Est-il vrai que les diagonales d’un quadrilatère se coupent ? Propriétés des diagonales d'un parallélogramme. Cours complets - Hypermarché du savoir. Les diagonales sont divisées en deux

Sujet de la leçon

  • Propriétés des diagonales d'un parallélogramme.

Objectifs de la leçon

  • Familiarisez-vous avec de nouvelles définitions et souvenez-vous de certaines déjà étudiées.
  • Énoncer et prouver la propriété des diagonales d’un parallélogramme.
  • Apprenez à appliquer les propriétés des formes lors de la résolution de problèmes.
  • Développemental – pour développer l’attention, la persévérance, la persévérance des élèves, pensée logique, discours mathématique.
  • Éducatif - à travers la leçon, cultiver une attitude attentive les uns envers les autres, inculquer la capacité d'écoute des camarades, d'entraide et d'indépendance.

Objectifs de la leçon

  • Testez les compétences des élèves en résolution de problèmes.

Plan de cours

  1. Introduction.
  2. Répétition du matériel précédemment étudié.
  3. Parallélogramme, ses propriétés et caractéristiques.
  4. Exemples de tâches.
  5. Auto contrôle.

Introduction

"Grand découverte scientifique apporte une solution à un problème majeur, mais dans la solution de tout problème il y a un grain de découverte.

Cette formule semble n’avoir été publiée nulle part, n’est-ce pas ? Bien sûr, les formules mathématiques ne sortent pas de nulle part, mais il faudra peut-être y réfléchir un peu pour découvrir la logique qui se cache derrière. C'est de là que vient la formule diagonale et pourquoi elle fonctionne. Chaque diagonale relie un point à un autre point d'un polygone qui n'est pas son voisin adjacent. Et chaque diagonale peut aller jusqu'à des points terminaux car une diagonale ne peut pas se terminer à son point de départ ni à l'un de ses deux points adjacents.

Voici votre problème : si un polygone a 90 diagonales, combien de côtés a-t-il ? Voici une excellente application de la formule diagonale dans le monde réel. Disons qu'il y a un petit tournoi de tennis avec six personnes dans lequel tout le monde doit jouer contre tout le monde. Combien de matchs y aura-t-il au total ? L'illustration suivante montre six joueurs de tennis avec des segments reliant chaque paire de joueurs.

Propriété des côtés opposés d'un parallélogramme

Un parallélogramme a des côtés opposés égaux.

Preuve.

Soit ABCD le parallélogramme donné. Et laissez ses diagonales se couper au point O.
Puisque Δ AOB = Δ COD par le premier critère d'égalité des triangles (∠ AOB = ∠ COD, comme verticaux, AO=OC, DO=OB, par la propriété des diagonales d'un parallélogramme), alors AB=CD. De la même manière, de l'égalité des triangles BOC et DOA, il résulte que BC = DA. Le théorème a été prouvé.

Chaque segment représente un match entre deux participants. Ainsi, pour obtenir le nombre total de correspondances, il vous suffit de compter tous les segments du dessin : le nombre de côtés de l'hexagone plus le nombre de diagonales dans les hexagones.

Ceci est illustré par la figure suivante. Il est montré que le rapport des partis correspondants est de ½. Dans la figure ci-dessous, tous les triangles bleus sont similaires au plus grand triangle et on peut voir que le théorème ci-dessus est valable. Jake quitte l'école pour rentrer chez lui. Il va 6 pâtés de maisons au nord, puis 8 pâtés de maisons à l'ouest. À quelle distance se trouve Jake de l’école ?

Propriété des angles opposés d'un parallélogramme

Dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux.

Preuve.

Soit ABCD le parallélogramme donné. Et laissez ses diagonales se couper au point O.
D’après ce qui a été prouvé dans le théorème sur les propriétés des côtés opposés d’un parallélogramme Δ ABC = Δ CDA sur trois côtés (AB=CD, BC=DA d’après ce qui a été prouvé, AC – général). De l'égalité des triangles il résulte que ∠ ABC = ∠ CDA.
Il est également prouvé que ∠ DAB = ∠ BCD, ce qui découle de ∠ ABD = ∠ CDB. Le théorème a été prouvé.

Chaque segment de ligne d'un polygone est appelé son côté

Déterminez la longueur du câble.

Angle : L'angle formé par deux côtés adjacents d'un polygone est appelé angle de polygone.

Si pour chaque côté d’un polygone la ligne contenant ce côté a tous les autres sommets du même côté. Construction d'un quadrilatère : construire un quadrilatère avec cinq éléments qui seront connus.

Supposons que les longueurs des deux diagonales du parallélogramme soient 8 cm et 6 cm et que l’angle entre elles soit de 60°. Montrez que l'aire = ½ aire. Pour diviser un coin, nous suivons les règles ci-dessous. Nous réduisons donc simplement de moitié 90º en utilisant les étapes que nous avons utilisées précédemment.

Propriété des diagonales d'un parallélogramme

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent et sont divisées en deux au point d'intersection.

Preuve.

Soit ABCD le parallélogramme donné. Traçons la diagonale AC. Marquons dessus le milieu O. Dans la suite du segment DO, nous mettrons de côté le segment OB 1 égal à DO.
D'après le théorème précédent, AB 1 CD est un parallélogramme. Par conséquent, la ligne AB 1 est parallèle à DC. Mais par le point A, une seule ligne parallèle à DC peut être tracée. Cela signifie que la droite AB 1 coïncide avec la droite AB.
Il est également prouvé que BC 1 coïncide avec BC. Cela signifie que le point C coïncide avec C 1. le parallélogramme ABCD coïncide avec le parallélogramme AB 1 CD. Par conséquent, les diagonales du parallélogramme se coupent et sont divisées en deux au point d'intersection. Le théorème a été prouvé.

Nous pouvons donc tirer 90º à partir des méthodes ci-dessus, puis 45º dessus pour obtenir 135º comme indiqué sur l'image. Construire des tangentes à un cercle à partir d'un point extérieur. Trouvez le milieu de cette ligne en construisant une médiatrice perpendiculaire à la ligne. Le point médian peut être à l’intérieur ou à l’extérieur du cercle, selon la taille du cercle et l’emplacement du point. Étape 4 : Sans changer la largeur, tracez un arc de cercle à deux endroits possibles. Circonférence d'un triangle : Étape 1 : Trouvez la bissectrice d'un des côtés du triangle.

Étape 2 : Répétez pour l’autre côté. Étape 3 : Le point d'intersection de ces deux perpendiculaires est la circonférence du triangle, le centre du cercle souhaité. Tracez un cercle qui traverse les trois. À l'intérieur du triangle : Étape 1 : Placez le point cardinal sur l'un des sommets du triangle. Ajustez la boussole à une largeur moyenne. La largeur exacte n'a pas d'importance. Sans changer la largeur de la boussole, tracez un arc de chaque côté adjacent. Étape 3 : Modifiez la largeur de la boussole si nécessaire, puis, en partant du point où chaque arc coupe le côté, tracez deux arcs à l'intérieur du triangle afin qu'ils se coupent, en utilisant la même largeur de boussole pour chacun.

Dans les manuels des écoles ordinaires (par exemple, à Pogorelovo), cela est prouvé ainsi : les diagonales divisent un parallélogramme en 4 triangles. Considérons une paire et découvrons - elles sont égales : leurs bases sont des côtés opposés, les angles correspondants qui lui sont adjacents sont égaux, comme les angles verticaux avec des lignes parallèles. Autrement dit, les segments des diagonales sont égaux par paires. Tous.

Les diagonales sont divisées en deux

Étape 4 : À l’aide d’une règle, tracez une ligne allant du sommet du triangle jusqu’à l’intersection des deux derniers arcs. Étape 5 : Répétez ce qui précède à n’importe quel autre sommet du triangle. Vous aurez maintenant deux nouvelles lignes. Étape 6 : Lorsque deux nouvelles lignes se croisent, marquez un point comme centre du triangle. Étape 7 : Tracez une perpendiculaire du centre au côté du triangle. Étape 9 : Dessinez un cercle complet pour créer un cercle. Cela deviendra l’un des côtés de l’hexagone. Puisque nous construisons un hexagone régulier, les cinq autres côtés auront également cette longueur.

Est-ce tout?
Il a été prouvé ci-dessus que le point d'intersection coupe les diagonales en deux - s'il existe. Le raisonnement ci-dessus ne prouve en aucune façon son existence. Autrement dit, une partie du théorème « les diagonales d’un parallélogramme se coupent » reste non prouvée.

Le plus drôle, c’est que cette partie est beaucoup plus difficile à prouver. Cela découle d'ailleurs d'un résultat plus général : tout quadrilatère convexe aura des diagonales qui se coupent, mais pas tout quadrilatère non convexe.

Les côtés et angles opposés sont égaux

La boussole doit rester à cette largeur pour le reste de la structure. C'est le prochain sommet de l'hexagone. Étape 5 : Continuez ainsi jusqu'à ce que vous ayez les six sommets. Étape 6 : Tracez une ligne entre chaque paire successive de sommets et la forme. Construisez le contour et le cercle de triangles dont un côté mesure 5 cm, l'autre côté mesure 6 cm et l'angle entre eux est de 120°.

Les lieux sont représentés dans la figure ci-dessous. Une échelle de 10 pieds est placée verticalement contre le mur, puis les marches de l'échelle sont déplacées vers l'extérieur jusqu'à ce que l'échelle repose à plat sur le sol avec une extrémité touchant le mur. Quel est l'emplacement au milieu de l'échelle lorsqu'elle glisse ?

Sur l'égalité des triangles le long d'un côté et de deux angles adjacents (le deuxième signe d'égalité des triangles) et autres.

Thalès a découvert un théorème important sur l'égalité de deux triangles le long d'un côté et de deux angles adjacents. utilisation pratique. Un télémètre a été construit dans le port de Milet pour déterminer la distance jusqu'à un navire en mer. Il se composait de trois piquets enfoncés A, B et C (AB = BC) et d'une droite marquée SC, perpendiculaire à CA. Lorsqu'un navire apparaissait sur la droite SK, nous trouvions le point D tel que les points D, .B et E étaient sur la même droite. Comme cela ressort clairement du dessin, la distance CD au sol est la distance souhaitée par rapport au navire.

Cercle : propriétés de l'accord et de l'accord

Quel est le lieu des centres des cercles qui touchent une ligne donnée en un point donné ? Quel est le lieu des extrémités des segments de droite se rencontrant en un point donné et coupés en deux par une droite ne passant pas par ce point ? La figure ci-dessous montre les paramètres requis. C'est l'inverse de la propriété précédente.

Cercle : propriétés de l'arc et de la corde

Quelle est la profondeur maximale de l'eau ? La longueur de chacune des deux cordes parallèles est de 10 mm, et la distance perpendiculaire entre ces deux cordes est de 12 mm. Quel est le diamètre du tuyau rond ? Cela peut être vu dans la figure ci-dessous. C’est la propriété inverse de ce qui précède, comme le montre également la figure ci-dessus.


Des questions

  1. Les diagonales d'un carré sont-elles divisées en deux par le point d'intersection ?
  2. Les diagonales d'un parallélogramme sont-elles égales ?
  3. Les angles opposés d'un parallélogramme sont-ils égaux ?
  4. Énoncer la définition d’un parallélogramme ?
  5. Combien de signes d'un parallélogramme ?
  6. Un losange peut-il être un parallélogramme ?

Liste des sources utilisées

  1. Kuznetsov A.V., professeur de mathématiques (5e à 9e années), Kiev
  2. "Célibataire Examen d'état 2006. Mathématiques. Matériel pédagogique et pédagogique pour préparer les étudiants / Rosobrnadzor, ISOP - M. : Intellect-Center, 2006"
  3. Mazur K. I. «Résoudre les principaux problèmes de compétition en mathématiques de la collection éditée par M. I. Skanavi»
  4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina « Géométrie, 7 – 9 : manuel pour les établissements d'enseignement »

Nous avons travaillé sur la leçon

Kouznetsov A.V.

Potturnak S.A.

Evgueni Petrov

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Matières > Mathématiques > Mathématiques 8e année

Un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles est un parallélogramme. Les diagonales sont des lignes droites reliant des sommets opposés. Le point de leur intersection est le centre de symétrie. En général, un parallélogramme a deux diagonales, D est la longue et d est la courte.

Trouver la diagonale d'un parallélogramme en utilisant le théorème du cosinus

  • La valeur des cosinus des angles du parallélogramme α et β.

D = √a^2 + b^2 — 2ab cosβ

d = √a^2 + b^2 + 2ab cosβ

D = √a^2 + b^2 + 2ab cosα

d = √a^2 + b^2 — 2ab cosα

Trouver la diagonale d'un parallélogramme en utilisant une diagonale et des côtés connus

Pour utiliser cette méthode, vous devez savoir :

  • Les longueurs des côtés du parallélogramme a et b.

D = √2a^2 + 2b^2 — d^2

Pour utiliser cette méthode, vous devez savoir :

  • Aire d'un parallélogramme.
  • La longueur de l'une des diagonales D ou d.
  • L'angle entre les diagonales γ ou δ.

D = 2S/d sinγ = 2S/d sinδ

d = 2S/D sinγ = 2S/D sinδ


Un cas particulier de détermination de la longueur de la diagonale d'un parallélogramme est un carré

Un carré est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux et dont les angles font 90°. Les longueurs des diagonales dans ce cas seront égales à D=d et pourront être calculées à l'aide du théorème de Pythagore.
D=d=a*√2


Un cas particulier de détermination de la longueur de la diagonale d'un parallélogramme est un rectangle

Un rectangle est un parallélogramme dont les angles sont égaux et égaux à 90°. Les longueurs des diagonales dans ce cas seront égales à D=d et pourront être calculées à l'aide du théorème de Pythagore.
D=d=√(a^2+b^2)


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