rumah » Pendidikan » Metode aksiomatik: uraian, tahapan perkembangan dan contoh. Metode membangun teori ilmiah: aksiomatik, genetik, deduktif hipotetis, matematika

Metode aksiomatik: uraian, tahapan perkembangan dan contoh. Metode membangun teori ilmiah: aksiomatik, genetik, deduktif hipotetis, matematika

Metode aksiomatik adalah suatu metode membangun teori matematika yang menggunakan ketentuan-ketentuan tertentu yang diterima tanpa pembuktian (aksioma) sebagai dasarnya, dan semua ketentuan lainnya disimpulkan darinya dengan cara yang murni logis. Dengan penerapan radikal pendekatan ini, matematika direduksi menjadi logika murni, hal-hal seperti intuisi, representasi geometris visual, penalaran induktif, dan sebagainya dikeluarkan darinya. Apa inti dari kreativitas matematika menghilang. Lalu mengapa metode ini ditemukan? Untuk menjawab pertanyaan ini kita perlu kembali ke awal mula matematika.

1. Aksioma: dua pemahaman

Seperti yang kita ingat dari sekolah, bukti matematika, aksioma, dan teorema muncul Yunani kuno. Konstruksi aksiomatik geometri dikanonisasi dalam buku yang darinya banyak generasi diajarkan matematika - dalam Euclid's Elements. Namun, pada masa itu konsep aksioma dipahami secara berbeda dibandingkan sekarang. Hingga saat ini, buku pelajaran sekolah terkadang menyebutkan bahwa aksioma adalah kebenaran nyata yang diterima tanpa bukti. Pada abad ke-19, konsep ini banyak berubah karena kata “jelas” menghilang. Aksioma sudah tidak jelas lagi; aksioma masih diterima tanpa bukti, namun pada prinsipnya bisa berupa pernyataan yang sepenuhnya sewenang-wenang. Di balik perubahan kecil ini, pada pandangan pertama, terdapat perubahan posisi filosofis yang agak radikal - penolakan untuk mengakui satu-satunya realitas matematika yang mungkin. Pemeran utama Sejarah munculnya geometri non-Euclidean yang terjadi pada abad ke-19 berkat karya ilmuwan seperti N. I. Lobachevsky dan J. Bolyai tentu turut berperan dalam perubahan tersebut.

2. Soal aksioma garis sejajar

Sejarah geometri non-Euclidean dimulai dengan upaya untuk membuktikan apa yang disebut postulat kelima Euclid - aksioma paralel yang terkenal: melalui suatu titik di luar suatu garis, tidak lebih dari satu garis yang dapat ditarik sejajar dengan garis tertentu. Pernyataan ini sangat berbeda dengan aksioma Euclid lainnya. Bagi banyak orang, hal ini tampaknya perlu dibuktikan; hal ini tidak sejelas aksioma-aksioma lainnya. Upaya ini tidak berhasil selama berabad-abad; banyak matematikawan mengusulkan “solusi” mereka sendiri, yang kemudian ditemukan kesalahan oleh matematikawan lain. (Sekarang kita tahu bahwa upaya ini jelas akan gagal; ini adalah salah satu contoh pertama pernyataan matematika yang tidak dapat dibuktikan).

3. Geometri Lobachevsky

Baru pada abad ke-19 disadari bahwa mungkin pernyataan ini sebenarnya tidak dapat dibuktikan dan ada beberapa geometri lain, yang sama sekali berbeda dari kita, yang di dalamnya aksioma ini salah. Apa yang dilakukan Lobachevsky? Dia melakukan apa yang sering dilakukan para ahli matematika ketika mencoba membuktikan suatu pernyataan. Teknik favorit adalah pembuktian dengan kontradiksi: misalkan pernyataan yang diberikan salah. Apa yang berikut ini? Untuk membuktikan teorema tersebut, ahli matematika mencoba memperoleh kontradiksi dari asumsi yang dibuat. Tapi di pada kasus ini Lobachevsky menerima semakin banyak konsekuensi matematis dan geometris baru dari asumsi yang dibuat, tetapi konsekuensi tersebut disusun menjadi sistem yang sangat indah dan konsisten secara internal, namun berbeda dari sistem Euclidean yang biasa kita gunakan. Dunia baru geometri non-Euclidean, tidak seperti yang biasa kita alami, terbentang di depan matanya. Hal ini membawa Lobachevsky pada kesadaran bahwa geometri seperti itu mungkin terjadi. Pada saat yang sama, aksioma kesejajaran dalam geometri Lobachevsky jelas bertentangan dengan intuisi geometri kita sehari-hari: tidak hanya tidak jelas secara intuitif, namun dari sudut pandang intuisi ini, aksioma tersebut salah.

Namun, membayangkan bahwa hal ini mungkin terjadi pada prinsipnya adalah satu hal, dan membuktikan secara matematis secara ketat bahwa sistem aksioma geometri seperti itu konsisten. Hal ini dicapai beberapa dekade kemudian dalam karya matematikawan lain - Beltrami, Klein dan Poincaré, yang mengusulkan model aksioma geometri non-Euclidean dalam kerangka geometri Euclidean biasa. Mereka sebenarnya menetapkan bahwa inkonsistensi geometri Lobachevsky akan menyebabkan inkonsistensi geometri Euclidean yang kita kenal. Hal sebaliknya juga terjadi, yaitu dari sudut pandang logika, kedua sistem tersebut ternyata sepenuhnya setara.

Karena itu, ada satu peringatan yang perlu dibuat. Sejarah geometri non-Euclidean diilustrasikan dengan baik oleh fenomena lain yang diamati lebih dari satu kali dalam sejarah sains. Terkadang penyelesaian suatu masalah muncul bukan setelahnya, melainkan sebelum masalah itu sendiri mendapat rumusan yang tepat dan dapat dipahami dengan baik oleh semua orang. Inilah yang terjadi dalam kasus ini: pada pertengahan abad ke-19 daftar lengkap aksioma geometri dasar belum ada. Elemen Euclid tidak cukup konsisten dalam penerapan metode aksiomatik. Banyak argumen Euclid yang mengacu pada intuisi visual; aksiomanya jelas tidak cukup bahkan untuk perumusan yang bermakna tentang masalah tidak dapat dibuktikannya postulat paralel. Lobachevsky dengan Bolyai, dan Beltrami dengan Klein dan Poincaré berada dalam posisi yang sama. Menyelesaikan masalah yang tidak dapat dibuktikan pada tingkat ketelitian yang tepat memerlukan pengembangan peralatan logika matematika yang benar-benar baru dan metode aksiomatik yang sama.

4. Penciptaan metode aksiomatik

Situasi ini dipahami setelah penerbitan buku D. Hilbert “Foundations of Geometry”; ia mengusulkan konsep metode aksiomatik yang dengannya kami memulai. Hilbert menyadari bahwa untuk memahami dasar-dasar geometri, perlu untuk sepenuhnya mengecualikan segala sesuatu kecuali logika dari aksioma. Dia dengan penuh warna mengungkapkan gagasan ini sebagai berikut: “Validitas aksioma dan teorema tidak akan tergoyahkan sama sekali jika kita mengganti istilah umum “titik, garis, bidang” dengan istilah lain yang sama konvensionalnya: “kursi, meja, cangkir bir”!

Hilbert-lah yang membangun sekuensial pertama dan sistem yang lengkap aksioma geometri dasar, ini terjadi pada akhir abad ke-19. Dengan demikian, metode aksiomatik sebenarnya diciptakan untuk membuktikan ketidakmungkinan pembuktian pernyataan-pernyataan tertentu, dalam hal ini geometrik.

Hilbert bangga dengan penemuannya dan berpikir bahwa metode ini dapat diperluas ke seluruh matematika secara keseluruhan: tidak hanya pada geometri dasar, tetapi juga pada aritmatika, analisis, dan teori himpunan. Dia mencanangkan "Program Hilbert", yang tujuannya adalah untuk mengembangkan sistem aksioma untuk semua bagian matematika (dan bahkan bagian fisika) dan kemudian menetapkan konsistensi matematika dengan cara yang terbatas. Segera setelah Hilbert menyadari kemungkinan metode aksiomatik, tampaknya jalur langsung terbuka untuk pengembangan tersebut. Hilbert bahkan mengucapkan ungkapan terkenal pada tahun 1930, yang jika diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia terdengar seperti “Kita harus tahu, dan kita akan tahu,” yang berarti bahwa segala sesuatu yang harus diketahui oleh para ahli matematika, cepat atau lambat akan mereka pelajari. Namun tujuan ini ternyata tidak realistis, dan hal ini menjadi jelas kemudian. Yang paling menakjubkan adalah bahwa teorema yang secara efektif menyangkal harapan-harapan ini, teorema ketidaklengkapan Kurt Gödel, diumumkan pada konferensi yang sama pada tahun 1930 di mana Hilbert memberikan pidatonya yang terkenal, tepat satu hari sebelum peristiwa ini.

5. Kemungkinan metode aksiomatik

Metode aksiomatik Hilbert memungkinkan seseorang untuk membangun teori matematika berdasarkan pernyataan matematika yang didefinisikan dengan jelas, yang darinya teori lain dapat diturunkan secara logis. Hilbert sebenarnya melangkah lebih jauh dan memutuskan bahwa reduksi matematika menjadi logika bisa dilanjutkan. Anda selanjutnya dapat mengajukan pertanyaan: “Apakah mungkin untuk menghilangkan penjelasan tentang arti operasi logika?” Logika sendiri bisa dihilangkan dari metode aksiomatik. Dari teori aksiomatik kita beralih ke teori aksiomatik formal - ini adalah teori yang ditulis dalam bentuk simbolis, sedangkan matematika tidak hanya berubah menjadi rangkaian kesimpulan logis, tetapi menjadi semacam permainan menulis ulang ekspresi formal menurut aturan tertentu. Permainan inilah, yang sama sekali tidak ada artinya jika Anda melihatnya secara naif, yang memberikan gambaran pastinya model matematika tentang apa itu “bukti”. Dengan menganalisa permainan ini dapat dibuktikan bahwa teorema matematika tidak dapat dibuktikan. Namun yang utama: sebagai hasil formalisasi, ahli matematika untuk pertama kalinya membangun bahasa yang sepenuhnya diformalkan, yang mengarah pada terciptanya bahasa pemrograman dan bahasa database. Perkembangan masa kini Teknologi komputer pada akhirnya didasarkan pada penemuan-penemuan yang dilakukan dalam matematika pada awal abad ke-20.

6. Kritik terhadap metode aksiomatik

Banyak ahli matematika mengkritik metode aksiomatik karena tujuan metode tersebut diciptakan: metode ini menghilangkan makna matematika. Karena pertama-tama kita menyingkirkan matematika dari berbagai konsep geometri, dari intuisi. Beralih ke teori aksiomatik formal, kita, secara umum, membuang logika dari matematika. Akibatnya, yang tersisa dari pembuktian substantif hanyalah kerangka yang terdiri dari simbol-simbol formal. Keuntungan dari yang terakhir adalah kita tidak tahu apa itu “makna” dan “intuisi”, tapi kita tahu persis apa itu manipulasi dengan rangkaian karakter yang terbatas. Hal ini memungkinkan kita untuk membangun model matematika yang akurat dari fenomena kompleks - bukti - dan melakukan analisis matematis.

Pembuktian matematis pada awalnya merupakan proses psikologis untuk meyakinkan lawan bicara tentang kebenaran suatu pernyataan tertentu. Dalam sistem formal, hal ini tidak terjadi: segala sesuatu telah direduksi menjadi proses mekanis semata. Proses mekanis murni ini dapat dilakukan oleh komputer. Namun, seperti model lainnya, proses mekanis hanya menyampaikan beberapa fitur bukti nyata. Model ini mempunyai batas penerapannya. Adalah salah untuk berpikir bahwa bukti formal adalah bukti matematis yang “nyata” atau bahwa ahli matematika benar-benar bekerja dalam sistem formal tertentu.

Secara terpisah, perlu disebutkan pengajaran matematika. Tidak ada yang lebih buruk daripada mendasarkan pendidikan anak sekolah pada melakukan tindakan mekanis (algoritma) atau pada membangun kesimpulan logis formal. Dengan cara ini Anda dapat merusak awal kreatif seseorang. Oleh karena itu, ketika mengajar matematika, Anda tidak boleh mendekatinya dari sudut pandang metode aksiomatik yang ketat dalam pengertian Hilbert - bukan untuk itu metode itu diciptakan.

Metode aksiomatik pertama kali berhasil diterapkan oleh Euclid untuk membangun geometri dasar. Sejak itu metode ini telah dilakukan evolusi yang signifikan, telah menemukan banyak penerapan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga di banyak cabang ilmu alam eksakta (mekanik, optik, elektrodinamika, teori relativitas, kosmologi, dll.).

Perkembangan dan penyempurnaan metode aksiomatik terjadi melalui dua jalur utama: pertama, generalisasi metode itu sendiri dan kedua, pengembangan teknik logika yang digunakan dalam proses menurunkan teorema dari aksioma. Untuk lebih jelas membayangkan sifat perubahan yang terjadi, mari kita beralih ke aksiomatik asli Euclid. Seperti diketahui, konsep awal dan aksioma geometri diinterpretasikan dalam satu cara. Yang dimaksud dengan titik, garis, dan bidang sebagai konsep dasar geometri adalah objek spasial yang diidealkan, dan geometri itu sendiri dianggap sebagai studi tentang sifat-sifat ruang fisik. Lambat laun menjadi jelas bahwa aksioma Euclid ternyata benar tidak hanya untuk menggambarkan sifat-sifat geometris, tetapi juga objek matematika dan bahkan fisik lainnya. Jadi, jika yang kami maksud dengan titik adalah tiga bilangan real, di bawah garis lurus, bidang - persamaan linier yang sesuai, maka sifat-sifat semua benda non-geometris ini akan memenuhi aksioma geometri Euclid. Yang lebih menarik lagi adalah interpretasi aksioma-aksioma ini dengan bantuan objek fisik, misalnya keadaan sistem mekanik dan fisikokimia atau variasi sensasi warna. Semua ini menunjukkan bahwa aksioma geometri dapat diinterpretasikan dengan menggunakan objek yang sifatnya sangat berbeda.

Pendekatan abstrak terhadap aksiomatik ini sebagian besar disiapkan oleh penemuan geometri non-Euclidean oleh N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss dan B. Riemann. Ekspresi paling konsisten Tampilan Baru tentang aksioma sebagai bentuk abstrak yang memungkinkan banyak interpretasi berbeda, ditemukan dalam karya terkenal D. Hilbert “Foundations of Geometry” (1899). “Kami memikirkan,” tulisnya dalam buku ini, “tentang tiga sistem benda yang berbeda: kami menyebut benda-benda dari sistem pertama sebagai titik dan melambangkan A, B, C,…; Kita menyebut sistem kedua langsung dan melambangkan a, b, c,...; Kita menyebut bidang sistem ketiga dan menetapkannya sebagai a, B, y,...". Dari sini jelas bahwa yang dimaksud dengan “titik”, “garis lurus”, dan “bidang” adalah sistem benda apa pun. Yang penting propertinya dijelaskan oleh aksioma yang sesuai. Langkah selanjutnya menuju abstraksi dari isi aksioma dikaitkan dengan representasi simbolisnya dalam bentuk rumus, serta spesifikasi yang tepat dari aturan inferensi yang menjelaskan bagaimana rumus (aksioma) tertentu dapat dibuat dari rumus lain (teorema) diperoleh. Akibatnya, penalaran bermakna dengan konsep-konsep pada tahap penelitian ini diubah menjadi beberapa operasi dengan rumus-rumus menurut aturan-aturan yang telah ditentukan sebelumnya. Dengan kata lain, pemikiran yang bermakna tercermin di sini dalam kalkulus. Sistem aksiomatik semacam ini sering disebut sistem sintaksis formal, atau kalkuli.

Ketiga jenis aksiomatisasi yang dipertimbangkan digunakan dalam ilmu pengetahuan modern. Sistem aksiomatik yang diformalkan digunakan terutama ketika mempelajari dasar-dasar logis dari suatu ilmu tertentu. Penelitian semacam itu mendapat cakupan terbesar dalam matematika sehubungan dengan penemuan paradoks dalam teori himpunan. Sistem formal memainkan peran penting dalam penciptaan bahasa ilmiah khusus, yang dengannya dimungkinkan untuk menghilangkan sebanyak mungkin ketidakakuratan bahasa alami biasa.

Beberapa ilmuwan menganggap hal ini hampir menjadi hal utama dalam proses penerapan metode logis-matematis dalam ilmu-ilmu tertentu. Oleh karena itu, ilmuwan Inggris I. Woodger, yang merupakan salah satu pelopor penggunaan metode aksiomatik dalam biologi, percaya bahwa penerapan metode ini dalam biologi dan cabang ilmu pengetahuan alam lainnya berarti menciptakan bahasa yang sempurna secara ilmiah di mana kalkulus adalah mungkin. Dasar untuk membangun bahasa semacam itu adalah metode aksiomatik, yang dinyatakan dalam bentuk sistem formal, atau kalkulus. Simbol awal dari dua jenis berfungsi sebagai alfabet bahasa formal: logis dan individual.

Simbol logika mewakili koneksi logis dan hubungan yang umum pada banyak atau sebagian besar teori. Simbol individu mewakili objek teori yang diteliti, seperti matematika, fisika atau biologi. Sebagaimana rangkaian huruf alfabet tertentu membentuk sebuah kata, demikian pula kumpulan simbol terurut yang terbatas membentuk rumus dan ekspresi bahasa yang diformalkan. Untuk membedakan ekspresi bermakna suatu bahasa, konsep rumus yang dibangun dengan benar diperkenalkan. Untuk menyelesaikan proses membangun bahasa buatan, cukup menjelaskan dengan jelas aturan untuk menurunkan atau mengubah satu rumus ke rumus lain dan menyoroti beberapa rumus yang dibangun dengan benar sebagai aksioma. Dengan demikian, konstruksi bahasa yang diformalkan terjadi dengan cara yang sama seperti konstruksi sistem aksiomatik yang bermakna. Karena penalaran yang bermakna dengan rumus tidak dapat diterima dalam kasus pertama, turunan logis dari konsekuensi di sini adalah melakukan operasi yang ditentukan secara tepat untuk menangani simbol dan kombinasinya.

tujuan utamanya penggunaan bahasa formal dalam sains - analisis kritis terhadap penalaran yang dengannya pengetahuan baru dalam sains diperoleh. Karena bahasa formal mencerminkan beberapa aspek penalaran bermakna, bahasa tersebut juga dapat digunakan untuk menilai kemungkinan mengotomatisasi aktivitas intelektual.

Sistem aksiomatik abstrak paling banyak digunakan dalam matematika modern, yang dicirikan oleh pendekatan yang sangat umum terhadap subjek penelitian. Alih-alih berbicara tentang bilangan konkrit, fungsi, garis, permukaan, vektor, dan sejenisnya, ahli matematika modern mempertimbangkan berbagai kumpulan objek abstrak, yang sifat-sifatnya dirumuskan secara tepat melalui aksioma. Kumpulan atau himpunan tersebut, bersama dengan aksioma yang mendeskripsikannya, sekarang sering disebut struktur matematika abstrak.

Keuntungan apa yang diberikan metode aksiomatik pada matematika? Pertama, secara signifikan memperluas cakupan penerapan metode matematika dan seringkali memfasilitasi proses penelitian. Ketika mempelajari fenomena dan proses tertentu di bidang tertentu, seorang ilmuwan dapat menggunakan sistem aksiomatik abstrak sebagai alat analisis yang siap pakai. Setelah memastikan bahwa fenomena yang dipertimbangkan memenuhi aksioma beberapa teori matematika, peneliti dapat segera menggunakan semua teorema yang mengikuti aksioma tersebut tanpa pekerjaan tambahan yang memakan waktu. Pendekatan aksiomatik menyelamatkan seorang spesialis dalam ilmu tertentu dari melakukan penelitian matematika yang agak rumit dan sulit.

Bagi seorang ahli matematika, metode ini memungkinkan untuk lebih memahami objek penelitian, menonjolkan arah utama di dalamnya, dan memahami kesatuan dan keterkaitan berbagai metode dan teori. Kesatuan yang dicapai dengan menggunakan metode aksiomatik, dalam ungkapan kiasan N. Bourbaki, bukanlah kesatuan “yang memberikan kerangka tanpa kehidupan. Ini adalah sari nutrisi tubuh dalam perkembangan penuh, instrumen penelitian yang dapat ditempa dan bermanfaat…” Berkat metode aksiomatik, terutama dalam bentuk formalnya, struktur logis berbagai teori dapat diungkap secara utuh. Dalam bentuknya yang paling sempurna, hal ini berlaku pada teori matematika. Dalam ilmu pengetahuan alam kita harus membatasi diri pada aksiomatisasi inti utama teori. Lebih lanjut, penggunaan metode aksiomatik memungkinkan kita mengontrol jalannya penalaran kita dengan lebih baik, sehingga mencapai ketelitian logis yang diperlukan. Namun, nilai utama aksiomatisasi, khususnya dalam matematika, adalah bahwa ia bertindak sebagai metode untuk mengeksplorasi pola-pola baru, membangun hubungan antara konsep dan teori yang sebelumnya tampak terisolasi satu sama lain.

Terbatasnya penggunaan metode aksiomatik dalam ilmu pengetahuan alam terutama disebabkan oleh fakta bahwa teori-teorinya harus terus-menerus dipantau oleh pengalaman.

Oleh karena itu, teori ilmu pengetahuan alam tidak pernah berupaya mencapai kelengkapan dan isolasi yang utuh. Sedangkan dalam matematika mereka lebih suka berurusan dengan sistem aksioma yang memenuhi syarat kelengkapan. Namun seperti yang ditunjukkan K. Gödel, sistem aksioma konsisten apa pun yang bersifat non-sepele tidak mungkin lengkap.

Persyaratan konsistensi suatu sistem aksioma jauh lebih penting daripada persyaratan kelengkapannya. Jika suatu sistem aksioma bertentangan, maka tidak akan ada gunanya bagi pengetahuan. Dengan membatasi diri kita pada sistem yang tidak lengkap, kita hanya dapat melakukan aksioma pada isi utama teori-teori ilmu pengetahuan alam, sehingga menyisakan kemungkinan untuk pengembangan lebih lanjut dan penyempurnaan teori melalui eksperimen. Bahkan tujuan terbatas seperti itu dalam beberapa kasus ternyata sangat berguna, misalnya untuk menemukan beberapa premis dan asumsi implisit dari teori, memantau hasil yang diperoleh, sistematisasinya, dll.

Penerapan metode aksiomatik yang paling menjanjikan adalah dalam ilmu-ilmu di mana konsep-konsep yang digunakan memiliki stabilitas yang signifikan dan di mana seseorang dapat mengabstraksikan perubahan dan perkembangannya.

Dalam kondisi inilah menjadi mungkin untuk mengidentifikasi hubungan formal-logis antara berbagai komponen teori. Dengan demikian, metode aksiomatik, lebih luas daripada metode hipotetis-deduktif, diadaptasi untuk mempelajari pengetahuan yang sudah jadi dan telah dicapai.

Analisis terhadap kemunculan ilmu pengetahuan dan proses pembentukannya memerlukan perhatian pada dialektika materialis, sebagai doktrin pembangunan yang paling mendalam dan komprehensif.

Metode aksiomatik pertama kali berhasil diterapkan oleh Euclid untuk membangun geometri dasar. Sejak saat itu, metode ini telah mengalami evolusi yang signifikan dan telah menemukan banyak penerapan tidak hanya dalam matematika, tetapi juga di banyak cabang ilmu alam eksakta (mekanik, optik, elektrodinamika, teori relativitas, kosmologi, dll.).

Perkembangan dan penyempurnaan metode aksiomatik terjadi melalui dua jalur utama: pertama, generalisasi metode itu sendiri dan kedua, pengembangan teknik logika yang digunakan dalam proses menurunkan teorema dari aksioma. Untuk lebih jelas membayangkan sifat perubahan yang terjadi, mari kita beralih ke aksiomatik asli Euclid. Seperti diketahui, konsep awal dan aksioma geometri diinterpretasikan dalam satu cara. Yang dimaksud dengan titik, garis, dan bidang sebagai konsep dasar geometri adalah objek spasial yang diidealkan, dan geometri itu sendiri dianggap sebagai studi tentang sifat-sifat ruang fisik. Lambat laun menjadi jelas bahwa aksioma Euclid ternyata benar tidak hanya untuk menggambarkan sifat-sifat geometris, tetapi juga objek matematika dan bahkan fisik lainnya. Jadi, jika yang dimaksud dengan titik adalah tiga bilangan real, dan yang dimaksud dengan garis lurus dan bidang adalah persamaan linier yang bersesuaian, maka sifat-sifat semua benda non-geometris ini akan memenuhi aksioma geometri Euclid. Yang lebih menarik lagi adalah interpretasi aksioma-aksioma ini dengan bantuan objek fisik, misalnya keadaan sistem mekanik dan fisikokimia atau variasi sensasi warna. Semua ini menunjukkan bahwa aksioma geometri dapat diinterpretasikan dengan menggunakan objek yang sifatnya sangat berbeda.

Pendekatan abstrak terhadap aksiomatik ini sebagian besar disiapkan oleh penemuan geometri non-Euclidean oleh N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss dan B. Riemann. Ekspresi paling konsisten dari pandangan baru tentang aksioma sebagai bentuk abstrak yang memungkinkan banyak interpretasi berbeda ditemukan dalam karya terkenal D. Hilbert “Foundations of Geometry” (1899). “Kami memikirkan,” tulisnya dalam buku ini, “tentang tiga sistem benda yang berbeda: kami menyebut benda-benda dari sistem pertama sebagai titik dan melambangkan A, B, C,…; Kita menyebut sistem kedua langsung dan melambangkan a, b, c,...; Kita menyebut bidang sistem ketiga dan menetapkannya sebagai a, B, y,...". Dari sini jelas bahwa yang dimaksud dengan “titik”, “garis lurus”, dan “bidang” adalah sistem benda apa pun. Yang penting propertinya dijelaskan oleh aksioma yang sesuai. Langkah selanjutnya menuju abstraksi dari isi aksioma dikaitkan dengan representasi simbolisnya dalam bentuk rumus, serta spesifikasi yang tepat dari aturan inferensi yang menjelaskan bagaimana rumus (aksioma) tertentu dapat dibuat dari rumus lain (teorema) diperoleh. Akibatnya, penalaran bermakna dengan konsep-konsep pada tahap penelitian ini diubah menjadi beberapa operasi dengan rumus-rumus menurut aturan-aturan yang telah ditentukan sebelumnya. Dengan kata lain, pemikiran yang bermakna tercermin di sini dalam kalkulus. Sistem aksiomatik semacam ini sering disebut sistem sintaksis formal, atau kalkuli.

Ketiga jenis aksiomatisasi tersebut digunakan dalam ilmu pengetahuan modern. Sistem aksiomatik yang diformalkan digunakan terutama ketika mempelajari dasar-dasar logis dari suatu ilmu tertentu. Penelitian semacam itu mendapat cakupan terbesar dalam matematika sehubungan dengan penemuan paradoks dalam teori himpunan. Sistem formal memainkan peran penting dalam penciptaan bahasa ilmiah khusus, yang dengannya dimungkinkan untuk menghilangkan sebanyak mungkin ketidakakuratan bahasa alami biasa.

Tujuan utama penggunaan bahasa formal dalam sains adalah analisis kritis terhadap penalaran yang dengannya diperoleh pengetahuan baru dalam sains. Karena bahasa formal mencerminkan beberapa aspek penalaran bermakna, bahasa tersebut juga dapat digunakan untuk menilai kemungkinan mengotomatisasi aktivitas intelektual.

Terbatasnya penggunaan metode aksiomatik dalam ilmu pengetahuan alam terutama disebabkan oleh fakta bahwa teori-teorinya harus terus-menerus dipantau oleh pengalaman.

Analisis terhadap kemunculan ilmu pengetahuan dan proses pembentukannya memerlukan perhatian pada dialektika materialis, sebagai doktrin pembangunan yang paling mendalam dan komprehensif.

Metode aksiomatik merupakan salah satu cara mengkonstruksi teori-teori ilmiah secara deduktif, dimana:
1. dipilih sekumpulan proposisi tertentu dari suatu teori (aksioma) tertentu yang diterima tanpa pembuktian;
2. konsep-konsep yang terkandung di dalamnya tidak didefinisikan secara jelas dalam kerangka teori ini;
3. aturan definisi dan aturan untuk memilih teori tertentu ditetapkan, memungkinkan seseorang untuk memperkenalkan istilah (konsep) baru ke dalam teori dan secara logis menyimpulkan beberapa proposal dari yang lain;
4. semua proposisi lain dari teori ini (teorema) diturunkan dari 1 berdasarkan 3.

Dalam matematika, AM berasal dari karya ahli geometri Yunani kuno. Cemerlang, tetap menjadi satu-satunya hingga abad ke-19. Model penggunaan AM adalah geometri. sistem yang dikenal sebagai "Awal" Euclid (c. 300 SM). Meski saat itu pertanyaan untuk menggambarkan logikanya belum muncul. sarana yang digunakan untuk mengekstrak konsekuensi bermakna dari aksioma, dalam sistem Euclidian gagasan untuk memperoleh seluruh isi dasar geometri sudah cukup jelas dijalankan. teori dengan metode deduktif murni dari sejumlah pernyataan tertentu yang relatif kecil - aksioma, yang kebenarannya tampak jelas.

Pembukaan di awal abad ke-19 geometri non-Euclidean oleh N. I. Lobachevsky dan J. Bolyai adalah dorongan untuk pengembangan lebih lanjut dari AM. Mereka menetapkan bahwa, menggantikan postulat V Euclid yang biasa dan, tampaknya, satu-satunya yang “benar secara obyektif” tentang kesejajaran dengan negasinya, Anda dapat mengembangkannya secara logis. secara geometris sebuah teori yang harmonis dan kaya konten seperti geometri Euclid. Fakta ini memaksa para ahli matematika abad ke-19. memberikan perhatian khusus pada metode deduktif dalam membangun matematika. teori-teori, yang menyebabkan munculnya masalah-masalah baru yang berkaitan dengan konsep matematika matematika itu sendiri, dan matematika formal (aksiomatik). teori. Saat pengalaman aksiomatik terakumulasi. presentasi matematika teori - di sini perlu diperhatikan, pertama-tama, penyelesaian konstruksi geometri dasar yang sempurna secara logis (berbeda dengan Elemen Euclid) [M. Pash (M. Pasch), J. Peano (G. Peano), D. Hilbert (D. Hilbert)] dan upaya pertama untuk melakukan aksioma aritmatika (J. Peano), - konsep aksiomatik formal diklarifikasi. sistem (lihat di bawah); fitur tertentu muncul. masalah yang menjadi dasar apa yang disebut teori bukti sebagai bagian utama matematika modern. logika.

Pemahaman tentang perlunya pembenaran matematika dan tugas-tugas khusus di bidang ini muncul dalam bentuk yang kurang lebih jelas pada abad ke-19. Pada saat yang sama, di satu sisi, klarifikasi konsep dasar dan reduksi konsep yang lebih kompleks menjadi konsep yang paling sederhana dengan landasan yang lebih tepat dan logis dilakukan oleh Ch. arr. di bidang analisis [A. Cauchy, konsep teori fungsional B. Bolzano dan K. Weierstrass, kontinum G. Cantor dan R. Dedekind (R .Dedekind)]; di sisi lain, penemuan geometri non-Euclidean mendorong perkembangan matematika matematika, munculnya ide-ide baru dan perumusan masalah metamathematika yang lebih umum. karakter, pertama-tama, masalah yang berkaitan dengan konsep aksiomatik sewenang-wenang. teori, seperti masalah konsistensi, kelengkapan dan independensi sistem aksioma tertentu. Hasil pertama dalam bidang ini diperoleh dari metode penafsiran, yang secara kasar dapat diuraikan sebagai berikut. Biarkan setiap konsep awal dan relasi diberikan secara aksiomatik. teori T diselaraskan dengan teori matematika konkrit tertentu. Sebuah Objek. Kumpulan benda-benda tersebut disebut. bidang interpretasi. Setiap pernyataan teori T kini secara alami dikaitkan dengan pernyataan tertentu tentang unsur-unsur bidang penafsiran, yang bisa benar atau salah. Maka pernyataan teori T masing-masing dikatakan benar atau salah menurut penafsiran tersebut. Bidang interpretasi dan sifat-sifatnya sendiri biasanya menjadi objek pertimbangan suatu teori matematika, secara umum teori matematika lainnya. teori T 1, khususnya, juga bisa bersifat aksiomatik. Metode interpretasi memungkinkan kita untuk menetapkan fakta konsistensi relatif dengan cara berikut, yaitu membuktikan proposisi seperti: “jika teori T 1 konsisten, maka teori T juga konsisten.” Biarkan teori T ditafsirkan dalam teori T 1 sedemikian rupa sehingga semua aksioma teori T ditafsirkan oleh penilaian yang benar dari teori T 1 . Kemudian setiap teorema teori T, yaitu setiap pernyataan A yang disimpulkan secara logis dari aksioma-aksioma di T, diinterpretasikan di T 1 dengan pernyataan tertentu yang disimpulkan di T 1 dari interpretasi aksioma-aksioma tersebut. Dan saya, dan karena itu benar. Pernyataan terakhir didasarkan pada asumsi lain yang secara implisit kita buat mengenai kesamaan logika tertentu. sarana teori T dan T 1, namun dalam prakteknya kondisi ini biasanya terpenuhi. (Pada awal penerapan metode interpretasi, asumsi ini bahkan tidak dipikirkan secara khusus: asumsi ini diterima begitu saja; pada kenyataannya, dalam kasus eksperimen pertama, bukti teorema tentang konsistensi relatif dari logika sarana teori T dan T 1 hanya bertepatan - ini adalah logika klasik dari predikat. ) Sekarang biarkan teori T menjadi kontradiktif, yaitu, beberapa pernyataan A dari teori ini dapat disimpulkan di dalamnya bersama dengan negasinya. Maka dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa pernyataan-pernyataan dan sekaligus merupakan pernyataan-pernyataan yang benar dari teori T 1, yaitu bahwa teori T 1 bertentangan. Cara ini misalnya terbukti [F. Klein (F. Klein), A. Poincare (N. Poincare)] konsistensi geometri Lobachevsky non-Euclidean dengan asumsi bahwa geometri Euclidean konsisten; dan pertanyaan tentang konsistensi aksiomatisasi Hilbert geometri Euclidean direduksi (D. Hilbert) menjadi masalah konsistensi aritmatika. Metode interpretasi juga memungkinkan kita untuk memecahkan pertanyaan tentang independensi sistem aksioma: untuk membuktikan bahwa aksioma Atheory T tidak bergantung pada aksioma lain dari teori ini, yaitu tidak dapat dideduksi dari aksioma tersebut, dan, Oleh karena itu, penting untuk memperoleh keseluruhan cakupan teori ini, cukup membangun interpretasi teori T, di mana aksioma Abyl salah, dan semua aksioma lain dari teori ini benar. Bentuk lain dari metode pembuktian independensi ini adalah dengan menetapkan konsistensi teori, yang diperoleh jika dalam suatu teori TaksiomaA diganti dengan negasinya. Reduksi masalah konsistensi geometri Lobachevsky yang disebutkan di atas menjadi masalah konsistensi geometri Euclidean, dan yang terakhir ini - menjadi pertanyaan tentang konsistensi aritmatika, mempunyai konsekuensi pernyataan bahwa postulat Euclid tidak dapat dideduksi dari aksioma geometri lainnya, kecuali aritmatika konsisten bilangan asli. Kelemahan metode interpretasi adalah dalam hal konsistensi dan independensi sistem aksioma, memungkinkan diperolehnya hasil yang mau tidak mau hanya bersifat relatif. Namun pencapaian penting dari metode ini adalah kenyataan bahwa dengan bantuannya peran khusus aritmatika sebagai ilmu matematika terungkap dengan dasar yang cukup akurat. teori, pertanyaan serupa untuk sejumlah teori lain direduksi menjadi pertanyaan konsistensi.

A. m. menerima pengembangan lebih lanjut - dan dalam arti tertentu ini adalah puncaknya - dalam karya D. Hilbert dan alirannya dalam bentuk yang disebut. metode formalisme dalam dasar-dasar matematika. Dalam kerangka arah ini, tahap selanjutnya untuk memperjelas konsep aksiomatik dikembangkan. teori yaitu konsep sistem formal. Sebagai hasil dari klarifikasi ini, menjadi mungkin untuk merepresentasikan matematika itu sendiri. teori sebagai matematika eksak objek dan membangun teori umum, atau metateori, teori-teori seperti itu. Pada saat yang sama, prospeknya tampak menggoda (dan D. Hilbert pernah terpesona olehnya) untuk menyelesaikan semua pertanyaan utama dasar matematika melalui jalur ini. Konsep utama arah ini adalah konsep sistem formal. Setiap sistem formal dibangun sebagai kelas ekspresi - rumus yang didefinisikan secara tepat, di mana subkelas rumus, yang disebut rumus, dibedakan dengan cara tertentu yang tepat. teorema sistem formal ini. Pada saat yang sama, rumusan suatu sistem formal tidak secara langsung mempunyai makna yang berarti, dan rumus tersebut dapat dibangun dari ikon atau simbol dasar yang sewenang-wenang, secara umum, hanya berpedoman pada pertimbangan kenyamanan teknis. Faktanya, metode membangun rumus dan konsep teorema sistem formal tertentu dipilih sedemikian rupa sehingga seluruh peralatan formal ini dapat digunakan untuk mengekspresikan, mungkin dengan lebih memadai dan lengkap, suatu matematika tertentu (dan non-matematis). ) teori, lebih tepatnya, sebagai faktualnya isi dan struktur deduktifnya. Skema umum untuk membangun (mendefinisikan) sistem formal arbitrer S adalah sebagai berikut.

I. Bahasa Sistem S:

a) alfabet - daftar simbol dasar sistem;

b) aturan pembentukan (sintaks) - aturan yang dengannya rumus sistem S dibangun dari simbol-simbol dasar; dalam hal ini, barisan simbol-simbol dasar dianggap rumus jika dan hanya jika dapat dibangun menggunakan aturan-aturan pembentukan .

II. Aksioma sistem S. Seperangkat rumus tertentu (biasanya berhingga atau dapat dihitung) diidentifikasi, yang disebut. aksioma sistem S.

AKU AKU AKU. Aturan penarikan sistem S. Himpunan predikat (biasanya berhingga) ditetapkan pada himpunan semua rumus sistem S. Biarkan - k.-l. dari predikat tersebut, jika pernyataan tersebut benar untuk rumus-rumus tersebut, maka dikatakan bahwa rumus tersebut mengikuti langsung dari rumus-rumus tersebut menurut kaidahnya.

7. Teori probabilitas:

Teori probabilitas - ilmu matematika yang mempelajari pola dalam fenomena acak. Salah satu konsep dasar teori probabilitas adalah konsep peristiwa acak (atau sederhananya acara ).

Peristiwa adalah fakta apa pun yang mungkin atau mungkin tidak terjadi sebagai akibat dari pengalaman. Contoh kejadian acak: mendapat angka enam pada pelemparan dadu, kegagalan perangkat teknis, distorsi pesan ketika ditransmisikan melalui saluran komunikasi. Beberapa peristiwa terkait dengan angka , mencirikan derajat kemungkinan obyektif terjadinya peristiwa-peristiwa tersebut, disebut probabilitas kejadian .

Ada beberapa pendekatan terhadap konsep “probabilitas”.

Konstruksi modern teori probabilitas didasarkan pada pendekatan aksiomatik dan bergantung pada konsep dasar teori himpunan. Pendekatan ini disebut teori himpunan.

Biarkan beberapa percobaan dilakukan dengan hasil acak. Mari kita perhatikan himpunan W dari semua kemungkinan hasil percobaan; kita akan menyebut masing-masing elemennya acara dasar dan himpunan Ω adalah ruang acara dasar. Ada acara A dalam penafsiran teori himpunan terdapat subset tertentu dari himpunan Ω: .

Dapat diandalkan disebut peristiwa W yang terjadi pada setiap percobaan.

Mustahil disebut peristiwa Æ yang tidak dapat terjadi akibat percobaan.

Tidak kompatibel adalah peristiwa yang tidak dapat terjadi secara bersamaan dalam satu pengalaman.

Jumlah(kombinasi) dari dua peristiwa A Dan B(dilambangkan A+B, AÈ B) adalah peristiwa yang terdiri dari fakta bahwa setidaknya salah satu peristiwa terjadi, yaitu. A atau B, atau keduanya secara bersamaan.

Pekerjaan(persimpangan) dua peristiwa A Dan B(dilambangkan A× B, AÇ B) adalah peristiwa dimana kedua peristiwa tersebut terjadi A Dan B bersama.

Di depan ke acara tersebut A peristiwa seperti itu disebut, yaitu peristiwa itu A tidak terjadi.

Acara Sebuah k(k=1, 2, …, N) membentuk kelompok penuh , jika keduanya tidak kompatibel secara berpasangan dan secara keseluruhan merupakan peristiwa yang dapat diandalkan.

Kemungkinan kejadian tersebutA mereka menyebut rasio jumlah hasil yang menguntungkan peristiwa ini dengan jumlah total semua hasil dasar yang sama-sama mungkin tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap. Jadi, peluang kejadian A ditentukan oleh rumus

dimana m adalah jumlah hasil dasar yang menguntungkan A; n adalah jumlah semua kemungkinan hasil tes dasar.

Di sini diasumsikan bahwa hasil-hasil dasar tidak kompatibel, sama-sama mungkin dan membentuk kelompok yang lengkap. Sifat-sifat berikut mengikuti definisi probabilitas:
Pasal sendiri 1. Peluang suatu kejadian yang dapat diandalkan sama dengan satu. Memang benar, jika kejadian tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil tes yang mendasar akan mendukung kejadian tersebut. Dalam hal ini m = n, oleh karena itu,

P (A) = m / n = n / n = 1.

S sekitar dengan t sekitar 2. Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol. Memang benar, jika suatu peristiwa tidak mungkin terjadi, maka tidak ada hasil dasar tes yang mendukung peristiwa tersebut. Dalam hal ini m = 0, oleh karena itu,

P (A) = m / n = 0 / n = 0.

Dengan sekitar dengan t sekitar 3. Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.Benar-benar, peristiwa acak hanya beberapa di antaranya yang menguntungkan jumlah total hasil tes dasar. Dalam hal ini 0< m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,

0 <Р (А) < 1

Jadi, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda

Perkembangan dan penyempurnaan metode aksiomatik terjadi melalui dua jalur utama: pertama, generalisasi metode itu sendiri dan kedua, pengembangan teknik logika yang digunakan dalam proses menurunkan teorema dari aksioma. Untuk lebih jelas membayangkan sifat perubahan yang terjadi, mari kita beralih ke aksiomatik asli Euclid. Seperti diketahui, konsep awal dan aksioma geometri diinterpretasikan dalam satu cara. Yang dimaksud dengan titik, garis, dan bidang sebagai konsep dasar geometri adalah objek spasial yang diidealkan, dan geometri itu sendiri dianggap sebagai studi tentang sifat-sifat ruang fisik. Lambat laun menjadi jelas bahwa aksioma Euclid ternyata benar tidak hanya untuk menggambarkan sifat-sifat geometris, tetapi juga objek matematika dan bahkan fisik lainnya. Jadi, jika yang dimaksud dengan titik adalah tiga bilangan real, dan yang dimaksud dengan garis lurus dan bidang adalah persamaan linier yang bersesuaian, maka sifat-sifat semua benda non-geometris ini akan memenuhi aksioma geometri Euclid. Yang lebih menarik lagi adalah interpretasi aksioma-aksioma ini dengan bantuan objek fisik, misalnya keadaan sistem mekanik dan fisikokimia atau variasi sensasi warna. Semua ini menunjukkan bahwa aksioma geometri dapat diinterpretasikan dengan menggunakan objek yang sifatnya sangat berbeda.

Pendekatan abstrak terhadap aksiomatik ini sebagian besar disiapkan oleh penemuan geometri non-Euclidean oleh N. I. Lobachevsky, J. Bolyai, C. F. Gauss dan B. Riemann. Ekspresi paling konsisten dari pandangan baru tentang aksioma sebagai bentuk abstrak yang memungkinkan banyak interpretasi berbeda ditemukan dalam karya terkenal D. Hilbert “Foundations of Geometry” (1899). “Kami memikirkan,” tulisnya dalam buku ini, “tentang tiga sistem benda yang berbeda: kami menyebut benda-benda dari sistem pertama sebagai titik dan melambangkan A, B, C,…; Kita menyebut sistem kedua langsung dan melambangkan a, b, c,...; Kita menyebut bidang sistem ketiga dan menetapkannya sebagai a, B, y,...". Dari sini jelas bahwa yang dimaksud dengan “titik”, “garis lurus”, dan “bidang” adalah sistem benda apa pun. Yang penting propertinya dijelaskan oleh aksioma yang sesuai. Langkah selanjutnya menuju abstraksi dari isi aksioma dikaitkan dengan representasi simbolisnya dalam bentuk rumus, serta spesifikasi yang tepat dari aturan inferensi yang menjelaskan bagaimana rumus (aksioma) tertentu dapat dibuat dari rumus lain (teorema) diperoleh. Akibatnya, penalaran bermakna dengan konsep-konsep pada tahap penelitian ini diubah menjadi beberapa operasi dengan rumus-rumus menurut aturan-aturan yang telah ditentukan sebelumnya. Dengan kata lain, pemikiran yang bermakna tercermin di sini dalam kalkulus. Sistem aksiomatik semacam ini sering disebut sistem sintaksis formal, atau kalkuli.

Terbatasnya penggunaan metode aksiomatik dalam ilmu pengetahuan alam terutama disebabkan oleh fakta bahwa teori-teorinya harus terus-menerus dipantau oleh pengalaman.

Analisis terhadap kemunculan ilmu pengetahuan dan proses pembentukannya memerlukan perhatian pada dialektika materialis, sebagai doktrin pembangunan yang paling mendalam dan komprehensif.

Membagikan: