Nombres réels résolvant des équations avec des modules. Module d'un nombre (valeur absolue d'un nombre), définitions, exemples, propriétés

Résolution d'équations et d'inégalités avec module provoque souvent des difficultés. Cependant, si vous comprenez bien ce que c'est la valeur absolue d'un nombre, Et comment développer correctement des expressions contenant un signe de module, alors la présence dans l'équation expression sous le signe du module, cesse d’être un obstacle à sa solution.

Un peu de théorie. Chaque nombre a deux caractéristiques : la valeur absolue du nombre et son signe.

Par exemple, le nombre +5, ou simplement 5, a un signe « + » et une valeur absolue de 5.

Le nombre -5 a un signe "-" et une valeur absolue de 5.

Les valeurs absolues des nombres 5 et -5 sont 5.

La valeur absolue d'un nombre x est appelée le module du nombre et est notée |x|.

Comme on le voit, le module d'un nombre est égal au nombre lui-même si ce nombre est supérieur ou égal à zéro, et à ce nombre de signe opposé si ce nombre est négatif.

Il en va de même pour toutes les expressions qui apparaissent sous le signe du module.

La règle d'expansion du module ressemble à ceci :

|f(x)|= f(x) si f(x) ≥ 0, et

|f(x)|= - f(x), si f(x)< 0

Par exemple |x-3|=x-3, si x-3≥0 et |x-3|=-(x-3)=3-x, si x-3<0.

Pour résoudre une équation contenant une expression sous le signe du module, il faut d'abord développer un module selon la règle d'extension de module.

Alors notre équation ou inégalité devient en deux équations différentes existant sur deux intervalles numériques différents.

Une équation existe sur un intervalle numérique sur lequel l'expression sous le signe du module est non négative.

Et la deuxième équation existe sur l'intervalle sur lequel l'expression sous le signe du module est négative.

Regardons un exemple simple.

Résolvons l'équation :

|x-3|=-x2 +4x-3

1. Ouvrons le module.

|x-3|=x-3, si x-3≥0, c'est-à-dire si x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x si x-3<0, т.е. если х<3

2. Nous avons reçu deux intervalles numériques : x≥3 et x<3.

Considérons dans quelles équations l'équation d'origine est transformée sur chaque intervalle :

A) Pour x≥3 |x-3|=x-3, et notre blessure a la forme :

Attention! Cette équation n'existe que sur l'intervalle x≥3 !

Ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires :

et résolvez cette équation.

Cette équation a des racines :

x1 =0, x2 =3

Attention! puisque l'équation x-3=-x 2 +4x-3 n'existe que sur l'intervalle x≥3, nous ne nous intéressons qu'aux racines qui appartiennent à cet intervalle. Cette condition n'est satisfaite que par x 2 =3.

B) À x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Attention! Cette équation n'existe que sur l'intervalle x<3!

Ouvrons les parenthèses et présentons des termes similaires. On obtient l'équation :

x1 =2, x2 =3

Attention! puisque l'équation 3-x=-x 2 +4x-3 n'existe que sur l'intervalle x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Donc : du premier intervalle nous prenons uniquement la racine x=3, du second - la racine x=2.

A est calculé selon les règles suivantes :

Par souci de concision, les notations sont utilisées |une|. Donc, |10| = 10 ; - 1 / 3 = | 1/3 |; | -100| =100, etc.

Toutes les tailles X correspond à une valeur assez précise | X|. Et cela veut dire identité à= |X| ensembles à comme certains fonction d'argument X.

Calendrier ce les fonctions présenté ci-dessous.

Pour X > 0 |X| = X, et pour X< 0 |X|= -X; à cet égard, la ligne y = | X| à X> 0 combiné avec une ligne droite y = x(bissectrice du premier angle de coordonnées), et quand X< 0 - с прямой y = -x(bissectrice du deuxième angle de coordonnées).

Séparé équations inclure les inconnues sous le signe module.

Exemples arbitraires de telles équations - | X— 1| = 2, |6 — 2X| =3X+ 1, etc

Résoudre des équations contenant une inconnue sous le signe du module repose sur le fait que si la valeur absolue d'un nombre inconnu x est égale à un nombre positif a, alors ce nombre x lui-même est égal à a ou à -a.

Par exemple:, si | X| = 10, alors ou X=10, ou X = -10.

Considérons résoudre des équations individuelles.

Analysons la solution de l'équation | X- 1| = 2.

Développons le module alors la différence X- 1 peut être égal soit à + 2, soit à - 2. Si x - 1 = 2, alors X= 3 ; si X- 1 = - 2, alors X= - 1. Nous effectuons une substitution et constatons que ces deux valeurs satisfont l'équation.

Répondre. L'équation ci-dessus a deux racines : X 1 = 3, X 2 = - 1.

Analysons solution à l'équation | 6 — 2X| = 3X+ 1.

Après extension de modules on obtient : soit 6 - 2 X= 3X+ 1, ou 6 - 2 X= - (3X+ 1).

Dans le premier cas X= 1, et dans la seconde X= - 7.

Examen.À X= 1 |6 — 2X| = |4| = 4, 3X+ 1 = 4 ; il découle du tribunal, X = 1 - racine donné équations.

À X = - 7 |6 — 2X| = |20| = 20, 3X+ 1= - 20 ; puisque 20 ≠ -20, alors X= - 7 n'est pas une racine de cette équation.

Répondre. U l'équation n'a qu'une seule racine : X = 1.

Des équations de ce type peuvent être résoudre et graphiquement.

Alors décidons Par exemple, graphiquement équation | X- 1| = 2.

Nous allons d’abord construire graphiques de fonctions à = |X-1|. Tout d'abord, dessinons un graphique de la fonction à=X- 1:

Cette partie arts graphiques, qui est situé au dessus de l'axe X Nous ne le changerons pas. Pour elle X- 1 > 0 et donc | X-1|=X-1.

La partie du graphique située sous l'axe X, décrivons symétriquement par rapport à cet axe. Parce que pour cette partie X - 1 < 0 и соответственно |X - 1|= - (X - 1). La résultante doubler(ligne continue) et sera graphique de fonction y = | X—1|.

Cette ligne croisera droit à= 2 en deux points : M 1 d'abscisse -1 et M 2 d'abscisse 3. Et, par conséquent, l'équation | X- 1| =2 il y aura deux racines : X 1 = - 1, X 2 = 3.

L'un des sujets les plus difficiles pour les étudiants consiste à résoudre des équations contenant une variable sous le signe du module. Voyons d'abord à quoi cela est lié ? Pourquoi, par exemple, la plupart des enfants résolvent-ils des équations quadratiques comme des fous, mais ont-ils tant de problèmes avec un concept aussi loin d'être complexe qu'un module ?

À mon avis, toutes ces difficultés sont liées au manque de règles clairement formulées pour résoudre les équations avec un module. Alors, décidant équation quadratique, l'étudiant sait avec certitude qu'il doit d'abord appliquer la formule discriminante, puis les formules des racines de l'équation quadratique. Que faire si un module est trouvé dans l'équation ? Nous essaierons de décrire clairement le plan d'action nécessaire pour le cas où l'équation contient une inconnue sous le signe du module. Nous donnerons plusieurs exemples pour chaque cas.

Mais d'abord, rappelons-nous définition du module. Donc modulo le nombre un ce numéro lui-même est appelé si un non négatif et -un, si numéro un moins que zéro. Vous pouvez l'écrire comme ceci :

|une| = a si a ≥ 0 et |a| = -a si un< 0

Parlant de la signification géométrique du module, il ne faut pas oublier que chaque nombre réel correspond à un certain point sur l'axe des nombres - son coordonner. Ainsi, le module ou valeur absolue d'un nombre est la distance de ce point à l'origine de l'axe numérique. La distance est toujours spécifiée sous forme de nombre positif. Ainsi, le module de tout nombre négatif est un nombre positif. À propos, même à ce stade, de nombreux étudiants commencent à être confus. Le module peut contenir n'importe quel nombre, mais le résultat de l'utilisation du module est toujours un nombre positif.

Passons maintenant directement à la résolution des équations.

1. Considérons une équation de la forme |x| = c, où c est un nombre réel. Cette équation peut être résolue en utilisant la définition du module.

On divise tous les nombres réels en trois groupes : ceux qui sont supérieurs à zéro, ceux qui sont inférieurs à zéro, et le troisième groupe est le nombre 0. On écrit la solution sous forme de diagramme :

(±c, si c > 0

Si |x| = c, alors x = (0, si c = 0

(pas de racines si avec< 0

1) |x| = 5, parce que 5 > 0, alors x = ±5 ;

2) |x| = -5, car -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, alors x = 0.

2. Équation de la forme |f(x)| = b, où b > 0. Pour résoudre cette équation il faut se débarrasser du module. Nous procédons de cette façon : f(x) = b ou f(x) = -b. Vous devez maintenant résoudre chacune des équations résultantes séparément. Si dans l'équation originale b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, parce que 4 > 0, alors

x + 2 = 4 ou x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, parce que 11 > 0, alors

x 2 – 5 = 11 ou x 2 – 5 = -11

x2 = 16 x2 = -6

x = ± 4 pas de racines

3) |x2 – 5x| = -8, car -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Une équation de la forme |f(x)| = g(x). Selon la signification du module, une telle équation aura des solutions si son membre de droite est supérieur ou égal à zéro, c'est-à-dire g(x) ≥ 0. Alors on aura :

f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Cette équation aura des racines si 5x – 10 ≥ 0. C'est là que commence la solution de telles équations.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solutions :

2x – 1 = 5x – 10 ou 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Nous combinons O.D.Z. et la solution, on obtient :

La racine x = 11/7 ne correspond pas à l'O.D.Z., elle est inférieure à 2, mais x = 3 satisfait cette condition.

Réponse : x = 3

2) |x – 1| = 1 – x2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Résolvons cette inégalité en utilisant la méthode des intervalles :

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solutions :

x – 1 = 1 – x 2 ou x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 ou x = 1 x = 0 ou x = 1

3. Nous combinons la solution et O.D.Z. :

Seules les racines x = 1 et x = 0 conviennent.

Réponse : x = 0, x = 1.

4. Équation de la forme |f(x)| = |g(x)|. Une telle équation est équivalente aux deux équations suivantes f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Cette équation est équivalente aux deux suivantes :

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 ou x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 ou x = 4 x = 2 ou x = 1

Réponse : x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Équations résolues par la méthode de substitution (remplacement de variable). Cette méthode de solution est la plus simple à expliquer avec un exemple spécifique. Donnons donc une équation quadratique de module :

x2 – 6|x| + 5 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc l’équation peut être réécrite comme suit :

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors on aura :

t 2 – 6t + 5 = 0. En résolvant cette équation, nous trouvons que t = 1 ou t = 5. Revenons au remplacement :

|x| = 1 ou |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Réponse : x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Regardons un autre exemple :

x2 + |x| – 2 = 0. Par la propriété de module x 2 = |x| 2, donc

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Faisons le remplacement |x| = t ≥ 0, alors :

t 2 + t – 2 = 0. En résolvant cette équation, on obtient t = -2 ou t = 1. Revenons au remplacement :

|x| = -2 ou |x| = 1

Pas de racines x = ± 1

Réponse : x = -1, x = 1.

6. Un autre type d'équations est celui des équations à module « complexe ». De telles équations incluent des équations qui ont des « modules dans un module ». Les équations de ce type peuvent être résolues en utilisant les propriétés du module.

1) |3 – |x|| = 4. Nous agirons de la même manière que dans les équations du deuxième type. Parce que 4 > 0, alors on obtient deux équations :

3 – |x| = 4 ou 3 – |x| = -4.

Exprimons maintenant le module x dans chaque équation, alors |x| = -1 ou |x| = 7.

Nous résolvons chacune des équations résultantes. Il n’y a pas de racines dans la première équation, car -1< 0, а во втором x = ±7.

Réponse x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Nous résolvons cette équation de la même manière :

3 + |x + 1| = 5 ou 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ou x + 1 = -2. Pas de racines.

Réponse : x = -3, x = 1.

Il existe également une méthode universelle pour résoudre des équations avec un module. Il s'agit de la méthode des intervalles. Mais nous y reviendrons plus tard.

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Dans cet article, nous analyserons en détail la valeur absolue d'un nombre. Nous donnerons diverses définitions du module d'un nombre, introduirons la notation et fournirons des illustrations graphiques. En même temps, considérons divers exemples trouver le module d'un nombre par définition. Après cela, nous listerons et justifierons les principales propriétés du module. À la fin de l’article, nous expliquerons comment déterminer et trouver le module d’un nombre complexe.

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Module Nombre - définition, notation et exemples

Nous introduisons d’abord désignation du module numérique. Nous écrirons le module du nombre a comme , c'est-à-dire qu'à gauche et à droite du nombre nous mettrons des tirets verticaux pour former le signe du module. Donnons quelques exemples. Par exemple, le module −7 peut s'écrire ; le module 4.125 s'écrit , et le module a une notation de la forme .

La définition suivante du module fait référence à , et donc à , et aux nombres entiers, ainsi qu'aux nombres rationnels et irrationnels, en tant que parties constitutives de l'ensemble des nombres réels. Nous parlerons du module d'un nombre complexe en.

Définition.

Module du nombre a– c'est soit le nombre a lui-même, si a est un nombre positif, soit le nombre −a, l'opposé du nombre a, si a est un nombre négatif, soit 0, si a=0.

La définition exprimée du module d'un nombre est souvent écrite sous la forme suivante , cette entrée signifie que si a>0 , si a=0 , et si a<0 .

Le dossier peut être présenté sous une forme plus compacte . Cette notation signifie que si (a est supérieur ou égal à 0), et si a<0 .

Il y a aussi l'entrée . Ici, nous devrions expliquer séparément le cas où a=0. Dans ce cas nous avons , mais −0=0, puisque zéro est considéré comme un nombre opposé à lui-même.

Donne moi exemples de recherche du module d'un nombre en utilisant une définition donnée. Par exemple, trouvons les modules des nombres 15 et . Commençons par trouver. Puisque le nombre 15 est positif, son module, par définition, est égal à ce nombre lui-même, c'est-à-dire . Quel est le module d'un nombre ? Puisque est un nombre négatif, son module est égal au nombre opposé au nombre, c'est-à-dire le nombre . Ainsi, .

Pour conclure ce point, nous présentons une conclusion très pratique à utiliser en pratique pour trouver le module d'un nombre. De la définition du module d'un nombre il résulte que le module d'un nombre est égal au nombre sous le signe du module sans tenir compte de son signe, et à partir des exemples discutés ci-dessus, cela est très clairement visible. L'énoncé énoncé explique pourquoi le module d'un nombre est également appelé valeur absolue du nombre. Ainsi, le module d’un nombre et la valeur absolue d’un nombre sont une seule et même chose.

Module d'un nombre sous forme de distance

Géométriquement, le module d'un nombre peut être interprété comme distance. Donne moi déterminer le module d'un nombre par la distance.

Définition.

Module du nombre a– c'est la distance entre l'origine sur la ligne de coordonnées et le point correspondant au nombre a.

Cette définition est cohérente avec la définition du module d'un nombre donnée dans le premier paragraphe. Précisons ce point. La distance de l'origine au point correspondant à un nombre positif est égale à ce nombre. Zéro correspond à l'origine, donc la distance de l'origine au point de coordonnée 0 est égale à zéro (il n'est pas nécessaire de mettre de côté un seul segment unitaire ni un seul segment qui constitue une fraction d'un segment unitaire pour pour aller du point O à un point de coordonnée 0). La distance de l'origine à un point de coordonnée négative est égale au nombre opposé à la coordonnée de ce point, puisqu'elle est égale à la distance de l'origine au point dont la coordonnée est le nombre opposé.

Par exemple, le module du nombre 9 est égal à 9, puisque la distance de l'origine au point de coordonnée 9 est égale à neuf. Donnons un autre exemple. Le point de coordonnée −3,25 est situé à une distance de 3,25 du point O, donc .

La définition énoncée du module d'un nombre est un cas particulier de la définition du module de la différence de deux nombres.

Définition.

Module de la différence de deux nombres a et b est égal à la distance entre les points de la ligne de coordonnées de coordonnées a et b.

Autrement dit, si des points sur la ligne de coordonnées A(a) et B(b) sont donnés, alors la distance du point A au point B est égale au module de la différence entre les nombres a et b. Si l'on prend le point O (origine) comme point B, alors on obtient la définition du module d'un nombre donnée au début de ce paragraphe.

Déterminer le module d'un nombre à l'aide de la racine carrée arithmétique

Se produit occasionnellement détermination du module via la racine carrée arithmétique.

Par exemple, calculons les modules des nombres −30 et en nous basant sur cette définition. Nous avons. De même, on calcule le module des deux tiers : .

La définition du module d'un nombre par la racine carrée arithmétique est également cohérente avec la définition donnée dans le premier paragraphe de cet article. Montrons-le. Soit a un nombre positif et soit −a un nombre négatif. Alors Et , si a=0 , alors .

Propriétés des modules

Le module a un certain nombre de résultats caractéristiques - propriétés du module. Nous allons maintenant présenter les principaux et les plus fréquemment utilisés. Pour justifier ces propriétés, nous nous appuierons sur la définition du module d'un nombre en termes de distance.

Commençons par la propriété la plus évidente du module : Le module d'un nombre ne peut pas être un nombre négatif. Sous forme littérale, cette propriété a la forme de n'importe quel nombre a. Cette propriété est très simple à justifier : le module d’un nombre est une distance, et la distance ne peut pas être exprimée par un nombre négatif.

Passons à la propriété du module suivante. Le module d'un nombre est nul si et seulement si ce nombre est nul. Le module de zéro est nul par définition. Zéro correspond à l'origine ; aucun autre point sur la ligne de coordonnées ne correspond à zéro, puisque chaque nombre réel est associé à un seul point sur la ligne de coordonnées. Pour la même raison, tout nombre autre que zéro correspond à un point différent de l'origine. Et la distance de l’origine à tout point autre que le point O n’est pas nulle, puisque la distance entre deux points est nulle si et seulement si ces points coïncident. Le raisonnement ci-dessus prouve que seul le module de zéro est égal à zéro.

Poursuivre. Les nombres opposés ont des modules égaux, c'est-à-dire pour tout nombre a. En effet, deux points sur la ligne de coordonnées dont les coordonnées sont des nombres opposés sont à la même distance de l'origine, ce qui signifie que les modules de nombres opposés sont égaux.

La propriété suivante du module est : Le module du produit de deux nombres est égal au produit des modules de ces nombres, c'est, . Par définition, le module du produit des nombres a et b est égal soit à ab si , soit à −(a · b) si . Des règles de multiplication des nombres réels, il s'ensuit que le produit des modules des nombres a et b est égal soit à a·b, , soit à −(a·b) si , ce qui prouve la propriété en question.

Le module du quotient de a divisé par b est égal au quotient du module d'un nombre divisé par le module de b, c'est, . Justifions cette propriété du module. Puisque le quotient est égal au produit, alors. Grâce à la propriété précédente, nous avons . Il ne reste plus qu'à utiliser l'égalité , qui est valable grâce à la définition du module d'un nombre.

La propriété suivante d'un module s'écrit sous forme d'inégalité : , a , b et c sont des nombres réels arbitraires. L'inégalité écrite n'est rien d'autre que inégalité triangulaire. Pour que cela soit clair, prenons les points A(a), B(b), C(c) sur la ligne de coordonnées et considérons un triangle dégénéré ABC, dont les sommets se trouvent sur la même ligne. Par définition, le module de la différence est égal à la longueur du segment AB, - à la longueur du segment AC, et - à la longueur du segment CB. Puisque la longueur d’un côté d’un triangle ne dépasse pas la somme des longueurs des deux autres côtés, alors l’inégalité est vraie. , par conséquent, l’inégalité est également vraie.

L'inégalité qui vient d'être démontrée est beaucoup plus courante sous la forme . L'inégalité écrite est généralement considérée comme une propriété distincte du module avec la formulation : « Le module de la somme de deux nombres ne dépasse pas la somme des modules de ces nombres" Mais l’inégalité découle directement de l’inégalité si l’on met −b au lieu de b et prends c=0.

Module d'un nombre complexe

Donne moi définition du module d'un nombre complexe. Qu'il nous soit donné nombre complexe, écrit sous forme algébrique, où x et y sont des nombres réels, représentant respectivement les parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe z donné, et est l'unité imaginaire.

Nous ne choisissons pas les mathématiques son métier, et elle nous choisit.

Le mathématicien russe Yu.I. Manin

Équations avec module

Les problèmes les plus difficiles à résoudre en mathématiques scolaires sont les équations contenant des variables sous le signe du module. Pour résoudre avec succès de telles équations, vous devez connaître la définition et les propriétés de base du module. Naturellement, les étudiants doivent avoir les compétences nécessaires pour résoudre des équations de ce type.

Concepts et propriétés de base

Module (valeur absolue) d'un nombre réel désigné par et est défini comme suit :

Les propriétés simples d'un module incluent les relations suivantes :

Note, que les deux dernières propriétés sont valables pour tout degré pair.

De plus, si, où, alors et

Propriétés de modules plus complexes, qui peut être utilisé efficacement lors de la résolution d'équations avec des modules, sont formulés à travers les théorèmes suivants :

Théorème 1.Pour toutes fonctions analytiques Et l'inégalité est vraie

Théorème 2. L'égalité équivaut à l'inégalité.

Théorème 3.Égalité équivaut à une inégalité.

Regardons des exemples typiques de résolution de problèmes sur le thème « Équations, contenant des variables sous le signe du module."

Résolution d'équations avec module

La méthode la plus courante en mathématiques scolaires pour résoudre des équations avec un module est la méthode, basé sur l’extension du module. Cette méthode est universelle, cependant, dans le cas général, son utilisation peut conduire à des calculs très lourds. À cet égard, les étudiants devraient connaître d'autres, des méthodes et techniques plus efficaces pour résoudre de telles équations. En particulier, il est nécessaire d'avoir des compétences dans l'application des théorèmes, donnée dans cet article.

Exemple 1. Résous l'équation. (1)

Solution. Nous résoudrons l’équation (1) en utilisant la méthode « classique » – la méthode de révélation des modules. Pour ce faire, divisons l'axe des nombres des points et en intervalles et considérons trois cas.

1. Si , alors , , , et l'équation (1) prend la forme . Il en découle. Cependant, ici, la valeur trouvée n'est donc pas la racine de l'équation (1).

2. Si, alors à partir de l'équation (1) nous obtenons ou .

Depuis lors racine de l’équation (1).

3. Si, alors l'équation (1) prend la forme ou . Notons cela.

Répondre: , .

Lors de la résolution d'équations ultérieures avec un module, nous utiliserons activement les propriétés des modules afin d'augmenter l'efficacité de la résolution de ces équations.

Exemple 2. Résous l'équation.

Solution. Depuis et alors de l'équation il résulte. À cet égard, , , et l'équation prend la forme. De là, nous obtenons. Cependant , donc l’équation originale n’a pas de racines.

Réponse : pas de racines.

Exemple 3. Résous l'équation.

Solution. Depuis lors. Si donc et l'équation prend la forme.

De là, nous obtenons .

Exemple 4. Résous l'équation.

Solution.Réécrivons l'équation sous forme équivalente. (2)

L'équation résultante appartient aux équations de type .

Compte tenu du théorème 2, on peut affirmer que l'équation (2) est équivalente à l'inégalité . De là, nous obtenons .

Répondre: .

Exemple 5. Résous l'équation.

Solution. Cette équation a la forme. C'est pourquoi , selon le théorème 3, ici nous avons des inégalités ou .

Exemple 6. Résous l'équation.

Solution. Supposons cela. Parce que , alors l'équation donnée prend la forme d'une équation quadratique, (3)

Où . Puisque l’équation (3) a une seule racine positive et puis . De là, nous obtenons deux racines de l’équation originale : Et .

Exemple 7. Résous l'équation. (4)

Solution. Puisque l'équationest équivalent à la combinaison de deux équations : Et , alors lors de la résolution de l’équation (4), il est nécessaire de considérer deux cas.

1. Si , alors ou .

De là, nous obtenons , et .

2. Si , alors ou .

Depuis lors.

Répondre: , , , .

Exemple 8.Résous l'équation . (5)

Solution. Depuis et , alors . D'ici et de l'équation (5) il résulte que et , c'est-à-dire nous avons ici un système d'équations

Cependant, ce système d'équations est incohérent.

Réponse : pas de racines.

Exemple 9. Résous l'équation. (6)

Solution. Si nous notons , alors et à partir de l'équation (6) nous obtenons

Ou . (7)

Puisque l'équation (7) a la forme , cette équation est équivalente à l'inégalité . De là, nous obtenons . Depuis , alors ou .

Répondre: .

Exemple 10.Résous l'équation. (8)

Solution.D’après le théorème 1, on peut écrire

(9)

En tenant compte de l'équation (8), nous concluons que les deux inégalités (9) se transforment en égalités, c'est-à-dire il existe un système d'équations

Cependant, d'après le théorème 3, le système d'équations ci-dessus est équivalent au système d'inégalités

(10)

En résolvant le système d'inégalités (10), nous obtenons . Puisque le système d’inégalités (10) est équivalent à l’équation (8), l’équation originale a une racine unique.

Répondre: .

Exemple 11. Résous l'équation. (11)

Solution. Soit et , alors l'égalité découle de l'équation (11).

Il s'ensuit cela et . Nous avons donc ici un système d'inégalités

La solution à ce système d’inégalités est Et .

Répondre: , .

Exemple 12.Résous l'équation. (12)

Solution. L'équation (12) sera résolue par la méthode d'expansion séquentielle des modules. Pour ce faire, considérons plusieurs cas.

1. Si , alors .

1.1. Si , alors et , .

1.2. Si donc. Cependant , par conséquent, dans ce cas, l’équation (12) n’a pas de racine.

2. Si , alors .

2.1. Si , alors et , .

2.2. Si , alors et .

Répondre: , , , , .

Exemple 13.Résous l'équation. (13)

Solution. Puisque le côté gauche de l’équation (13) est non négatif, alors . À cet égard, et l'équation (13)

prend la forme ou .

On sait que l'équation est équivalent à la combinaison de deux équations Et , résoudre ce que nous obtenons, . Parce que , alors l'équation (13) a une racine.

Répondre: .

Exemple 14. Résoudre un système d'équations (14)

Solution. Depuis et , puis et . Par conséquent, à partir du système d'équations (14), nous obtenons quatre systèmes d'équations :

Les racines des systèmes d'équations ci-dessus sont les racines du système d'équations (14).

Répondre: ,, , , , , , .

Exemple 15. Résoudre un système d'équations (15)

Solution. Depuis lors. À cet égard, à partir du système d'équations (15), nous obtenons deux systèmes d'équations

Les racines du premier système d’équations sont et , et du deuxième système d’équations nous obtenons et .

Répondre: , , , .

Exemple 16. Résoudre un système d'équations (16)

Solution. De la première équation du système (16), il résulte que .

Depuis lors . Considérons la deuxième équation du système. Parce que le, Que , et l'équation prend la forme, , ou .

Si vous remplacez la valeurdans la première équation du système (16), alors, ou .

Répondre: , .

Pour une étude plus approfondie des méthodes de résolution de problèmes, lié à la résolution d'équations, contenant des variables sous le signe du module, Vous pouvez recommander des tutoriels à partir de la liste de la littérature recommandée.

1. Recueil de problèmes en mathématiques pour les candidats aux collèges / Ed. MI. Scanavi. – M. : Paix et Education, 2013. – 608 p.

2. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : tâches de complexité accrue. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2017. – 200 p.

3. Vice-président de Suprun Mathématiques pour les lycéens : méthodes non standards pour résoudre des problèmes. – M. : CD « Librocom » / URSS, 2017. – 296 p.

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