Método de sustitución de ecuaciones fraccionariamente racionales. Cómo resolver ecuaciones con fracciones. Solución exponencial de ecuaciones con fracciones. Cómo resolver ecuaciones con fracciones - x en el numerador
§ 5. Ecuaciones con una variable
Ecuaciones racionales fraccionarias
En cada una de las ecuaciones
los lados izquierdo y derecho son expresiones racionales, y ambas expresiones son expresiones fraccionarias, o una de ellas es una expresión fraccionaria y la otra es una expresión entera. Tales ecuaciones, como saben, se llaman ecuaciones racionales fraccionarias. Recordar que
Resolver desigualdades por factorización
Luego multiplica ambos lados por \\, recordando cambiar la dirección de la desigualdad: \\. Consideraremos un método general para resolver una desigualdad en el que un lado de la desigualdad es igual a cero. Requerir que un lado de la desigualdad sea cero no es un requisito difícil, ya que siempre podemos llegar a este estado en un solo paso restando la expresión de un lado de la desigualdad de ambos lados de la desigualdad.
Pasemos a la consideración de la primera desigualdad, que consideramos anteriormente: \\. Resta 9 de cada lado para obtener: \\. La parte más a la derecha del gráfico está sobre el eje \\, ya que el coeficiente principal \\ es positivo. Por lo tanto, el gráfico se encuentra sobre el eje \\ a la derecha de \\, y el gráfico se encuentra debajo del eje \\ a la izquierda de \\.
Cuando se resuelven ecuaciones racionales fraccionarias, como saben, generalmente se procede de la siguiente manera:
Ya has conocido los ejemplos más simples de resolución de ecuaciones racionales fraccionarias. Veamos ejemplos más complejos.
Así, vemos que \\ con \\. Entonces, el método que vamos a aprender para resolver desigualdades racionales involucrará obtener cero en un lado de la desigualdad y una expresión racional en el otro lado. Luego dibujamos una expresión racional y vemos qué partes de la gráfica satisfacen los requisitos de desigualdad. El área de estas partes es la solución de la desigualdad.
De hecho, no hay necesidad de esbozar todo el gráfico. Todo lo que necesitamos saber es lo siguiente. Es decir, ¿qué valores de la variable hacen que la expresión sea \\ o indefinida? Recuerde que el número crítico \\ es transitivo si \\ es un factor de multiplicidad impar e intransitivo si \\ es un factor de multiplicidad par. Esto es cierto ya sea que \\ sea un múltiplo del numerador o un múltiplo del denominador. La expresión cambia de signo en números críticos transitivos, pero no en números críticos intransitivos. ¿La expresión es positiva o negativa a la derecha del número crítico más grande? Para averiguarlo, toma la razón del factor principal del numerador al factor principal del denominador. Si la razón es positiva, entonces la expresión es positiva a la derecha del número crítico más grande. Si la razón es negativa, entonces la expresión es negativa a la derecha del número crítico más grande.
- ¿Cuáles son los números críticos de una expresión racional?
- Es decir, ¿cuáles son los ceros del numerador y cuáles son los ceros del denominador?
- ¿Cuál de los números críticos es transitivo y cuál intransitivo?
Ejemplo 1 Resolvamos la ecuación
El común denominador de las fracciones incluidas en la ecuación es x 4 - x 2 - 72. Al multiplicar ambos lados de la ecuación por el común denominador de las fracciones, obtenemos
6x 2 - 54 + 9x \u003dx3.
x 3 - 6x 2 - 9x + 54 = 0. (2)
Resolvemos la ecuación completa resultante usando la factorización del lado izquierdo.
(x 3 - 6x 2) - (9x - 54) = 0,
x 2 (x - 6) - 9 (x - 6) \u003d 0,
(x - 6) (x 2 - 9) = 0,
(x - 6)(x - 3)(x + 3) = 0.
El número crítico \\ es intransitivo y \\ y \\ son transitivos. El coeficiente principal del numerador es \\, y el coeficiente principal del denominador es \\. Por lo tanto, la razón de los coeficientes principales es un número negativo. Así, la expresión es negativa a la derecha de \\, cero en \\, positiva entre \\ y \\, cero en \\, negativa entre \\ y \\, indefinida en \\, y negativa a la izquierda de \\. Por lo tanto, el único lugar donde la expresión es mayor o igual a cero es en el intervalo \\.
No separe expresiones que contengan una variable
Todo esto se puede determinar sin tener que dibujar el gráfico. Esto puede conducir a una desigualdad que no es equivalente a la original, es decir una desigualdad que no tiene la misma solución que la original. Aunque es tentador, no dividimos ambos lados por \\. Esto requeriría considerar el caso donde \\ es negativo, excepto cuando \\ es positivo. Complicará innecesariamente la solución. En cambio, restamos una de las dos expresiones en ambos lados, encontramos el denominador común y multiplicamos la expresión.
Por lo tanto, la ecuación (2) tiene tres raíces:
x1 = 6, x2 = 3, x3 = -3.
Ahora es necesario comprobar si las raíces encontradas no convierten en cero el común denominador de las fracciones incluidas en la ecuación (1).
Si x \u003d 6, entonces x 4 - x 2 - 72 ≠ 0;
si x \u003d 3, entonces x 4 - x 2 - 72 \u003d 0;
si x \u003d -3, entonces x 4 - x 2 - 72 \u003d 0.
Por lo tanto, la ecuación (1) tiene una sola raíz: el número 6.
La expresión es positiva a la derecha de \\, negativa entre \\ y \\, positiva entre \\ y \\, y negativa a la izquierda de \\. A veces tenemos que quitar ciertas cosas antes de hacer una autopsia. Siempre queremos hacerlo primero. Y no te olvides de "agrupar" cuando tengamos cuatro condiciones.
Explicación del nuevo material.
Puedes determinar la diferencia de cuadrados, pero no la suma de cuadrados. Para los binomios cúbicos podemos tener en cuenta. Estos son algunos ejemplos de factorización de sumas y diferencias de cubos. De nuevo, piensa en una expresión racional como la razón de dos polinomios. Aquí hay algunos ejemplos de expresiones que son y no son expresiones racionales.
Ejemplo 2 Resolvamos la ecuación
Reducir las fracciones incluidas en la ecuación a un denominador común está asociado con transformaciones engorrosas y no facilita encontrar las raíces de la ecuación. Hagámoslo diferente. Aprovechemos que los denominadores de las fracciones son binomios de la forma x + b, donde b es algún número. Transformamos la ecuación para que las diferencias de fracciones se escriban en sus lados izquierdo y derecho, y cada una de las diferencias se reemplace por una fracción.
A menudo, la racionalidad se puede simplificar factorizando el numerador, el denominador o ambos, y los coeficientes de intersección. Se pueden propagar y separar como facciones normales. Tenga en cuenta que esto parece muy complicado, pero solo estamos usando muchos pasos que ya conocemos. Además, tenga en cuenta que en el último ejemplo, estamos dividiendo por razonamiento racional, por lo que invertimos el segundo y multiplicamos.
Recuerda que cuando tachas factores, puedes tachar la parte superior e inferior de la misma facción, o la parte superior e inferior de los diferentes factores que estás multiplicando. Nunca puedes tachar dos cosas en la parte superior o dos cosas en la parte inferior. También recuerda que en cualquier punto del problema cuando las variables están en el denominador, tendremos restricciones de dominio, ya que los denominadores no pueden ser \\.
Resolviendo esta ecuación, encontramos que tiene dos raíces:
x1 = 5,2 y x2 = 10.
Cada uno de estos números no anula los denominadores de las fracciones incluidas en la ecuación original. Por lo tanto, la ecuación original tiene dos raíces: 5,2 y 10.
Encontrar un denominador común
Cuando sumamos o restamos dos o más racionales, necesitamos encontrar el mínimo común denominador, al igual que sumar o restar fracciones regulares. Si los denominadores son iguales, simplemente podemos sumar los numeradores alternativamente, dejando los denominadores como están.
Al igual que con las fracciones regulares, queremos usar factores en los denominadores de cada fracción, pero no los contaremos como dobles si aparecen en todos los denominadores. Cuando no hay nada, simplemente multiplica los factores. Encontremos los mínimos comunes denominadores de los siguientes denominadores.
Una expresión entera es una expresión matemática formada por números y variables literales que utilizan las operaciones de suma, resta y multiplicación. Los números enteros también incluyen expresiones que incluyen la división por algún número distinto de cero.
El concepto de una expresión racional fraccionaria
Una expresión fraccionaria es una expresión matemática que, además de las operaciones de suma, resta y multiplicación realizadas con números y variables literales, así como la división por un número distinto de cero, también contiene la división en expresiones con variables literales.
Dominios acotados de funciones racionales
Ahora vamos a sumar y restar las siguientes expresiones racionales. Como apuntábamos, dado que las funciones racionales tienen variables en sus denominadores, debemos asegurarnos de que los denominadores no terminen siendo 0. Estas "respuestas" que no podemos usar se llaman soluciones extrañas. Veremos esto en el primer ejemplo a continuación.
Cuando resolvemos ecuaciones racionales, podemos multiplicar ambos lados de las ecuaciones por el mínimo común denominador y ni siquiera preocuparnos por tratar con fracciones. Se cancelarán los denominadores y solo resolveremos la ecuación con los numeradores. Recuerda que con el cuadrado tenemos que sacar todo de una manera con 0 del otro lado y ya sea con un factor o con ayuda.
Las expresiones racionales son todas expresiones enteras y fraccionarias. Las ecuaciones racionales son ecuaciones cuyos lados izquierdo y derecho son expresiones racionales. Si en una ecuación racional las partes izquierda y derecha son expresiones enteras, entonces tal ecuación racional se llama un número entero.
Si en una ecuación racional las partes izquierda o derecha son expresiones fraccionarias, entonces tal ecuación racional se llama fraccionaria.
Tenga en cuenta que a veces tendrá que resolver ecuaciones literarias, lo que simplemente significa que tiene que resolver una ecuación para una variable, pero obtendrá otras variables a cambio. Hay ciertos tipos de frases que suelen utilizar expresiones racionales. Suelen operar con tasas, ya que las tasas suelen ser fracciones. También vemos problemas con fracciones simples o porcentajes en forma de fracciones.
El denominador de la fracción 2 es menor que el doble del numerador. Si se suma 7 tanto al numerador como al denominador, la proporción resultante es igual. ¿Cuál es la fracción original? Este problema es un poco complicado porque no queremos definir la variable que define el problema: la fracción original. Dado que el denominador está en términos del numerador, es más fácil hacer que la variable sea el numerador.
Ejemplos de expresiones racionales fraccionarias
1.x-3/x=-6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Esquema para resolver una ecuación racional fraccionaria
1. Encuentra el denominador común de todas las fracciones que están incluidas en la ecuación.
2. Multiplica ambos lados de la ecuación por un denominador común.
3. Resuelva la ecuación completa resultante.
4. Verifique las raíces y excluya aquellas que conviertan el denominador común en cero.
Entonces, desde la primera oración del problema, la fracción original es. Ahora para resolver solo necesitamos sumar 7 al numerador y denominador y conjunto. Bethany acertó 10 tiros libres de 18 intentos. A ella realmente le gustaría llevar su rol promedio al 68%. ¿Cuántos tiros libres consecutivos se necesitan para llegar al 68%?
Nuevamente, podemos usar fracciones, y esta vez representarán la proporción de tiros libres que anota. Comenzaremos con su porcentaje actual de tiros libres y luego sumaremos el número que necesita anotar tanto para el numerador como para el denominador. Parece que la mayoría de los problemas están relacionados con el tiempo de comparación o la suma de tiempos. Shalini puede conducir 3 millas por hora más rápido que su hermana Mina. Si Shalini corrió 12 millas en el mismo tiempo, le tomó a Mina caminar 8 millas, ¿cuál es la velocidad de cada hermana en este caso?
Como estamos resolviendo ecuaciones racionales fraccionarias, habrá variables en los denominadores de las fracciones. Entonces, estarán en un denominador común. Y en el segundo párrafo del algoritmo, multiplicamos por un denominador común, luego pueden aparecer raíces extrañas. En el cual el denominador común será igual a cero, lo que significa que la multiplicación por él no tendrá sentido. Por lo tanto, al final, asegúrese de verificar las raíces obtenidas.
Ahora hagamos la parte divertida: las matemáticas. Aquí está el problema cuando usamos las velocidades del bote que va río arriba y río abajo para sumar tiempo. El tiempo empleado en la canoa yendo 3 millas río arriba y retrocediendo 3 millas río abajo es de 4 horas. La corriente en el lago es de 1 milla por hora. Encontrar velocidad media canoa en aguas tranquilas.
Agregamos el tiempo de subida al tiempo de bajada y esto debe ser igual a 4 horas. Nota. Si nos dieran la velocidad de una canoa en aguas tranquilas y necesitáramos encontrar la velocidad de la corriente, plantearíamos el problema de manera similar. Tendríamos que sumar y restar variables de los números en los denominadores.
Considere un ejemplo:
Resolver una ecuación racional fraccionaria: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Nos adherimos al esquema general: primero encontramos el denominador común de todas las fracciones. Obtenemos x*(x-5).
Multiplica cada fracción por un denominador común y escribe la ecuación completa resultante.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Los problemas laborales suelen estar relacionados con Gente diferente o asuntos trabajando juntos y solos, con velocidad diferente. Las tarifas individuales de cada trabajador, y cuando multiplicas la tarifa por el tiempo que trabajan, obtienes. Agregue todo esto y configúrelo en 1 tarea. Erica puede pintar su habitación en 5 horas. Si tiene una amiga Rachel, ayúdala, pueden pintar una habitación juntas en 3 horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Rachel pintar una habitación sola si Erica quisiera jugar tenis por la tarde?
Simplifiquemos la ecuación resultante. Obtenemos:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Obtuvimos una ecuación cuadrática reducida simple. Lo resolvemos por cualquiera de los métodos conocidos, obtenemos las raíces x=-2 yx=5.
Ahora comprobamos las soluciones obtenidas:
Sustituimos los números -2 y 5 en el común denominador. En x=-2, el común denominador x*(x-5) no desaparece, -2*(-2-5)=14. Entonces el número -2 será la raíz de la ecuación racional fraccionaria original.
Ecuaciones fraccionarias. ODZ
Sabemos que el tiempo que las niñas pintan la habitación juntas es de 3 horas y el tiempo que Erica pinta en la habitación es de 5 horas. La fórmula anterior también se puede derivar utilizando el concepto en el que puede calcular cuánto trabajo hacen las niñas por hora, tanto juntas como solas.
Luego puede agregar "tarifas" individuales para obtener la "velocidad" de sus pinturas juntas. De hecho, sumamos el Trabajo que completan usando la fórmula donde el Tiempo es 1 hora. En este ejemplo, la velocidad por hora de Erika es; la velocidad de Rachel por hora; podemos agregar sus tarifas para juntar su velocidad de pintura. Si multiplicamos todos los términos por 3, ¡obtenemos la ecuación anterior!
En x=5, el denominador común x*(x-5) se convierte en cero. Por lo tanto, este número no es la raíz de la ecuación racional fraccionaria original, ya que habrá división por cero.
Respuesta: x=-2.
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