GIA. Fonction quadratique

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« Fonctions et leurs graphiques » - 3. Fonction tangente. Trigonométrique. La fonction est définie et continue sur l'ensemble des nombres réels. Définition : La fonction numérique donnée par la formule y = cos x est appelée cosinus. 4. Fonction cotangente. Au point x = a, la fonction peut exister ou non. Définition 1. Soit la fonction y = f(x) définie sur un intervalle.

"Fonctions de plusieurs variables" - Les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction. Théorème de Weierstrass. Points internes et limites. Limite d'une fonction de 2 variables. Graphique de fonction. Théorème. Continuité. Superficie limitée. Zones ouvertes et fermées. Dérivés d'ordres supérieurs. Dérivées partielles. Incréments partiels d'une fonction de 2 variables.

"Dessins 3D sur asphalte" - Kurt a commencé à créer ses premières œuvres à l'âge de 16 ans à Santa Barbara, où il est devenu accro au street art. Dessins 3D sur asphalte. Kurt Wenner est l'un des artistes de rue les plus célèbres qui dessine des dessins 3D sur l'asphalte à l'aide de crayons ordinaires. ETATS-UNIS. Dans sa jeunesse, Kurt Wenner a travaillé comme illustrateur pour la NASA, où il a créé les premières images du futur vaisseau spatial.

« Fonction du sujet » - Si les élèves travaillent différemment, l'enseignant doit alors travailler avec eux différemment. Il faut découvrir non pas ce que l'étudiant ne sait pas, mais ce qu'il sait. Généralisation. La synthèse. Résultats de l'examen d'État unifié en mathématiques. Programme de cours optionnel. Association. Plan pédagogique et thématique (24 heures). Analogie. Si un élève surpasse un professeur, c’est le bonheur du professeur.

5. Monôme Le produit de facteurs numériques et alphabétiques est appelé. Coefficient est appelé le facteur numérique d'un monôme.

6. Pour écrire un monôme sous forme standard, vous devez : 1) Multipliez les facteurs numériques et mettez leur produit en premier ; 2) Multipliez les puissances avec les mêmes bases et placez le produit obtenu après le facteur numérique.

7. Un polynôme s'appelle somme algébrique de plusieurs monômes.

8. Pour multiplier un monôme par un polynôme, Vous devez multiplier le monôme par chaque terme du polynôme et additionner les produits résultants.

9. Pour multiplier un polynôme par un polynôme, Il faut multiplier chaque terme d'un polynôme par chaque terme d'un autre polynôme et additionner les produits résultants.

10. Par deux points quelconques, vous pouvez tracer une ligne droite, et une seule.

11. Deux lignes n'ont qu'un seul point commun ou n'ont aucun point commun.

12. Deux figures géométriques sont dites égales si elles peuvent être combinées par chevauchement.

13. Le point d'un segment qui le divise en deux, c'est-à-dire en deux segments égaux, est appelé le milieu du segment.

14. Un rayon émanant du sommet d’un angle et le divisant en deux angles égaux est appelé bissectrice de l’angle.

15. L'angle de rotation est de 180°.

16. Un angle est dit droit s’il est égal à 90°.

17. Un angle est dit aigu s’il est inférieur à 90°, c’est-à-dire inférieur à un angle droit.

18. Un angle est dit obtus s’il est supérieur à 90° mais inférieur à 180°, c’est-à-dire supérieur à un angle droit mais inférieur à un angle droit.

19. Deux angles dont un côté est commun et les deux autres sont des continuations l’un de l’autre sont appelés adjacents.

20. La somme des angles adjacents est de 180°.

21. Deux angles sont dits verticaux si les côtés d’un angle sont le prolongement des côtés de l’autre.

22. Les angles verticaux sont égaux.

23. Deux lignes qui se croisent sont appelées perpendiculaires (ou mutuellement

perpendiculaire) s’ils forment quatre angles droits.

24. Deux droites perpendiculaires à une troisième ne se coupent pas.

25. Factoriser le polynôme- signifie le représenter comme un produit de plusieurs monômes et polynômes.

26. Méthodes de factorisation d'un polynôme :

a) mettre le facteur commun entre parenthèses,

b) utilisation de formules de multiplication abrégées,

c) méthode de regroupement.

27.Pour factoriser un polynôme en retirant le facteur commun entre parenthèses, il vous faut:

a) trouver ce facteur commun,

b) le sortir des parenthèses,

c) diviser chaque terme du polynôme par ce facteur et additionner les résultats obtenus.

Signes d'égalité des triangles

1) Si deux côtés et l’angle qu’ils forment d’un triangle sont respectivement égaux à deux côtés et l’angle qu’ils forment d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

2) Si un côté et deux angles adjacents d'un triangle sont respectivement égaux au côté et deux angles adjacents d'un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

3) Si trois côtés d’un triangle sont respectivement égaux à trois côtés d’un autre triangle, alors ces triangles sont congrus.

Minimum d'études

1. Factorisation à l'aide de formules de multiplication abrégées:

une 2 – b 2 = (une – b) (une + b)

une 3 – b 3 = (une – b) (une 2 + un ab + b 2)

une 3 + b 3 = (une + b) (une 2 – ab + b 2)

2. Formules de multiplication abrégées:

(une + b) 2 = une 2 + 2ab + b 2

(une – b) 2 = une 2 – 2ab + b 2

(une + b) 3 =une 3 + 3une 2 b + 3ab 2 + b 3

(une – b) 3 = une 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3

3. Le segment reliant le sommet d’un triangle au milieu du côté opposé s’appelle médian Triangle.

4. La perpendiculaire tracée du sommet d’un triangle à la ligne contenant le côté opposé s’appelle hauteur Triangle.

5. Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux.

6. Dans un triangle isocèle, la bissectrice tirée vers la base est la médiane et l'altitude.

7. Circonférence est une figure géométrique constituée de tous les points du plan situés à une distance donnée d'un point donné.

8. Un segment reliant le centre à n'importe quel point du cercle est appelé rayon cercle .

9. Un segment reliant deux points sur un cercle s'appelle accord.

Une corde passant par le centre d'un cercle s'appelle diamètre

10. Proportionnalité directe y = kx , Où X - variable indépendante, À – un nombre non nul ( À – coefficient de proportionnalité).

11. Graphique de proportionnalité directe est une ligne droite passant par l’origine des coordonnées.

12. Fonction linéaire est une fonction qui peut être donnée par la formule y = kx + b , Où X - variable indépendante, À Et b - quelques chiffres.

13. Graphique d'une fonction linéaire- c'est une ligne droite.

14 X – argument de fonction (variable indépendante)

à – valeur de fonction (variable dépendante)

15. À b=0 la fonction prend la forme y = kx, son graphe passe par l'origine.

À k=0 la fonction prend la forme y = b, son graphique est une droite horizontale passant par le point ( 0;b).

Correspondance entre les graphiques d'une fonction linéaire et les signes des coefficients k et b

1. Deux droites dans un plan sont appelées parallèle, s'ils ne se croisent pas.

Comme le montre la pratique, les tâches sur les propriétés et les graphiques d'une fonction quadratique posent de sérieuses difficultés. C'est assez étrange, car ils étudient la fonction quadratique en 8e année, puis tout au long du premier quart de la 9e année, ils « tourmentent » les propriétés de la parabole et construisent ses graphiques pour divers paramètres.

Cela est dû au fait qu'en obligeant les élèves à construire des paraboles, ils ne consacrent pratiquement pas de temps à la « lecture » des graphiques, c'est-à-dire qu'ils ne s'entraînent pas à comprendre les informations reçues de l'image. Apparemment, on suppose qu'après avoir construit une douzaine ou deux graphiques, un étudiant intelligent découvrira et formulera lui-même la relation entre les coefficients de la formule et l'apparence du graphique. En pratique, cela ne fonctionne pas. Pour une telle généralisation, une expérience sérieuse en mini-recherche mathématique est requise, ce que la plupart des élèves de neuvième année ne possèdent bien sûr pas. En attendant, l'Inspection d'Etat propose de déterminer les signes des coefficients à l'aide du barème.

Nous n'exigerons pas l'impossible des écoliers et proposerons simplement l'un des algorithmes permettant de résoudre de tels problèmes.

Donc une fonction de la forme y = hache 2 + bx + c dit quadratique, son graphe est une parabole. Comme son nom l'indique, le terme principal est hache 2. C'est UN ne doit pas être égal à zéro, les coefficients restants ( b Et Avec) peut être égal à zéro.

Voyons comment les signes de ses coefficients affectent l'apparence d'une parabole.

La dépendance la plus simple pour le coefficient UN. La plupart des écoliers répondent avec assurance : « si UN> 0, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut, et si UN < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой UN > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

Dans ce cas UN = 0,5

Et maintenant pour UN < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

Dans ce cas UN = - 0,5

Impact du coefficient Avec C'est également assez facile à suivre. Imaginons que nous voulions trouver la valeur d'une fonction en un point X= 0. Remplacez zéro dans la formule :

oui = un 0 2 + b 0 + c = c. Il se trouve que y = c. C'est Avec est l'ordonnée du point d'intersection de la parabole avec l'axe des y. Généralement, ce point est facile à trouver sur le graphique. Et déterminez s’il se situe au-dessus de zéro ou en dessous. C'est Avec> 0 ou Avec < 0.

Avec > 0:

y = x 2 + 4x + 3

Avec < 0

y = x 2 + 4x - 3

En conséquence, si Avec= 0, alors la parabole passera nécessairement par l'origine :

y = x 2 + 4x

Plus difficile avec le paramètre b. Le point auquel nous le trouverons dépend non seulement de b mais aussi de UN. C'est le sommet de la parabole. Son abscisse (coordonnée de l'axe X) se trouve par la formule x dans = - b/(2a). Ainsi, b = - 2ax dans. C'est-à-dire que nous procédons comme suit : nous trouvons le sommet de la parabole sur le graphique, déterminons le signe de son abscisse, c'est-à-dire que nous regardons à droite de zéro ( x dans> 0) ou vers la gauche ( x dans < 0) она лежит.

Cependant, ce n'est pas tout. Il faut aussi faire attention au signe du coefficient UN. Autrement dit, regardez où sont dirigées les branches de la parabole. Et seulement après cela, selon la formule b = - 2ax dans déterminer le signe b.

Regardons un exemple :

Les branches sont dirigées vers le haut, ce qui signifie UN> 0, la parabole coupe l'axe à en dessous de zéro, c'est-à-dire Avec < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x dans> 0. Donc b = - 2ax dans = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: UN > 0, b < 0, Avec < 0.

Une fonction linéaire est une fonction de la forme y = kx + b, définie sur l'ensemble de tous les nombres réels. Ici k est la pente (nombre réel), b est l'origine (nombre réel), x est la variable indépendante.

Dans le cas particulier, si k = 0, on obtient une fonction constante y = b dont le graphique est une droite parallèle à l'axe Ox passant par le point de coordonnées (0 ; b).

Si b = 0, alors nous obtenons la fonction y = kx, qui est la proportionnalité directe.

La signification géométrique du coefficient b est la longueur du segment que la droite coupe le long de l'axe Oy, à partir de l'origine.

La signification géométrique du coefficient k est l'angle d'inclinaison de la droite par rapport à la direction positive de l'axe Ox, calculé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

Propriétés d'une fonction linéaire :

1) Le domaine de définition d'une fonction linéaire est l'ensemble de l'axe réel ;

2) Si k ≠ 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est tout l'axe réel. Si k = 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est constituée du nombre b ;

3) La régularité et l'impair d'une fonction linéaire dépendent des valeurs des coefficients k et b.

a) b ≠ 0, k = 0, donc y = b - pair ;

b) b = 0, k ≠ 0, donc y = kx - impair ;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, donc y = kx + b est une fonction de forme générale ;

d) b = 0, k = 0, donc y = 0 est à la fois une fonction paire et impaire.

4) Une fonction linéaire n'a pas la propriété de périodicité ;

Ox : y = kx + b = 0, x = -b/k, donc (-b/k ; 0) est le point d'intersection avec l'axe des abscisses.

Oy : y = 0k + b = b, donc (0 ; b) est le point d'intersection avec l'ordonnée.

Remarque : Si b = 0 et k = 0, alors la fonction y = 0 disparaît pour toute valeur de la variable x. Si b ≠ 0 et k = 0, alors la fonction y = b ne disparaît pour aucune valeur de la variable x.

6) Les intervalles de signe constant dépendent du coefficient k.

une) k > 0 ; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b - positif en x de (-b/k; +∞),

y = kx + b - négatif pour x de (-∞; -b/k).

b)k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b - positif en x de (-∞; -b/k),

y = kx + b - négatif pour x de (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0 ; y = kx + b est positif dans tout le domaine de définition,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Les intervalles de monotonie d'une fonction linéaire dépendent du coefficient k.

k > 0, donc y = kx + b augmente dans tout le domaine de définition,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

8) Le graphique d’une fonction linéaire est une ligne droite. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points. La position de la droite sur le plan de coordonnées dépend des valeurs des coefficients k et b. Vous trouverez ci-dessous un tableau qui illustre clairement cela, Figure 1. (Fig. 1)

Exemple : Considérons la fonction linéaire suivante : y = 5x - 3.

3) Fonction générale ;

4) Non périodique ;

5) Points d'intersection avec les axes de coordonnées :

Ox : 5x - 3 = 0, x = 3/5, donc (3/5 ; 0) est le point d'intersection avec l'axe des x.

Oy : y = -3, donc (0 ; -3) est le point d'intersection avec l'ordonnée ;

6) y = 5x - 3 - positif pour x de (3/5 ; +∞),

y = 5x - 3 - négatif en x de (-∞ ; 3/5) ;

7) y = 5x - 3 augmente dans tout le domaine de définition ;

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Fonction linéaire appelée fonction de la forme y = kx + b, défini sur l'ensemble de tous les nombres réels. Ici k– pente (nombre réel), b – terme libre (nombre réel), X- variable indépendante.

Dans le cas particulier, si k = 0, on obtient une fonction constante y = b, dont le graphique est une droite parallèle à l'axe Ox passant par le point de coordonnées (0 ; b).

Si b = 0, alors on obtient la fonction y = kx, lequel est proportionnalité directe.

b – longueur des segments, qui est coupé par une droite le long de l'axe Oy, en partant de l'origine.

Signification géométrique du coefficient k – angle d'inclinaison directement dans la direction positive de l’axe Ox, considéré dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.

Propriétés d'une fonction linéaire :

1) Le domaine de définition d'une fonction linéaire est l'ensemble de l'axe réel ;

2) Si k ≠ 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est tout l'axe réel. Si k = 0, alors la plage de valeurs de la fonction linéaire est constituée du nombre b;

3) La régularité et l'impair d'une fonction linéaire dépendent des valeurs des coefficients k Et b.

un) b ≠ 0, k = 0, ainsi, y = b – pair ;

b) b = 0, k ≠ 0, ainsi y = kx – impair ;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, ainsi y = kx + b – fonction de forme générale ;

d) b = 0, k = 0, ainsi y = 0 – fonctions paires et impaires.

4) Une fonction linéaire n'a pas la propriété de périodicité ;

5) Points d'intersection avec axes de coordonnées :

Bœuf: y = kx + b = 0, x = -b/k, ainsi (-b/k; 0)– point d'intersection avec l'axe des abscisses.

Oh : y = 0k + b = b, ainsi (0 ; b)– point d'intersection avec l'axe des ordonnées.

Remarque : Si b = 0 Et k = 0, alors la fonction y = 0 va à zéro pour n'importe quelle valeur de la variable X. Si b ≠ 0 Et k = 0, alors la fonction y = b ne disparaît pour aucune valeur de la variable X.

6) Les intervalles de constance de signe dépendent du coefficient k.

un) k > 0 ; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– positif quand X depuis (-b/k; +∞),

y = kx + b– négatif quand X depuis (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– positif quand X depuis (-∞; -b/k),

y = kx + b– négatif quand X depuis (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0 ; y = kx + b positif sur toute la plage de définition,

k = 0, b< 0; y = kx + b négatif sur toute la plage de définition.

7) Les intervalles de monotonie d'une fonction linéaire dépendent du coefficient k.

k > 0, ainsi y = kx + b augmente dans tout le domaine de définition,

k< 0 , ainsi y = kx + b diminue sur tout le domaine de définition.

8) Le graphique d’une fonction linéaire est une ligne droite. Pour construire une droite, il suffit de connaître deux points. La position de la droite sur le plan de coordonnées dépend des valeurs des coefficients k Et b. Vous trouverez ci-dessous un tableau qui illustre clairement cela.