Progresión geométrica en 1 2. Fórmula para la suma de los primeros n términos de GP
Una progresión geométrica es una secuencia numérica cuyo primer término es distinto de cero y cada término posterior es igual al término anterior multiplicado por el mismo número distinto de cero. La progresión geométrica se denota b1,b2,b3,…, bn,…
Propiedades de la progresión geométrica.
La razón de cualquier término del error geométrico a su término anterior es igual al mismo número, es decir, b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = ... = bn/b(n-1) = b( n+1)/bn = … . Esto se deriva directamente de la definición de progresión aritmética. Este número se llama denominador de una progresión geométrica. Normalmente el denominador de una progresión geométrica se denota con la letra q.
Una de las formas de especificar una progresión geométrica es especificar su primer término b1 y el denominador del error geométrico q. Por ejemplo, b1=4, q=-2. Estas dos condiciones definen la progresión geométrica 4, -8, 16, -32,….
Si q>0 (q no es igual a 1), entonces la progresión es una secuencia monótona. Por ejemplo, la secuencia, 2, 4,8,16,32, ... es una secuencia monótonamente creciente (b1=2, q=2).
Si el denominador del error geométrico es q=1, entonces todos los términos de la progresión geométrica serán iguales entre sí. En tales casos, se dice que la progresión es una secuencia constante.
Fórmula para el enésimo término de la progresión.
Para que una secuencia numérica (bn) sea una progresión geométrica, es necesario que cada uno de sus miembros, comenzando por el segundo, sea la media geométrica de los miembros vecinos. Es decir, es necesario cumplir la siguiente ecuación - (b(n+1))^2 = bn * b(n+2), para cualquier n>0, donde n pertenece al conjunto números naturales NORTE.
La fórmula para el enésimo término de la progresión geométrica es:
bn=b1*q^(n-1), donde n pertenece al conjunto de números naturales N.
Veamos un ejemplo sencillo:
En progresión geométrica b1=6, q=3, n=8 encuentre bn.
Usemos la fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica.
Progresiones aritméticas y geométricas.
Información teórica
Información teórica
Progresión aritmética |
Progresión geométrica |
|
Definición |
Progresión aritmética un es una secuencia en la que cada miembro, comenzando por el segundo, es igual al miembro anterior sumado al mismo número d (d- diferencia de progresión) |
Progresión geométrica bn es una secuencia de números distintos de cero, cada término del cual, a partir del segundo, es igual al término anterior multiplicado por el mismo número q (q- denominador de progresión) |
Fórmula de recurrencia |
Para cualquier natural norte |
Para cualquier natural norte |
Fórmula enésimo término |
un norte = un 1 + re (norte – 1) |
segundo norte = segundo 1 ∙ q norte - 1 , segundo norte ≠ 0 |
| Propiedad característica |  |
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| Suma de los primeros n términos |  |
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Ejemplos de tareas con comentarios.
Ejercicio 1
En progresión aritmética ( un) un 1 = -6, un 2
Según la fórmula del enésimo término:
un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21 días
Por condición:
un 1= -6, entonces un 22= -6 + 21 re .
Es necesario encontrar la diferencia de progresiones:
re = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.
Respuesta : un 22 = -48.
Tarea 2
Encuentra el quinto término de la progresión geométrica: -3; 6;....
1er método (usando la fórmula de n términos)
Según la fórmula del enésimo término de una progresión geométrica:
segundo 5 = segundo 1 ∙ q 5 - 1 = segundo 1 ∙ q 4.
Porque segundo 1 = -3,
Segundo método (usando fórmula recurrente)
Como el denominador de la progresión es -2 (q = -2), entonces:
segundo 3 = 6 ∙ (-2) = -12;
segundo 4 = -12 ∙ (-2) = 24;
segundo 5 = 24 ∙ (-2) = -48.
Respuesta : segundo 5 = -48.
Tarea 3
En progresión aritmética ( un n ) un 74 = 34; un 76= 156. Encuentra el término septuagésimo quinto de esta progresión.
Para una progresión aritmética, la propiedad característica tiene la forma 
.
Por lo tanto:
.
Sustituyamos los datos en la fórmula:
Respuesta: 95.
Tarea 4
En progresión aritmética ( un norte ) un norte= 3n - 4. Encuentra la suma de los primeros diecisiete términos.
Para encontrar la suma de los primeros n términos de una progresión aritmética se utilizan dos fórmulas:
.
cual esta en en este caso¿Más cómodo de usar?
Por condición, se conoce la fórmula para el enésimo término de la progresión original ( un) un= 3n - 4. Puedes encontrar inmediatamente y un 1, Y un 16 sin encontrar d. Por tanto, utilizaremos la primera fórmula.
Respuesta: 368.
Tarea 5
En progresión aritmética ( un) un 1 = -6; un 2= -8. Encuentra el vigésimo segundo término de la progresión.
Según la fórmula del enésimo término:
un 22 = un 1 + d (22 – 1) = un 1+ 21 peniques.
Por condición, si un 1= -6, entonces un 22= -6 + 21d . Es necesario encontrar la diferencia de progresiones:
re = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2
un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.
Respuesta : un 22 = -48.
Tarea 6
Se escriben varios términos consecutivos de la progresión geométrica:
Encuentra el término de la progresión denominada x.
Al resolver, usaremos la fórmula para el enésimo término. segundo norte = segundo 1 ∙ q norte - 1 para progresiones geométricas. El primer término de la progresión. Para encontrar el denominador de la progresión q, debes tomar cualquiera de los términos dados de la progresión y dividirlo por el anterior. En nuestro ejemplo, podemos tomar y dividir por. Obtenemos que q = 3. En lugar de n, sustituimos 3 en la fórmula, ya que es necesario encontrar el tercer término de una progresión geométrica dada.
Sustituyendo los valores encontrados en la fórmula, obtenemos:
.
Respuesta : .
Tarea 7
De las progresiones aritméticas dadas por la fórmula del enésimo término, seleccione aquella para la cual se cumple la condición un 27 > 9:
Dado que la condición dada debe cumplirse para el término 27 de la progresión, sustituimos 27 en lugar de n en cada una de las cuatro progresiones. En la cuarta progresión obtenemos:
.
Respuesta: 4.
Tarea 8
En progresión aritmética un 1= 3, d = -1,5. Especifique el valor más grande de n para el cual se cumple la desigualdad. un > -6.
Por ejemplo, secuencia \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... es una progresión geométrica porque cada siguiente elemento difiere del anterior en dos veces (es decir, se puede obtener del anterior multiplicándolo por dos):
Como cualquier secuencia, una progresión geométrica se indica con una letra latina minúscula. Los números que forman una progresión se llaman. miembros(o elementos). Se denotan con la misma letra que la progresión geométrica, pero con un índice numérico igual al número del elemento en orden.
Por ejemplo, progresión geométrica\(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) consta de los elementos \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) y así sucesivamente. En otras palabras:
Si comprende la información anterior, ya podrá resolver la mayoría de los problemas sobre este tema.
Ejemplo (OGE):
Solución:
Respuesta : \(-686\).
Ejemplo (OGE):
Se dan los primeros tres términos de la progresión \(324\); \(-108\); \(36\)…. Encuentra \(b_5\).
Solución:
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Para continuar la secuencia, necesitamos conocer el denominador. Encontrémoslo a partir de dos elementos vecinos: ¿por qué necesitamos multiplicar \(324\) para obtener \(-108\)? |
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\(324·q=-108\) |
Desde aquí podemos calcular fácilmente el denominador. |
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\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\) |
Ahora podremos encontrar fácilmente el elemento que necesitamos. |
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La respuesta está lista. |
Respuesta : \(4\).
Ejemplo: La progresión está especificada por la condición \(b_n=0.8·5^n\). ¿Qué número es miembro de esta progresión?
a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0.8\) ?
Solución:
Por la redacción de la tarea se desprende claramente que uno de estos números está definitivamente en nuestra progresión. Por lo tanto, podemos simplemente calcular sus términos uno por uno hasta encontrar el valor que necesitamos. Dado que nuestra progresión viene dada por la fórmula, calculamos los valores de los elementos sustituyendo diferentes \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0.8·5^1=0.8·5=4\) – no existe tal número en la lista. Continuemos.
\(n=2\); \(b_2=0.8·5^2=0.8·25=20\) - y esto tampoco está ahí.
\(n=3\); \(b_3=0.8·5^3=0.8·125=100\) – ¡y aquí está nuestro campeón!
Respuesta: \(100\).
Ejemplo (OGE): Se dan varios términos consecutivos de la progresión geométrica...\(8\); \(X\); \(50\); \(-125\)…. Encuentra el valor del elemento etiquetado \(x\).
Solución:
Respuesta: \(-20\).
Ejemplo (OGE): La progresión está especificada por las condiciones \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Encuentra la suma de los primeros \(4\) términos de esta progresión.
Solución:
Respuesta: \(105\).
Ejemplo (OGE): Se sabe que en progresión geométrica \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Encuentra el denominador de \(q\).
Solución:
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En el diagrama de la izquierda puedes ver que para “llegar” de \(b_6\) a \(b_9\) damos tres “pasos”, es decir, multiplicamos \(b_6\) tres veces por el denominador de la progresión. En otras palabras, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\). |
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\(b_9=b_6·q^3\) |
Sustituyamos los valores que conocemos. |
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\(704=(-11)q^3\) |
Démosle la vuelta a la ecuación y divídala por \((-11)\). |
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\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \) |
¿Qué número elevado al cubo da \(-64\)? |
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Se ha encontrado la respuesta. Se puede comprobar restaurando la cadena de números de \(-11\) a \(704\). |
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Todo salió bien: la respuesta es correcta. |
Respuesta: \(-4\).
Las fórmulas más importantes.
Como puede ver, la mayoría de los problemas de progresión geométrica se pueden resolver utilizando lógica pura, simplemente entendiendo la esencia (esto es generalmente típico de las matemáticas). Pero a veces el conocimiento de determinadas fórmulas y patrones acelera y facilita significativamente la solución. Estudiaremos dos de esas fórmulas.
Fórmula del \(n\)ésimo término: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), donde \(b_1\) es el primer término de la progresión; \(n\) – número del elemento requerido; \(q\) – denominador de progresión; \(b_n\) – término de la progresión con el número \(n\).
Con esta fórmula, puede, por ejemplo, resolver el problema desde el primer ejemplo literalmente en una sola acción.
Ejemplo (OGE):
La progresión geométrica está especificada por las condiciones \(b_1=-2\); \(q=7\). Encuentra \(b_4\).
Solución:
Respuesta: \(-686\).
Este ejemplo era simple, por lo que la fórmula no nos facilitó mucho los cálculos. Veamos el problema un poco más complicado.
Ejemplo:
La progresión geométrica está especificada por las condiciones \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Encuentre \(b_(12)\).
Solución:
Respuesta: \(10\).
Por supuesto, elevar \(\frac(1)(2)\) a la \(11\)ésima potencia no es muy divertido, pero sigue siendo más fácil que \(11\) dividir \(20480\) por dos.
Suma \(n\) de los primeros términos: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , donde \(b_1\) es el primer término de la progresión; \(n\) – número de elementos sumados; \(q\) – denominador de progresión; \(S_n\) – la suma de \(n\) primeros términos de la progresión.
Ejemplo (OGE):
Dada una progresión geométrica \(b_n\), cuyo denominador es \(5\), y el primer término es \(b_1=\frac(2)(5)\). Encuentra la suma de los primeros seis términos de esta progresión.
Solución:
Respuesta: \(1562,4\).
Y nuevamente, podríamos resolver el problema de frente: encontrar los seis elementos uno por uno y luego sumar los resultados. Sin embargo, el número de cálculos y, por tanto, la posibilidad de error aleatorio aumentaría considerablemente.
Para la progresión geométrica, existen varias fórmulas más que no consideramos aquí debido a su escaso uso práctico. Puedes encontrar estas fórmulas.
Progresiones geométricas crecientes y decrecientes.
La progresión \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) considerada al principio del artículo tiene un denominador \(q\) mayor que uno y por lo tanto cada término siguiente es mayor que el anterior. Estas progresiones se llaman creciente.
Si \(q\) es menor que uno, pero es positivo (es decir, está en el rango de cero a uno), entonces cada elemento siguiente será menor que el anterior. Por ejemplo, en la progresión \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0.25\)... el denominador de \(q\) es igual a \(\frac(1)(2)\).
Estas progresiones se llaman decreciente. Tenga en cuenta que ninguno de los elementos de dicha progresión será negativo, simplemente se vuelven cada vez más pequeños con cada paso. Es decir, nos acercaremos gradualmente a cero, pero nunca lo alcanzaremos ni lo superaremos. En tales casos, los matemáticos dicen "tienden a cero".
Tenga en cuenta que con un denominador negativo, los elementos de la progresión geométrica necesariamente cambiarán de signo. Por ejemplo, y progresión \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... el denominador de \(q\) es \(-3\), y debido a esto, los signos de los elementos “parpadean”.
Ejemplo de progresión geométrica: 2, 6, 18, 54, 162.
Aquí, cada término después del primero es 3 veces mayor que el anterior. Es decir, cada término posterior es el resultado de multiplicar el término anterior por 3:
2 · 3 = 6
6 3 = 18
18 3 = 54
54 3 = 162 .
En nuestro ejemplo, al dividir el segundo término por el primero, el tercero por el segundo, etc. obtenemos 3. El número 3 es el denominador de esta progresión geométrica.
Ejemplo:
Volvamos a nuestra progresión geométrica 2, 6, 18, 54, 162. Tomemos el cuarto término y lo elevamos al cuadrado:
54 2 = 2916.
Ahora multipliquemos los términos a la izquierda y a la derecha del número 54:
18 162 = 2916.
Como podemos ver, el cuadrado del tercer término es igual al producto de los términos adyacentes segundo y cuarto.
Ejemplo 1: Tomemos una determinada progresión geométrica en la que el primer término es igual a 2 y el denominador de la progresión geométrica es igual a 1,5. Necesitamos encontrar el cuarto término de esta progresión.
Dado:
b 1 = 2
q = 1,5
norte = 4
————
b 4 - ?
Solución.
Aplicar la fórmula bn= segundo 1 · q norte- 1 , insertando en él los valores apropiados:
b 4 = 2 1,5 4 - 1 = 2 1,5 3 = 2 3,375 = 6,75.
Respuesta: El cuarto término de una progresión geométrica dada es el número 6,75.
Ejemplo 2: Encuentra el quinto término de una progresión geométrica si el primer y tercer término son iguales a 12 y 192, respectivamente.
Dado:
b 1 = 12
b 3 = 192
————
b 5 - ?
Solución.
1) Primero necesitamos encontrar el denominador de la progresión geométrica, sin el cual es imposible resolver el problema. Como primer paso, usando nuestra fórmula, derivamos la fórmula para b 3:
b 3 = segundo 1 q 3 - 1 = segundo 1 q 2
Ahora podemos encontrar el denominador de la progresión geométrica:
b 3 192
q 2 = —— = —— = 16
b 1 12
q= √16 = 4 o -4.
2) Queda por encontrar el valor. b 5 .
Si q= 4, entonces
b 5 = b 1 q 5-1 = 12 4 4 = 12 256 = 3072.
En q= -4 el resultado será el mismo. Por tanto, el problema tiene una solución.
Respuesta: El quinto término de la progresión geométrica dada es el número 3072.
Ejemplo: Encuentra la suma de los primeros cinco términos de la progresión geométrica ( bn), en el que el primer término es 2 y el denominador de la progresión geométrica es 3.
Dado:
b 1 = 2
q = 3
norte = 5
————
S 5 - ?
Solución.
Aplicamos la segunda fórmula de las dos anteriores:
b 1 (q 5 - 1) 2 (3 5 - 1) 2 (243 - 1) 484
S 5 = ————— = ————— = ———————— = ————— = 242
q - 1 3 - 1 2 2
Respuesta: La suma de los primeros cinco términos de una progresión geométrica dada es 242.
Suma de una progresión geométrica infinita.
Es necesario distinguir entre los conceptos “suma de una progresión geométrica infinita” y “suma norte miembros de una progresión geométrica." El segundo concepto se aplica a cualquier progresión geométrica, y el primero, solo a aquella en la que el denominador es menor que 1 en valor absoluto.
La fórmula para el enésimo término de una progresión geométrica es muy sencilla. Tanto en significado como en apariencia general. Pero hay todo tipo de problemas con la fórmula del enésimo término, desde muy primitivos hasta bastante serios. Y en el proceso de conocernos, definitivamente consideraremos ambos. Bueno, ¿vamos a conocernos?)
Entonces, para empezar, en realidad fórmulanorte
Aqui esta ella:
bn = b 1 · qn -1
La fórmula es sólo una fórmula, nada sobrenatural. Parece incluso más simple y compacto que una fórmula similar. El significado de la fórmula también es tan simple como las botas de fieltro.
Esta fórmula le permite encontrar CUALQUIER miembro de una progresión geométrica POR SU NÚMERO " norte".
Como puede ver, el significado es una completa analogía con una progresión aritmética. Conocemos el número n; también podemos contar el término bajo este número. El que queramos. Sin multiplicar repetidamente por "q" muchas, muchas veces. Ese es todo el punto.)
Entiendo que a este nivel de trabajo con progresiones ya deberías tener claras todas las cantidades incluidas en la fórmula, pero sigo considerando que es mi deber descifrar cada una. Por si acaso.
Así que, aquí vamos:
b 1 – primero término de progresión geométrica;
q – ;
norte- número de miembro;
bn – enésimo (norteth) término de una progresión geométrica.
Esta fórmula conecta los cuatro parámetros principales de cualquier progresión geométrica: bnorte, b 1 , q Y norte. Y todos los problemas de progresión giran en torno a estas cuatro figuras clave.
"¿Cómo se elimina?"– Escucho una pregunta curiosa… ¡Elemental! ¡Mirar!
¿Qué es igual a segundo miembro de la progresión? ¡Ningún problema! Escribimos directamente:
segundo 2 = segundo 1 ·q
¿Qué pasa con el tercer miembro? ¡Tampoco hay problema! Multiplicamos el segundo término. una vez más enq.
Como esto:
segundo 3 = segundo 2 q
Recordemos ahora que el segundo término, a su vez, es igual a b 1 ·q y sustituyamos esta expresión en nuestra igualdad:
segundo 3 = segundo 2 q = (segundo 1 q) q = segundo 1 q q = segundo 1 q 2
Obtenemos:
B 3 = b 1·q 2
Ahora leamos nuestra entrada en ruso: tercero término es igual al primer término multiplicado por q en segundo grados. ¿Lo entiendes? ¿Aún no? Bien, un paso más.
¿Cuál es el cuarto término? ¡Todos iguales! Multiplicar anterior(es decir, el tercer término) en q:
segundo 4 = segundo 3 q = (segundo 1 q 2) q = segundo 1 q 2 q = segundo 1 q 3
Total:
B 4 = b 1·q 3
Y nuevamente traducimos al ruso: cuatro término es igual al primer término multiplicado por q en tercero grados.
Etcétera. ¿Entonces, cómo es eso? ¿Captaste el patrón? ¡Sí! Para cualquier término con cualquier número, el número de factores idénticos q (es decir, el grado del denominador) siempre será uno menos que el número del miembro deseadonorte.
Por tanto, nuestra fórmula será, sin opciones:
segundo norte =b 1 · qn -1
Eso es todo.)
Bueno, resolvamos los problemas, ¿supongo?)
Resolver problemas de fórmulasnorteésimo término de una progresión geométrica.
Empecemos, como siempre, por la aplicación directa de la fórmula. Aquí hay un problema típico:
En progresión geométrica se sabe que b 1 = 512 y q = -1/2. Encuentra el décimo término de la progresión.
Por supuesto, este problema se puede resolver sin ninguna fórmula. Directamente en el sentido de progresión geométrica. Pero necesitamos calentarnos con la fórmula del enésimo término, ¿verdad? Aquí estamos calentando.
Nuestros datos para aplicar la fórmula son los siguientes.
Se conoce el primer miembro. Este es 512.
b 1 = 512.
También se conoce el denominador de la progresión: q = -1/2.
Todo lo que queda es averiguar cuál es el número del miembro n. ¡Ningún problema! ¿Estamos interesados en el décimo mandato? Entonces sustituimos diez en lugar de n en la fórmula general.
Y calcula cuidadosamente la aritmética:
Respuesta 1
Como puede ver, el décimo término de la progresión resultó ser negativo. Nada sorprendente: nuestro denominador de progresión es -1/2, es decir negativo número. Y esto nos dice que los signos de nuestra progresión se alternan, sí).
Aquí todo es sencillo. Aquí hay un problema similar, pero un poco más complicado en términos de cálculos.
En progresión geométrica se sabe que:
b 1 = 3
Encuentra el decimotercer término de la progresión.
Todo es igual, sólo que esta vez el denominador de la progresión es irracional. Raíz de dos. Bueno, está bien. La fórmula es algo universal, puede hacer frente a cualquier número.
Trabajamos directamente según la fórmula:
La fórmula, por supuesto, funcionó como debería, pero... aquí es donde algunas personas se quedan estancadas. ¿Qué hacer a continuación con la raíz? ¿Cómo elevar una raíz a la duodécima potencia?
Cómo-cómo... Debes entender que cualquier fórmula, por supuesto, es algo bueno, ¡pero el conocimiento de todas las matemáticas previas no se cancela! ¿Cómo construir? ¡Sí, recuerda las propiedades de los grados! Convirtamos la raíz en grado fraccionario y – según la fórmula de elevación de grado a grado.
Como esto:
Respuesta: 192
Y eso es todo.)
¿Cuál es la principal dificultad para aplicar directamente la fórmula del enésimo término? ¡Sí! La principal dificultad es trabajando con grados! Es decir, elevar a potencias números negativos, fracciones, raíces y construcciones similares. Así que aquellos que tengan problemas con esto, ¡por favor repitan los grados y sus propiedades! De lo contrario, también ralentizarás este tema, sí...)
Ahora resolvamos los problemas típicos de búsqueda. uno de los elementos de la fórmula, si se dan todos los demás. Para resolver con éxito tales problemas, la receta es uniforme y terriblemente simple: escribe la formulanorte-ésimo miembro en general! Justo en el cuaderno al lado de la condición. Y luego, a partir de la condición, averiguamos qué se nos da y qué falta. Y expresamos el valor deseado de la fórmula. ¡Todo!
Por ejemplo, un problema tan inofensivo.
El quinto término de una progresión geométrica con denominador 3 es 567. Encuentra el primer término de esta progresión.
Nada complicado. Trabajamos directamente según el hechizo.
¡Escribamos la fórmula para el enésimo término!
bn = b 1 · qn -1
¿Qué nos han dado? Primero, se da el denominador de la progresión: q = 3.
Es más, se nos da quinto miembro: b 5 = 567 .
¿Todo? ¡No! ¡También nos han dado el número n! Esto es cinco: n = 5.
Espero que ya entiendas lo que hay en la grabación. b 5 = 567 Dos parámetros están ocultos a la vez: este es el quinto término (567) y su número (5). Ya hablé de esto en una lección similar, pero creo que vale la pena mencionarlo aquí también).
Ahora sustituimos nuestros datos en la fórmula:
567 = b 1 ·3 5-1
Hacemos la aritmética, simplificamos y obtenemos una ecuación lineal simple:
81 b 1 = 567
Resolvemos y obtenemos:
b 1 = 7
Como puede ver, no hay problemas para encontrar el primer término. Pero al buscar el denominador q y numeros norte También puede haber sorpresas. Y también hay que estar preparado para ellas (sorpresas), sí.)
Por ejemplo, este problema:
El quinto término de una progresión geométrica con denominador positivo es 162 y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.
Esta vez se nos dan los términos primero y quinto y se nos pide que encontremos el denominador de la progresión. Aquí vamos.
escribimos la fórmulanorteº miembro!
bn = b 1 · qn -1
Nuestros datos iniciales serán los siguientes:
b 5 = 162
b 1 = 2
norte = 5
Valor que falta q. ¡Ningún problema! Encontrémoslo ahora.) Sustituimos todo lo que sabemos en la fórmula.
Obtenemos:
162 = 2q 5-1
2 q 4 = 162
q 4 = 81
Una ecuación simple de cuarto grado. Y ahora - ¡con cuidado! En esta etapa de la solución, muchos estudiantes inmediatamente extraen con alegría la raíz (del cuarto grado) y obtienen la respuesta. q=3 .
Como esto:
q4 = 81
q = 3
Pero, en realidad, ésta es una respuesta inacabada. Más precisamente, incompleto. ¿Por qué? El caso es que la respuesta q = -3 también adecuado: (-3) ¡4 también será 81!
Esto se debe a que la ecuación de potencia xn = a siempre ha dos raíces opuestas en inclusonorte . Con más y menos:
Ambos son adecuados.
Por ejemplo, al decidir (es decir, segundo grados)
x2 = 9
Por alguna razón no te sorprende la apariencia. dos raíces x=±3? Es lo mismo aqui. y con cualquier otro incluso grado (cuarto, sexto, décimo, etc.) será el mismo. Los detalles están en el tema sobre
Es por eso solución correcta será así:
q 4 = 81
q= ±3
Bien, hemos resuelto las señales. ¿Cuál es la correcta: más o menos? Bueno, leamos nuevamente el enunciado del problema en busca de información adicional. Por supuesto, puede que no exista, pero en este problema dicha información disponible. Nuestra condición establece en texto plano que se da una progresión con denominador positivo.
Por tanto la respuesta es obvia:
q = 3
Aquí todo es sencillo. ¿Qué crees que pasaría si el enunciado del problema fuera así?
El quinto término de una progresión geométrica es 162 y el primer término de esta progresión es 2. Encuentra el denominador de la progresión.
¿Cuál es la diferencia? ¡Sí! En condicion Nada no se hace mención del signo del denominador. Ni directa ni indirectamente. Y aquí el problema ya tendría ¡Dos soluciones!
q = 3 Y q = -3
¡Sí Sí! Tanto con un más como con un menos.) Matemáticamente, este hecho significaría que hay dos progresiones, que se ajustan a las condiciones del problema. Y cada uno tiene su propio denominador. Solo por diversión, practica y escribe los primeros cinco términos de cada uno).
Ahora practiquemos cómo encontrar el número del miembro. Este problema es el más difícil, sí. Pero también más creativo).
Dada una progresión geométrica:
3; 6; 12; 24; …
¿Qué número en esta progresión es el número 768?
El primer paso sigue siendo el mismo: escribe la formulanorteº miembro!
bn = b 1 · qn -1
Y ahora, como siempre, le sustituimos los datos que conocemos. Mmm... ¡no funciona! ¿Dónde está el primer término, dónde está el denominador, dónde está todo lo demás?
Dónde, dónde... ¿Por qué necesitamos ojos? ¿Agitando las pestañas? Esta vez la progresión se nos da directamente en la forma secuencias.¿Podemos ver al primer miembro? ¡Vemos! Este es un triple (b 1 = 3). ¿Qué pasa con el denominador? No lo vemos todavía, pero es muy fácil de contar. Si, por supuesto, lo entiendes...
Entonces contamos. Directamente según el significado de una progresión geométrica: tomamos cualquiera de sus términos (excepto el primero) y lo dividimos por el anterior.
Al menos así:
q = 24/12 = 2
¿Qué más sabemos? También conocemos algún término de esta progresión, igual a 768. Bajo algún número n:
bn = 768
No sabemos su número, pero nuestra tarea es precisamente encontrarlo.) Así que estamos buscando. Ya hemos descargado todos los datos necesarios para la sustitución en la fórmula. Sin que usted lo sepa.)
Aquí sustituimos:
768 = 3 2norte -1
Hagamos lo elemental: divida ambos lados entre tres y reescriba la ecuación en la forma habitual: lo desconocido está a la izquierda, lo conocido a la derecha.
Obtenemos:
2 norte -1 = 256
Esta es una ecuación interesante. Necesitamos encontrar "n". ¿Qué, inusual? Sí, no discuto. En realidad, esto es lo más sencillo. Se llama así porque la incógnita (en este caso es el número norte) costos en indicador grados.
En la etapa de familiarizarse con la progresión geométrica (este es el noveno grado) ecuaciones exponenciales No te enseñan a decidir, sí... Este es un tema de secundaria. Pero no hay nada que dé miedo. Incluso si no sabes cómo se resuelven estas ecuaciones, intentemos encontrar nuestra norte, guiados por la lógica simple y el sentido común.
Empecemos a hablar. A la izquierda tenemos un dos. hasta cierto punto. Todavía no sabemos qué es exactamente este título, pero eso no da miedo. ¡Pero sabemos con certeza que este grado es igual a 256! Entonces recordamos hasta qué punto un dos nos da 256. ¿Te acuerdas? ¡Sí! EN octavo grados!
256 = 2 8
Si no recuerdas o tienes problemas para reconocer los grados, también está bien: simplemente eleva el cuadrado dos, el cubo, el cuarto, el quinto, y así sucesivamente. La selección, de hecho, pero a este nivel funcionará bastante bien.
De una forma u otra obtenemos:
2 norte -1 = 2 8
norte-1 = 8
norte = 9
Entonces 768 es noveno miembro de nuestra progresión. Eso es todo, problema resuelto.)
Respuesta: 9
¿Qué? ¿Aburrido? ¿Estás cansado de las cosas elementales? Aceptar. Y yo también. Pasemos al siguiente nivel.)
Tareas más complejas.
Ahora resolvamos problemas más desafiantes. No son exactamente geniales, pero requieren un poco de trabajo para llegar a la respuesta.
Por ejemplo, éste.
Encuentra el segundo término de una progresión geométrica si su cuarto término es -24 y su séptimo término es 192.
Este es un clásico del género. Se conocen dos términos diferentes de la progresión, pero es necesario encontrar otro término. Además, todos los miembros NO son vecinos. Lo cual es confuso al principio, sí...
Para resolver este tipo de problemas consideraremos dos métodos. El primer método es universal. Algebraico. Funciona perfectamente con cualquier fuente de datos. Entonces ahí es donde comenzaremos.)
Describimos cada término según la fórmula. norteº miembro!
Todo es exactamente igual que con una progresión aritmética. Sólo que esta vez estamos trabajando con otro formula general. Eso es todo.) Pero la esencia es la misma: tomamos y uno a uno Sustituimos nuestros datos iniciales en la fórmula para el enésimo término. Para cada miembro, el suyo.
Para el cuarto término escribimos:
b 4 = b 1 · q 3
-24 = b 1 · q 3
Comer. Una ecuación está lista.
Para el séptimo término escribimos:
b 7 = b 1 · q 6
192 = b 1 · q 6
En total, tenemos dos ecuaciones para la misma progresión .
Montamos un sistema a partir de ellos:
A pesar de su apariencia amenazadora, el sistema es bastante sencillo. La solución más obvia es la sustitución simple. expresamos b 1 de la ecuación superior y sustitúyala en la inferior:
Después de jugar un poco con la ecuación inferior (reduciendo las potencias y dividiendo por -24), obtenemos:
q 3 = -8
Por cierto, ¡se puede llegar a esta misma ecuación de una manera más sencilla! ¿Cuál? Ahora les mostraré otro secreto, pero muy hermoso, poderoso y manera útil soluciones para este tipo de sistemas. Tales sistemas, cuyas ecuaciones incluyen solo funciona. Al menos en uno. Llamado método de división una ecuación a otra.
Entonces, tenemos un sistema ante nosotros:
En ambas ecuaciones de la izquierda - trabajar, y a la derecha hay solo un número. Esto es muy buena señal.) Tomémoslo y... ¡dividamos, digamos, la ecuación inferior por la superior! Que significa, ¿Dividimos una ecuación por otra? Muy simple. Vamos a tomarlo lado izquierdo una ecuación (inferior) y dividir ella en lado izquierdo otra ecuación (superior). El lado derecho es similar: lado derecho una ecuación dividir en lado derecho otro.
Todo el proceso de división se ve así:
Ahora, reduciendo todo lo que se puede reducir, obtenemos:
q 3 = -8
¿Qué tiene de bueno este método? Sí, porque en el proceso de tal división todo lo malo e inconveniente se puede reducir de manera segura y ¡queda una ecuación completamente inofensiva! Por eso es tan importante tener solo multiplicación en al menos una de las ecuaciones del sistema. No hay multiplicación - no hay nada que reducir, sí...
En general, este método (como muchos otros métodos no triviales para resolver sistemas) merece incluso una lección aparte. Definitivamente lo analizaré con más detalle. Algún día…
Sin embargo, no importa cómo resuelvas exactamente el sistema, en cualquier caso, ahora necesitamos resolver la ecuación resultante:
q 3 = -8
No hay problema: extrae la raíz cúbica y ¡listo!
Tenga en cuenta que no es necesario poner un más/menos aquí al extraer. Nuestra raíz es de grado impar (tercer). Y la respuesta también es la misma, sí.)
Entonces, se ha encontrado el denominador de la progresión. Menos dos. ¡Excelente! El proceso está en curso.)
Para el primer término (digamos, de la ecuación superior) obtenemos:
¡Excelente! Conocemos el primer término, conocemos el denominador. Y ahora tenemos la oportunidad de encontrar a cualquier miembro de la progresión. Incluyendo el segundo.)
Para el segundo trimestre todo es bastante sencillo:
b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6
Respuesta: -6
Entonces, hemos desglosado el método algebraico para resolver el problema. ¿Difícil? En realidad no, estoy de acuerdo. ¿Largo y tedioso? Sí definitivamente. Pero a veces es posible reducir significativamente la cantidad de trabajo. Para esto hay método gráfico. Bueno, viejo y familiar para nosotros.)
¡Dibujemos un problema!
¡Sí! Exactamente. Nuevamente representamos nuestra progresión en el eje numérico. No es necesario seguir una regla, no es necesario mantener intervalos iguales entre los términos (que, por cierto, no serán iguales, ¡ya que la progresión es geométrica!), sino simplemente esquemáticamente Dibujemos nuestra secuencia.
Lo tengo así:
Ahora mira la imagen y descúbrelo. ¿Cuántos factores idénticos "q" separan? cuatro Y séptimo miembros? Así es, ¡tres!
Por tanto, tenemos todo el derecho a escribir:
-24·q 3 = 192
Desde aquí ahora es fácil encontrar q:
q 3 = -8
q = -2
Genial, ya tenemos el denominador en el bolsillo. Ahora volvamos a mirar el panorama: ¿cuántos denominadores de este tipo se encuentran entre segundo Y cuatro miembros? ¡Dos! Por lo tanto, para registrar la conexión entre estos términos, construiremos el denominador al cuadrado.
Entonces escribimos:
b 2 · q 2 = -24 , dónde b 2 = -24/ q 2
Sustituimos nuestro denominador encontrado en la expresión de b 2, contamos y obtenemos:
Respuesta: -6
Como ves, todo es mucho más sencillo y rápido que a través del sistema. Además, ¡aquí ni siquiera necesitábamos contar el primer término! En absoluto.)
Aquí hay una forma tan simple y visual: la luz. Pero también tiene un serio inconveniente. ¿Lo adivinaste? ¡Sí! Sólo es bueno para tramos de progresión muy cortos. Aquellos donde las distancias entre los miembros que nos interesan no son muy grandes. Pero en todos los demás casos ya es difícil hacer un dibujo, sí... Entonces solucionamos el problema analíticamente, a través del sistema.) Y los sistemas son cosas universales. Pueden manejar cualquier número.
Otro desafío épico:
El segundo término de la progresión geométrica es 10 más que el primero y el tercer término es 30 más que el segundo. Encuentra el denominador de la progresión.
¿Que guay? ¡De nada! Todos iguales. Nuevamente traducimos el planteamiento del problema al álgebra pura.
1) Describimos cada término según la fórmula. norteº miembro!
Segundo término: b 2 = b 1 q
Tercer término: b 3 = b 1 q 2
2) Anotamos la conexión entre los miembros del planteamiento del problema.
Leemos la condición: "El segundo término de la progresión geométrica es 10 mayor que el primero."¡Para, esto es valioso!
Entonces escribimos:
b 2 = b 1 +10
Y traducimos esta frase a matemáticas puras:
b 3 = b 2 +30
Tenemos dos ecuaciones. Combinémoslos en un sistema:
El sistema parece simple. Pero hay demasiados índices diferentes para las letras. ¡Sustituyamos en lugar del segundo y tercer término sus expresiones por el primer término y el denominador! ¿Fue en vano que los pintamos?
Obtenemos:
Pero un sistema así ya no es un regalo, sí... ¿Cómo solucionar esto? Desafortunadamente, no existe un hechizo secreto universal para resolver problemas complejos. no lineal No hay sistemas en matemáticas y no puede haberlos. ¡Es fantástico! Pero lo primero que debería venir a tu mente cuando intentas romper un hueso tan difícil es descubrir ¿Pero no se reduce una de las ecuaciones del sistema a una forma bella que permite, por ejemplo, expresar fácilmente una de las variables en términos de otra?
Vamos a resolverlo. La primera ecuación del sistema es claramente más simple que la segunda. Lo torturaremos). ¿No deberíamos intentar desde la primera ecuación? algo expresar a través de ¿algo? Como queremos encontrar el denominador. q, entonces sería más ventajoso para nosotros expresar b 1 a través de q.
Entonces, intentemos hacer este procedimiento con la primera ecuación, usando las antiguas:
segundo 1 q = segundo 1 +10
segundo 1 q – segundo 1 = 10
b 1 (q-1) = 10
¡Todo! Entonces expresamos innecesario danos la variable (b 1) mediante necesario(q). Sí, no es la expresión más simple que tenemos. Algún tipo de fracción... Pero nuestro sistema tiene un nivel decente, sí.)
Típico. Sabemos qué hacer.
Escribimos ODZ (¡Necesariamente!) :
q ≠ 1
Multiplicamos todo por el denominador (q-1) y cancelamos todas las fracciones:
10 q 2 = 10 q + 30(q-1)
Dividimos todo entre diez, abrimos los paréntesis y recogemos todo por la izquierda:
q 2 – 4 q + 3 = 0
Resolvemos el resultado y obtenemos dos raíces:
q 1 = 1
q 2 = 3
Sólo hay una respuesta final: q = 3 .
Respuesta: 3
Como puedes ver, el camino para resolver la mayoría de los problemas que involucran la fórmula del enésimo término de una progresión geométrica es siempre el mismo: leer atentamente condición del problema y usando la fórmula del enésimo término traducimos todo el información útil en álgebra pura.
A saber:
1) Describimos por separado cada término dado en el problema según la fórmulanorteº miembro.
2) A partir de las condiciones del problema traducimos la conexión entre los miembros a forma matemática. Componemos una ecuación o sistema de ecuaciones.
3) Resolvemos la ecuación o sistema de ecuaciones resultante, encontramos los parámetros desconocidos de la progresión.
4) En caso de una respuesta ambigua, lea atentamente el planteamiento del problema en busca de información adicional (si la hubiera). También verificamos la respuesta recibida con los términos del DL (si corresponde).
Ahora enumeremos los principales problemas que con mayor frecuencia conducen a errores en el proceso de resolución de problemas de progresión geométrica.
1. Aritmética elemental. Operaciones con fracciones y números negativos.
2. Si hay problemas con al menos uno de estos tres puntos, inevitablemente cometerá errores en este tema. Desafortunadamente... Así que no seas perezoso y repite lo mencionado anteriormente. Y siga los enlaces, vaya. A veces ayuda.)
Fórmulas modificadas y recurrentes.
Ahora veamos un par de problemas típicos de exámenes con una presentación menos familiar de la afección. ¡Sí, sí, lo has adivinado! Este modificado Y recurrente Fórmulas de enésimo término. Ya hemos encontrado fórmulas de este tipo y hemos trabajado en la progresión aritmética. Aquí todo es parecido. La esencia es la misma.
Por ejemplo, este problema de la OGE:
La progresión geométrica viene dada por la fórmula bn = 3 2 norte . Encuentra la suma de sus términos primero y cuarto.
Esta vez la progresión no es la habitual para nosotros. En forma de algún tipo de fórmula. ¿Así que lo que? Esta fórmula es también una fórmulanorteº miembro! Tú y yo sabemos que la fórmula para el enésimo término se puede escribir tanto en forma general, usando letras, como para progresión específica. CON específico primer término y denominador.
En nuestro caso, de hecho, se nos da una fórmula de término general para una progresión geométrica con los siguientes parámetros:
b 1 = 6
q = 2
¿Comprobemos?) Escribamos la fórmula para el enésimo término en forma general y sustitúyala en b 1 Y q. Obtenemos:
bn = b 1 · qn -1
bn= 6 2norte -1
Simplificamos usando factorización y propiedades de potencias, y obtenemos:
bn= 6 2norte -1 = 3·2·2norte -1 = 3 2norte -1+1 = 3 2norte
Como puedes ver, todo es justo. Pero nuestro objetivo no es demostrar la derivación de una fórmula específica. Esto es así, una digresión lírica. Puramente para entender.) Nuestro objetivo es resolver el problema de acuerdo con la fórmula que se nos proporciona en la condición. ¿Lo entiendes?) Así que trabajamos directamente con la fórmula modificada.
Contamos el primer término. sustituyamos norte=1 en la fórmula general:
b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6
Como esto. Por cierto, no seré perezoso y una vez más llamaré su atención sobre un error típico en el cálculo del primer término. NO, mirando la fórmula bn= 3 2norte¡Inmediatamente apresúrate a escribir que el primer término es un tres! Esto es un grave error, sí...)
Continuemos. sustituyamos norte=4 y contar el cuarto término:
b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48
Y finalmente calculamos la cantidad requerida:
b 1 + b 4 = 6+48 = 54
Respuesta: 54
Otro problema.
La progresión geométrica está especificada por las condiciones:
b 1 = -7;
bn +1 = 3 bn
Encuentra el cuarto término de la progresión.
Aquí la progresión viene dada por una fórmula recurrente. Bueno esta bien.) Cómo trabajar con esta fórmula – Nosotros también lo sabemos.
Entonces actuamos. Paso a paso.
1) Cuenta dos consecutivo miembro de la progresión.
El primer término ya nos ha sido dado. Menos siete. Pero el siguiente segundo término se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula de recurrencia. Si comprende el principio de su funcionamiento, por supuesto).
Entonces contamos el segundo término. según el conocido primero:
b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21
2) Calcula el denominador de la progresión.
No hay problema tampoco. Directo, dividámonos segundo polla en primero.
Obtenemos:
q = -21/(-7) = 3
3) Escribe la fórmulanorteésimo miembro en la forma habitual y calcule el miembro requerido.
Entonces, conocemos el primer término y también el denominador. Entonces escribimos:
bn= -7·3norte -1
b 4 = -7 · 3 3 = -7·27 = -189
Respuesta: -189
Como puede ver, trabajar con tales fórmulas para una progresión geométrica no es esencialmente diferente de trabajar con una progresión aritmética. Sólo es importante entender esencia general y el significado de estas fórmulas. Bueno, también necesitas entender el significado de la progresión geométrica, sí.) Y entonces no habrá errores estúpidos.
Bueno, ¿decidamos nosotros mismos?)
Tareas muy básicas para el calentamiento:
1. Dada una progresión geométrica en la que b 1 = 243, un q = -2/3. Encuentra el sexto término de la progresión.
2. El término general de la progresión geométrica viene dado por la fórmula bn = 5∙2 norte +1 . Encuentra el número del último término de tres dígitos de esta progresión.
3. La progresión geométrica viene dada por las condiciones:
b 1 = -3;
bn +1 = 6 bn
Encuentra el quinto término de la progresión.
Un poco más complicado:
4. Dada una progresión geométrica:
b 1 =2048; q =-0,5
¿A qué es igual el sexto término negativo?
¿Qué parece súper difícil? De nada. La lógica y la comprensión del significado de la progresión geométrica te salvarán. Bueno, la fórmula para el enésimo término, por supuesto.
5. El tercer término de la progresión geométrica es -14 y el octavo término es 112. Encuentra el denominador de la progresión.
6. La suma del primer y segundo términos de la progresión geométrica es 75 y la suma del segundo y tercer términos es 150. Encuentra el sexto término de la progresión.
Respuestas (en desorden): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.
Eso es casi todo. Todo lo que tenemos que hacer es aprender a contar. la suma de los primeros n términos de una progresión geométrica si descubrir progresión geométrica infinitamente decreciente y su cantidad. ¡Algo muy interesante e inusual, por cierto! Más sobre esto en las próximas lecciones.)