Hitunglah hipotenusa suatu segitiga siku-siku dengan sudut 30 derajat. Bagaimana cara mencari sisi segitiga siku-siku? Dasar-dasar Geometri

Segitiga disebut segitiga siku-siku jika salah satu sudutnya 90º. Sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut hipotenusa, dan dua lainnya disebut kaki.

Untuk mencari sudut pada segitiga siku-siku, digunakan beberapa sifat segitiga siku-siku, yaitu: jumlah sudut lancip adalah 90º, dan juga fakta bahwa di hadapan kaki yang panjangnya setengah sisi miring, terletak sebuah sudut siku-siku. sudut sama dengan 30º.

Navigasi artikel cepat

Segitiga sama kaki

Salah satu sifat segitiga sama kaki adalah bahwa dua sudutnya sama besar. Untuk menghitung nilai sudut dari segitiga siku-siku sama kaki, Anda perlu mengetahui bahwa:

  • Sudut siku-siku adalah 90º.
  • Nilai sudut lancip ditentukan oleh rumus: (180º-90º)/2=45º, mis. sudut dan adalah 45º.

Jika nilai salah satu sudut lancip diketahui, sudut kedua dapat dicari dengan rumus: =180º-90º-α, atau =180º-90º-β. Paling sering, rasio ini digunakan jika salah satu sudutnya adalah 60º atau 30º.

Konsep Kunci

Jumlah sudut dalam segitiga adalah 180º. Karena satu sudut siku-siku, dua lainnya akan tajam. Untuk menemukannya, Anda perlu tahu bahwa:


metode lain

Sudut lancip segitiga siku-siku dapat dihitung dengan mengetahui nilai median - garis yang ditarik dari titik sudut ke sisi yang berlawanan dari segitiga, dan tinggi - garis lurus, yang merupakan tegak lurus yang dijatuhkan dari sudut kanan ke sisi miring. Misalkan s adalah median yang ditarik dari sudut siku-siku ke titik tengah sisi miring, h adalah tingginya. Dalam hal ini ternyata:


  • sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
  • cosα=a/(2*s); cos =b/(2*s).
  • sinα=h/b; sinβ=h/a.

Dua sisi

Jika panjang sisi miring dan salah satu kaki, atau dua sisi, diketahui dalam segitiga siku-siku, identitas trigonometri digunakan untuk menemukan nilai sudut lancip:

  • =arcsin(a/c), =arcsin(b/c).
  • =arcos(b/c), =arcos(a/c).
  • =artg(a/b), =artg(b/a).
Bagikan artikel ini dengan teman-teman di sosial jaringan:

Yang pertama adalah segmen yang berbatasan dengan sudut siku-siku, dan sisi miring adalah bagian terpanjang dari gambar dan berlawanan dengan sudut 90 derajat. segitiga phytagoras yang sisinya sama panjang disebut bilangan asli; panjangnya dalam hal ini disebut "triple Pythagoras".

segitiga mesir

Agar generasi sekarang dapat mempelajari geometri dalam bentuk yang diajarkan di sekolah sekarang, telah dikembangkan selama beberapa abad. Titik dasarnya adalah teorema Pythagoras. Sisi persegi panjang diketahui seluruh dunia) adalah 3, 4, 5.

Hanya sedikit orang yang tidak akrab dengan ungkapan "Celana Pythagoras sama ke segala arah." Namun, pada kenyataannya, teorema terdengar seperti ini: c 2 (kuadrat sisi miring) \u003d a 2 + b 2 (jumlah kuadrat kaki).

Di antara ahli matematika, segitiga dengan sisi 3, 4, 5 (cm, m, dll.) disebut "Mesir". Sangat menarik bahwa yang tertulis dalam gambar sama dengan satu. Nama itu muncul sekitar abad ke-5 SM, ketika para filsuf Yunani melakukan perjalanan ke Mesir.

Saat membangun piramida, arsitek dan surveyor menggunakan rasio 3:4:5. Struktur seperti itu ternyata proporsional, enak dilihat dan luas, dan juga jarang runtuh.

Untuk membangun sudut yang tepat, pembangun menggunakan tali yang diikat 12 simpul. Dalam hal ini, kemungkinan membangun segitiga siku-siku meningkat menjadi 95%.

Tanda persamaan angka

  • Sudut lancip dalam segitiga siku-siku dan sisi besar, yang sama dengan elemen yang sama di segitiga kedua, adalah tanda persamaan gambar yang tak terbantahkan. Dengan mempertimbangkan jumlah sudut, mudah untuk membuktikan bahwa sudut lancip kedua juga sama. Jadi, segitiga-segitiga itu identik dalam kriteria kedua.
  • Ketika dua sosok ditumpangkan satu sama lain, kami memutarnya sedemikian rupa sehingga, ketika digabungkan, mereka menjadi satu segitiga sama kaki. Menurut propertinya, sisi-sisinya, atau lebih tepatnya, sisi miringnya, adalah sama, serta sudut-sudut di alasnya, yang berarti bahwa angka-angka ini sama.

Dengan tanda pertama, sangat mudah untuk membuktikan bahwa segitiga benar-benar sama, yang utama adalah bahwa dua sisi yang lebih kecil (yaitu, kaki) sama satu sama lain.

Segitiga akan sama menurut tanda II, yang intinya adalah persamaan kaki dan sudut lancip.

Sifat segitiga siku-siku

Tingginya, yang diturunkan dari sudut kanan, membagi gambar menjadi dua bagian yang sama.

Sisi-sisi segitiga siku-siku dan mediannya mudah dikenali dengan aturan: median, yang diturunkan ke sisi miring, sama dengan setengahnya. dapat ditemukan baik dengan rumus Heron maupun dengan pernyataan bahwa itu sama dengan setengah hasil kali kaki.

Dalam segitiga siku-siku, sifat-sifat sudut 30 o, 45 o dan 60 o berlaku.

  • Pada sudut 30 °, harus diingat bahwa kaki yang berlawanan akan sama dengan 1/2 dari sisi terbesar.
  • Jika sudutnya 45 o, maka sudut kedua sudut tajam juga 45 Ini menunjukkan bahwa segitiga itu sama kaki, dan kakinya sama.
  • Sifat sudut 60 derajat adalah bahwa sudut ketiga memiliki ukuran derajat pada 30

Area ini mudah ditemukan dengan salah satu dari tiga rumus:

  1. melalui ketinggian dan sisi di mana ia turun;
  2. menurut rumus Heron;
  3. sepanjang sisi dan sudut di antara mereka.

Sisi segitiga siku-siku, atau lebih tepatnya kaki, bertemu dengan dua ketinggian. Untuk menemukan yang ketiga, perlu untuk mempertimbangkan segitiga yang dihasilkan, dan kemudian, menggunakan teorema Pythagoras, hitung panjang yang diperlukan. Selain rumus ini, ada juga rasio dua kali luas dan panjang sisi miring. Ekspresi yang paling umum di kalangan siswa adalah yang pertama, karena membutuhkan lebih sedikit perhitungan.

Teorema yang berlaku untuk segitiga siku-siku

Geometri segitiga siku-siku mencakup penggunaan teorema seperti:



Ada tiga opsi untuk menyelesaikan masalah ini. Yang pertama adalah jika diberikan dalam kondisi masalah bahwa kaki-kakinya sama (sebenarnya, kita memiliki segitiga siku-siku sama kaki). Yang kedua - jika beberapa sudut lain diberikan (kecuali untuk sudut 45%, maka kita memiliki segitiga sama kaki yang sama dan kembali ke opsi pertama). Dan yang ketiga - ketika salah satu kakinya diketahui. Mari kita pertimbangkan opsi ini secara lebih rinci.

Bagaimana menemukan kaki yang sama, dengan sisi miring yang diketahui

  • kaki pertama (sebutkan dengan huruf "a") sama dengan kaki kedua ((sebutkan dengan huruf "b"): a=b;
  • ukuran kaki;

Dalam versi ini, solusi masalah didasarkan pada penggunaan teorema Pythagoras. Ini diterapkan pada segitiga siku-siku dan versi dasarnya terdengar seperti: "Kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki." Karena kaki kita sama, kita dapat menunjuk kedua kaki dengan karakter yang sama: a=b, yang berarti - a=a.

  1. Gantikan kami konvensi ke dalam teorema (dengan mempertimbangkan hal di atas):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Selanjutnya, kami menyederhanakan rumus sebanyak mungkin:
    ^2=2*(a^2) - grup,
    c \u003d 2 * a - kami membawa kedua bagian persamaan ke akar kuadrat,
    a=c/√2 - keluarkan yang diinginkan.
  3. Pengganti nilai yang diberikan sisi miring dan kami mendapatkan solusinya:
    a=x/√2

Bagaimana menemukan kaki, dengan sisi miring dan sudut yang diketahui

  • sisi miring (dilambangkan dengan huruf "c") sama dengan x cm: c=x;
  • sudut sama dengan q: =q;
  • ukuran kaki;

Untuk mengatasi masalah ini, perlu menggunakan fungsi trigonometri. Dua yang paling populer di antaranya adalah:

  • fungsi sinus - sinus dari sudut yang diinginkan sama dengan rasio kaki yang berlawanan ke sisi miring
  • fungsi kosinus - kosinus dari sudut yang diinginkan sama dengan rasio kaki yang berdekatan ke sisi miring

Anda dapat menggunakan apa saja. Saya akan memberikan contoh menggunakan yang pertama. Biarkan kaki dilambangkan dengan simbol "a" (berdekatan dengan sudut) dan "b" (berlawanan dengan sudut). Dengan demikian, sudut kita terletak di antara kaki "a" dan sisi miring.

  1. Kami mengganti simbol yang dipilih dalam rumus:
    sinβ = b/c
  2. Kami menurunkan cathet:
    b=c*sinβ
  3. Kami mengganti data kami dan memiliki satu kaki.
    b=c*sinq

Kaki kedua dapat ditemukan menggunakan fungsi trigonometri kedua, atau pergi ke opsi ketiga.

Bagaimana menemukan satu kaki jika sisi miring dan kaki lainnya diketahui?

  • sisi miring (dilambangkan dengan huruf "c") sama dengan x cm: c=x;
  • kaki (sebutkan dengan huruf "b") sama dengan y cm: b=y;
  • ukuran kaki lainnya (sebutkan dengan huruf "a");

Dalam varian ini, solusi dari masalah, seperti pada varian pertama, adalah penggunaan teorema Pythagoras.

  1. Substitusikan konvensi kita ke dalam teorema:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Kami mengambil kaki yang diperlukan:
    a^2=c^2-b^2
  3. Kami membawa kedua sisi persamaan ke akar kuadrat:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Kami mengganti nilai-nilai ini dan kami memiliki solusinya:
    a=√(x^2-y^2)

Petunjuk

Panjang kaki dan sisi miring dihubungkan oleh rasio yang dijelaskan oleh teorema Pythagoras. Rumusan aljabar: "Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat panjang kakinya."

Rumus Pythagoras terlihat seperti ini:
c2 = a2 + b2,

di mana c adalah panjang sisi miring, a dan b adalah panjang kaki.

Mengetahui panjang kaki, menggunakan teorema Pythagoras, Anda dapat menemukan sisi miring dari segitiga siku-siku:

c = (a2 + b2).

Contoh. Panjang salah satu kaki adalah 3 cm, panjang yang lain adalah 4 cm.Jumlah kuadratnya adalah 25 cm²:

9 cm² + 16 cm² = 25 cm².

Panjang sisi miring dalam kasus kami sama dengan akar kuadrat dari 25 cm² - 5 cm Oleh karena itu, panjang sisi miring adalah 5 cm.

Hipotenusa adalah sisi pada segitiga siku-siku yang berhadapan dengan sudut 90 derajat. Untuk menghitung panjangnya, cukup mengetahui panjang salah satu kakinya dan nilai salah satu sudut lancip segitiga.

Petunjuk

Dengan diketahui kaki dan sudut lancip dari segitiga siku-siku, maka ukuran sisi miring dapat sama dengan perbandingan kaki dengan kosinus / sinus sudut ini, jika sudut ini berlawanan / berdekatan dengannya:

h = C1(atau C2)/sinα;

h = 1(atau 2)/cosα.

Contoh: Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan sisi miring AB dan siku-siku C. Misalkan sudut B adalah 60 derajat dan sudut A 30 derajat.Panjang kaki BC adalah 8 cm.Temukan panjang sisi miring AB. Untuk melakukan ini, Anda dapat menggunakan salah satu metode yang disarankan di atas:

AB=BC/cos60=8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Sisi miringnya adalah yang paling sisi panjang persegi panjang segi tiga. Itu terletak di seberang sudut kanan. Bagaimana cara mencari hipotenusa persegi panjang? segi tiga tergantung pada data apa yang Anda miliki.



Petunjuk

Jika kaki-kaki persegi panjang segi tiga, maka panjang sisi miring dari persegi panjang segi tiga dapat ditemukan menggunakan teorema Pythagoras - kuadrat panjang sisi miring sama dengan jumlah kuadrat panjang kaki:
c2 = a2 + b2, di mana a dan b adalah panjang kaki-kaki persegi panjang segi tiga.

Jika salah satu kaki dan sudut lancip diketahui, maka rumus untuk menemukan sisi miring akan tergantung pada apa sudut ini dalam kaitannya dengan kaki yang diketahui - berdekatan (terletak di dekat kaki) atau berlawanan (terletak di seberangnya.
Dalam kasus sudut yang disertakan, sisi miring sama dengan rasio kaki dengan kosinus sudut ini: c = a/cos?;
E adalah sudut yang berlawanan, sisi miring sama dengan rasio kaki dengan sinus sudut: c \u003d a / sin?.

Video yang berhubungan

Pertimbangkan sebuah contoh. Misal panjang kaki |AB| = 13, |SM| = 21. Dengan teorema Pythagoras, kita peroleh bahwa |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. dari nomor 610: |AC| = 610. Dengan menggunakan tabel kuadrat bilangan bulat, kita menemukan bahwa bilangan 610 bukanlah kuadrat sempurna dari bilangan bulat apa pun. Untuk mendapatkan nilai akhir dari panjang sisi miring, mari kita coba mengambil persegi penuh dari bawah tanda akar. Untuk melakukan ini, kami menguraikan angka 610 menjadi faktor. 610 = 2 * 5 * 61. Menurut tabel bilangan prima Kita melihat bahwa 61 adalah bilangan prima. Oleh karena itu, pengurangan lebih lanjut dari angka 610 tidak mungkin. Kami mendapatkan jawaban akhir |AC| = 610.
Jika kuadrat sisi miringnya, misalnya, 675, maka 675 = (3 * 25 * 9) = 5 * 3 * 3 = 15 * 3. Jika gips seperti itu memungkinkan, lakukan pemeriksaan terbalik - kuadratkan hasilnya dan bandingkan dengan nilai aslinya.

Beri tahu kami salah satu kaki dan sudut yang berdekatan dengannya. Untuk kepastian, biarkan menjadi kaki |AB| dan sudut . Kemudian kita dapat menggunakan rumus untuk fungsi trigonometri kosinus - kosinus sudut sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring. Itu. dalam notasi kita cos = |AB| / |AC|. Dari sini kita mendapatkan panjang sisi miring |AC| = |AB| / cosα.
Jika kita tahu kakinya |BC| dan sudut , maka kita menggunakan rumus untuk menghitung sinus sudut - sinus sudut sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring: sin = |BC| / |AC|. Kami mendapatkan bahwa panjang sisi miring ditemukan sebagai |AC| = |SM| / cosα.

Untuk kejelasan, pertimbangkan sebuah contoh. Misal panjang kaki |AB| = 15. Dan sudut = 60°. Kami mendapatkan |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Pertimbangkan bagaimana Anda dapat memeriksa hasil Anda menggunakan teorema Pythagoras. Untuk melakukan ini, kita perlu menghitung panjang kaki kedua |BC|. Menggunakan rumus tangen sudut tg = |BC| / |AC|, kita peroleh |BC| = |AB| * tg = 15 * tg 60° = 15 * 3. Selanjutnya, kita terapkan teorema Pythagoras, kita mendapatkan 15^2 + (15 * 3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Verifikasi selesai.

Saran yang berguna

Setelah menghitung sisi miring, periksa apakah nilai yang dihasilkan memenuhi teorema Pythagoras.

Sumber:

  • Tabel bilangan prima dari 1 hingga 10000

Kaki-kaki adalah dua sisi segitiga yang membentuk sudut siku-siku, yaitu hanya ada kaki pada segitiga siku-siku. Dan sekarang kita akan berbicara tentang cara menemukan kaki segitiga.

Cara menemukan kaki: notasi dan rumus

Notasi

  • biarkan kaki pertama menjadi "k", yang kedua - "m", ini adalah sisi-sisi yang membentuk sudut 90 0 (sudut siku-siku);
  • panjang sisi miring adalah "s";
  • sudut A - di seberang kaki "k";
  • sudut B - berlawanan dengan kaki "m".

Cara menemukan kaki

teori Pitagoras

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, Anda dapat menemukan kaki segitiga siku-siku jika panjang sisi miring dan panjang salah satu kakinya diketahui.

Menurut teorema Pythagoras: jumlah kuadrat kaki sama dengan kuadrat panjang sisi miring.

Sisi miring - sisi segitiga yang terletak di seberang sudut siku-siku (yaitu, hanya ada dalam segitiga siku-siku).

s 2 \u003d k 2 +m 2; dari sini kita menemukan kaki "k":

k 2 \u003d s 2 -m 2 atau k \u003d akar kuadrat dari (s 2 -m 2)

Fungsi trigonometri

Mereka akan membantu menemukan kaki jika salah satu sudut lancip dan panjang sisi miring diketahui (opsi 1). Atau jika salah satu sudut lancip dan panjang salah satu kakinya diketahui (pilihan 2).

Jika panjang sisi miring "s" dan satu sudut lancip diketahui, misalnya sudut A. Maka:

  • k = s*sin(A)
    Yaitu: panjang kaki adalah produk dari kosinus sudut yang disertakan dan panjang sisi miring.
  • m = s*cos(A)
    Yaitu: panjang kaki adalah produk dari sinus sudut yang disertakan dan panjang sisi miring.

Ketika panjang salah satu kaki diketahui, misalnya, "k" dan satu sudut lancip, misalnya, A. Maka:

  • m = k*tg(A)
    Dan sebaliknya: jika kaki b dan sudut lancip B diketahui, maka:
  • k = m*tg(B)

Yaitu: panjang kaki adalah produk dari panjang kaki kedua dan tangen dari sudut yang terletak di seberang kaki yang diinginkan.

Metode ini juga memungkinkan Anda untuk menemukan sisi miring: s = k*sin(A)

Kami telah memeriksa cara utama yang akan menjawab Anda bagaimana menemukan kaki segitiga siku-siku; menyediakan formula yang diperlukan.

Membagikan: