Fundamentos de la teoría de la probabilidad. Expectativa matemática de valor
La expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es la suma de los productos de todos sus valores posibles y sus probabilidades.
Supongamos que una variable aleatoria toma solo valores de probabilidad que son respectivamente iguales, entonces la expectativa matemática de una variable aleatoria está determinada por la igualdad
Si una variable aleatoria discreta toma un conjunto contable de valores posibles, entonces
Además, la expectativa matemática existe si la serie del lado derecho de la igualdad converge absolutamente.
Comentario. De la definición se deduce que la expectativa matemática de una variable aleatoria discreta es una cantidad no aleatoria (constante).
Definición de expectativa matemática en el caso general.
Determinemos la expectativa matemática de una variable aleatoria cuya distribución no es necesariamente discreta. Empecemos con el caso de las variables aleatorias no negativas. La idea será aproximar dichas variables aleatorias utilizando variables discretas para las cuales ya se ha determinado la expectativa matemática, y establecer la expectativa matemática igual al límite de las expectativas matemáticas de las variables aleatorias discretas que la aproximan. Por cierto, esta es una idea general muy útil, que es que alguna característica se determina primero para objetos simples y luego, para objetos más complejos, se determina acercándolos a otros más simples.
Lema 1. Sea una variable aleatoria arbitraria no negativa. Entonces existe una secuencia de variables aleatorias discretas tal que
Prueba. Dividamos el semieje en segmentos de igual longitud y determinemos
Entonces las propiedades 1 y 2 se derivan fácilmente de la definición de una variable aleatoria, y
Lema 2. Sea una variable aleatoria no negativa y dos secuencias de variables aleatorias discretas que poseen las propiedades 1-3 del Lema 1. Entonces
Prueba. Tenga en cuenta que para variables aleatorias no negativas permitimos
En virtud de la Propiedad 3, es fácil ver que existe una secuencia de números positivos tal que
Resulta que
Usando las propiedades de las expectativas matemáticas para variables aleatorias discretas, obtenemos
Pasando al límite en obtenemos el enunciado del Lema 2.
Definición 1. Sea una variable aleatoria no negativa, una secuencia de variables aleatorias discretas que tienen las propiedades 1-3 del Lema 1. La expectativa matemática de una variable aleatoria es el número
El lema 2 garantiza que no depende de la elección de la secuencia aproximada.
Sea ahora una variable aleatoria arbitraria. definamos
De la definición se deduce fácilmente que
Definición 2. La expectativa matemática de una variable aleatoria arbitraria es el número
Si al menos uno de los números del lado derecho de esta igualdad es finito.
Propiedades de la expectativa matemática
Propiedad 1. La expectativa matemática de un valor constante es igual a la constante misma:
Prueba. Consideraremos una constante como una variable aleatoria discreta que tiene un valor posible y lo toma con probabilidad, por lo tanto,
Observación 1. Definamos el producto de una variable constante por una variable aleatoria discreta como un aleatorio discreto cuyos valores posibles son iguales a los productos de la constante por los valores posibles; las probabilidades de los valores posibles son iguales a las probabilidades de los valores posibles correspondientes. Por ejemplo, si la probabilidad de un valor posible es igual, entonces la probabilidad de que el valor tome el valor también es igual
Propiedad 2. El factor constante se puede sacar del signo de la expectativa matemática:
Prueba. Sea la variable aleatoria dada por la ley de distribución de probabilidad:
Teniendo en cuenta la observación 1, escribimos la ley de distribución de la variable aleatoria.
Observación 2. Antes de pasar a la siguiente propiedad, señalamos que dos variables aleatorias se llaman independientes si la ley de distribución de una de ellas no depende de los posibles valores que tomó la otra variable. De lo contrario, las variables aleatorias son dependientes. Varias variables aleatorias se denominan mutuamente independientes si las leyes de distribución de cualquier número de ellas no dependen de los posibles valores que tomaron las variables restantes.
Observación 3. Definamos el producto de variables aleatorias independientes y como variable aleatoria cuyos valores posibles son iguales a los productos de cada valor posible por cada valor posible, las probabilidades de los valores posibles del producto son iguales a los productos de las probabilidades de los valores posibles de los factores. Por ejemplo, si la probabilidad de un valor posible es, la probabilidad de un valor posible es entonces la probabilidad de un valor posible es
Propiedad 3. La expectativa matemática del producto de dos variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas:
Prueba. Dejemos que las variables aleatorias independientes se especifiquen mediante sus propias leyes de distribución de probabilidad:
Recopilemos todos los valores que puede tomar una variable aleatoria, para ello multipliquemos todos los valores posibles por cada valor posible; Como resultado, obtenemos y, teniendo en cuenta la Observación 3, escribimos la ley de distribución, asumiendo por simplicidad que todos los valores posibles del producto son diferentes (si este no es el caso, entonces la prueba se realiza en un manera similar):
La expectativa matemática es igual a la suma de los productos de todos los valores posibles y sus probabilidades:
Consecuencia. La expectativa matemática del producto de varias variables aleatorias mutuamente independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas.
Propiedad 4. La expectativa matemática de la suma de dos variables aleatorias es igual a la suma de las expectativas matemáticas de los términos:
Prueba. Sean variables aleatorias y se especifiquen mediante las siguientes leyes de distribución:
Recopilemos todos los valores posibles de una cantidad, para ello sumamos cada valor posible a cada valor posible; obtenemos Supongamos por simplicidad que estos valores posibles son diferentes (si este no es el caso, entonces la prueba se lleva a cabo de manera similar), y denotamos sus probabilidades, respectivamente, por y
La esperanza matemática de un valor es igual a la suma de los productos de valores posibles y sus probabilidades:
Demostremos que un evento que tomará el valor (la probabilidad de este evento es igual) implica un evento que tomará el valor o (la probabilidad de este evento según el teorema de la suma es igual), y viceversa. De ahí se sigue que las igualdades se prueban de manera similar.
Sustituyendo los lados derechos de estas igualdades en la relación (*), obtenemos
o finalmente
Varianza y desviación estándar
En la práctica, a menudo es necesario estimar la dispersión de posibles valores de una variable aleatoria alrededor de su valor medio. Por ejemplo, en artillería es importante saber qué tan cerca caerán los proyectiles del objetivo que se va a alcanzar.
A primera vista, puede parecer que la forma más sencilla de estimar la dispersión es calcular todas las desviaciones posibles de una variable aleatoria y luego encontrar su valor promedio. Sin embargo, este camino no dará nada, ya que el valor medio de la desviación, es decir, para cualquier variable aleatoria es igual a cero. Esta propiedad se explica por el hecho de que algunas posibles desviaciones son positivas, mientras que otras son negativas; como resultado de su cancelación mutua, el valor de desviación promedio es cero. Estas consideraciones indican la conveniencia de sustituir las posibles desviaciones por sus valores absolutos o sus cuadrados. Esto es lo que hacen en la práctica. Es cierto que, en el caso de que las posibles desviaciones se sustituyan por valores absolutos, hay que operar con valores absolutos, lo que a veces genera serias dificultades. Por lo tanto, la mayoría de las veces toman un camino diferente, es decir, Calcule el valor promedio de la desviación al cuadrado, que se llama dispersión.
Valor esperado
Dispersión La variable aleatoria continua X, cuyos posibles valores pertenecen a todo el eje Ox, está determinada por la igualdad: 
Objeto del servicio. La calculadora en línea está diseñada para resolver problemas en los que densidad de distribución f(x) o función de distribución F(x) (ver ejemplo). Por lo general, en tales tareas necesitas encontrar. expectativa matemática, desviación estándar, funciones gráficas f(x) y F(x).
Instrucciones. Seleccione el tipo de datos de origen: densidad de distribución f(x) o función de distribución F(x).
La densidad de distribución f(x) está dada: 
La función de distribución F(x) está dada: 
Una variable aleatoria continua está especificada por una densidad de probabilidad. 
(Ley de distribución de Rayleigh, utilizada en ingeniería de radio). Encuentre M(x), D(x).
La variable aleatoria X se llama continuo
, si su función de distribución F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
La función de distribución de una variable aleatoria continua se utiliza para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria caiga en un intervalo determinado:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Además, para una variable aleatoria continua, no importa si sus límites están incluidos en este intervalo o no:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Densidad de distribución
una variable aleatoria continua se llama función
f(x)=F’(x) , derivada de la función de distribución.
Propiedades de la densidad de distribución.
1. La densidad de distribución de la variable aleatoria no es negativa (f(x) ≥ 0) para todos los valores de x.2. Condición de normalización:
El significado geométrico de la condición de normalización: el área bajo la curva de densidad de distribución es igual a la unidad.
3. La probabilidad de que una variable aleatoria X caiga en el intervalo de α a β se puede calcular mediante la fórmula
Geométricamente, la probabilidad de que una variable aleatoria continua X caiga en el intervalo (α, β) es igual al área del trapecio curvilíneo bajo la curva de densidad de distribución basada en este intervalo.
4. La función de distribución se expresa en términos de densidad de la siguiente manera:
El valor de la densidad de distribución en el punto x no es igual a la probabilidad de aceptar este valor; para una variable aleatoria continua solo podemos hablar de la probabilidad de caer en un intervalo dado. Sea =∑x i p i si la serie converge absolutamente.
Objeto del servicio. Usando el servicio en línea Se calculan la expectativa matemática, la varianza y la desviación estándar.(ver ejemplo). Además, se traza una gráfica de la función de distribución F(X).
Propiedades de la expectativa matemática de una variable aleatoria.
- La expectativa matemática de un valor constante es igual a sí misma: M[C]=C, C – constante;
- M=C M[X]
- La expectativa matemática de la suma de variables aleatorias es igual a la suma de sus expectativas matemáticas: M=M[X]+M[Y]
- La expectativa matemática del producto de variables aleatorias independientes es igual al producto de sus expectativas matemáticas: M=M[X] M[Y] , si X e Y son independientes.
Propiedades de dispersión
- La varianza de un valor constante es cero: D(c)=0.
- El factor constante se puede sacar del signo de dispersión elevándolo al cuadrado: D(k*X)= k 2 D(X).
- Si las variables aleatorias X e Y son independientes, entonces la varianza de la suma es igual a la suma de las varianzas: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
- Si las variables aleatorias X e Y son dependientes: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
- La siguiente fórmula computacional es válida para la dispersión:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2
Ejemplo. Se conocen las expectativas matemáticas y las varianzas de dos variables aleatorias independientes X e Y: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Encuentre la expectativa matemática y la varianza de la variable aleatoria Z=9X-8Y+7.
Solución. Basado en las propiedades de la expectativa matemática: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Basado en las propiedades de dispersión: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345
Algoritmo para calcular la expectativa matemática.
Propiedades de las variables aleatorias discretas: todos sus valores pueden renumerarse como números naturales; Asigne a cada valor una probabilidad distinta de cero.- Multiplicamos los pares uno a uno: x i por p i .
- Suma el producto de cada par x i p i .
Por ejemplo, para n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4
Ejemplo No. 1.
| xyo | 1 | 3 | 4 | 7 | 9 |
| Pi | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.3 |
Encontramos la expectativa matemática usando la fórmula m = ∑x i p i .
Expectativa M[X].
M[x] = 1*0,1 + 3*0,2 + 4*0,1 + 7*0,3 + 9*0,3 = 5,9
Encontramos la varianza usando la fórmula d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Varianza D[X].
D[X] = 1 2 *0,1 + 3 2 *0,2 + 4 2 *0,1 + 7 2 *0,3 + 9 2 *0,3 - 5,9 2 = 7,69
Desviación estándar σ(x).
σ = raíz cuadrada (D[X]) = raíz cuadrada (7,69) = 2,78
Ejemplo No. 2. Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente serie de distribución:
| X | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 |
| R | A | 0,32 | 2a | 0,41 | 0,03 |
Solución. El valor de a se encuentra a partir de la relación: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 o 0,24=3 a , de donde a = 0,08
Ejemplo No. 3. Determine la ley de distribución de una variable aleatoria discreta si se conoce su varianza y x 1
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
d(x)=12,96
Solución.
Aquí necesitas crear una fórmula para encontrar la varianza d(x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
donde la expectativa m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Para nuestros datos
metro(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
o -9/100 (x 2 -20x+96)=0
En consecuencia, necesitamos encontrar las raíces de la ecuación, y habrá dos.
x 3 = 8, x 3 = 12
Elige el que cumpla la condición x 1
Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.
x1 =6; x2=9; x3 =12; x4=15
p1 = 0,3; p2 = 0,3; p3 = 0,1; p 4 = 0,3
– el número de niños entre 10 recién nacidos.
Está absolutamente claro que este número no se conoce de antemano, y los próximos diez niños nacidos pueden incluir:
O chicos - uno y solo uno de las opciones enumeradas.
Y, para mantenernos en forma, un poco de educación física:
– distancia de salto de longitud (en algunas unidades).
Ni siquiera un maestro de deportes puede predecirlo :)
Sin embargo, ¿tus hipótesis?
2) Variable aleatoria continua – acepta Todo valores numéricos de algún intervalo finito o infinito.
Nota : las abreviaturas DSV y NSV son populares en la literatura educativa
Primero, analicemos la variable aleatoria discreta, luego... continuo.
Ley de distribución de una variable aleatoria discreta.
- Este correspondencia entre los posibles valores de esta cantidad y sus probabilidades. La mayoría de las veces, la ley está escrita en una tabla: 
El término aparece con bastante frecuencia. fila
distribución, pero en algunas situaciones suena ambiguo, por lo que me ceñiré a la "ley".
Y ahora punto muy importante: desde la variable aleatoria Necesariamente Va a aceptar uno de los valores, entonces se forman los eventos correspondientes grupo completo y la suma de las probabilidades de que ocurran es igual a uno:
o, si está escrito condensado:
Así, por ejemplo, la ley de distribución de probabilidad de los puntos lanzados en un dado tiene la siguiente forma: 
Sin comentarios.
Es posible que tenga la impresión de que una variable aleatoria discreta sólo puede tomar valores enteros "buenos". Disipemos la ilusión: pueden ser cualquier cosa:
Ejemplo 1
Algunos juegos tienen la siguiente ley de distribución de ganancias: 
...probablemente has soñado con tareas así durante mucho tiempo :) Te contaré un secreto, yo también. Especialmente después de terminar el trabajo en teoría de campo.
Solución: dado que una variable aleatoria puede tomar solo uno de tres valores, se forman los eventos correspondientes grupo completo, lo que significa que la suma de sus probabilidades es igual a uno: 
Exponiendo al “partidario”: 
– por tanto, la probabilidad de ganar unidades convencionales es 0,4.
Control: eso es de lo que necesitábamos asegurarnos.
Respuesta:
No es raro que usted mismo necesite redactar una ley de distribución. Para esto utilizan definición clásica de probabilidad, Teoremas de multiplicación/suma para probabilidades de eventos y otras fichas tervera:
Ejemplo 2
La caja contiene 50 billetes de lotería, de los cuales 12 son ganadores, 2 de ellos ganan 1000 rublos cada uno y el resto, 100 rublos cada uno. Elabore una ley para la distribución de una variable aleatoria: el tamaño de las ganancias si se extrae un boleto al azar de la caja.
Solución: como habrás notado, los valores de una variable aleatoria generalmente se colocan en en orden ascendente. Por lo tanto, comenzamos con las ganancias más pequeñas, es decir, los rublos.
Hay 50 billetes de este tipo en total: 12 = 38, y según definición clásica:
– la probabilidad de que un billete extraído al azar resulte perdedor.
En otros casos todo es sencillo. La probabilidad de ganar rublos es:
Verifique: – ¡y este es un momento particularmente agradable en este tipo de tareas!
Respuesta: la ley deseada de distribución de ganancias: 
La siguiente tarea la debes resolver tú solo:
Ejemplo 3
La probabilidad de que el tirador dé en el blanco es . Elabora una ley de distribución para una variable aleatoria: el número de aciertos después de 2 disparos.
...Sabía que lo extrañabas :) Recordemos teoremas de multiplicación y suma. La solución y la respuesta están al final de la lección.
La ley de distribución describe completamente una variable aleatoria, pero en la práctica puede ser útil (y a veces más útil) conocer solo una parte de ella. características numéricas .
Expectativa de una variable aleatoria discreta
En términos simples, esto es valor esperado promedio cuando la prueba se repite muchas veces. Dejemos que la variable aleatoria tome valores con probabilidades 
respectivamente. Entonces la expectativa matemática de esta variable aleatoria es igual a suma de productos todos sus valores a las probabilidades correspondientes:
o colapsado: 
Calculemos, por ejemplo, la expectativa matemática de una variable aleatoria: el número de puntos lanzados en un dado:
Ahora recordemos nuestro juego hipotético: 
Surge la pregunta: ¿es rentable jugar este juego? ...¿quién tiene alguna impresión? ¡Así que no puedes decirlo “de improviso”! Pero esta pregunta se puede responder fácilmente calculando la expectativa matemática, esencialmente: peso promedio por probabilidad de ganar:
Así, la expectativa matemática de este juego. perdiendo.
No confíes en tus impresiones, ¡confía en los números!
Sí, aquí puedes ganar 10 o incluso 20-30 veces seguidas, pero a la larga nos espera la ruina inevitable. Y no te recomendaría que jugaras a esos juegos :) Bueno, tal vez solo por diversión.
De todo lo anterior se deduce que la expectativa matemática ya no es un valor ALEATORIO.
Tarea creativa para la investigación independiente:
Ejemplo 4
El Sr. X juega a la ruleta europea con el siguiente sistema: apuesta constantemente 100 rublos al “rojo”. Elabora una ley de distribución de una variable aleatoria: sus ganancias. Calcule la expectativa matemática de ganancias y redondee al kopeck más cercano. Cuántos promedio¿El jugador pierde por cada cien que apuesta?
Referencia : La ruleta europea contiene 18 sectores rojos, 18 negros y 1 verde (“cero”). Si aparece un “rojo”, al jugador se le paga el doble de la apuesta; de lo contrario, va a los ingresos del casino.
Hay muchos otros sistemas de ruleta para los que puedes crear tus propias tablas de probabilidad. Pero este es el caso cuando no necesitamos leyes o tablas de distribución, porque se ha establecido con certeza que la expectativa matemática del jugador será exactamente la misma. Lo único que cambia de un sistema a otro es