oleh karena itu makna logis dari keseluruhan pernyataan ini adalah “benar”.

3) Arti pernyataan dalam tanda kurung pertama adalah “salah”, arti pernyataan dalam tanda kurung kedua juga “salah”. Pernyataan dihubungkan dengan operasi logika "ATAU" dan tidak ada satupun pernyataan yang bernilai "benar". Oleh karena itu, arti logis dari keseluruhan pernyataan ini adalah “salah.”

4) Arti pernyataan dalam tanda kurung adalah “salah”. Pernyataan ini diawali dengan operasi logika negasi. Oleh karena itu, arti logis dari keseluruhan pernyataan ini adalah “benar”.

5) Pernyataan di dalam kurung dalam dinegasikan di dalam kurung pertama. Pernyataan dalam tanda kurung dalam ini mempunyai arti "salah", oleh karena itu negasinya mempunyai arti logis "benar". Pernyataan dalam tanda kurung kedua berarti “salah”. Kedua pernyataan ini dihubungkan dengan operasi logika “DAN”, yaitu diperoleh “benar DAN salah”. Oleh karena itu, arti logis dari keseluruhan pernyataan ini adalah “salah.”

6) Arti pernyataan dalam tanda kurung pertama adalah “benar”, arti pernyataan dalam tanda kurung kedua juga “benar”. Kedua pernyataan ini dihubungkan dengan operasi logika “DAN”, yaitu diperoleh “benar DAN kebenaran”. Oleh karena itu, arti logis dari keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah “benar”.

7) Yang dimaksud dengan pernyataan dalam tanda kurung pertama adalah “benar”. Yang dimaksud dengan pernyataan dalam tanda kurung kedua adalah “salah”. Kedua pernyataan ini dihubungkan dengan operasi logika “OR”, yaitu “benar ATAU salah”. Oleh karena itu, arti logis dari keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah “benar”.

Contoh 2. Tulislah pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logika:

1) "Pengguna tidak terdaftar";

2) “Hari ini adalah hari Minggu dan beberapa karyawan sedang bekerja”;

3) “Pengguna terdaftar jika dan hanya jika data yang dikirimkan oleh pengguna dianggap sah.”

1) P- pernyataan tunggal "Pengguna terdaftar", operasi logis: ;

2) P- pernyataan tunggal “Hari ini hari Minggu”, Q- "Beberapa karyawan sedang bekerja", operasi logis: ;

3) P- pernyataan tunggal "Pengguna terdaftar", Q- "Data yang dikirim oleh pengguna ditemukan valid", operasi logis: .

Pecahkan sendiri contoh logika proposisional, lalu lihat solusinya

Contoh 3. Hitunglah nilai logika dari pernyataan berikut:

1) (“Ada 70 detik dalam satu menit”) ATAU (“Jam yang berjalan menunjukkan waktu”);

2) (28 > 7) DAN (300/5 = 60) ;

3) (“TV adalah peralatan listrik”) DAN (“Kaca adalah kayu”);

4) Not((300 > 100) OR ("Anda bisa menghilangkan dahaga dengan air"));

5) (75 < 81) → (88 = 88) .

Contoh 4. Tuliskan pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logika dan hitung nilai logikanya:

1) “Jika jam menunjukkan waktu yang salah, Anda mungkin tiba di kelas pada waktu yang salah”;

2) “Di cermin Anda dapat melihat bayangan Anda dan Paris, ibu kota Amerika Serikat”;

Contoh 5. Tentukan Nilai Boolean suatu Ekspresi

(P → Q) ↔ (R → S) ,

P = "278 > 5" ,

Q= "Apel = Jeruk",

P = "0 = 9" ,

S= "Topi menutupi kepala".

Rumus logika proposisional

Konsep bentuk logis dari pernyataan kompleks diperjelas dengan menggunakan konsep rumus logika proposisional .

Pada contoh 1 dan 2 kita belajar menulis pernyataan kompleks menggunakan operasi logika. Sebenarnya disebut rumus logika proposisional.

Untuk menunjukkan pernyataan, seperti pada contoh yang disebutkan, kami akan terus menggunakan huruf

P, Q, R, ..., P 1 , Q 1 , R 1 , ...

Huruf-huruf ini akan berperan sebagai variabel yang mengambil nilai kebenaran “benar” dan “salah” sebagai nilai. Variabel-variabel ini disebut juga variabel proposisional. Kami selanjutnya akan menghubungi mereka rumus dasar atau atom .

Untuk menyusun rumus logika proposisional, selain huruf-huruf yang disebutkan di atas, digunakan tanda-tanda operasi logika

~, ∧, ∨, →, ↔,

serta simbol yang memberikan kemungkinan pembacaan rumus yang jelas - tanda kurung kiri dan kanan.

Konsep rumus logika proposisional mari kita definisikan sebagai berikut:

1) rumus dasar (atom) adalah rumus logika proposisional;

2) jika A Dan B- rumus logika proposisional, lalu ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) juga merupakan rumus logika proposisional;

3) hanya ekspresi tersebut yang merupakan rumus logika proposisional yang mengikuti dari 1) dan 2).

Pengertian rumus logika proposisi memuat daftar aturan-aturan pembentukan rumus tersebut. Menurut definisinya, setiap rumus logika proposisional adalah atom atau terbentuk dari atom sebagai hasil penerapan aturan 2 secara konsisten).

Contoh 6. Membiarkan P- pernyataan tunggal (atom) “Semua bilangan rasional adalah real”, Q- "Beberapa bilangan real adalah bilangan rasional" R- "beberapa bilangan rasional adalah nyata." Terjemahkan rumus logika proposisional berikut ke dalam bentuk pernyataan verbal:

6) .

1) "tidak bilangan real, yang rasional";

2) “jika tidak semua bilangan rasional real, maka tidak ada bilangan rasional yang real”;

3) “jika semua bilangan rasional adalah real, maka sebagian bilangan real adalah bilangan rasional dan sebagian bilangan rasional adalah real”;

4) “semua bilangan real adalah bilangan rasional dan sebagian bilangan real adalah bilangan rasional dan sebagian bilangan rasional adalah bilangan real”;

5) “semua bilangan rasional adalah real jika dan hanya jika tidak semua bilangan rasional adalah real”;

6) “bukan berarti tidak semua bilangan rasional itu real dan tidak ada bilangan real yang rasional atau tidak ada bilangan rasional yang real.”

Contoh 7. Buatlah tabel kebenaran rumus logika proposisional , yang dalam tabel dapat ditunjuk F .

Larutan. Kita mulai menyusun tabel kebenaran dengan mencatat nilai (“benar” atau “salah”) untuk pernyataan tunggal (atom) P , Q Dan R. Semua nilai yang mungkin ditulis dalam delapan baris tabel. Selanjutnya, ketika menentukan nilai operasi implikasi dan bergerak ke kanan dalam tabel, kita ingat bahwa nilainya sama dengan “salah” ketika “salah” berasal dari “benar”.

P Q R F
DANDANDANDANDANDANDANDAN
DANDANLDANDANDANLDAN
DANLDANDANLLLL
DANLLDANLLDANDAN
LDANDANLDANLDANDAN
LDANLLDANLDANL
LLDANDANDANDANDANDAN
LLLDANDANDANLDAN

Perhatikan bahwa tidak ada atom yang memiliki bentuk ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) . Rumus kompleks memiliki tipe ini.

Jumlah tanda kurung dalam rumus logika proposisional dapat dikurangi jika kita menerimanya

1) dalam rumus kompleks kita akan menghilangkan pasangan tanda kurung terluar;

2) mari kita susun tanda-tanda operasi logika “dalam urutan prioritas”:

↔, →, ∨, ∧, ~ .

Dalam daftar ini, tanda ↔ memiliki cakupan terbesar dan tanda ~ memiliki cakupan terkecil. Ruang lingkup suatu tanda operasi mengacu pada bagian-bagian rumus logika proposisional di mana kemunculan tanda tersebut diterapkan (yang menjadi tempat kerjanya). Oleh karena itu, dalam rumus apa pun, pasangan tanda kurung yang dapat dipulihkan dapat dihilangkan, dengan mempertimbangkan “urutan prioritas”. Dan saat memulihkan tanda kurung, pertama-tama ditempatkan semua tanda kurung yang terkait dengan semua kemunculan tanda ~ (kita gerakkan dari kiri ke kanan), lalu ke semua kemunculan tanda ∧, dan seterusnya.

Contoh 8. Mengembalikan tanda kurung pada rumus logika proposisional B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .

Larutan. Tanda kurung dipulihkan langkah demi langkah sebagai berikut:

B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A

B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)

B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))

(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))

Tidak semua rumus logika proposisional dapat ditulis tanpa tanda kurung. Misalnya saja pada rumus A → (B → C) dan ~( A → B) pengecualian tanda kurung lebih lanjut tidak dimungkinkan.

Tautologi dan kontradiksi

Tautologi logika (atau sederhananya tautologi) adalah rumus logika proposisional sehingga jika huruf-huruf diganti dengan pernyataan (benar atau salah), hasilnya akan selalu berupa pernyataan benar.

Karena benar atau salahnya pernyataan kompleks hanya bergantung pada maknanya, dan bukan pada isi pernyataan, yang masing-masing sesuai dengan huruf tertentu, maka pemeriksaan apakah suatu pernyataan merupakan tautologi dapat dilakukan dengan cara berikut. Dalam ekspresi yang diteliti, nilai 1 dan 0 (masing-masing "benar" dan "salah") diganti dengan huruf dengan semua cara yang mungkin, dan nilai logika dari ekspresi dihitung menggunakan operasi logika. Jika semua nilai tersebut sama dengan 1, maka ekspresi yang diteliti adalah tautologi, dan jika setidaknya satu substitusi menghasilkan 0, maka itu bukan tautologi.

Jadi, rumus logika proposisional yang mengambil nilai “benar” untuk setiap distribusi nilai atom yang termasuk dalam rumus ini disebut identik dengan rumus sebenarnya atau ulangan yg tdk berguna .

Arti sebaliknya adalah kontradiksi logis. Jika semua nilai pernyataan sama dengan 0, maka ekspresi tersebut merupakan kontradiksi logis.

Jadi, rumus logika proposisional yang mengambil nilai “salah” untuk setiap distribusi nilai atom yang termasuk dalam rumus ini disebut rumus yang sama salahnya atau kontradiksi .

Selain tautologi dan kontradiksi logika, terdapat rumusan logika proposisional yang bukan merupakan tautologi dan kontradiksi.

Contoh 9. Buatlah tabel kebenaran rumus logika proposisional dan tentukan apakah rumus tersebut merupakan tautologi, kontradiksi, atau bukan keduanya.

Larutan. Mari kita buat tabel kebenaran:

DANDANDANDANDAN
DANLLLDAN
LDANLDANDAN
LLLLDAN

Dalam makna implikasinya kita tidak menemukan garis yang “benar” mengandung arti “salah”. Semua nilai pernyataan asli sama dengan "benar". Oleh karena itu, rumus logika proposisional ini merupakan tautologi.

Membagikan: