Curso de conferencias sobre disciplina.

"Análisis de matrices"

para estudiantes de 2do año

Facultad de Matemáticas especialidad

"Cibernética económica"

(profesor Dmitruk Maria Alexandrovna)

Capítulo 3. Funciones matriciales.

1. Definición de función.

D.f. Dejar es una función de argumento escalar. Se requiere definir qué se entiende por f(A), es decir necesitamos extender la función f(x) al valor de la matriz del argumento.

La solución a este problema se conoce cuando f(x) es un polinomio: , entonces .

Definición de f(A) en el caso general.

Sea m(x) el polinomio mínimo A y tiene tal descomposición canónica, , son los valores propios de A. Deje que los polinomios g(x) y h(x) tomen los mismos valores.

Sea g(A)=h(A) (1), entonces el polinomio d(x)=g(x)-h(x) es el polinomio anulador de A, ya que d(A)=0, por lo tanto d(x ) es divisible por un polinomio lineal, es decir d(x)=m(x)*q(x) (2).

Entonces, es decir (3) , , .

Estaremos de acuerdo en llamar m números para f(x) tales valores de la función f(x) en el espectro de la matriz A, y el conjunto de estos valores se denotará por .

Si el conjunto f(Sp A) está definido para f(x), entonces la función está definida en el espectro de la matriz A.

De (3) se sigue que los polinomios h(x) y g(x) tienen los mismos valores en el espectro de la matriz A.

Nuestro razonamiento es reversible, es decir de (3) Þ (3) Þ (1). Por lo tanto, si se da la matriz A, entonces el valor del polinomio f(x) está completamente determinado por los valores de este polinomio en el espectro de la matriz A, es decir todos los polinomios g i (x) que toman los mismos valores en el espectro de la matriz tienen los mismos valores de matriz g i (A). Requerimos que la definición del valor de f(A) en el caso general obedezca al mismo principio.

Los valores de la función f(x) en el espectro de la matriz A deben determinar completamente f(A), es decir las funciones que tienen los mismos valores en el espectro deben tener el mismo valor de matriz f(A). Obviamente, para determinar f(A) en el caso general, basta con encontrar un polinomio g(x) que tome los mismos valores en el espectro A que la función f(A)=g(A).

D.f. Si f(x) está definida en el espectro de la matriz A, entonces f(A)=g(A), donde g(A) es un polinomio que toma los mismos valores en el espectro que f(A),

D.f. El valor de la función de la matriz A es el valor del polinomio de esta matriz para .

Entre los polinomios de С[x], que toman los mismos valores en el espectro de la matriz A, como f(x), de grado no superior a (m-1), que toma los mismos valores en el espectro A, como f(x) es el resto de la división cualquier polinomio g(x) que tenga los mismos valores en el espectro de la matriz A que f(x) al polinomio mínimo m(x)=g(x )=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

Este polinomio r(x) se denomina polinomio de interpolación de Lagrange-Sylvester para la función f(x) en el espectro de la matriz A.

Comentario. Si el polinomio mínimo m(x) de la matriz A no tiene raíces múltiples, es decir , luego el valor de la función en el espectro .

Encuentre r(x) para f(x) arbitraria si la matriz

. Construyamos f(H 1). Encuentre el polinomio mínimo H 1 - el último factor invariante:

, re n-1 = x 2 ; dn-1 =1;

m x =f n (x)=d n (x)/d n-1 (x)=x n Þ 0 – raíz de n veces m(x), es decir Valores propios de n veces de H 1 .

R(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0) Þ .

Three of a kind es la solución al juego<=>, cuando es una solución al juego, donde a es cualquier número real, k>0 CAPÍTULO 2. Juegos de suma cero en estrategias puras 2.1 Cálculo de estrategias óptimas en el ejemplo de resolución de problemas Usando el teorema minimax, podemos afirmar que cada juego antagónico tiene estrategias óptimas. Teorema: sea A un juego matricial y las filas de lo dado...

Un cuadro que no concuerde con él es candidato a la exclusión del ámbito de la corporación. 5. Desarrollar una estrategia corporativa El análisis anterior ha preparado el escenario para desarrollar pasos estratégicos para mejorar el desempeño de una empresa diversificada. La conclusión principal sobre qué hacer depende de las conclusiones sobre todo el conjunto de actividades en la economía...

Permite determinar la secuencia óptima para el estudio de las materias incluidas en el plan de estudios. Cada materia del plan de estudios tiene su propio número.

Que el plan de estudios incluya 19 materias. Construimos una matriz cuadrada de base, que es igual al número de asignaturas del plan de estudios (19).

El método de evaluación experta por parte de profesores experimentados determina las relaciones más significativas entre las materias académicas. Las columnas de la matriz se consideran consumidores y las filas se consideran portadoras de información. Por ejemplo, para la columna 10, las líneas 7, 9, 11 son importantes portadores de información, es decir, conocimiento sobre temas con estos números. Estas filas en la columna se reflejan en unos (1), la ausencia de una conexión de efectivo, en ceros (0). Como resultado del análisis se formó una matriz de orden 19. El análisis de la matriz consiste en la eliminación secuencial de columnas y filas. Las columnas llenas de ceros no reciben información de otros sujetos, es decir, su estudio no se basa en una relación lógica con otros sujetos, aunque estos, a su vez, pueden ser portadores de información primaria. Esto significa que las materias que tienen números en estas columnas se pueden estudiar primero. Las líneas llenas de ceros no se consideran portadoras de información y no serán la base para estudiar otras materias, lo que significa que se pueden estudiar en último lugar.

Primero, se tachan las columnas 7,8, 9,18 y sus filas correspondientes. Obtenemos la primera matriz reducida del decimoquinto orden, que a su vez tiene cero columnas 4, 16, 17. Al deshacernos de ellas, obtenemos la segunda matriz reducida. Realizadas así todas las reducciones posteriores, obtenemos una matriz en la que no hay columnas sin unos, pero sí filas cero, que también están tachadas junto con sus correspondientes columnas. Habiendo realizado sucesivamente acciones similares, llegamos a una matriz de esta forma, como se muestra en el diagrama.

La matriz formada corresponde al gráfico que se muestra en la Figura 3.2. Este gráfico contiene tres contornos dobles cerrados (13-15), (5-6), (11-10). Con alguna aproximación, podemos suponer que las asignaturas que ingresaron a estos circuitos deben estudiarse en paralelo, y primero se cursan las asignaturas con los números 13 y 15, y solo después las asignaturas 5, 6, 10, 11.

Como resultado del análisis matricial realizado, es posible crear un modelo esquemático (bloque) del estudio de las materias en el plan de estudios:

El diagrama muestra un sistema combinado para conectar temas educativos. Las celdas contienen el número de sujetos con estudio paralelo. Un sistema de conexión educado debe entenderse no como una secuencia obligatoria de conectar un grupo de sujetos solo después del final del anterior, sino solo como una necesidad para avanzar en su estudio. Solo indica una tendencia general en la conexión de los objetos.

Programa de Análisis Matricial

Le permite evaluar la secuencia lógica de la ubicación material educativo dentro del tema y mejorarlo en consecuencia.

Deje que el tema incluya 6 temas. Matriz A! compilados de acuerdo al plan temático de esta materia académica. Los números de temas que al compilar la matriz se consideran en cuanto a su uso en el estudio de otros temas se ordenan verticalmente, los números ubicados en horizontal corresponden a los temas considerados en cuanto a su uso de información de otros temas.

Para identificar bucles cerrados, cuya presencia indica la imposibilidad de establecer el paso de la secuencia de paso de temas individuales, realizamos transformaciones (acortamiento) de la matriz Au. Eliminamos la fila 5, que consta de ceros, y la columna que le corresponde, así como la columna cero 3 con la fila correspondiente. Se forma la matriz A2.

A la matriz A2 le faltan filas y columnas que solo contienen ceros. Para establecer contornos cerrados, presentamos el gráfico correspondiente a la matriz A2 (ver Fig. 3.3, a).

Del estudio del gráfico, se deduce que la presencia de contornos cerrados se debe a la relación entre el contenido del material educativo de los temas 1 y 6, así como los temas 4 y 6. El motivo de la relación señalada es el fracaso. redistribución del contenido del material educativo entre estos temas. Después de revisar el contenido de estos temas, es posible eliminar los contornos cerrados existentes del gráfico. Así, se forma un nuevo gráfico (Fig. 3.3, b) y la matriz correspondiente A3.

Reduciendo esta matriz se obtiene una nueva matriz A4.

Después de eliminar los arcos (6, 4), (6, 1) y (1, 6), obtenemos una nueva matriz inicial B1, cuya gráfica no tiene contornos cerrados.

Ahora que los bucles están rotos, comencemos a ajustar el orden de los temas. Para hacer esto, eliminaremos secuencialmente columnas que contengan ceros y filas del mismo nombre con ellos. Los temas de estas columnas no utilizan información de otros temas y, por lo tanto, se pueden explorar primero.

¡En la matriz! las columnas 1 y 3 son nulas, por lo que el tema 1 puede ocupar su lugar en el plan temático. Al examinar las razones para poner el Tema 3 antes que el Tema 2, resulta que parte de la información del Tema 2 tiene lugar en el Tema 3. Sin embargo, es más lógico y más útil dejarlos en el Tema 3.

Después de reorganizar el material educativo, en lugar del arco (3, 2) obtenemos el arco (2, 3); elimine la columna 1: obtenemos la matriz B2.

Asignamos el anterior número 2 al tema 2. Eliminamos la columna 2 fila 2. Obtenemos la matriz B3.

Los temas 3 y 4 se mantienen con los mismos números. Eliminar las columnas 3, 4 con las filas correspondientes; obtenemos la matriz B4

Al tema 6 se le asigna el número 5 y al tema 5 el número 6.

Componemos la matriz C1 de acuerdo con la nueva distribución de temas.

Realicemos transformaciones de la matriz, eliminando secuencialmente cero filas y columnas con el mismo nombre. Movemos los temas correspondientes a ellos al final de la fila, porque la información de estos temas no se utiliza en el estudio de otros temas. Al tema 5 se le asigna el número 6.

Eliminar fila y columna 6. Asignar tema 6 número 5.

Eliminamos las líneas 4 y 3 y los temas que las responden, asignamos los números anteriores 4 y 3.

Para los temas 1 y 2, se mantienen los mismos números en el plan temático. Como resultado del procesamiento matricial se obtiene la siguiente ordenación final de temas en la estructura de la asignatura:

De la secuencia anterior se puede ver que después de que la matriz procesó las estructuras del plan temático, se intercambiaron los temas 5 y 6. Además, se hizo necesario mover el material educativo sobre el tema 5 al tema 1, así como del tema 2 al tema 3.

Como se puede ver en el ejemplo anterior, el análisis matricial de la estructura del material educativo permite, en cierta medida, agilizarlo y mejorar la disposición mutua de los temas del plan de estudios.

Debe tenerse en cuenta que el análisis matricial de currículos y programas requiere que los ejecutantes tengan mucha experiencia práctica y un conocimiento profundo del contenido de la formación. En primer lugar, esto se refiere a la compilación de la matriz inicial, más precisamente, a la definición de vínculos entre materias académicas o temas educativos dentro de la materia. Hay muchas conexiones entre elementos tan grandes como los temas del programa, pero los que realizan el análisis matricial deben ser capaces de "leer entre líneas" (encontrar conexiones ocultas pero realmente existentes), determinar la importancia varias conexiones en relación con los objetivos del análisis matricial y, a veces, críticamente sobre el contenido de los temas de las materias educativas.

Curso de conferencias sobre disciplina.

"Análisis de matrices"

para estudiantes de 2do año

Facultad de Matemáticas especialidad

"Cibernética económica"

(profesor Dmitruk Maria Aleksandrovna)

1. Definición de función.

D.f. Dejar

es una función de argumento escalar. Se requiere definir qué se entiende por f(A), es decir necesitamos extender la función f(x) al valor de la matriz del argumento.

La solución a este problema se conoce cuando f(x) es un polinomio:

, después .

Definición de f(A) en el caso general.

Sea m(x) el polinomio mínimo A y tenga la descomposición canónica

, , son los valores propios de A. Deje que los polinomios g(x) y h(x) tomen los mismos valores.

Sea g(A)=h(A) (1), entonces el polinomio d(x)=g(x)-h(x) es el polinomio anulador de A, ya que d(A)=0, por lo tanto d(x ) es divisible por un polinomio lineal, es decir d(x)=m(x)*q(x) (2).

, es decir. (3), , , .

Pongámonos de acuerdo en m números para f(x) tales

llame a los valores de la función f(x) en el espectro de la matriz A, y el conjunto de estos valores se denotará por .

Si el conjunto f(Sp A) está definido para f(x), entonces la función está definida en el espectro de la matriz A.

De (3) se sigue que los polinomios h(x) y g(x) tienen los mismos valores en el espectro de la matriz A.

Nuestro razonamiento es reversible, es decir de (3) Þ (3) Þ (1). Por lo tanto, si se da la matriz A, entonces el valor del polinomio f(x) está completamente determinado por los valores de este polinomio en el espectro de la matriz A, es decir todos los polinomios g i (x) que toman los mismos valores en el espectro de la matriz tienen los mismos valores de matriz g i (A). Requerimos que la definición del valor de f(A) en el caso general obedezca al mismo principio.

Los valores de la función f(x) en el espectro de la matriz A deben determinar completamente f(A), es decir las funciones que tienen los mismos valores en el espectro deben tener el mismo valor de matriz f(A). Obviamente, para determinar f(A) en el caso general, basta con encontrar un polinomio g(x) que tome los mismos valores en el espectro A que la función f(A)=g(A).

D.f. Si f(x) está definida en el espectro de la matriz A, entonces f(A)=g(A), donde g(A) es un polinomio que toma los mismos valores en el espectro que f(A),

D.f.El valor de la función de la matriz A llamamos al valor del polinomio en esta matriz para

.

Entre los polinomios de С[x], que toman los mismos valores en el espectro de la matriz A, como f(x), de grado no superior a (m-1), que toma los mismos valores en el espectro A, como f(x) es el resto de la división cualquier polinomio g(x) que tenga los mismos valores en el espectro de la matriz A que f(x) al polinomio mínimo m(x)=g(x )=m(x)*g(x)+r(x) ​​.

Este polinomio r(x) se denomina polinomio de interpolación de Lagrange-Sylvester para la función f(x) en el espectro de la matriz A.

Comentario. Si el polinomio mínimo m(x) de la matriz A no tiene raíces múltiples, es decir

, luego el valor de la función en el espectro .

Ejemplo:

Encuentre r(x) para f(x) arbitraria si la matriz

. Construyamos f(H 1). Encuentre el polinomio mínimo H 1 - el último factor invariante:

, re n-1 = x 2 ; dn-1 =1;

m x \u003d f n (x) \u003d d n (x) / d n-1 (x) \u003d x nÞ 0 – raíz de n veces de m(x), es decir Valores propios de n veces de H 1 .

, r(0)=f(0), r’(0)=f’(0),…,r (n-1) (0)=f (n-1) (0)Þ .

2. Propiedades de funciones a partir de matrices.

Propiedad #1. Si la matriz

tiene valores propios (puede haber múltiplos entre ellos), y , entonces los valores propios de la matriz f(A) son los valores propios del polinomio f(x): .

Prueba:

Sea el polinomio característico de la matriz A de la forma:

, , . Contemos. Pasemos de la igualdad a los determinantes:

Hagamos un cambio en la igualdad:

(*)

La igualdad (*) es válida para cualquier conjunto f(x), por lo que reemplazamos el polinomio f(x) por

, obtenemos: .

A la izquierda hemos obtenido el polinomio característico de la matriz f(A), descompuesto a la derecha en factores lineales, lo que implica que

son los valores propios de la matriz f(A).

CHTD.

Propiedad #2. Deje que la matriz

y son los valores propios de la matriz A, f(x) es una función arbitraria definida en el espectro de la matriz A, entonces los valores propios de la matriz f(A) son .

Prueba:

Porque función f(x) está definida sobre el espectro de la matriz A, entonces existe un polinomio de interpolación de la matriz r(x) tal que

, y entonces f(A)=r(A), y la matriz r(A) tendrá valores propios según la propiedad N° 1 que serán respectivamente iguales a .

método de estudio científico de las propiedades de los objetos basado en el uso de las reglas de la teoría de matrices, que determinan el valor de los elementos del modelo, reflejando la relación de los objetos económicos. Se utiliza en los casos en que el principal objeto de estudio es la relación de equilibrio de costos y resultados de producción y actividades económicas y los estándares de costos y productos.

• - pseudopuente, puente matriz

  Biología molecular y genética. Diccionario

• - Inglés. análisis matricial; Alemán Análisis matricial. En sociología: un método para estudiar las propiedades de lo social. objetos basados ​​en el uso de las reglas de la teoría de matrices...

  Enciclopedia de Sociología

• - en la industria de la impresión - una prensa para grabar matrices estereotipadas o no metálicas. los estereotipos suelen ser hidráulicos...

  Gran diccionario politécnico enciclopédico

• - Un dispositivo utilizado para prensar matrices plásticas de cartón o vinilo, así como estereotipos plásticos ...

  Breve diccionario explicativo de poligrafía

• - Ver: impresora matricial...

  Glosario de términos comerciales

• - un método de estudio científico de las propiedades de los objetos basado en el uso de las reglas de la teoría de las matrices, que determinan el valor de los elementos del modelo, reflejando la relación de los objetos económicos...

  Gran Diccionario Económico

• - en economía, un método de estudio científico de las propiedades de los objetos basado en el uso de las reglas de la teoría de las matrices, que determinan el valor de los elementos del modelo, reflejando la relación de los objetos económicos...

  Gran enciclopedia soviética

• - un método para estudiar las relaciones entre los objetos económicos usando su modelado matricial...

  Largo diccionario enciclopédico

• - ...

  Diccionario de ortografía del idioma ruso

• - MATRI-A, -s, f. ...

  Diccionario explicativo de Ozhegov

• - MATRIZ, matriz, matriz. adj. a matriz. Matriz de cartón...

  Diccionario explicativo de Ushakov

• - matriz I adj. rel. con sustantivo matriz I asociada con ella II adj. 1. proporción con sustantivo matriz II, asociada a ella 2. Proporciona impresión utilizando una matriz. III adj. relación...

  Diccionario explicativo de Efremova

• - m "...

  Diccionario ortográfico ruso

• - ...

  Formas de palabras

• - adj., número de sinónimos: 1 matriz-vector ...

  Diccionario de sinónimos

• - adj., número de sinónimos: 1 cuatro...

  Diccionario de sinónimos

"MATRIZ DE ANÁLISIS" en libros

T. N. Panchenko. Strawson y Wittgenstein. El análisis como revelador de la estructura formal del lenguaje informal y el análisis como terapia

Del libro ideas filosóficas Luis Wittgenstein autor Gryaznov Alejandro Feodosievich

T. N. Panchenko. Strawson y Wittgenstein. El análisis como revelador de la estructura formal del lenguaje informal y el análisis como terapia *** Ludwig Wittgenstein y Peter Strawson definen de alguna manera los límites de la filosofía del análisis, su principio y su fin. uno de ellos pertenece a

§ 34. Desarrollo fundamental del método fenomenológico. El análisis trascendental como análisis eidético

Del libro Reflexiones cartesianas autor Husserl Edmundo

§ 34. Desarrollo fundamental del método fenomenológico. El análisis trascendental como análisis eidético

2.6. Biosíntesis de proteínas y ácidos nucleicos. Naturaleza matricial de las reacciones biosintéticas. Información genética en una célula. Genes, código genético y sus propiedades

Del libro Biología [ referencia completa para preparar el examen] autor Lerner Georgy Isaakovich

2.6. Biosíntesis de proteínas y ácidos nucleicos. Naturaleza matricial de las reacciones biosintéticas. Información genética en una célula. Genes, código genético y sus propiedades Términos y conceptos probados en trabajo de examen: anticodón, biosíntesis, gen, información genética,

Análisis matricial

Del libro Grande Enciclopedia soviética(MA) autor TSB

2.4. ANÁLISIS DE REQUISITOS DEL SISTEMA (ANÁLISIS DEL SISTEMA) Y FORMULACIÓN DE METAS

Del libro Tecnologías de programación el autor Kamaev V A

2.4. ANÁLISIS DE REQUERIMIENTOS AL SISTEMA (ANÁLISIS DEL SISTEMA) Y FORMULACIÓN DE METAS La tarea de optimizar el desarrollo del programa es lograr metas con el menor gasto posible de recursos.

Medición matricial

Del libro Fotografía digital de la A a la Z autor Gazarov Artur Yurievich

Medición matricial La medición matricial (Pattern Evaluative, E) también se denomina multizona, multizona, multisegmento, evaluativa. En el modo automático, la cámara establece la medición matricial estándar que se utiliza con más frecuencia que otras. Esta es la medida más inteligente

Pregunta 47 Fundamento de hecho y de derecho. Análisis de evidencia.

Del libro El examen de abogado del autor

Pregunta 47 real y base legal. Análisis de evidencia. Provisión honesta, razonable y concienzuda de asistencia legal en cualquier forma, ya sea consultoría, redacción varios documentos, representación o defensa dentro

9. La ciencia al servicio de la toxicología. Análisis espectral. Cristales y puntos de fusión. Análisis estructural por rayos X. cromatografía

Del libro Cien años de ciencia forense autor Thorvald Jürgen

9. La ciencia al servicio de la toxicología. Análisis espectral. Cristales y puntos de fusión. Análisis estructural por rayos X. Cromatografía Mientras tanto, los hechos ocurridos en el juicio contra Buchanan se dieron a conocer en todo el mundo. Con toda falta de respeto por la ciencia americana de aquellos años, estos

12.9. Método de desarrollo de solución matricial

Del libro solución del sistema problemas autor Lapygin Yuri Nikoláyevich

12.9. Método matricial de desarrollo de decisiones La toma de decisiones basada en el método matricial se reduce a hacer una elección, teniendo en cuenta los intereses de todas las partes interesadas. Esquemáticamente, el proceso de decisión en este caso se ve como se muestra en la Fig. 12.7. Como vemos, hay

4. Investigación y análisis de mercado (análisis del entorno empresarial de la organización)

Del libro Business Planning: Lecture Notes el autor Beketova Olga

4. Investigación y análisis de mercado (análisis del entorno de negocios de la organización) La investigación y análisis del mercado de ventas es una de las etapas más importantes en la elaboración de planes de negocios, los cuales deben responder preguntas sobre quién, por qué y en qué. cantidades compra o comprará productos

5.1. Análisis del entorno externo e interno de la organización, análisis FODA

autor Lapygin Yuri Nikoláyevich

5.1. Análisis del entorno externo e interno de la organización, análisis FODA

8.11. Método matricial RUR

Del libro Decisiones gerenciales autor Lapygin Yuri Nikoláyevich

8.11. Método matricial RSD La toma de decisiones basada en el método matricial se reduce a hacer una elección, teniendo en cuenta los intereses de todas las partes interesadas. Esquemáticamente, el proceso RUR en este caso se ve como se muestra en la Fig. 8.13. Arroz. 8.13. El modelo RUR por el método matricial

4. Análisis de las fortalezas y debilidades del proyecto, sus perspectivas y amenazas (análisis FODA)

autor Filonenko Igor

4. Análisis de las fortalezas y debilidades del proyecto, sus perspectivas y amenazas (análisis DAFO) Al evaluar la viabilidad de lanzar un nuevo proyecto, una combinación de factores juega un papel importante, y no siempre el resultado financiero es de suma importancia. Por ejemplo, para una empresa de exposiciones

5. Análisis político, económico, social y tecnológico (análisis PEST)

Del libro Gestión de exposiciones: estrategias de gestión y comunicaciones de marketing autor Filonenko Igor

5. Análisis Político, Económico, Social y Tecnológico (Análisis PEST)

11.3. Método de desarrollo de estrategia matricial

Del libro Dirección Estratégica: tutorial autor Lapygin Yuri Nikoláyevich

11.3. El método matricial para el desarrollo de estrategias Desarrollo de la visión de una organización Los diversos estados del entorno externo e interno de las organizaciones explican la diversidad de las propias organizaciones y su estado real La naturaleza multifactorial de los parámetros que determinan la posición de cada

El segundo enfoque para el análisis de las redes de Petri se basa en la representación matricial de las redes de Petri. Una alternativa a la definición de la red de Petri en la forma (P, T, I, O) es la definición de dos matrices D - y D + , que representan las funciones de entrada y salida. Cada matriz tiene m filas (una por transición) y n columnas (una por posición). Defina D - = #(p i , I(t j)), y D + = #(p i , O(t j)). D - define entradas de transición, D + - salidas.

La forma matricial de la definición de la red de Petri (P, T, D - , D +) es equivalente a la forma estándar utilizada por nosotros, pero permite definiciones en términos de vectores y matrices. Sea e[j] un vector m que contiene ceros en todas partes más allá j-ésima excepción componentes iguales a uno. La transición t j está representada por un vector m-fila e[j].

Ahora la transición t j en la marca µ está permitida si µ > e[j] D - , y el resultado de ejecutar la transición t j en la marca µ se escribe como:

δ(t j) = µ - e[j] D - + e[j] D + = µ + e[j] D

donde D = D + - D - es una matriz de cambio compuesta.

Entonces para la secuencia de disparo de transición σ = t j ​​​​1 , t j 2 , … , t jk tenemos:

δ(σ) = µ + mi re + mi re + … + mi re =

= µ + (e + e + … + e)D = µ + f(σ) D

El vector f(σ) = e + e + ... + e se denomina vector de lanzamiento de la secuencia σ = t j ​​​​1 , t j 2 , … , t jk , f(σ) j p es el número de corridas de la transición t p en la secuencia t j 1 , t j 2 , … , t jk . El vector disparador f(σ) es por lo tanto un vector con componentes enteros no negativos. (El vector f(σ) es el mapeo de Parikh de la secuencia σ = t j ​​​​1 , t j 2 , … , t jk).

Para mostrar la utilidad de tal enfoque matricial para las redes de Petri, considere, por ejemplo, el problema de conservación: ¿se conserva una determinada red de Petri etiquetada? Para mostrar la conservación, es necesario encontrar un vector de ponderación (distinto de cero) para el cual la suma ponderada de todas las marcas alcanzables sea constante.

Sea w = (w 1 ,w 2 , … , w n) un vector columna. Entonces, si µ es la marca inicial y µ" es una marca alcanzable arbitrariamente, es decir, µ" pertenece a R(C,µ), es necesario que µ w = µ" w. Ahora, como µ" es alcanzable, hay una secuencia de corridas transiciones σ = t j ​​​​1 , t j 2 , … , t jk , que lleva la red de µ a µ". Por lo tanto

µ" = µ + f(σ) D

Como consecuencia,

µw = µ"w = (µ + f(σ) D) w = µw + f(σ) D w, entonces f(σ) D w = 0.

Dado que esto debe ser cierto para todo f(σ), tenemos D w = 0.

Por lo tanto, una red de Petri se conserva si y solo si existe un vector positivo w tal que D w = 0.

Esto proporciona un algoritmo de verificación de persistencia simple y también permite obtener un vector de ponderación w.

La teoría matricial desarrollada de las redes de Petri es una herramienta para resolver el problema de la alcanzabilidad. Suponga que la marca µ" es accesible desde la marca µ. Entonces hay una secuencia (posiblemente vacía) de inicios de transición σ que conduce de µ a µ". Esto significa que f(σ) es una solución entera no negativa de la siguiente ecuación matricial para x:

µ" = µ + xD

Por lo tanto, si se puede llegar a µ" desde µ, entonces la ecuación dada tiene una solución en números enteros no negativos; si la ecuación dada no tiene solución, entonces no se puede llegar a µ" desde µ.

Considere, por ejemplo, la red de Petri etiquetada que se muestra en la Figura 1:

Arroz. 1. Red de Petri que ilustra un método de análisis basado en ecuaciones matriciales

Las matrices D - y D + tienen la forma:

t 1 t 2 t 3 t 1 t 2 t 3

pag 1 1 0 0 pag 1 1 0 0

re - = pag 2 1 0 0 re + = pag 2 0 2 0

pag 3 1 0 1 pag 3 0 1 0

pag 4 0 1 0 pag 4 0 0 1

y matriz D:

En el marcado inicial µ = (1, 0, 1, 0) se permite la transición t 3 y conduce al marcado µ" = (1, 0, 0, 1).

µ" = µ + e D = (1, 0, 1, 0) + (0, 0, 1) D =

= (1, 0, 1, 0) + (0, 0, -1, 1) = (1, 0, 0, 1).

La secuencia σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 1 está representada por el vector de lanzamiento f(σ) = (1, 2, 2) y está etiquetada como µ":

µ" = (1, 0, 1, 0) + (1, 2, 2) D = (1, 0, 1, 0) + (0, 3, -1, 0) = (1, 3, 0, 0)

Para determinar si la etiqueta (1, 8, 0, 1) es accesible desde la etiqueta (1,0, 1, 0), tenemos la ecuación:

(1, 8, 0, 1) = (1, 0, 1.0) + xD

que tiene solucion x =(0, 4, 5). Esto corresponde a la secuencia σ = t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3 , t 2 , t 3

(1, 7,0, 1)=(1, 0, 1, 0) + xD

no tiene solucion

El enfoque matricial para el análisis de las redes de Petri es muy prometedor, pero también tiene algunas dificultades. En primer lugar, observamos que la matriz D por sí mismo no refleja completamente la estructura de la red de Petri. Las transiciones que tienen entradas y salidas desde la misma posición (bucles) están representadas por los elementos de matriz correspondientes D+ y D - , pero luego se cancelan entre sí en la matriz re = re + - re - . Esto se refleja en el ejemplo anterior por la posición p 4 , y la transición t3.

Otro problema es la falta de información de secuencia en el vector de lanzamiento. Considere la red de Petri en la fig. 2. Supongamos que queremos determinar si la marca (0, 0, 0, 0, 1) es accesible desde (1, 0, 0, 0, 0). Entonces tenemos la ecuación

(1, 0, 0, 0, 0)=(0, 0, 0, 0, 1) + xD

Arroz. 2. Otra red de Petri para ilustrar el análisis matricial

Esta ecuación no tiene solución única, sino que se reduce a un conjunto de soluciones (a\f(o) =(1, x2, x 6 - 1, 2x 6, x mi - 1, x 6)). Define la relación entre los activadores de transición. si ponemos 6x= 1 y x2= 1, luego /(o) = (1, 1, 0, 2, 0, 1), pero este vector de activación corresponde tanto a la secuencia 44444 como a la secuencia n0 44444. El lanzamiento es desconocido.

Otra dificultad es que resolver la ecuación es necesario para lograrlo, pero no suficiente. Considere la red de Petri simple que se muestra en la Fig. 3. Si queremos determinar si (0, 0, 0, 1) es accesible desde (1, 0, 0, 0), necesitamos resolver la ecuación

Arroz. 3. Red de Petri que muestra que la solución de la ecuación matricial es una condición necesaria pero no suficiente para resolver el problema de accesibilidad

Esta ecuación tiene solución f(a) = (1, 1) correspondiente a dos sucesiones: teta 2 y /3/t. Pero ninguna de estas dos secuencias de transición es posible, ya que en (1,0, 0, 0) ni eso ninguno de los 4 está permitido. Por lo tanto, resolver la ecuación no es suficiente para probar la accesibilidad.

Preguntas y tareas de control

1. Construya un gráfico de red de Petri para la siguiente red de Petri:

P=(p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 ), T=(t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 ,t 5 ),

Yo(t 1)=(), O(t 1)=(p 1 ),

I(t 2)=(p 1 ), O(t 2)=(p 2 ),

I(t 3)=(p 2 ,p 2 ,p 4 ), O(t 3)=(p 1 ,p 3 ),

I(t 4)=(), O(t 4)=(p 3 ),

I(t 5)=(p 3 ), O(t 5)=(p 4 ,p 4 ).

2. Construya un gráfico de red de Petri para la siguiente red de Petri:

P=(p 1 ,p 2 ,p 3 ,p 4 ), T=(t 1 ,t 2 ,t 3 ,t 4 ),

Yo(t 1)=(), O(t 1)=(p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 2 ),

I(t 2)=(p 2 ), O(t 2)=( p 1 ,p 1 p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 3 ),

I(t 3)=(p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ,p 1 ), O(t 3)=(p 2 ,p 2 p 2 ,p 2 p 4 ,p 4 ),

I(t 4)=(p 2 ,p 3 p 4 ,p 4 ), O(t 4)=(p 3 ).

3. Para la red de Petri del ejercicio 1 para marcar m=(5,4,0,0) indique las transiciones permitidas.

4. Para la red de Petri del ejercicio 2, para marcar m=(7,12,2,1), indicar las transiciones permitidas.

5. Demuestre que ÈR(C,m)=N n , donde m−N n .

6. Demuestre que si m‘í R(C,m), entonces R(C,m‘)í R(C,m).

7. Demuestre que m‘ - R(C,m) si y sólo si R(C,m') - R(C,m).

8. Construya el conjunto de accesibilidad para la red de Petri del Ejercicio 1.

9. Construya el conjunto alcanzable para la red de Petri del Ejercicio 2.

10. Las redes de Petri con sus fichas y reglas de lanzamiento recuerdan en muchos aspectos a los juegos que tienen un campo de juego: damas, backgammon, él, go, etc. campo (se utiliza una red de Petri como campo) y un juego de fichas. Las fichas se distribuyen por las posiciones de la red de Petri, y los jugadores se turnan para elegir las transiciones permitidas y lanzarlas. Definir las reglas del juego, previendo lo siguiente:

a ¿Cómo se determina la posición inicial de las fichas? (Por ejemplo, cada jugador comienza el juego con una ficha en la casa, o cada jugador recibe n fichas en todo el campo a voluntad, etc.).

b ¿Cuál es el propósito del juego? (Capture las fichas de su oponente; obtenga la mayor cantidad de fichas; deshágase de sus fichas lo antes posible, etc.).

c ¿Es necesario colorear las piezas para diferentes jugadores? (Determine las reglas para desencadenar transiciones en consecuencia).

d ¿No deberíamos asignar puntos a diferentes transiciones? (Entonces la puntuación del jugador está determinada por la suma de las transiciones que disparó).

Basado en esto, describe el juego, da un ejemplo del juego.

11. Desarrolle un programa que implemente el juego del ejercicio 10, donde su oponente es una computadora para una red de Petri dada.

12. Construya un sistema de simulación para realizar una red de Petri. El usuario del sistema de simulación establece el inicio de las transiciones permitidas.

13. Los reyes magos se sientan en una gran mesa redonda, que tiene muchos platos chinos. Entre los vecinos se encuentra un palillo. Sin embargo, se necesitan dos palillos para comer comida china, por lo que cada sabio debe tomar los palillos de la derecha y la izquierda. El problema es que si todos los sabios toman los palos de la izquierda y luego esperan los palos de lado derecho, esperarán para siempre y morirán de hambre (estado de callejón sin salida). Es necesario construir una red de Petri que establezca la estrategia para celebrar una cena y no tenga callejones sin salida.

14. Construya una red de Petri que represente un autómata finito que calcule el complemento a dos de un número binario.

15. Construya una red de Petri que represente una máquina de estados finitos para determinar la paridad del número binario de entrada.

16. Construya una red de Petri que represente una máquina de estados finitos que defina un disparador con una entrada de conteo.

17. Construya una red de Petri que represente una máquina de estado que defina un disparador con entradas separadas.

18. Desarrollar un algoritmo para modelar diagramas de flujo con una red de Petri.

19.PERT-chart es una representación gráfica de las relaciones entre varias etapas que conforman el proyecto. El proyecto es una colección. un número grande trabajos, donde los trabajos deben completarse antes de que otros puedan comenzar. Además, cada trabajo requiere una cierta cantidad de tiempo para completarse. Las obras se representan gráficamente mediante vértices y se utilizan arcos para mostrar las relaciones de causa y efecto entre ellas. El diagrama PETR es un gráfico dirigido con bordes ponderados. La tarea es determinar el tiempo mínimo para completar el proyecto. Desarrollar un algoritmo para modelar diagramas PERT utilizando redes de Petri.

20. Desarrollar un modelo basado en redes de Petri para simular reacciones químicas.

21. Considere construir no un árbol, sino un gráfico de accesibilidad. Si un vértice x genera un vértice subsiguiente z con m[z]=m[y] para algún vértice y que no sea límite, se introduce un arco debidamente etiquetado de x a y. Describir el algoritmo para construir un gráfico de accesibilidad.

22. Muestre que el algoritmo de construcción del gráfico de accesibilidad converge y examine sus propiedades comparándolo con el algoritmo de construcción del árbol de accesibilidad.

23. Un árbol de accesibilidad no se puede utilizar para resolver un problema de accesibilidad, porque se pierde información en relación con la introducción del concepto del símbolo w. Se introduce cuando llegamos a la marca m‘ y en el camino de la raíz a m‘ hay una marca m tal que m‘>m. En este caso, se pueden obtener todas las marcas de la forma m+n(m‘-m). Explore la posibilidad de usar la expresión a+bn i en lugar de w para representar los valores de los componentes. Si puede definir un árbol de accesibilidad en el que todos los vectores de etiquetas sean expresiones, la solución al problema de accesibilidad se determina simplemente resolviendo el sistema de ecuaciones.

24. Generalice la definición de conservación permitiendo pesos negativos ¿Cuál sería una interpretación razonable de un peso negativo? ¿Es solucionable el problema de determinar la persistencia de una red de Petri si se permiten pesos negativos?

25. Desarrolle un algoritmo para determinar la delimitación de una red de Petri utilizando un enfoque matricial para el análisis.

26.Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de igualdad de dos redes de Petri. La red de Petri C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) etiquetada como m 1 es igual a la red de Petri C 2 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) etiquetada como m 2 si R(C 1 ,m 1)= R(C 2 ,m 2).

27.Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de un subconjunto de dos redes de Petri. La red de Petri C 1 =(P 2 ,T 2 ,I 2 ,O 2) etiquetada como m 2 es un subconjunto de la red de Petri C 1 =(P 1 ,T 1 ,I 1 ,O 1) etiquetada como m 1 si R( C 1 ,m 1)Í R(C 2 ,m 2).

28.Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de accesibilidad. En una red de Petri C=(P,T,I,O) con marca m, la marca m‘ es accesible desde m si m‘ ОR(C,m).

29. Desarrolle un algoritmo para el problema de accesibilidad del subetiquetado. Dado un subconjunto P’ Í P y una marca m‘, ¿existe m‘’ ОR(C,m) tal que m‘’(p i)=m‘(p i) para todo p i ОP’?.

30. Desarrolle un algoritmo para el problema de accesibilidad cero. ¿M‘íR(C,m), donde m‘(p i)=0, se cumple para todo p i íP?

31.Desarrolle un algoritmo para la tarea de llegar a cero en una posición. Para una posición dada p i ОP, ¿m‘ОR(C,m) existe con m‘(p i)=0?

32.Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de la actividad de la red de Petri. ¿Todas las transiciones t j ОT están activas?

33.Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de la actividad de una transición. ¿Está activa esta transición t j ОT?

34. Una red de Petri se dice reversible si para cada transición t j ОT hay una transición t k ОT tal que

#(p i ,I(t j))=#(p i ,O(t k)), #(p i ,O(t j))=#(p i ,I(t k)),

aquellos. para cada transición hay otra transición con entradas y salidas inversas. Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de accesibilidad para redes de Petri reversibles.

35. Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de igualdad para redes de Petri reversibles.

36. La tarea de los fumadores. Cada uno de los tres fumadores continuamente hace un cigarrillo y lo fuma. Para hacer un cigarrillo se necesita tabaco, papel y fósforos. Uno de los fumadores siempre tiene papel, otro siempre tiene fósforos, el tercero siempre tiene tabaco. El agente tiene un suministro interminable de papel, fósforos y tabaco. El agente pone los dos componentes sobre la mesa. Un fumador al que le falta un tercer ingrediente puede hacer y fumar un cigarrillo, indicándoselo al agente. Luego, el agente coloca los otros dos de los tres ingredientes y el ciclo se repite. Proponer una red de Petri activa que modele el problema de los fumadores.

37. Una red de Petri de autómatas es una red de Petri en la que cada transición puede tener exactamente una salida y una entrada, es decir para todo t j ОT ½I(t j)1=1 y ½O(t j)1=1. Desarrolle un algoritmo para construir un autómata finito que sea equivalente a una red de Petri de autómatas dada.

38. Un gráfico etiquetado es una red de Petri en la que cada posición es una entrada para exactamente una transición y una salida para exactamente una transición, es decir para cada transición p i ОP ½I(p i)1=1 y ½O(p i)1=1. Desarrolle un algoritmo para resolver el problema de accesibilidad para gráficos etiquetados.

39. Considere la clase de redes de Petri que son gráficos etiquetados y redes de Petri de autómatas.

40. Construya una red de Petri que simule los sistemas descritos en el Apéndice 8. Describa los eventos que ocurren en el sistema y las condiciones que describen el sistema. Construya un árbol alcanzable para la red de Petri construida. Describe los estados en los que puede estar el sistema.