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Quelle est la dérivée de l'argument ? Définition du dérivé

Quand une personne a-t-elle fait ses premiers pas indépendants dans les études analyse mathematique et commence à poser des questions inconfortables, il n'est plus si facile de s'en sortir avec l'expression selon laquelle « le calcul différentiel a été trouvé dans le chou ». Le moment est donc venu de déterminer et de révéler le secret de la naissance. tableaux de dérivés et règles de différenciation. Commencé dans l'article sur la signification de la dérivée, que je recommande fortement d'étudier, car là-bas, nous venons d'examiner le concept de dérivé et avons commencé à cliquer sur des problèmes sur le sujet. Cette même leçon a d’ailleurs une orientation pratique prononcée,

les exemples discutés ci-dessous peuvent, en principe, être maîtrisés de manière purement formelle (par exemple, lorsqu'il n'y a pas de temps/d'envie de se plonger dans l'essence du dérivé). Il est également hautement souhaitable (mais là encore pas nécessaire) de pouvoir trouver des dérivées en utilisant la méthode « ordinaire » - au moins au niveau de deux leçons de base : Comment trouver la dérivée ? et Dérivée d'une fonction complexe.

Mais il y a une chose dont nous ne pouvons définitivement plus nous passer maintenant, c'est limites de fonction. Vous devez COMPRENDRE ce qu'est une limite et être capable de les résoudre au moins à un niveau moyen. Et tout cela parce que la dérivée

la fonction en un point est déterminée par la formule :

Je vous rappelle les appellations et les termes : ils appellent incrément d'argument;

– incrément de fonction ;

- Ce Symboles UNIS(« delta » ne peut pas être « arraché » de « X » ou « Y »).

Évidemment, ce qu’est une variable « dynamique » est une constante et le résultat du calcul de la limite - nombre (parfois - "plus" ou "moins" l'infini).

En tant que point, vous pouvez considérer TOUTE valeur appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle une dérivée existe.

Remarque : la clause « dans lequel la dérivée existe » est en général c'est significatif! Ainsi, par exemple, bien que le point soit inclus dans le domaine de définition de la fonction, mais la dérivée

N'existe pas là-bas. Donc la formule

Non applicable à ce stade

et une formulation abrégée sans réserve serait incorrecte. Des faits similaires sont vrais pour d’autres fonctions avec des « ruptures » dans le graphique, en particulier pour l’arc sinus et l’arc cosinus.

Ainsi, après avoir remplacé , nous obtenons la deuxième formule de travail :

Faites attention à une circonstance insidieuse qui peut dérouter la théière : dans cette limite, « x », étant lui-même une variable indépendante, joue le rôle d'une statistique, et la « dynamique » est à nouveau fixée par l'incrément. Le résultat du calcul de la limite

est la fonction dérivée.

Sur la base de ce qui précède, nous formulons les conditions de deux problèmes typiques :

- Trouver dérivée en un point, en utilisant la définition de dérivée.

- Trouver fonction dérivée, en utilisant la définition de dérivée. Cette version, d'après mes observations, est beaucoup plus courante et recevra la plus grande attention.

La différence fondamentale entre les tâches est que dans le premier cas, vous devez trouver le numéro (éventuellement, l'infini), et dans le second –

fonction De plus, le dérivé peut ne pas exister du tout.

Comment ?

Créez un ratio et calculez la limite.

D'où vient-il? tableau des dérivés et règles de différenciation ? Grâce à la seule limite

Cela semble magique, mais

en réalité - un tour de passe-passe et pas de fraude. À la leçon Qu'est-ce qu'un dérivé ? J'ai commencé à regarder des exemples spécifiques, où, en utilisant la définition, j'ai trouvé les dérivées de linéaire et fonction quadratique. Aux fins de l'échauffement cognitif, nous continuerons à perturber tableau des dérivés, peaufinant l'algorithme et les solutions techniques :

En gros, vous devez prouver cas particulier dérivée d'une fonction puissance, qui apparaît généralement dans le tableau : .

La solution est techniquement formalisée de deux manières. Commençons par la première approche, déjà familière : l'échelle commence par une planche et la fonction dérivée commence par la dérivée en un point.

Considérons un point (spécifique) appartenant à domaine de définition fonction dans laquelle il y a une dérivée. Fixons l'incrément à ce stade (bien sûr, dans le cadre o/o -ya) et composez l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la limite :

L'incertitude 0:0 est éliminée par une technique standard, envisagée au premier siècle avant JC. Multiplions

numérateur et dénominateur de l'expression conjuguée :

La technique permettant de résoudre une telle limite est discutée en détail dans la leçon d’introduction. sur les limites des fonctions.

Puisque vous pouvez choisir N'IMPORTE QUEL point dans l'intervalle comme

Ensuite, après avoir effectué le remplacement, on obtient :

Réjouissons-nous encore une fois des logarithmes :

Trouver la dérivée d'une fonction en utilisant la définition de la dérivée

Solution : Considérons une approche différente pour promouvoir la même tâche. C'est exactement la même chose, mais plus rationnel en termes de design. L'idée est de se débarrasser

indice et utilisez la lettre au lieu d'une lettre.

Considérons un point arbitraire appartenant à domaine de définition fonction (intervalle) et définissez l’incrément dedans. Mais ici, d'ailleurs, comme dans la plupart des cas, vous pouvez le faire sans aucune réserve, puisque fonction logarithmique différentiable en tout point du domaine de définition.

Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Trouvons la dérivée :

La simplicité du design est contrebalancée par la confusion qui peut

se produisent chez les débutants (et pas seulement). Après tout, nous sommes habitués au fait que la lettre « X » change dans la limite ! Mais ici tout est différent : - une statue antique, et - un visiteur vivant, marchant d'un pas vif dans le couloir du musée. Autrement dit, « x » est « comme une constante ».

Je commenterai l'élimination de l'incertitude étape par étape :

(1) Utilisation de la propriété logarithme.

(2) Entre parenthèses, divisez le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(3) Au dénominateur, on multiplie et divise artificiellement par « x » pour que

profitez de la merveilleuse limite , tandis que infinitésimal se démarque.

Réponse : par définition d'une dérivée :

Ou en bref :

Je propose de construire vous-même deux autres formules de tableau :

Trouver la dérivée par définition

DANS dans ce cas il est pratique de réduire immédiatement l'incrément compilé à un dénominateur commun. Un échantillon approximatif du devoir à la fin de la leçon (première méthode).

Trouver la dérivée par définition

Et ici, tout doit être réduit à une limite remarquable. La solution est formalisée de la deuxième manière.

Un certain nombre d'autres dérivés tabulaires. Liste complète peut être trouvé dans un manuel scolaire, ou, par exemple, dans le 1er volume de Fichtenholtz. Je ne vois pas beaucoup d'intérêt à copier des preuves de règles de différenciation à partir de livres - elles sont également générées

formule

Passons aux tâches réellement rencontrées : Exemple 5

Trouver la dérivée d'une fonction , en utilisant la définition de la dérivée

Solution : utilisez le premier style de conception. Considérons un point appartenant à et définissons l'incrément de l'argument sur celui-ci. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Peut-être que certains lecteurs n’ont pas encore pleinement compris le principe selon lequel des augmentations doivent être réalisées. Prenez un point (nombre) et trouvez la valeur de la fonction qu'il contient : , c'est-à-dire dans la fonction

au lieu de "x", vous devez le remplacer. Maintenant, prenons-le

Incrément de fonction compilé Il peut être avantageux de simplifier immédiatement. Pour quoi? Faciliter et raccourcir la solution à une limite supplémentaire.

On utilise des formules, on ouvre les parenthèses et on réduit tout ce qui peut être réduit :

La dinde est éviscérée, pas de problème avec le rôti :

Finalement:

Puisque vous pouvez choisir n'importe quelle qualité nombre réel, puis nous effectuons le remplacement et obtenons .

Répondre : un-prieuré.

À des fins de vérification, trouvons la dérivée en utilisant les règles

différenciation et tableaux :

Il est toujours utile et agréable de connaître à l’avance la bonne réponse, il est donc préférable de différencier la fonction proposée de manière « rapide », soit mentalement, soit dans un brouillon, au tout début de la solution.

Trouver la dérivée d'une fonction par définition de la dérivée

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même. Le résultat est évident :

Revenons au style n°2 : exemple 7

Voyons immédiatement ce qui devrait se passer. Par règle de différenciation des fonctions complexes:

Solution : considérez un point arbitraire appartenant à , définissez-y l'incrément de l'argument et composez l'incrément

Trouvons la dérivée :

(1) On utilise la formule trigonométrique

(2) Sous le sinus, nous ouvrons les parenthèses, sous le cosinus, nous présentons des termes similaires.

(3) Sous le sinus on annule les termes, sous le cosinus on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme.

(4) En raison de l'étrangeté du sinus, nous supprimons le « moins ». Sous cosinus

nous indiquons que le terme .

(5) On effectue une multiplication artificielle au dénominateur afin d'utiliser première limite merveilleuse. Ainsi, l’incertitude est éliminée, mettons de l’ordre dans le résultat.

Réponse : par définition Comme vous pouvez le constater, la principale difficulté du problème considéré repose sur

complexité à la limite + légère originalité du packaging. Dans la pratique, les deux méthodes de conception sont utilisées, c'est pourquoi je décris les deux approches de manière aussi détaillée que possible. Ils sont équivalents, mais néanmoins, selon mon impression subjective, il est plus conseillé aux nuls de s'en tenir à l'option 1 avec « X-zéro ».

À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction

C'est une tâche que vous devez résoudre vous-même. L'échantillon est conçu dans le même esprit que l'exemple précédent.

Examinons une version plus rare du problème :

Trouvez la dérivée de la fonction au point en utilisant la définition de la dérivée.

Premièrement, quel devrait être le résultat final ? Nombre Calculons la réponse de la manière standard :

Solution : d'un point de vue clarté, cette tâche est beaucoup plus simple, puisque dans la formule, au lieu de

une valeur spécifique est prise en compte.

Définissons l'incrément au point et composons l'incrément correspondant de la fonction :

Calculons la dérivée au point :

Nous utilisons une formule de différence tangente très rare et encore une fois on réduit la solution à la première

limite remarquable :

Réponse : par définition de dérivée en un point.

Le problème n'est pas si difficile à résoudre "en général" - il suffit de le remplacer par ou simplement en fonction de la méthode de conception. Dans ce cas, il est clair que le résultat ne sera pas un nombre, mais une fonction dérivée.

Exemple 10 À l'aide de la définition, trouvez la dérivée de la fonction à ce point

Ceci est un exemple à résoudre par vous-même.

La tâche bonus finale est destinée principalement aux étudiants ayant une étude approfondie de l'analyse mathématique, mais elle ne fera de mal à personne d'autre non plus :

La fonction sera-t-elle différentiable ? à ce point?

Solution : Il est évident qu'une fonction donnée par morceaux est continue en ce point, mais y sera-t-elle dérivable ?

L'algorithme de résolution, et pas seulement pour les fonctions par morceaux, est le suivant :

1) Trouver la dérivée gauche en un point donné : .

2) Trouver la dérivée droite en un point donné : .

3) Si les dérivées unilatérales sont finies et coïncident :

, alors la fonction est différentiable au point et

géométriquement, il y a ici une tangente commune (voir la partie théorique de la leçon Définition et signification du dérivé).

Si deux valeurs différentes sont reçues : (dont l'un peut s'avérer infini), alors la fonction n'est pas dérivable au point .

Si les deux dérivées unilatérales sont égales à l'infini

(même s'ils ont des signes différents), alors la fonction n'est pas

est différentiable au point, mais il existe une dérivée infinie et une tangente verticale commune au graphe (voir exemple leçon 5Équation normale) .

Remarque : Ainsi, entre les questions « La fonction sera-t-elle dérivable en un point ? » et « Une dérivée existe-t-elle à un moment donné ? » il existe une différence!

Tout est très simple !

1) Lors de la recherche de la dérivée de gauche, l'incrément de l'argument est négatif : , et à gauche du point il y a une parabole, donc l'incrément de la fonction est égal à :

Et la limite gauche correspondante est numériquement égale à la dérivée gauche au point en question :

2) A droite du point se trouve le graphique d'une droite et l'incrément de l'argument est positif : . L'incrément de la fonction est donc :

Limite à droite et dérivée à droite en un point :

3) Les dérivées unilatérales sont finies et différentes :

Réponse : la fonction n'est pas différenciable à ce point.

Le cas classique de la non-différentiabilité d'un module est encore plus facile à prouver au point que j'ai déjà décrit en termes généraux sur leçon théorique sur la dérivée.

Certaines fonctions définies par morceaux sont également différenciables aux points de « jonction » du graphique, par exemple, catdog

a une dérivée commune et une tangente commune (axe des x) au point. Courbe, mais différenciable par ! Les personnes intéressées peuvent le vérifier par elles-mêmes à l’aide de l’exemple que nous venons de résoudre.

Terminons l'histoire avec ce drôle d'hybride =) Solutions et réponses :

Exemple 3 : Solution : considérons un point appartenant au domaine de définition de la fonction. Allons nous installer

incrémenter en un point donné et composer l'incrément correspondant de la fonction :

Trouvons la dérivée au point :

Puisque vous pouvez choisir n’importe quel point dans le domaine de définition de la fonction, alors

Réponse : par définition, dérivée

Exemple 4 : Solution : considérez un point arbitraire appartenant à celui-ci et définissez l'incrément. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Trouvons la dérivée :

Utiliser une merveilleuse limite

Réponse : par définition

Exemple 6 : Solution : considérez un point appartenant à celui-ci et définissez l'incrément de l'argument. Alors l’incrément correspondant de la fonction est :

Répondre : un prieuré

Exemple 10 : Solution : Fixons l'incrément au point. Puis l'incrément de la fonction :

Calculons la dérivée au point :

Multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée :

Réponse : par définition de dérivée en un point

La dérivée d'une fonction est l'un des sujets difficiles dans programme scolaire. Tous les diplômés ne répondront pas à la question de savoir ce qu'est un dérivé.

Cet article explique de manière simple et claire ce qu'est un dérivé et pourquoi il est nécessaire.. Nous ne rechercherons pas maintenant la rigueur mathématique dans la présentation. Le plus important est d’en comprendre le sens.

Rappelons la définition :

La dérivée est le taux de variation d'une fonction.

La figure montre des graphiques de trois fonctions. Selon vous, lequel connaît la croissance la plus rapide ?

La réponse est évidente : la troisième. Il présente le taux de variation le plus élevé, c'est-à-dire la dérivée la plus importante.

Voici un autre exemple.

Kostya, Grisha et Matvey ont trouvé un emploi en même temps. Voyons comment leurs revenus ont évolué au cours de l'année :

Le graphique montre tout en même temps, n'est-ce pas ? Les revenus de Kostya ont plus que doublé en six mois. Et les revenus de Grisha ont également augmenté, mais juste un peu. Et les revenus de Matvey sont tombés à zéro. Conditions de départ sont les mêmes, et le taux de changement de la fonction, c'est-à-dire dérivé, - différent. Quant à Matvey, sa dérivée de revenu est généralement négative.

Intuitivement, nous estimons facilement le taux de changement d’une fonction. Mais comment faire cela ?

Ce que nous examinons réellement, c'est la vitesse à laquelle le graphique d'une fonction monte (ou descend). En d’autres termes, à quelle vitesse y change-t-il lorsque x change ? Évidemment, la même fonction en différents points peut avoir sens différent dérivé - c'est-à-dire qu'il peut changer plus rapidement ou plus lentement.

La dérivée d'une fonction est notée .

Nous allons vous montrer comment le trouver à l’aide d’un graphique.

Un graphique d'une fonction a été dessiné. Prenons un point marqué en abscisse. Traçons une tangente au graphique de la fonction à ce stade. Nous voulons estimer la vitesse à laquelle le graphique d’une fonction monte. Une valeur pratique pour cela est tangente de l'angle tangent.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la tangente de l'angle tangent tracé au graphique de la fonction en ce point.

Veuillez noter que comme angle d'inclinaison de la tangente, nous prenons l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe.

Parfois, les élèves demandent ce qu’est une tangente au graphique d’une fonction. C'est une ligne droite ayant cette zone le seul point commun avec le graphique, et comme le montre notre figure. Cela ressemble à une tangente à un cercle.

Trouvons-le. On se souvient que la tangente d'un angle aigu dans triangle rectangleégal au rapport du côté opposé au côté adjacent. Du triangle :

Nous avons trouvé la dérivée à l'aide d'un graphique sans même connaître la formule de la fonction. De tels problèmes se retrouvent souvent dans l'examen d'État unifié de mathématiques sous le numéro.

Il existe une autre relation importante. Rappelons que la droite est donnée par l'équation

La quantité dans cette équation est appelée pente d'une droite. Elle est égale à la tangente de l'angle d'inclinaison de la droite à l'axe.

Nous obtenons cela

Rappelons cette formule. Il exprime la signification géométrique de la dérivée.

La dérivée d'une fonction en un point est égale à la pente de la tangente tracée au graphique de la fonction en ce point.

En d’autres termes, la dérivée est égale à la tangente de l’angle tangent.

Nous avons déjà dit qu'une même fonction peut avoir des dérivées différentes en différents points. Voyons comment la dérivée est liée au comportement de la fonction.

Traçons un graphique d'une fonction. Laissez cette fonction augmenter dans certains domaines et diminuer dans d'autres, et avec à des vitesses différentes. Et laissez cette fonction avoir des points maximum et minimum.

À un moment donné, la fonction augmente. La tangente au graphique tracé au point forme angle vif avec une direction d'axe positive. Cela signifie que la dérivée en ce point est positive.

Au point où notre fonction diminue. La tangente en ce point forme un angle obtus avec la direction positive de l'axe. Puisque la tangente d’un angle obtus est négative, la dérivée en ce point est négative.

Voici ce qui se passe :

Si une fonction est croissante, sa dérivée est positive.

Si elle diminue, sa dérivée est négative.

Que se passera-t-il aux points maximum et minimum ? On voit qu'aux points (point maximum) et (point minimum) la tangente est horizontale. Par conséquent, la tangente de la tangente en ces points est nulle et la dérivée est également nulle.

Point - point maximum. A ce stade, l’augmentation de la fonction est remplacée par une diminution. Par conséquent, le signe de la dérivée change au point de « plus » à « moins ».

Au point - le point minimum - la dérivée est également nulle, mais son signe passe de « moins » à « plus ».

Conclusion : en utilisant la dérivée on peut découvrir tout ce qui nous intéresse sur le comportement d'une fonction.

Si la dérivée est positive, alors la fonction augmente.

Si la dérivée est négative, alors la fonction diminue.

Au point maximum, la dérivée est nulle et change de signe de « plus » à « moins ».

Au point minimum, la dérivée est également nulle et change de signe de « moins » à « plus ».

Écrivons ces conclusions sous forme de tableau :

	augmente	point maximum	diminue	point minimum	augmente
+	0	-	0	+

Apportons deux petites précisions. Vous en aurez besoin pour résoudre les problèmes USE. Un autre - en première année, avec une étude plus sérieuse des fonctions et des dérivées.

Il est possible que la dérivée d'une fonction à un moment donné soit égale à zéro, mais la fonction n'a ni maximum ni minimum à ce stade. C'est ce qu'on appelle :

En un point, la tangente au graphique est horizontale et la dérivée est nulle. Cependant, avant ce point, la fonction augmentait - et après ce point, elle continue d'augmenter. Le signe de la dérivée ne change pas - il reste positif comme avant.

Il arrive aussi qu'au point de maximum ou de minimum la dérivée n'existe pas. Sur le graphique, cela correspond à une rupture brutale, lorsqu'il est impossible de tracer une tangente en un point donné.

Comment trouver la dérivée si la fonction est donnée non pas par un graphique, mais par une formule ? Dans ce cas, cela s'applique

(\large\bf Dérivée d'une fonction)

Considérez la fonction y=f(x), spécifié sur l'intervalle (un B). Laisser X- n'importe quel point fixe de l'intervalle (un B), UN Δx- un nombre arbitraire tel que la valeur x+Δx appartient également à l'intervalle (un B). Ce nombre Δx appelé incrément d’argument.

Définition. Incrément de fonction y=f(x)à ce point X, correspondant à l'incrément d'argument Δx, appelons le numéro

Δy = f(x+Δx) - f(x).

Nous croyons cela Δx ≠ 0. Considérer en un point fixe donné X le rapport de l'incrément de fonction à ce stade à l'incrément d'argument correspondant Δx

Nous appellerons cette relation la relation de différence. Puisque la valeur X on considère fixe, le rapport de différence est fonction de l'argument Δx. Cette fonction est définie pour toutes les valeurs d'argument Δx, appartenant à un quartier suffisamment petit du point Δx=0, à l'exception du point lui-même Δx=0. Ainsi, on est en droit de considérer la question de l'existence d'une limite de la fonction spécifiée à Δx → 0.

Définition. Dérivée d'une fonction y=f(x) en un point fixe donné X appelé la limite à Δx → 0 rapport de différence, c'est-à-dire

À condition que cette limite existe.

Désignation. y′(x) ou f′(x).

Signification géométrique de la dérivée: Dérivée d'une fonction f(x)à ce point Xégale à la tangente de l'angle entre l'axe Bœuf et une tangente au graphique de cette fonction au point correspondant :

f′(x 0) = \tgα.

Signification mécanique de la dérivée: La dérivée de la trajectoire par rapport au temps est égale à la vitesse de mouvement rectiligne du point :

Équation d'une tangente à une droite y=f(x)à ce point M 0 (x 0 ,y 0) prend la forme

y-y 0 = f′(x 0) (x-x 0).

La normale à une courbe en un point donné est la perpendiculaire à la tangente en ce même point. Si f′(x 0)≠ 0, alors l'équation de la normale à la droite y=f(x)à ce point M 0 (x 0 ,y 0) s'écrit ainsi :

Le concept de différentiabilité d'une fonction

Laissez la fonction y=f(x) défini sur un certain intervalle (un B), X- une valeur d'argument fixe de cet intervalle, Δx- tout incrément de l'argument tel que la valeur de l'argument x+Δx ∈ (a, b).

Définition. Fonction y=f(x) appelé différentiable en un point donné X, si incrément Δy cette fonction au point X, correspondant à l'incrément d'argument Δx, peut être représenté sous la forme

Δy = A Δx +αΔx,

Où UN- un nombre indépendant de Δx, UN α - fonction d'argument Δx, qui est infinitésimal à Δx→ 0.

Puisque le produit de deux fonctions infinitésimales αΔx est un infinitésimal d'ordre supérieur à Δx(propriété de 3 fonctions infinitésimales), alors on peut écrire :

Δy = A Δx +o(Δx).

Théorème. Pour que la fonction y=f(x)était différentiable à un moment donné X, il est nécessaire et suffisant qu'il ait une dérivée finie en ce point. Où UNE=f′(x), c'est

Δy = f′(x) Δx +o(Δx).

L'opération consistant à trouver la dérivée est généralement appelée différenciation.

Théorème. Si la fonction y=f(x) X, alors il est continu à ce stade.

Commentaire. De la continuité de la fonction y=f(x)à ce point X, d'une manière générale, la différentiabilité de la fonction ne suit pas f(x)à ce point. Par exemple, la fonction y=|x|- continu en un point x=0, mais n'a pas de dérivée.

Concept de fonction différentielle

Définition. Fonction différentielle y=f(x) le produit de la dérivée de cette fonction et de l'incrément de la variable indépendante est appelé X:

dy = y′ Δx, df(x) = f′(x) Δx.

Pour la fonction y = x on a dy=dx=x′Δx = 1· Δx= Δx, c'est dx=Δx- le différentiel d'une variable indépendante est égal à l'incrément de cette variable.

Ainsi, nous pouvons écrire

dy = y′ dx, df(x) = f′(x) dx

Différentiel mourir et incrémenter Δy les fonctions y=f(x)à ce point X, tous deux correspondant au même incrément d'argument Δx, d’une manière générale, ne sont pas égaux les uns aux autres.

Signification géométrique du différentiel: La différentielle d'une fonction est égale à l'incrément de l'ordonnée de la tangente au graphe de cette fonction lorsque l'argument est incrémenté Δx.

Règles de différenciation

Théorème. Si chacune des fonctions u(x) Et v(x) différentiable en un point donné X, puis la somme, la différence, le produit et le quotient de ces fonctions (quotient à condition que v(x)≠ 0) sont également différentiables à ce stade, et les formules sont valables :

Considérons la fonction complexe y=f(φ(x))≡ F(x), Où y=f(u), u=φ(x). Dans ce cas toi appelé argument intermédiaire, X - variable indépendante.

Théorème. Si y=f(u) Et u=φ(x) sont des fonctions différentiables de leurs arguments, alors la dérivée d'une fonction complexe y=f(φ(x)) existe et est égal au produit de cette fonction par rapport à l'argument intermédiaire et à la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à la variable indépendante, c'est-à-dire

Commentaire. Pour une fonction complexe qui est une superposition de trois fonctions y=F(f(φ(x))), la règle de différenciation a la forme

y′ x = y′ u u′ v v′ x,

où sont les fonctions v = φ (x), u=f(v) Et y=F(u)- les fonctions différentiables de leurs arguments.

Théorème. Laissez la fonction y=f(x) augmente (ou diminue) et est continue dans un certain voisinage du point x0. Supposons en outre que cette fonction soit dérivable en point spécifié x0 et sa dérivée à ce stade f′(x 0) ≠ 0. Puis dans un certain voisinage du point correspondant oui 0 =f(x 0) l'inverse est défini pour y=f(x) fonction x=f -1 (y), et la fonction inverse indiquée est dérivable au point correspondant oui 0 =f(x 0) et pour sa dérivée à ce stade oui la formule est valable

Tableau des dérivés

Invariance de la forme du premier différentiel

Considérons la différentielle d'une fonction complexe. Si y=f(x), x=φ(t)- les fonctions de leurs arguments sont différentiables, alors la dérivée de la fonction y=f(φ(t)) exprimé par la formule

y′ t = y′ x x′ t.

Prieuré A dy = y′ t dt, alors on obtient

dy = y′ t dt = y′ x · x′ t dt = y′ x (x′ t dt) = y′ x dx,

dy = y′ x dx.

Nous avons donc prouvé

Propriété d'invariance de la forme de la première différentielle d'une fonction: comme dans le cas où l'argument X est une variable indépendante, et dans le cas où l'argument X elle-même est une fonction différentiable de la nouvelle variable, la différentielle mourir les fonctions y=f(x) est égal à la dérivée de cette fonction multipliée par la différentielle de l'argument dx.

Application du différentiel dans les calculs approximatifs

Nous avons montré que le différentiel mourir les fonctions y=f(x), d’une manière générale, n’est pas égal à l’incrément Δy cette fonction. Cependant, jusqu’à une fonction infinitésimale d’un ordre de petitesse supérieur à Δx, l'égalité approximative est valide

Δy ≈ dy.

Le rapport s'appelle l'erreur relative de l'égalité de cette égalité. Parce que Δy-dy=o(Δx), alors l'erreur relative de cette égalité devient aussi petite que souhaité avec la diminution |Δх|.

Étant donné que Δy=f(x+δx)-f(x), dy=f′(x)Δx, on a f(x+δx)-f(x) ≈ f′(x)Δx ou

f(x+δx) ≈ f(x) + f′(x)Δx.

Cette égalité approximative permet avec erreur o(Δx) remplacer la fonction f(x) dans un petit quartier de la pointe X(c'est-à-dire pour les petites valeurs Δx) fonction linéaire argument Δx, debout sur le côté droit.

Dérivés d'ordre supérieur

Définition. Dérivée seconde (ou dérivée du second ordre) d'une fonction y=f(x) est appelée la dérivée de sa dérivée première.

Notation pour la dérivée seconde d'une fonction y=f(x):

Signification mécanique de la dérivée seconde. Si la fonction y=f(x) décrit la loi du mouvement d'un point matériel en ligne droite, puis la dérivée seconde f″(x)égal à l'accélération d'un point en mouvement à un instant donné X.

Les dérivées troisième et quatrième sont déterminées de la même manière.

Définition. nème dérivée (ou dérivée n(ème ordre) fonctions y=f(x) s'appelle sa dérivée n-1ème dérivée :

y (n) =(y (n-1))′, f (n) (x)=(f (n-1) (x))′.

Désignations : y", et IV, et V etc.

Si vous suivez la définition, alors la dérivée d'une fonction en un point est la limite du rapport de l'incrément de la fonction Δ ouià l'incrément d'argument Δ X:

Tout semble clair. Mais essayez d'utiliser cette formule pour calculer, disons, la dérivée de la fonction F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X péché X. Si vous faites tout par définition, après quelques pages de calculs, vous vous endormirez simplement. Il existe donc des moyens plus simples et plus efficaces.

Pour commencer, notons que parmi toute la variété des fonctions, on peut distinguer les fonctions dites élémentaires. Ce sont des expressions relativement simples, dont les dérivées sont calculées et tabulées depuis longtemps. De telles fonctions sont assez faciles à mémoriser – ainsi que leurs dérivées.

Dérivées de fonctions élémentaires

Les fonctions élémentaires sont toutes celles listées ci-dessous. Les dérivées de ces fonctions doivent être connues par cœur. De plus, il n'est pas du tout difficile de les mémoriser - c'est pourquoi ils sont élémentaires.

Ainsi, dérivées de fonctions élémentaires :

Nom	Fonction	Dérivé
Constante	F(X) = C, C ∈ R.	0 (oui, zéro !)
Puissance avec exposant rationnel	F(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	F(X) = péché X	parce que X
Cosinus	F(X) = cos X	−péché X(moins sinus)
Tangente	F(X) = tg X	1/cos 2 X
Cotangente	F(X) = ctg X	− 1/péché 2 X
Un algorithme naturel	F(X) = journal X	1/X
Logarithme arbitraire	F(X) = journal un X	1/(X dans un)
Fonction exponentielle	F(X) = e X	e X(Rien n'a changé)

Si une fonction élémentaire est multipliée par une constante arbitraire, alors la dérivée de la nouvelle fonction est également facilement calculée :

(C · F)’ = C · F ’.

En général, les constantes peuvent être soustraites du signe de la dérivée. Par exemple:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Bien évidemment, les fonctions élémentaires peuvent s’ajouter les unes aux autres, se multiplier, se diviser – et bien plus encore. C'est ainsi qu'apparaîtront de nouvelles fonctions, non plus particulièrement élémentaires, mais aussi différenciées selon certaines règles. Ces règles sont discutées ci-dessous.

Dérivée de la somme et de la différence

Soit les fonctions données F(X) Et g(X), dont les dérivés nous sont connus. Par exemple, vous pouvez prendre les fonctions élémentaires évoquées ci-dessus. Ensuite, vous pouvez trouver la dérivée de la somme et de la différence de ces fonctions :

(F + g)’ = F ’ + g ’
(F − g)’ = F ’ − g ’

Ainsi, la dérivée de la somme (différence) de deux fonctions est égale à la somme (différence) des dérivées. Il peut y avoir plus de termes. Par exemple, ( F + g + h)’ = F ’ + g ’ + h ’.

À proprement parler, il n’existe pas de concept de « soustraction » en algèbre. Il existe une notion d'« élément négatif ». Donc la différence F − g peut être réécrit comme une somme F+ (−1) g, et il ne reste alors qu'une seule formule - la dérivée de la somme.

F(X) = X 2 + péché x ; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Fonction F(X) est la somme de deux fonctions élémentaires, donc :

F ’(X) = (X 2 + péché X)’ = (X 2)’ + (péché X)’ = 2X+ cosx ;

On raisonne de la même manière pour la fonction g(X). Seulement il y a déjà trois termes (du point de vue de l'algèbre) :

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Répondre:
F ’(X) = 2X+ cosx ;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Dérivé du produit

Les mathématiques sont une science logique, c'est pourquoi beaucoup de gens croient que si la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées, alors la dérivée du produit grève">égal au produit de dérivés. Mais allez vous faire foutre ! La dérivée d'un produit se calcule selon une toute autre formule. A savoir :

(F · g) ’ = F ’ · g + F · g ’

La formule est simple, mais elle est souvent oubliée. Et pas seulement les écoliers, mais aussi les étudiants. Le résultat est des problèmes mal résolus.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = X 3 cosx ; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Fonction F(X) est le produit de deux fonctions élémentaires, donc tout est simple :

F ’(X) = (X 3 parce que X)’ = (X 3)' parce que X + X 3 (car X)’ = 3X 2 parce que X + X 3 (− péché X) = X 2 (3cos X − X péché X)

Fonction g(X) le premier multiplicateur est un peu plus compliqué, mais le schéma général ne change pas. Évidemment, le premier facteur de la fonction g(X) est un polynôme et sa dérivée est la dérivée de la somme. Nous avons:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Répondre:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X péché X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Veuillez noter que sur dernière étape la dérivée est factorisée. Formellement, cela n'est pas nécessaire, mais la plupart des dérivées ne sont pas calculées seules, mais pour examiner la fonction. Cela signifie qu'en outre la dérivée sera assimilée à zéro, ses signes seront déterminés, et ainsi de suite. Dans un tel cas, il est préférable de factoriser une expression.

S'il y a deux fonctions F(X) Et g(X), et g(X) ≠ 0 sur l'ensemble qui nous intéresse, on peut définir une nouvelle fonction h(X) = F(X)/g(X). Pour une telle fonction vous pouvez également trouver la dérivée :

Pas faible, hein ? D'où vient le moins ? Pourquoi g 2 ? Et comme ça ! C’est l’une des formules les plus complexes – vous ne pouvez pas la comprendre sans bouteille. Il est donc préférable de l’étudier avec des exemples précis.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions :

Le numérateur et le dénominateur de chaque fraction contiennent des fonctions élémentaires, il suffit donc de connaître la formule de la dérivée du quotient :

Selon la tradition, factorisons le numérateur - cela simplifiera grandement la réponse :

Une fonction complexe n’est pas nécessairement une formule d’un demi-kilomètre. Par exemple, il suffit de prendre la fonction F(X) = péché X et remplacez la variable X, disons, sur X 2 + ln X. Cela va fonctionner F(X) = péché ( X 2 + ln X) - c'est une fonction complexe. Il a également un dérivé, mais il ne sera pas possible de le trouver en utilisant les règles évoquées ci-dessus.

Que dois-je faire? Dans de tels cas, remplacer une variable et une formule par la dérivée d'une fonction complexe permet de :

F ’(X) = F ’(t) · t', Si X est remplacé par t(X).

En règle générale, la situation concernant la compréhension de cette formule est encore plus triste qu'avec la dérivée du quotient. Par conséquent, il est également préférable de l'expliquer avec des exemples précis, avec Description détaillée chaque étape.

Tâche. Trouver des dérivées de fonctions : F(X) = e 2X + 3 ; g(X) = péché ( X 2 + ln X)

Notez que si dans la fonction F(X) au lieu de l'expression 2 X+ 3 sera facile X, alors on obtient une fonction élémentaire F(X) = e X. Par conséquent, nous effectuons un remplacement : soit 2 X + 3 = t, F(X) = F(t) = e t. On recherche la dérivée d'une fonction complexe à l'aide de la formule :

F ’(X) = F ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Et maintenant, attention ! Nous effectuons le remplacement inverse : t = 2X+ 3. On obtient :

F ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Voyons maintenant la fonction g(X). Il faut évidemment le remplacer X 2 + ln X = t. Nous avons:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (péché t)’ · t' = cos t · t ’

Remplacement inversé : t = X 2 + ln X. Alors:

g ’(X) = cos ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = cos ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

C'est tout! Comme le montre la dernière expression, tout le problème a été réduit au calcul de la somme dérivée.

Répondre:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) parce que ( X 2 + ln X).

Très souvent dans mes cours, au lieu du terme « dérivé », j'utilise le mot « premier ». Par exemple, le trait de la somme est égal à la somme des traits. Est-ce plus clair ? Bon, c'est bien.

Ainsi, calculer la dérivée revient à s'affranchir de ces mêmes coups selon les règles évoquées ci-dessus. Comme dernier exemple, revenons à la puissance dérivée avec un exposant rationnel :

(X n)’ = n · X n − 1

Peu de gens savent que dans le rôle n pourrait bien être un nombre fractionnaire. Par exemple, la racine est X 0,5. Et s’il y avait quelque chose d’extraordinaire sous la racine ? Encore une fois, le résultat sera une fonction complexe - ils aiment donner de telles constructions à essais et les examens.