Paralelogramma. Kutatási projekt "Paralelogramma és tulajdonságai" Mi a paralelogramma és tulajdonságai
Önkormányzati költségvetési oktatási intézmény
Savinskaya középiskola
Kutatómunka
A paralelogramma és új tulajdonságai
Elkészítette: 8B osztályos tanuló
MBOU Savinskaya Középiskola
Kuznetsova Svetlana, 14 éves
Vezetője: matematikatanár
Tulchevskaya N.A.
o. Savino
Ivanovo régió, Oroszország
2016
ÉN. Bevezetés _____________________________________________________________3. oldal
II. A paralelogramma történetéből ________________________________________4. oldal
III A paralelogramma további tulajdonságai ___________________________________4. oldal
IV. Tulajdonságok igazolása _____________________________________________ 5. oldal
V. Problémák megoldása további tulajdonságok használatával __________8. oldal
VI. A paralelogramma tulajdonságainak alkalmazása az életben ______________________11. oldal
VII. Következtetés ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
VIII. Irodalom _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 13. oldal
Bevezetés
"Egyenrangú elmék között
at egyéb feltételek egyenlősége
aki ismeri a geometriát, az jobb"
(Blaise Pascal).
A geometria órákon a „Paralelogramma” témakör tanulmányozása során a paralelogramma két tulajdonságát és három jellemzőjét vizsgáltuk, de amikor elkezdtük a feladatok megoldását, kiderült, hogy ez nem elég.
Volt egy kérdésem: van-e más tulajdonsága a paralelogrammának, és hogyan segítenek a problémák megoldásában?
És úgy döntöttem, hogy megvizsgálom a paralelogramma további tulajdonságait, és megmutatom, hogyan alkalmazhatók problémák megoldására.
A kutatás tárgya : paralelogramma
A vizsgálat tárgya
: paralelogramma tulajdonságai
A munka célja:
a paralelogramma olyan további tulajdonságainak megfogalmazása és bizonyítása, amelyeket az iskolában nem tanulnak;
Ezen tulajdonságok alkalmazása a problémák megoldására.
Feladatok:
Tanulmányozza a paralelogramma megjelenésének történetét és tulajdonságainak fejlődéstörténetét;
Keressen további irodalmat a vizsgált témában;
Tanulmányozza a paralelogramma további tulajdonságait és bizonyítja azokat;
Mutassa be e tulajdonságok alkalmazását problémák megoldására;
Tekintsük a paralelogramma tulajdonságainak alkalmazását az életben.
Kutatási módszerek:
Oktatási és ismeretterjesztő irodalommal, internetes forrásokkal való munka;
Elméleti anyag tanulmányozása;
A paralelogramma további tulajdonságaival megoldható problémakör azonosítása;
Megfigyelés, összehasonlítás, elemzés, hasonlat.
A vizsgálat időtartama : 3 hónap: 2016. január-március
A paralelogramma történetéből
Egy geometriai tankönyvben a paralelogramma következő definícióját olvashatjuk: A paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak.
A "parallelogram" szót "párhuzamos vonalnak" fordítják (a görög Parallelos szavakból - párhuzamos és gramme - vonal), ezt a kifejezést Eukleidész vezette be. Eukleidész Elemek című könyvében a paralelogramma következő tulajdonságait bizonyította: a paralelogramma szemközti oldalai és szögei egyenlőek, és az átló felezi azt. Eukleidész nem említi a paralelogramma metszéspontját. Csak a középkor vége felé alakult ki a paralelogramma teljes elmélete, és csak a 17. században jelentek meg a tankönyvekben a paralelogrammákról szóló tételek, amelyeket a paralelogramma tulajdonságaira vonatkozó Eukleidész-tétel segítségével bizonyítanak.
III A paralelogramma további tulajdonságai
A geometria tankönyvben a paralelogrammának csak 2 tulajdonsága van megadva:
A szemközti szögek és oldalak egyenlőek
A paralelogramma átlói metszik egymást, és a metszéspont felezi őket.
A geometriával kapcsolatos különféle forrásokban a következő további tulajdonságok találhatók:
Egy paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180 0
A paralelogramma szögfelezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle;
A paralelogramma ellentétes szögeinek felezőpontjai párhuzamos egyeneseken fekszenek;
A paralelogramma szomszédos szögeinek felezőpontjai derékszögben metszik egymást;
Amikor egy paralelogramma összes szögének felezőpontja metszi egymást, téglalapot alkotnak;
A paralelogramma szemközti sarkaitól ugyanannak az átlónak a távolsága egyenlő.
Ha egy paralelogramma ellentétes csúcsait összekötjük a szemközti oldalak felezőpontjaival, egy másik paralelogrammát kapunk.
Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik a szomszédos oldalai négyzetösszegének kétszeresével.
Ha egy paralelogrammában két ellentétes szögből rajzolunk magasságokat, akkor egy téglalapot kapunk.
IV A paralelogramma tulajdonságainak bizonyítása
Egy paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180 0
Adott:
ABCD – paralelogramma
Bizonyítsuk be:
A+ B= 
Bizonyíték:
A és B – belső egyoldalú szögek párhuzamos egyenesekkel BC 
AD és szekáns AB, ami azt jelenti A+ B=
2
Adott: ABCD - paralelogramma,
AK felező 
A.
Bizonyítsuk be: 
AVK – egyenlő szárú
Bizonyíték:
1) 1=3 (keresztben fekvő Kr. e AD és szekáns AK ),
2) 2=3, mert AK egy felező,
jelentése 1= 2.
3) ABC - egyenlő szárú, mert a háromszög 2 szöge egyenlő
3
Adott: Az ABCD egy paralelogramma,
AK – A felező,
CP - C felező.
Bizonyítsuk be: AK║ SR
Bizonyíték:
1) 1=2, mert AK felező
2) 4=5 mert CP – felező
3) 3=1 (keresztben fekvő szögek a
BC ║ AD és AK-szekant),
4) A =C (a paralelogramma tulajdonságával), ami azt jelenti, hogy 2=3=4=5.
4) A (3) és (4) bekezdésből az következik, hogy 1 = 4, és ezek a szögek megfelelnek az AK és CP egyeneseknek és a BC metszőnek,
ez AK ║ CP-t jelent (az egyenesek párhuzamossága alapján)
. A paralelogramma ellentétes szögének felezőpontjai párhuzamos egyeneseken helyezkednek el
A paralelogramma szomszédos szögeinek felezőelemei derékszögben metszik egymást
Adott: ABCD - paralelogramma,
AK-felező,
DP-felező D
Bizonyítsuk be: DP 
AK.
Bizonyíték:
1) 1=2, mert AK - felező
Legyen 1=2=x, majd A=2x,
2) 3=4, mert D Р – felező
Legyen 3=4=y, majd D=2y
3) A + D =180 0, mert egy paralelogramma szomszédos szögeinek összege 180
2) Fontolja meg Egy OD
1+3=90 0, akkor <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. A paralelogramma összes szögének felezője metszéskor téglalapot alkot
Adott: ABCD - paralelogramma, AK-felezőszög A,
DP-felező D,
CM C felező,
BF - B felező.
Bizonyítsd be: KRNS - téglalap
Bizonyíték:
Az előző tulajdonság alapján 8=7=6=5=90 0 ,
azt jelenti, hogy a KRNS egy téglalap.
A paralelogramma szemközti sarkaitól ugyanannak az átlónak a távolsága egyenlő.
Adott: ABCD-parallelogramma, AC-átló.
VK AC, D.P. A.C.
Bizonyítsuk be: BC=DP
Bizonyíték: 1) DCP = KAB, mint belső keresztek, amelyek AB ║ CD-vel és AC szekánssal fekszenek.
2) AKB= CDP (oldal és két szomszédos szög mentén AB=CD CD P=AB K).
És egyenlő háromszögekben a megfelelő oldalak egyenlőek, ami azt jelenti, hogy DP=BK.
Ha egy paralelogramma ellentétes csúcsait összekötjük a szemközti oldalak felezőpontjaival, egy másik paralelogrammát kapunk.
Adott: ABCD paralelogramma.
Bizonyítsuk be: A VKDR egy paralelogramma.
Bizonyíték:
1) BP=KD (AD=BC, K és P pontok
oszd ketté ezeket az oldalakat)
2) BP ║ KD (hazugság AD I.E)
Ha egy négyszög szemközti oldalai egyenlőek és párhuzamosak, akkor a négyszög paralelogramma.
Ha egy paralelogrammában két ellentétes szögből rajzolunk magasságokat, akkor egy téglalapot kapunk.
Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege megegyezik a szomszédos oldalai négyzetösszegének kétszeresével.
Adott: Az ABCD egy paralelogramma. A BD és az AC átlók.
Bizonyítsuk be: AC 2 +ВD 2 =2(AB 2 + Kr. u 2 )
Bizonyíték: 1)KÉRDEZ:
A.C.
²=
+
2)B RD : BD 2 = B R 2 + RD 2 (a Pitagorasz-tétel szerint)
3) A.C. ²+ BD ²=SK²+A K²+B Р²+РD ²
4) SC = BP = N(magasság )
5) AC 2 +BD 2 = H 2 + A TO 2 + H 2 +PD 2
6)
Hadd
D
K=A
P=x, Akkor C
TOD
:
H
2
=
CD
2
- X 2
a Pitagorasz-tétel szerint )
7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,
AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + A TO 2 +PD 2
8) A TO=AD+ X, RD=AD- X,
AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(HIRDETÉS +x) 2 +(HIRDETÉS -X) 2 ,
AC²+
IND²=2
VELD²-2
X² + AD
2
+2 AD
X+
X 2
+ AD
2
-2Kr
X+
X 2
,
AC²+
IND² = 2 CD
2
+2 AD
2
=2(CD
2
+ AD
2
).
V . Problémák megoldása ezen tulajdonságok használatával
A paralelogramma egyik oldalával szomszédos két szögfelezőjének metszéspontja a szemközti oldalhoz tartozik. A paralelogramma legrövidebb oldala az 5 . Találd meg a nagy oldalát.
Adott: Az ABCD egy paralelogramma,
AK – felező A,
D K – felező D, AB=5
Lelet: V
döntés Megoldás
Mert AK - felező És akkor az ABC egyenlő szárú.
Mert D K – felező D, akkor DCK - egyenlő szárú
DC =C K= 5
Ekkor BC=VC+SC=5+5=10
Válasz: 10
2. Határozza meg a paralelogramma kerületét, ha egyik szögének felezője a paralelogramma oldalát 7 cm-es és 14 cm-es szakaszokra osztja!
1 eset
Adott: A,
VK=14 cm, KS=7 cm
Lelet: P paralelogramma
Megoldás
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Mert AK – felező És akkor az ABC egyenlő szárú.
AB=BK= 14 cm
Ekkor P=2 (14+21) =70 (cm)
Adott: Az ABCD egy paralelogramma,
D K – felező D
VK=14 cm, KS=7 cm
Lelet: P paralelogramma
Megoldás
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Mert D K – felező D, akkor DCK - egyenlő szárú
DC =C K= 7
Ekkor P = 2 (21+7) = 56 (cm)
Válasz: 70 cm vagy 56 cm
3. A paralelogramma oldalai 10 cm és 3 cm A nagyobb oldallal szomszédos két szög felezője három szakaszra osztja a szemközti oldalt. Keresse meg ezeket a szegmenseket.
1 eset: a felezők a paralelogrammán kívül metszik egymást
Adott: ABCD – paralelogramma, AK – felező A,
D K – felező D , AB=3 cm, BC=10 cm
Lelet: VM, MN, NC
Megoldás
Mert AM - felező És akkor az AVM egyenlő szárú.
Mert DN – felező D, akkor DCN - egyenlő szárú
DC=CN=3
Ekkor MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3) = 4 cm
2. eset: a felezők metszik egymást egy paralelogrammán belül
Mert AN - felező És akkor az ABN egyenlő szárú.
AB=BN = 3 D
A csúszó rácsot pedig a szükséges távolságra kell mozgatni az ajtóban
Parallelogram mechanizmus- négyrudas szerkezet, melynek láncszemei paralelogrammát alkotnak. A transzlációs mozgás megvalósítására szolgál csuklós mechanizmusokkal.
Rögzített kapcsolattal rendelkező párhuzamos- az egyik láncszem mozdulatlan, a szemközti egy ringató mozgást végez, párhuzamosan marad a mozdulatlannal. Két egymás mögé kapcsolt paralelogramma két szabadságfokot ad a végösszekötőnek, párhuzamosan hagyva az álló láncszemmel.
Példák: busz ablaktörlők, targoncák, állványok, függesztők, autó felfüggesztések.
Rögzített csuklós paralelogramma- a paralelogramma azon tulajdonságát használják, hogy a három pont közötti távolságok állandó arányát fenntartsák. Példa: áramszedő rajz – rajzok méretezésére szolgáló eszköz.
Rombusz- minden láncszem egyforma hosszú, egy pár ellentétes csuklópánt közeledése (összehúzódása) a másik két zsanér elmozdulásához vezet. Minden hivatkozás tömörítésben működik.
Példák - autó gyémánt alakú emelő, villamos áramszedő.
Olló vagy X alakú mechanizmus, más néven Nürnbergi olló- rombuszos változat - két láncszem, amelyet középen zsanér köt össze. A mechanizmus előnye a kompaktság és az egyszerűség, a hátránya a két csúszópár jelenléte. Két (vagy több) ilyen, sorba kapcsolt mechanizmus egy gyémántot alkot a közepén. Felvonókban és gyermekjátékokban használják.
VII Következtetés
Ki tanul gyerekkora óta matematikát?
fejleszti a figyelmet, edzi az agyát,
saját akaratból, kitartást nevel
és kitartást a célok elérésében
A. Markushevics
A munka során a paralelogramma további tulajdonságait bizonyítottam.
Meg voltam győződve arról, hogy ezen tulajdonságok használatával gyorsabban megoldhatja a problémákat.
Megmutattam ezeknek a tulajdonságoknak az alkalmazását konkrét problémák megoldására vonatkozó példákon keresztül.
Sokat tanultam a paralelogrammáról, ami nem szerepel a geometriai tankönyvünkben
A paralelogramma tulajdonságainak alkalmazási példáin keresztül győződtem meg arról, hogy a geometria ismerete nagyon fontos az életben.
Kutatómunkám célja megvalósult.
A matematikai ismeretek fontosságát bizonyítja, hogy díjat alapítottak annak, aki olyan személyről ad ki könyvet, aki egész életét matematika nélkül élte le. Ezt a kitüntetést még senki nem kapta meg.
VIII Irodalom
Pogorelov A.V. Geometria 7-9: általános műveltségi tankönyv. intézmények - M.: Oktatás, 2014
L.S. Atanasyan és mások. Hozzáadás. Fejezetek a 8. osztályos tankönyvhöz: tankönyv. kézikönyv iskolák és emelt szintű osztályok tanulói számára. matematikát tanult. – M.: Vita-press, 2003
Internetes források
Wikipédia anyagok
A témával kapcsolatos problémák megoldása során, kivéve alapvető tulajdonságait paralelogrammaés a megfelelő képleteket, megjegyezheti és alkalmazhatja a következőket:
- Egy paralelogramma belső szögének felezője egyenlő szárú háromszöget vág le belőle
- A paralelogramma egyik oldalával szomszédos belső szögfelezők egymásra merőlegesek
- A paralelogramma ellentétes belső sarkaiból érkező felezők párhuzamosak egymással, vagy ugyanazon az egyenesen fekszenek
- Egy paralelogramma átlóinak négyzetösszege egyenlő az oldalai négyzetösszegével
- A paralelogramma területe egyenlő az átlók és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának felével
Tekintsük azokat a problémákat, amelyekben ezeket a tulajdonságokat használják.
1. feladat.
Az ABCD paralelogramma C szögfelezője az M pontban metszi az AD oldalt és az AB oldal folytatását az A ponton túl az E pontban. Határozzuk meg a paralelogramma kerületét, ha AE = 4, DM = 3!
Megoldás.
1. A CMD háromszög egyenlő szárú. (1. ingatlan). Ezért CD = MD = 3 cm.
2. Az EAM háromszög egyenlő szárú.
Ezért AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. ABCD kerület = 20 cm.
Válasz. 20 cm.
2. feladat.
Az ABCD konvex négyszögbe átlókat rajzolunk. Ismeretes, hogy az ABD, ACD, BCD háromszögek területe egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy ez a négyszög paralelogramma.
Megoldás.
1. Legyen BE az ABD háromszög magassága, CF az ACD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös AD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. BE = CF.
2. BE, CF merőlegesek AD-re. A B és C pont az AD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. BE = CF. Ezért a BC egyenes || HIRDETÉS. (*)
3. Legyen AL az ACD háromszög magassága, BK a BCD háromszög magassága. Mivel a feladat feltételei szerint a háromszögek területei egyenlőek és közös CD alapjuk van, akkor ezeknek a háromszögeknek a magassága egyenlő. AL = BK.
4. AL és BK merőlegesek a CD-re. A B és A pont a CD egyeneshez képest ugyanazon az oldalon található. AL = BK. Ezért az AB egyenes || CD (**)
5. A (*), (**) feltételekből az következik, hogy az ABCD paralelogramma.
Válasz. Igazolt. Az ABCD egy paralelogramma.
3. feladat.
Az ABCD paralelogramma BC és CD oldalain M és H pontok vannak jelölve úgy, hogy a BM és HD szakaszok az O pontban metszik egymást;<ВМD = 95 о,
Megoldás.
1. DOM háromszögben<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Derékszögű háromszögben DHC Majd<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 De CD = AB. Ekkor AB: HD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Válasz: AB: HD = 2:1,<А = <С = 30 о, <В = 4. feladat. A 4√6 hosszúságú paralelogramma egyik átlója 60°-os szöget zár be az alappal, a második átló pedig 45°-os szöget zár be ugyanazzal az alappal. Keresse meg a második átlót. Megoldás.
1. AO = 2√6. 2. Alkalmazzuk a szinusztételt az AOD háromszögre. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Válasz: 12.
5. feladat. Az 5√2 és 7√2 oldalú paralelogramma esetében az átlók közötti kisebb szög egyenlő a paralelogramma kisebb szögével. Határozza meg az átlók hosszának összegét! Megoldás.
Legyen d 1, d 2 a paralelogramma átlói, és az átlók és a paralelogramma kisebbik szöge közötti szög egyenlő φ-vel. 1. Számoljunk két különbözőt S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. Az 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f egyenlőséget kapjuk, ill. 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2; 2. A paralelogramma oldalai és átlói közötti összefüggést felhasználva felírjuk az egyenlőséget (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Hozzunk létre egy rendszert: (d 1 2 + d 2 2 = 296, A rendszer második egyenletét szorozzuk meg 2-vel, és adjuk hozzá az elsőhöz. Azt kapjuk, hogy (d 1 + d 2) 2 = 576. Innen Id 1 + d 2 I = 24. Mivel d 1, d 2 a paralelogramma átlóinak hossza, akkor d 1 + d 2 = 24. Válasz: 24.
6. feladat. A paralelogramma oldalai 4 és 6. Az átlók hegyesszöge 45 fok. Keresse meg a paralelogramma területét. Megoldás.
1. Az AOB háromszögből a koszinusztétel segítségével felírjuk a paralelogramma oldala és az átlók közötti összefüggést. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1/2) 2 + (d 2/2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o; d 1 2 / 4 + d 2 2 / 4 – 2 ( d 1 / 2 ) ( d 2 / 2 ) √ 2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Hasonlóképpen írjuk fel az AOD háromszög relációját. Ezt vegyük figyelembe<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. A d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 egyenletet kapjuk. 3. Van egy rendszerünk A második egyenletből az elsőt kivonva 2d 1 · d 2 √2 = 80 ill. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Jegyzet: Ebben és az előző feladatban nem kell teljesen megoldani a rendszert, arra számítva, hogy ebben a feladatban az átlók szorzatára van szükség a terület kiszámításához. Válasz: 10. 7. feladat. A paralelogramma területe 96, oldalai 8 és 15. Határozzuk meg a rövidebb átló négyzetét! Megoldás.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Végezzünk helyettesítést a képletben. 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Ezért sin ВAD = 4/5. 2. Keressük meg a cos VAD-ot. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. A feladat feltételei szerint megtaláljuk a kisebb átló hosszát. A ВD átló kisebb lesz, ha a ВАD szög hegyes. Akkor cos VAD = 3/5. 3. Az ABD háromszögből a koszinusztétel segítségével megtaláljuk a BD átló négyzetét. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3/5 = 145. Válasz: 145.
Van még kérdése? Nem tudja, hogyan kell megoldani egy geometriai problémát? weboldalon, az anyag teljes vagy részleges másolásakor a forrásra mutató hivatkozás szükséges. És ismét a kérdés: a rombusz paralelogramma vagy sem? Teljes jobb oldalon - paralelogramma, mert van és (emlékezzünk a 2-es jellemzőnkre). És még egyszer, mivel a rombusz paralelogramma, ezért rendelkeznie kell a paralelogramma összes tulajdonságával. Ez azt jelenti, hogy egy rombuszban a szemközti szögek egyenlőek, a szemközti oldalak párhuzamosak, és az átlók a metszéspontban felezik. Nézd meg a képet: A téglalaphoz hasonlóan ezek a tulajdonságok is jellegzetesek, vagyis mindegyik tulajdonságra megállapíthatjuk, hogy ez nem csak egy paralelogramma, hanem egy rombusz. És még egyszer, figyelj: nem csak egy négyszögnek kell lennie, amelynek átlói merőlegesek, hanem egy paralelogrammának. Győződjön meg róla: Természetesen nem, bár az átlói merőlegesek, az átló pedig a és a szögek felezője. De... az átlókat nem osztja ketté a metszéspont, ezért - NEM paralelogramma, tehát NEM rombusz. Vagyis a négyzet egyben téglalap és rombusz is. Lássuk, mi történik. Világos, hogy miért? - rombusz az A szög felezőpontja, amely egyenlő. Ez azt jelenti, hogy két szögre osztódik (és egyben). Nos, ez teljesen világos: egy téglalap átlói egyenlőek; A rombusz átlói merőlegesek, és általában az átlók paralelogrammáját kettéosztjuk a metszésponttal. Figyelem! szavak" paralelogramma tulajdonságai"Úgy értsd, ha a feladatodban van Van paralelogramma, akkor az alábbiak mindegyike használható. Bármely paralelogrammában: Más szóval értsük meg, miért igaz ez az egész BIZONYÍTJUK tétel. Akkor miért igaz az 1)? Ha paralelogramma, akkor: Ez azt jelenti (a II. kritérium szerint: és - általános.) Nos, ez az, ez az! - bizonyult. De mellesleg! Mi is bebizonyítottuk 2)! Miért? De (nézd a képet), vagyis pont azért. Már csak 3 maradt). Ehhez még meg kell húznia egy második átlót. És most ezt látjuk - a II karakterisztikának megfelelően (szögek és a köztük lévő oldal). Tulajdonságok bizonyított! Térjünk át a jelekre. Emlékezzünk vissza, hogy a paralelogramma jel válaszol a „honnan tudod, hogy az ábra paralelogramma?” kérdésre. Ikonoknál ez így néz ki: Miért? Jó lenne megérteni, miért – ez elég. De nézd: Nos, rájöttünk, miért igaz az 1. jel. Nos, ez még egyszerűbb! Rajzoljunk újra egy átlót. Ami azt jelenti: ÉS Ez is könnyű. De... más! Azt jelenti,. Hűha! Hanem - belső egyoldalas szekánssal! Ezért az a tény, hogy ez azt jelenti. És ha a másik oldalról nézed, akkor - belső egyoldalas szekánssal! És ezért. Látod, milyen nagyszerű?! És megint egyszerű: Pontosan ugyanaz, és. Kérjük, vegye figyelembe: ha megtaláltad legalább egy paralelogramma jele a feladatban, akkor megvan pontosan paralelogramma és használhatja mindenki paralelogramma tulajdonságai. A teljes átláthatóság érdekében nézze meg a diagramot: Az 1) pont teljesen nyilvánvaló - végül is a 3 () jel egyszerűen teljesül És a 2) pont - nagyon fontos. Szóval, bizonyítsuk be Ez azt jelenti, hogy két oldalról (és - általános). Nos, mivel a háromszögek egyenlőek, akkor a befogójuk is egyenlő. Bebizonyította! És képzeld el, az átlók egyenlősége a téglalap megkülönböztető tulajdonsága az összes paralelogramma között. Vagyis ez az állítás igaz^ Értsük meg, miért? Ez azt jelenti (értsd a paralelogramma szögeit). De ne felejtsük el még egyszer, hogy ez egy paralelogramma, és ezért. Azt jelenti,. Hát persze ebből az következik, hogy mindegyik! Hiszen összesen kell adniuk! Tehát bebizonyították, hogy ha paralelogramma hirtelen (!) az átlók egyenlőnek bizonyulnak, akkor ez pontosan egy téglalap. De! Figyel! arról beszélünk paralelogrammák! Nem is akárki egyenlő átlójú négyszög téglalap, és csak paralelogramma! És ismét a kérdés: a rombusz paralelogramma vagy sem? Teljes jobb oldalon - egy paralelogramma, mert van (Emlékezzen a 2. szolgáltatásunkra). És még egyszer, mivel a rombusz paralelogramma, rendelkeznie kell a paralelogramma összes tulajdonságával. Ez azt jelenti, hogy egy rombuszban a szemközti szögek egyenlőek, a szemközti oldalak párhuzamosak, és az átlók a metszéspontban felezik. De vannak különleges tulajdonságok is. Fogalmazzuk meg. Miért? Nos, mivel a rombusz paralelogramma, akkor az átlóit felezik. Miért? Igen, ezért! Más szóval, az átlók a rombusz sarkainak felezőinek bizonyultak. Mint egy téglalap esetében, ezek a tulajdonságok megkülönböztető, mindegyik egy-egy rombusz jele is. Miért van ez? És nézd, Ez azt jelenti mindkét Ezek a háromszögek egyenlő szárúak. Ahhoz, hogy rombusz legyen, a négyszögből először paralelogrammává kell válnia, majd fel kell mutatnia az 1. vagy 2. jellemzőt. Vagyis a négyzet egyben téglalap és rombusz is. Lássuk, mi történik. Világos, hogy miért? A négyzet - rombusz - egy szög felezője, amely egyenlő. Ez azt jelenti, hogy két szögre osztódik (és egyben). Nos, ez teljesen világos: egy téglalap átlói egyenlőek; A rombusz átlói merőlegesek, és általában az átlók paralelogrammáját kettéosztjuk a metszésponttal. Miért? Nos, alkalmazzuk a Pitagorasz-tételt... A paralelogramma tulajdonságai: A téglalap tulajdonságai: A rombusz tulajdonságai: A négyzet tulajdonságai: A négyzet egyben rombusz és téglalap, ezért egy négyzetre a téglalap és a rombusz összes tulajdonsága teljesül. És azt is. Annak meghatározására, hogy egy adott ábra paralelogramma-e, számos előjel létezik. Nézzük meg a paralelogramma három fő jellemzőjét. Ha egy négyszög két oldala egyenlő és párhuzamos, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz. Bizonyíték: Tekintsük az ABCD négyszöget. Legyen az AB és a CD oldal párhuzamos. És legyen AB=CD. Rajzoljuk meg benne a BD átlót. Ezt a négyszöget két egyenlő háromszögre osztja: ABD és CBD. Ezek a háromszögek két oldalon egyenlők egymással és a köztük lévő szöggel (BD a közös oldal, AB = feltétel szerint CD, szög1 = szög2, mint az AB és CD párhuzamos egyenesek BD keresztirányú szögei.), és ezért a szög3 = szög4. És ezek a szögek keresztben fekszenek, amikor a BC és AD egyenesek metszik egymást a BD szekánssal. Ebből következik, hogy BC és AD párhuzamosak egymással. Megvan, hogy az ABCD négyszögben a szemközti oldalak páronként párhuzamosak, ezért az ABCD négyszög paralelogramma. Ha egy négyszögben a szemközti oldalak páronként egyenlőek, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz. Bizonyíték: Tekintsük az ABCD négyszöget. Rajzoljuk meg benne a BD átlót. Ezt a négyszöget két egyenlő háromszögre osztja: ABD és CBD. Ez a két háromszög három oldalán egyenlő lesz egymással (BD a közös oldal, AB = CD és BC = AD feltétel szerint). Ebből arra következtethetünk, hogy szög1 = szög2. Ebből következik, hogy AB párhuzamos CD-vel. És mivel AB = CD és AB párhuzamos CD-vel, akkor a paralelogramma első kritériuma szerint az ABCD négyszög paralelogramma lesz. Ha egy négyszög átlói metszik egymást, és felezi őket a metszéspont, akkor ez a négyszög paralelogramma lesz. Tekintsük az ABCD négyszöget. Rajzoljunk bele két AC és BD átlót, amelyek az O pontban metszik egymást, és ez a pont felezi őket. Az AOB és a COD háromszögek egyenlőek lesznek egymással, a háromszögek egyenlőségének első jele szerint. (AO = OC, BO = OD feltétel szerint, AOB szög = COD szög, mint függőleges szögek.) Ezért AB = CD és szög1 = szög 2. Az 1 és 2 szögek egyenlőségéből azt kapjuk, hogy AB párhuzamos CD-vel. Ekkor azt kapjuk, hogy az ABCD négyszögben az AB oldalak egyenlők CD-vel és párhuzamosak, és a paralelogramma első kritériuma szerint az ABCD négyszög paralelogramma lesz. Meghatározás Paralelogramma olyan négyszög, amelynek szemközti oldalai páronként párhuzamosak. A paralelogramma átlóinak metszéspontját ún központ. Legyen adott egy $ABCD$ paralelogramma. 1. Figyeljük meg, hogy egy paralelogramma $A$ és $B$ szomszédos szögei egyoldalú belső szögek, amelyekben párhuzamosak az $AD$ és $BC$ vonalak és egy szekáns $AB$, azaz összegük $180^ \circ$. Ugyanígy más szögpároknál is. Ha $\angle A + \angle B=180^\circ$ és $\angle C + \angle B=180^\circ$, akkor $\angle A = \angle C$. Hasonlóképpen, $\angle B = \angle D$. 2. Tekintsük az $ABC$ és a $CDA$ háromszögeket. A paralelogramma szemközti oldalainak párhuzamosságából következik, hogy $\angle BAC=\angle DCA$ és $\angle BCA=\angle DAC$. Mivel a $AC$ gyakori, ezért az $ABC$ és a $CDA$ háromszögek egyenlőek a második kritérium szerint. A háromszögek egyenlőségéből az következik, hogy $AB=CD$ és $BC=AD$. 3. Mivel a paralelogramma konvex négyszög, átlói metszik egymást. Legyen $O$ a metszéspont. A paralelogramma $BC$ és $AD$ oldalainak párhuzamosságából következik, hogy $\angle OAD=\angle OCB$ és $\angle ODA=\angle OBC$. Figyelembe véve a $BC=AD$ egyenlőséget, azt kapjuk, hogy a $AOD$ és $COB$ háromszögek a második kritérium szerint egyenlőek. Ezért $AO=CO$ és $DO=BO$, szükség szerint. Legyen $ABCD$ négyszög. 1. Vegye figyelembe, hogy a szomszédos $A$ és $B$ szögek egyoldalú belső szögek $AD$ és $BC$ egyenesekkel és keresztirányú $AB$ vonalakkal. Mivel összegük $180^\circ$, ezért az $AD$ és a $BC$ egyenesek párhuzamosak. Hasonlóan egy másik egyenespárhoz, vagyis az $ABCD$ definíció szerint paralelogramma. 2. Vegye figyelembe, hogy $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. Ha $\angle A = \angle C$, és $\angle B = \angle D$, akkor $\angle A + \angle B=180^\circ$ és hasonlóképpen más szomszédos szögpárok esetében. Ezután az előző jelet használjuk. 3. Tekintsük az $ABC$ és a $CDA$ háromszögeket. Mivel a $AC$ gyakori, ezért a paralelogramma szemközti oldalainak egyenlőségéből következik, hogy az $ABC$ és $CDA$ háromszögek a harmadik kritérium szerint egyenlőek. Ezért $\angle BAC=\angle DCA$ és $\angle BCA=\angle DAC$, ami az ellentétes oldalak párhuzamosságára utal. 4. Legyen $BC$ és $AD$ egyenlő és párhuzamos. Tekintsük az $ABC$ és a $CDA$ háromszögeket. Az egyenesek párhuzamosságából következik, hogy $\angle BCA=\angle DAC$. Mivel $AC$ általános és $BC=AD$, ezért az $ABC$ és $CDA$ háromszögek egyenlőek az első kritérium szerint. Ezért $AB=CD$. Ezután az előző jelet használjuk. 5. Legyen $O$ az átlók metszéspontja és $AO=CO$, és $DO=BO$ A függőleges szögek egyenlőségét figyelembe véve azt kapjuk, hogy a $AOD$ és $COB$ háromszögek: egyenlő az első kritérium szerint. Ezért $\angle OAD=\angle OCB$, ami $BC$ és $AD$ párhuzamosságára utal. Ugyanígy a másik oldalpárnál is. Meghatározás Olyan négyszöget nevezünk, amelynek három derékszöge van téglalap. Legyen adott egy $ABCD$ téglalap. Mivel a téglalap paralelogramma, szemközti oldalai egyenlőek. Ekkor az $ABD$ és a $DCA$ derékszögű háromszögek két lábon egyenlők, ami azt jelenti, hogy $BD=AC$. 1. Ha egy paralelogramma egyik szöge egyenes, akkor figyelembe véve, hogy a szomszédos szögek összege $180^(\circ)$, azt kapjuk, hogy a többi szög is egyenes. 2. Legyenek egyenlőek az $AC$ és $BD$ átlói az $ABCD$ paralelogrammában. Figyelembe véve az $AB$ és $DC$ szemközti oldalak egyenlőségét, azt kapjuk, hogy az $ABD$ és $DCA$ háromszögek a harmadik kritérium szerint egyenlőek. Ezért $\angle BAD=\angle CDA$, azaz egyenesek. Marad az előző jel használata. Meghatározás Olyan négyszöget nevezünk, amelynek minden oldala egyenlő gyémánt Az $ABCD$ rombusz $AC$ és $BD$ átlói a $O$ pontban metszik egymást. Mivel a rombusz paralelogramma, $AO=OC$. Tekintsük az $ABC$ egyenlő szárú háromszöget. Mivel $AO$ az alaphoz húzott medián, ez a felező és a magasság, amire szükség volt. Legyen az $ABCD$ paralelogramma $AC$ és $BD$ átlója a $O$ pontban metszi egymást. Tekintsük az $ABC$ háromszöget. 1. Ha az átlók merőlegesek, akkor $BO$ a háromszög mediánja és magassága. 2. Ha az $BD$ átló tartalmazza az $ABC$ szög felezőjét, akkor $BO$ a háromszög mediánja és felezője. Mindkét esetben azt találjuk, hogy az $ABC$ háromszög egyenlő szárú, és egy paralelogrammában a szomszédos oldalak egyenlőek. Ezért ez egy rombusz, amire szükség volt. Meghatározás Olyan téglalapot nevezünk, amelynek két szomszédos oldala egyenlő négyzet. Ha egy paralelogrammának derékszöge vagy egyenlő átlói vannak, akkor téglalapról van szó. Ha egy négyszög téglalap és rombusz, akkor négyzet.
(
(Mivel derékszögű háromszögben a 30°-os szöggel szemben fekvő láb egyenlő a befogó felével).
módon a területét.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Ha segítséget szeretne kérni egy oktatótól, regisztráljon.
Az első óra ingyenes!
A rombusz tulajdonságai
A gyémánt jelei
KÖZÉPSZINT
A négyszögek tulajdonságai. Paralelogramma
A paralelogramma tulajdonságai
Tétel a paralelogramma tulajdonságairól.
A paralelogramma jelei
A négyszögek tulajdonságai. Téglalap.
A téglalap tulajdonságai:
A négyszögek tulajdonságai. Rombusz
A rombusz tulajdonságai
A gyémánt jelei.
A négyszögek tulajdonságai. Négyzet
ÖSSZEFOGLALÓ ÉS ALAPKÉPLETEK
1 paralelogramma jel
2. párhuzamos jel
3 paralelogramma jel
A paralelogramma tulajdonságai:
Bizonyíték
A paralelogramma jelei:
Bizonyíték
A téglalap tulajdonságai:
Bizonyíték
A téglalap jellemzői:
Bizonyíték
A rombusz tulajdonságai:
Bizonyíték
A gyémánt jelei:
Bizonyíték
A négyzet jelei:
Bizonyíték