Parallélogramme. Projet de recherche "parallélogramme et ses propriétés" Qu'est-ce qu'un parallélogramme et ses propriétés
Établissement d'enseignement budgétaire municipal
Lycée Savinskaïa
Recherche
Parallélogramme et ses nouvelles propriétés
Complété par : élève de 8B
École secondaire MBOU Savinskaya
Kuznetsova Svetlana, 14 ans
Responsable : professeur de mathématiques
Toultchevskaya N.A.
P. Savino
Région d'Ivanovo, Russie
2016
JE. Introduction ___________________________________________________page 3
II. De l'histoire du parallélogramme ___________________________________page 4
III Propriétés supplémentaires d'un parallélogramme ____________________________________________page 4
IV. Preuve de propriété _____________________________________ page 5
V. Résolution de problèmes à l'aide de propriétés supplémentaires __________page 8
VI. Application des propriétés d'un parallélogramme dans la vie ___________________page 11
VII. Conclusion _________________________________________________page 12
VIII. Littérature _________________________________________________page 13
Introduction
"Entre esprits égaux
à égalité des autres conditions
celui qui connaît la géométrie est supérieur"
(Blaise Pascal).
En étudiant le sujet « Parallélogramme » dans les cours de géométrie, nous avons examiné deux propriétés d'un parallélogramme et trois caractéristiques, mais lorsque nous avons commencé à résoudre des problèmes, il s'est avéré que cela ne suffisait pas.
J'avais une question : un parallélogramme a-t-il d'autres propriétés et comment aideront-elles à résoudre des problèmes ?
Et j'ai décidé d'étudier des propriétés supplémentaires d'un parallélogramme et de montrer comment elles peuvent être appliquées pour résoudre des problèmes.
Sujet d'étude : parallélogramme
Objet d'étude
: propriétés d'un parallélogramme
Objectif du travail :
formulation et preuve de propriétés supplémentaires d'un parallélogramme qui ne sont pas étudiées à l'école ;
application de ces propriétés pour résoudre des problèmes.
Tâches:
Étudier l'histoire de l'apparition du parallélogramme et l'histoire du développement de ses propriétés ;
Trouver de la littérature supplémentaire sur la question à l'étude ;
Étudier les propriétés supplémentaires d'un parallélogramme et les prouver ;
Montrer l'application de ces propriétés pour résoudre des problèmes ;
Considérez l'application des propriétés d'un parallélogramme dans la vie.
Méthodes de recherche:
Travailler avec de la littérature pédagogique et scientifique populaire, des ressources Internet ;
Étude du matériel théorique ;
Identification d'une gamme de problèmes qui peuvent être résolus en utilisant les propriétés supplémentaires d'un parallélogramme ;
Observation, comparaison, analyse, analogie.
Durée de l'étude : 3 mois : janvier-mars 2016
De l'histoire du parallélogramme
Dans un manuel de géométrie, nous lisons la définition suivante d'un parallélogramme : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
Le mot « parallélogramme » est traduit par « lignes parallèles » (des mots grecs Parallélos - parallèle et gramme - ligne), ce terme a été introduit par Euclide. Dans son livre Éléments, Euclide a prouvé les propriétés suivantes d'un parallélogramme : les côtés et les angles opposés d'un parallélogramme sont égaux et la diagonale le coupe en deux. Euclide ne mentionne pas le point d'intersection d'un parallélogramme. Ce n'est que vers la fin du Moyen Âge qu'une théorie complète des parallélogrammes a été développée et ce n'est qu'au XVIIe siècle que des théorèmes sur les parallélogrammes sont apparus dans les manuels, qui sont prouvés à l'aide du théorème d'Euclide sur les propriétés d'un parallélogramme.
III Propriétés supplémentaires d'un parallélogramme
Dans le manuel de géométrie, seules 2 propriétés d'un parallélogramme sont données :
Les angles et côtés opposés sont égaux
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection.
Dans diverses sources sur la géométrie, vous pouvez trouver les propriétés supplémentaires suivantes :
La somme des angles adjacents d'un parallélogramme est 180 0
La bissectrice de l'angle d'un parallélogramme en coupe un triangle isocèle ;
Les bissectrices des angles opposés d'un parallélogramme se trouvent sur des lignes parallèles ;
Les bissectrices des angles adjacents d'un parallélogramme se coupent à angle droit ;
Lorsque les bissectrices de tous les angles d'un parallélogramme se coupent, elles forment un rectangle ;
Les distances entre les coins opposés d'un parallélogramme et la même diagonale sont égales.
Si vous connectez des sommets opposés dans un parallélogramme avec les milieux des côtés opposés, vous obtenez un autre parallélogramme.
La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés de ses côtés adjacents.
Si vous dessinez des altitudes sous deux angles opposés dans un parallélogramme, vous obtenez un rectangle.
IV Preuve des propriétés d'un parallélogramme
La somme des angles adjacents d'un parallélogramme est 180 0
Donné:
ABCD – parallélogramme
Prouver:
A+ B= 
Preuve:
Un et B – angles internes unilatéraux avec lignes parallèles BC 
AD et sécante AB, ce qui signifie A+ B=
2
Donné: A B C D - parallélogramme,
Bissectrice AK 
UN.
Prouver: 
AVK – isocèle
Preuve:
1) 1=3 (en travers en position BC AD et sécante AK ),
2) 2=3 car AK est une bissectrice,
signifie 1= 2.
3) ABC - isocèle car 2 angles d'un triangle sont égaux
3
Donné: ABCD est un parallélogramme,
AK – bissectrice A,
CP - bissectrice C.
Prouver: AK ║ SR
Preuve:
1) 1=2 car AK est une bissectrice
2) 4=5 parce que CP – bissectrice
3) 3=1 (angles transversaux à
BC ║ AD et AK-sécante),
4) A =C (par la propriété d'un parallélogramme), ce qui signifie 2=3=4=5.
4) Des paragraphes 3 et 4 il résulte que 1 = 4, et ces angles correspondent aux droites AK et CP et sécantes BC,
cela signifie AK ║ CP (basé sur le parallélisme des droites)
. Les bissectrices des angles opposés d'un parallélogramme se trouvent sur des lignes parallèles
Les bissectrices des angles adjacents d'un parallélogramme se coupent à angle droit
Donné: ABCD - parallélogramme,
AK-bissectrice A,
DP bissectrice D
Prouver: DP 
AK.
Preuve:
1) 1=2, parce que AK - bissectrice
Soit 1=2=x, alors A=2x,
2) 3=4, parce que D Р – bissectrice
Soit 3=4=y, alors D=2y
3) A + D =180 0, car la somme des angles adjacents d'un parallélogramme est 180
2) Considérez Une DO
1+3=90 0 , alors <5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)
5. Les bissectrices de tous les angles d'un parallélogramme lors de leur intersection forment un rectangle
Donné: ABCD - parallélogramme, AK-bissectrice A,
DP-bissectrice D,
CM bissectrice C,
BF - bissectrice B .
Prouver: KRNS - rectangle
Preuve:
Basé sur la propriété précédente 8=7=6=5=90 0 ,
signifie que KRNS est un rectangle.
Les distances entre les coins opposés d'un parallélogramme et la même diagonale sont égales.
Donné: Parallélogramme ABCD, diagonale AC.
Capital-risque ca, D.P. A.C.
Prouver: BC = DP
Preuve: 1) DCP = KAB, comme croisements internes couchés avec AB ║ CD et AC sécants.
2) AKB= CDP (le long du côté et de deux angles adjacents AB=CD CD P=AB K).
Et dans des triangles égaux, les côtés correspondants sont égaux, ce qui signifie DP=BK.
Si vous connectez des sommets opposés dans un parallélogramme avec les milieux des côtés opposés, vous obtenez un autre parallélogramme.
Donné: Parallélogramme ABCD.
Prouver: VKDR est un parallélogramme.
Preuve:
1) BP=KD (AD=BC, points K et P
divisez ces côtés en deux)
2) BP ║ KD (mentir sur AD AVANT JC)
Si les côtés opposés d’un quadrilatère sont égaux et parallèles, alors le quadrilatère est un parallélogramme.
Si vous dessinez des altitudes sous deux angles opposés dans un parallélogramme, vous obtenez un rectangle.
La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale au double de la somme des carrés de ses côtés adjacents.
Donné: ABCD est un parallélogramme. BD et AC sont des diagonales.
Prouver: CA 2 +ВD 2 =2(AB 2 + annonce 2 )
Preuve: 1)DEMANDER:
A.C.
²=
+
2)B R.D : BD 2 = B R. 2 +RD 2 (d'après le théorème de Pythagore)
3) A.C. ²+ BD ²=SK²+UN K²+B Р²+РD ²
4) SC = BP = N(hauteur )
5) CA 2 +BD 2 = H 2 + UN À 2 + H 2 +PD 2
6)
Laisser
D
K=UN
P=x, Alors C
ÀD
:
H
2
=
CD
2
- X 2
selon le théorème de Pythagore )
7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,
AC²+BD ²=2СD 2 -2x 2 + UN À 2 +PD 2
8) Un À=AD+ X, R.D=AD- X,
AC²+BD ² =2CD 2 -2x 2 +(ANNONCE +x) 2 +(ANNONCE -X) 2 ,
CA²+
DANSD²=2
AVECD²-2
X² +AD
2
+2AD
X+
X 2
+AD
2
-2AD
X+
X 2
,
CA²+
DANSD²=2CD
2
+2AD
2
=2(CD
2
+AD
2
).
V . Résoudre des problèmes en utilisant ces propriétés
Le point d'intersection des bissectrices de deux angles d'un parallélogramme adjacent à un côté appartient au côté opposé. Le côté le plus court d'un parallélogramme est 5 . Trouvez son grand côté.
Donné: ABCD est un parallélogramme,
AK – bissectrice UN,
DK – bissectrice ré , AB = 5
Trouver: Soleil
décision Solution
Parce que AK - bissectrice Et puis ABC est isocèle.
Parce que DK – bissectrice D, alors DCK - isocèle
CC =C K= 5
Alors BC=VC+SC=5+5 = 10
Réponse : 10
2. Trouvez le périmètre d'un parallélogramme si la bissectrice d'un de ses angles divise le côté du parallélogramme en segments de 7 cm et 14 cm.
1 cas
Donné: UN,
VK=14 cm, KS=7 cm
Trouver: Parallélogramme P
Solution
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Parce que AK – bissectrice Et puis ABC est isocèle.
AB = BK = 14 cm
Alors P=2 (14+21) =70 (cm)
Donné: ABCD est un parallélogramme,
DK – bissectrice D
VK=14 cm, KS=7 cm
Trouver: P parallélogramme
Solution
VS=VK+KS=14+7=21 (cm)
Parce que DK – bissectrice D, alors DCK - isocèle
CC =C K= 7
Alors, P= 2 (21+7) = 56 (cm)
Répondre: 70 cm ou 56 cm
3. Les côtés d'un parallélogramme mesurent 10 cm et 3 cm. Les bissectrices de deux angles adjacents au plus grand côté divisent le côté opposé en trois segments. Trouvez ces segments.
1 cas : les bissectrices se coupent à l'extérieur du parallélogramme
Donné: ABCD – parallélogramme, AK – bissectrice UN,
DK – bissectrice D , AB = 3 cm, BC = 10 cm
Trouver: VM, MN, NC
Solution
Parce que AM - bissectrice Et puis AVM est isocèle.
Parce que DN – bissectrice D, alors DCN - isocèle
DC=CN=3
Alors, MN = 10 – (BM +NC) = 10 – (3+3)=4 cm
Cas 2 : les bissectrices se coupent à l'intérieur d'un parallélogramme
Parce que AN - bissectrice Et puis ABN est isocèle.
AB = BN = 3 D
Et la grille coulissante doit être déplacée à la distance requise dans l'embrasure de la porte
Mécanisme de parallélogramme- un mécanisme à quatre barres dont les maillons forment un parallélogramme. Il est utilisé pour mettre en œuvre un mouvement de translation par des mécanismes articulés.
Parallélogramme à lien fixe- un maillon est immobile, celui opposé effectue un mouvement de bascule en restant parallèle à celui immobile. Deux parallélogrammes reliés l'un derrière l'autre confèrent au maillon d'extrémité deux degrés de liberté, le laissant parallèle au maillon fixe.
Exemples : essuie-glaces de bus, chariots élévateurs, trépieds, cintres, suspensions de voitures.
Parallélogramme à joint fixe- on utilise la propriété d'un parallélogramme de maintenir un rapport constant des distances entre trois points. Exemple : pantographe à dessin - un appareil pour mettre des dessins à l'échelle.
Rhombe- tous les maillons ont la même longueur, le rapprochement (contraction) d'une paire de charnières opposées entraîne l'écartement des deux autres charnières. Tous les liens fonctionnent en compression.
Exemples : cric automobile en forme de losange, pantographe de tramway.
Ciseaux ou Mécanisme en forme de X, aussi connu sous le nom Ciseaux de Nuremberg- version losange - deux maillons reliés au milieu par une charnière. Les avantages du mécanisme sont la compacité et la simplicité, l'inconvénient est la présence de deux paires coulissantes. Deux (ou plusieurs) de ces mécanismes connectés en série forment un ou plusieurs losanges au milieu. Utilisé dans les ascenseurs et les jouets pour enfants.
VII Conclusion
Qui étudie les mathématiques depuis l’enfance ?
il développe l'attention, entraîne son cerveau,
propre volonté, cultive la persévérance
et persévérance dans l'atteinte des objectifs
A. Markouchevitch
Au cours de mes travaux, j'ai prouvé des propriétés supplémentaires du parallélogramme.
J'étais convaincu qu'en utilisant ces propriétés, vous pouvez résoudre les problèmes plus rapidement.
J'ai montré comment ces propriétés sont appliquées à l'aide d'exemples de résolution de problèmes spécifiques.
J'ai beaucoup appris sur le parallélogramme, qui n'est pas dans notre manuel de géométrie
J'étais convaincu que la connaissance de la géométrie est très importante dans la vie à travers des exemples d'application des propriétés d'un parallélogramme.
Le but de mon travail de recherche est atteint.
L'importance des connaissances mathématiques est attestée par le fait qu'un prix a été créé pour celui qui publie un livre sur une personne qui a vécu toute sa vie sans l'aide des mathématiques. Pas une seule personne n’a encore reçu ce prix.
VIII Littérature
Pogorelov A.V. Géométrie 7-9 : manuel de formation générale. institutions - M. : Éducation, 2014
L.S.Atanasyan et autres.Géométrie. Ajouter. Chapitres du manuel de 8e année : manuel. manuel pour les étudiants des écoles et des classes avancées. étudié les mathématiques. – M. : Vita-presse, 2003
Ressources Internet
Matériel Wikipédia
Lors de la résolution de problèmes sur ce sujet, sauf propriétés de base parallélogramme et les formules correspondantes, vous pouvez retenir et appliquer les éléments suivants :
- La bissectrice d'un angle intérieur d'un parallélogramme en coupe un triangle isocèle
- Les bissectrices des angles intérieurs adjacents à l'un des côtés d'un parallélogramme sont perpendiculaires entre elles
- Les bissectrices provenant des coins intérieurs opposés d'un parallélogramme sont parallèles entre elles ou se trouvent sur la même ligne droite
- La somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés
- L'aire d'un parallélogramme est égale à la moitié du produit des diagonales et du sinus de l'angle qui les sépare
Considérons des problèmes dans lesquels ces propriétés sont utilisées.
Tache 1.
La bissectrice de l'angle C du parallélogramme ABCD coupe le côté AD au point M et le prolongement du côté AB au-delà du point A au point E. Trouvez le périmètre du parallélogramme si AE = 4, DM = 3.
Solution.
1. Le triangle CMD est isocèle. (Propriété 1). Donc CD = MD = 3 cm.
2. Le triangle EAM est isocèle.
Donc AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Périmètre ABCD = 20 cm.
Répondre. 20 cm.
Tâche 2.
Les diagonales sont tracées dans un quadrilatère convexe ABCD. On sait que les aires des triangles ABD, ACD, BCD sont égales. Montrer que ce quadrilatère est un parallélogramme.
Solution.
1. Soit BE la hauteur du triangle ABD, CF la hauteur du triangle ACD. Puisque, selon les conditions du problème, les aires des triangles sont égales et qu'ils ont une base commune AD, alors les hauteurs de ces triangles sont égales. ÊTRE = CF.
2. BE, CF sont perpendiculaires à AD. Les points B et C sont situés du même côté par rapport à la droite AD. ÊTRE = CF. Par conséquent, la droite BC || ANNONCE. (*)
3. Soit AL l'altitude du triangle ACD, BK l'altitude du triangle BCD. Puisque, selon les conditions du problème, les aires des triangles sont égales et qu'ils ont une base commune CD, alors les hauteurs de ces triangles sont égales. AL = BK.
4. AL et BK sont perpendiculaires à CD. Les points B et A sont situés du même côté par rapport à la droite CD. AL = BK. Par conséquent, la droite AB || CD (**)
5. Des conditions (*), (**) il s'ensuit que ABCD est un parallélogramme.
Répondre. Éprouvé. ABCD est un parallélogramme.
Tâche 3.
Sur les côtés BC et CD du parallélogramme ABCD, les points M et H sont marqués respectivement de telle sorte que les segments BM et HD se coupent au point O ;<ВМD = 95 о,
Solution.
1. Dans le triangle DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. Dans un triangle rectangle DHC Alors<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Mais CD = AB. Alors AB : HD = 2 : 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Réponse : AB : HD = 2 : 1,<А = <С = 30 о, <В = Tâche 4. L'une des diagonales d'un parallélogramme de longueur 4√6 fait un angle de 60° avec la base, et la deuxième diagonale fait un angle de 45° avec la même base. Trouvez la deuxième diagonale. Solution.
1. AO = 2√6. 2. Nous appliquons le théorème des sinus au triangle AOD. AO/péché D = OD/péché A. 2√6/péché 45 o = OD/péché 60 o. ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Réponse : 12.
Tâche 5. Pour un parallélogramme de côtés 5√2 et 7√2, le plus petit angle entre les diagonales est égal au plus petit angle du parallélogramme. Trouvez la somme des longueurs des diagonales. Solution.
Soit d 1, d 2 les diagonales du parallélogramme, et l'angle entre les diagonales et le plus petit angle du parallélogramme est égal à φ. 1. Comptons deux différents S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f, S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f. On obtient l'égalité 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f ou 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. En utilisant la relation entre les côtés et les diagonales du parallélogramme, on écrit l'égalité (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2. d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Créons un système : (d 1 2 + d 2 2 = 296, Multiplions la deuxième équation du système par 2 et ajoutons-la à la première. On obtient (d 1 + d 2) 2 = 576. D'où Id 1 + d 2 I = 24. Puisque d 1, d 2 sont les longueurs des diagonales du parallélogramme, alors d 1 + d 2 = 24. Réponse : 24.
Tâche 6. Les côtés du parallélogramme sont 4 et 6. L'angle aigu entre les diagonales est de 45 degrés. Trouvez l'aire du parallélogramme. Solution.
1. À partir du triangle AOB, en utilisant le théorème du cosinus, on écrit la relation entre le côté du parallélogramme et les diagonales. AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o ; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. ré 1 2 + ré 2 2 – ré 1 · ré 2 √2 = 64. 2. De même, nous écrivons la relation pour le triangle AOD. Prenons en compte cela<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Nous obtenons l'équation d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Nous avons un système En soustrayant la première de la deuxième équation, nous obtenons 2d 1 · d 2 √2 = 80 ou ré 1 ré 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10. Note: Dans ce problème et dans le précédent, il n’est pas nécessaire de résoudre complètement le système, sachant que dans ce problème, nous avons besoin du produit des diagonales pour calculer l’aire. Réponse : 10. Tâche 7. L'aire du parallélogramme est de 96 et ses côtés sont de 8 et 15. Trouvez le carré de la plus petite diagonale. Solution.
1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Faisons une substitution dans la formule. Nous obtenons 96 = 8 · 15 · sin ВAD. D'où sin ВAD = 4/5. 2. Trouvons cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25. Selon les conditions du problème, on trouve la longueur de la plus petite diagonale. La diagonale ВD sera plus petite si l'angle ВАD est aigu. Alors cos VAD = 3/5. 3. A partir du triangle ABD, en utilisant le théorème du cosinus, on trouve le carré de la diagonale BD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145. Réponse : 145.
Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre un problème de géométrie ? site Web, lors de la copie du matériel en totalité ou en partie, un lien vers la source est requis. Et encore la question : un losange est-il un parallélogramme ou pas ? De plein droit - un parallélogramme, car il a et (rappelez-vous notre fonctionnalité 2). Et encore une fois, puisqu'un losange est un parallélogramme, alors il doit avoir toutes les propriétés d'un parallélogramme. Cela signifie que dans un losange, les angles opposés sont égaux, les côtés opposés sont parallèles et les diagonales se coupent en deux au point d'intersection. Regarde l'image: Comme dans le cas d'un rectangle, ces propriétés sont distinctives, c'est-à-dire que pour chacune de ces propriétés, nous pouvons conclure qu'il ne s'agit pas simplement d'un parallélogramme, mais d'un losange. Et encore une fois, faites attention : il ne doit pas y avoir seulement un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires, mais un parallélogramme. S'assurer: Non, bien sûr, bien que ses diagonales soient perpendiculaires et que la diagonale soit la bissectrice des angles et. Mais... les diagonales ne sont pas divisées en deux par le point d'intersection, donc - PAS un parallélogramme, et donc PAS un losange. Autrement dit, un carré est à la fois un rectangle et un losange. Voyons ce qui se passe. Est-ce clair pourquoi ? - le losange est la bissectrice de l'angle A, qui est égale à. Cela signifie qu'il se divise (et aussi) en deux angles. Eh bien, c'est très clair : les diagonales d'un rectangle sont égales ; Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, et en général, un parallélogramme de diagonales est divisé en deux par le point d'intersection. Attention! Mots " propriétés d'un parallélogramme"ça veut dire que si dans ta tâche Il y a parallélogramme, alors tous les éléments suivants peuvent être utilisés. Dans n'importe quel parallélogramme : Comprenons pourquoi tout cela est vrai, en d'autres termes NOUS PROUVONS théorème. Alors pourquoi 1) est-il vrai ? Si c'est un parallélogramme, alors : Cela signifie (selon le critère II : et - général.) Eh bien, c'est ça, c'est ça ! - prouvé. Mais au fait ! Nous avons également prouvé 2) ! Pourquoi? Mais (regardez la photo), c'est précisément parce que. Il en reste 3). Pour ce faire, il faut encore tracer une deuxième diagonale. Et maintenant nous voyons cela - selon la caractéristique II (les angles et le côté « entre » eux). Propriétés prouvées ! Passons aux signes. Rappelons que le signe du parallélogramme répond à la question « comment savez-vous ? » qu’une figure est un parallélogramme. En icônes, c'est comme ça : Pourquoi? Ce serait bien de comprendre pourquoi - ça suffit. Mais regarde: Eh bien, nous avons compris pourquoi le signe 1 est vrai. Eh bien, c'est encore plus simple ! Traçons à nouveau une diagonale. Ce qui signifie: ET C'est aussi facile. Mais différent! Moyens, . Ouah! Mais aussi - interne unilatéral avec une sécante ! Donc le fait que cela signifie cela. Et si vous regardez de l'autre côté, alors - interne unilatéral avec une sécante ! Et donc. Voyez-vous à quel point c'est génial ?! Et encore une fois simple : Exactement pareil, et. Faites attention: si tu as trouvé au moins un signe de parallélogramme dans votre problème, alors vous avez exactement parallélogramme et vous pouvez utiliser tout le monde propriétés d'un parallélogramme. Pour plus de clarté, regardez le schéma : Le point 1) est assez évident - après tout, le signe 3 () est simplement rempli Et point 2) - très important. Alors prouvons que Cela signifie des deux côtés (et - en général). Eh bien, puisque les triangles sont égaux, alors leurs hypoténuses sont également égales. Prouvé cela! Et imaginez, l'égalité des diagonales est une propriété distinctive d'un rectangle parmi tous les parallélogrammes. Autrement dit, cette affirmation est vraie^ Comprenons pourquoi ? Cela signifie (c'est-à-dire les angles d'un parallélogramme). Mais rappelons encore une fois qu'il s'agit d'un parallélogramme, et donc. Moyens, . Eh bien, bien sûr, il s'ensuit que chacun d'eux ! Après tout, ils doivent tout donner ! Ils ont donc prouvé que si parallélogramme du coup (!) les diagonales s'avèrent égales, alors ça exactement un rectangle. Mais! Faites attention! C'est à propos de parallélogrammes! Pas n'importe qui un quadrilatère avec des diagonales égales est un rectangle, et seulement parallélogramme! Et encore la question : un losange est-il un parallélogramme ou pas ? De plein droit - un parallélogramme, car il en a (rappelez-vous notre fonctionnalité 2). Et encore une fois, puisqu’un losange est un parallélogramme, il doit avoir toutes les propriétés d’un parallélogramme. Cela signifie que dans un losange, les angles opposés sont égaux, les côtés opposés sont parallèles et les diagonales se coupent en deux au point d'intersection. Mais il existe aussi des propriétés particulières. Formulons-le. Pourquoi? Eh bien, puisqu'un losange est un parallélogramme, alors ses diagonales sont divisées en deux. Pourquoi? Oui, c'est pourquoi ! En d’autres termes, les diagonales se sont révélées être les bissectrices des coins du losange. Comme dans le cas d'un rectangle, ces propriétés sont distinctif, chacun d'eux est aussi le signe d'un losange. Pourquoi est-ce? Et regarde, Cela signifie les deux Ces triangles sont isocèles. Pour être un losange, un quadrilatère doit d’abord « devenir » un parallélogramme, puis présenter la caractéristique 1 ou la caractéristique 2. Autrement dit, un carré est à la fois un rectangle et un losange. Voyons ce qui se passe. Est-ce clair pourquoi ? Un carré - un losange - est la bissectrice d'un angle égal à. Cela signifie qu'il se divise (et aussi) en deux angles. Eh bien, c'est très clair : les diagonales d'un rectangle sont égales ; Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires, et en général, un parallélogramme de diagonales est divisé en deux par le point d'intersection. Pourquoi? Eh bien, appliquons simplement le théorème de Pythagore à... Propriétés d'un parallélogramme : Propriétés du rectangle : Propriétés d'un losange : Propriétés d'un carré : Un carré est à la fois un losange et un rectangle, donc pour un carré toutes les propriétés d'un rectangle et d'un losange sont remplies. Et. Afin de déterminer si une figure donnée est un parallélogramme, il existe un certain nombre de signes. Examinons les trois principales caractéristiques d'un parallélogramme. Si deux côtés d’un quadrilatère sont égaux et parallèles, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme. Preuve: Considérons le quadrilatère ABCD. Soit les côtés AB et CD parallèles. Et soit AB=CD. Dessinons la diagonale BD dedans. Il divisera ce quadrilatère en deux triangles égaux : ABD et CBD. Ces triangles sont égaux entre eux le long de deux côtés et de l'angle qui les sépare (BD est le côté commun, AB = CD par condition, angle1 = angle2 comme angles transversaux avec la transversale BD des droites parallèles AB et CD.), et donc angle3 = angle4. Et ces angles seront transversaux lorsque les droites BC et AD couperont la sécante BD. Il s'ensuit que BC et AD sont parallèles l'un à l'autre. Nous avons que dans le quadrilatère ABCD les côtés opposés sont parallèles deux à deux, et donc le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. Si dans un quadrilatère les côtés opposés sont égaux deux à deux, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme. Preuve: Considérons le quadrilatère ABCD. Dessinons la diagonale BD dedans. Il divisera ce quadrilatère en deux triangles égaux : ABD et CBD. Ces deux triangles seront égaux entre eux sur trois côtés (BD est le côté commun, AB = CD et BC = AD par condition). De là, nous pouvons conclure que angle1 = angle2. Il s’ensuit que AB est parallèle à CD. Et puisque AB = CD et AB est parallèle à CD, alors selon le premier critère d'un parallélogramme, le quadrilatère ABCD sera un parallélogramme. Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent et sont divisées en deux par le point d'intersection, alors ce quadrilatère sera un parallélogramme. Considérons le quadrilatère ABCD. Traçons-y deux diagonales AC et BD, qui se couperont au point O et seront divisées en deux par ce point. Les triangles AOB et COD seront égaux entre eux, selon le premier signe d'égalité des triangles. (AO = OC, BO = OD par condition, angle AOB = angle COD comme angles verticaux.) Donc AB = CD et angle1 = angle 2. De l'égalité des angles 1 et 2, on a que AB est parallèle à CD. On a alors que dans le quadrilatère ABCD les côtés AB sont égaux à CD et parallèles, et selon le premier critère d'un parallélogramme, le quadrilatère ABCD sera un parallélogramme. Définition Parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Le point d'intersection des diagonales d'un parallélogramme s'appelle centre. Soit un parallélogramme $ABCD$. 1. Notez que les angles adjacents $A$ et $B$ d'un parallélogramme sont des angles intérieurs unilatéraux avec des droites parallèles $AD$ et $BC$ et une sécante $AB$, c'est-à-dire que leur somme est égale à $180^ \circ$. De même pour les autres paires d'angles. Si $\angle A + \angle B=180^\circ$ et $\angle C + \angle B=180^\circ$, alors $\angle A = \angle C$. De même, $\angle B = \angle D$. 2. Considérons les triangles $ABC$ et $CDA$. Du parallélisme des côtés opposés d'un parallélogramme, il résulte que $\angle BAC=\angle DCA$ et $\angle BCA=\angle DAC$. Puisque $AC$ est commun, alors les triangles $ABC$ et $CDA$ sont égaux selon le deuxième critère. De l'égalité des triangles il résulte que $AB=CD$ et $BC=AD$. 3. Puisqu'un parallélogramme est un quadrilatère convexe, ses diagonales se coupent. Soit $O$ le point d'intersection. Du parallélisme des côtés $BC$ et $AD$ du parallélogramme il résulte que $\angle OAD=\angle OCB$ et $\angle ODA=\angle OBC$. Compte tenu de l'égalité $BC=AD$, on obtient que les triangles $AOD$ et $COB$ sont égaux selon le deuxième critère. Par conséquent, $AO=CO$ et $DO=BO$, selon les besoins. Soit $ABCD$ un quadrilatère. 1. Notez que les angles adjacents $A$ et $B$ sont des angles intérieurs unilatéraux avec des droites $AD$ et $BC$ et transversales $AB$. Puisque leur somme est de 180$^\circ$, alors les droites $AD$ et $BC$ sont parallèles. De même pour une autre paire de droites, c'est-à-dire que $ABCD$ est un parallélogramme par définition. 2. Notez que $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$. Si $\angle A = \angle C$ et $\angle B = \angle D$, alors $\angle A + \angle B=180^\circ$ et de même pour les autres paires d'angles adjacents. Ensuite, nous utilisons le signe précédent. 3. Considérons les triangles $ABC$ et $CDA$. Puisque $AC$ est commun, il résulte de l'égalité des côtés opposés du parallélogramme que les triangles $ABC$ et $CDA$ sont égaux selon le troisième critère. Donc $\angle BAC=\angle DCA$ et $\angle BCA=\angle DAC$, ce qui implique le parallélisme des côtés opposés. 4. Soient $BC$ et $AD$ égaux et parallèles. Considérons les triangles $ABC$ et $CDA$. Du parallélisme des droites il résulte que $\angle BCA=\angle DAC$. Puisque $AC$ est général et $BC=AD$, alors les triangles $ABC$ et $CDA$ sont égaux selon le premier critère. Donc $AB=CD$. Ensuite, nous utilisons le signe précédent. 5. Soit $O$ le point d'intersection des diagonales et $AO=CO$, et $DO=BO$. Compte tenu de l'égalité des angles verticaux, on obtient que les triangles $AOD$ et $COB$ sont égaux selon le premier critère. Donc $\angle OAD=\angle OCB$, ce qui implique le parallélisme de $BC$ et $AD$. De même pour l’autre paire de côtés. Définition Un quadrilatère qui a trois angles droits s'appelle rectangle. Soit un rectangle $ABCD$. Puisque le rectangle est un parallélogramme, ses côtés opposés sont égaux. Alors les triangles rectangles $ABD$ et $DCA$ sont égaux sur deux branches, ce qui signifie que $BD=AC$. 1. Si l'un des angles d'un parallélogramme est droit, alors, en tenant compte du fait que la somme des angles adjacents est $180^(\circ)$, on obtient que les angles restants sont également droits. 2. Soit les diagonales $AC$ et $BD$ dans le parallélogramme $ABCD$. Compte tenu de l'égalité des côtés opposés $AB$ et $DC$, on obtient que les triangles $ABD$ et $DCA$ sont égaux selon le troisième critère. Donc $\angle BAD=\angle CDA$, c'est-à-dire qu'ils sont droits. Il reste à utiliser le signe précédent. Définition Un quadrilatère dont tous les côtés sont égaux s’appelle diamant Laissez les diagonales $AC$ et $BD$ du losange $ABCD$ se couper au point $O$. Puisqu'un losange est un parallélogramme, $AO=OC$. Considérons le triangle isocèle $ABC$. Puisque $AO$ est la médiane tirée à la base, c'est la bissectrice et la hauteur, ce qui était requis. Soit le parallélogramme $ABCD$ dont les diagonales $AC$ et $BD$ se coupent au point $O$. Considérons le triangle $ABC$. 1. Si les diagonales sont perpendiculaires, alors $BO$ est la médiane et la hauteur du triangle. 2. Si la diagonale $BD$ contient la bissectrice de l'angle $ABC$, alors $BO$ est la médiane et la bissectrice du triangle. Dans les deux cas, on constate que le triangle $ABC$ est isocèle et que dans un parallélogramme les côtés adjacents sont égaux. Il s’agit donc d’un losange, ce qui était nécessaire. Définition Un rectangle dont les deux côtés adjacents sont égaux s’appelle carré. Si un parallélogramme a un angle droit ou des diagonales égales, alors c'est un rectangle. Si un quadrilatère est un rectangle et un losange, alors c'est un carré.
(
(Puisque dans un triangle rectangle, la jambe opposée à l'angle de 30° est égale à la moitié de l'hypoténuse).
façons sa zone.
(d 1 + d 2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.
Pour obtenir l'aide d'un tuteur, inscrivez-vous.
Le premier cours est gratuit !
Propriétés d'un losange
Signes d'un diamant
NIVEAU MOYEN
Propriétés des quadrilatères. Parallélogramme
Propriétés d'un parallélogramme
Théorème sur les propriétés d'un parallélogramme.
Signes d'un parallélogramme
Propriétés des quadrilatères. Rectangle.
Propriétés du rectangle :
Propriétés des quadrilatères. Rhombe
Propriétés d'un losange
Signes d'un diamant.
Propriétés des quadrilatères. Carré
RÉSUMÉ ET FORMULES DE BASE
1 signe de parallélogramme
Signe de parallélogramme 2
signe à 3 parallélogrammes
Propriétés d'un parallélogramme :
Preuve
Signes d'un parallélogramme :
Preuve
Propriétés du rectangle :
Preuve
Caractéristiques d'un rectangle :
Preuve
Propriétés d'un losange :
Preuve
Signes d'un diamant :
Preuve
Signes d'un carré :
Preuve