Diviser une fraction par un nombre naturel.

Pour comprendre comment diviser des fractions, étudions la règle et utilisons des exemples pour voir comment l'appliquer.

Règle de division des fractions ordinaires

Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier le premier nombre par le second (c'est-à-dire que nous multiplions la première fraction par la seconde inversée).

Exemples de division de fractions ordinaires:

Pour diviser ces fractions, on réécrit la première fraction et l'inverse de la seconde (on multiplie le dividende par l'inverse du diviseur). Rien ne peut être raccourci ici.

Pour diviser ces fractions, on réécrit le premier nombre inchangé et on le multiplie par l'inverse du second 6 et 9 par 3, 20 et 25 par 5. La fraction résultante 8/15 est propre et irréductible. Voilà donc la réponse finale.

Nous laissons la première fraction inchangée et la multiplions par l'inverse de la deuxième fraction. On réduit 45 et 36 de 9, 65 et 52 de 13. Le résultat est fraction impropre, à partir duquel .

En divisant deux nombres égaux, nous obtenons un, nous pouvons donc immédiatement écrire la réponse.

Pour diviser des fractions, multipliez la première par l’inverse de la seconde. On réduit 23 et 23 par 23, 14 et 7 par 7. Puisque le dénominateur est un, la réponse est un entier.

La prochaine fois, nous verrons comment diviser un nombre entier par une fraction.

2 août 2011

La dernière fois, nous avons appris à additionner et soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.

Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Tout d'abord, regardons cas le plus simple, lorsqu'il y a deux fractions positives sans partie entière séparée.

Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.

Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».

Désignation:

De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.

À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.

Par définition nous avons :

Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives

Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.

S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :

1. Plus par moins donne moins ;
2. Deux négatifs font un affirmatif.

Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :

1. On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
2. S'il ne reste plus de points négatifs, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n'est pas barré, parce qu'il n'y avait pas de paire pour lui, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste par règles normales. On a:

Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).

Faites également attention aux nombres négatifs : lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.

Réduire les fractions à la volée

La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Par définition nous avons :

Dans tous les exemples, les nombres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.

Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple, il n’a pas été possible d’obtenir une réduction complète, mais le montant total des calculs a néanmoins diminué.

Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :

Vous ne pouvez pas faire ça !

L'erreur se produit car lors de l'addition, le numérateur d'une fraction produit une somme et non un produit de nombres. Par conséquent, il est impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.

Il n'y a tout simplement aucune autre raison de réduire les fractions, donc bonne solution la tâche précédente ressemble à ceci :

Bonne solution :

Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.

Pour résoudre divers problèmes des cours de mathématiques et de physique, vous devez diviser des fractions. C'est très simple à faire si vous connaissez certaines règles pour effectuer cette opération mathématique.

Avant de passer à la formulation de la règle de division des fractions, rappelons quelques termes mathématiques :

1. La partie supérieure de la fraction s’appelle le numérateur et la partie inférieure, le dénominateur.
2. Lors de la division, les nombres sont appelés comme suit : dividende : diviseur = quotient

Comment diviser des fractions : fractions simples

Pour diviser deux fractions simples, multipliez le dividende par l'inverse du diviseur. Cette fraction est aussi appelée inversée car elle est obtenue en échangeant le numérateur et le dénominateur. Par exemple:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Comment diviser des fractions : fractions mixtes

Si nous devons diviser des fractions mixtes, alors tout ici est également assez simple et clair. Tout d’abord, nous convertissons la fraction mixte en une fraction impropre régulière. Pour ce faire, multipliez le dénominateur d'une telle fraction par un nombre entier et ajoutez le numérateur au produit obtenu. En conséquence, nous avons obtenu un nouveau numérateur fraction mixte, et son dénominateur restera inchangé. De plus, la division des fractions s'effectuera exactement de la même manière que la division des fractions simples. Par exemple:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Comment diviser une fraction par un nombre

Afin de diviser une fraction simple par un nombre, ce dernier doit être écrit sous forme de fraction (irrégulière). C'est très simple à faire : ce nombre s'écrit à la place du numérateur, et le dénominateur d'une telle fraction est égal à un. La division ultérieure est effectuée de la manière habituelle. Regardons cela avec un exemple :

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Comment diviser des décimales

Souvent, un adulte a de la difficulté à diviser un nombre entier ou une fraction décimale par une fraction décimale sans l’aide d’une calculatrice.

Ainsi, pour diviser des nombres décimaux, il suffit de rayer la virgule dans le diviseur et d’arrêter d’y prêter attention. Dans le dividende, la virgule doit être déplacée vers la droite d'exactement autant de places qu'elle l'était dans la partie fractionnaire du diviseur, en ajoutant des zéros si nécessaire. Et puis ils effectuent la division habituelle par un nombre entier. Pour que cela soit plus clair, considérons l’exemple suivant.

Une fraction est un nombre non entier ou complémentaire, tel que 1/2 (=0,5) ou 7,5/5 (=1,5). Parfois, une fraction peut être un nombre entier, par exemple 20/5 (=4), mais sa notation n'a alors pas la signification mathématique incluse dans la fraction.

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Instructions

Tout d’abord, rappelez-vous qu’une fraction simple ou ordinaire peut s’écrire au format X/Y, où X est le numérateur et Y est le dénominateur. Par exemple, 1/4 ou 0,25 en notation numérique. Pour faciliter les calculs ultérieurs, il est recommandé d'écrire la fraction verticalement : le numérateur, la barre de division horizontale en dessous et le dénominateur sous la barre.

Pour diviser un nombre par une fraction entière, vous devez représenter le nombre sous forme de fraction. Puisqu'un nombre est le nombre de parties entières, il est envoyé au dénominateur et le numérateur contient en quoi ce nombre de parties est divisé pour s'obtenir - c'est-à-dire un. 8 doit être écrit 8/1, et 263 263/1, et ainsi de suite.

Après cela, vous devez diviser le nombre par la fraction. Disons que vous avez le nombre 127 et la fraction 4/15. Alors l'opération 127 : 4/15 doit s'écrire comme suit :

Le résultat est une fraction à trois étages, dans laquelle la division médiane (division des fractions) doit être remplacée par une multiplication, et le numérateur et le dénominateur doivent être inversés :

En écrivant cette action en fractions ordinaires avec division horizontale, vous obtenez :

Le résultat de l'action est 467 1/4.

Après avoir recalculé chaque fraction sur la calculatrice, vous obtiendrez ce qui suit :

127: 1 = 127
4: 15 = 0,2666…
127 : 0,2666... = 476, 2500001 ou 476 1/4.

Les résultats sont tout à fait cohérents.

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L’expression « inverser une fraction » peut être comprise comme diverses transformations mathématiques. D'une manière ou d'une autre, à la suite de ces transformations, le numérateur doit changer de place avec le dénominateur d'une certaine manière. Selon le type de transformation, le nombre peut soit changer, soit

Tôt ou tard, tous les enfants de l'école commencent à apprendre les fractions : leur addition, leur division, leur multiplication et tout actions possibles, qui ne peuvent être réalisés qu'avec des fractions. Afin de fournir une assistance appropriée à l'enfant, les parents eux-mêmes ne doivent pas oublier comment diviser les nombres entiers en fractions, sinon vous ne pourrez en aucun cas l'aider, mais ne ferez que le confondre. Si vous avez besoin de vous souvenir de cette action, mais que vous ne parvenez tout simplement pas à regrouper toutes les informations que vous avez en tête dans une seule règle, alors cet article vous aidera : vous apprendrez à diviser un nombre par une fraction et verrez des exemples clairs.

Comment diviser un nombre en fraction

Écrivez votre exemple sous forme de brouillon afin de pouvoir prendre des notes et des ratures. N'oubliez pas que le nombre entier est écrit entre les cellules, juste à leur intersection, et que les nombres fractionnaires sont écrits chacun dans sa propre cellule.

• Dans cette méthode, vous devez retourner la fraction, c'est-à-dire écrire le dénominateur dans le numérateur et le numérateur dans le dénominateur.
• Le signe de division doit être remplacé par multiplication.
• Il ne vous reste plus qu'à effectuer la multiplication selon les règles que vous avez déjà apprises : le numérateur est multiplié par un nombre entier, mais vous ne touchez pas au dénominateur.

Bien sûr, à la suite d'une telle action, vous obtiendrez très grand nombre au numérateur. Vous ne pouvez pas laisser une fraction dans cet état - l'enseignant n'acceptera tout simplement pas cette réponse. Réduisez la fraction en divisant le numérateur par le dénominateur. Écrivez l'entier résultant à gauche de la fraction au milieu des cellules, et le reste sera le nouveau numérateur. Le dénominateur reste inchangé.

Cet algorithme est assez simple, même pour un enfant. Après l'avoir complété cinq ou six fois, l'enfant se souviendra de la procédure et pourra l'appliquer à n'importe quelle fraction.

Comment diviser un nombre par une décimale

Il existe d'autres types de fractions - les décimales. La division en eux se produit selon un algorithme complètement différent. Si vous rencontrez un tel exemple, suivez les instructions :

• Pour commencer, transformez les deux nombres en décimales. C'est facile à faire : votre diviseur est déjà représenté sous forme de fraction, et vous séparez l'entier naturel divisé par une virgule, obtenant ainsi une fraction décimale. Autrement dit, si le dividende était de 5, vous obtenez la fraction 5,0. Vous devez séparer un nombre par autant de chiffres qu'il y a après la virgule et le diviseur.
• Après cela, vous devez faire des deux fractions décimales des nombres naturels. Cela peut paraître un peu déroutant au début, mais c'est le plus façon rapide division, ce qui vous prendra quelques secondes après quelques entraînements. La fraction 5,0 deviendra le nombre 50, la fraction 6,23 deviendra 623.
• Faites la division. Si les nombres sont grands ou si la division se fera avec un reste, faites-le en colonne. De cette façon, vous verrez clairement toutes les actions de cet exemple. Vous n'avez pas besoin de mettre une virgule volontairement, car elle apparaîtra d'elle-même au cours du long processus de division.

Ce type de division semble au départ trop déroutant, puisqu'il faut transformer le dividende et le diviseur en fraction, puis à nouveau en nombres naturels. Mais après une courte pratique, vous commencerez immédiatement à voir les nombres qu'il vous suffit de diviser les uns par les autres.

N'oubliez pas que la capacité de diviser correctement des fractions et des nombres entiers par eux peut s'avérer utile plusieurs fois dans la vie. Par conséquent, connaissez ces règles et principes simples l'enfant a idéalement besoin que, dans les classes supérieures, il ne devienne pas une pierre d'achoppement, à cause de laquelle l'enfant ne peut pas résoudre des problèmes plus complexes.