rumah » Gaya dan mode » Apa turunan dari argumen tersebut? Definisi turunan

Apa turunan dari argumen tersebut? Definisi turunan

Kapan seseorang mengambil langkah mandiri pertamanya dalam belajar analisis matematis dan mulai mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang tidak nyaman, tidak lagi mudah untuk lolos dari ungkapan bahwa “kalkulus diferensial ditemukan dalam kubis”. Oleh karena itu, telah tiba waktunya untuk menentukan dan mengungkap rahasia kelahiran tersebut tabel turunan dan aturan diferensiasi. Dimulai di artikel tentang pengertian turunan, yang sangat saya rekomendasikan untuk dipelajari, karena di sana kita baru saja melihat konsep turunan dan mulai mengklik soal pada topik tersebut. Pelajaran yang sama ini memiliki orientasi praktis yang nyata, terlebih lagi,

contoh-contoh yang dibahas di bawah ini pada prinsipnya dapat dikuasai secara formal saja (misalnya, ketika tidak ada waktu/keinginan untuk mendalami esensi turunan). Juga sangat diinginkan (tetapi sekali lagi tidak perlu) untuk dapat menemukan turunan menggunakan metode “biasa” - setidaknya pada tingkat dua pelajaran dasar: Bagaimana cara mencari turunannya? dan Turunan dari fungsi kompleks.

Tapi ada satu hal yang kita tidak bisa lakukan tanpanya sekarang, yaitu batas fungsi. Anda harus MEMAHAMI apa itu batasan dan mampu menyelesaikannya setidaknya pada level rata-rata. Dan semua itu karena turunannya

fungsi di suatu titik ditentukan dengan rumus:

Izinkan saya mengingatkan Anda tentang sebutan dan istilah: mereka memanggil peningkatan argumen;

– peningkatan fungsi;

- Ini simbol UNITED(“delta” tidak dapat “dipisahkan” dari “X” atau “Y”).

Jelasnya, yang dimaksud dengan variabel “dinamis” adalah konstanta dan hasil perhitungan limitnya - nomor (terkadang - "plus" atau "minus" tak terhingga).

Intinya, Anda dapat mempertimbangkan nilai APAPUN yang dimilikinya domain definisi fungsi yang mempunyai turunan.

Catatan: klausa "di mana turunannya ada" adalah secara umum hal ini penting! Jadi, misalnya titik meskipun termasuk dalam domain definisi fungsi, namun turunannya

Tidak ada di sana. Oleh karena itu rumusnya

Tidak berlaku pada saat itu

dan formulasi yang dipersingkat tanpa syarat akan salah. Fakta serupa juga berlaku untuk fungsi lain yang grafiknya “putus”, khususnya untuk arcsinus dan arccosine.

Jadi, setelah mengganti , kita mendapatkan rumus kerja kedua:

Perhatikan keadaan berbahaya yang dapat membingungkan teko: dalam batas ini, “x”, karena merupakan variabel independen, berperan sebagai statistik, dan “dinamika” kembali ditentukan oleh kenaikan. Hasil penghitungan limit

adalah fungsi turunan.

Berdasarkan uraian di atas, kami merumuskan kondisi untuk dua masalah umum:

- Menemukan turunan pada suatu titik, menggunakan definisi turunan.

- Menemukan fungsi turunan, menggunakan definisi turunan. Versi ini, menurut pengamatan saya, jauh lebih umum dan akan mendapat perhatian utama.

Perbedaan mendasar antara tugas-tugas ini adalah bahwa dalam kasus pertama Anda perlu menemukan nomornya (opsional, tak terbatas), dan yang kedua –

fungsi Selain itu, turunannya mungkin tidak ada sama sekali.

Bagaimana ?

Buat rasio dan hitung batasnya.

Dari mana asalnya? tabel turunan dan aturan diferensiasi ? Berkat satu-satunya batasan

Sepertinya ajaib, tapi

pada kenyataannya - sulap dan tidak ada penipuan. Di pelajaran Apa itu turunan? Saya mulai melihat contoh spesifik di mana, dengan menggunakan definisi tersebut, saya menemukan turunan dari linier dan fungsi kuadrat. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu tabel turunan, mengasah algoritma dan solusi teknis:

Intinya, Anda perlu membuktikannya kasus spesial turunan dari fungsi pangkat, yang biasanya muncul pada tabel: .

Solusinya secara teknis diformalkan dalam dua cara. Mari kita mulai dengan pendekatan pertama yang sudah familiar: tangga dimulai dengan papan, dan turunan fungsi dimulai dengan turunan di suatu titik.

Pertimbangkan beberapa poin (spesifik) yang menjadi miliknya domain definisi fungsi yang mempunyai turunan. Mari kita atur kenaikannya pada saat ini (tentu saja, dalam ruang lingkup o/o -ya) dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita hitung batasnya:

Ketidakpastian 0:0 dihilangkan dengan teknik standar, yang dikembangkan pada abad pertama SM. Mari kita perbanyak

pembilang dan penyebut ekspresi konjugasinya :

Teknik penyelesaian limit tersebut dibahas secara rinci dalam pelajaran pendahuluan. tentang batasan fungsi.

Karena Anda dapat memilih titik APAPUN dalam interval sebagai

Kemudian, setelah melakukan penggantian, kita mendapatkan:

Sekali lagi mari kita bergembira dengan logaritma:

Temukan turunan suatu fungsi menggunakan definisi turunan

Solusi: Mari pertimbangkan pendekatan berbeda untuk mempromosikan tugas yang sama. Persis sama, tetapi lebih rasional dari segi desain. Idenya adalah untuk menyingkirkan

subskrip dan gunakan huruf sebagai pengganti huruf.

Pertimbangkan suatu titik sembarang milik domain definisi fungsi (interval) dan atur kenaikan di dalamnya. Tapi di sini, omong-omong, seperti dalam kebanyakan kasus, Anda dapat melakukannya tanpa syarat apa pun, karena fungsi logaritmik dapat dibedakan pada titik mana pun dalam domain definisi.

Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mari kita cari turunannya:

Kesederhanaan desain diimbangi dengan kebingungan yang ada

terjadi di kalangan pemula (dan tidak hanya). Lagi pula, kita terbiasa dengan kenyataan bahwa huruf "X" berubah batasnya! Tapi di sini semuanya berbeda: - patung antik, dan - pengunjung yang masih hidup, berjalan cepat di sepanjang koridor museum. Artinya, “x” adalah “seperti sebuah konstanta.”

Saya akan mengomentari penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Menggunakan properti logaritma.

(2) Dalam tanda kurung, bagilah pembilang dengan penyebut suku demi suku.

(3) Pada penyebutnya, kita mengalikan dan membagi secara artifisial dengan “x” sehingga

manfaatkan batas luar biasa ini , sementara sebagai kecil sekali menonjol.

Jawaban: menurut definisi turunan:

Atau singkatnya:

Saya mengusulkan untuk membuat sendiri dua rumus tabel lagi:

Temukan turunan menurut definisi

DI DALAM pada kasus ini akan lebih mudah untuk segera mengurangi kenaikan yang dikompilasi ke penyebut yang sama. Contoh contoh tugas di akhir pelajaran (metode pertama).

Temukan turunan menurut definisi

Dan di sini semuanya harus direduksi hingga batas yang luar biasa. Solusinya diformalkan dengan cara kedua.

Sejumlah lainnya turunan tabel. Daftar lengkap dapat ditemukan di buku pelajaran sekolah, atau, misalnya, Fichtenholtz jilid pertama. Saya tidak melihat ada gunanya menyalin bukti aturan diferensiasi dari buku - mereka juga dibuat

rumus

Mari kita beralih ke tugas yang sebenarnya dihadapi: Contoh 5

Temukan turunan suatu fungsi , menggunakan definisi turunan

Solusi: gunakan gaya desain pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa poin milik , dan tentukan kenaikan argumennya. Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mungkin sebagian pembaca belum sepenuhnya memahami prinsip perlunya melakukan peningkatan. Ambil sebuah titik (angka) dan temukan nilai fungsi di dalamnya: , yaitu, ke dalam fungsi

alih-alih "x" Anda harus menggantinya. Sekarang mari kita ambil

Peningkatan fungsi yang dikompilasi Akan bermanfaat jika kita segera menyederhanakannya. Untuk apa? Memfasilitasi dan mempersingkat solusi hingga batas yang lebih jauh.

Kami menggunakan rumus, membuka tanda kurung dan mengurangi semua yang dapat dikurangi:

Kalkunnya dikupas, tidak ada masalah dengan daging panggangnya:

Pada akhirnya:

Karena Anda dapat memilih kualitas apa pun bilangan real, lalu kita lakukan penggantian dan dapatkan .

Menjawab : a-priori.

Untuk keperluan verifikasi, mari kita cari turunannya menggunakan aturan

diferensiasi dan tabel:

Mengetahui jawaban yang benar selalu berguna dan menyenangkan terlebih dahulu, jadi lebih baik membedakan fungsi yang diusulkan dengan cara yang "cepat", baik secara mental atau dalam konsep, di awal solusi.

Temukan turunan suatu fungsi menurut definisi turunan

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Hasilnya jelas:

Mari kita kembali ke gaya #2: Contoh 7

Mari kita cari tahu segera apa yang seharusnya terjadi. Oleh aturan diferensiasi fungsi kompleks:

Solusi: pertimbangkan suatu titik sembarang milik , atur kenaikan argumennya dan buat kenaikannya

Mari kita cari turunannya:

(1) Kami menggunakan rumus trigonometri

(2) Di bawah sinus kita buka tanda kurung, di bawah kosinus kita sajikan suku-suku serupa.

(3) Di bawah sinus kita batalkan suku-sukunya, di bawah kosinus kita bagi pembilangnya dengan penyebutnya suku demi suku.

(4) Karena keanehan sinusnya, kita hilangkan “minusnya”. Di bawah kosinus

kami menunjukkan istilah itu.

(5) Kita melakukan perkalian buatan pada penyebutnya agar dapat digunakan batas indah pertama. Dengan demikian, ketidakpastian dihilangkan, mari kita rapikan hasilnya.

Jawaban: menurut definisi Seperti yang Anda lihat, kesulitan utama dari masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada

kompleksitas yang sangat terbatas + sedikit orisinalitas kemasan. Dalam praktiknya, kedua metode desain tersebut terjadi, jadi saya menjelaskan kedua pendekatan tersebut sedetail mungkin. Mereka setara, tapi tetap saja, menurut kesan subjektif saya, lebih disarankan bagi orang bodoh untuk tetap menggunakan opsi 1 dengan “X-zero”.

Dengan menggunakan definisi tersebut, carilah turunan dari fungsi tersebut

Ini adalah tugas yang harus Anda selesaikan sendiri. Sampel dirancang dengan semangat yang sama seperti contoh sebelumnya.

Mari kita lihat versi masalahnya yang lebih jarang:

Temukan turunan fungsi di suatu titik menggunakan definisi turunan.

Pertama, apa yang harus menjadi intinya? Nomor Mari kita hitung jawabannya dengan cara standar:

Solusi: dari sudut pandang kejelasan, tugas ini jauh lebih sederhana, karena dalam rumusnya, bukan

nilai tertentu dipertimbangkan.

Mari kita atur kenaikan pada titik dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita hitung turunannya di titik:

Kami menggunakan rumus selisih tangen yang sangat langka dan sekali lagi kita kurangi solusinya menjadi yang pertama

batas luar biasa:

Jawaban: menurut definisi turunan pada suatu titik.

Masalahnya tidak begitu sulit untuk diselesaikan “secara umum” - cukup menggantinya dengan atau hanya bergantung pada metode desain. Dalam hal ini jelas bahwa hasilnya bukanlah bilangan, melainkan fungsi turunan.

Contoh 10 Dengan menggunakan definisi tersebut, carilah turunan dari fungsi tersebut pada intinya

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri.

Tugas bonus akhir ditujukan terutama untuk siswa yang mempelajari analisis matematika secara mendalam, tetapi tidak akan merugikan orang lain juga:

Apakah fungsinya akan terdiferensiasi? pada intinya?

Penyelesaian: Jelaslah bahwa suatu fungsi tertentu kontinu di suatu titik, tetapi apakah fungsi tersebut terdiferensiasi di sana?

Algoritma penyelesaiannya, dan tidak hanya untuk fungsi sepotong-sepotong, adalah sebagai berikut:

1) Temukan turunan kiri pada suatu titik tertentu: .

2) Temukan turunan kanan pada suatu titik tertentu: .

3) Jika turunan satu sisi berhingga dan berimpit:

, maka fungsinya terdiferensiasi di titik dan

secara geometris, ada garis singgung yang sama di sini (lihat bagian teoritis dari pelajaran Pengertian dan Arti Derivatif).

Jika dua nilai berbeda diterima: (salah satunya mungkin berubah menjadi tak terbatas), maka fungsinya tidak terdiferensiasi pada titik tersebut.

Jika kedua turunan satu sisi sama dengan tak terhingga

(meskipun tandanya berbeda), maka fungsinya tidak

dapat terdiferensialkan pada suatu titik, tetapi terdapat turunan tak terhingga dan garis singgung vertikal persekutuan pada grafik tersebut (lihat contoh pelajaran 5Persamaan biasa) .

Catatan: Jadi, di antara pertanyaan “Apakah fungsinya dapat terdiferensiasi pada suatu titik?” dan “Apakah turunan ada di suatu titik?” ada perbedaan!

Semuanya sangat sederhana!

1) Saat mencari turunan kiri, pertambahan argumennya negatif: , dan di sebelah kiri titik terdapat parabola, sehingga pertambahan fungsinya sama dengan:

Dan limit sebelah kiri yang bersesuaian secara numerik sama dengan turunan sebelah kiri pada titik yang bersangkutan:

2) Di sebelah kanan titik terdapat grafik garis lurus dan pertambahan argumennya positif: . Jadi pertambahan fungsinya adalah:

Limit kanan dan turunan kanan pada suatu titik:

3) Turunan satu sisi berhingga dan berbeda:

Jawaban: fungsinya tidak terdiferensiasi pada suatu titik.

Kasus buku tentang non-diferensiabilitas suatu modul bahkan lebih mudah untuk dibuktikan pada poin yang telah saya jelaskan secara umum pelajaran teori tentang turunan.

Beberapa fungsi yang terdefinisi sedikit demi sedikit juga dapat terdiferensiasi pada titik “persimpangan” pada grafik, misalnya catdog

mempunyai turunan persekutuan dan garis singgung persekutuan (sumbu x) di titik tersebut. Kurva, tetapi terdiferensiasi oleh ! Mereka yang tertarik dapat memverifikasinya sendiri menggunakan contoh yang baru saja diselesaikan.

Mari kita akhiri ceritanya dengan hibrida lucu ini =) Solusi dan jawaban:

Contoh 3: Solusi: pertimbangkan suatu titik yang termasuk dalam domain definisi fungsi. Ayo bersiap

kenaikan pada titik tertentu dan buat kenaikan fungsi yang sesuai:

Mari kita cari turunannya di titik:

Karena Anda dapat memilih titik mana pun dalam domain definisi fungsi, maka

Jawaban: menurut definisi, turunan

Contoh 4: Solusi: pertimbangkan suatu titik sembarang dan tentukan kenaikannya. Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Mari kita cari turunannya:

Menggunakan batas yang luar biasa

Jawaban: menurut definisi

Contoh 6: Solusi: pertimbangkan suatu titik yang menjadi miliknya dan tetapkan kenaikan argumen pada titik tersebut. Maka kenaikan fungsi yang sesuai adalah:

Menjawab : a-priori

Contoh 10: Solusi: Mari kita atur kenaikannya pada titik. Maka pertambahan fungsinya:

Mari kita hitung turunannya di titik:

Kalikan pembilang dan penyebutnya dengan ekspresi konjugasinya:

Jawaban: menurut definisi turunan pada suatu titik

Turunan suatu fungsi adalah salah satu topik yang sulit kurikulum sekolah. Tidak semua lulusan akan menjawab pertanyaan apa itu turunan.

Artikel ini menjelaskan secara sederhana dan jelas apa itu turunan dan mengapa diperlukan.. Kami sekarang tidak akan mengupayakan ketelitian matematis dalam presentasi. Yang terpenting adalah memahami maknanya.

Mari kita ingat definisinya:

Turunannya adalah laju perubahan suatu fungsi.

Gambar tersebut menunjukkan grafik tiga fungsi. Menurut Anda, mana yang tumbuh lebih cepat?

Jawabannya jelas - yang ketiga. Ia memiliki tingkat perubahan tertinggi, yaitu turunan terbesar.

Berikut contoh lainnya.

Kostya, Grisha dan Matvey mendapat pekerjaan secara bersamaan. Mari kita lihat bagaimana pendapatan mereka berubah sepanjang tahun:

Grafik menunjukkan semuanya sekaligus, bukan? Penghasilan Kostya meningkat lebih dari dua kali lipat dalam enam bulan. Dan pendapatan Grisha juga meningkat, tapi hanya sedikit. Dan pendapatan Matvey turun menjadi nol. Kondisi awal adalah sama, dan laju perubahan fungsinya adalah turunan, - berbeda. Sedangkan bagi Matvey, turunan pendapatannya umumnya negatif.

Secara intuitif, kita dengan mudah memperkirakan laju perubahan suatu fungsi. Tapi bagaimana kita melakukan ini?

Apa yang sebenarnya kita lihat adalah seberapa tajam grafik suatu fungsi naik (atau turun). Dengan kata lain, seberapa cepat y berubah seiring perubahan x? Jelasnya, fungsi yang sama dapat dimiliki pada titik yang berbeda arti yang berbeda turunan - artinya, dapat berubah lebih cepat atau lebih lambat.

Turunan suatu fungsi dilambangkan dengan .

Kami akan menunjukkan cara menemukannya menggunakan grafik.

Grafik beberapa fungsi telah digambar. Mari kita ambil satu poin dengan absis di atasnya. Mari kita menggambar garis singgung grafik fungsi pada titik ini. Kita ingin memperkirakan seberapa tajam kenaikan grafik suatu fungsi. Nilai yang tepat untuk ini adalah garis singgung sudut singgung.

Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut singgung yang ditarik grafik fungsi di titik tersebut.

Perlu diketahui bahwa sebagai sudut kemiringan garis singgung kita ambil sudut antara garis singgung dan arah positif sumbu.

Terkadang siswa menanyakan apa yang dimaksud dengan garis singgung grafik suatu fungsi. Ini adalah garis lurus area ini satu-satunya titik yang sama dengan grafik, dan seperti yang ditunjukkan pada gambar kita. Sepertinya garis singgung lingkaran.

Mari kita temukan. Kita ingat bahwa garis singgung sudut lancip masuk segitiga siku-siku sama dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan. Dari segitiga:

Kami menemukan turunannya menggunakan grafik tanpa mengetahui rumus fungsinya. Soal-soal seperti itu sering dijumpai pada Ujian Negara Terpadu matematika di bawah angka.

Ada hubungan penting lainnya. Ingatlah bahwa garis lurus diberikan oleh persamaan

Besaran dalam persamaan ini disebut kemiringan garis lurus. Sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu.

Kami mengerti

Mari kita ingat rumus ini. Ini mengungkapkan arti geometris dari turunan.

Turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan kemiringan garis singgung yang ditarik grafik fungsi di titik tersebut.

Dengan kata lain, turunannya sama dengan garis singgung sudut singgung tersebut.

Telah dikatakan bahwa fungsi yang sama dapat mempunyai turunan yang berbeda pada titik yang berbeda. Mari kita lihat bagaimana turunan berhubungan dengan perilaku fungsi.

Mari menggambar grafik suatu fungsi. Biarkan fungsi ini meningkat di beberapa area, dan menurun di area lain, dan seterusnya pada kecepatan yang berbeda. Dan biarkan fungsi ini memiliki titik maksimum dan minimum.

Pada titik tertentu fungsinya meningkat. Garis singgung grafik yang digambar pada titik tersebut terbentuk sudut tajam dengan arah sumbu positif. Artinya turunan di titik tersebut positif.

Pada titik ini fungsi kita menurun. Garis singgung pada titik ini membentuk sudut tumpul dengan arah sumbu positif. Karena garis singgung suatu sudut tumpul adalah negatif, maka turunan di suatu titik adalah negatif.

Inilah yang terjadi:

Jika suatu fungsi meningkat, maka turunannya positif.

Jika turun maka turunannya negatif.

Apa yang terjadi pada titik maksimum dan minimum? Kita melihat bahwa pada titik (titik maksimum) dan (titik minimum) garis singgungnya mendatar. Oleh karena itu, garis singgung garis singgung pada titik-titik tersebut adalah nol, dan turunannya juga nol.

Poin – poin maksimal. Pada titik ini, kenaikan fungsi digantikan oleh penurunan. Akibatnya, tanda turunannya berubah pada titik dari “plus” menjadi “minus”.

Pada titik – titik minimum – turunannya juga nol, tetapi tandanya berubah dari “minus” menjadi “plus”.

Kesimpulan: dengan menggunakan turunan kita dapat mengetahui segala sesuatu yang menarik minat kita tentang perilaku suatu fungsi.

Jika turunannya positif, maka fungsinya bertambah.

Jika turunannya negatif, maka fungsinya menurun.

Pada titik maksimum, turunannya adalah nol dan berubah tanda dari “plus” menjadi “minus”.

Pada titik minimum, turunannya juga nol dan berubah tanda dari “minus” menjadi “plus”.

Mari kita tuliskan kesimpulan tersebut dalam bentuk tabel:

	meningkat	titik maksimal	berkurang	poin minimum	meningkat
+	0	-	0	+

Mari kita membuat dua klarifikasi kecil. Anda akan membutuhkan salah satunya saat menyelesaikan soal USE. Lain - di tahun pertama, dengan studi yang lebih serius tentang fungsi dan turunannya.

Ada kemungkinan bahwa turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan nol, tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai nilai maksimum dan minimum pada titik tersebut. Inilah yang disebut :

Pada suatu titik, garis singgung grafik tersebut mendatar dan turunannya nol. Namun, sebelum titik tersebut fungsinya meningkat – dan setelah titik tersebut terus meningkat. Tanda turunannya tidak berubah - tetap positif seperti semula.

Hal ini juga terjadi pada titik maksimum atau minimum turunannya tidak ada. Pada grafik, ini berhubungan dengan terobosan tajam, ketika tidak mungkin menggambar garis singgung pada suatu titik tertentu.

Bagaimana cara mencari turunannya jika suatu fungsi diberikan bukan dengan grafik, tetapi dengan rumus? Dalam hal ini berlaku

(\large\bf Turunan dari suatu fungsi)

Pertimbangkan fungsinya kamu=f(x), ditentukan pada interval (a,b). Membiarkan X- titik tetap mana pun dalam interval (a,b), A Δx- angka arbitrer sehingga nilainya x+Δx juga termasuk dalam interval (a,b). Nomor ini Δx disebut kenaikan argumen.

Definisi. Peningkatan fungsi kamu=f(x) pada intinya X, sesuai dengan kenaikan argumen Δx, ayo hubungi nomornya

Δy = f(x+Δx) - f(x).

kami percaya itu Δx ≠ 0. Pertimbangkan pada titik tetap tertentu X rasio kenaikan fungsi pada titik ini dengan kenaikan argumen yang sesuai Δx

Kita akan menyebut relasi ini sebagai relasi perbedaan. Sejak nilainya X kami anggap tetap, rasio perbedaan adalah fungsi dari argumen Δx. Fungsi ini didefinisikan untuk semua nilai argumen Δx, termasuk dalam lingkungan yang cukup kecil pada titik tersebut x=0, kecuali poin itu sendiri x=0. Oleh karena itu, kita berhak mempertimbangkan pertanyaan tentang keberadaan limit fungsi tertentu di Δx → 0.

Definisi. Turunan dari suatu fungsi kamu=f(x) pada suatu titik tetap tertentu X disebut batas di Δx → 0 rasio perbedaan, yaitu

Asalkan batasan ini ada.

Penamaan. kamu′(x) atau f′(x).

Arti geometris dari turunan: Turunan dari suatu fungsi f(x) pada saat ini X sama dengan garis singgung sudut antara sumbu Sapi dan garis singgung grafik fungsi ini pada titik yang bersesuaian:

f′(x 0) = \tgα.

Arti mekanis dari turunan: Turunan lintasan terhadap waktu sama dengan kecepatan gerak lurus suatu titik:

Persamaan garis singgung suatu garis kamu=f(x) pada intinya M 0 (x 0 ,y 0) mengambil formulir

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

Garis normal suatu kurva di suatu titik adalah garis tegak lurus garis singgung di titik yang sama. Jika f′(x 0)≠ 0, maka persamaan normal garis tersebut kamu=f(x) pada intinya M 0 (x 0 ,y 0) ditulis seperti ini:

Konsep diferensiasi suatu fungsi

Biarkan fungsinya kamu=f(x) ditentukan dalam interval tertentu (a,b), X- beberapa nilai argumen tetap dari interval ini, Δx- setiap kenaikan argumen sedemikian rupa sehingga nilai argumennya x+Δx ∈ (a, b).

Definisi. Fungsi kamu=f(x) disebut terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, jika bertambah Δy fungsi ini pada intinya X, sesuai dengan kenaikan argumen Δx, dapat direpresentasikan dalam bentuk

Δy = A Δx +αΔx,

Di mana A- nomor tertentu yang tidak bergantung pada Δx, A α - fungsi argumen Δx, yang sangat kecil di Δx→ 0.

Karena hasil kali dua fungsi yang sangat kecil αΔx adalah tingkat yang sangat kecil dari tingkat yang lebih tinggi Δx(properti dari 3 fungsi yang sangat kecil), maka kita dapat menulis:

Δy = A Δx +o(Δx).

Dalil. Agar fungsinya kamu=f(x) dapat terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, perlu dan cukup bahwa ia memiliki turunan berhingga pada titik ini. Di mana SEBUAH=f′(x), itu adalah

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

Operasi mencari turunan biasa disebut diferensiasi.

Dalil. Jika fungsinya kamu=f(x) X, maka kontinu pada saat ini.

Komentar. Dari kelangsungan fungsinya kamu=f(x) pada saat ini X, secara umum, diferensiasi fungsi tidak mengikuti f(x) pada saat ini. Misalnya saja fungsinya kamu=|x|- terus menerus pada suatu titik x=0, tetapi tidak memiliki turunan.

Konsep fungsi diferensial

Definisi. Diferensial fungsi kamu=f(x) hasil kali turunan fungsi ini dan pertambahan variabel bebas disebut X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Untuk fungsi kamu=x kita mendapatkan dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, itu adalah dx=Δx- diferensial suatu variabel bebas sama dengan kenaikan variabel tersebut.

Dengan demikian, kita bisa menulis

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Diferensial mati dan kenaikan Δy fungsi kamu=f(x) pada saat ini X, keduanya sesuai dengan kenaikan argumen yang sama Δx, secara umum, tidak sama satu sama lain.

Arti geometris dari diferensial: Diferensial suatu fungsi sama dengan pertambahan ordinat garis singgung grafik fungsi tersebut ketika argumennya bertambah Δx.

Aturan diferensiasi

Dalil. Jika masing-masing fungsinya kamu(x) Dan v(x) terdiferensiasi pada suatu titik tertentu X, lalu jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi dari fungsi-fungsi tersebut (hasil bagi dengan syarat v(x)≠ 0) juga dapat terdiferensiasi pada saat ini, dan rumusnya berlaku:

Pertimbangkan fungsi kompleksnya y=f(φ(x))≡ F(x), Di mana kamu=f(kamu), kamu=φ(x). Pada kasus ini kamu ditelepon argumen perantara, X - variabel bebas.

Dalil. Jika kamu=f(kamu) Dan kamu=φ(x) adalah fungsi terdiferensiasi dari argumennya, maka turunan dari fungsi kompleks kamu=f(φ(x)) ada dan sama dengan produk dari fungsi ini terhadap argumen perantara dan turunan dari argumen perantara terhadap variabel bebas, yaitu.

Komentar. Untuk fungsi kompleks yang merupakan superposisi dari tiga fungsi kamu=F(f(φ(x))), aturan diferensiasi memiliki bentuk

y′ x = y′ kamu u′ v v′ x,

dimana fungsinya v=φ(x), kamu=f(v) Dan kamu=F(kamu)- fungsi argumen mereka yang dapat dibedakan.

Dalil. Biarkan fungsinya kamu=f(x) bertambah (atau berkurang) dan kontinu di lingkungan suatu titik x 0. Selain itu, fungsi ini dapat terdiferensiasi titik yang ditentukan x 0 dan turunannya pada saat ini f′(x 0) ≠ 0. Kemudian di beberapa lingkungan dari titik yang sesuai kamu 0 =f(x 0) kebalikannya didefinisikan untuk kamu=f(x) fungsi x=f -1 (kamu), dan fungsi invers yang ditunjukkan dapat terdiferensiasi pada titik yang bersesuaian kamu 0 =f(x 0) dan untuk turunannya pada saat ini kamu rumusnya valid

Tabel derivatif

Invarian bentuk diferensial pertama

Mari kita perhatikan diferensial suatu fungsi kompleks. Jika kamu=f(x), x=φ(t)- fungsi argumennya dapat terdiferensiasi, maka turunan dari fungsi tersebut kamu=f(φ(t)) dinyatakan dengan rumus

kamu′ t = kamu′ x x′ t.

A-priori dy=y′ t dt, lalu kita dapatkan

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Jadi, kami sudah membuktikannya

Sifat invarian berupa diferensial pertama suatu fungsi: seperti dalam kasus ketika argumen X adalah variabel independen, dan dalam kasus ketika argumen X itu sendiri merupakan fungsi terdiferensiasi dari variabel baru, diferensial mati fungsi kamu=f(x) sama dengan turunan fungsi ini dikalikan dengan diferensial argumen dx.

Penerapan diferensial dalam perhitungan perkiraan

Kami telah menunjukkan bahwa perbedaannya mati fungsi kamu=f(x), secara umum, tidak sama dengan kenaikan Δy fungsi ini. Namun, hingga fungsi yang sangat kecil dengan tingkat kekecilan yang lebih tinggi dari Δx, perkiraan persamaannya valid

Δy ≈ dy.

Rasio ini disebut kesalahan relatif dari persamaan persamaan ini. Karena Δy-dy=o(Δx), maka kesalahan relatif persamaan ini menjadi sekecil yang diinginkan seiring dengan penurunannya |Δх|.

Mengingat bahwa Δy=f(x+δ x)-f(x), dy=f′(x)Δx, kita mendapatkan f(x+δ x)-f(x) ≈ f′(x)Δx atau

f(x+δ x) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Perkiraan persamaan ini memungkinkan adanya kesalahan Hai(Δx) ganti fungsi f(x) di lingkungan kecil intinya X(yaitu untuk nilai kecil Δx) fungsi linear argumen Δx, berdiri di sisi kanan.

Derivatif tingkat tinggi

Definisi. Turunan kedua (atau turunan orde kedua) suatu fungsi kamu=f(x) disebut turunan dari turunan pertamanya.

Notasi turunan kedua suatu fungsi kamu=f(x):

Arti mekanis dari turunan kedua. Jika fungsinya kamu=f(x) menjelaskan hukum gerak suatu titik material pada garis lurus, maka turunan keduanya f″(x) sama dengan percepatan suatu titik bergerak pada waktu tertentu X.

Turunan ketiga dan keempat ditentukan dengan cara yang sama.

Definisi. N turunan ke (atau turunan N-urutan ke-) fungsi kamu=f(x) disebut turunannya n-1 turunan ke-th:

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Sebutan: kamu″′, kamu IV, kamu V dll.

Jika mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi tersebut Δ kamu dengan kenaikan argumen Δ X:

Segalanya tampak jelas. Tapi coba gunakan rumus ini untuk menghitung, katakanlah, turunan suatu fungsi F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X dosa X. Jika Anda melakukan semuanya sesuai definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa dari seluruh ragam fungsi kita dapat membedakan apa yang disebut fungsi dasar. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan ditabulasikan. Fungsi seperti itu cukup mudah diingat - beserta turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Semua fungsi dasar tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus dihafal. Selain itu, menghafalnya sama sekali tidak sulit - itulah mengapa mereka bersifat dasar.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	F(X) = C, C ∈ R	0 (ya, nol!)
Kekuatan dengan eksponen rasional	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinus	F(X) = dosa X	karena X
Kosinus	F(X) = karena X	−dosa X(dikurangi sinus)
Garis singgung	F(X) = tg X	1/karena 2 X
Kotangens	F(X) = ctg X	− 1/dosa 2 X
Logaritma natural	F(X) = catatan X	1/X
Logaritma sewenang-wenang	F(X) = catatan A X	1/(X dalam A)
Fungsi eksponensial	F(X) = e X	e X(Tidak ada yang berubah)

Jika suatu fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru tersebut juga mudah dihitung:

(C · F)’ = C · F ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Misalnya:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Jelasnya, fungsi-fungsi dasar dapat dijumlahkan, dikalikan, dibagi - dan masih banyak lagi. Dengan demikian akan muncul fungsi-fungsi baru, tidak lagi bersifat dasar, tetapi juga dibedakan menurut aturan-aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah.

Turunan dari jumlah dan selisih

Biarkan fungsinya diberikan F(X) Dan G(X), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat mencari turunan dari jumlah dan selisih fungsi berikut:

(F + G)’ = F ’ + G ’
(F − G)’ = F ’ − G ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Misalnya, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep “pengurangan” dalam aljabar. Ada konsep “elemen negatif”. Oleh karena itu perbedaannya F − G dapat ditulis ulang sebagai jumlah F+ (−1) G, dan hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

F(X) = X 2 + dosa x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fungsi F(X) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, oleh karena itu:

F ’(X) = (X 2 + dosa X)’ = (X 2)' + (dosa X)’ = 2X+ karena x;

Kami beralasan serupa untuk fungsinya G(X). Hanya saja sudah ada tiga suku (dari sudut pandang aljabar):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Menjawab:
F ’(X) = 2X+ karena x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Turunan dari produk

Matematika merupakan ilmu logika, sehingga banyak orang yang meyakini bahwa jika turunan suatu penjumlahan sama dengan jumlah turunannya, maka turunan dari hasil perkaliannya memukul">sama dengan hasil kali turunan. Tapi persetan! Turunan suatu hasil kali dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Rumusnya sederhana, namun sering dilupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tapi juga pelajar. Hasilnya adalah masalah yang diselesaikan secara tidak benar.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = X 3 karena x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fungsi F(X) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

F ’(X) = (X 3 karena X)’ = (X 3)' karena X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 karena X + X 3 (− dosa X) = X 2 (3ko X − X dosa X)

Fungsi G(X) pengali pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umumnya tidak berubah. Jelasnya, faktor pertama adalah fungsinya G(X) adalah polinomial dan turunannya merupakan turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)’ · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Menjawab:
F ’(X) = X 2 (3ko X − X dosa X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Harap dicatat bahwa pada langkah terakhir turunannya difaktorkan. Secara formal, hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, melainkan untuk menguji fungsinya. Artinya, selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, ditentukan tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti ini, lebih baik ekspresi difaktorkan.

Jika ada dua fungsi F(X) Dan G(X), Dan G(X) ≠ 0 pada himpunan yang kita minati, kita dapat mendefinisikan fungsi baru H(X) = F(X)/G(X). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat mencari turunannya:

Tidak lemah, ya? Minusnya dari mana? Mengapa G 2? Dan seperti ini! Ini adalah salah satu formula yang paling rumit - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Oleh karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Temukan turunan fungsi:

Pembilang dan penyebut setiap pecahan mengandung fungsi dasar, jadi yang kita perlukan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Menurut tradisi, mari kita memfaktorkan pembilangnya - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks belum tentu merupakan rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya saja mengambil fungsinya saja F(X) = dosa X dan ganti variabelnya X, katakanlah, aktif X 2 + ln X. Ini akan berhasil F(X) = dosa ( X 2 + ln X) - ini adalah fungsi yang kompleks. Ia juga memiliki turunannya, tetapi tidak mungkin menemukannya menggunakan aturan yang dibahas di atas.

Apa yang harus saya lakukan? Dalam kasus seperti itu, mengganti variabel dan rumus dengan turunan fungsi kompleks akan membantu:

F ’(X) = F ’(T) · T', Jika X digantikan oleh T(X).

Biasanya, situasi pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan dibandingkan dengan turunan hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik juga menjelaskannya dengan contoh spesifik, dengan Detil Deskripsi setiap langkah.

Tugas. Temukan turunan fungsi: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = dosa ( X 2 + ln X)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsinya F(X) alih-alih ekspresi 2 X+3 akan mudah X, maka kita mendapatkan fungsi dasar F(X) = e X. Oleh karena itu, kami melakukan penggantian: misalkan 2 X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Kita mencari turunan fungsi kompleks menggunakan rumus:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Dan sekarang - perhatian! Kami melakukan penggantian terbalik: T = 2X+ 3. Kita mendapatkan:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya G(X). Jelas itu perlu diganti X 2 + ln X = T. Kita punya:

G ’(X) = G ’(T) · T’ = (dosa T)’ · T' = karena T · T ’

Penggantian terbalik: T = X 2 + ln X. Kemudian:

G ’(X) = karena ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Itu saja! Seperti dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah direduksi menjadi menghitung jumlah turunan.

Menjawab:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) karena ( X 2 + ln X).

Seringkali dalam pelajaran saya, alih-alih menggunakan istilah “turunan”, saya menggunakan kata “prima”. Misalnya, pukulan dari penjumlahan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Jadi, penghitungan turunannya dilakukan untuk menghilangkan goresan yang sama sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kita kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(X N)’ = N · X N − 1

Hanya sedikit orang yang mengetahui peran tersebut N mungkin merupakan bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah X 0,5. Bagaimana jika ada sesuatu yang mewah di bawah akarnya? Sekali lagi, hasilnya akan menjadi fungsi yang kompleks - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu tes dan ujian.