Három szám bólogatása online. Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét
Az LCM kiszámításának megértéséhez először meg kell határoznia a „többszörös” kifejezés jelentését.
A többszöröse olyan természetes szám, amely maradék nélkül osztható A-val. Így azok a számok, amelyek 5 többszörösei, 15-nek, 20-nak, 25-nek stb.
Egy adott számnak korlátozott számú osztója lehet, de végtelen számú többszöröse van.
A természetes számok közös többszöröse olyan szám, amely osztható velük anélkül, hogy maradékot hagyna.
Hogyan találjuk meg a számok legkisebb közös többszörösét
A számok legkisebb közös többszöröse (LCM) (kettő, három vagy több) a legkisebb természetes szám, amely osztható ezekkel a számokkal.
A LOC megtalálásához többféle módszert is használhat.
Kis számok esetén célszerű ezeknek a számoknak az összes többszörösét felírni egy sorba, amíg nem talál valami közöset közöttük. A többszöröseket nagy K betűvel jelöljük.
Például a 4 többszörösei így írhatók:
K (4) = (8, 12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Így látható, hogy a 4 és 6 számok legkisebb közös többszöröse a 24. Ez a jelölés a következőképpen történik:
LCM(4; 6) = 24
Ha a számok nagyok, keresse meg három vagy több szám közös többszörösét, akkor jobb, ha más módszert használ az LCM kiszámítására.
A feladat elvégzéséhez a megadott számokat prímtényezőkbe kell számolni.
Először le kell írnia egy sor legnagyobb számának felbomlását, és alatta - a többit.
Az egyes számok dekompozíciója különböző számú tényezőt tartalmazhat.
Például vegyük az 50-es és 20-as számokat prímtényezőkbe.
A kisebb szám bővítésekor szükséges kiemelni azokat a tényezőket, amelyek az első bővítésében hiányoznak. nagy számban, majd add hozzá őket. A bemutatott példában hiányzik a kettő.
Most kiszámolhatja a 20 és 50 legkisebb közös többszörösét.
LCM(20; 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Így a nagyobb szám prímtényezőinek és a második szám azon tényezőinek szorzata, amelyek nem szerepeltek a nagyobb szám bővítésében, lesz a legkisebb közös többszörös.
Három vagy több szám LCM-jének meghatározásához az előző esethez hasonlóan mindegyiket prímtényezőkbe kell számítani.
Példaként megtalálhatja a 16, 24, 36 számok legkisebb közös többszörösét.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Így a tizenhat bővítéséből csak két kettes nem került be nagyobb szám faktorizálásába (az egyik a huszonnégy bővítésébe).
Így nagyobb szám bővítéséhez hozzá kell adni őket.
LCM(12; 16; 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
A legkisebb közös többszörös meghatározásának vannak speciális esetei. Tehát, ha az egyik szám maradék nélkül osztható egy másikkal, akkor ezek közül a számok közül a nagyobb lesz a legkisebb közös többszörös.
Például a tizenkettő és a huszonnégy LCM értéke huszonnégy.
Ha meg kell találni egymás legkisebb közös többszörösét prímszámok, amelyek nem rendelkeznek azonos osztókkal, akkor LCM-jük megegyezik a szorzatukkal.
Például LCM (10, 11) = 110.
Meghatározás. Azt a legnagyobb természetes számot nevezzük, amellyel az a és b számokat maradék nélkül osztjuk legnagyobb közös osztó (GCD) ezeket a számokat.
Keressük meg a 24 és 35 számok legnagyobb közös osztóját.
A 24 osztói az 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 számok, a 35 osztói pedig az 1, 5, 7, 35 számok.
Látjuk, hogy a 24-es és 35-ös számoknak csak egy közös osztója van - az 1-es szám. Az ilyen számokat ún. kölcsönösen prím.
Meghatározás. A természetes számokat nevezzük kölcsönösen prím, ha a legnagyobb közös osztójuk (GCD) 1.
Legnagyobb közös osztó (GCD) megtalálható anélkül, hogy kiírnánk az adott számok összes osztóját.
Számoljuk össze a 48-as és 36-os számokat, és kapjuk:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezők közül kihúzzuk azokat, amelyek nem szerepelnek a második szám bővítésében (azaz két kettes).
A fennmaradó tényezők 2 * 2 * 3. A szorzatuk 12. Ez a szám a 48 és 36 számok legnagyobb közös osztója. Három vagy több szám legnagyobb közös osztója is megtalálható.
Megtalálni legnagyobb közös osztó
2) az egyik ilyen szám bővítésében szereplő tényezők közül húzza ki azokat, amelyek nem szerepelnek más számok bővítésében;
3) keresse meg a fennmaradó tényezők szorzatát.
Ha minden adott szám osztható valamelyikkel, akkor ez a szám legnagyobb közös osztó adott számokat.
Például a 15, 45, 75 és 180 számok legnagyobb közös osztója a 15, mivel az összes többi szám osztható vele: 45, 75 és 180.
Legkevésbé közös többszörös (LCM)
Meghatározás. Legkevésbé közös többszörös (LCM) az a és b természetes számok a legkisebb természetes számok, amelyek a és b többszörösei. A 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse (LCM) megtalálható anélkül, hogy ezeknek a számoknak a többszöröseit sorba kellene írni. Ehhez adjunk 75-öt és 60-at prímtényezőkké: 75 = 3 * 5 * 5 és 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Írjuk ki ezen számok közül az első bővítésében szereplő tényezőket, és adjuk hozzá a második szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket (azaz a tényezőket összevonjuk).
Öt 2 * 2 * 3 * 5 * 5 tényezőt kapunk, melynek szorzata 300. Ez a szám a 75 és 60 számok legkisebb közös többszöröse.
Megtalálják három vagy több szám legkisebb közös többszörösét is.
To megtalálni a legkisebb közös többszöröst több természetes számra van szüksége:
1) faktorálja őket prímtényezőkké;
2) írja le az egyik szám bővítésében szereplő tényezőket;
3) add hozzá a hiányzó tényezőket a fennmaradó számok bővítéséből;
4) keresse meg a kapott tényezők szorzatát.
Vegye figyelembe, hogy ha ezen számok egyike osztható az összes többi számmal, akkor ez a szám ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse.
Például a 12, 15, 20 és 60 számok legkisebb közös többszöröse 60, mivel osztható ezekkel a számokkal.
Pythagoras (Kr. e. VI. század) és tanítványai a számok oszthatóságának kérdését tanulmányozták. Tökéletes számnak nevezték azt a számot, amely megegyezik az osztóinak összegével (maga a szám nélkül). Például a 6 (6 = 1 + 2 + 3), a 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) számok tökéletesek. A következő tökéletes számok a 496, 8128, 33 550 336. A pitagoreusok csak az első három tökéletes számot ismerték. A negyedik - 8128 - az I. században vált ismertté. n. e. Az ötödik - 33 550 336 - a 15. században került elő. 1983-ban már 27 tökéletes számot ismertek. De a tudósok még mindig nem tudják, hogy léteznek-e páratlan tökéletes számok, vagy van-e legnagyobb tökéletes szám.
Az ókori matematikusok érdeklődése a prímszámok iránt annak köszönhető, hogy bármely szám vagy prímszám, vagy prímszámok szorzataként ábrázolható, azaz a prímszámok olyanok, mint a tégla, amelyből a többi természetes szám épül.
Valószínűleg észrevette, hogy a természetes számok sorozatában a prímszámok egyenetlenül fordulnak elő - a sorozat egyes részeiben több, máshol kevesebb. De minél tovább haladunk a számsorok mentén, annál kevésbé gyakoriak a prímszámok. Felmerül a kérdés: van-e utolsó (legnagyobb) prímszám? Az ókori görög matematikus, Eukleidész (Kr. e. III. század) „Elemek” című könyvében, amely kétezer éven át a matematika fő tankönyve volt, bebizonyította, hogy végtelenül sok prímszám van, azaz minden prímszám mögött ott van egy még nagyobb prímszám. szám.
A prímszámok megtalálásához egy másik görög matematikus, Eratoszthenész találta ki ezt a módszert. Felírta az összes számot 1-től valamilyen számig, majd áthúzott egyet, ami nem prímszám és nem is összetett szám, majd egyen áthúzta a 2 után következő összes számot (a 2, azaz a 4 többszörösét, 6, 8 stb.). A 2 utáni első szám 3 volt. Ezután kettő után a 3 után érkező összes számot (azok a számok, amelyek a 3 többszörösei, azaz 6, 9, 12 stb.) áthúzták. végül csak a prímszámok maradtak keresztezetlenül.
A legnagyobb közös osztó
2. definíció
Ha egy a természetes szám osztható egy $b$ természetes számmal, akkor a $b$-t $a$ osztójának, az $a$-t pedig a $b$ többszörösének nevezzük.
Legyenek $a$ és $b$ természetes számok. A $c$ számot mind az $a$, mind a $b$ közös osztójának nevezzük.
Az $a$ és $b$ számok közös osztóinak halmaza véges, mivel ezen osztók egyike sem lehet nagyobb $a$-nál. Ez azt jelenti, hogy ezen osztók között van egy legnagyobb, amelyet az $a$ és $b$ számok legnagyobb közös osztójának neveznek, és a következő jelölésekkel jelöljük:
$GCD\(a;b)\ vagy \D\(a;b)$
Két szám legnagyobb közös osztójának megtalálásához a következőkre lesz szüksége:
- Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.
1. példa
Keresse meg a $121$ és a $132.$ számok gcd-jét
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Válassza ki azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a kibontásában szerepelnek
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.
$GCD=2\cdot 11=22$
2. példa
Keresse meg a $63$ és $81$ monomok gcd-jét.
A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Ehhez tegye a következőket:
Tekintsük a számokat prímtényezőkbe
$63=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Kiválasztjuk azokat a számokat, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében szerepelnek
$63=3\cdot 3\cdot 7$
81 $=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Keressük meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám lesz a kívánt legnagyobb közös osztó.
$GCD=3\cdot 3=9$
Két szám gcd-jét más módon is megtalálhatja, a számok osztókészletével.
3. példa
Keresse meg a $48$ és $60$ számok gcd-jét.
Megoldás:
Keressük meg a $48$ szám osztókészletét: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Most keressük meg a $60$ szám osztókészletét:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Keressük meg ezeknek a halmazoknak a metszéspontját: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ez a halmaz határozza meg a $48$ és $60 számok közös osztóinak halmazát $. A készlet legnagyobb eleme a $12$ szám lesz. Ez azt jelenti, hogy a $48$ és a 60$ számok legnagyobb közös osztója 12$.
Az NPL meghatározása
3. definíció
Természetes számok közös többszörösei Az $a$ és a $b$ egy természetes szám, amely mind az $a$, mind a $b$ többszöröse.
A számok közös többszörösei olyan számok, amelyek maradék nélkül oszthatók az eredeti számokkal. Például a $25$ és a $50$ számok közös többszörösei a $50,100,150,200$ stb.
A legkisebb közös többszöröst a legkisebb közös többszörösnek nevezzük, és LCM$(a;b)$ vagy K$(a;b).$
Két szám LCM-jének megkereséséhez a következőket kell tennie:
- A faktorszámok prímtényezőkké
- Írd le azokat a tényezőket, amelyek az első szám részét képezik, és add hozzá azokat a tényezőket, amelyek a második részei, és nem részei az elsőnek
4. példa
Keresse meg a $99$ és a $77$ számok LCM-jét.
A bemutatott algoritmus szerint megtaláljuk. Erre
A faktorszámok prímtényezőkké
99 USD=3\cdot 3\cdot 11 USD
Írja le az elsőben szereplő tényezőket!
adjunk hozzájuk olyan szorzószámokat, amelyek a második részét képezik, és nem az elsőnek
Keresse meg a 2. lépésben talált számok szorzatát. Az eredményül kapott szám a kívánt legkisebb közös többszörös lesz
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
A számok osztóinak listáinak összeállítása gyakran igen munkaigényes feladat. Van egy módszer a GCD megtalálására, az úgynevezett euklideszi algoritmus.
Állítások, amelyeken az euklideszi algoritmus alapul:
Ha $a$ és $b$ természetes számok, és $a\vdots b$, akkor $D(a;b)=b$
Ha $a$ és $b$ természetes számok, így $b
A $D(a;b)= D(a-b;b)$ használatával egymás után csökkenthetjük a vizsgált számokat, amíg el nem érünk egy olyan számpárt, amelyik osztható a másikkal. Ekkor ezek közül a számok közül a kisebb lesz az $a$ és $b$ számok kívánt legnagyobb közös osztója.
A GCD és az LCM tulajdonságai
- $a$ és $b$ bármely közös többszöröse osztható K$(a;b)$-tal
- Ha $a\vdots b$ , akkor К$(a;b)=a$
Ha K$(a;b)=k$ és $m$ természetes szám, akkor K$(am;bm)=km$
Ha $d$ az $a$ és a $b$ közös osztója, akkor K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $
Ha $a\vdots c$ és $b\vdots c$ , akkor a $\frac(ab)(c)$ $a$ és $b$ közös többszöröse
Minden $a$ és $b$ természetes számra érvényes az egyenlőség
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Az $a$ és $b$ számok bármely közös osztója a $D(a;b)$ szám osztója
A legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös olyan kulcsfontosságú aritmetikai fogalmak, amelyek lehetővé teszik a könnyű műveleteket közönséges törtek. LCM és leggyakrabban több tört közös nevezőjének megtalálására használják.
Alapfogalmak
Egy X egész szám osztója egy másik Y egész szám, amellyel X-et maradék nélkül osztjuk. Például 4 osztója 2, 36 pedig 4, 6, 9. Egy X egész szám többszöröse egy Y szám, amely maradék nélkül osztható X-szel. Például a 3 a 15 többszöröse, a 6 pedig a 12 többszöröse.
Bármely számpárhoz megtalálhatjuk közös osztójukat és többszöröseiket. Például 6 és 9 esetén a közös többszörös 18, a közös osztó pedig 3. Nyilvánvaló, hogy a pároknak több osztója és többszöröse is lehet, ezért a számítások a legnagyobb osztó GCD-t és a legkisebb többszörös LCM-et használják.
A legkisebb osztó értelmetlen, mivel bármely szám esetén mindig egy. A legnagyobb többszörös is értelmetlen, hiszen a többszörösek sorozata a végtelenbe megy.
gcd keresése
Számos módszer létezik a legnagyobb közös osztó megtalálására, amelyek közül a leghíresebbek:
- osztók szekvenciális keresése, közösek kiválasztása egy párhoz és a legnagyobb keresése;
- a számok felosztása oszthatatlan tényezőkre;
- Euklideszi algoritmus;
- bináris algoritmus.
Ma at oktatási intézményekben A legnépszerűbbek a prímfaktorizációs módszerek és az euklideszi algoritmus. Utóbbit pedig a diofantini egyenletek megoldásakor használjuk: a GCD keresése szükséges ahhoz, hogy ellenőrizzük az egyenlet egész számokban történő felbontásának lehetőségét.
A NOC megtalálása
A legkisebb közös többszöröst a szekvenciális keresés vagy oszthatatlan tényezőkre bontás is meghatározza. Ezenkívül könnyen megtalálhatja az LCM-et, ha a legnagyobb osztó már meghatározásra került. Az X és Y számok esetében az LCM és a GCD a következő összefüggéssel függ össze:
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Például, ha GCM(15,18) = 3, akkor LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Az LCM használatának legnyilvánvalóbb példája a közös nevező megtalálása, amely a legkisebb közös többszöröse. adott törtek.
Második prímszámok
Ha egy számpárnak nincs közös osztója, akkor az ilyen párokat koprímnek nevezzük. Az ilyen párok gcd értéke mindig eggyel egyenlő, és az osztók és többszörösek közötti kapcsolat alapján a koprím párok gcd-je megegyezik a szorzatukkal. Például a 25 és 28 számok viszonylag prímszámok, mivel nincs közös osztójuk, és LCM(25, 28) = 700, ami megfelel a szorzatuknak. Bármely két oszthatatlan szám mindig viszonylag prím lesz.
Közös osztó és többszörös számológép
Számológépünk segítségével tetszőleges számú számra számíthatja ki a GCD-t és az LCM-et. A közös osztók és többszörösek kiszámítására vonatkozó feladatok az 5. és 6. osztályos aritmetikában találhatók, de a GCD és az LCM kulcsfogalmak a matematikában, és használják a számelméletben, a planimetriában és a kommunikációs algebrában.
Példák az életből
Törtek közös nevezője
A legkisebb közös többszöröst több tört közös nevezőjének megtalálásakor használjuk. Tegyük fel, hogy egy aritmetikai feladatban 5 törtet kell összeadni:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Törtek hozzáadásához a kifejezést közös nevezőre kell redukálni, ami az LCM megtalálásának problémáját jelenti. Ehhez válasszon ki 5 számot a számológépben, és írja be a nevezők értékeit a megfelelő cellákba. A program kiszámítja az LCM-et (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Most minden törthez további tényezőket kell kiszámítania, amelyek az LCM és a nevező arányaként vannak meghatározva. Tehát a további szorzók így néznek ki:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Ezt követően az összes törtet megszorozzuk a megfelelő kiegészítő tényezővel, és megkapjuk:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Az ilyen törteket könnyen összeadhatjuk, és az eredményt 159/360-nak kapjuk. Csökkentjük a törtet 3-mal, és látjuk a végső választ - 53/120.
Lineáris diofantikus egyenletek megoldása
A lineáris diofantin egyenletek ax + by = d alakú kifejezések. Ha a d / gcd(a, b) arány egész szám, akkor az egyenlet egész számokban megoldható. Nézzünk meg néhány egyenletet, hogy van-e egész megoldásuk. Először ellenőrizzük a 150x + 8y = 37 egyenletet. Számológép segítségével azt találjuk, hogy GCD (150,8) = 2. Osztás 37/2 = 18,5. A szám nem egész szám, ezért az egyenletnek nincs egész gyöke.
Ellenőrizzük az 1320x + 1760y = 10120 egyenletet. Számológép segítségével keressük meg a GCD(1320, 1760) = 440 értéket. Oszd meg 10120/440 = 23. Ennek eredményeként egy egész számot kapunk, tehát a Diofantin együttható egyenlege. .
Következtetés
A GCD és az LCM nagy szerepet játszik a számelméletben, és magukat a fogalmakat széles körben használják a matematika legkülönbözőbb területein. Számológépünk segítségével számíthatja ki tetszőleges számú szám legnagyobb osztóit és legkisebb többszöröseit.
Az alábbiakban bemutatott anyag az LCM - legkisebb közös többszörös, definíció, példák, az LCM és a GCD kapcsolata című cikk elméletének logikus folytatása. Itt fogunk beszélni a legkisebb közös többszörös megtalálása (LCM), és kiemelt figyelmet fordítunk a példák megoldására. Először is bemutatjuk, hogyan számítják ki két szám LCM-jét e számok GCD-jével. Ezután megvizsgáljuk a legkisebb közös többszörös megtalálását úgy, hogy a számokat prímtényezőkké alakítjuk. Ezek után a három és az LCM megkeresésére összpontosítunk több számokat, és figyeljen a negatív számok LCM-jének kiszámítására is.
Oldalnavigáció.
A legkisebb közös többszörös (LCM) kiszámítása GCD-n keresztül
A legkisebb közös többszörös megtalálásának egyik módja az LCM és a GCD közötti kapcsolat. Az LCM és a GCD között fennálló kapcsolat lehetővé teszi két pozitív egész legkisebb közös többszörösének kiszámítását egy ismert legnagyobb közös osztón keresztül. A megfelelő képlet az LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Nézzünk példákat az LCM megtalálására a megadott képlet segítségével.
Példa.
Határozzuk meg két szám 126 és 70 legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Ebben a példában a=126 , b=70 . Használjuk az LCM és a GCD közötti kapcsolatot a képlettel kifejezve LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Vagyis először meg kell találnunk a 70 és 126 számok legnagyobb közös osztóját, ami után az írott képlet segítségével kiszámolhatjuk ezeknek a számoknak az LCM-jét.
Keressük meg a GCD(126, 70)-t az euklideszi algoritmus segítségével: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, tehát GCD(126, 70)=14.
Most megtaláljuk a szükséges legkisebb közös többszöröst: GCD(126;70)=126·70:GCD(126,70)= 126·70:14=630.
Válasz:
LCM(126,70)=630.
Példa.
Mi egyenlő LCM(68; 34)?
Megoldás.
Mert 68 osztható 34-gyel, akkor GCD(68, 34)=34. Most kiszámítjuk a legkisebb közös többszöröst: GCD(68;34)=68·34:GCD(68,34)= 68·34:34=68.
Válasz:
LCM(68,34)=68.
Vegye figyelembe, hogy az előző példa megfelel a következő szabálynak az a és b pozitív egész számok LCM-jének meghatározására: ha az a szám osztható b-vel, akkor ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszöröse a.
Az LCM megtalálása a számok prímtényezőkbe való faktorálásával
A legkisebb közös többszörös megtalálásának másik módja a számok prímtényezőkbe való faktorálása. Ha az adott számok összes prímtényezőjéből összeállítunk egy szorzatot, majd ebből a szorzatból kizárjuk az adott számok kiterjesztésében előforduló összes gyakori prímtényezőt, akkor a kapott szorzat egyenlő lesz az adott számok legkisebb közös többszörösével. .
Az LCM megtalálásának kimondott szabálya az egyenlőségből következik LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Valóban, az a és b számok szorzata egyenlő az a és b számok bővülésében részt vevő összes tényező szorzatával. A GCD(a, b) viszont egyenlő az a és b számok kiterjesztésében egyidejűleg jelen lévő összes prímtényező szorzatával (ahogyan a GCD megtalálása a számok prímtényezőkké történő kiterjesztésével foglalkozik).
Mondjunk egy példát. Tudjuk, hogy 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. Állítsuk össze a szorzatot ezen bővítések összes tényezőjéből: 2·3·3·5·5·5·7 . Most ebből a szorzatból kizárjuk mind a 75-ös szám kiterjesztésében, mind a 210-es szám kiterjesztésében szereplő összes tényezőt (ezek a tényezők 3 és 5), ekkor a szorzat 2·3·5·5·7 alakot vesz fel. . Ennek a szorzatnak az értéke egyenlő 75 és 210 legkisebb közös többszörösével, azaz NOC(75,210)=2·3·5·5·7=1050.
Példa.
A 441-es és 700-as számokat prímtényezőkké alakítsa, és keresse meg ezeknek a számoknak a legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Tekintsük a 441 és 700 számokat prímtényezőkbe:
441=3·3·7·7 és 700=2·2·5·5·7 kapjuk.
Most állítsunk össze egy szorzatot az összes tényezőből, amelyek ezeknek a számoknak a bővítésében részt vesznek: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Zárjuk ki ebből a szorzatból mindazon tényezőket, amelyek egyidejűleg jelen vannak mindkét bővítésben (egyetlen ilyen tényező van - ez a 7-es szám): 2·2·3·3·5·5·7·7. Így, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Válasz:
NOC(441,700)=44100.
Az LCM megtalálásának szabálya a számok prímtényezőkké alakításával egy kicsit másképp is megfogalmazható. Ha a b szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az a szám bővítéséből származó tényezőkhöz, akkor a kapott szorzat értéke egyenlő lesz az a és b számok legkisebb közös többszörösével..
Vegyük például ugyanazokat a 75-ös és 210-es számokat, amelyek prímtényezőkre való felosztása a következő: 75=3·5·5 és 210=2·3·5·7. A 75-ös szám bővítéséből származó 3-as, 5-ös és 5-ös faktorokhoz hozzáadjuk a 210-es szám bővítéséből hiányzó 2-es és 7-es tényezőket, így a 2·3·5·5·7 szorzatot kapjuk, melynek értéke: egyenlő: LCM(75; 210).
Példa.
Keresse meg 84 és 648 legkisebb közös többszörösét.
Megoldás.
Először megkapjuk a 84-es és 648-as számok prímtényezőkre történő felbontását. Így néznek ki: 84=2·2·3·7 és 648=2·2·2·3·3·3·3. A 84-es szám bővítéséből származó 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 648-as szám bővítéséből hiányzó 2-es, 3-as, 3-as és 3-as tényezőket, így a 2 2 2 3 3 3 3 7 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 4 536 . Így a 84 és 648 kívánt legkisebb közös többszöröse 4536.
Válasz:
LCM(84,648)=4536.
Három vagy több szám LCM-jének megkeresése
Három vagy több szám legkisebb közös többszöröse két szám LCM-jének szekvenciális meghatározásával kereshető meg. Emlékezzünk vissza a megfelelő tételre, amely lehetőséget ad három vagy több szám LCM-jének megtalálására.
Tétel.
Legyenek adottak pozitív egész számok a 1 , a 2 , …, a k, ezeknek a számoknak az m k legkisebb közös többszörösét az m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a ) szekvenciális kiszámításával kapjuk meg. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Nézzük meg ennek a tételnek az alkalmazását a négy szám legkisebb közös többszörösének megtalálásának példáján.
Példa.
Keresse meg négy szám 140, 9, 54 és 250 LCM-jét.
Megoldás.
Ebben a példában a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
Először megtaláljuk m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140; 9). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével meghatározzuk a GCD(140, 9) értéket, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, ezért GCD(140, 9)=1 , honnan GCD(140;9)=1409:GCD(140;9)= 140·9:1=1260. Azaz m 2 =1 260.
Most megtaláljuk m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Számítsuk ki a GCD(1 260, 54) függvényen keresztül, amit szintén az euklideszi algoritmussal határozunk meg: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Ekkor gcd(1,260,54)=18, ebből gcd(1,260,54)=1,260·54:gcd(1,260,54)=1,260·54:18=3,780. Vagyis m 3 = 3 780.
Már csak meg kell találni m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780; 250). Ehhez az euklideszi algoritmus segítségével megtaláljuk a GCD(3,780, 250) értéket: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Ezért GCM(3780;250)=10, innen GCM(3780;250)= 3 780 250: GCD(3 780; 250)= 3780·250:10=94500. Azaz m 4 =94 500.
Tehát az eredeti négy szám legkisebb közös többszöröse 94 500.
Válasz:
LCM(140;9;54;250)=94500.
Sok esetben célszerű megtalálni három vagy több szám legkisebb közös többszörösét az adott számok prímtényezőivel. Ebben az esetben be kell tartania a következő szabályt. Több szám legkisebb közös többszöröse egyenlő a szorzattal, amely a következőképpen épül fel: a második szám bővítéséből hiányzó tényezőket hozzáadjuk az első szám bővítéséből származó összes tényezőhöz, a hiányzó tényezőket az első szám bővítéséből. a harmadik számot hozzáadjuk a kapott tényezőkhöz, és így tovább.
Nézzünk egy példát a legkisebb közös többszörös megtalálására a prímtényezős rendszer használatával.
Példa.
Keresse meg az öt szám legkisebb közös többszörösét: 84, 6, 48, 7, 143.
Megoldás.
Először is megkapjuk ezeknek a számoknak a prímtényezőkre való felbontását: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 prímszám, egybeesik prímtényezőkre való bontásával) és 143=11·13.
Ezen számok LCM-jének megtalálásához az első 84-es faktorokhoz (ezek 2, 2, 3 és 7) hozzá kell adni a hiányzó tényezőket a második 6-os szám bővítéséből. A 6-os szám dekompozíciója nem tartalmaz hiányzó tényezőket, hiszen az első 84-es szám felbontásában már a 2-es és a 3-as is jelen van. Ezután a 2-es, 2-es, 3-as és 7-es faktorokhoz hozzáadjuk a 48-as harmadik szám bővítéséből hiányzó 2-es és 2-es tényezőket, így a 2, 2, 2, 2, 3 és 7 faktorok halmazát kapjuk. A következő lépésben nem kell ehhez a halmazhoz szorzót hozzáadni, mivel a 7 már benne van. Végül a 2-es, 2-es, 2-es, 2-es, 3-as és 7-es tényezőkhöz hozzáadjuk a 143-as szám bővítéséből hiányzó 11-es és 13-as tényezőket. A 2·2·2·2·3·7·11·13 szorzatot kapjuk, ami egyenlő 48 048-cal.