Asentimiento de tres números en línea. Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números
Para entender cómo calcular el MCM, primero debe determinar el significado del término "múltiple".
Un múltiplo de A es un número natural divisible sin resto por A. Así, los números que son múltiplos de 5 pueden considerarse 15, 20, 25, etc.
Puede haber un número limitado de divisores de un número determinado, pero hay un número infinito de múltiplos.
Un múltiplo común de los números naturales es un número que es divisible entre ellos sin dejar resto.
Cómo encontrar el mínimo común múltiplo de números
El mínimo común múltiplo (MCM) de números (dos, tres o más) es el número natural más pequeño que es divisible por todos estos números.
Para encontrar la LOC, puedes utilizar varios métodos.
Para números pequeños, es conveniente anotar todos los múltiplos de estos números en una línea hasta encontrar algo común entre ellos. Los múltiplos se indican con la letra K mayúscula.
Por ejemplo, los múltiplos de 4 se pueden escribir así:
K(4) = (8,12, 16, 20, 24,...)
k(6) = (12, 18, 24,...)
Así, puedes ver que el mínimo común múltiplo de los números 4 y 6 es el número 24. Esta notación se hace de la siguiente manera:
MCM(4, 6) = 24
Si los números son grandes, encuentre el múltiplo común de tres o más números, entonces es mejor usar otro método para calcular el MCM.
Para completar la tarea, debes factorizar los números dados en factores primos.
Primero debes escribir la descomposición del número más grande en una línea y, debajo, el resto.
La descomposición de cada número puede contener un número diferente de factores.
Por ejemplo, factoricemos los números 50 y 20 en factores primos.
En la ampliación del número menor hay que destacar los factores que están ausentes en la ampliación del primero. gran número y luego agréguelos. En el ejemplo presentado falta un dos.
Ahora puedes calcular el mínimo común múltiplo de 20 y 50.
MCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Por tanto, el producto de los factores primos del número mayor y los factores del segundo número que no se incluyeron en la expansión del número mayor será el mínimo común múltiplo.
Para encontrar el MCM de tres o más números, debes factorizarlos todos en factores primos, como en el caso anterior.
Como ejemplo, puedes encontrar el mínimo común múltiplo de los números 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Por lo tanto, sólo dos dos de la expansión de dieciséis no se incluyeron en la factorización de un número mayor (uno está en la expansión de veinticuatro).
Por lo tanto, deben sumarse a la expansión de un número mayor.
MCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Existen casos especiales para determinar el mínimo común múltiplo. Entonces, si uno de los números se puede dividir sin resto por otro, entonces el mayor de estos números será el mínimo común múltiplo.
Por ejemplo, el MCM de doce y veinticuatro es veinticuatro.
Si necesitas encontrar el mínimo común múltiplo de cada uno números primos, que no tienen divisores idénticos, entonces su MCM será igual a su producto.
Por ejemplo, MCM (10, 11) = 110.
Definición. El mayor número natural por el cual se dividen los números a y b sin resto se llama máximo común divisor (MCD) estos números.
Encontremos el máximo común divisor de los números 24 y 35.
Los divisores de 24 son los números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y los divisores de 35 son los números 1, 5, 7, 35.
Vemos que los números 24 y 35 tienen un solo divisor común: el número 1. Estos números se llaman mutuamente primos.
Definición. Los números naturales se llaman mutuamente primos, si su máximo común divisor (MCD) es 1.
Máximo divisor común (MCD) se puede encontrar sin escribir todos los divisores de los números dados.
Factorizando los números 48 y 36, obtenemos:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
De los factores incluidos en la expansión del primero de estos números, tachamos aquellos que no están incluidos en la expansión del segundo número (es decir, dos dos).
Los factores restantes son 2 * 2 * 3. Su producto es igual a 12. Este número es el máximo común divisor de los números 48 y 36. También se encuentra el máximo común divisor de tres o más números.
Encontrar máximo común divisor
2) de los factores incluidos en la expansión de uno de estos números, tachar los que no están incluidos en la expansión de otros números;
3) encuentra el producto de los factores restantes.
Si todos los números dados son divisibles por uno de ellos, entonces este número es máximo común divisor números dados.
Por ejemplo, el máximo común divisor de los números 15, 45, 75 y 180 es el número 15, ya que todos los demás números son divisibles por él: 45, 75 y 180.
Mínimo común múltiplo (MCM)
Definición. Mínimo común múltiplo (MCM) Los números naturales a y b son el número natural más pequeño que es múltiplo de a y b. El mínimo común múltiplo (MCM) de los números 75 y 60 se puede encontrar sin escribir los múltiplos de estos números seguidos. Para hacer esto, factoricemos 75 y 60 en factores primos: 75 = 3 * 5 * 5 y 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Anotamos los factores incluidos en la expansión del primero de estos números y les sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del segundo número (es decir, combinamos los factores).
Obtenemos cinco factores 2 * 2 * 3 * 5 * 5, cuyo producto es 300. Este número es el mínimo común múltiplo de los números 75 y 60.
También encuentran el mínimo común múltiplo de tres o más números.
A encontrar el mínimo común múltiplo varios números naturales, necesitas:
1) factorizarlos en factores primos;
2) anotar los factores incluidos en la expansión de uno de los números;
3) agregarles los factores que faltan de las expansiones de los números restantes;
4) encuentre el producto de los factores resultantes.
Tenga en cuenta que si uno de estos números es divisible por todos los demás números, entonces este número es el mínimo común múltiplo de estos números.
Por ejemplo, el mínimo común múltiplo de los números 12, 15, 20 y 60 es 60 porque es divisible por todos esos números.
Pitágoras (siglo VI aC) y sus alumnos estudiaron la cuestión de la divisibilidad de los números. Llamaron número perfecto a un número igual a la suma de todos sus divisores (sin el número en sí). Por ejemplo, los números 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) son perfectos. Los siguientes números perfectos son 496, 8128, 33 550 336. Los pitagóricos sólo conocían los primeros tres números perfectos. El cuarto, 8128, se hizo conocido en el siglo I. norte. mi. El quinto, 33.550.336, fue encontrado en el siglo XV. En 1983 ya se conocían 27 números perfectos. Pero los científicos aún no saben si existen números perfectos impares o si existe un número perfecto mayor.
El interés de los antiguos matemáticos por los números primos se debe a que cualquier número es primo o puede representarse como producto de números primos, es decir, los números primos son como ladrillos a partir de los cuales se construyen el resto de los números naturales.
Probablemente hayas notado que los números primos en la serie de números naturales ocurren de manera desigual: en algunas partes de la serie hay más, en otras, menos. Pero cuanto más avanzamos en la serie numérica, menos comunes son los números primos. Surge la pregunta: ¿existe un último (mayor) número primo? El antiguo matemático griego Euclides (siglo III a. C.), en su libro "Elementos", que fue el principal libro de texto de matemáticas durante dos mil años, demostró que hay infinitos números primos, es decir, detrás de cada número primo hay un primo aún mayor. número.
Para encontrar números primos, otro matemático griego de la misma época, Eratóstenes, ideó este método. Escribió todos los números desde 1 hasta algún número, y luego tachó uno, que no es ni primo ni compuesto, luego tachó por uno todos los números que vienen después de 2 (números que son múltiplos de 2, es decir, 4, 6, 8, etc.). El primer número que quedó después del 2 fue el 3. Luego, después del dos, todos los números que venían después del 3 (números que eran múltiplos de 3, es decir, 6, 9, 12, etc.) fueron tachados. al final sólo quedaron sin cruzar los números primos.
Máximo común divisor
Definición 2
Si un número natural a es divisible por un número natural $b$, entonces $b$ se llama divisor de $a$ y $a$ se llama múltiplo de $b$.
Sean $a$ y $b$ números naturales. El número $c$ se llama divisor común tanto de $a$ como de $b$.
El conjunto de divisores comunes de los números $a$ y $b$ es finito, ya que ninguno de estos divisores puede ser mayor que $a$. Esto significa que entre estos divisores hay uno más grande, que se llama máximo común divisor de los números $a$ y $b$ y se denota con la siguiente notación:
$MCD\(a;b)\ o \D\(a;b)$
Para encontrar el máximo común divisor de dos números necesitas:
- Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.
Ejemplo 1
Encuentra el mcd de los números $121$ y $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Elige los números que se incluyen en la expansión de estos números.
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Encuentra el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.
$MCD=2\cdot 11=22$
Ejemplo 2
Encuentra el mcd de los monomios $63$ y $81$.
Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto:
Factoricemos los números en factores primos.
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Seleccionamos los números que se incluyen en la expansión de estos números.
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Encontremos el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el máximo común divisor deseado.
$MCD=3\cdot 3=9$
Puedes encontrar el mcd de dos números de otra manera, usando un conjunto de divisores de números.
Ejemplo 3
Encuentra el mcd de los números $48$ y $60$.
Solución:
Encontremos el conjunto de divisores del número $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Ahora encontremos el conjunto de divisores del número $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) ps
Encontremos la intersección de estos conjuntos: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - este conjunto determinará el conjunto de divisores comunes de los números $48$ y $60 ps El elemento más grande de este conjunto será el número $12$. Esto significa que el máximo común divisor de los números $48$ y $60$ es $12$.
Definición de morosidad
Definición 3
Múltiplos comunes de números naturales$a$ y $b$ es un número natural que es múltiplo de $a$ y $b$.
Los múltiplos comunes de números son números que son divisibles por los números originales sin resto, por ejemplo, para los números $25$ y $50$, los múltiplos comunes serán los números $50,100,150,200$, etc.
El múltiplo común más pequeño se llamará mínimo común múltiplo y se denotará LCM$(a;b)$ o K$(a;b).$
Para encontrar el MCM de dos números, necesitas:
- Factorizar números en factores primos
- Escribe los factores que forman parte del primer número y súmale los factores que forman parte del segundo y no forman parte del primero.
Ejemplo 4
Encuentra el MCM de los números $99$ y $77$.
Lo encontraremos según el algoritmo presentado. Para esto
Factorizar números en factores primos
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Anota los factores incluidos en el primero.
agregarles multiplicadores que sean parte del segundo y no del primero
Encuentre el producto de los números encontrados en el paso 2. El número resultante será el mínimo común múltiplo deseado
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Compilar listas de divisores de números suele ser una tarea que requiere mucha mano de obra. Hay una manera de encontrar MCD llamada algoritmo euclidiano.
Afirmaciones en las que se basa el algoritmo euclidiano:
Si $a$ y $b$ son números naturales y $a\vdots b$, entonces $D(a;b)=b$
Si $a$ y $b$ son números naturales tales que $b
Usando $D(a;b)= D(a-b;b)$, podemos reducir sucesivamente los números considerados hasta llegar a un par de números tales que uno de ellos sea divisible por el otro. Entonces, el menor de estos números será el máximo común divisor deseado para los números $a$ y $b$.
Propiedades de GCD y LCM
- Cualquier múltiplo común de $a$ y $b$ es divisible por K$(a;b)$
- Si $a\vdots b$ , entonces К$(a;b)=a$
Si K$(a;b)=k$ y $m$ es un número natural, entonces K$(am;bm)=km$
Si $d$ es un divisor común para $a$ y $b$, entonces K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ps
Si $a\vdots c$ y $b\vdots c$ , entonces $\frac(ab)(c)$ es el múltiplo común de $a$ y $b$
Para cualquier número natural $a$ y $b$ se cumple la igualdad
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Cualquier divisor común de los números $a$ y $b$ es divisor del número $D(a;b)$
El máximo común divisor y el mínimo común múltiplo son conceptos aritméticos clave que le permiten operar sin esfuerzo fracciones ordinarias. MCM y se utilizan con mayor frecuencia para encontrar el denominador común de varias fracciones.
Conceptos básicos
El divisor de un número entero X es otro número entero Y por el que se divide X sin dejar resto. Por ejemplo, el divisor de 4 es 2 y 36 es 4, 6, 9. Un múltiplo de un número entero X es un número Y que es divisible por X sin resto. Por ejemplo, 3 es múltiplo de 15 y 6 es múltiplo de 12.
Para cualquier par de números podemos encontrar sus divisores y múltiplos comunes. Por ejemplo, para 6 y 9, el múltiplo común es 18 y el divisor común es 3. Obviamente, los pares pueden tener varios divisores y múltiplos, por lo que los cálculos utilizan el divisor más grande MCD y el múltiplo más pequeño MCM.
El mínimo divisor no tiene sentido, ya que para cualquier número siempre es uno. El mayor múltiplo tampoco tiene sentido, ya que la secuencia de múltiplos llega al infinito.
Encontrar mcd
Existen muchos métodos para encontrar el máximo común divisor, los más famosos son:
- búsqueda secuencial de divisores, selección de los comunes para un par y búsqueda del mayor de ellos;
- descomposición de números en factores indivisibles;
- Algoritmo euclidiano;
- algoritmo binario.
Hoy en Instituciones educacionales Los más populares son los métodos de factorización prima y el algoritmo euclidiano. Este último, a su vez, se utiliza al resolver ecuaciones diofánticas: es necesario buscar MCD para verificar la posibilidad de resolución de la ecuación en números enteros.
Encontrar el CON
El mínimo común múltiplo también se determina mediante búsqueda secuencial o descomposición en factores indivisibles. Además, es fácil encontrar el MCM si ya se ha determinado el máximo divisor. Para los números X e Y, el MCM y el MCD están relacionados mediante la siguiente relación:
LCD(X,Y) = X × Y / MCD(X,Y).
Por ejemplo, si MCM(15,18) = 3, entonces MCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. El ejemplo más obvio del uso de MCM es encontrar el denominador común, que es el mínimo común múltiplo de fracciones dadas.
números coprimos
Si un par de números no tiene divisores comunes, entonces ese par se llama coprimo. El mcd de tales pares siempre es igual a uno y, según la conexión entre divisores y múltiplos, el mcd de pares coprimos es igual a su producto. Por ejemplo, los números 25 y 28 son primos relativos, porque no tienen divisores comunes, y MCM(25, 28) = 700, que corresponde a su producto. Dos números cualesquiera indivisibles siempre serán primos relativos.
Calculadora de divisor común y múltiplo
Con nuestra calculadora puede calcular MCD y MCM para una cantidad arbitraria de números para elegir. Las tareas de cálculo de divisores y múltiplos comunes se encuentran en aritmética de quinto y sexto grado, pero MCD y LCM son conceptos clave en matemáticas y se utilizan en teoría de números, planimetría y álgebra comunicativa.
Ejemplos de la vida real
denominador común de fracciones
El mínimo común múltiplo se utiliza para encontrar el denominador común de varias fracciones. Digamos que en un problema de aritmética necesitas sumar 5 fracciones:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Para sumar fracciones, la expresión debe reducirse a un denominador común, lo que se reduce al problema de encontrar el MCM. Para hacer esto, seleccione 5 números en la calculadora e ingrese los valores de los denominadores en las celdas correspondientes. El programa calculará el MCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Ahora necesitas calcular factores adicionales para cada fracción, que se definen como la relación entre el MCM y el denominador. Entonces los multiplicadores adicionales quedarían así:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Después de esto, multiplicamos todas las fracciones por el factor adicional correspondiente y obtenemos:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Podemos sumar fácilmente dichas fracciones y obtener el resultado 159/360. Reducimos la fracción a 3 y vemos la respuesta final: 53/120.
Resolver ecuaciones diofánticas lineales
Las ecuaciones diofánticas lineales son expresiones de la forma ax + by = d. Si la relación d / mcd(a, b) es un número entero, entonces la ecuación se puede resolver en números enteros. Revisemos un par de ecuaciones para ver si tienen una solución entera. Primero, verifiquemos la ecuación 150x + 8y = 37. Usando una calculadora, encontramos MCD (150,8) = 2. Dividimos 37/2 = 18,5. El número no es un número entero, por lo tanto la ecuación no tiene raíces enteras.
Revisemos la ecuación 1320x + 1760y = 10120. Use una calculadora para encontrar MCD(1320, 1760) = 440. Divida 10120/440 = 23. Como resultado, obtenemos un número entero, por lo tanto, la ecuación diofántica se puede resolver en coeficientes enteros. .
Conclusión
MCD y LCM desempeñan un papel importante en la teoría de números y los conceptos en sí se utilizan ampliamente en una amplia variedad de áreas de las matemáticas. Utilice nuestra calculadora para calcular los mayores divisores y los mínimos múltiplos de cualquier número de números.
El material presentado a continuación es una continuación lógica de la teoría del artículo titulado MCM: mínimo común múltiplo, definición, ejemplos, conexión entre MCM y MCD. Aquí hablaremos de encontrar el mínimo común múltiplo (MCM), y prestaremos especial atención a la resolución de ejemplos. Primero, mostraremos cómo se calcula el MCM de dos números utilizando el MCD de estos números. A continuación, veremos cómo encontrar el mínimo común múltiplo factorizando números en factores primos. Después de esto, nos centraremos en encontrar el MCM de tres y más números, y también preste atención al cálculo del MCM de números negativos.
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Calcular el mínimo común múltiplo (LCM) mediante MCD
Una forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en la relación entre MCM y MCD. La conexión existente entre MCM y MCD nos permite calcular el mínimo común múltiplo de dos enteros positivos a través de un máximo común divisor conocido. La fórmula correspondiente es MCM(a, b)=a b:MCD(a, b) . Veamos ejemplos de cómo encontrar el MCM usando la fórmula dada.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de dos números 126 y 70.
Solución.
En este ejemplo a=126, b=70. Usemos la conexión entre MCM y MCD, expresada por la fórmula MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). Es decir, primero tenemos que encontrar el máximo común divisor de los números 70 y 126, después de lo cual podemos calcular el MCM de estos números usando la fórmula escrita.
Encontremos MCD(126, 70) usando el algoritmo euclidiano: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, por lo tanto, MCD(126, 70)=14.
Ahora encontramos el mínimo común múltiplo requerido: MCD(126, 70)=126·70: MCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Respuesta:
MCM(126, 70)=630.
Ejemplo.
¿A qué es igual MCM(68, 34)?
Solución.
Porque 68 es divisible por 34, entonces MCD(68, 34)=34. Ahora calculamos el mínimo común múltiplo: MCD(68, 34)=68·34: MCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Respuesta:
MCM(68, 34)=68.
Tenga en cuenta que el ejemplo anterior se ajusta a la siguiente regla para encontrar el MCM para enteros positivos a y b: si el número a es divisible por b, entonces el mínimo común múltiplo de estos números es a.
Encontrar el MCM factorizando números en factores primos
Otra forma de encontrar el mínimo común múltiplo se basa en factorizar números en factores primos. Si compones un producto de todos los factores primos de números dados y luego excluyes de este producto todos los factores primos comunes presentes en las descomposiciones de los números dados, entonces el producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números dados. .
La regla establecida para encontrar el MCM se deriva de la igualdad MCM(a, b)=a b:MCD(a, b). De hecho, el producto de los números a y b es igual al producto de todos los factores involucrados en la expansión de los números a y b. A su vez, MCD(a, b) es igual al producto de todos los factores primos presentes simultáneamente en las expansiones de los números a y b (como se describe en la sección sobre cómo encontrar el MCD usando la expansión de números en factores primos).
Pongamos un ejemplo. Sepamos que 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. Compongamos el producto a partir de todos los factores de estas expansiones: 2·3·3·5·5·5·7 . Ahora de este producto excluimos todos los factores presentes tanto en la expansión del número 75 como en la expansión del número 210 (estos factores son 3 y 5), entonces el producto tomará la forma 2·3·5·5·7 . El valor de este producto es igual al mínimo común múltiplo de 75 y 210, es decir, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1.050.
Ejemplo.
Factoriza los números 441 y 700 en factores primos y encuentra el mínimo común múltiplo de estos números.
Solución.
Factoricemos los números 441 y 700 en factores primos:
Obtenemos 441=3·3·7·7 y 700=2·2·5·5·7.
Ahora creemos un producto de todos los factores involucrados en la expansión de estos números: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. Excluyamos de este producto todos los factores que están presentes simultáneamente en ambas expansiones (solo hay uno de esos factores: este es el número 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. De este modo, MCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Respuesta:
NOC(441, 700)= 44 100 .
La regla para encontrar el MCM mediante la factorización de números en factores primos se puede formular de manera un poco diferente. Si los factores faltantes de la expansión del número b se suman a los factores de la expansión del número a, entonces el valor del producto resultante será igual al mínimo común múltiplo de los números a y b..
Por ejemplo, tomemos los mismos números 75 y 210, sus descomposiciones en factores primos son las siguientes: 75=3·5·5 y 210=2·3·5·7. A los factores 3, 5 y 5 del desarrollo del número 75 le sumamos los factores que faltan 2 y 7 del desarrollo del número 210, obtenemos el producto 2·3·5·5·7, cuyo valor es igual a MCM(75, 210).
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de 84 y 648.
Solución.
Primero obtenemos las descomposiciones de los números 84 y 648 en factores primos. Parecen 84=2·2·3·7 y 648=2·2·2·3·3·3·3. A los factores 2, 2, 3 y 7 de la expansión del número 84 le sumamos los factores faltantes 2, 3, 3 y 3 de la expansión del número 648, obtenemos el producto 2 2 2 3 3 3 3 7, que es igual a 4 536 . Por lo tanto, el mínimo común múltiplo deseado de 84 y 648 es 4536.
Respuesta:
MCM(84, 648)=4,536 .
Encontrar el MCM de tres o más números
El mínimo común múltiplo de tres o más números se puede encontrar encontrando secuencialmente el MCM de dos números. Recordemos el teorema correspondiente, que proporciona una forma de encontrar el MCM de tres o más números.
Teorema.
Sean dados los números enteros positivos a 1 , a 2 , …, a k, el mínimo común múltiplo m k de estos números se encuentra calculando secuencialmente m 2 = MCM(a 1 , a 2), m 3 = MCM(m 2 , a 3) , … , m k = MCM(m k−1 , a k) .
Consideremos la aplicación de este teorema usando el ejemplo de encontrar el mínimo común múltiplo de cuatro números.
Ejemplo.
Encuentra el MCM de cuatro números 140, 9, 54 y 250.
Solución.
En este ejemplo, a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.
primero encontramos metro 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Para ello, utilizando el algoritmo euclidiano, determinamos MCD(140, 9), tenemos 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, por lo tanto, MCD(140, 9)=1 , de donde MCD(140, 9)=140 9: MCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Es decir, m 2 = 1 260.
ahora encontramos m 3 = LOC (m 2 , a 3) = LOC (1 260, 54). Calculémoslo mediante MCD(1 260, 54), que también determinamos mediante el algoritmo euclidiano: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Entonces mcd(1,260, 54)=18, de donde mcd(1,260, 54)= 1,260·54:mcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Es decir, m 3 = 3 780.
Todo lo que queda es encontrar m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Para hacer esto, encontramos MCD(3,780, 250) usando el algoritmo euclidiano: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Por lo tanto, MCD(3,780, 250)=10, de donde MCD(3,780, 250)= 3 780 250: MCD(3 780, 250)= 3.780·250:10=94.500. Es decir, m4 = 94.500.
Entonces, el mínimo común múltiplo de los cuatro números originales es 94,500.
Respuesta:
MCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
En muchos casos, es conveniente encontrar el mínimo común múltiplo de tres o más números usando factorizaciones primas de los números dados. En este caso, debes cumplir con la siguiente regla. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto, el cual se compone de la siguiente manera: los factores faltantes del desarrollo del segundo número se suman a todos los factores del desarrollo del primer número, los factores faltantes del desarrollo del el tercer número se suma a los factores resultantes, y así sucesivamente.
Veamos un ejemplo de cómo encontrar el mínimo común múltiplo usando factorización prima.
Ejemplo.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los cinco números 84, 6, 48, 7, 143.
Solución.
Primero, obtenemos descomposiciones de estos números en factores primos: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 es un número primo, coincide con su descomposición en factores primos) y 143=11·13.
Para encontrar el MCM de estos números, a los factores del primer número 84 (son 2, 2, 3 y 7), debes sumar los factores que faltan de la expansión del segundo número 6. La descomposición del número 6 no contiene factores faltantes, ya que tanto el 2 como el 3 ya están presentes en la descomposición del primer número 84. A continuación, a los factores 2, 2, 3 y 7 sumamos los factores que faltan 2 y 2 de la expansión del tercer número 48, obtenemos un conjunto de factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7. No será necesario agregar multiplicadores a este conjunto en el siguiente paso, ya que 7 ya está contenido en él. Finalmente, a los factores 2, 2, 2, 2, 3 y 7 le sumamos los factores que faltan 11 y 13 de la expansión del número 143. Obtenemos el producto 2·2·2·2·3·7·11·13, que es igual a 48.048.